Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός). α. Κλάσµα λέγεται ο αριθµός που γίνεται από επανάληψη µιας κλασµατικής µονάδας, έχει τη µορφή β α όπου α, β φυσικοί αριθµοί και β 0.. Ο αριθµός α λέγεται αριθµητής, ο β παρανοµαστής και τα δύο µαζί µε ένα όνοµα όροι του κλάσµατος. Αριθµητής Κλασµατική γραµµή Όροι του κλάσµατος Παρανοµαστής Παρατηρήσεις Ο παρονοµαστής ενός κλάσµατος δεν µπορεί να είναι µηδέν. Ο παρονοµαστής ενός κλάσµατος δείχνει σε πόσα ίσα µέρη χωρίστηκε η ακέραια µονάδα, ενώ ο αριθµητής δείχνει πόσες κλασµατικές µονάδες πήραµε.. Κάθε κλάσµα είναι ένα πηλίκο µιας διαίρεσης, όπου ιαιρετέος είναι ο αριθµητής και διαιρέτης ο παρανοµαστής, δηλαδή α : β. Ένα διαφορετικό όνοµα είναι: «ο λόγος του α α β προς το β». Παρατηρήσεις: Κάθε φυσικός αριθµός γράφετε µε κλασµατική µορφή θέτοντας για παρανοµαστή την α µονάδα. π.χ., α. Όταν ο αριθµητής ενός κλάσµατος είναι το µηδέν, το κλάσµα ισούται µε µηδέν 0 0 0 0 π.χ. 0...... ν Όταν οι όροι ενός κλάσµατος είναι ίσοι τότε το κλάσµα ισούται µε ένα ν π.χ....... ν Όταν σε ένα κλάσµα ο αριθµητής είναι πολλαπλάσιο του παρονοµαστή, τότε το κλάσµα ισούται µε ένα φυσικό αριθµό. π.χ.,... Πρόβληµα αναγωγής στη µονάδα Ένας µισθωτός πληρώνει για ενοίκιο 00. Αν το ποσό αυτό είναι τα του µισθού του, τότε πόσος είναι ο µισθός του; ΛΥΣΗ τα του µισθού 00, άρα το του µισθού 00 : 00, τα ή ο ένας µισθός 00.00 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ

Εξισώσεις (δύο µορφές): ) x 0 κλάσµα ίσο µε µηδέν (Σκέψη ο αριθµητής θα είναι µηδέν) δηλαδή χ 0 άρα χ ) x 0 κλάσµα ίσο µε ένα (Σκέψη αριθµητής ίσος µε παρανοµαστή) δηλαδή χ0 άρα χ0 άρα χ Λύσε: x x x x x 0,, 0,,, x x 0, Ισοδύναµα Κλάσµατα. ύο η περισσότερα κλάσµατα που εκφράζουν το ίδιο µέρος µιας ποσότητας λέγονται ισοδύναµα. π.χ.το και, και «συµβολίζω» 0 0. Αν πολλαπλασιάσουµε ή διαιρέσουµε και τους δύο όρους ενός κλάσµατος µε τον ίδιο µη µηδενικό φυσικό αριθµό, τότε προκύπτει ισοδύναµο κλάσµα. : π.χ.πολ/ζω µε του όρους, διαιρώ µε τους όρους, 0 0 : α λ α γενικά, όπου β και λ διάφορα του µηδενός. β λ β. Η διαίρεση των όρων µε τον ίδιο αριθµό λέγεται απλοποίηση.. Ανάγωγο λέγεται το κλάσµα που οι όροι του είναι πρώτοι αριθµοί. ηλαδή πρέπει να γίνει η περισσότερο δυνατή απλοποίηση και επιτυγχάνεται αν διαιρεθούν και οι δύο όροι µε τον : Μ.Κ.. π.χ. όπου ΜΚ (,0) 0 0 : Παρατηρήσεις: Ένας φυσικός αριθµός α γράφεται σαν κλάσµα µε παρονοµαστή κάθε φυσικό λ 0 : α α λ α λ α λ λ α γ ύο κλάσµατα και β δ είναι ίσα, όταν α δ β γ. (χιαστί γινόµενο) Μετατροπή ετερωνύµων κλασµάτων σε οµώνυµα Ορισµοί: ύο ή και περισσότερα κλάσµατα που έχουν τον ίδιο παρανοµαστή λέγονται οµώνυµα π.χ.,, ύο µόνο κλάσµατα µε διαφορετικό παρανοµαστή λέγονται ετερώνυµα π.χ., Μετατροπή δύο ή περισσότερων κλασµάτων σε οµώνυµα, λέγεται η αντικατάστασή τους από ισοδύναµά τους οµώνυµα κλάσµατα. Μέθοδος για µετατροπή: α] Πάνω από το κάθε κλάµα βάζω το σύµβολο «καπελάκι» β] Βρίσκω το Ε.Κ.Π. όλων των παρανοµαστών. ύο φυσικοί αριθµοί α, β λέγονται πρώτοι αν Μ.Κ..(α, β). ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ

