ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΚΤΙΝΩΝ ΔΥΣΤΡΕΨΙΑΣ ΠΟΛΥΩΡΟΦΩΝ ΚΤΙΡΙΩΝ Calculation of Torsional Stiffness Radii of Multistory Buildings

3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 008 Άρθρο 1999 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΚΤΙΝΩΝ ΔΥΣΤΡΕΨΙΑΣ ΠΟΛΥΩΡΟΦΩΝ ΚΤΙΡΙΩΝ Calculation of Torsional Stiffness Radii of Multistory Buildings Τριαντάφυλλος ΜΑΚΑΡΙΟΣ 1, Χαρίτων ΞΕΝΙΔΗΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Από τις μετασεισμικές εμπειρίες ισχυρών σεισμών, έχει παρατηρηθεί ότι συχνά εμφανίζονται περισσότερες βλάβες στην περίμετρο των κτιρίων από ό,τι σε άλλα σημεία. Αυτό αποδίδεται κυρίως στις στρεπτικές ταλαντώσεις των ορόφων περί κατακόρυφο άξονα, οι οποίες προκαλούν στην περίμετρο των κτιρίων πρόσθετες μετακινήσεις, συγκριτικά με αυτές που προκαλούνται από την αντίστοιχη αμιγή μεταφορική ταλάντωση. Οι στρεπτικές ταλαντώσεις είναι έντονες όταν τα κτίρια διαθέτουν μικρή ακτίνας δυστρεψίας. Η σπουδαιότητα της δυστρεψίας/ευστρεψίας των κτιρίων αναγνωρίζεται από τους περισσότερους σύγχρονους αντισεισμικούς κανονισμούς, που προτείνουν πλέγμα διατάξεων, ώστε να μην εμφανίζεται λειτουργία «μαλακού» ορόφου λόγω στρεπτικών ταλαντώσεων περί κατακόρυφο άξονα. Παρά ταύτα, οι σύγχρονοι αντισεισμικοί κανονισμοί δεν είναι σε θέση να διακρίνουν πάντοτε το εύστρεπτο από το δύστρεπτο κτίριο. Η παρούσα εργασία αναφέρεται στον υπολογισμό της ακτίνας δυστρεψίας των πολυώροφων κτιρίων τεκμηριώνοντας μαθηματικά το ορθολογικό κριτήριο που προτείνεται από τον ΕΑΚ/003 σχετικά με την ελάχιστη ακτίνα δυστρεψίας που πρέπει να διαθέτει ένα κτίριο. ABSTRACT : Many damage on the perimeter of multistory buildings often have been appeared after strong earthquaes and it due to the floor torsional vibrations around a vertical axis, because additional displacements are resulted contrary to those of a respective pure floor translational vibrations. Building torsional vibrations are very important when the building has small torsional stiffness radius. The importance of the torsional flexibility of buildings is recognized by the contemporary Seismic Codes that propose a grid of torsional provisions in order to avoid the soft-storey operation due to floor torsional vibrations around a vertical axis. However, the torsional flexibility of a building is not always distinguished by the contemporary Seismic Codes. The present paper refers to documented definition of the torsional stiffness radii on multistory buildings, which have regularity in elevation, as well as on definition of their minimum torsional stiffness radii in order to be torsionally stiff. 1 Εντετ. Ερευνητής, Ινστ. Τεχν. Σεισμ.& Αντισεισμ. Κατασκευών (ΙΤΣΑΚ), Θεσ/νίκη, email: maarios@itsa.gr Αναπλ. Καθηγητής, Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., Θεσ/νίκη, email: xharis@civil.auth.gr

