Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 7 Ιουνίου 214

Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 3 1.1 Γενικές Παρατηρήσεις.................................... 3 1.2 Βασικοί Ορισµοί....................................... 3 1.3 Εξισώσεις της Μαθηµατικής Φυσικής............................ 3 2 ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως. 4 2.1 Εισαγωγή.......................................... 4 3 Ταξινόµηση ιαφορικών Εξισώσεων εύτερης Τάξεως. 6 3.1 Εισαγωγή.......................................... 6 3.2 Η κυµατική Εξίσωση και η Εξίσωση ιάχυσης....................... 6 3.2.1 Η κυµατική Εξίσωση................................. 6 3.2.2 Η Εξισωση ιάχυσης................................. 7 4 Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. 8 4.1 Εισαγωγή.......................................... 8 4.2 Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωης............................... 8 4.2.1 Η Οµογενής Κυµατική Εξίσωση........................... 9 4.2.1.i Ερµηνεία Λύσης, Χωρίο Εξάρτησης, Πεδίο Επιρροής.......... 11 4.2.1.ii Ενέργεια.................................. 16 4.2.2 Η Μη-Οµογενής Κυµατική Εξίσωση......................... 18 4.3 Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης............................... 29 4.3.1 Η Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης........................... 29 4.3.1.i Ενέργεια................................... 36 4.3.2 Η Μη-Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης......................... 36 4.3.2.i Η αρχή του Duhamel............................ 37 5 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος Χωρισµού Μεταβλητών. 46 5.1 Εισαγωγή.......................................... 46 5.2 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.......................... 48 5.2.1 Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας.......................... 48 5.2.1.i Dirichlet ΣΣ................................ 48 5.2.1.ii Neumann ΣΣ............................... 57 5.2.1.iii Περιοδικές ΣΣ.............................. 63 5.2.1.iv Η Αρχή του Μεγίστου............................ 69 5.2.2 Κυµατική Εξίσωση.................................. 69 5.2.2.i Dirichlet ΣΣ................................ 69 5.2.2.ii Neumann ΣΣ................................ 73 5.2.2.iii Περιοδικές ΣΣ............................... 75 5.3 Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών............................... 75 ii

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ iii 5.3.1 Εξίσωση aplace................................... 75 5.3.1.i Το Πρόβληµα Dirichlet........................... 76 5.4 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά...... 88 6 Σειρές Fourier 9 6.1 Σειρές Fourier........................................ 91 6.1.1 Ηµιτονικές, Συνηµιτονικές, και Πλήρεις Σειρές Fourier.............. 91 6.2 Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης....................... 93 6.2.1 Περιοδικές Συναρτήσεις............................... 93 6.2.2 Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις.......................... 94 6.2.3 Πλήρεις Σειρές, Περιττότητα και Αρτιότητα..................... 95 6.2.3.i Η Σειρά Fourier Μίας Περιττής Συνάρτησης................ 95 6.2.3.ii Η Σειρά Fourier Μίας Άρτιας Συνάρτησης................. 96 6.3 Θεωρήµατα Σύγκλισης................................... 11 6.3.1 Είδη Σύγκλισης Σειρών............................... 11 6.3.2 Το Θεώρηµα Σύγκλισης............................... 13 6.3.3 Παράγωγοι και Ολοκληρώµατα Σειρών Fourier................... 16 6.3.3.i Παράγωγος Σειράς Fourier......................... 16 6.3.3.ii Ολοκλήρωµα Σειράς Fourier........................ 18 6.4 Σειρές Fourier σε ιαστήµατα................................ 19 6.4.1 Περιοδικές Επεκτάσεις Συναρτήσεων........................ 11 6.4.2 Οι Σειρές Fourier των Περιοδικών Επεκτάσεων................... 111 6.4.2.i Η σειρά Fourier της Περιοδικής Επέκτασης................ 111 6.4.2.ii Η Σειρά Fourier της Άρτιας Περιοδικής Επέκτασης............ 112 6.4.2.iii Η Σειρά Fourier της Περιττής Περιοδικής Επέκτασης........... 112 6.4.2.iv Συνηµιτονικές και Ηµιτονικές Σειρές Fourier............... 112 6.4.2.v Το Θεώρηµα Σύγκλισης........................... 113 6.4.2.vi Σχεδίαση Σειρών Fourier.......................... 114 6.4.3 Η Συνέχεια της Σειράς Fourier............................ 118 6.4.4 Παραγώγιση Σειρών Fourier σε ιαστήµατα..................... 118 6.4.5 Ολοκλήρωση Σειράς Fourier............................. 12 6.4.6 Το ϕαινόµενο Gibbs................................. 12 6.5 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών και Γενικευµένες Σειρές Fourier............. 121 6.5.1 Ορθογωνιότητα και ΣΣ............................... 123 6.5.2 Σύγκλιση Γενικευµένων Σειρών Fourier....................... 127 7 Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. 129 7.1 Εισαγωγή.......................................... 129 7.2 Μη-Οµογενείς ΣΣ...................................... 13 7.3 Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ.......................... 132 7.4 Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις........................ 135 7.4.1 Γενίκευση Μεθόδου Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις............... 141 8 Θεωρία Sturm-iouville. 151 8.1 Εισαγωγή.......................................... 151 8.2 Μη-Οµογενείς ΣΣ...................................... 151 8.3 Μη-Οµογενείς Μ Ε.................................... 151 8.4 Τι να δω Γενικά....................................... 151 9 Παράρτηµα 152 9.1 Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων.......................... 152 Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

Συµβολισµός Σας παραθέτω πίνακα µε τους συµβολισµούς και τα ακρονύµια που χρησιµοποιώ στις σηµειώσεις Σ Ε: Συνήθης ιαφορική Εξίσωση Μ Ε: Μερική(ες) ιαφορική(ες) Εξίσωση (Εξισώσεις) ΑΣ: Αρχικές Συνθήκες ΣΣ: Συνοριακές Συνθήκες ΠΑΤ: Πρόβληµα Αρχικών Τιµών ΠΣΤ: Πρόβληµα Συνοριακών Τιµών ΠΑ-ΣΤ: Πρόβληµα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών ΜΧΜ: Μέθοδος Χωριζοµένων Μεταβλητών Κ.Εξ.: Κυµατική Εξίσωση Εξ..: Εξίσωση ιάχυσης Εξ..: Εξίσωση aplace 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Σειρές Fourier ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6.1 Σειρές Fourier....................................... 91 6.1.1 Ηµιτονικές, Συνηµιτονικές, και Πλήρεις Σειρές Fourier............. 91 6.2 Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης...................... 93 6.2.1 Περιοδικές Συναρτήσεις.............................. 93 6.2.2 Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις......................... 94 6.2.3 Πλήρεις Σειρές, Περιττότητα και Αρτιότητα.................... 95 6.2.3.i Η Σειρά Fourier Μίας Περιττής Συνάρτησης............... 95 6.2.3.ii Η Σειρά Fourier Μίας Άρτιας Συνάρτησης................ 96 6.3 Θεωρήµατα Σύγκλισης.................................. 11 6.3.1 Είδη Σύγκλισης Σειρών.............................. 11 6.3.2 Το Θεώρηµα Σύγκλισης.............................. 13 6.3.3 Παράγωγοι και Ολοκληρώµατα Σειρών Fourier.................. 16 6.3.3.i Παράγωγος Σειράς Fourier........................ 16 6.3.3.ii Ολοκλήρωµα Σειράς Fourier....................... 18 6.4 Σειρές Fourier σε ιαστήµατα............................... 19 6.4.1 Περιοδικές Επεκτάσεις Συναρτήσεων....................... 11 6.4.2 Οι Σειρές Fourier των Περιοδικών Επεκτάσεων.................. 111 6.4.2.i Η σειρά Fourier της Περιοδικής Επέκτασης............... 111 6.4.2.ii Η Σειρά Fourier της Άρτιας Περιοδικής Επέκτασης........... 112 6.4.2.iii Η Σειρά Fourier της Περιττής Περιοδικής Επέκτασης.......... 112 6.4.2.iv Συνηµιτονικές και Ηµιτονικές Σειρές Fourier.............. 112 6.4.2.v Το Θεώρηµα Σύγκλισης.......................... 113 6.4.2.vi Σχεδίαση Σειρών Fourier......................... 114 6.4.3 Η Συνέχεια της Σειράς Fourier........................... 118 6.4.4 Παραγώγιση Σειρών Fourier σε ιαστήµατα.................... 118 6.4.5 Ολοκλήρωση Σειράς Fourier............................ 12 6.4.6 Το ϕαινόµενο Gibbs................................ 12 6.5 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών και Γενικευµένες Σειρές Fourier............ 121 6.5.1 Ορθογωνιότητα και ΣΣ.............................. 123 6.5.2 Σύγκλιση Γενικευµένων Σειρών Fourier...................... 127 9

