ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β α Αν <0, τότε η εξίσωση δεν έχει πραγµατικές ρίζες. Ισχύουν οι εξής τύποι: β γ 1 +, 1 α α ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Εστω το τριώνυµο α + β + γ, α 0. Αν >0, τότε το τριώνυµο είναι : εκτός των ριζών οµόσηµο του α ανάµεσα στις ρίζες ετερόσηµο του α Αν 0, τότε το τριώνυµο είναι οµόσηµο του α (εκτός από τα σηµεία που µηδενίζεται) Αν <0, τότε το τριώνυµο είναι παντού οµόσηµο του α. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σωτήρης Τσαντίλας (PhD), Μαθηµατικός - Αστροφυσικός 1
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1 π/ -1 π 1 Τριγωνοµετρικός κύκλος 0 ή π 3π/ -1 Ισχύουν: ηµ ( κ 360 συν ( κ 360 o + ω), o + ω), εφ( κ 360 σφ( κ 360 o o + ω ) εφω, + ω) σφω 1 1 1 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ(,y) ρ1 y 1) ηµ ω+ συν ω 1 O Απόδειξη Σχ.1. -1 Αν Μ(,y) είναι το σηµείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο, τότε και y Εποµένως ηµ ω+ συν ω + y ρ 1 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σωτήρης Τσαντίλας (PhD), Μαθηµατικός - Αστροφυσικός
) εφω, σφω Απόδειξη Από το ίδιο σχήµα (1), έχουµε y εφω σφω y (εφόσον 0 ) (εφόσον y 0 ) 3) εφω σφω 1 Απόδειξη Από την προηγούµενη σχέση έχουµε: εφω σφω 1 Ισχύουν επίσης: 1 συν ω και 1+ εφ ω εφ ω ηµ ω 1+ εφ ω Τύπος µετατροπής (ακτίνια-µοίρες): α π µ 180 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σωτήρης Τσαντίλας (PhD), Μαθηµατικός - Αστροφυσικός 3
Τριγωνοµετρικοί αριθµοί βασικών γωνιών: Μοίρες Ακτίνια εφω σφω 0 0 0 1 0 εν ορίζεται 30 π/6 1/ 3 / 3 / 3 3 45 π/4 / / 1 1 60 π/3 3 / 1/ 3 3 / 3 90 π/ 1 0 εν ορίζεται 0 Μνηµονικός κανόνας για τον παραπάνω πίνακα. Συµπληρώνουµε την στήλη του ηµιτόνου ως εξής: 0 /, 1 /, /, 3 /, 4 /, οπότε προκύπτουν οι τιµές που αναγράφονται. Αντιστρέφουµε τη στήλη του ηµιτόνου και την τοποθετούµε στο συνηµίτονο. ιαιρούµε το ηµίτονο δια του συνηµιτόνου και παίρνουµε τη στήλη της εφαπτοµένης. Αντιστρέφουµε τη στήλη της εφαπτοµένης και παίρνουµε τη στήλη της συνεφαπτοµένης. ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ηµ ( ) ηµ ηµ ( π ) ηµ ηµ ( π + ) ηµ ηµ ( π ) συν συν( π ) ηµ συν( ) συν συν( π ) συν συν( π + ) συν εφ( ) εφ εφ( π ) εφ εφ( π + ) εφ εφ( π ) σφ σφ( ) σφ σφ( π ) σφ σφ( π + ) σφ σφ( π ) εφ Μνηµονικός κανόνας: α) Ελέγχουµε το πρόσηµο του αποτελέσµατος ανάλογα µε το τεταρτηµόριο του αρχικού τόξου. Π.χ. το (π-) βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο, αφού από το π αφαιρούµε τόξο. β) Αν το αρχικό τόξο έχει µέσα στην παρένθεση τριγωνοµετρικός αριθµός αλλάζει. Π.χ. το ηµ ( π ) θα γίνει συν. π ή 3π ( 90 o ή 70 o αντίστοιχα) τότε ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµ ηµθ κπ + θ κπ + π θ, κ Ζ συν συνθ κπ ± θ, κ Ζ εφ εφθ κπ + θ, κ Ζ σφ σφθ κπ + θ, κ Ζ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σωτήρης Τσαντίλας (PhD), Μαθηµατικός - Αστροφυσικός 4