Το μονώροφο ασύμμετρο σύστημα ΤΟ ΜΟΝΩΡΟΦΟ ΑΣΥΜΜΕΤΡΟ ΚΤΙΡΙΟ Θεωρούμε το ασύμμετρο μονώροφο σύστημα με διαφραγματική λειτουργία περί κατακόρυφο άξονα στη στάθμη του ορόφου, το οποίο στηρίζεται σε αβαρή κατακόρυφα στοιχεία δυσκαμψίας (στύλους, πλαίσια και τοιχώματα, σχ.1α). Το σημείο Ο(0,0) του διαφράγματος έχει τρεις ελευθερίες κίνησης: δύο οριζόντιες μετατοπίσεις u x και u y κατά μήκος των αξόνων x και y αντίστοιχα και μία στροφή θ z περί του κατακόρυφου άξονα z. Στο σύστημα αναφοράς Οxyz το διάνυσμα μετακινήσεων είναι: u x u o = uy, θz u o και το μητρώο οριζόντιας δυσκαμψίας K o του κτιρίου xx xy xz K o = yx yy yz zx zy zz α. β. Σχήμα 1. (α) Το ασύμμετρο μονώροφο σύστημα, (β) Το ελαστικό κέντρο Κ και οι κύριοι άξονες Ι, ΙΙ του κτιρίου. Για το υπόψη ασύμμετρο μονώροφο σύστημα ισχύουν τα επόμενα συμπεράσματα (Ρουσόπουλος 193, Aναστασιάδης 1989): (1). Η εξίσωση στατικής ισορροπίας ως προς το τυχόν τρισορθογώνιο σύστημα αναφοράς Οxyz γράφεται (σχ.1α): όπου: xx xy xz u x p x yx yy yz u y = p y zx zy zz θz mz (1)

u x, u y, θ z είναι οι σχετικές μετακινήσεις του σημείου Ο του διαφράγματος ως προς τη βάση, p x, p y, m z είναι οι εξωτερικές στατικές φορτίσεις στο σημείο Ο του διαφράγματος και ( ξi ) = i ( ξi ) = i 1 ( ) ) = ξi i i ( ) i yz zy ( i xyi i yi ) i ( θi ) xx = cos α + sin α, i ηi i xi i yy = sin α + cos α, i ηi i yi i xy = yx = - sin(α ηi i xyi xz = zx = -y + x i xi i xyi = = -y + x zz = + y i xi + x i yi - x i y i xyi i είναι οι οριζόντιες δυσκαμψίες του κτιρίου αναφορικά με τις τρεις ελευθερίες κίνησης του διαφράγματος, με α την γωνία προσανατολισμού του κατακόρυφου στοιχείου i δυσκαμψίας (i) ως προς τον άξονα x του συστήματος αναφοράς Οxyz. () Είναι πάντοτε δυνατό να προσδιορισθεί ένα ειδικό σύστημα αναφοράς Κ(Ι,ΙΙ,ΙΙΙ), ως προς το οποίο το μητρώο οριζόντιας δυσκαμψίας διαγωνοποιείται (σχ.1β):, 0 0 u p 0 0 u = p 0 0 θ z m όπου το διάνυσμα ελευθεριών κίνησης του μονώροφου κτιρίου γράφονται: u και το μητρώο οριζόντιας δυσκαμψίας () K u u = u, θ z K 0 0 = 0 0 0 0 (3) xx +yy xx - yy, = ± + xy (4) = zz - x yy - y xx + x y xy (5) 3

Οι συντεταγμένες ( x, y ) της αρχής Κ και η γωνία προσανατολισμού ω των οριζόντιων κύριων αξόνων Ι και ΙΙ του μονώροφου συστήματος (σχ.1β) υπολογίζονται από τις εξ.(6α,β,γ): xxzy - xy zx x = xx yy - xy, yy zx - yxzy y = - xx yy - xy, tan(ω )= xy xx - yy (6α,β,γ) (3) Οι δύο οριζόντιοι κύριοι άξονες Ι και ΙΙ, σε συνδυασμό με τον κατακόρυφο άξονα z, καθορίζουν αντίστοιχα τα δύο κύρια κατακόρυφα επίπεδα κάμψης (Ι, z) και (ΙΙ, z). Η τομή των δύο κατακόρυφων επιπέδων κάμψης καθορίζει τον κατακόρυφο ελαστικό άξονα ΙΙΙ του μονώροφου κτιρίου. Το ίχνος του κατακόρυφου ελαστικού άξονα ΙΙΙ στην κάτοψη είναι γνωστό ως ελαστικό κέντρο του κτιρίου διότι έχει ταυτόχρονα τρεις ιδιότητες: (α) είναι «κέντρο κάμψης» διότι αν στο σημείο Κ τοποθετηθεί μία οριζόντια στατική δύναμη F τότε το διάφραγμα του κτιρίου μεταφέρεται χωρίς στροφή περί τον άξονα z, (β) είναι «κέντρο συστροφής» διότι αν το κτίριο φορτιστεί με μία εξωτερική ροπή περί τον κατακόρυφο άξονα τότε προκαλείται περιστροφή του διαφράγματος περί του σημείου Κ και (γ) είναι «κέντρο διάτμησης» διότι για οποιαδήποτε εξωτερική οριζόντια στατική δύναμη που εφαρμόζεται στο διάφραγμα, η συνισταμένη των εσωτερικών τεμνουσών δυνάμεων όλων των κατακόρυφων στοιχείων δυσκαμψίας περνάει ομοίως από το σημείο Κ εφόσον παγιωθεί η στροφή του διαφράγματος. Επίσης, από την εξ.