6.1. Σειρές Fourier. 91 6.1 Σειρές Fourier. Κίνητρο. Με την εφαρµογή της ΜΧΜ στο κεφάλαιο (5) για την επίλυση ΠΑ-ΣΤ όπου οι ΣΣ ήταν Dirichlet, Neumann, ή Περιοδικές, καταλήξαµε να δεχθούµε ότι σχεδόν κάθε συνάρτηση µπορεί να δοθεί ως ανάπτυγµα µίας σειράς Fourier η οποία, ανάλογα µε το είδος της ΣΣ µπορεί να ήταν Ηµιτονική ή Συνηµιτονική για συναρτήσεις ορισµένες στο πεπερασµένο διάστηµα (, ), ή Περιοδική για συναρτήσεις ορισµένες στο (, ). Για κάθε µία από αυτές τις περιπτώσεις µπορέσαµε να υπολογίσουµε τους αντίστοιχους συντελεστές της Σειράς. εν απαντήσαµε όµως σηµαντικά ερωτήµατα όπως τα παρακάτω Συγκλίνουν οι αντίστοιχες άπειρες Σειρές ; Αν συγκλίνουν, συγκλίνουν όντως στην f(x); Μπορούµε ελεύθερα να παραγωγίζουµε όρο προς όρο τη Σειρά Fourier και τι µας δίνει το αποτέλεσµα ; διότι για παράδειγµα πρέπει να µπορούµε να επαληθεύσουµε ότι η σειρά ικανοποιεί την Μ Ε. Μπορούµε ελεύθερα να ολοκληρώνουµε όρο προς όρο τη σειρά Fourier και τι µας δίνει το αποτέλεσµα ; διότι, για παράδειγµα, αυτό κάναµε για να υπολογίσουµε τους συντελεστές της Σειράς Fourier µε τις σχέσεις ορθογωνιότητας και κανονικοποίησης. Επιπλέον, αν σκεφτεί κανείς ότι οι συναρτήσεις cos και sin είναι λείες συναρτήσεις (δηλαδή έχουν συνεχείς παραγώγους όλους των τάξεων) τότε µπορεί να αναρωτηθεί κάποιος αν µία συνάρτηση που είναι απλώς συνεχής µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier. Τέλος, σε σχέση µε την επίλυση των Μ Ε ϱωτάµε να ϐρούµε ποιές συναρτήσεις µπορούν να αναπτυχθούν σε Σειρά Fourier και κατά πόσο αυτή η σειρά αποτελεί λύση του αντίστοιχου ΠΑ-ΣΤ ή ΠΣΤ. Αυτή η ενότητα στηρίζεται ως επί το πλείστον στους [16], [1] και [8]. 6.1.1 Ηµιτονικές, Συνηµιτονικές, και Πλήρεις Σειρές Fourier. Λύνοντας το ΠΣΤ d 2 X dx 2 + λx = ϐρήκαµε ότι οι µη-τετριµµένες λύσεις, δηλαδή οι Ιδιοσυναρτήσεις, είναι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις της µορφής sin x, ή/και cos x ανάλογα µε τα αν είχαµε Dirichlet, Neumann, ή Περιοδικές ΣΣ. Η απαίτηση να ικανοποιείται η αρχική συνθήκη κάθε ϕορά µας οδήγησε στα εξής : Ηµιτονικές Σειρές Fourier. Λύνοντας το ΠΣΤ µε ΣΣ Dirichlet υποθέσαµε ότι σχεδόν κάθε συνάρτηση, f(x), ορισµένη στο διάστηµα < x < µπορούµε να την αναπτύξουµε σε Ηµιτονική Σειρά Fourier, f(x) = B n sin x, µε (6.1.1) B m = sin ( mπ x) f(x)dx sin ( mπ x) 2 dx = 2 ( mπ sin x f(x)dx, m = 1, 2,..., (6.1.2) Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

92 Κεφάλαιο 6. Σειρές Fourier Συνηµιτονικές Σειρές Fourier. Λύνοντας το ΠΣΤ µε ΣΣ Neumann υποθέσαµε ότι σχεδόν κάθε συνάρτηση, f(x), ορισµένη στο διάστηµα < x < µπορούµε να την αναπτύξουµε σε Συνηµιτονική Σειρά Fourier, f(x) = A + A = 1 A m = 2 A n cos x, µε, (6.1.3) f(x)dx (6.1.4) ( mπ cos x f(x)dx = cos ( mπ x) f(x)dx cos ( mπ x) 2 dx, m = 1, 2,..., (6.1.5) Πλήρεις Σειρές Fourier. Λύνοντας το ΠΣΤ µε Περιοδικές ΣΣ υποθέσαµε ότι σχεδόν κάθε συνάρτηση, f(x), ορισµένη στο διάστηµα < x < µπορούµε να την αναπτύξουµε σε Πλήρη Σειρά Fourier, f(x) = A + A n cos x + B n sin x (6.1.6) µε, A = 1 2 A m = B m = f(x)dx (6.1.7) f(x) cos ( mπx ) dx cos ( ) 2 mπx dx f(x) sin ( mπx ) dx sin 2 ( ) mπx dx = 1 = 1 f(x) cos f(x) sin ( mπx dx (6.1.8) ( mπx dx (6.1.9) Πληροφοριακά αναφέρουµε ότι τα τρία είδη Σειρών Fourier στα οποία µόλις αναφερθήκαµε ονο- µάζονται Κλασσικές Σειρές Fourier ή Τριγωνοµετρικές Σειρές. Από µαθηµατικής άποψης το ανάπτυγµα κατά Fourier των περιοδικών συναρτήσεων είναι το πιο ϑεµελιώδες και η κατανόηση του ϐοηθά στην ευκολότερη κατανόηση των περιπτώσεων αναπτυγµάτων κατά Fourier που συναντά κανείς όταν εφαρµόζει την ΜΧΜ. Για αυτό το λόγο ξεκινούµε τη µελέτη από το ανάπτυγµα Fourier περιοδικών συναρτήσεων. Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

6.2. Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης. 93 6.2 Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης. Η µελέτη των σειρών Fourier για περιοδικές συναρτήσεις µας δίνει τα στέρεα ϑεµέλια πάνω στα οποία µπορούµε να κτίσουµε την ερµηνεία για το τι εκφράζει το ανάπτυγµα κατά Fourier µίας συνάρτησης η οποία είναι ορισµένη σε ένα πεπερασµένο διάστηµα, συνήθως το (, ) ή το (, ). 6.2.1 Περιοδικές Συναρτήσεις. Προχωρούµε στον ορισµό της περιοδικής συνάρτησης. Ορισµός 6.2.1 (Ορισµός Περιοδικής Συνάρτησης). Μία συνάρτηση f(x) ορισµένη για < x < ονοµάζεται περιοδική, αν υπάρχει ένας αριθµός p >, τέτοιος ώστε Ο αριθµός p ονοµάζεται περίοδος της f(x). f(x + p) = f(x), x (, ). (6.2.1) Το γράφηµα µίας περιοδικής συνάρτησης επαναλαµβάνεται για πάντα ως προς τον άξονα της µεταβλητής x. Προσέξτε, ότι η περιοδικότητα είναι άρρηκτα συνδεδεµένη µε το ότι η µεταβλητή x παίρνει τιµές σε όλο το R. Ετσι, για παράδειγµα, η συνάρτηση sin x είναι περιοδική για x (, ), δεν είναι όµως περιοδική στο διάστηµα (, 2π). Μία περιοδική συνάρτηση µε περίοδο p, έχει τις εξής τρεις ϐασικές ιδιότητες : α) f(x + np) = f(x) για κάθε x και για κάθε ακέραιο n, ϐ) Το άθροισµα δύο περιοδικών συναρτήσεων µε περίοδο p είναι και αυτή περιοδική συνάρτηση µε περίοδο p. Τέλος, γ) αν η µία συνάρτηση έχει περίοδο p, τότε το a+p a f(x)dx δεν εξαρτάται από το a. Με ϐάση τους ορισµούς αυτούς εύκολα ϕτάνουµε στο εξής ϐασικό συµπέρασµα Συµπέρασµα 6.2.2 (Περιοδικές Συναρτήσεις και Σειρές Fourier). Η πλήρης σειρά Fourier (6.1.6) µίας συνάρτησης (υποθέτοντας πάντα ότι η πλήρης σειρά συγκλίνει) είναι απαραίτητα περιοδική συνάρτηση µε περίοδο 2, ως άθροισµα περιοδικών συναρτήσεων µε περίοδο 2 η κάθε µία. Με άλλα λόγια η πλήρης σειρά Fourier, δεν µπορεί να αναπαριστά µία µη-περιοδική συνάρτηση. Αξίζει, να γίνει ειδική µνεία στον σταθερό όρο της σειράς Fourier, δηλ, τον A = 1 2 f(x)dx ο οποίος δεν είναι τίποτε άλλο παρά η µέση τιµή της συνάρτησης f(x) στο διάστηµα [, ] και εποµένως σύµφωνα µε την ιδιότητα (γ) πιο πάνω η µέση τιµή της f(x) σε κάθε διάστηµα µήκους 2. Εξαιτίας του γεγονότος ότι η συνάρτηση cos ( ) mπx είναι άρτια στο διάστηµα (, ] ενώ η συνάρτηση sin ( ) mπx είναι περιττή στο ίδιο διάστηµα, είναι ιδιαίτερα χρήσιµο και σηµαντικό να ϱίξουµε µία µατιά στις πλήρεις σειρές Fourier άρτιων και περιττών συναρτήσεων. Για αυτό παραθέτουµε αρχικά τους ϐασικούς ορισµούς και τις ϐασικές ιδιότητες των άρτιων και περιττών συναρτήσεων και µετά προχωρούµε στη µελέτη των σειρών Fourier αυτών. Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