γ] σε κάθε καπελάκι βάζω τον αριθµό που θα βρω διαιρώντας το Ε.Κ.Π. δια του α- ντίστοιχου παρανοµαστή. δ] Πολλαπλασιάζω τον αριθµό που είναι στο «καπελάκι» µε τους όρους του κλάσµατος. Παρατηρήσεις: Για να διαπιστώσω αν δύο κλάσµατα είναι ισοδύναµα πολλαπλασιάζω χιαστί τους όρους τους. 0 0 0 0,, π.χ 0 0 Άρα είναι ισοδύναµα ενώ 0 Άρα δεν είναι ισοδύνα- µα α γ γενικά αν τότε α δ β γ, οι όροι α και δ, ( ος και ος ) λέγονται άκροι β δ ενώ β και γ, ( ος και ος ) λέγονται µέσοι. Κάθε φυσικός αριθµός γράφεται σαν κλάσµα µε οιονδήποτε επιθυµητό παρανο- µαστή. α α λ α λ αλ λ πρέπει το λ 0, π.χ. Μοντέλο εξίσωσης: x χ χ χ: χ Σύγκριση κλασµάτων. Οµώνυµα κλάσµατα: Μεγαλύτερο είναι εκείνο µε τον µεγαλύτερο αριθµητή. π.χ. >. Ετερώνυµα κλάσµατα: Τα µετατρέπω σε οµώνυµα και συγκρίνω όπως παραπάνω. Ειδική περίπτωση, ετερώνυµα µε ίδιο αριθµητή. Μεγαλύτερο είναι εκείνο µε τον µικρότερο παρανοµαστή. π.χ. >. Σύγκριση κλάσµατος µε την µονάδα: α α I. Σε κλάσµα, αν ο αριθµητής µικρότερος του παρανοµαστή (α < β), τότε <. β β α α II. Σε κλάσµα, αν ο αριθµητής µεγαλύτερος του παρανοµαστή (α > β), τότε > β β Παρατηρήσεις: Η αξία ενός κλάµατος πολλαπλασιάζεται αν πολλαπλασιάσουµε τον αριθµητή µε ένα α- ριθµό ή διαιρέσουµε τον παρανοµαστή µε ένα αριθµό. Η αξία ενός κλάµατος διαιρείται αν διαιρέσουµε τον αριθµητή µε ένα αριθµό ή πολλαπλασιάσουµε τον παρανοµαστή µε ένα αριθµό. ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ

Πρόσθεση κλασµάτων. Οµώνυµα κλάσµατα: Το άθροισµα δύο ή περισσοτέρων οµώνυµων κλασµάτων είναι κλάσµα που έχει για αριθµητή το άθροισµα των αριθµητών και παρανοµαστή τον κοινό παρανοµαστή. α γ α γ π.χ. γενικά β β β. Ετερώνυµα κλάσµατα: Τα µετατρέπουµε σε οµώνυµα και προσθέτουµε όπως παραπάνω ( ( π.χ. ΕΚΠ(,), Παρατήρηση: Το άθροισµα φυσικού και κλάσµατος ονοµάζεται µεικτός αριθµός και γράφεται χωρίς το. π.χ.. Ο µεικτός µετατρέπεται σε κλάσµα που έχει τον ίδιο παρανοµαστή και αριθµητή το άθροισµα (αριθµητή και γινοµένου φυσικού µε παρανοµαστή), δηλαδή Αφαίρεση κλασµάτων. Οµώνυµα κλάσµατα: Η διαφορά δύο οµώνυµων κλασµάτων είναι κλάσµα που έχει για αριθ- µητή τη διαφορά των αριθµητών και παρανοµαστή τον κοινό παρανοµαστή. α γ α γ π.χ. γενικά β β β. Ετερώνυµα κλάσµατα: Τα µετατρέπουµε σε οµώνυµα και εργαζόµαστε όπως παραπάνω. ( ( π.χ. ΕΚΠ(,), Απλές ασκήσεις. Να γίνουν οι προσθέσεις: α] β] γ] δ] ε] στ]. Να γίνουν οι προσθέσεις: α] ε] β] γ] δ] στ] ζ] 0. Να γίνουν µικτοί και να υπολογιστούν τα αθροίσµατα:,, 0,,,. Να γίνουν οι διαφορές: α] β] γ] δ] ε] στ]. Όµοια α] β] γ] δ] ε] στ] ζ] 0 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ

Πολλαπλασιασµός ιαίρεση Κλασµάτων. Το γινόµενο δύο κλασµάτων είναι κλάσµα που έχει για αριθµητή το γινόµενο των αριθµητών και για παρανοµαστή το γινόµενο των παρανοµαστών. 0 α γ α γ π.χ. γενικά β δ β δ. Γινόµενο φυσικού αριθµού µε κλάσµα είναι το κλάσµα που έχει για αριθµητή το γινόµενο του φυσικού µε τον αριθµητή και παρανοµαστή τον ίδιο. 0 α x α π.χ. γενικά x β β. ύο αριθµοί λέγονται αντίστροφοι όταν το γινόµενό τους ισούται µε ένα.(ο καθένας είναι αντίστροφος του άλλου) π.χ., αντίστροφος του είναι το, αντίστροφο του είναι το γενικά α β αντίστροφος του είναι το (όπου α και β αριθµοί που δεν είναι µηδέν). β α Παρατηρήσεις: Το µηδέν δεν έχει αντίστροφο. Το ένα έχει αντίστροφο τον εαυτόν του. Κάθε άλλος αριθµός είναι διαφορετικός του αντιστρόφου του.. Το πηλίκο της διαίρεσης δύο κλασµάτων το βρίσκουµε αν: τον διαιρετέο ( ο κλάσµα) τον πολλαπλασιάσουµε µε τον αντίστροφο του διαιρέτη ( ο κλάσµα). π.χ. : α γ α δ γενικά : β δ β γ. Σύνθετο λέγεται το κλάσµα πού τουλάχιστον ο ένας από τους όρους του είναι κλάσµα. π.χ. Απλές ασκήσεις. Να γίνουν οι πράξεις: 0 0. Όµοια. Να λυθούν οι εξισώσεις X X X X X. Να γίνουν οι πράξεις : : : : : 0 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ

εκαδικά Κλάσµατα - εκαδικοί αριθµοί. εκαδικό κλάσµα λέγεται το κλάσµα, που ο παρονοµαστής του είναι 0 ή δύναµη του 0, δηλαδή 00, 000 κλπ. π.χ. τα κλάσµατα,, είναι δεκαδικά κλάσµατα. 0 00 00. Γενικά, κάθε δεκαδικό κλάσµα γράφεται σαν δεκαδικός αριθµός, γράφοντας και αποκόπτοντας από τον αριθµητή τόσα δεκαδικά ψηφία όσα µηδενικά έχει ο παρονοµαστής π.χ., ή, 00 0. Για να µετατρέψουµε ένα δεκαδικό αριθµό σε δεκαδικό κλάσµα, γράφουµε ένα κλάσµα µε αριθµητή τον αριθµό χωρίς την υποδιαστολή και για παρονοµαστή το ένα και µηδενικά τόσα, όσα ήταν τα δεκαδικά ψηφία. π.χ., ή 00, 0. Για να µετατρέψουµε ένα κλάσµα σε δεκαδικό αριθµό, αρκεί να κάνουµε την διαίρεση του α- ριθµητή µε τον παρονοµαστή. ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ

Ασκήσεις στα κλάσµατα. Χωρίσαµε ένα κτήµα σε ίσα οικόπεδα που το καθένα είναι τα του κτήµατος: α] σε πόσα µέρη χωρίσαµε το κτήµα; β] αν το οικόπεδο κοστίζει.00 πόσο κοστίζει το κτήµα;. Τα των χρηµάτων που έχω στο πορτοφόλι µου είναι 0. Πόσα χρήµατα έχω συνολικά στο πορτοφόλι µου;. Το του λίτρου βενζίνης κοστίζουν 0 λεπτά του. Να βρεθεί πόσο κοστίζουν τα: α] ένα λίτρο, β] του λίτρου, γ] τα λίτρα.. Τα των µαθητών του σχολείου είναι κορίτσια. Αν τα αγόρια είναι 0, πόσους µαθητές έχει το σχολείο και πόσα τα κορίτσια;. Ένα χωριό µε 0 κατοίκους τα 0 είναι µικρά παιδιά. Ποιο µέρος των κατοίκων του χωριού είναι τα παιδιά;. Να λυθούν οι εξισώσεις: x x x x x 0,,,, 0,, x x x x 0, 0,. Να συµπληρωθούν οι ισότητες:...,... 0,...,...,..., 0..........,,...,. Να βρείτε επτά ισοδύναµα κλάσµατα του κλάσµατος.. Όµοια των,, 0 0 0. Να απλοποιήσετε τα κλάσµατα:,,,,, 0 0. Να γράψετε τους αριθµούς,,,,,,, ως κλάσµατα και µετά ως κλάσµατα µε παρανοµαστή το.. Να µετατρέψεις το κλάσµα σε ισοδύναµο µε παρανοµαστή τους αριθµούς,, 0,, 0,,. Το καθένα από τα κλάσµατα,,,,, να µετατραπεί σε ισοδύναµο κλάσµα µε 0 0 0 παρανοµαστή το 0. x x. Να λυθούν οι εξισώσεις,,,, x x x y x 0,,,, 0 x y α. Να βρεθεί η τιµή του α ώστε τα κλάσµατα και να είναι ισοδύναµα. ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ 0