() προκύπτουν άμεσα τα ακόλουθα: Όταν η οριζόντια στατική δύναμη P τοποθετηθεί στο ελαστικό κέντρο Κ και κατά μήκος των κύριων αξόνων Ι ή ΙΙ (δηλ. με τις δυνάμεις p ή p ) τότε το διάφραγμα του κτιρίου μεταφέρεται παράλληλα, κατά τη διεύθυνση του κύριου άξονα Ι (ή ΙΙ ) αντίστοιχα. Όταν η οριζόντια στατική φόρτιση P τοποθετηθεί στο ελαστικό κέντρο Κ αλλά με διαφορετική διεύθυνση από αυτήν των κύριων αξόνων Ι ή ΙΙ, τότε το διάφραγμα του κτιρίου μεταφέρεται κατά διαφορετική γωνία από αυτήν της φόρτισης, χωρίς όμως να αναπτύσσεται στροφή του διαφράγματος περί κατακόρυφο άξονα. Το άκρο του διανύσματος της μετακίνησης του ελαστικού κέντρου Κ βρίσκεται τοποθετημένο επάνω σε μία έλλειψη που έχει εξίσωση (όπου f = 1 και f = 1 είναι οι δύο συνολικές οριζόντιες ευκαμψίες του κτιρίου κατά τους κύριους άξονες, Αναστασιάδης 1989): u u + = P (7) f f Η στρεπτική φόρτιση ελαστικού άξονα ΙΙΙ. m προκαλεί περιστροφή του διαφράγματος περί του 4

Το μονώροφο μονοσυμμετρικό σύστημα Θεωρούμε το μονώροφο σύστημα του σχ.(α) με άξονα συμμετρίας τον x. Η μάζα m του κτιρίου θεωρείται συγκεντρωμένη στο γεωμετρικό κέντρο του διαφράγματος Μ, ενώ ως γενικό καρτεσιανό σύστημα αναφοράς λαμβάνεται το Μxyz. Σχήμα. (α) Το μονοσυμμετρικό μονώροφο κτίριο. (β). Η ποιοτική ερμηνεία της ακτίνας δυστρεψίας. Στο κεντρομαζικό σύστημα αναφοράς Μxyz του μονοσυμμετρικού μονώροφου συστήματος το διάνυσμα ελευθεριών κίνησης u, το μητρώο οριζόντιας δυσκαμψίας Κ και το μητρώο μάζας Μ του μονωρόφου γράφονται (Αναστασιάδης 1989): όπου: u x um = uy, θz xx 0 0 K = 0 yy e yy, 0 e yy zz m 0 0 M = 0 m 0 0 0 J e είναι η στατική εκκεντρότητα του κτιρίου (η οποία στο σχ.(α) έχει αρνητικό πρόσημο), zz = +e είναι η στρεπτική δυσκαμψία του κτιρίου, δηλαδή η ροπή που απαιτείται για την περιστροφή του συστήματος κατά γωνία ίση με ένα rad περί τον κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας, m είναι η συνολική μεταφορική ταλαντούμενη μάζα του διαφράγματος, r είναι η ακτίνα αδράνειας του διαφράγματος περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας (σχ.α) και J=m r είναι η μαζική ροπή αδράνειας του διαφράγματος, Ύστερα από τα παραπάνω, το ιδιοπρόβλημα του μονώροφου κτιρίου γράφεται: ( K - ω M) = 0 όπου ω η άγνωστη ιδιοσυχνότητα, = { } T j (8) j j j j είναι η άγνωστη ιδιομορφή και 0 είναι x y z το 3-διαστάσεων μηδενικό διάνυσμα. Λόγω του x-άξονα συμμετρίας, το ιδιοπρόβλημα της εξ.(8) διασπάται σε δύο ανεξάρτητες εξισώσεις: ( xx ) x -ω m j = 0 (9α) 5

