ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ MSc PROGRAM ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΙΙ Ι ΚΟΥΓΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΝΤΙΡΡΙΟ -4

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΤΑΞΗΣ 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΛΥΣΙ ΑΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 8 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΟ ΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΙΠΛΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ ΤΟ ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΑΠΕΙΡΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΣΕΙΡΕΣ ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ ΑΠΕΙΡΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 ΑΠΕΙΡΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 5 ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΝΟΥΣΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ΣΕΙΡΕΣ ΜΕ ΘΕΤΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΑΠΕΙΡΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΩΝ 5 ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR ΚΑΙ MACLAURIN 6 Η ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΣΕΙΡΑ 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 4 ΑΡΤΙΕΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΤΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 ΠΕΡΙΟ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 44 ΤΜΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 45 ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER 46 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER 47 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 48 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER 49 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ C 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 54 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΙΓΑ ΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 55 ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 56 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 57 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΙ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 58 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 59 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ορισµός: Μια συνάρτηση f, της οποίας το πεδίο ορισµού είναι ένα υποσύνολο D του R R και πεδίο τιµών της είναι ένα υποσύνολο του R R, ονοµάζεται συνάρτηση δυο (πραγµατικών) µεταβλητών ηλαδή έχουµε µια συνάρτηση: f : R R R Εάν f είναι µια συνάρτηση δυο µεταβλητών, τότε τα στοιχεία στο πεδίο, y πραγµατικών αριθµών ορισµού της είναι διατεταγµένα ζεύγη Οµοίως µπορούµε να ορίσουµε µια συνάρτηση f τριών (ή περισσοτέρων µεταβλητών), δηλαδή f : R R R R κλπ y 5 Παράδειγµα: Η συνάρτηση f (, y) = είναι δυο µεταβλητών µε πεδίο y ορισµού το σύνολο όλων των ζευγών (, y ) για τα οποία ισχύει y (αφού για να ορίζεται η f πρέπει η ποσότητα κάτω από τη ρίζα να είναι µεγαλύτερη από το ) Στην εικόνα πιο κάτω βλέπουµε το πεδίο ορισµού της f, καθώς και την,, απεικόνιση των σηµείων: (,5 ), ( ), Σχήµα 4

5 f y λέµε ότι έχει όριο το A, καθώς τα και y y αν για κάθε ε οσοδήποτε µικρό, υπάρχει ένα δ τέτοιο ώστε Ορισµός: Μια συνάρτηση (, ) για όλα τα (, y ) ισχύει: ( ) + ( ) y y δ, () τότε f (, y) A ε Εδώ η σχέση () ορίζει την περιοχή των σηµείων (, y ) εκτός του (, y ) που βρίσκονται εντός κύκλου ακτίνας δ και κέντρου το (, y ) Ορισµός: Μια συνάρτηση f (, y ) λέµε ότι είναι συνεχής στο σηµείο (, y ) αν ορίζεται και επί πλέον, lim f (, y) = f (, y ) y y ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έστω η συνάρτηση z f (, y) = των ανεξάρτητων µεταβλητών και y Αφού οι δυο αυτές µεταβλητές είναι ανεξάρτητες, µπορεί να γίνουν τα εξής: (i) Να κρατήσουµε την y σταθερά και να αφήσουµε την να µεταβάλλεται (ii) Να κρατήσουµε την σταθερά και να αφήσουµε την y να µεταβάλλεται (iii) Να αφήσουµε και τις δυο να µεταβάλλονται ταυτόχρονα Στις δυο πρώτες περιπτώσεις, η z είναι στην ουσία συνάρτηση µιας µεταβλητής και, µπορεί να παραγωγιστεί σύµφωνα µε τους γνωστούς κανόνες Στην πρώτη περίπτωση, όπου η µεταβάλλεται ενώ η y παραµένει σταθερά, η z είναι συνάρτηση της και η παράγωγός της ως προς που δίνεται από τη σχέση: z f ( + h, y) f (, y) f (, y) = = lim, () h h ονοµάζεται πρώτη µερική παράγωγος της z f (, y) = ως προς 5

6 Στη δεύτερη περίπτωση, όπου η y µεταβάλλεται ενώ η παραµένει σταθερά, η z είναι συνάρτηση της y και η παράγωγός της ως προς y που δίνεται από τη σχέση: z f (, y + h, ) f (, y) f y (, y) = = lim, () y h h ονοµάζεται πρώτη µερική παράγωγος της z f (, y) = ως προς y Στην τρίτη περίπτωση, όπου η και η y µεταβάλλονται και οι δυο ταυτόχρονα, εργαζόµαστε όπως και στην παραγώγιση µιας πεπλεγµένης συνάρτησης, εδώ της z Παραδείγµατα: α) Αν Επίσης να υπολογιστούν οι f (,4) και (,4) f, y = y + y, να υπολογιστούν οι f και f y f y Από τον πιο πάνω ορισµό της µερικής παραγώγου έχουµε: f ( y), = lim h ( +, ) (, ) f h y f y h f,4 = = 4 Τώρα = h + h y + + h y y + y lim h = lim h h y + hy + y + hy + h y y y ( y y hy) = lim + + h = y + y Επίσης f y ( y), = lim h (, + ) (, ) f y h f y h = y + h + y + h y + y lim h h 6

7 f,4 = 4 + = Και τέλος, y = y + yh + h + y + h y y lim h = lim y + h + = y + h Η παρά πάνω διαδικασία υπολογισµού της µερικής παραγώγου απλοποιείται αν παρατηρήσουµε, από τον ορισµό αυτής, ότι για τον υπολογισµό της f θεωρούµε τη µεταβλητή y σταθερά και παραγωγίζουµε ως προς Οµοίως, υπολογίζουµε την f y f, y y y y y Έτσι έχουµε: = + = + και f, y y y y = + = + h β) Αν z y (,) z y 9 y y 4y = + +, να υπολογιστούν οι z = + + Έχουµε ότι y 9 y y z z,, y = 9 y 8y + y z (,) και Τώρα η πιο πάνω µερική παράγωγος στο σηµείο (, ) είναι z (,) z = + + y Ακόµη, ( y ) 9 ( y) 4 Τέλος, στο σηµείο (, ) έχουµε: z y (,) = = = = 45 9 y 9 y 4 = + + γ) Αν z y + y + =, να υπολογιστεί η z, όταν =, y = και z = 7

8 Θεωρούµε τη z ως συνάρτηση των και y και στη συνέχεια την παραγωγίζουµε ως προς Έτσι έχουµε: z + = + y ( y ) ( + y) ( z ) z ( + y) + = ( + y) z ( + y) z + z z = ( + y) z και λύνοντας ως προς παίρνουµε: z ( + ) + ( + ) = z y z y z yz = z z + y z = z + y + y Τώρα στο δεδοµένο σηµείο =, y = και z =, έχουµε: z = = + (,,) ( ) r δ) Αν + u se ul( t ) = +, να υπολογιστεί η t u Θεωρούµε την t ως συνάρτηση των r, µέλη ως προς u έχουµε: s και u Παραγωγίζοντας και τα δυο r + u se = ul( t + ) u u r + u t t sue = u + l t + t + u r u sue + = u l t + + l t + u u u ( ) r + u t + sue l( t + ) t = u ut ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Αν z f (, y) =, τότε δεν είναι µόνον η z µια συνάρτηση των και y, αλλά και οι παράγωγοι f και f y είναι επίσης συναρτήσεις των και y Συνεπώς, 8

9 µπορούµε να παραγωγίσουµε τις παραγώγους αυτές και πάλι, ώστε να πάρουµε τη z = f, y δεύτερη µερική παράγωγο ή µερική παράγωγο δεύτερης τάξης της Συµβολικά έχουµε: f σηµαίνει f ή z σηµαίνει z yy f σηµαίνει ( y ) f ή y z y σηµαίνει z y y y f σηµαίνει f ή y y z σηµαίνει z y y f σηµαίνει ( y ) f ή z y σηµαίνει z y Για να υπολογίσουµε πχ τη δεύτερη παράγωγο f y f ως προς και µετά ως προς y, κλπ, πρώτα παραγωγίζουµε την Μπορούµε να επεκτείνουµε τη µερική παράγωγο πέραν της δεύτερης τάξης, για z παράδειγµα η f y ή είναι µια τρίτης τάξης µερική παράγωγος της y z = f, y, η οποία προκύπτει αν την παραγωγίσουµε πρώτα ως προς, µετά ως προς y και τέλος ως προς ξανά Παραδείγµατα: α) Να υπολογιστούν όλες οι µερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης της: f, y = y + y Κατ' αρχάς f (, y) = y + y και f y, y y f (, y) = ( y + y ) = y + y = +, οπότε έχουµε: f y (, y) = ( y + y ) = + 4y, y f yy (, y) = ( + y) =, y, 9

10 f y (, y) = ( + y) = + 4y Στο παράδειγµα πιο πάνω παρατηρούµε ότι f (, y) f (, y) αυτή δεν είναι τυχαία, αλλά ισχύει για κάθε συνάρτηση f (, ) f (, y ) και (, ) y y y = Η ισότητα y y, για την οποία οι f y είναι συνεχείς συναρτήσεις Με άλλα λόγια η σειρά παραγώγισης δεν παίζει ρόλο σε αυτή την περίπτωση β) Να υπολογιστεί η w z y (,,) w = z z ( y z) ( y z) w = + + 4z για την ( y z) = w zdy = y ( y z) ( y z) ( y z) = w z yd = 7 = 44 Άρα w z y (,,) = 44 γ) Να βρεθεί η Η z z της z = y = y είναι µια πεπλεγµένη συνάρτηση των και y, οπότε έχουµε: = ( z ) ( y) z z y z = y = z, z Τώρα παραγωγίζουµε και τα δυο µέλη της πιο πάνω ως προς και έχουµε: z = yz z z = yz Αντικαθιστώντας την y z στη θέση της z παίρνουµε: z y y = yz, z = z 4z