94 Κεφάλαιο 6. Σειρές Fourier 6.2.2 Αρτιες και Περιττές Συναρτήσεις Αρτιες Συναρτήσεις. Μία συνάρτηση ορισµένη σε ένα συµµετρικό ως προς το διάστηµα, έστω (, ) ονοµάζεται άρτια, αν ικανοποιεί την εξίσωση f(x) = f( x), x (, ) (6.2.2) Το γράφηµα µίας άρτιας συνάρτησης είναι συµµετρικό ως προς τον άξονα των y και δεν είναι απαραίτητο να περιλλαµβάνει και το. Σηµειώνουµε, ότι η έννοια της αρτιότητας ορίζεται και για περιοδικές συναρτήσεις όπως συµβαίνει για παράδειγµα µε τη συνάρτηση cos x, x (, ) Περιττές Συναρτήσεις. Μία συνάρτηση ορισµένη σε ένα συµµετρικό ως προς το διάστηµα, έστω (, ) ονοµάζεται περιττή, αν ικανοποιεί την εξίσωση f(x) = f( x), x (, ) (6.2.3) Γεωµετρικά, αυτό σηµαίνει ότι το γράφηµα µίας περιττής συνάρτησης είναι συµµετρικό ως προς την αρχή των αξόνων το οποίο µε τη σειρά του σηµαίνει ότι αν περιστρέψουµε το γράφηµα µίας συνάρτησης κατά 18 ως προς την αρχή των αξόνων, τότε αυτό παραµένει το ίδιο. Άµεση συνέπεια του ορισµού είναι ότι το γράφηµα µίας περιττής συνάρτησης περνά οπωσδήποτε από το δεδοµένου ότι πάντα f() =. Αυτό όταν είναι συνεχής η συνάρτηση. Αφήνουµε όµως την περίπτωση να υπάρχουν πεπερασµένες ασυνέχειες οπότε η συνάρτηση ϑα µπορούσε να είναι περιττή ακόµη και αν δεν περνά από το αν έχει εκεί πεπερασµένη ασυνέχεια, αρκεί για x < να παίρνει αντίθετες τιµές. Η περίπτωση αυτή µπορεί να µην αντιστοιχεί ακριβώς στον αλγεβρικό ορισµό της περιττής σνάρτησης, αλλά έχει το γεωµετρικό χαρακτηριστικό του ορισµού, ότι δηλαδή το γράφηµα είναι συµµετρικό ως προς την αρχή των αξόνων. Σηµειώνουµε, ότι η έννοια της περιττότητας ορίζεται και για περιοδικές συναρτήσεις όπως συµβαίνει για παράδειγµα µε τη συνάρτηση sin x, x (, ) Αρτιο και Περιττό Μέρος. Προφανώς και δεν είναι όλες οι συναρτήσεις άρτιες ή περιττές. Μπο- ϱούµε όµως για κάθε συνάρτηση f(x) να ορίσουµε το άρτιο και περιττό µέρος της αν παρατηρήσουµε ότι η f(x) µπορεί να γραφεί ως εξής : f(x) = 1 2 [f(x) + f( x)] + 1 2 [f(x) f( x)] f e + f o (6.2.4) µε f e = 1 2 [f(x) + f( x)] και f o = 1 2 [f(x) f( x)]. Είναι προφανές ότι Πράξεις. Ισχύουν οι εξής κανόνες άρτια άρτια =άρτια περιττή περιττή = άρτια περιττή άρτια =περιττή άρτια + άρτια =άρτια περιττή + περιττή =περιττή f e (x) = f e ( x) f o (x) = f o ( x) άρτια + περιττή δεν είναι αναγκαίο να ανήκει σε κάποια κατηγορία. Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

6.2. Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης. 95 Ιδιότητες. Ισχύουν οι εξής ιδιότητες Αν f(x) άρτια, τότε df dx περιττή Αν f(x) περιττή, τότε df dx άρτια Αν f(x) άρτια, τότε x f(s)ds περιττή Αν f(x) περιττή, τότε Αν f(x) περιττή, τότε x f(s)ds άρτια f(x)dx = Αν f(x) άρτια, τότε f(x)dx = 2 f(x)dx Ετσι, για παράδειγµα, αν µία συνάρτηση είναι άρτια τότε το γράφηµα της πρέπει να τέµνει τον άξονα των y οριζόντια, δεδοµένου ότι η df df dx είναι περιττή και άρα ϑα πρέπει dx () =. Ας δούµε τώρα πως συνδιάζονται οι ιδιότητες της περιοδικότητας µε αυτές της αρτιότητας και περιττότητας όσον αφορά τις σειρές Fourier. 6.2.3 Πλήρεις Σειρές, Περιττότητα και Αρτιότητα. Θα δούµε τώρα τι επίδραση έχει η ιδιότητα της αρτιότητας ή της περιττότητας µίας συνάρτησης στο ανάπτυγµα κατά Fourier αυτής. 6.2.3.i Η Σειρά Fourier Μίας Περιττής Συνάρτησης. Θα ξεκινήσουµε µε την εξής πολύ απλή παρατήρηση : Η πλήρης σειρά Fourier µίας περιοδικής περιττής συνάρτησης είναι µόνο Ηµιτονική Σειρά Fourier Πράγµατι, από τους τύπους (6.1.7-6.1.9) είναι προφανές ότι αν f(x) = περιττή, τότε A = 1 2 A m = 1 f(x)dx =, f(x) cos και ( mπx dx = Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

96 Κεφάλαιο 6. Σειρές Fourier αφού το γινόµενο άρτιας µε περιττή συνάρτηση είναι περιττή, η cos ( ) mπx είναι άρτια συνάρτηση και ολοκληρώνουµε σε συµµετρικό ως προς το µηδέν διάστηµα. Άρα, αν f(x) = περιττή, τότε πάντοτε Πλήρης Σειρά Fourier(για f(x) περιττή) = B n = 1 B n sin x, x (, ), µε f(x) sin ( mπx dx = 2 f(x) sin ( mπx dx όπου η τελευταία σχέση προκύπτει από το ότι το γινόµενο f(x) sin ( ) mπx είναι άρτια συνάρτηση. Αυτό το ανάπτυγµα ϕαίνεται αρκετά λογικό αν σκεφτούµε ότι το sin ειναι περιττή συνάρτηση και η σειρά, ως άθροισµα περιττών συναρτήσεων, ϑα είναι και αυτή περιττή συνάρτηση. Ενα άλλο σηµείο που πρέπει να προσεχθεί είναι ότι δε χρειάζεται η πληροφορία σε όλο το διάστηµα (, ) αλλά µόνο στο διάστηµα (, ) για να κατασκευάσουµε την πλήρη Σειρά Fourier µίας περιττής συνάρτησης. Είδαµε λοιπόν ότι, αν x (, ) τότε η σειρά αναπαριστά µία συνάρτηση 1. Περιοδική µε περίοδο 2 ως αθροισµα Περιοδικών συναρτήσεων µε περίοδο 2 η κάθε µία, αλλά και 2. Περιττή ως άθροισµα των περιττών, σε κάθε περίοδο συναρτήσεων sin ( nπ x) στο συµµετρικό διάστηµα (, ). 6.2.3.ii Η Σειρά Fourier Μίας Αρτιας Συνάρτησης. Θα ξεκινήσουµε, πάλι, από την εξής παρατήρηση : Η πλήρης σειρά Fourier µίας άρτιας συνάρτησης είναι µόνο Συνηµιτονική Σειρά Fourier Πράγµατι, από τους τύπους (6.1.7-6.1.9) είναι προφανές ότι αν f(x) = άρτια, τότε B m = 1 f(x) sin ( mπx dx = αφού το γινόµενο άρτιας µε περιττή συνάρτηση είναι περιττή, η sin ( ) mπx είναι περιττή συνάρτηση και ολοκληρώνουµε σε συµµετρικό ως προς το µηδέν διάστηµα. Άρα, αν f(x) = άρτια, τότε πάντοτε Πλήρης Σειρά Fourier(για f(x) άρτια) = A + A = 1 2 A n = 1 A n cos x, x (, ), µε f(x)dx = 2 1 2 f(x) cos ( mπx dx = 2 f(x)dx = 1 f(x) cos f(x)dx, και ( mπx dx Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

6.2. Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης. 97 όπου οι σχέσεις για A και A n προκύπτουν επειδή τόσο η f(x) όσο και το γινόµενο f(x) sin ( ) mπx είναι άρτιες συναρτήσεις. Πάλι, έχουµε το διαισθητικά σωστό αποτέλεσµα, ότι µία άρτια συνάρτηση δίνεται ως σειρά (άπειρο άθροισµα) των cos ( ) ( mπx, όπου κάθε cos mπx ) είναι άρτια συνάρτηση. Παρατηρούµε πάλι, ότι και για τις άρτιες συναρτήσεις δε χρειάζεται η πληροφορία σε όλο το διάστηµα (, ) αλλά µόνο στο διάστηµα (, ) για να κατασκευάσουµε την πλήρη Σειρά Fourier. Σε πλήρη αντιστοιχεία µε την περίπτωση των περιττών συναρτήσεων αν x (, ) τότε η σειρά αναπαριστά µία συνάρτηση 1. Περιοδική µε περίοδο 2 ως αθροισµα Περιοδικών συναρτήσεων µε περίοδο 2 η κάθε µία, αλλά και 2. Αρτια ως άθροισµα των άρτιων, σε κάθε περίοδο, συναρτήσεων cos ( nπ x). Πλήρεις Σειρές. Στην περίπτωση, όπου η συνάρτηση f(x) δεν είναι ούτε άρτια αλλά ούτε και πε- ϱιττή, δεν υπάρχει κάποιος προφανής λόγος να µηδενίζονται συντελεστές και έτσι έχουµε την επιβίωση όλων των συντελεστών στους τύπους (6.1.7-6.1.9). ηλαδή η συνάρτηση αναπτύσσεται στο άθροισµα δύο σειρών µίας σειράς ηµιτόνων και µίας σειράς συνηµιτόνων. Είναι εποµένως λογικό να ϱωτήσου- µε τη σχέση έχουν αυτές οι δύο σειρές µε την ηµιτονική και συνηµιτονική αντίστοιχα, σειρά της f(x); η απάντηση είναι καµία!. Για παράδειγµα, το συνηµιτονικό µέρος της πλήρους σειράς είναι το A + A = 1 2 A m = 1 A n cos x, µε όπου γενικά επειδή η συνάρτηση δεν είναι άρτια 1 2 1 f(x)dx 1 f(x) cos f(x)dx f(x) cos f(x)dx ( mπx dx 2 ( mπx dx f(x) cos ( mπx dx άρα το Συνηµιτονικό µέρος της Πλήρους Σειράς Fourier της f(x), δεν ταυτίζεται µε τη Συνηµιτονική Σειρά Fourier της f(x). Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο µπορεί κάποιος εύκολα να πειστεί ότι το Ηµιτονικό µέρος της Πλήρους Σειράς Fourier της f(x), δεν ταυτίζεται µε τη Ηµιτονική Σειρά Fourier της f(x). Είναι προφανές ότι εφόσον x (, ) τότε η πλήρης σειρά δίνει την f(x) ως άθροισµα δύο περιοδικών συναρτήσεων µίας άρτιας περιοδικής και µίας περιττής περιοδικής. Μένει όµως να µπο- ϱέσουµε να δώσουµε µία ερµηνεία στο συνηµιτονικό και στο ηµιτονικό µέρος της πλήρους σειράς, ανάλογη µε αυτή που δώσαµε για την ηµιτονική και την συνηµιτονική σειρά σε σχέση µε τις περιττές Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