yy - ω m e yy jy 0 = (9β) e 0 yy zz -ω J jz Από την εξ.(9α) προκύπτει ότι xx -ω m = 0 και άρα η μεταφορική ιδιοσυχνότητα για ταλάντωση του συστήματος κατά τη διεύθυνση του άξονα συμμετρίας x δίδεται από τον τύπο (ο άξονας συμμετρίας x είναι ταυτόχρονα και κύριος άξονας Ι του κτιρίου): ω x = xx m = m = ω (10) Η ιδιομορφή της εξ.(9α) είναι ασύζευκτη από τις άλλες δύο και κατά συνέπεια η ταλάντωση του μονώροφου κτιρίου κατά τη διεύθυνση x είναι αμιγώς μεταφορική (ισοδύναμα μπορεί να θεωρηθεί ότι η υπόψη ιδιομορφή είναι στρεπτική περί ενός πόλου απομακρυσμένου στο y- άπειρο διαθέτοντας μεταφορικό χαρακτήρα). Από την εξ.(9β) προκύπτει ότι οι άλλες δύο ιδιομορφές ταλάντωσης είναι συζευγμένες. Μηδενίζοντας την ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων του ομογενούς συστήματος της εξ.(9β) προκύπτει η χαρακτηριστική εξίσωση δευτέρου βαθμού ως προς το άγνωστο μέγεθος ω : e ω ( ) y ω 4 - ω ω y + ω z + ωy ω z - = 0 (11) r όπου είναι γνωστά τα ακόλουθα: ω y = yy m = m = ω (1α) e ω ω ( z = zz J = +e ) ( m r ) = ω + r (1β) της οποίας οι δύο ρίζες ω & 1 ω γράφονται: όπου: 1+ λx 1- λ e ω, = ω x y + 1 r ( ) +e ωz zz J zz ρ +e λ x = = = = = ω r r r y m (13) (14) και ρ = είναι η ακτίνα δυστρεψίας του κτιρίου ως προς το ελαστικό κέντρο Κ του μονώροφου κτιρίου. Όπως έχει δειχθεί (Anastassiadis et all 1998), στα εύστρεπτα μονώροφα κτίρια, δηλαδή σε εκείνα όπου η θεμελιώδης ιδιομορφή είναι στρεπτικού χαρακτήρα, ισχύει πάντοτε ωz ω y <1 6

και αυτό σημαίνει, σύμφωνα με την εξ.(14), ότι η «στρεπτική ευαισθησία» των μονώροφων κτιρίων εξαρτάται από το μέγεθος της ακτίνας δυστρεψίας. Πράγματι, όταν το κτίριο είναι «στρεπτικά ευαίσθητο» τότε από την εξ.(14) προκύπτει άμεσα ότι ισχύει: ρ +e < r (15) Ο όρος ρ +e συμβολίζει την ακτίνα δυστρεψίας ως προς το κέντρο μάζας Μ του μονώροφου κτιρίου και θα συμβολίζεται στα επόμενα με ρ, M. Για την ποιοτική κατανόηση της ακτίνας δυστρεψίας ρ, θεωρούμε στη συνέχεια το μονοσυμμετρικό μονώροφο σύστημα του σχ.(β) (με διαφραγματική λειτουργία στη στάθμη του ορόφου), το οποίο αποτελείται από δύο όμοια τοιχώματα, που το καθένα διαθέτει μεταφορική οριζόντια δυσκαμψία w. Τα τοιχώματα αυτά, προσανατολίζονται κατά την διεύθυνση ΙΙ, ενώ τοποθετούνται παράλληλα σε απόσταση a από το ελαστικό κέντρο Κ του συστήματος. Αν το σύστημα αυτό φορτιστεί με μία εξωτερική στατική ροπή M περί τον κατακόρυφο άξονα ΙΙΙ, τότε αναπτύσσεται στο διάφραγμα στροφή θ =M, ενώ οι εσωτερικές δυνάμεις επαναφοράς ( +Q r, - Q r ) του συστήματος αναπτύσσονται υποχρεωτικά επάνω στα τοιχώματα. Η μεταφορική δυσκαμψία του συστήματος ισούται με = w, ενώ η στρεπτική δυσκαμψία του συστήματος ως προς το ελαστικό κέντρο Κ, υπολογίζεται σύμφωνα με την εξ.(1) ως εξής: = w a +w a = w a = a a= a=ρ (16) Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι, ο μοχλοβραχίονας a των τοιχωμάτων ως προς το ελαστικό κέντρο K, ταυτίζεται στην περίπτωση αυτή με την ακτίνα δυστρεψίας του μονώροφου συστήματος. Με άλλα λόγια, η ακτίνα δυστρεψίας ρ παριστάνει τον μοχλοβραχίονα, ως προς το ελαστικό κέντρο Κ και κατά μήκος του οριζόντιου κύριου άξονα Ι, των ελαστικών δυνάμεων επαναφοράς του συστήματος για αμιγή στρεπτική φόρτιση M (σχ.