11 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Για την f (, y) = y να υπολογιστούν οι (, ), (, ) f y f y Αν f (, y) = y + y 7 y, ποιες είναι οι (, ), (, ) y f y f y ; Να βρεθούν οι f (, y), f (, y), f (, y ) της (, ) y 4 y y yy f y = e + y 4 Για την f (, y, z) = y z να υπολογιστούν οι f (, y, z ) f z (,, ) f (, y, z ) y f, y = y + y 7 + 4, να δειχθεί ότι 5 Για τη συνάρτηση 4 4 y (, ) (, ) f y = f y y y z και 6 Αν w l( y ) = +, να δειχθεί ότι w w y + = 7 α) Αν z 4y z υπολογιστεί η y =, να υπολογιστεί η z β) Αν z + y =, να 5 Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΛΥΣΙ ΑΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ Έστω η συνάρτηση z f (, y) συναρτήσεις των r και s που δίνονται από τις = ( r, s) και y y ( r, s) =, όπου οι και y είναι και οι δυο = Αν οι f, και y έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους, τότε η z είναι συνάρτηση των r και s, και, οι µερικές παράγωγοί της ως προς αυτές είναι: z z z y = + r r y r και z z z y = + s s y s

12 Ο παραπάνω κανόνας µπορεί να επεκταθεί σε συναρτήσεις περισσοτέρων z = f u, w,, y και u, w, και y µεταβλητών Για παράδειγµα έστω ότι είναι συναρτήσεις των r, s και t Τότε z z u z w z z y = r u r w r r y r, z z u z w z z y = s u s w s s y s και z z u z w z z y = t u t w t t y t, µε την προϋπόθεση ότι οι f, u, w, και y έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους Αν z = f (, y), όπου = ( t) και y y ( t) =, τότε dz z d z dy = + dt dt y dt Εδώ χρησιµοποιούµε το συµβολισµό dz z και όχι τον, αφού η z µπορεί να dt t θεωρηθεί ως συνάρτηση µιας µεταβλητής, της t Το ίδιο συµβαίνει και µε τις d και dy y, στη θέση των και dt dt t t Παραδείγµατα: α) Αν w f y z y yz y z =,, = + 4, όπου = r s, w w y = 6r + s και z = r s να υπολογιστούν οι και r s Αφού οι, y και z είναι συναρτήσεις των r και s από τον κανόνα της αλυσίδας έχουµε: w w w y w z = + + r r y r z r

13 w = r ( 6y yz) ( z 8yz )( 6) ( y y z ) w = + y + z + yz z yz r ( 8 6 ) ( 4 6 ) w w w y w z = + + s s y s z s w = s ( 6y yz) ( z 8yz ) ( y y z ) w = y + z yz + z yz s ( 9 ) ( 8 ) y + e rt β) Αν z =, όπου = rs + se και y = 9 + rt, να υπολογιστεί η y r =, s = 5 και t = 4 z s όταν Οι συναρτήσεις και y είναι συναρτήσεις των µεταβλητών r, s και t (η y µπορεί να γραφεί ως y = 9 + rt + s ), οπότε από τον παραπάνω κανόνα έχουµε: z z z y = + s s y s z z r + e = + + = s y y y rt ( r e ) rt Τώρα αν r =, s = 5 και t = 4, y = Οπότε 8 z + e = = + e s r= s= 5 t= 4 8 γ) Να υπολογιστεί η y r 4 αν y l( 6) = r + s = + και 6 Εδώ η συνάρτηση y είναι µιας µεταβλητής, της και η δυο µεταβλητών, των r και s Έτσι από τον κανόνα αλυσίδας έχουµε: y dy = r d r

14 y = + l 4 ( + 6) 6( r + s) r y 5 = r + s l( ) r + 6 y z δ) Αν z = e, = r 4s και y = r s, να υπολογιστεί η r συνάρτηση των r και s και να γραφεί ως Έχουµε z z z y = + r r y r z = ye + e = + y e r y y y Τώρα, αφού = r 4s και y = r s, z = ( r 4s) + ( r s) e r ( r 4s)( r s) ( 5 ) r 5rs 4s = r s e + 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ z z Αν z = 5 + y, = r + s και y = r s, να βρεθούν οι και r s z z Αν z = + y + 7 y, = r s και y = 5s, να βρεθούν οι και r s Αν w = z + yz + yz, = 5 t, y = t + και z = 6 t, να υπολογιστεί η dw dt 4 Αν w = l( + y + z ), = t, y = t + και z = 4 t, να βρεθεί η dw dt y 5 Αν y = και = t rs r t, να υπολογιστεί η r= s= 5 t t= 6 Για τη συνάρτηση z = 5 + y, όπου = 4t + 7 και υπολογιστεί η dz dt όταν t = y t t = + 4, να 4

15 z = 4 + y, όπου 7 Για τη συνάρτηση z υπολογιστεί η r όταν r = και s = y = r s, να = r s και 7 ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Μπορούµε να επεκτείνουµε την έννοια του τοπικού ακρότατου (τοπικό µέγιστο ή ελάχιστο) των συναρτήσεων µιας µεταβλητής και σε συναρτήσεις δυο µεταβλητών z = f, y λέµε ότι έχει τοπικό µέγιστο στο Ορισµός: Μια συνάρτηση σηµείο (, y ), δηλαδή όταν = και y = y, αν για όλα τα σηµεία (, ) επιπέδου που είναι αρκούντως "κοντά" στο σηµείο (, y ) ισχύει ότι: (, ) (, ) y του f y y () Ορισµός: Μια συνάρτηση z f (, y) σηµείο (, y ), δηλαδή όταν = και y = y, αν για όλα τα σηµεία (, ) επιπέδου που είναι αρκούντως "κοντά" στο σηµείο (, y ) ισχύει ότι: f (, y ) (, y) ος Κανόνας: Αν η συνάρτηση z f (, y) ένα σηµείο (, y ) και αν επί πλέον, οι µερικές παράγωγοι f και για όλα τα σηµεία κοντά στο (, ) λύση του συστήµατος: = λέµε ότι έχει τοπικό ελάχιστο στο y του () = έχει τοπικό µέγιστο ή ελάχιστο σε f y ορίζονται y, είναι αναγκαίο το σηµείο αυτό να είναι f ( y) f y ( y) Ένα σηµείο (, y ), για το οποίο ισχύει f ( y) f ( y), = (), =, =, =, ονοµάζεται κρίσιµο ή ακρότατο σηµείο της f Συνεπώς, λόγω του πιο πάνω κανόνα, για να βρούµε ένα τοπικό µέγιστο ή ελάχιστο µιας συνάρτησης θα πρέπει να εξετάσουµε τα ακρότατα σηµεία της Σηµείωση: Ακρότατα σηµεία συναρτήσεων περισσοτέρων των δυο w = f, y, z, µπορούν να βρεθούν εξετάζοντας τα µεταβλητών, πχ τριών σηµεία εκείνα για τα οποία f = f = f = Ακόµη, όταν µια τέτοια συνάρτηση y z περιορίζεται εντός ενός διαστήµατος, ο έλεγχος για ολικά ακρότατα σηµεία πρέπει να περιλαµβάνει, εκτός των άλλων και τα άκρα του διαστήµατος y 5

16 Παραδείγµατα: Να εξεταστούν για ακρότατα σηµεία οι εξής συναρτήσεις: α) f (, y) = + y y + 5 y +, β) (, ) γ) f (, y, z) y y z ( y ) = Λύση: α) f (, y) = 4 y + 5 και σύστηµα: f y = + y y, f, y = y, λύνοντας το 4 y + 5 = =, y =, έχουµε ένα και µόνο ακρότατο σηµείο για τη + y = δοθείσα συνάρτηση, το, β) f (, y) = y και f y, y y y =, λύνοντας το σύστηµα: ( y ) 4 y = 7 y y = y 7 = y =, οπότε = ή y = y = y = y =, οπότε = Συνεπώς τα ακρότατα σηµεία της συνάρτησης είναι (,) και, γ) Λύνουµε το σύστηµα: f, y, z = 4 + y z = 4 + y z = 4 + y z = f y, y, z = + y z = y = y = f,, y 4y z y z = y + = = = y = 75, = 5 και z = 75 Συνεπώς έχουµε ακρότατο σηµείο στη θέση: ( 5,75,75 ) ος Κανόνας: Έστω ότι η συνάρτηση z f (, y) παραγώγους f, f yy και f y σε όλα τα σηµεία (, ) σηµείο (, ) = έχει συνεχείς µερικές y κοντά στο ακρότατο y Έστω ακόµη ότι η συνάρτηση E ορίζεται από τη σχέση: 6