0. Οµοίως να βρεθεί το x ώστε το, ισοδύναµο µε το. x. Να τραπούν τα κλάσµατα σε οµώνυµα: α] 0 ε] στ] ζ] 0. Να συγκριθούν τα παρακάτω κλάσµατα: α], β], γ], δ] β]. Να συγκριθούν µε το ένα τα κλάσµατα,,,,, 0. Να διατάξετε από µικρό προς µεγάλο τις παρακάτω οµάδες κλασµάτων: α]. Να συγκρίνετε τα κλάσµατα α α β] & α α γ] γ] 0 0. Να απλοποιήσετε τα κλάσµατα Α, Β ( ) : ( ) ( ) δ] 0 0 Προβλήµατα στα κλάσµατα. Σε ένα εστιατόριο κατανάλωσαν κιλά κρέας µοσχαρίσιο, κιλά κιµά και, κιλά κοτόπουλο. Αν το µοσχάρι κοστίζει, ο κιµάς, και το κοτόπουλο, να υπο- λογίσετε την συνολική δαπάνη της αγοράς.. Ένα οικόπεδο έχει εµβαδόν τα του στρέµµατος, ένα άλλο είναι µεγαλύτερο κατά του στρέµ. από το πρώτο. Πόσο πουλήθηκαν και τα δύο µαζί αν το m κοστίζει 0 ;. Ποιόν αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στο κλάσµα για να βρούµε αποτέλεσµα.. Ένα περιβόλι φυτεύτηκε κατά µε ντοµάτα, µε µπάµιες και το υπόλοιπο µε πιπεριές. Ποιο µέρος του χωραφιού φυτεύτηκε µε πιπεριές;. Αν η ηλικία ενός ανθρώπου αυξηθεί κατά τότε θα γίνει χρόνων. Ποια η σηµερινή ηλικία;. Αν στα ενός βυτίου χωράνε, m νερό, πόσο νερό χωρά: α] όλο το βυτίο β] πόσο τα του βυτίου.. Τρία παιδιά κληρονόµησαν από τον πατέρα τους τα της περιουσίας και ο καθένας πήρε.000. Πόση ήταν ολόκληρη η περιουσία;. Το κλάσµα, να γίνει φορές µεγαλύτερο µε µεταβολή και των δύο όρων. ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ

. Ένας κτίστης κατασκευάζει τοίχο του m σε µία ώρα. Αν εργαστεί από τις µέχρι τις το µεσηµέρι πόσα m θα κτίσει; το πρωί 0. Ένας ταξιδιώτης πλήρωσε συνολικά για εισιτήρια 0. Η γυναίκα του πλήρωσε ολόκληρο, το παιδί του µισό και ο ίδιος του εισιτηρίου γιατί είχε παραπανίσιες αποσκευές. Να βρεθεί η τιµή του εισιτηρίου. Ασκήσεις στα κλάσµατα (ΙΙ). Να βρεθούν τα αθροίσµατα: α] β] 0 γ] δ] ε]. Όµοια α] β] γ] 0 δ] ε] στ]. Όµοια α] β] γ] δ]. Να υπολογιστούν τα αθροίσµατα: Α Β, Α Γ, Β Γ, Α Β Γ όπου Α, Β, Γ 0. Να βρεθούν µε τον απλούστερο δυνατό τρόπο τα αθροίσµατα: Α Β Γ. Να υπολογιστούν τα αθροίσµατα: α] 0, β] 0, 0 γ] 0 δ] 0 ε], στ], 0 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ

Ασκήσεις στα κλάσµατα (ΙΙΙ). Να βρεθούν τα εξαγόµενα: Α Β Γ Ε Ζ. Να βρεθούν µε δύο τρόπους τα αθροίσµατα: α] β] γ] δ]. Να βρεθούν µε απλούστερο τρόπο τα αθροίσµατα: Α Β Γ. Να υπολογιστούν τα αθροίσµατα: ΑΒ, Β Α όπου Α Β. Να βρεθούν τα εξαγόµενα: Α Β Γ Ε 0 0 0 0. Να βρεθούν τα εξαγόµενα: α] β] γ] δ]. Όµοια: Α Β Γ 0 0 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ

ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ. Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις: α] : : και : : β] : : και : : 0. Να βρεθούν τα εξαγόµενα: α] : β] : γ] : δ] : ε] :. Όµοια: Α 0 :, : Β, : Γ : Ε : : Προσοχή! : : : : : : Μόνο το ο & ο είναι το ίδιο