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ συν( α β) συνασυνβ + ηµαηµβ συν( α + β) συνασυνβ ηµαηµβ ηµ ( α β) ηµασυνβ ηµβσυνα ηµ ( α + β) ηµασυνβ + ηµβσυνα εφα + εφβ σφασφβ 1 εφ( α + β) σφ( α + β) 1 εφαεφβ σφβ + σφα εφα εφβ σφασφβ + 1 εφ( α β) σφ( α β) 1+ εφαεφβ σφβ σφα ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ α ηµ α ηµασυνα συνα συν α ηµ α συν α 1 1 ηµ α εφα εφα 1 εφ α 1 συνα 1 συνα ηµ α συν α + 1 συνα εφ α 1+ συνα Παρατήρηση: Ισχύουν επίσης: ηµα ηµ α συν α συνα συν α ηµ α συν α 1 1 ηµ α εφ α εφα 1 εφ α ηµ α 1 συνα συν α 1 + συνα εφ α 1 συνα 1+ συνα ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ηµασυνβ ηµ ( α + β) + ηµ ( α β) συνασυνβ συν( α β) + συν( α + β) ηµαηµβ συν( α β) συν( α + β) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σωτήρης Τσαντίλας (PhD), Μαθηµατικός - Αστροφυσικός 5
Α + Β Α Β ηµα + ηµβ ηµ συν Α Β Α + Β ηµα ηµβ ηµ συν Α + Β Α Β συνα + συνβ συν συν Α Β Α + Β συνα συνβ ηµ ηµ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ α β γ Νόµος ηµιτόνων: R ηµ A ηµβ ηµγ Νόµος συνηµιτόνων: α β + γ βγσυνα β α + γ αγσυνβ γ α + β αβσυνγ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τριγωνοµετρικοί αριθµοί των α+β, α-β Α Οµάδα 4 π 5 3π 1) Αν ηµα µε < α < π και ηµβ µε < β < π, να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς 5 13 αριθµούς της γωνίας α+β. ) Να αποδείξετε ότι: συν( 45 ) συν( 45 y) ηµ ( 45 ) ηµ ( 45 y) ηµ ( + y ). π 3) Να λύσετε την εξίσωση: συν + + ηµ 0. 6 4) Να λύσετε τις εξισώσεις στο διάστηµα [0,π) π π i) ηµ ηµ ii) συν συν π 1 + 1+. 3 4 4 4 Β Οµάδα 1) Αν συν+συνyα και ηµ+ηµyβ, να υπολογισθεί το συν(-y) ) Να αποδείξετε ότι: εφ εφ εφ3 εφ 1 εφ εφ 3) Αν α+βπ/4, να αποδείξετε ότι: (1+εφα)(1+εφβ). 4) Να αποδείξετε ότι: εφα+εφα-εφ3α+εφαεφαεφ3α0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σωτήρης Τσαντίλας (PhD), Μαθηµατικός - Αστροφυσικός 6
5) α) Αν α+β+γπ, να αποδείξετε ότι: συν α + συν β + συν γ + συνασυνβσυνγ 1 β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει συν Α + συν Β + συν Γ 1, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 6) Να λύσετε την εξίσωση: εφ π εφ π 3 4 4 + στο διάστηµα [0,π). 7) Να αποδείξετε ότι η παράσταση: y συν + συν ( + α) συνασυνσυν( + α) είναι ανεξάρτητη από το. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τριγωνοµετρικοί αριθµοί του α 1) Να αποδείξετε ότι: ηµ α α συν α εφα β ηµ α 1 συνα ), ) εφ α 1+ 1 συνα συνα ) Να αποδείξετε ότι: εφ π συν 4 1 + ηµ 4 3) Να αποδείξετε ότι: ηµ π 4 3π ηµ 8 + 3 8 4 4) Αν συνα ω συνβ y ω, και συνγ, να αποδείξετε ότι: εφ α εφ β εφ γ y + ω + + y + + 1. 5) Να αποδείξετε ότι: α) ( συν συνy) + ( ηµ ηµ y) 4ηµ β) σφ α σφ α 1 α κπ σφα y. 6) Αν εφ β 1+ εφ α, να δείξετε ότι: συνα 1+ συνβ. 7) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) συν ηµ β) συν ηµ 0 1 6 + + 8) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) συν ηµ 1 β) συν + 3συν γ) ηµ συν ηµ συν 1 + + + + 0. 9) Αν 0, π, να αποδείξετε ότι: 1 + < + εφ εφ π. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σωτήρης Τσαντίλας (PhD), Μαθηµατικός - Αστροφυσικός 7
10) Να αποδείξετε ότι: i) εφ π εφ π εφ ii) εφ π εφ π + 4 4 4 +. 4 συνα 11) Να αποδείξετε ότι: i) π συν ηµ π ηµ ii) 1 ηµ π ηµ 4 4 4. 1) Να αποδείξετε ότι: ηµ + ηµ εφ. 1+ συν + συν 13) Να αποδείξετε ότι: y i) ( συν + συνy) + ( ηµ + ηµ y) 4συν ii) ( συν + συνy) + ( ηµ ηµ y) 4συν + y Βιβλιογραφία 1. Μεϊντάνης Ι., 1983, «Μαθηµατικά της Β Λυκείου», εκδ. Παπαδηµητρόπουλου.. Μπαραλός Γ., «Άλγεβρα Β Λυκείου», εκδ. Παπαδηµητρόπουλου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σωτήρης Τσαντίλας (PhD), Μαθηµατικός - Αστροφυσικός 8