17 Τότε αν (, ) (, ) (, ) (, ) E y = f y f y f y yy y E (, y ) και f, y, η συνάρτηση f έχει τοπικό µέγιστο στο σηµείο (, y ) E (, y ) και στο σηµείο (, ) (, ) y f, y, η συνάρτηση f έχει τοπικό ελάχιστο E y, η συνάρτηση f δεν έχει τοπικό µέγιστο ή ελάχιστο στο σηµείο (, ) 4 (, ) y E y =, δεν µπορούµε να πούµε οτιδήποτε για τοπικό µέγιστο ή ελάχιστο και απαιτείται περαιτέρω ανάλυση Παραδείγµατα: Να εξεταστούν για µέγιστα ή ελάχιστα οι εξής συναρτήσεις: 4 α) f (, y) = + y y, β) f (, y) = y, γ) f (, y) ( y) 4 Λύση: α) f (, y) = y, (, ) πάνω έχουµε ακρότατα σηµεία τα (,) και y = + f y = y Από το παράδειγµα (β) πιο, ( i) Στο (, ) : f, y = 6 =, f, y =, f, y = 6y = και y yy E (,) = ( ) = Συνεπώς δεν υπάρχει τοπικό µέγιστο ή ελάχιστο στο σηµείο (, ) (ii) Στο, : f, 6, (, ) y = = f y y =, f yy (, y ) = 6 = και, E = = Συνεπώς έχουµε τοπικό ελάχιστο στο, Η τιµή της f στο σηµείο αυτό είναι: f, = + = 7 7

18 β) f, y = = =, y = f y, y = y = Άρα έχουµε κρίσιµο σηµείο το (, ) Ακόµη, f ( y) f ( y) f ( y), =,, =,, = y yy και E (,) = ( ) = 4 Συνεπώς δεν υπάρχει τοπικό ακρότατο στο σηµείο (, ) f, y = y Στο παρακάτω σχήµα βλέπουµε το γράφηµα της συνάρτησης: Η καµπύλη επιφάνεια που διχοτοµείται από το επίπεδο y =, έχει µέγιστο στο (, ), αλλά για την καµπύλη επιφάνεια που διχοτοµείται από το επίπεδο =, το σηµείο αυτό είναι ελάχιστο Κατά συνέπεια, αν και το (, ) είναι κρίσιµο σηµείο για τη συνάρτηση, δεν είναι όµως τοπικό ακρότατο Εδώ το σηµείο (, ) ονοµάζεται "σαγµατικό σηµείο", λόγω του σχήµατος της καµπύλης επιφάνειας κοντά σε αυτό Σχήµα γ) f, y = y = 4 + 4( y) = = f y (, y) = 4( y) = = y = y 8

19 = y =, δηλαδή το σηµείο (, ) είναι το µοναδικό κρίσιµο σηµείο της f Στο σηµείο αυτό έχουµε: (, ) = + ( ) =, f y y (, ) = ( ) = Άρα (, ) = f y y f y y y οτιδήποτε για µέγιστο ή ελάχιστο της, = = και E και έτσι δεν µπορούµε να πούµε f στο συγκεκριµένο σηµείο Παρόλα αυτά, η f είναι µια συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε σηµείο (, ) = (, ) ισχύει ότι f (, y), ενώ f ελάχιστο στο (, ) y,, = Συνεπώς η f έχει τοπικό (και ολικό) 8 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE Είναι ανάγκη πολλές φορές να υπολογίσουµε τα µέγιστα και ελάχιστα σηµεία συναρτήσεων πολλών µεταβλητών, στις οποίες επιβάλλονται ορισµένοι περιορισµοί Έστω ότι θέλουµε να βρούµε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης: w = + y + z, () µε την προϋπόθεση ότι οι ανεξάρτητες µεταβλητές ικανοποιούν τη σχέση: Λύνοντας τη () ως προς, παίρνουµε και αντικαθιστώντας την () στην () έχουµε y + z = 6 () = y z + 6 () 6 w = y z + + y + z (4) Τώρα η w, είναι µία συνάρτηση δυο µεταβλητών, για την οποία µπορούµε να βρούµε τα ακρότατα, µε τη µέθοδο που περιγράψαµε παραπάνω Έτσι έχουµε: 9

20 w ( y z 6) y y = + + = 4y 4z + = w 4y + z 4 = = 4( y z + 6) + z = z 6z = z =, y = 4y + z 4 = Επίσης από την () παίρνουµε = Άρα το κρίσιµο σηµείο της () µε τον,, περιορισµό () είναι το σηµείο Οι δεύτερες µερικές παράγωγοι της συνάρτησης στο σηµείο αυτό είναι: w w w = 4, =, = 4 y z z y και E y, z = E, = 4 4 = 4 Συνεπώς η συνάρτηση w, µε τον περιορισµό (), έχει τοπικό ελάχιστο στο σηµείο (,, ) Η λύση του πιο πάνω προβλήµατος βρέθηκε, αφού πρώτα εκφράσαµε µια από τις τρεις ανεξάρτητες µεταβλητές συναρτήσει των άλλων δυο Αυτό όµως δεν είναι πάντα εφικτό ή τόσο εύκολο, αλλά µπορούµε να εφαρµόσουµε µια άλλη τεχνική, γνωστή ως µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrage Η µέθοδος αυτή έχει ως εξής Έστω ότι έχουµε µια συνάρτηση f (, y, z ) και τον περιορισµό g, y, z = Κατασκευάζουµε µια νέα συνάρτηση F ορίζεται ως ακολούθως: τεσσάρων µεταβλητών, η οποία F (, y, z, λ ) = f (, y, z) λg (, y, z) Εάν τώρα (,, ) (,, ) λ του λ τέτοια ώστε (,,, ) y z είναι ένα κρίσιµο σηµείο της f, µε τον περιορισµό g y z =, υπάρχει µια τιµή y z λ είναι κρίσιµο σηµείο της F και αντιστρόφως Έτσι, για την επίλυση του προβλήµατός µας, αρκεί να λύσουµε το σύστηµα: Joseph-Louis Lagrage (76-8), Γάλλος µαθηµατικός

21 F F F F y z λ ( y z λ ) ( y z λ ) ( y z λ ) ( y z λ ),,, =,,, =,,, =,,, = Παραδείγµατα : Να βρεθούν τα ακρότατα σηµεία των παρακάτω συναρτήσεων µε τους δοθέντες περιορισµούς: f, y = y + 6, µε τον περιορισµό α) β) f (, y, z) = yz, όπου Λύση: Έχουµε ότι (,, λ ) (, ) λ (, ) F y f y g y + y = 4 yz, µε τον περιορισµό + y + z = 6 g, y = + y 4 = και η νέα συνάρτηση είναι: = y 6 λ ( y 4) Για F = F = F λ = παίρνουµε y = + + = λ = λ yλ = y = λ + 4 = λ λ y + 4 = λ = ± 4 Για λ =, 4 = =, y = = Για λ =, 4 =, y = 5 5 Άρα τα κρίσιµα σηµεία της f, y = y + 6 µε τον περιορισµό ότι + y = 4, είναι τα, 5 5 και, 5 5

22 β) F (, y, z, λ ) yz λ ( y z 6) = + + και F = yz λ = yz = λ Fy = z λ = z λ =, αφού yz έχουµε F y z = y λ = = λ F y z 6 + y + z 6 = λ = + = yz λ = y = και z λ = 6 = και έτσι y = 6, z = 4 yz λ = z =, οπότε = y λ Συνεπώς το µοναδικό κρίσιµο σηµείο της, 6, 4 το f µε τον δοσµένο περιορισµό είναι 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Για τις παρακάτω συναρτήσεις να βρεθούν τα ακρότατα και να προσδιοριστούν αν είναι µέγιστα ή ελάχιστα α) f (, y) = + y + 4 9y +, β) f (, y) y y 6, 8 γ) f ( y) ( y ) ( y ) = + + +, δ) (, ) =, f y y y = + + Σε µια αυτοµατοποιηµένη διαδικασία παραγωγής ενός προϊόντος, οι µηχανές Μ και Ν είναι προγραµµατισµένες να λειτουργούν σε καθηµερινή βάση m και ώρες αντίστοιχα Αν η συνάρτηση ηµερήσιας παραγωγής q δίνεται από τη σχέση: q( m, ) = 4,5m + 5,5m, 5m, να βρεθούν οι τιµές των m και που µεγιστοποιούν την παραγωγή Αν η παραγωγή ενός προϊόντος µια εταιρείας είναι συνάρτηση των εισροών k, l και δίνεται από τη σχέση: p( k, l) =,8k,k +,68l,8l, να βρεθούν οι τιµές των k και l, οι οποίες µεγιστοποιούν την παραγωγή 4 Θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα ορθογώνιο κουτί, ανοικτό από πάνω, το οποίο να έχει όγκο 6 µ Το κόστος κατασκευής για κάθε µ του χρησιµοποιούµενου υλικού είναι για τη βάση, για τις µεγαλύτερες πλευρές

23 του και,5 για τις µικρότερες Να υπολογιστούν οι διαστάσεις του κουτιού, για τις οποίες το κόστος του υλικού είναι ελάχιστο 5 Με τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών του Lagrage να βρεθούν τα κρίσιµα σηµεία των παρακάτω συναρτήσεων υπό τους δοσµένους περιορισµούς f, y = + 4y + 6, 8y = α) β) f ( y) y, = , y = 7 γ) f (, y, z) = yz, y z, y z, ( yz ) + + = + = (Υπόδειξη, F (, y, z, λ, λ ) yz λ ( y z ) λ ( y z) f, y, z, w y z 4w δ) = ) = + +, 4 8y 6z 6w = 6 Για να ανταποκριθεί σε µια παραγγελία µονάδων από το προϊόν που παράγει ένα εργοστάσιο πρέπει να κατανείµει την παραγωγή στα τµήµατά του, Α και Β Αν η συνάρτηση, c του συνολικού κόστους αυτής της παραγωγής c, y =, y +, όπου και y είναι ο αριθµός των είναι: παραγόµενων µονάδων των τµηµάτων Α και Β αντίστοιχα, πως πρέπει να γίνει η κατανοµή ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος παραγωγής;