β). Επίσης, στην περίπτωση του μονοσυμμετρικού μονώροφου συστήματος που εξετάζουμε, οι δύο συζευγμένες ιδιοσυχνότητες ω & ω 1 υπολογίζονται από τις εξ.(13), ενώ οι τρεις ιδιομορφές δίδονται από τις σχέσεις (η σειρά των ιδιομορφών καθορίζεται από την αύξουσα σειρά των ιδιοσυχνοτήτων): T j = j j j = j j (17α) 1 x1 y1 z1 y1 z1 T { } { 0 } T { } { 0 } T j = j j j = j j (17β) x y z y z T { } { 1 0 0} T j = j j j = (17γ) 3 x3 y3 z3 7

όπου: e j =- y1 1 - w w 1 y e j =- y 1 - w w y και και j = 1.00 z1 (18α,β) j = 1.00 z (19α,β) Σημειώνεται ότι, στη γενική περίπτωση του ασύμμετρου μονώροφου κτιρίου, οι συντεταγμένες e xi, e yi του πόλου ταλάντωσης ( ) i xi yi απευθείας από την ακόλουθη ισότητα διανυσμάτων: O e,e της κάθε (i) ιδιομορφής, δίνονται e yi ϕ ϕ xi zi e = ( ϕ ϕ xi yi zi ) 1 1 (0) όπου το ϕ xi υπολογίζεται από τις εξ.(18α) και (19α) με εναλλαγή των δεικτών. Οι δύο ακτίνες δυστρεψίας του μονώροφου ασύμμετρου συστήματος Επειδή στο ασύμμετρο μονώροφο σύστημα ορίζεται πάντοτε το ελαστικό κέντρο Κ καθώς και οι δύο οριζόντιοι κύριοι άξονες Ι και ΙΙ, μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά ότι το υπόψη σύστημα αποτελείται από δύο μονοσυμμετρικά υποσυστήματα. Συνεπώς, μπορούν να ορισθούν δύο ακτίνες δυστρεψίας ρ και ρ του μονώροφου ασύμμετρου κτιρίου, κατά μήκος των κύριων αξόνων Ι και ΙΙ αντίστοιχα, χρησιμοποιώντας τις επόμενες σχέσεις: ρ =, ρ = (1α,β) όπου τα, και υπολογίζονται από τις εξ.(4) και (5). Συνεπώς, για τη διάκριση των «εύστρεπτων» μονώροφων κτιρίων από τα «δύστρεπτα» και κατά μήκος των δύο οριζόντιων κύριων αξόνων Ι και ΙΙ, πρέπει να υπολογισθούν από την εξ.(15) οι δύο αντίστοιχες ακτίνες δυστρεψίας ρ, M & ρ, M ως προς το κέντρο μάζας Μ του μονώροφου κτιρίου. Εφαρμόζοντας την εξ.(15) κατά μήκος των δύο οριζόντιων αξόνων προκύπτει ο επόμενος πρώτος ορισμός του κριτηρίου «στρεπτικής ευαισθησίας»: 1 ος Ορισμός: «όταν ισχύει η μία από τις δύο εξ.(α) & (β) τότε το μονώροφο κτίριο είναι στρεπτικά ευαίσθητο» (βλ. Anastassiadis et all. 1998): ρ, = ρ +e < r (α) M ρ, = ρ +e < r (β) M όπου e και e οι στατικές εκκεντρότητες του ασύμμετρου μονώροφου κτιρίου κατά τους κύριους άξονες Ι και ΙΙ αντίστοιχα. 8

Το παραπάνω κριτήριο «στρεπτικής ευασθησίας» των μονώροφων κτιρίων μπορεί να διατυπωθεί και με έναν δεύτερο ορισμό (βλ. Anastassiadis et all. 1998): ος Ορισμός: «Όταν οι πόλοι ταλάντωσης Oi ( e,e xi yi ) των δύο πρώτων ιδιομορφών του μονώροφου κτιρίου βρίσκονται εκτός του κύκλου της ακτίνας αδρανείας r του διαφράγματος τότε το κτίριο είναι δύστρεπτο. Αντιθέτως, όταν τουλάχιστον στην μία από τις δύο πρώτες ιδιομορφές του κτιρίου, ο πόλος ταλάντωσης βρίσκεται εντός του κύκλου της ακτίνας αδρανείας r του διαφράγματος, τότε το κτίριο είναι στρεπτικά ευαίσθητο». Σημειώνεται ότι ο δεύτερος ορισμός μπορεί να εφαρμοστεί απρόσκοπτα και στα πολυώροφα κτίρια υπολογίζοντας πρώτα τη θέση των πόλων ταλάντωσης των ορόφων από την εξ.