98 Κεφάλαιο 6. Σειρές Fourier και τις άρτιες συναρτήσεις αντίστοιχα. Αυτό µπορεί να γίνει µε τη χρήση του άρτιου και περιττού µέ- ϱους µίας συνάρτησης όπως αυτό ορίστηκε στην προηγούµενη ενότητα, ότι δηλαδή κάθε συνάρτηση f(x) γράφεται ως f(x) = f e (x) + f o (x) = 1 2 [f(x) + f( x)] + 1 [f(x) f( x)] 2 Θυµηθείτε ότι η πλήρης σειρά Fourier της f(x) είναι η f(x) = A + A n cos x + B n sin x µε συντελεστές που δίνονται από τους τύπους (6.1.7-6.1.9). Ετσι, ο υπολογισµός των συντελεστών δίνει A = 1 2 = 1 2 f(x)dx = 1 2 f e (x)dx = 1 (f e (x) + f o (x))dx f e dx = 1 1 [f(x) + f( x)]dx (6.2.5) 2 όπου f o (x)dx =, διότι η f o είναι περιττή ενώ 1 2 f e (x)dx = 1 f e dx διότι η f e Αντίστοιχα, είναι άρτια. A m = 1 = 1 = 2 f(x) cos cos cos ( mπx dx = 1 ( mπx cos (f e (x) + f o (x))dx ( mπx f e (x)dx = 2 cos ( mπx f e (x)dx = ( mπx 1 [f(x) + f( x)]dx (6.2.6) 2 διότι η συνάρτηση cos ( ) mπx fo (x) είναι περιττή ως γινόµενο άρτιας µε περιττή συνάρτηση και επο- µένως το ολοκλήρωµα της στο διάστηµα (, ) είναι ίσο µε µηδέν ενώ η cos ( ) mπx fe (x) είναι άρτια και το ολοκληρωµα της στο διάστηµα (, ) είναι το διπλάσιο του ολοκληρώµατός της στο διάστηµα (, ). Τέλος, µε ανάλογα επιχειρήµατα δείχνεται εύκολα ότι B m = 1 f(x) sin ( mπx dx = 1 ( mπx 1 sin [f(x) f( x)]dx (6.2.7) 2 Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

6.2. Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης. 99 Τους συντελεστές τους εκφράσαµε µε αυτό τον τρόπο διότι έτσι είναι ξεκάθαρο ότι οι συντελεστές A και A m είναι οι συντελεστές της συνηµιτονικής σειράς Fourier της f e = 1 2 [f(x) + f( x)], ενώ οι συντελεστές B m είναι οι συντελεστές της ηµιτονικής σειράς της f o (x) = 1 2 [f(x) f( x)] όπως πολύ εύκολα µπορεί να δειχθεί. Σκεφτείτε απλώς ότι για την f e η συνηµιτονική και η πλήρης σειρά συµπίπτουν διότι η f e είναι άρτια συνάρτηση, ενώ αντίστοιχα για την f o η ηµιτονική και η πλήρης σειρά συµπίπτουν διότι η f o είναι περιττή συνάρτηση. Συµπέρασµα : Η πλήρης Σειρά Fourier της f(x) είναι ίση µε το άθροισµα της Συνηµιτονικής Σειράς Fourier του άρτιου µέρους της, δηλαδή της f e, µε την Ηµιτονική Σειρά Fourier του περιττού µέρους της, δηλαδή της f o. Παράδειγµα 6.1: Να υπολογιστεί η σειρά Fourier της 2π-περιοδικής συνάρτησης f(x) = x για π x π Λύση. Η f(x) είναι ένα τριγωνικό κύµα όπως ϕαίνεται και στο σχήµα (6.1). Επίσης, εύκολα διαπιστώνουµε ότι είναι άρτια συνάρτηση, άρα στη σειρά Fourier ϑα επιβιώσουν µόνο οι συνηµιτονικοί όροι. A = 1 π A m = 2 π π π f(x)dx = 1 π π xdx f(x) cos (mx) dx = 2 π π x cos (mx) dx διότι εφόσον τα όρια ολοκλήρωσης είναι από ως π σε αυτό το διάστηµα ισχύει ότι x = x. Άρα, A = 1 π 2π x2 = π 2 A m = 2 x sin mx π 2 π sin mx π m π m dx = 2 cos mx π π m 2 = 2 ( 1) m 1 π m 2 εφόσον, sin mπ = και cos mπ = ( 1) m. Εξετάζοντας τη σχέση ( 1) m 1 διαπιστώνουµε ότι { ( 1) m 2, m περιττός 1 =, m άρτιος άρα η σειρά Fourier δίνει π 2 4 π m=περιττός 1 m 2 cos mx = π 2 4 π k=1 cos(2k 1)x (2k 1) 2 (6.2.8) Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

1 Κεφάλαιο 6. Σειρές Fourier Σχήµα 6.1: Η συνάρτηση f(x) = x, π x π Παράδειγµα 6.2: Να υπολογιστεί η σειρά Fourier της 2π-περιοδικής συνάρτησης f(x) = x για π x π Λύση. Η f(x) είναι ένα πριονωτό κύµα όπως ϕαίνεται και στο σχήµα (6.2). Επίσης, εύκολα διαπιστώνουµε ότι είναι περιττή συνάρτηση, άρα στη σειρά Fourier ϑα επιβιώσουν µόνο οι ηµιτονικοί όροι. Άρα, ηλαδή, B m = 2 π B m = 2 π x cos mx m π π f(x) sin (mx) dx = 2 π + 2 π π B m = 2 ( 1)m m π x sin (mx) dx cos mx m dx = 2 m [( 1)m ] + 2 sin mx πm2 = 2( 1)m+1 m εφόσον, sin mπ =, cos mπ = ( 1) m. Άρα η σειρά Fourier δίνει ( 1) n+1 2 sin nx (6.2.9) n π Η ανισότητα του Bessel. Μπορεί να δειχθεί ότι για τους συντελεστές της σειράς Fourier µίας συνάρτησης ισχύει το παρακάτω αποτέλεσµα : Θεώρηµα 6.2.3 (Ανισότητα Bessel). Αν η συνάρτηση f(x) είναι περιοδική µε περίοδο 2 και είναι ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [, ] τότε ισχύει η εξής ανισότητα A 2 + 1 2 1 ( A n 2 + B n 2 1 2 f(x) 2 dx (6.2.1) όπου A, A m, B m, m = 1, 2,... είναι οι συντελεστές της πλήρους σειράς Fourier, οι οποίοι δίνονται από τους τύπους (6.1.7-6.1.9) Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

6.3. Θεωρήµατα Σύγκλισης. 11 Σχήµα 6.2: Η συνάρτηση f(x) = x, π x π Απόδειξη. Προσωρινά Παραλείπεται. Για συγκλίνουσες σειρές Fourier προκύπτει ότι η ανισότητα Bessel είναι στην πραγµατικότητα ισότητα και µία πολύ σηµαντική συνέπεια της ανισότητας αυτής είναι ότι οι συντελεστές Fourier, A m, B m, m = 1, 2,... τείνουν στο µηδέν καθώς n. Αυτό διότι προφανώς η σειρά (6.2.1) είναι συγκλίνουσα άρα δεν µπορεί παρά ο κάθε όρος της να τείνει στο µηδέν καθώς n. Κλέινουµε την ενότητα των πλήρων σειρών Fourier µε µία σηµαντική παρατήρηση. Παρατήρηση 6.2.4 (Σηµαντική Παρατήρηση): Παρατηρούµε ότι παρόλο που η πλήρης σειρά Fourier αντιστοιχεί στο διάστηµα x (, + ) οι συντελεστές της υπολογίζονται απλώς στο διάστηµα (, ) ή (, ). Αυτό δεν ϑα πρέπει να αποτελέσει πηγή σύγχυσης. Επαναλαµβάνουµε : Η πλήρης Σειρά Fourier αναφέρεται σε συναρτήσεις (περιοδικές) ορισµένες στο διάστηµα x (, + ). 6.3 Θεωρήµατα Σύγκλισης. Η σειρά Fourier είναι µία άπειρη σειρά και ως εκ τούτου το ϑεµελιώδες ερώτηµα είναι κατά πόσο συγκλίνει. Επιπροσθέτως η σύγκλιση από µόνη της δεν είναι αρκετή, διότι µας ενδιαφέρει και το κατά πόσον η σειρά Fourier που κατασκευάσαµε για µία περιοδική συνάρτηση συγκλίνει όντως σε αυτή τη συνάρτηση και όχι σε κάτι άλλο! Επίσης, µας ενδιαφέρει να δούµε τι συµβαίνει µε την παραγώγιση και την ολοκήρωση µίας σειράς Fourier και πως αυτή σχετίζεται µε την παράγωγο και το ολοκλήρωµα της συνάρτησης. Σε αυτά τα ερωτήµατα απαντούν ισχυρά ϑεωρήµατα µε ϑετικό τρόπο και µάλιστα χωρίς να χρειάζονται ιδιαίτερα αυστηροί περιορισµοί για τις αντίστοιχες περιοδικές συναρτήσεις. Οι σειρές Fourier ανήκουν στην κατηγορία των άπειρων σειρών και έτσι η σύγκλιση τους δεν ορίζεται µε µοναδικό τρόπο. Προχωρούµε σε µία γρήγορη µελέτη των αντίστοιχων εννοιών στην επόµενη ενότητα. 6.3.1 Είδη Σύγκλισης Σειρών Υπάρχουν τρεις, ϐασικοί, διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους µπορούµε να ορίσουµε τη σύγκλιση µίας σειράς (και κατά αντιστοιχία µίας σειράς Fourier). Αυτό µπορεί να ϕαίνεται λίγο περίεργο στην αρχή για κάποιον ο οποίος δεν είναι εξοικοιωµένος µε ϑέµατα σύγκλισης άπειρων σειρών αλλά σύντοµα ϑα διαπιστώσουµε, ότι µε άλλο τρόπο µπορεί να δωθεί νόηµα στη σειρά όταν η f(x) είναι απλώς συνεχής, µε άλλο τρόπο αν έχει πεπερασµένες ασυνέχειες και µε άλλο τρόπο αν είναι π.χ. C (1) και αυτό ακριβώς έρχονται να εκφράσουν οι διαφορετικές έννοιες σύγκλισης. Οι τρεις αυτές έννοιες Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