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΟ ΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Όπως είδαµε, νωρίτερα, το ορισµένο ολοκλήρωµα συναρτήσεων µιας µεταβλητής σχετίζεται µε τη διαδικασία ολοκλήρωσης αυτών σε συγκεκριµένο διάστηµα Κατά τον ίδιο τρόπο µπορούµε να ορίσουµε το ορισµένο ολοκλήρωµα συναρτήσεων δυο µεταβλητών, το οποίο ονοµάζεται (ορισµένο) διπλό ολοκλήρωµα και το οποίο σχετίζεται µε την ολοκλήρωση αυτών των συναρτήσεων σε µια περιοχή του y επιπέδου Για παράδειγµα, το ( y) dyd ή ισοδύναµα ( ) είναι το διπλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης (, ) f y y y dy d = στην περιοχή που προσδιορίζεται από τα όρια ολοκλήρωσης, ήτοι την περιοχή όλων των σηµείων του y επιπέδου τέτοια ώστε y και Η περιοχή αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήµα Σχήµα 4

25 Για να υπολογίσουµε το παραπάνω διπλό ολοκλήρωµα, ολοκληρώνουµε πρώτα ως προς y, κρατώντας τη σταθερά και αντικαθιστούµε τα όρια αυτού του ολοκληρώµατος Στη συνέχεια υπολογίζουµε το δεύτερο ορισµένο ολοκλήρωµα ως προς, της συνάρτησης που προέκυψε από την πρώτη ολοκλήρωση Έτσι έχουµε: ( ) y dy = y y ( ) = = + = + Τώρα ολοκληρώνουµε ως προς και έχουµε: d = = + = Για το διπλό ολοκλήρωµα 4 4 ( y) ddy ή ισοδύναµα το y d dy, η περιοχή ολοκλήρωσης είναι όλα τα σηµεία (, y ) του y επιπέδου, για τα οποία, 4 και y Για τον υπολογισµό του διπλού αυτού ολοκληρώµατος, κρατάµε την y σταθερά και ολοκληρώνουµε ως προς, µεταξύ και 4 Κατόπιν ολοκληρώνουµε το αποτέλεσµα της πρώτης ολοκλήρωσης ως προς y µεταξύ του και του Έτσι έχουµε: ( y) ddy = 4 4 y d 9 7 dy = 8y y dy y = dy Παραδείγµατα: Να υπολογιστούν τα διπλά ολοκληρώµατα: 7 y = = 7 4 α) ( + ) dyd, β) l ddy y e Λύση: 5

26 dyd dy d = + α) ( + ) = ( + ) { ( ) ( ) } y y d d = ( + + ) = + d = + + = = β) l ddy l d dy l dy l y y y = = e e ( ) y e y = ( y e ) = e dy l = l e = l 4 + e = l4 4 + e ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΙΠΛΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Στο σχήµα πιο κάτω βλέπουµε την περιοχή µεταξύ των "οµαλών" καµπυλών =, = y g y g και των ευθειών = a, = b Το εµβαδόν αυτής της περιοχής βρίσκεται, ως γνωστόν, από τη διαφορά: b b g d g d = b a a a g g d () Σχήµα 6

27 Τώρα από το διπλό ολοκλήρωµα: A έχουµε: b g b = a g a g g dyd y d b g = a dyd () g και έτσι b g b a dyd = g g d g a () Κατά συνέπεια, αφού οι σχέσεις () και () είναι ίσες, συµπεραίνουµε ότι το διπλό ολοκλήρωµα () µας δίνει το εµβαδόν της επιφάνειας µεταξύ των καµπυλών y g y g a, b = και = στο κλειστό διάστηµα [ ] Ακόµη, κατά όµοιο τρόπο, το εµβαδόν µεταξύ των "οµαλών" καµπυλών =, = h y h y και των ευθειών y = c, y = d, όπως φαίνεται στο πιο κάτω γράφηµα, δίνεται από το διπλό ολοκλήρωµα: A d h( y) = c ddy (4) h ( y) Σχήµα 7

28 Με το διπλό ολοκλήρωµα µπορούµε επίσης να υπολογίσουµε τον όγκο ενός στερεού σώµατος που βρίσκεται µεταξύ του z = f, y, z επιφάνειας S : y επιπέδου και µιας Στο παρακάτω σχήµα, το κατακόρυφο πρίσµα, στο εσωτερικό του στερεού, έχει ύψος ( i, j ) από το γινόµενο ( i, j ) f u v και εµβαδόν βάσης ίσο µε y j i Έτσι ο όγκος του δίνεται f u v y j i Ένα διπλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης z f (, y) = αθροίζει τον όγκο όλων αυτών των πρισµάτων, για να δώσει έτσι τον όγκο ολόκληρου του στερεού, που βρίσκεται µεταξύ των ευθειών = a, b y = g, όπως αυτές στο σχήµα πιο πάνω = και των καµπυλών y g = και Συνεπώς ο όγκος του στερεού που βλέπουµε στο σχήµα 4, δίνεται από το διπλό ολοκλήρωµα: b g = (, ) a g V f y dyd y = g ( ) y = g ( ) Σχήµα 4 Παράδειγµα : Να υπολογιστεί το εµβαδόν της περιοχής που βρίσκεται µεταξύ των καµπυλών = 6 y και y 4 + = 8

29 Λύση: Η συγκεκριµένη περιοχή βρίσκεται κάτω από την παραβολή y = 8 και πάνω από την ευθεία y =, όπως βλέπουµε στο πιο κάτω γράφηµα Τα σηµεία τοµής των δυο αυτών γραµµών είναι οι λύσεις του συστήµατος: y = 8 = 7 =, οπότε y = ή = 4, οπότε y = y = y = Σχήµα 5 Το εµβαδόν δίνεται από το διπλό ολοκλήρωµα: dyd = 8 d = ( ) 4 4 = = Παράδειγµα : Να υπολογιστεί το εµβαδόν της περιοχής του y επιπέδου µεταξύ των γραφηµάτων των + y = και y = = y, Λύση: Η συγκεκριµένη περιοχή, όπως φαίνεται και στο σχήµα 6 πιο κάτω, βρίσκεται µεταξύ της καµπύλης γραµµής άξονα των = y, της ευθείας = y και του 9

30 Το σηµείο τοµής των δυο γραµµών βρίσκεται αν λύσουµε τις δυο εξισώσεις ταυτόχρονα, δηλαδή, = + = y =, = = y = y y y y Έτσι το εµβαδόν δίνεται από το διπλό ολοκλήρωµα (4) παραπάνω, όπου c =, d =, h ( y) y h y = y = και Οπότε έχουµε: d h y c ddy h y y = y y = ddy y dy 4 = ( y y ) dy y y 5 = y = 4 4 Σχήµα 6 Παράδειγµα : Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού, στο πρώτο οκτηµόριο, που περικλείεται µεταξύ των τριών επιπέδων και των γραφηµάτων των εξισώσεων z = + y + και + y = Λύση: Όπως φαίνεται και στο γράφηµα παρακάτω, (σχήµα 7) το στερεό βρίσκεται κάτω από το παραβολοειδές z = + y + και πάνω από την τριγωνική περιοχή (σχήµα 8) στο y επίπεδο, µεταξύ των αξόνων και των γραµµών y =, y = Το γινόµενο ( i, j ) f u v y j i αντιπροσωπεύει τον όγκο του πρίσµατος, στο εσωτερικό του στερεού του σχήµατος 7, οπότε ο ζητούµενος όγκος δίνεται από το άθροισµα όλων αυτών των πρισµάτων, δηλαδή από το διπλό ολοκλήρωµα:

31 V = + y + dyd = + + y y y d 4 4 = + + d = + + = 6 Σχήµα 7 Σχήµα 8 ΤΟ ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Όπως και για το διπλό ολοκλήρωµα, µπορούµε να ορίσουµε το τριπλό ολοκλήρωµα για µια συνάρτηση f, τριών µεταβλητών, y και z Η απλούστερη τέτοια περίπτωση προκύπτει όταν η συνάρτηση εντός µιας περιοχής (παραλληλεπίπεδο) της µορφής: {(,, ) :,, } Q = y z a b c y d k z l Το τριπλό ολοκλήρωµα της f στην περιοχή αυτή δίνεται από το l d b (,, ) f είναι συνεχής k f y z ddydz c, (5) a

32 όπου το πρώτο ολοκλήρωµα είναι ως προς, (µε τις y και z σταθερές), το δεύτερο ως προς y, (µε τις και z σταθερές) και το τρίτο ως προς z, (µε τις και y σταθερές) Υπάρχουν πέντε ακόµη περιπτώσεις τριπλού ολοκληρώµατος της f περιοχή Q, όπως πχ αν ολοκληρώσουµε µε τη σειρά y, z,, τότε έχουµε: στην Παράδειγµα : f (, y, z) y z (,, ) b l d a f y z dydzd k (6) c Να υπολογιστεί το τριπλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης = στην {,, :, 4, } Q = y z y z Λύση: Από τις έξι περιπτώσεις υπολογίζουµε τις εξής δυο: (i) y z ddydz = y z dydz = 8 y z dydz 4 y z dydz = 4 4 = y z dz 765 z dz = z = 765 = 4 (ii) 4 4 y z dzddy = y z ddy = 4 8y ddy 4 4 = 4 y dy = ( 6y 4 ) y dy 4 4 = 8y = 4 Τα τριπλά ολοκληρώµατα µπορούν να οριστούν και σε άλλες περιοχές εκτός από αυτές των παραλληλεπιπέδων Έστω, για παράδειγµα ότι έχουµε µια περιοχή R στο y επίπεδο, η οποία µπορεί να χωριστεί σε επί µέρους περιοχές όπως αυτή στο σχήµα παραπάνω και, ότι Q είναι η τρισδιάστατη περιοχή (στερεό σώµα) που ορίζεται από την {(,, )( :, ), (, ) (, )} Q= y z y R k y z k y, όπου οι συναρτήσεις k ( y ) και k στην περιοχή R,, y έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους

33 Γεωµετρικώς, η περιοχή = και z k ( y) z k y,, Q βρίσκεται µεταξύ των γραφηµάτων των = και πάνω ή κάτω από την R Στο γράφηµα πιο κάτω, σχήµα 9, βλέπουµε την περιοχή Q εσωτερική διαµέριση Q i µε ένα τυπικό της στοιχείο, την Το τριπλό ολοκλήρωµα µιας συνεχούς συνάρτησης f στην περιοχή Q, όταν η R είναι όπως στο σχήµα, δίνεται από τη σχέση: (, ) b g k y (,, ) a g f y z dzdyd, (7) k(, y) Σχήµα 9 όπου το ολοκλήρωµα υπολογίζεται µε µερική ολοκλήρωση µε τη σειρά z, y και, αντικαθιστώντας κάθε φορά τα όρια της ολοκλήρωσης, όπως και πριν Κατ όµοιο τρόπο, όταν η περιοχή του y επιπέδου, R, είναι όπως στο σχήµα πιο πάνω, τότε το τριπλό ολοκλήρωµα δίνεται από τη σχέση: (, ) d h y k y (,, ) Στην περίπτωση που η συνάρτηση c h ( y) f y z dzddy (8) k (, y) f, y, z =, σ όλο το Q, τότε το τριπλό ολοκλήρωµα της (7) και (8) πιο πάνω δίνει τον όγκο του στερεού αυτού

34 Παράδειγµα : Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού, στο πρώτο οκτηµόριο που περικλείεται από το επίπεδο y + z = 4, τον κύλινδρο yz επίπεδα y =, το y και Λύση: Το στερεό σώµα της περιοχής Q και την περιοχή R στο y επίπεδο βλέπουµε στα γραφήµατα πιο κάτω, σχήµατα και αντίστοιχα Ο δε ζητούµενος όγκος, δίνεται από τη σχέση (7) πιο πάνω, όπου f (, y, z ) =, =, b =, g = y =, g = y = 4, k (, y) = z = και a k, y = z = 4 y Συνεπώς έχουµε: Σχήµα Σχήµα b g k, y 4 4 y 4 = ( 4 ) V = f, y, z dzdyd = dzdyd a g k(, y) y = 4y 4 4 d = d = 8 + = 5 y dyd Αν κάναµε χρήση του τριπλού ολοκληρώµατος της σχέσης (8) παραπάνω, τότε θα είχαµε: 4

35 (,, ) f y z =, c, d 4, k, y = z = 4 y = = h y = =, h y = = y, k, y = z = και Κατά συνέπεια, σε αυτή την περίπτωση, ο ζητούµενος όγκος δίνεται από το τριπλό ολοκλήρωµα: d h y k, y 4 y 4 y V = dzddy = dzddy c h ( y) k(, y) (Να επαληθευτεί ότι το πιο πάνω τριπλό ολοκλήρωµα δίνει και αυτό όγκο ίσο µε 8/5) Σε ορισµένες περιπτώσεις περιοχών, το τριπλό ολοκλήρωµα µπορεί να υπολογιστεί πρώτα ως προς y ή ως προς Έτσι, έστω ότι για την περιοχή Q έχουµε: Q =, y, z : a b, h z h, k, z y k, z { } Στο σχήµα πιο κάτω βλέπουµε το γράφηµα µιας τέτοιας περιοχής Σχήµα Στην περίπτωση αυτή το τριπλό ολοκλήρωµα στην περιοχή Q, δίνεται από το: (, ) b h k z (,, ) a h f y z dydzd (9) k (, z) Για τον υπολογισµό του όγκου στερεού σώµατος σε µια τέτοια περίπτωση, έχουµε f (, y, z ) = 5

36 Παράδειγµα : Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού σώµατος που βρίσκεται µεταξύ των γραφηµάτων των =, = 4, = και + = 6 z z y z y Λύση: Όπως µπορούµε να δούµε στο σχήµα, η περιοχή Q βρίσκεται κάτω από τον κύλινδρο z = 4, πάνω από τον κύλινδρο z =, στα δεξιά του z επιπέδου και στα αριστερά του επιπέδου z + y = 6 Οπότε η περιοχή Q είναι όπως στο σχήµα πιο πάνω µε k ( ) = και k = z 6 Επίσης, από το σχήµα 4, βλέπουµε ότι a, b, h, z 4 = = = h, z = και Σχήµα Σχήµα 4 Εφαρµόζοντας τη σχέση (9) µε f, y, z = παίρνουµε: b h k, z 4 6 z 4 = ( 6 ) V = dydzd = dydzd a h k (, z) z dzd 4 z 6z d ( 4 = ) = d = 6 + = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογιστούν τα διπλά ολοκληρώµατα: 6

37 α) 4 dyd, β) ydyd, γ) yddy, δ) dyd, 4 ε) ( y) ddy, στ) ( y) dyd, ζ) + y dyd, η) ( + y ) dyd, θ) λ) y + y e ddy,µ) 6 ydyd, ι) ydyd, κ) e ldyd, ν) e y dyd b d d b Να δειχθεί ότι: (, ) = (, ) a f y dyd f y ddy c c, για a α) a, b, c, d, f (, y) y 8 = = = = =, β),,,, (, ) 4 a = b = c = d = f y = y + y y + y e ddy, Να υπολογιστεί το εµβαδόν της περιοχής που περικλείεται µεταξύ των γραφηµάτων των εξής καµπυλών: α),,, y y = = = = β) y = e, y = si, = π, = π 4 Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που βρίσκεται στο πρώτο οκτηµόριο, µεταξύ των γραφηµάτων των εξής: α) z y y + = 9, =, =, =, β) + y + z = 4, =, y =, z = 5 Να υπολογιστούν τα τριπλά ολοκληρώµατα: α) 6y z ddydz, β) y y dzdyd, γ) dzdyd, y dzddy y, ε) δ) + z + z dydzd, στ) + y ydzdyd 6 Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού σώµατος που βρίσκεται µεταξύ των γραφηµάτων των: α) + = 9, + = 4, =, = β) z y z y z =, =, + = 4, = y z y z z 7 Να προσδιοριστεί η περιοχή Q που αντιπροσωπεύει τον όγκο του στερεού, τον οποίο δίνουν τα τριπλά ολοκληρώµατα: + y dzdyd β) α) z z dyddz z z 7

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΑΠΕΙΡΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΣΕΙΡΕΣ ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ ΑΠΕΙΡΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Μια συνάρτηση, της οποίας το πεδίο ορισµού είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων αριθµών, ονοµάζεται άπειρη ακολουθία ή απλώς ακολουθία (χάριν συντοµίας) Αν f είναι µια άπειρη ακολουθία, τότε σε κάθε θετικό ακέραιο αριθµό f Οι αριθµοί αυτοί, στο πεδίο τιµών αντιστοιχεί ένας πραγµατικός αριθµός της f µπορεί να καταταχθούν ως ακολούθως: f ( ), f ( ), f ( ),, f ( ),, (4) όπου f ονοµάζεται πρώτος όρος της ακολουθίας, f και, γενικά νιοστός όρος αυτής Συνηθίζεται δε, η σχέση (4) να γράφεται: f ο a, a, a,, a,, (5) είναι, βέβαια, αυτονόητο ότι για κάθε θετικό ακέραιο αριθµό, το σύµβολο αντιπροσωπεύει τον πραγµατικό αριθµό a f Με τον τρόπο αυτό παίρνουµε µια άπειρη διατεταγµένη συλλογή πραγµατικών αριθµών, µε την έννοια ότι υπάρχει ένα πρώτος αριθµός, ένας δεύτερος,, ένας τριακοστός αριθµός κοκ Αν και, όπως είπαµε, οι ακολουθίες είναι συναρτήσεις, µια συλλογή όπως η (5) πιο πάνω, θα είναι επίσης µια άπειρη ακολουθία και όταν θέλουµε να τη µετατρέψουµε σε f = a, για κάθε θετικό ακέραιο µια συνάρτηση, f, αρκεί να θέσουµε αριθµό Η ακολουθία (5) µπορεί να γραφεί µε συντοµία ως { a } Για παράδειγµα η ακολουθία { } έχει νιοστό όρο a = Για να προσδιοριστεί µια ακολουθία δεν αρκεί µόνον να καθοριστούν οι αριθµοί στο πεδίο τιµών Η σειρά µε την οποία εµφανίζονται οι αριθµοί αυτοί είναι πολύ σηµαντικό, διότι, για παράδειγµα η ακολουθία, της οποίας οι πρώτοι πέντε αριθµοί είναι 8

39 ,,,,, 4 5 είναι διαφορετική από µια που αρχίζει µε,,,,, 4 5 Γενικά µια ακολουθία, όπως η (5) θα λέµε ότι είναι ίση µε την ακολουθία: b, b, b,, b, αν και µόνον αν ai = b για κάθε θετικό ακέραιο αριθµό i i Παράδειγµα : Να γραφούν οι τέσσερις πρώτοι όροι και ο δέκατος όρος των ακολουθιών, των οποίων ο νιοστός όρος δίνεται από τη σχέση: α) a =, β) a = + (,), γ) a + + =, δ) a = Λύση: Για να βρούµε τους πρώτους τέσσερις όρους αντικαθιστούµε στη θέση του, διαδοχικά τους,,, 4 Ο δέκατος όρος θα βρεθεί αν στη θέση του θέσουµε το α) a = = +, a = = + a = = +, a = = + 4, a = =,, a = +, =,, β) a = +, =,, a = +, =,, a 4 4 = +, =,,, γ) a a + = = + 9 = = 8, a, a 4 a = +, =, + 4 = =, = =,, 4 9