(0), που απαιτεί με τη σειρά του τη διενέργεια μιας ιδιομορφικής ανάλυσης του κτιρίου, ενώ ο Ελληνικός Αντισεισμικός Κανονισμός (ΕΑΚ/003) έχει υιοθετήσει τους δύο παραπάνω ορισμούς στις παραγρ. 3.3.3[7] και 4.1.4.β[3]γ. Επίσης, ο Ευρωκώδικας Νο 8/1998, (βλ. παράγρ..3.1(3) του [part 1-3]), ορίζει αυθαίρετα ότι όταν ισχύει ρ <0.80 r τότε το κτίριο έχει «στρεπτική ευαισθησία». Σύμφωνα με τον UBC/1997 (εξ.(30-16 & s.1630.7 & Table 16- M)) όταν ο συντελεστής A x από την εξ.(3) προκύπτει μεγαλύτερος της μονάδας τότε το κτίριο έχει «στρεπτική ευαισθησία»: u A = max x (3) 1. um Στην εξ.(3), u max είναι η μέγιστη μετακίνηση που μπορεί να εμφανιστεί σε οποιοδήποτε σημείο του διαφράγματος εξαιτίας μιας στατικής οριζόντιας δύναμης που θα τοποθετηθεί έκκεντρα ως προς το κέντρο μάζας του διαφράγματος σε απόσταση ίση με την τυχηματική εκκεντρότητα 0.05L και u m είναι ο μέσος όρος των δύο ακραίων μετακινήσεων των δύο «απέναντι» πλευρών του διαφράγματος για την ίδια στατική φόρτιση, ενώ οι μετακινήσεις μετρώνται πάντοτε κατά τη διεύθυνση της στατικής δύναμης. Τέλος, σύμφωνα με τους Tso & Moghadam (1998) η ελάχιστη ακτίνα δυστρεψίας που πρέπει να διαθέτει ένα κτίριο πρέπει να ικανοποιεί την τιμή ρ > 0.30L όπως έχει προκύψει από περιορισμένη παραμετρική ανάλυση, σημειώνοντας ότι αυτό δεν συμφωνεί πάντοτε με τα ακριβή μαθηματικά κριτήρια που διατυπώθηκαν στους παραπάνω δύο ισοδύναμους ορισμούς. Πρώτος εναλλακτικός υπολογισμός της ακτίνας δυστρεψίας από τα αποτελέσματα προσωρινών αριθμητικών αναλύσεων Σύμφωνα με τον πρώτο εναλλακτικό υπολογισμό της ακτίνας δυστρεψίας (Maarios & Anastassiadis 1998a,b), επιλέγεται μία τυχούσα οριζόντια στατική δύναμη F και μία αντίστοιχη στατική ροπή M περί κατακόρυφο άξονα η οποία είναι αριθμητικά ίση με την δύναμη F (δηλ. M =1 F ) και διενεργούνται τρεις προσωρινές επιλύσεις: 9

1 η προσωρινή επίλυση: Το μονώροφο σύστημα φορτίζεται με την στατική ροπή M περί κατακόρυφο άξονα (σχ.3a) προκειμένου να υπολογισθεί η θέση του ελαστικού κέντρου Κ και η στρεπτική δυσκαμψία του μονώροφου κτιρίου. Σχήμα 3. Από την φόρτιση του κτιρίου με την ροπή περί τον άξονα z (a), υπολογίζονται οι συντεταγμένες ( x, y ) του ελαστικού κέντρου του κτιρίου (b) ως προς το αρχικό σύστημα αναφοράς, ενώ για τον υπολογισμό των ακτίνων δυστρεψίας απαιτείται η διενέργεια δύο ακόμα προσωρινών επιλύσεων με τις δυνάμεις F (c, d) που τοποθετούνται στο ελαστικό κέντρο Κ του κτιρίου με κατεύθυνση τους κύριους άξονες Ι & ΙΙ αντίστοιχα. Πράγματι, από την επίλυση του συστήματος προκύπτουν οι τρεις μετακινήσεις u x,, u M y, M και θ z, της αρχής Ο του συστήματος αναφοράς Oxyz (σχ.3b). Ο πόλος συστροφής του M διαφράγματος για την φόρτιση M αποτελεί το ελαστικό κέντρο K( x,y ) του συστήματος του οποίου οι συντεταγμένες x,y μπορούν να υπολογισθούν απ ευθείας από τις τρεις μετακινήσεις της αρχής των αξόνων, σύμφωνα με τις ακόλουθες γεωμετρικές σχέσεις: u y, u M x, x M = -, y = (4) θ z, θ M z, M Η γωνία στροφής θ z, = θ, του διαφράγματος του μονώροφου κτιρίου είναι: M M M F F θ z, = = = M θ z, M (5) 10