12 Κεφάλαιο 6. Σειρές Fourier διαφέρουν απλώς στο πως ορίζουµε την έννοια του ορίου για τα µερικά αθροίσµατα N f n (x) όταν N. Ας δούµε λοιπόν τους αντίστοιχους ορισµούς. Ορισµός 6.3.1 (Σηµειακή Σύγκλιση). Λέµε ότι η σειρά f n (x) συγκλίνει στη συνάρτηση f(x) σηµειακά στο διάστηµα (a, b) αν N f(x) f n (x) όταν N, x (a, b) (6.3.1) δηλαδή αν η σειρά συγκλίνει στην f(x) για κάθε x στο διάστηµα (a, b). Παρατηρείστε ότι το διάστηµα στο οποίο ορίζεται η σύγκλιση είναι ανοικτό, δηλαδή δεν περιλαµβάνονται τα άκρα του. Αυτός είναι συνήθως και ο τρόπος µε τον οποίο ορίζεται η σύγκλιση σε µαθήµατα εισαγωγικά στις άπειρες σειρές. Ορισµός 6.3.2 (Οµοιόµορφη Σύγκλιση). Λέµε ότι η σειρά f n (x) συγκλίνει στη συνάρτηση f(x) οµοιόµορφα στο διάστηµα [a, b] αν max a x b N f(x) f n (x) όταν N (6.3.2) πλέον, απαιτούµε να τείνει στο µηδέν η µέγιστη διαφορά πάνω σε όλα τα x για x [a, b], µεταξύ των µερικών αθροισµάτων και της συνάρτησης. Παρατηρείστε ότι το διάστηµα στο οποίο ορίζεται η σύγκλιση είναι κλειστό, δηλαδή περιλαµβάνονται και τα άκρα του. Το πιο χρήσιµο ίσως κριτήριο για να εξασφαλιστεί η οµοιόµορφη σύγκλιση µίας σειράς είναι το Weierstrass M-κριτήριο: Αν υπάρχει µία ακολουθία M n ϑετικών σταθερών τέτοιες ώστε f n M n, και M n < (6.3.3) N τότε η σειρά f n (x) συγκλίνει οµοιόµορφα. Εδώ ϐέβαια πρέπει να προσθέσουµε ότι το Weierstrass M-κριτήριο εξασφαλίζει εκτός από την οµοιόµορφη σύγκλιση και την απόλυτη σύγκλιση της σειράς. Ορισµός 6.3.3 ( 2 ή Τετραγωνική Σύγκλιση). Λέµε ότι η σειρά f n (x) συγκλίνει στη συνάρτηση f(x) κατά 2 ή Τετραγωνικά στο διάστηµα (a, b) αν b a N f(x) f n (x) 2 dx όταν N (6.3.4) Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

6.3. Θεωρήµατα Σύγκλισης. 13 Η οµοιόµορφη σύγκλιση είναι η έννοια σύγκλισης µε τις αυστηρότερες απαιτήσεις. Γενικά όταν το διάστηµα ορισµού είναι ϕραγµένο, Οµοιόµορφη Σύγκλιση Σηµειακή Σύγκλιση, Οµοιόµορφη Σύγκλιση 2 Σύγκλιση, αλλά Σηµειακή Σύγκλιση Οµοιόµορφη Σύγκλιση 2 Σύγκλιση Οµοιόµορφη Σύγκλιση Σηµειώνουµε για λόγους πληρότητας, ότι η οµοιόµορφη σύγκλιση συνεπάγεται πάντοτε σηµειακή σύγκλιση χωρίς τον περιορισµό του ϕραγµένου διαστήµατος. Οπως ϑα δούµε η οµοιόµορφη σύγκλιση είναι η έννοια σύγκλισης µε τις πιο συµφέρουσες ιδιότητες. Μας επιτρέπει, επί της ουσίας, να ϕερόµαστε στις άπειρες σειρές σαν να ήταν απλώς αθροίσµατα πεπερασµένων όρων χωρίς να µας απασχολεί σε κάθε ϐήµα το κατά πόσο η ενέργεια που κάνουµε έιναι καλά ορισµένη ή όχι. 6.3.2 Το Θεώρηµα Σύγκλισης. Για τις πλήρεις σειρές Fourier ϑα διατυπώσουµε απλώς το ϐασικό ϑεώρηµα σύγκλισης και µόνο κατά τη µελέτη των σειρών Fourier σε κλειστά διαστήµατα όπου επικεντρώνεται επί της ουσίας το ενδιαφέρον µας, ϑα διατυπώσουµε σειρά ϑεωρηµάτων που καλύπτουν περισσότερες περιτπώσεις. Οι συναρτήσεις µε τις οποίες ϑα δουλέψουµε ανήκουν στις οικογένειες των κατά τµήµατα συνεχών και των κατά τµήµατα λείων και έτσι προχωράµε στους αντίστοιχους ορισµούς. Ορισµός 6.3.4 (Κατά Τµήµατα Συνεχείς Συναρτήσεις). Εστω η συνάρτηση f(x) ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [a, b] µε < a < b <. Λέµε ότι η f(x) είναι κατά τµήµατα συνεχής σε αυτό το διάστηµα αν 1. Η f είναι συνεχής στο [a, b] εκτός ίσως από περασµένα το πλήθος m σηµεία x 1, x 2,..., x m. 2. Σε κάθε ένα από αυτά τα σηµεία, x 1, x 2,..., x m, υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όρια της f: f(x i ) = lim h f(x i h) ± και f(x i +) = lim h f(x i + h) ± µε h >. Ενώ αν κάποιο από τα σηµεία ασυνέχειας είναι το a ή το b ϑεωρούµε ότι υπάρχει το κατάλληλο κάθε ϕορά πλευρικό όριο. Τις κατά τµήµατα συνεχείς συναρτήσεις στο [a, b] τις συµβολίζουµε µε P C(a, b). Αν η συνάρτηση είναι ορισµένη στο R, λέµε είναι ότι είναι κατά τµηµατα συνεχής σε όλο το R αν έχει αυτή την ιδιότητα σε κάθε ϕραγµένο υποσύνολο [a, b] του R. Για να δώσουµε τον ορισµό της κατά τµήµατα λείας συνάρτησης απλώς απαιτούµε η συνάρτηση και η πρώτη της παράγωγος να είναι κατά τµήµατα συνεχείς. Ετσι έχουµε Ορισµός 6.3.5 (Κατά Τµήµατα Λείες Συναρτήσεις). Εστω η συνάρτηση f(x) ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [a, b] µε < a < b <. Λέµε ότι η f(x) είναι κατά τµήµατα λεία σε αυτό το διάστηµα αν η f και η πρώτη της παράγωγος, f (x) είναι κατά τµήµατα συνεχείς στο [a, b]. ηλ, αν και µόνο αν 1. f P C(a, b) 2. Υπάρχει η f και είναι συνεχής στο διάστηµα (a, b) εκτός από πεπερασµένα ίσως σηµεία (στα οποία ανήκουν και τα σηµεία ασυνέχειας της f) στα οποία όµως υπάρχουν τα πλευρικά όρια (που είναι διάφορα των ± ) της f. Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

14 Κεφάλαιο 6. Σειρές Fourier Τις κατά τµήµατα λείες συναρτήσεις στο [a, b] τις συµβολίζουµε µε P S(a, b). Αν η συνάρτηση είναι ορισµένη στο R, λέµε είναι ότι είναι κατά τµήµατα λεία σε όλο το R αν έχει αυτή την ιδιότητα σε κάθε ϕραγµένο υποσύνολο [a, b] του R. Το γράφηµα µίας κατά τµήµατα λείας συνάρτησης έχει πεπερασµένο πλήθος, πεπερασµένων ασυνεχειών (αλµάτων) (σηµεία στα οποία είναι ασυνεχής η f) και πεπερασµένο πλήθος γωνιών (σηµεία στα οποία είναι ασυνεχής η f ). Το Θεώρηµα. Είµαστε έτοιµοι να διατυπώσουµε το σχετικό ϑεώρηµα δίνοντας για διευκόλυνση ένα τελευταίο συµβολισµό. Συµβολίζουµε τα µερικά αθροίσµατα της σειράς Fourier συνάρτησης f ως εξής : S f N (x) = A + N [ ] A n cos x + B n sin x (6.3.5) Θεώρηµα 6.3.6 (Θεώρηµα Σύγκλισης Πλήρους Σειράς Fourier). Αν η συνάρτηση f είναι 2 περιοδική και κατά τµήµατα λεία στο R τότε για τα µερικά αθροίσµατα S f (x) που ορίζονται από την εξίσωση (6.3.5) ισχύει N lim N Sf (x) = 1 [f(x ) + f(x+)] N 2 για κάθε x. Με f(x ) και f(x+) εννοούµε τα αντίστοιχα πλευρικά όρια και είναι προφανές ότι στα σηµεία στα οποία η f είναι συνεχής. lim N Sf (x) = f(x) N Απόδειξη. Προσωρινά παραλείπεται, αλλά δείτε όµως την εφαρµογή (6.1) που αναφέρετε στη λογική της απόδειξης του ϑεωρήµατος. Οι συνθήκες του παραπάνω ϑεωρήµατος εξασφαλίζουν ότι η σειρά Fourier συγκλίνει σηµειακά στη συνάρτηση f. Εφαρµογή 6.1 (Μερικά Αθροίσµατα και ο Πυρήνας Dirichlet). Μπορεί να δειχθεί ότι τα µερικά αθροίσµατα S f (x) δίνονται από την έκφραση N S f (x) = 1 N 2 [ 1 + 2 N [ cos x cos y + sin x sin y ] ] f(y)dy (6.3.6) αν αντικαταστήσουµε τους τύπους (6.1.7), (6.1.8), και (6.1.9) για τους συντελεστές Fourier. Από τον τύπο (9.1.4) του παραρτήµατος (κεφάλαιο-9) για τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις αναγνωρίζουµε ότι x y x y [ nπ ] cos cos + sin sin = cos (x y) οπότε µπορούµε να γράψουµε S f (x) = 1 N 2 K N (x y)f(y)dy (6.3.7) Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