40 a + = = 9 a =, a =, a =, a =,, a = δ) 4 ΟΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ Ορισµένες άπειρες ακολουθίες { a } έχουν την ιδιότητα, καθώς το αυξάνει, ο όρος διαφορά a πλησιάζει προς κάποιον πραγµατικό αριθµό Λ Με έχει όρους: α Λ είναι σχεδόν µηδέν Για παράδειγµα η ακολουθία: a = +, +,, +,,, άλλα λόγια η και προφανώς οι όροι αυτοί πλησιάζουν το καθώς το αυξάνει Για την ακρίβεια, για κάθε θετικό αριθµό, = + = = = α Ο αριθµός, κατά συνέπεια και ο α, µπορούν να πλησιάσουν αυθαίρετα το µηδέν αν επιλέξουµε τον αρκούντως µεγάλο Συνεπώς µπορούµε να γράψουµε: lim + = Η κατάσταση εδώ είναι σχεδόν παρόµοια µε αυτήν που έχουµε για µια συνάρτηση f, όπου έχουµε το όριο, lim a f f = Λ, µε τη διαφορά ότι αν =, τότε το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο των θετικών αριθµών και όχι ένα άπειρο διάστηµα πραγµατικών αριθµών Έχουµε έτσι το εξής ορισµό 4

41 Ορισµός: Αν { a } είναι µια άπειρη ακολουθία, τότε το όριό της είναι ο αριθµός Λ και γράφουµε lim a = Λ, αν σε κάθε ε αντιστοιχεί ένας αριθµός Μ, τέτοιος ώστε a Λ ε, όταν M Οι ιδιότητες των ορίων για τις άπειρες ακολουθίες είναι ανάλογες µε αυτές για τις συναρτήσεις, δηλαδή αν lim a = Λ και limb = Λ, τότε lim a ± b = Λ ± Λ lim a b = Λ Λ lim a b = Λ Λ, Λ Παράδειγµα : Να υπολογιστεί το όριο lim 5 Λύση: ιαιρούµε αριθµητή και παρονοµαστή δια και έχουµε lim = lim 5 5 = lim lim 5 ( ) lim5 lim( ) = = = 5 5 Θεώρηµα : Αν { a }, { b } και { } a b c για κάθε και αν lim a = Λ = lim c, τότε c είναι άπειρες ακολουθίες τέτοιες ώστε lim b = Λ Παράδειγµα : Να δειχθεί ότι lim = Λύση: Για κάθε θετικό ακέραιο αριθµό εύκολα µπορούµε να δούµε ότι Αφού τα όρια lim = και lim = έπεται ότι lim = Θεώρηµα : Αν lim a =, τότε lim a = 4

42 Παράδειγµα 4: Αν a + =, να δειχθεί ότι lim a = Λύση: Οι όροι της δοθείσας ακολουθίας εναλλάσσουν πρόσηµο Για παράδειγµα οι πέντε πρώτοι όροι είναι,,, και Τώρα lim a = lim lim = = Άρα lim a = Αν για τους διαδοχικούς όρους µιας ακολουθίας { } a ισχύει: a a a ή a a a, τότε η ακολουθία ονοµάζεται µονότονη Μια ακολουθία { a } είναι φραγµένη αν υπάρχει θετικός πραγµατικός αριθµός M τέτοιος ώστε ak M για όλα τα k Θεώρηµα : Μια φραγµένη, µονότονη άπειρη ακολουθία έχει όριο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθούν οι τέσσερις πρώτοι όροι, καθώς και το lim a, αν υπάρχει, για τις ακολουθίες: α) a = +, β) 6 5 a = 5 +, γ) 7 4 a =, δ) + a = ( )( + ) +, + ε) a = , στ) ( ) + a = + 4

43 4 ΑΠΕΙΡΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Αν { a }, είναι µια άπειρη ακολουθία, τότε µια έκφραση της µορφής: a = a + a + + a +, = ονοµάζεται άπειρη σειρά, ή απλώς σειρά Κάθε αριθµός a i ονοµάζεται όρος της σειράς και ο a είναι ο νιοστός όρος αυτής Για κάθε θετικό ακέραιο αριθµό το νιοστό µερικό άθροισµα είναι το ακόλουθο: S = a + a + + a Έτσι έχουµε S = a S = a + a S = a + a + a S = a + a + a + a κοκ 4 4 S της σειράς Η άπειρη ακολουθία S, S, S, S 4,, Ονοµάζεται ακολουθία των µερικών αθροισµάτων συσχετιζόµενη µε την άπειρη σειρά a = 5 ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΝΟΥΣΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Ορισµός: Μια άπειρη σειρά a µε ακολουθία µερικών αθροισµάτων = S, S, S, S 4,, λέµε ότι συγκλίνει (ή ότι είναι συγκλίνουσα), αν το όριο lim S υπάρχει Λέµε δε ότι η σειρά αποκλίνει (ή ότι είναι αποκλίνουσα), αν το όριο αυτό δεν υπάρχει 4

44 Αν τώρα a είναι µια συγκλίνουσα άπειρη σειρά και lim S = αριθµός S ονοµάζεται το άθροισµα της σειράς και γράφουµε: = S, τότε ο S = a + a + + a + Μια αποκλίνουσα σειρά δεν έχει άθροισµα Παράδειγµα : Να δειχθεί ότι η άπειρη σειρά: συγκλίνει και να βρεθεί το άθροισµά της Λύση: Ο νιοστός όρος της σειράς a µπορεί να γραφεί ως a = ( + ) = + και το νιοστό µερικό άθροισµα αυτής µπορεί να γραφεί ως S = = = Αφού lim S = lim = lim = =, η σειρά συγκλίνει και έχει άθροισµα Ορισµένα είδη σειρών που είναι πολύ σηµαντικά σε διάφορες εφαρµογές, έχουν ορισµένες ιδιότητες, όπως, για παράδειγµα οι γεωµετρικές σειρές: ar = a + ar + ar + + ar +, = όπου οι a και r είναι πραγµατικοί αριθµοί Για µια γεωµετρική σειρά µπορούµε, εύκολα να δούµε αν συγκλίνει ή αποκλίνει, αφού 44

45 S = a + ar + ar + + ar ή rs ar ar ar ar = , απ όπου, αφαιρώντας κατά µέλη, παίρνουµε: ( ) Κατά συνέπεια, αν r έχουµε: r S = a ar S a ar = r r Έτσι, για r, lim r = και από την πιο πάνω σχέση: lim S a =, r δηλαδή, από τον ορισµό της σύγκλισης µιας άπειρης σειράς, a ar = = r Από τα παραπάνω έχουµε το ακόλουθο θεώρηµα για τις γεωµετρικές σειρές Θεώρηµα : Για τη γεωµετρική σειρά ar ισχύουν τα ακόλουθα: = Συγκλίνει και έχει άθροισµα a r, αν r Αποκλίνει αν r Παράδειγµα : Να δειχθεί ότι η άπειρη σειρά συγκλίνει και να βρεθεί το άθροισµά της = 45

46 Λύση: = , η σειρά αυτή είναι γεωµετρική µε = r =, οπότε, σύµφωνα µε το θεώρηµα συγκλίνει και έχει άθροισµα: a r = = Ο νιοστός όρος µιας άπειρης σειράς µπορεί να γραφεί ως εξής: lim S = S Αν lim S = S, τότε και το lim S = S, οπότε lim a = lim S lim S = S S = Συνεπώς έχουµε το ακόλουθο Θεώρηµα 4: Αν µια άπειρη σειρά a συγκλίνει, τότε lim a = = Από το θεώρηµα αυτό έχουµε και το εξής πόρισµα: Πόρισµα: Αν lim a, τότε η άπειρη σειρά a αποκλίνει = Παράδειγµα : Να προσδιοριστεί αν η άπειρη σειρά: συγκλίνει ή αποκλίνει Λύση: Έχουµε ότι lim a = lim = + Συνεπώς, σύµφωνα µε το παραπάνω θεώρηµα, η δοθείσα σειρά αποκλίνει 46

47 Θεώρηµα 5: Αν µια άπειρη σειρά a συγκλίνει, τότε σε κάθε = ε, αντιστοιχεί ένας θετικός ακέραιος N τέτοιος ώστε Sm S ε, όταν m, N Παράδειγµα 4: Να δειχθεί ότι η άπειρη σειρά: Λύση: Για έχουµε αποκλίνει = S S = = = Τώρα, αν η δοθείσα σειρά συγκλίνει, πρέπει, µε ε =, για αρκούντως µεγάλο, να έχουµε S S που όµως δεν ισχύει Συνεπώς, σύµφωνα µε το παραπάνω θεώρηµα, η δοθείσα σειρά αποκλίνει Η άπειρη σειρά του τελευταίου παραδείγµατος ονοµάζεται αρµονική σειρά και είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα άπειρης, αποκλίνουσας σειράς, για την οποία έχουµε lim a = Αυτό δείχνει ότι το αντίστροφο του θεωρήµατος 4 δεν ισχύει ηλαδή, µε άλλα λόγια, για να αποδειχθεί η σύγκλιση µιας άπειρης σειράς, δεν αρκεί να δείξουµε ότι lim a = Θεώρηµα 6: Αν κάθε i a και = b είναι άπειρες σειρές τέτοιες ώστε ai = = b, για k, όπου k είναι ένας θετικός ακέραιος αριθµός, τότε και οι δύο αυτές σειρές συγκλίνουν ή και οι δυο αποκλίνουν Το θεώρηµα 6 µας λέει ότι αν αλλάξουµε έναν πεπερασµένο αριθµό όρων µιας άπειρης σειράς, τότε αυτό δεν επηρεάζει τη σύγκλιση ή µη της σειράς, αν και η αλλαγή αυτή θα έχει ως αποτέλεσµα την αλλαγή στο άθροισµά της i 47