η προσωρινή επίλυση: Το μονώροφο κτίριο φορτίζεται με την εξωτερική δύναμη F η οποία εφαρμόζεται στο ελαστικό κέντρο K(x,y ) με κατεύθυνση τον κύριο άξονα ΙΙ (σχ.3c). Από την επίλυση του κτιρίου προκύπτει ότι το διάφραγμα στη στάθμη του ορόφου (άρα και το ελαστικό κέντρο Κ) υφίσταται μόνο την μετατόπιση u, : F F F u, = = (6) F u, F Επομένως, εισάγοντας τις εξ.(5) & εξ.(6) στην εξ.(1α), η ακτίνα δυστρεψίας ρ του μονώροφου κτιρίου κατά τον άξονα Ι, δίδεται ως ακολούθως: M θ, u, ρ = = = K F u, θ, zm F F z M (7) 3 η προσωρινή επίλυση: Το μονώροφο κτίριο φορτίζεται με την εξωτερική δύναμη F η οποία εφαρμόζεται στο ελαστικό κέντρο K(x,y ) με κατεύθυνση τον κύριο άξονα Ι (σχ.3d). Από την επίλυση του κτιρίου προκύπτει ότι το διάφραγμα στη στάθμη του ορόφου (άρα και το ελαστικό κέντρο) υφίσταται την μετατόπιση u, F : F F u, F = = (8) u, F Επομένως, εισάγοντας τις εξ.(5) & εξ.(8) στην εξ.(1β), η ακτίνα δυστρεψίας ρ κατά τον άξονα ΙΙ, δίδεται ως ακολούθως: ρ M θ, u, = = = K F u, θ, zm F F z M (9) Σύμφωνα με τις εξ.(7) και εξ.(9), δεν απαιτείται ο υπολογισμός των δεικτών δυσκαμψίας,, του μονώροφου κτιρίου και αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό σε πιο σύνθετα συστήματα όπου ο υπολογισμός των δεικτών δυσκαμψίας είναι δυσχερής ή αδύνατος όπως συμβαίνει στα πολυώροφα ασύμμετρα κτίρια. Δεύτερος εναλλακτικός υπολογισμός της ακτίνας δυστρεψίας από τα αποτελέσματα προσωρινών αριθμητικών αναλύσεων Σύμφωνα με το δεύτερο εναλλακτικό υπολογισμό της ακτίνας δυστρεψίας (Tso & Moghadam 1998), πρέπει να διενεργηθεί η πρώτη επίλυση χρησιμοποιώντας την οριζόντια στατική δύναμη F τοποθετημένη στο κέντρο μάζας Μ και με προσανατολισμό τον οριζόντιο κύριο άξονα ΙΙ του μονώροφου κτιρίου. Τότε, η ακτίνα δυστρεψίας ρ δίδεται από την εξ.(30): όπου: Δ = δ min δ max, ( ) Ê0.5 (1 + Δ ) ˆ ρ = L -η e L Á Ë 1 - Δ (30) 11

δ max είναι η μέγιστη μετατόπιση της εύκαμπτης πλευράς του κτιρίου για φόρτιση με την οριζόντια στατική δύναμη F τοποθετημένη στο κέντρο μάζας Μ και με προσανατολισμό τον οριζόντιο κύριο άξονα ΙΙ, δ min είναι η μέγιστη μετατόπιση της δύσκαμπτης πλευράς του κτιρίου για φόρτιση με την οριζόντια στατική δύναμη F τοποθετημένη στο κέντρο μάζας Μ και με προσανατολισμό τον οριζόντιο κύριο άξονα ΙΙ, η =KG L, με KG την απόσταση του γεωμετρικού κέντρου G της κάτοψης από το ελαστικό κέντρο Κ κατά μήκος του οριζόντιου κύριου άξονα Ι (ο συντελεστής η =KG L είναι διαφορετικός από το e L όταν το κέντρο μάζας M δεν συμπίπτει με το γεωμετρικό κέντρο G του διαφράγματος). Για τον έμμεσο υπολογισμό της στατικής εκκεντρότητας e, οι Tso & Moghadam (1998) προτείνουν τη διενέργεια μίας δεύτερης στατικής ανάλυσης τοποθετώντας την οριζόντια στατική δύναμη F σε απόσταση β L από το κέντρο μάζας Μ προς την εύκαμπτη πλευρά του κτιρίου. Στην περίπτωση αυτή η στατική εκκεντρότητα e υπολογίζεται από την εξ.