6.3. Θεωρήµατα Σύγκλισης. 15 όπου η συνάρτηση K N (x) = 1 + 2 N cos x (6.3.8) είναι γνωστή ως πυρήνας του Dirichlet. Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση K N είναι άρτια και ότι επίσης είναι περιοδική µε περίοδο 2. Μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι 1 2 K N (x)dx = 1 + + +... + = 1 (6.3.9) Μία πολύ σηµαντική ιδιότητα της K N είναι ότι το άθροισµα µπορεί να δοθεί σε κλειστή µορφή και µάλιστα µπορεί να δειχθεί ότι K N (x) = sin [ (N + 1 2 ) π x] sin ( 1 π (6.3.1) x) Μπορούµε να ϑέσουµε z = y x και τότε χρησιµοποιώντας την αρτιότητα της K n και την ανεξαρτησία ενός ολοκληρώµατος περιοδικής συνάρτησης από τα άκρα του αρκεί το διάστηµα ολοκλήρωσης να είναι ίσο µε την περίοδο, καταλήγουµε στη σχέση Ετσι, µε S f 1 (x) f(x) = N 2 S f (x) = 1 N 2 2 K N (z) [f(x + z) f(x)] dz = 1 2 K N (z)f(x + z)dz (6.3.11) g(z) sin [ (N + 12 ) π ] x dz (6.3.12) f(x + z) f(x) g(z) = sin ( 1 π (6.3.13) x) Στην περίπτωση που η συνάρτηση f(x) είναι λεία αρκεί να δειχθεί πως το ολοκλήρωµα (6.3.12) τείνει στο µηδέν για N. Για κατά τµήµατα λείες συναρτήσεις πρέπει να γίνουν οι κατάλληλες προσαρµογές στα σηµεία πεπερασµένης ασυνέχειας, αλλά η λογική παραµένει ίδια. Σε σχέση µε τα παραδείγµατα που παρουσιάσαµε πιο πριν, για τη συνάρτηση του παραδείγµατος (6.1) η οποία είναι κατά τµήµατα λεία και παντού συνεχής η σειρά Fourier αυτής συγκλίνει στην ίδια σε κάθε σηµείο. Οµως, για τη συνάρτηση του παραδείγµατος (6.2) η οποία είναι κατά τµήµατα λεία και κατά τµήµατα συνεχής διότι παρουσιάζει ασυνέχειες στα σηµεία x = kπ µε k περιττό, τα πλευρικά όρια σε αυτά τα σηµεία είναι f(kπ ) = π και f(kπ+) = π άρα, 1 2 [f(kπ ) + f(kπ+)] = π π =. Είναι ευκολο να δει κανείς ότι όντως η σχετική σειρά Fourier στα σηµεία x = kπ δίνει ως τιµή το µηδέν. Σε όλα τα υπόλοιπα σηµεία η σειρά Fourier δίνει την f. Αν επαναορίσουµε µία κατά τµήµατα λεία και 2-περιοδική συνάρτηση να είναι ίση µε µε τη µέση τιµή των δεξιών και αριστερών ορίων της στα σηµεία ασυνέχειας της, τότε µπορούµε να πούµε ότι η σερά Fourier αυτής, συγκλίνει στην ίδια παντού. Με αυτό υπόψη µας µπορούµε να διατυπώσουµε το παρακάτω ϑεώρηµα µοναδικότητας 2 Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

16 Κεφάλαιο 6. Σειρές Fourier Πόρισµα 6.3.7 (Μοναδικότητα Σειράς Fourier): Αν δύο συναρτήσεις f και g οι οποίες είναι κατά τµήµατα λείες και 2-περιοδικές έχουν τους ίδιους συντελεστές Fourier τότε f = g. Απόδειξη. Τόσο η f όσο και η g είναι και οι δύο ίσες µε το άθροισµα της ίδιας σειράς Fourier. 6.3.3 Παράγωγοι και Ολοκληρώµατα Σειρών Fourier. Η σειρά Fourier είναι άπειρη σειρά και είναι γνωστό από τη σχετική ϑεωρία ότι για µία άπειρη σειρά a n v n (x), a n σταθερές, ισχύει γενικά ότι ( ) d dv a dx n v n (x) a n (x) n dx και µάλιστα η σειρά που προκύπτει από την όρο προς όρο παραγώγιση της αρχικής σειράς (δηλαδή το δεξί µέλος της πιο πάνω σχέσης) µπορεί να µη συγκλίνει ακόµη και για συγκλίνουσες αρχικές σειρές ακόµη και σε περιπτώσεις όπου η σύγκλιση της αρχικής άπειρης σειράς είναι οµοιόµορφη. Με άλλα λόγια η σειρά για την f (x) δεν προκύπτει απαραίτητα από την όρο προς όρο παραγώγιση της άπειρης σειράς της f(x). Το ίδιο ισχύει και για τις συγκλίνουσες σειρές Fourier. Γενικά, όµως, στις σειρές Fourier η οµοιόµορφη σύγκλιση της αρχικής σειράς είναι αρκετή για να εξασφαλίσει και την ισχύ της όρο προς όρο παραγώγισης. 6.3.3.i Παράγωγος Σειράς Fourier. Σε αυτή την ενότητα µας απασχολούν περιοδικές συναρτήσεις οι οποίες είναι συνεχείς (προσέξτε, συνεχείς και όχι απλώς κατά τµήµατα συνεχείς!) και κατά τµήµατα λείες. ηλαδή, το γράφηµα τους είναι µία λεία καπύλη εκτός από κάποια σηµεία που παρουσιάζει γωνίες στις οποίες παρουσιάζει ασυνέχεια η παράγωγος. Θα ξεκινήσουµε υποθέτοντας ότι τόσο η f όσο και η παράγωγος της, f, έχουν αναπτυχθεί σε σειρά Fourier και ϑα δώσουµε τη σχέση µεταξύ των συντελεστών των δύο αυτών σειρών. Θεώρηµα 6.3.8 (Συντελεστές Σειράς Fourier Παραγώγου Συνάρτησης). Εστω συνάρτηση f συνεχής, κατά τµήµατα λεία και 2-περιοδική. Εστω A n και B n οι συντελεστές Fourier αυτής. Υποθέστε ότι οι συντελεστές Fourier της παραγώγου της, f, είναι οι A n και B n. Τότε, A n = nπ B n, B n = nπ A n Απόδειξη. Ας ϑεωρήσουµε για παράδειγµα το συντελεστή του συνηµιτονικού µέρους της παραγώγου f και ας εφαρµόσουµε ολοκλήρωση κατά παράγοντες. A n = 1 f (x) cos( nπ x)dx = 1 f(x) cos(nπ x) = ( nπ ) 1 1 f(x) sin( nπ x)dx = nπ B n f(x)( nπ ) sin(nπ x)dx Εφόσον, λόγω συνέχειας f() = f() και cos(nπ) = cos( nπ) = ( 1) n. Με εντελώς αντίστοιχο τρόπο αποδεικνύεται και ο άλλος τύπος. Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