48 Έτσι, αν σε µια άπειρη σειρά αντικαταστήσουµε τους πρώτους k όρους της µε µηδενικά, τότε η σειρά a + a + + a + a + k + k + + συγκλίνει ή αποκλίνει, σύµφωνα µε το τι κάνει η a = Παράδειγµα 5: Να δειχθεί ότι η άπειρη σειρά: συγκλίνει = + + Λύση: = ( + )( + ) ( + )( + ) = Η σειρά αυτή προκύπτει αν από τη σειρά του παραδείγµατος, δηλαδή της , αντικαταστήσουµε τους δυο πρώτους όρους 4 + µε µηδενικά Κατά συνέπεια, αφού αυτή συγκλίνει, πρέπει να συγκλίνει και η δοθείσα σειρά Θεώρηµα 7: Αν a = A και = = b = B, τότε ισχύουν οι εξής ιδιότητες: a + b = A + B = Αν c είναι ένας πραγµατικός αριθµός, τότε a = A = 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ποιες από τις ακόλουθες γεωµετρικές σειρές συγκλίνουν και ποιες αποκλίνουν; Για τις συγκλίνουσες να υπολογιστεί το άθροισµα α), β) 4 =, γ) ( 4) =, δ) = 5 7 = 48

49 Ποιες από τις παρακάτω σειρές συγκλίνουν και ποιες αποκλίνουν; α) γ) , β) ( )( ) , δ) , , + ε), 5 = στ) e = 7 ΣΕΙΡΕΣ ΜΕ ΘΕΤΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ Αν { S } είναι η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων µιας σειράς, οποία περιέχει µόνον θετικούς όρους, τότε S S S a, η = και συνεπώς η { S } είναι µονότονη Αν υπάρχει ένας αριθµός M τέτοιος ώστε S M για κάθε, τότε lim S = S M για κάποιο S Οπότε η σειρά συγκλίνει Αν δεν υπάρχει τέτοιος αριθµός M, τότε η σειρά αποκλίνει Έτσι έχουµε το ακόλουθο θεώρηµα Θεώρηµα 8: Αν a είναι µια σειρά θετικών όρων και αν υπάρχει ένας = αριθµός M τέτοιος ώστε S M για κάθε, τότε η σειρά συγκλίνει και έχει άθροισµα S M Αν δεν υπάρχει τέτοιος αριθµός, τότε η σειρά αποκλίνει Αν µια συνάρτηση f ορίζεται για κάθε πραγµατικό αριθµό, τότε µπορούµε να πάρουµε την άπειρη σειρά f = f + f + + f + = 49

50 Για παράδειγµα, αν f =, τότε f = = Σειρές τέτοιας µορφής µπορούν να εξεταστούν ως προς τη σύγκλιση ή µη, µε το ακόλουθο: ο τεστ σύγκλισης: Αν µια συνάρτηση f παίρνει θετικές τιµές, είναι συνεχής και φθίνουσα για κάθε, τότε η άπειρη σειρά f, συγκλίνει όταν το f d υπάρχει και αποκλίνει όταν το όριο αυτό δεν υπάρχει t lim t = Σειρές της µορφής ονοµάζονται p σειρές και για αυτές έχουµε: p = Θεώρηµα 9: Αν p η σειρά, αποκλίνει, συγκλίνει, ενώ αν p η σειρά p = Παράδειγµα : Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά e = Λύση: Έστω ότι f = e, τότε η δοθείσα σειρά γίνεται f παίρνει θετικές τιµές για και ακόµη ( ) f = e e = e, που σηµαίνει ότι η f είναι φθίνουσα στο διάστηµα [, ), η οποία = Τώρα t lim t e d = lim e lim t t t = = t e e e Άρα, σύµφωνα µε το παραπάνω, η δοθείσα σειρά συγκλίνει ο τεστ σύγκλισης: Έστω ότι a και = b είναι σειρές θετικών όρων, = 5

51 Αν η τότε η Αν η τότε η b συγκλίνει και a b = a συγκλίνει = b αποκλίνει και a b = a αποκλίνει =, για κάθε θετικό ακέραιο,, για κάθε θετικό ακέραιο, Παράδειγµα : Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά 5 = + Λύση: Για κάθε έχουµε ότι = Η είναι µια συγκλίνουσα γεωµετρική σειρά οπότε, από το πιο πάνω, η = 5 δοθείσα σειρά συγκλίνει επίσης ο τεστ σύγκλισης: Έστω ότι a και = b είναι σειρές θετικών όρων, αν = a lim = k, τότε ή και οι δυο σειρές συγκλίνουν ή και οι δυο αποκλίνουν b Παράδειγµα : Να δειχθεί ότι η σειρά αποκλίνει = + Λύση: Έστω ότι b = =, η σειρά p = και κατά συνέπεια αποκλίνει b είναι µια p σειρά µε = a b Τώρα = lim = + lim = + Άρα και η σειρά αποκλίνει = + 5

52 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να δειχθεί ότι η σειρά + 5 συγκλίνει = ( + ) Να εξεταστούν ως προς τη σύγκλιση οι σειρές: α), β) ( ) = +, γ), δ) 4 = = + + +, = + Arcta + cos ε), στ) = + = 9 ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Μια άπειρη σειρά της οποίας οι όροι είναι εναλλάξ θετικοί και αρνητικοί ονοµάζεται εναλλασσόµενη Αυτές, συνήθως έχουν τη µορφή: a a + a a + + a + 4 ή a + a a + a + a +, 4 όπου κάθε a i Για τέτοιες σειρές έχουµε Θεώρηµα : Αν ak a k + για κάθε θετικό ακέραιο k και lim a =, τότε η εναλλασσόµενη σειρά a συγκλίνει = Παράδειγµα: Να δειχθεί ότι η σειρά 4 Λύση: Έστω ότι f = = συγκλίνει 4 f = 8 6, τότε ( 4 ) και έτσι η συνάρτηση f είναι φθίνουσα για κάθε Ο νιοστός όρος της σειράς είναι a = f και κατά συνέπεια ak a k + για κάθε θετικό ακέραιο k Επίσης, 5

53 lim a = lim = Οπότε, από το θεώρηµα πιο πάνω, η δοθείσα σειρά συγκλίνει 4 ΑΠΟΛΥΤΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΑΠΕΙΡΩΝ ΣΕΙΡΩΝ = Μια άπειρη σειρά a λέµε ότι συγκλίνει απόλυτα αν συγκλίνει η σειρά = a = a + a + + a + Μια συγκλίνουσα σειρά, η οποία δεν συγκλίνει απόλυτα, λέµε ότι συγκλίνει υπό συνθήκη Αν a είναι µια σειρά θετικών όρων, τότε a a = σύγκλιση είναι ίδια µε τη συνήθη σύγκλιση = και έτσι η απόλυτη Παράδειγµα: Να ελεγχθούν ως προς την απόλυτη σύγκλιση οι σειρές: α) β) Λύση: α) Παίρνοντας την απόλυτη τιµή των όρων της σειράς έχουµε: , η οποία είναι µια p σειρά, µε p = Άρα 4 συγκλίνει και έτσι η δοθείσα, εναλλασσόµενη σειρά, συγκλίνει απόλυτα β) Η σειρά είναι η αποκλίνουσα αρµονική σειρά Κατά 4 συνέπεια, η δοθείσα σειρά, δεν συγκλίνει απόλυτα Παρόλα αυτά η σειρά είναι εναλλασσόµενη µε ak a k + = για κάθε θετικό ακέραιο k και 5

54 lim a = lim =, έτσι, από το θεώρηµα, συγκλίνει Συνεπώς η σειρά αυτή συγκλίνει υπό συνθήκη Θεώρηµα : Αν µια σειρά συγκλίνουσα και a συγκλίνει απόλυτα, τότε η σειρά αυτή είναι = a a = = Παράδειγµα: Να δειχθεί ότι η σειρά si συγκλίνει = Λύση: Η δοθείσα σειρά δεν είναι εναλλασσόµενη, περιέχει όµως θετικούς και αρνητικούς όρους Αφού si si =, η σειρά των απολύτων τιµών = si που είναι µια συγκλίνουσα σειρά Συνεπώς η δοθείσα συγκλίνει = απόλυτα και σύµφωνα µε το θεώρηµα είναι συγκλίνουσα Θεώρηµα : Μια άπειρη σειρά ιδιότητες: a+ Συγκλίνει απόλυτα αν lim = Λ a a, µη µηδενικών όρων έχει τις εξής = a+ a Αποκλίνει αν lim = Λ ή lim + a a = Παράδειγµα: Να δειχθεί ότι η σειρά αποκλίνει = Λύση: lim a a + = lim + ( + ) = lim =