6.3. Θεωρήµατα Σύγκλισης. 17 Η απόδειξη αυτή στηρίζεται στο ότι το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα του απειροστικού λογισµού ισχύει για συναρτήσεις που είναι συνεχείς και κατά τµήµατα λείες παρόλο που στις γωνίες µπορεί να µην ορίζεται η παράγωγος τους. Τώρα µπορούµε να δώσουµε το ϐασικό ϑεώρηµα σύγκλισης Θεώρηµα 6.3.9 (Παραγώγιση Σειράς Fourier). Εστω, συνάρτηση f συνεχής, κατά τµήµατα λεία και 2-περιοδική. Υποθέστε ότι η f είναι κατά τµήµατα λεία. Αν, A + [ ] A n cos x + B n sin x είναι η σειρά της f, τότε η f δίνεται από την σειρά που προκύπτει από την όρο προς όρο παραγώγιση της σειράς της f, δηλαδή από την [ ( nπ )B n cos x ( nπ ] )A n sin x Απόδειξη. Εφόσον η παράγωγος f είναι κατά τµήµατα λεία τότε δίνεται σε κάθε σηµείο από τη δική της σειρά Fourier σύµφωνα µε το ϑεώρηµα (6.3.6) (µε την κατάλληλη προσαρµογή πάντα στα σηµεία ασυνέχειας). Εποµένως, οι συντελεστές της δίνονται από τους τύπους του προηγούµενου ϑεωρήµατος. Ετσι προκύπτει η παραπάνω σειρά. Σε συνδυασµό µε το ϑεώρηµα σύγκλισης (6.3.6) µπορούµε να διατυπώσουµε το εξής αποτέλεσµα για την παραγώγιση σειράς Fourier. Συµπέρασµα 6.3.1 (Συνέχεια Σειράς Fourier και Παραγώγιση). Μία σειρά Fourier η οποία είναι συνεχής µπορεί να παραγωγιστεί όρο προς όρο αν η f (x) είναι κατά τµήµατα συνεχής. Παραδείγµατα για το ότι δεν είναι πάντα δυνατόν να παραγωγίσουµε όρο προς όρο τη σειρά Fourier αλλά και πιο αναλυτική µελέτη ϑα δώσουµε στην ενότητα (6.4.4). Οµοιόµορφη Σύγκλιση. Οι συνθήκες που απαιτούνται για το ϑεώρηµα (6.3.9) είναι τέτοιες, ώστε µπορεί να δειχθεί ότι η σύγκλιση της f δεν είναι απλώς σηµειακή αλλά απόλυτη και οµοιόµορφη. Εφαρµόζοντας, το weierstrass Μ-κριτήριο (6.3.3) στις σειρές Fourier µπορούµε να δούµε ότι δύο προφανείς ανισότητες είναι οι ( nπ ( A n cos x nπ An και B n sin x Bn (δηλαδή, οι αριθµοί M n του κριτηρίου ταυτίζονται, ανάλογα µε το αν αναφερόµαστε στη σειρά συνη- µιτόνων ή στη σειρά ηµιτόνων µε τους αντίστοιχους συντελεστές A n και B n ) άρα, το κριτήριο αυτό ϑα ισχύει αν A n < και n= B n < δηλαδή, αν συγκλίνουν απόλυτα οι σειρές των συντελεστών Fourier της πλήρους σειράς. Αυτές οι απαιτήσεις ισχύουν για µία συνάρτηση που ικανοποιεί τις συνθήκες του ϑεωρήµατος (6.3.9), που είναι Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

18 Κεφάλαιο 6. Σειρές Fourier δηλαδή 2-περιοδική, συνεχής και κατά τµήµατα λεία, άρα η σειρά Fourier µίας τέτοιας συνάρτησης συγκλίνει απόλυτα και οµοιόµορφα στην ίδια. Η παραπάνω συζήτηση µπορεί να ϕαίνεται καθαρά γενική και χωρίς άµεσο πρακτικό ενδιαφέρον. Οµως αυτή δεν είναι η πραγµατικότητα! Θα δούµε αµέσως πως από το πόσο γρήγορα τείνουν στο µηδέν οι συντελεστές Fourier µίας συνάρτησης µπορούµε να καταλάβουµε αν αυτή έχει πολλές πα- ϱαγώγους ή όχι. Είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι κάθε ϕορά που παραγωγίζουµε, το µέγεθος των συντελεστών Fourier αυξάνει κατά ένα παράγοντα n. Αυτό σηµαίνει ότι η σειρά που προκύπτει από την όρο προς όρο παραγώγιση µίας σειράς συγκλίνει πιο αργά από ότι η αρχική σειρά. Για την ακρίβεια µπορεί να αποδειχθεί ϑεώρηµα που λέει ότι αν µία συνάρτηση f είναι τάξης C (k 1) και η παράγωγος f (k 1) είναι κατά τµήµατα λεία τότε οι συντελεστές Fourier της f ικανοποιούν n k A n 2 < και n k B n 2 (6.3.14) και συγκεκριµένα, n k A n και n k B n, για n Από την άλλη αν οι συντελεστές Fourier µίας συνάρτησης f, ικανοποιούν τις σχέσεις µε C > και α > 1, τότε η f είναι κλάσης C (k). A n Cn (k+α) και B n Cn (k+α) (6.3.15) Συµπέρασµα (Συντελεστές Fourier και Τάξη Παραγώγισης): Μπορούµε, λοιπόν, να πούµε ότι όσο περισσότερες παραγώγους έχει µία συνάρτηση τόσο πιο γρήγορα τείνουν στο µηδέν οι συντελεστές της σειράς Fourier αυτής της συνάρτησης. Συγκεκριµένα, η f έχει παραγώγους όλων των τάξεων ακριβώς όταν οι συντελεστές Fourier αυτής τείνουν στο µηδέν γρηγορότερα από οποιαδήποτε δύναµη του n. Μελετώντας τους συντελεστές Fourier των δύο παραδειγµάτων που δώσαµε στην αρχή ϐλέπουµε ότι η συνάρτηση f(x) = x η οποία είναι κατά τµήµατα λεία αλλά όχι συνεχής έχει συντελεστές Fourier οι οποίοι είναι τάξης n 1, ενώ οι συντελεστές Fourier της f(x) = x η οποία είναι συνεχής και κατά τµήµατα λεία, µε µία κατά τµήµατα λεία παράγωγο έχει συντελεστές Fourier τάξεως n 2. 6.3.3.ii Ολοκλήρωµα Σειράς Fourier. Το ϐασικό πρόβληµα µε το ολοκλήρωµα µίας σειράς Fourier είναι ότι το ολοκλήρωµα µίας περιοδικής συνάρτησης δεν είναι πάντα περιοδική συνάρτηση. Για παράδειγµα, η συνάρτηση f(x) = 1 είναι περιοδική, ενώ το ολοκλήρωµα της, η F (x) = x δεν είναι περιοδική συνάρτηση. Παρατηρούµε ότι αν ολοκληρώσουµε όρο προς όρο µία σειρά Fourier τότε ο µόνος όρος που δεν δίνει περιοδικό αποτέλεσµα είναι ο σταθερός όρος A. Με αυτή τη διαπίστωση υπόψη µας, διατυπώνουµε το ϑεώρηµα Θεώρηµα 6.3.11 (Ολοκλήρωση Σειράς Fourier). Εστω συνάρτηση f κατά τµήµατα συνεχής και 2-περιοδική µε συντελεστές Fourier τους A n και B n. x Επίσης, έστω η συνάρτηση F (x) = f(z)dz. Αν, A = τότε ισχύει ότι η F (x) είναι περιοδική µε σειρά Fourier που προκύπτει από την όρο προς όρο ολοκλήρωση της σειράς Fourier της f(x). F (x) = C + [ ( nπ )A n sin x ( ] nπ )B n cos x (6.3.16) Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

6.4. Σειρές Fourier σε ιαστήµατα. 19 όπου ο σταθερός όρος C είναι προφανώς η µέση τιµή της F στο [, ]. C = 1 2 F (x)dx (6.3.17) Αν τώρα, ισχύει ότι A τότε η έκφραση (6.3.16) δίνει απλώς το ανάπτυγµα της F (x) A x. Απόδειξη. Η F είναι το ολοκλήρωµα µίας κατά τµήµατα συνεχούς συνάρτησης, άρα ως τέτοια είναι συνεχής και κατά τµήµατα λεία. Επίσης, αν A =, τότε η F είναι 2-περιοδική διότι, F (x + 2) F (x) = x+2 f(x)dx = f(x)dx = 2A = x άρα, ικανοποιούνται όλες οι συνθήκες του ϑεωρήµατος (6.3.6) και εποµένως η F (x) είναι ίση µε το άθροισµα της δικής της σειράς Fourier για κάθε x. Τώρα, είναι απλή εφαρµογή του ϑεωρήµατος (6.3.8) για να σχετίσουµε τους συντελεστές της F µε αυτούς της f και έτσι να ϕτάσουµε στο αποτέλεσµα του ϑεωρήµατος. Μία παρατήρηση που έχουµε να κάνουµε είναι ότι στο ϑεώρηµα που µόλις διατυπώσαµε δεν µας απασχολεί το αν η σειρά Fourier της f συγκλίνει. Το ϐασικό ερώτηµα είναι υπό ποιες προϋποθέσεις συγκλίνει η σειρά του ολοκληρώµατος της. Από την εισαγωγή στον διαφορικό και απειροστικό λογισµό είναι γνωστό ότι οι προυποθέσεις για να είναι µία συνάρτηση ολοκληρώσιµη είναι λιγότερες από τις προυποθέσεις για να είναι διαφορισίµη. Ετσι, για την ολοκληρωσιµότητα η συνέχεια ή η κατά τµήµατα συνέχεια είναι αρκετή. Αυτό ακριβώς αντικατοπτρίζεται και στις συνθήκες του ϑεωρήµατος. Πληροφοριακά αναφέρουµε ότι η σειρά Fourier µίας συνάρτησης f η οποία είναι κατά τµήµατα συνεχής αλλά πουθενά διαφορίσιµη µπορεί να έχει σειρά Fourier που συγκλίνει στην f, όχι σηµειακά, αλλά κατά 2. Κλέινουµε την ενότητα αυτή µε ένα πινακάκι το οποίο χονδροειδώς περιγράφει τη συµπεριφορά των σειρών Fourier σε σχέση µε τον τρόπο σύγκλισης τους. f(x) λεία Η Σ.F. συγκλίνει οµοιόµορφα στην f(x), x f(x) συνεχής µε γωνίες Η Σ.F. συγκλίνει σηµειακά στην f(x), x f(x) µε πεπερασµένες αυνέχειες Η Σ.F. συγκλίνει σηµειακά στην 1 [f(x+) + f(x )], x 2 όπου µε το συµβολισµό Σ.F. εννοούµε Σειρά Fourier. 6.4 Σειρές Fourier σε ιαστήµατα. Τώρα είµαστε έτοιµοι να δούµε τι µπορούµε να πούµε για το τι εκφράζουν οι σειρές Fourier αν περιορίσουµε τη µεταβλητή x σε κάποιο διάστηµα, όπως συµβαίνει µε την περίπτωση των προβληµάτων που αντιµετωπίσαµε κατά την επίλυση των Μ Ε µε τη ΜΧΜ στο κεφάλαιο (5). Θα δούµε πως οι σειρές Fourier µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να δώσουν αναπτύγµατα συναρτήσεων, ορισµένων σε πεπερασµένα διαστήµατα, ως προς τριγωνοµετρικές συναρτήσεις σε αυτά τα διαστήµατα. Σε ότι ακολουθεί ϑα ϑεωρήσουµε δύο ϐασικές οικογένειες πεπερασµένων διαστηµάτων : το διάστηµα (, ) και το διάστηµα (, ] για να είµαστε σε συµφωνία µε τα αντίστοιχα διαστήµατα των προβληµάτων που επιλύσαµε στο κεφάλαιο (5). Ο τρόπος που έχουµε να υπολογίσουµε σειρές Fourier συναρτήσεων ορισµένων σε πεπερασµένα διαστήµατα είναι ο εξής : Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

11 Κεφάλαιο 6. Σειρές Fourier Βασική Τεχνική : Επεκτείνουµε τη συνάρτηση µε κατάλληλο τρόπο σε περιοδική συνάρτηση σε όλο το R, τη σειρά Fourier της οποίας γνωρίζουµε να κατασκευάζουµε. Μετά, περιορίζουµε απλώς τη µεταβλητή στο αρχικό πεπερασµένο διάστηµα για να πάρουµε το ανάπτυγµα της αρχικής συνάρτησης. 6.4.1 Περιοδικές Επεκτάσεις Συναρτήσεων. Μία συνάρτηση ορισµένη σε ένα πεπερασµένο διάστηµα µπορούµε να την επεκτείνουµε έτσι ώστε να ορίζεται σε όλο το R. Η επέκταση πραγµατοποιείται δίνοντας τιµές (µε τρόπο που επιλέγουµε εµείς) στη συνάρτηση εκτός του αρχικού διαστήµατος ορισµού της. Καταλαβαίνει κανείς πως µπορούµε µε άπειρους σχεδόν τρόπους να επεκτείνουµε µία συνάρτηση. Από όλους όµως αυτούς τους τρόπους η περιοδική επέκταση, η άρτια επεκταση και η περιττή επέκταση µαζί µε κατάλληλους συνδυασµούς τους είναι οι καταλληλότεροι και πιο χρήσιµοι τρόποι να επεκτείνει κανείς µία συνάρτηση όταν έχει να κάνει µε τις σειρές Fourier. Περιοδική Επέκταση. Μία από τις πιο σηµαντικές ιδιότητες συναρτήσεων σε σχέση µε την περιοδικότητα, είναι ότι κάθε συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα µήκους d, µπορεί να επεκταθεί µε µοναδικό τρόπο σε µία περιοδική συνάρτηση µε περίοδο d, δηλαδή να ορίζεται πλέον για < x <. Συνηθίζεται να ϑεωρούµε ότι η αρχική συνάρτηση είναι ορισµένη σε ένα ηµιανοικτό διάστηµα. Για παράδειγµα, αν έχουµε να κάνουµε µε µία συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα < x τότε το σχετικό διάστηµα έχει µήκος 2 και η επέκταση ορίζεται ως εξής : f ext (x) = f(x + 2m) για + 2m < x + + 2m και για κάθε ακέραιο m. Την f ext (x) ονοµάζουµε περιοδική επέκταση της f(x). Με απλά λόγια, αν ϑελουµε να σχεδιάσουµε την περιοδική επέκταση µίας συνάρτησης ορισµένης στο διάστηµα < x σχεδιάζουµε το γράφηµά της για < x κα µετά απλώς επαναλαµβάνουµε το ίδιο µοτίβο µε περίοδο 2 µετατοπίζοντας απλώς το γράφηµα για < x. Με αυτόν τον ορισµό ϐλέπουµε ότι το σηµείο, για παράδειγµα, πηγαίνει στο σηµείο για m = 1. Ετσι, η περιοδική επέκταση σε αυτό το σηµείο ϑα πρέπει να λάβει υπόψη της και την τιµή της f() και την τιµή της f(). Καταλαβαίνουµε, εποµένως, για ποιο λόγο ορίσαµε την αρχική συνάρτηση στο ηµιανοικτό διάστηµα (, ], διότι αλλιώς ϑα είχαµε πρόβληµα να ορίσουµε την περιοδική επέκταση, να είναι συνάρτηση, αν το αρχικό διάστηµα ήταν κλειστό, δηλαδή το [, ], και ίσχυε ότι f() f(). Αυτό, διότι είναι γνωστό ότι µία συνάρτηση δεν µπορεί να παίρνει διαφορετικές τιµές για την ίδια τιµή της µεταβλητής. Κλείνουµε τονίζοντας ότι η αρχική συνάρτηση και η περιοδική επέκταση ταυτίζονται για x (, ]. Αρτιες και Περιττές Επεκτάσεις. Το ϐασικό ερώτηµα εδώ είναι το εξής : έχουµε µία συνάρτηση η οποία ορίζεται στο διάστηµα (, ) και ϑέλουµε να ϐρούµε τρόπο να την επεκτείνουµε σε µία 2-περιοδική συνάρτηση σε όλο το R. Από την συζήτηση περί περιοδικών επεκτάσεων είναι προφανές ότι αρκεί να ϐρούµε ένα τρόπο να την επεκτείνουµε καταρχάς στο διάστηµα (, ], διότι από εκεί και µετά ξέρουµε τι πρέπει να κάνουµε. Υπάρχουν µυριάδες τρόποι µε τους οποίους µπορούµε να πραγµατοποιήσουµε µία τέτοια επέκταση. Οµως, σε σχέση µε τις σειρές Fourier οι πιο χρήσιµες επεκτάσεις είναι δύο. Η άρτια επέκταση και η περιττή επέκταση. Μία συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα [, ] µπορούµε να την επεκτείνουµε µε µοναδικό τρόπο έτσι ώστε να γίνει άρτια ή περιττή στο διάστηµα [, ]. Εκδοση : 7 Ιουνίου 214

6.4. Σειρές Fourier σε ιαστήµατα. 111 Αρτια Επέκταση. Αν η f(x) ορίζεται στο διάστηµα [, ] τότε µπορούµε να την επεκτείνουµε έτσι ώστε να γίνει άρτια στο διάστηµα [, ] µε τον εξής µοναδικό τρόπο : { f(x), x f evex = f( x), x (6.4.1) Την f evex ονοµάζουµε Αρτια Επέκταση της f(x). Για να σχεδιάσουµε την άρτια επέκταση µίας συνάρτησης χρειάζεται να σχεδιάσουµε τη συµµετρική της αρχικής µας συνάρτησης ως προς τον άξονα των y. Προσοχή στο ότι η άρτια επέκταση είναι η συνάρτηση που περιλαµβάνει και τους δύο κλάδους µαζί. Προφανώς, για x [, ] η άρτια επέκταση και η αρχική συνάρτηση ταυτίζονται. Περιττή Επέκταση. Αν η f(x) ορίζεται στο διάστηµα (, ] τότε µπορούµε να την επεκτείνουµε µε µοναδικό τρόπο έτσι ώστε να γίνει περιττή στο διάστηµα (, ). Πράγµατι µπορούµε να ορίσουµε την εξής περιττή συνάρτηση, f(x), < x f oddex = f( x), x <, x =. (6.4.2) την οποία ονοµάζουµε Περιττή Επέκταση της f(x). Τον ορισµό µπορούµε να προσαρµόσουµε ανάλογα ώστε να περιλλαµβάνει και την περίπτωση πεπερασµένης ασυνέχειας στο x =. Για να σχεδιάσουµε την περιττή επέκταση µίας συνάρτησης είτε σχεδιάζουµε τη συµµετρική της συνάρτηση ως προς τον άξονα των y και κατόπιν παίρνουµε την συµµετρική της δεύτερης ως προς τον άξονα των x, είτε περιστρέφουµε το γράφηµα της συνάρτησης κατά 18. Προσοχή πάλι, η περιττή επέκταση είναι η συνάρτηση της οποίας το γράφηµα αποτελείται και από τα δύο γραφήµατα µαζί. Προφανώς, για x [, ] η περιττή επέκταση και η αρχική συνάρτηση ταυτίζονται. Για να ολοκληρώσουµε την διαδικασία επέκτασης ορίζουµε την Περιττή Περιοδική Επέκταση και την Άρτια Περιοδική Επέκταση. Περιττή Περιοδική Επέκταση : Ονοµάζουµε την Περιοδική Επέκταση της Περιττής Επέκτασης µίας συνάρτησης. Αν η συνάρτηση είναι ορισµένη στο (, ], τότε η Περιττή Επέκταση είναι ορισµένη στο διάστηµα (, ] και άρα η Περιττή Περιοδική Επέκταση έχει Περίοδο 2. Αρτια Περιοδική Επέκταση.: Ονοµάζουµε την Περιοδική Επέκταση της Άρτιας Επέκτασης µίας συνάρτησης. Αν η συνάρτηση είναι ορισµένη στο [, ], τότε η Άρτια Επέκταση είναι ορισµένη στο διάστηµα [, ] και άρα η Άρτια Περιοδική Επέκταση έχει Περίοδο 2. 6.4.2 Οι Σειρές Fourier των Περιοδικών Επεκτάσεων. Θα δώσουµε τώρα για κάθε µία από τις περιπτώσεις περιοδικών επεκτάσεων, δηλαδή την περιοδική επέκταση, την άρτια περιοδική επέκταση και την περιττή περιοδική επέκταση την ερµηνεία της αντίστοιχης σειράς Fourier ενώ µετά ϑα διατυπώσουµε το αντίστοιχο ϑεώρηµα σύγκλισης. 6.4.2.i Η σειρά Fourier της Περιοδικής Επέκτασης. Αν η αρχική συνάρτηση είναι ορισµένη στο διάστηµα (, ] τότε είναι εύκολο να καταλάβουµε ότι µπορούµε να αναπτύξουµε την περιοδική της επέκταση σε σειρά Fourier σε όλο το R και µετά να περιορίσουµε τη µεταβλητή x στο διάστηµα [, ] για να πάρουµε το ανάπτυγµα της αρχικής συνάρτησης. Εκδοση : 7 Ιουνίου 214