55 Άρα, από το θεώρηµα, η δοθείσα σειρά αποκλίνει ΑΣΚΗΣΕΙΣ αποκλίνει = 4 - Να εξεταστούν ως προς τη σύγκλιση οι σειρές: Να δειχθεί ότι η άπειρη σειρά α) ( ), β) ( ) = +, = l γ) ( ), δ) ( ) 4 = + + e, = ( + ) Να προσδιοριστεί αν οι πιο κάτω σειρές συγκλίνουν απόλυτα, υπό συνθήκη ή αποκλίνουν α) ( ), β) ( ) = + (-), =! γ), δ) ( ) = + = + e ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Μέχρι τώρα οι άπειρες σειρές που εξετάσαµε περιείχαν µόνον σταθερούς όρους Σηµαντικό ρόλο, όµως σε εφαρµογές, έχουν σειρές που περιέχουν µεταβλητές Για την ακρίβεια αν είναι µια µεταβλητή, τότε µια σειρά της µορφής: a a a a a = ονοµάζεται δυναµοσειρά της µεταβλητής = Αυτό που µας απασχολεί εδώ είναι η εύρεση όλων των τιµών της, για τις οποίες η πιο πάνω σειρά συγκλίνει Προφανώς η δυναµοσειρά συγκλίνει για 55

56 = και για να βρούµε όλες τις άλλες τιµές, συνήθως, κάνουµε χρήση του θεωρήµατος παραπάνω Παράδειγµα : Να βρεθούν όλες οι τιµές της για τις οποίες η δυναµοσειρά συγκλίνει απόλυτα Λύση: Έστω u = και έχουµε: 5 lim u u + + ( + ) 5 = lim + 5 ( + ) = lim = 5 5 Από το θεώρηµα, η δοθείσα σειρά συγκλίνει απόλυτα όταν, δηλαδή 5 όταν 5 5 Επίσης η σειρά αποκλίνει αν 5 ή 5 Για τις τιµές = 5 και = 5 πρέπει να εξετάσουµε την ίδια τη σειρά, δηλαδή να τις αντικαταστήσουµε στη θέση της Έτσι για = 5 παίρνουµε: 5 = = , η οποία αποκλίνει = 5 = Το ίδιο συµβαίνει και για = 5 Συνεπώς η δοθείσα δυναµοσειρά συγκλίνει απόλυτα στο διάστηµα ( 5, 5) και αποκλίνει έξω από αυτό Παράδειγµα : Να βρεθούν όλες οι τιµές της για τις οποίες η δυναµοσειρά συγκλίνει απόλυτα!!! Λύση: Όπως και στο παράδειγµα έχουµε: +! lim = lim = +! + Άρα, η δυναµοσειρά συγκλίνει απόλυτα για κάθε R Θεώρηµα : (i) Αν µια δυναµοσειρά τότε συγκλίνει απόλυτα όταν c a συγκλίνει για ένα αριθµό = c, 56

57 (ii) Αν µια δυναµοσειρά αποκλίνει όταν c a αποκλίνει για ένα αριθµό c =, τότε Θεώρηµα 4: Αν ακόλουθα: = a είναι µια δυναµοσειρά, τότε αληθεύει ένα από τα Η σειρά συγκλίνει µόνον όταν = Η σειρά συγκλίνει απόλυτα για κάθε Υπάρχει θετικός αριθµός c, τέτοιος ώστε η σειρά συγκλίνει απόλυτα αν c και αποκλίνει αν c Παράδειγµα : Να βρεθεί το διάστηµα εντός του οποίου η δυναµοσειρά ( ) + ( ) + + ( ) ( ) + + συγκλίνει Λύση: Έστω u = + και έχουµε: lim ( ) + u + + = lim u + + = lim ( ) = + Οπότε η δυναµοσειρά συγκλίνει απόλυτα αν, δηλαδή στο διάστηµα 4 και αποκλίνει για και 4 Για τις τιµές = και = 4 έχουµε αντίστοιχα: που είναι η γνωστή αποκλίνουσα αρµονική σειρά + + ( ) +, η οποία, από το θεώρηµα για µια + εναλλασσόµενη σειρά, συγκλίνει 57

58 Συνεπώς η δοθείσα σειρά έχει διάστηµα σύγκλισης το (, 4 ] ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το διάστηµα σύγκλισης των παρακάτω δυναµοσειρών: α) ε), β) = + 4 +, στ) = 4, γ), δ) ( ) = = ( ) =, ζ) + ( + 4) =, η) = = 6! 4 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΩΝ Μπορούµε να κάνουµε χρήση µιας δυναµοσειράς µια συνάρτηση f, της οποίας το πεδίο ορισµού σύγκλισης της σειράς Ειδικότερα, για κάθε D( f ) σειρά, δηλαδή f a a a a = a για να ορίσουµε = D f είναι το διάστηµα, εξισώνουµε την f µε τη Σε αυτήν την περίπτωση λέµε ότι η = a είναι µια αναπαράσταση δυναµοσειράς της συνάρτησης f Για παράδειγµα, αν, τότε = + + ( ) + + και τούτο διότι, από το θεώρηµα, η γεωµετρική σειρά στο δεξί µέλος συγκλίνει και έχει άθροισµα ίσο µε + f Συνεπώς, η ( ) = + είναι µια αναπαράσταση δυναµοσειράς της = 58

59 Μια συνάρτηση f, όπως πιο πάνω, έχει πολλές ιδιότητες παρόµοιες µε αυτές ενός πολυωνύµου, δηλαδή είναι συνεχής, παραγωγίσιµη και της οποίας η αναπαράσταση δυναµοσειράς βρίσκεται αν παραγωγίσουµε κάθε όρο της δοθείσας σειράς Επίσης ορισµένα ολοκληρώµατα της f βρίσκονται αν ολοκληρώσουµε κάθε όρο της σειράς της Έχουµε το ακόλουθο θεώρηµα Θεώρηµα 5: Αν µια δυναµοσειρά ( r, r) = a έχει διάστηµα σύγκλισης διάφορο του µηδενός και αν µια συνάρτηση f ορίζεται από την τότε για κάθε ( r, r), f a a a a = , Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σηµείο Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο και f = a + a + a + + a f t dt = a + a + a + + a + Παράδειγµα : συνάρτηση f = Να βρεθεί µια αναπαράσταση δυναµοσειράς για τη + Λύση: Παραγωγίζουµε κάθε όρο της σχέσης: και παίρνουµε: = + + ( ) + + = + + +, ( + ) µε την προϋπόθεση ότι (, ), έχουµε ότι 59

60 ( + ) + = Παράδειγµα : Να βρεθεί µια αναπαράσταση δυναµοσειράς για τη συνάρτηση Arcta Λύση: Γνωρίζουµε ότι dt = Arcta + t θεώρηµα έχουµε: και για (, ) 4 = + + ( ) + + Τώρα από το θεώρηµα 5, ολοκληρώνοντας τη σχέση αυτή παίρνουµε: 5 + Arcta = + + ( ) Η σειρά αυτή είναι γνωστή ως σειρά του Gregory, από το 5 ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR ΚΑΙ MACLAURIN Έστω ότι µια συνάρτηση f δίνεται από τη σχέση:, = = ( ) f a c όπου το πεδίο ορισµού D( f ) της f είναι ένα ανοικτό διάστηµα που περιέχει το c Παραγωγίζοντας διαδοχικά τους όρους της παραπάνω σειράς παίρνουµε: f = a c = f = a c = Gregory, James (68 675) Σκωτσέζος αστρονόµος και µαθηµατικός 6

61 f = a c = k, = ( k ) = ( ) ( + ) ( ) f k a c όπου k είναι θετικός ακέραιος αριθµός Κάθε µια από τις παραπάνω σειρές των παραγώγων έχει την ίδια ακτίνα σύγκλισης µε αυτήν της f Αντικαθιστώντας το c στη θέση του παίρνουµε: ( k ) f c a, f c a, f c a,, f c k! a k = = = = ή Κατά συνέπεια έχουµε: a ( ) ( c),,, f = =! ( ) f c f c f = f ( c) + f ( c)( c) + c + + c +!! Η σειρά αυτή ονοµάζεται σειρά Taylor για τη συνάρτηση f στο c Η ειδική περίπτωση όπου c = δίνει: ( ) f f = !! f f f ονοµάζεται σειρά Maclauri 4 για τη συνάρτηση f Παράδειγµα : Να βρεθεί η σειρά Maclauri για τη συνάρτηση f = si Λύση: f = si, f = Παραγωγίζουµε διαδοχικά και έχουµε: Taylor, Brooke (685 7) Άγγλος µαθηµατικός και φιλόσοφος 4 Maclauri, Coli ( ) Σκωτσέζος φυσικοµαθηµατικός 6

62 f = cos, f =, f = si, f =, f = cos, f =, ( 4 f ) = si, ( 4 ) f =, κοκ Αντικαθιστώντας στην πιο πάνω σειρά παίρνουµε: 5 + f = si = + + +! 5!! ( + ) Παράδειγµα : Να βρεθεί η σειρά Maclauri για τη συνάρτηση f = cos d Λύση: Αφού ( si ) = cos αντί να κάνουµε όπως στο παράδειγµα d παραπάνω, παραγωγίζουµε κάθε όρο της σειρά του ηµίτονου και παίρνουµε: 4 f = cos = + + +! 4!! ( ) 6 Η ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΣΕΙΡΑ Το ιωνυµικό Θεώρηµα λέει ότι αν τότε για κάθε a και b πραγµατικούς αριθµούς, ισχύει: ( a b) k + = k είναι ένας θετικός ακέραιος αριθµός, ( ) ( ) ( + ) k k k k k k k k k k = a + ka b + a b + + a b + + b!! Αν τώρα, θέσουµε a = και b = παίρνουµε: ( ) ( ) ( + ) k k k k k k k + = + k !! 6