(31): L β θ e = (31) θ - θ όπου: θ είναι η στροφή του κτιρίου για τη δεύτερη φόρτιση με την οριζόντια στατική δύναμη F σε απόσταση β L από το κέντρο μάζας Μ προς την εύκαμπτη πλευρά του κτιρίου, θ είναι η στροφή του κτιρίου για την πρώτη φόρτιση με την οριζόντια στατική δύναμη F τοποθετημένη στο κέντρο μάζας Μ. Η δεύτερη ακτίνα δυστρεψίας ρ του μονώροφου κτιρίου δίδεται από την εξ.(30) με εναλλαγή των δεικτών, ακολουθώντας ανάλογη διαδικασία και διενεργώντας δύο επιπλέον αναλύσεις. Τέλος, σύμφωνα με τους ίδιους ερευνητές, η ελάχιστη ακτίνα δυστρεψίας που πρέπει να διαθέτει ένα κτίριο καθορίζεται από την εξ.(3): ρ > 0.30L (3) Τονίζεται ότι για τον υπολογισμό της ακτίνας δυστρεψίας οι δύο εναλλακτικές μεθοδολογίες που παρουσιάστηκαν συμπίπτουν απόλυτα μεταξύ τους. Ασυμφωνία υπάρχει μόνο ως προς το ελάχιστο μέγεθος της ακτίνας δυστρεψίας που πρέπει να διαθέτει ένα κτίριο προκειμένου να μην χαρακτηρισθεί «στρεπτικά ευαίσθητο», δηλαδή μεταξύ της ακριβούς εξ.() και της προσεγγιστικής εξ.(3). Αριθμητικό παράδειγμα μονώροφου μονοσυμμετρικού κτιρίου Θεωρούμε το μονώροφο μονοσυμμετρικό σύστημα του σχ.4 το οποίο αποτελείται από δύο άνισα τοιχώματα W1 και W με αντίστοιχες μεταφορικές δυσκαμψίες w1 = 1.0 και = 1.00 κατά τη διεύθυνση y και το τοίχωμα W3 με μεταφορική δυσκαμψία w w3 = 1.00 το οποίο βρίσκεται τοποθετημένο επί του x-άξονα και άρα δεν συμμετέχει στην στρεπτική δυσκαμψία του συστήματος. Τα τοιχώματα συνδέονται στην κορυφή τους με πλάκα οπλισμένου σκυροδέματος η οποία εξασφαλίζει τη διαφραγματική λειτουργία περί κατακόρυφο άξονα, ενώ θεωρούμε το τρισορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα αναφοράς Μxyz. 1

Το κτίριο έχει ακτίνα δυστρεψίας ρ =.49 μέτρα μήκους υπολογισμένη είτε με την εξ.(7) είτε με την εξ.(30). Επίσης, η ακτίνα δυστρεψίας ρ, M, αναφερόμενη στο κέντρο μάζας Μ του κτιρίου υπολογίζεται ρ, M =.50 μέτρα μήκους σύμφωνα με την εξ.(α). Καταρχάς παρατηρούμε ότι το σύστημα είναι «στρεπτικά ασταθές» στην ανελαστική περιοχή (torsional unbalanced or tosrsional unrestrained) διότι μόλις διαρρεύσει το ένα από τα δύο τοιχώματα (W1 ή W) τότε δεν υπάρχει δυστρεψία και αυτό είναι ανεξάρτητο από το αν το κτίριο διαθέτει «στρεπτική ευαισθησία» ή όχι. Με άλλα λόγια, η υπόψη «στρεπτική αστάθεια» στην ανελαστική περιοχή δεν εμποδίζει τη διάκριση του συστήματος σε «στρεπτικά ευαίσθητο ή όχι», καθότι ο όρος «ευαίσθητος» αναδεικνύει την κυριαρχία των στρεπτικών έναντι των μεταφορικών ταλαντώσεων για μεταφορική διέγερση βάσης. Για το μονώροφο αυτό κτίριο, οι σύγχρονοι αντισεισμικοί κανονισμοί διαφωνούν μεταξύ τους για το αν έχει «στρεπτική ευαισθησία» ή όχι. Σχήμα 4. Εύστρεπτο μονώροφo κτίριο με διαφραγματική λειτουργία, αποτελούμενο από τα τρία τοιχώματα W1, W και W3. Πράγματι: Σύμφωνα με τον UBC/1997 (εξ.(30-16 & s.1630.7 & Table 16-M)) ο συντελεστής ενίσχυσης A x προκύπτει μικρότερος της μονάδας και κατά συνέπεια το υπόψη A = u, 1. = 0.98. μονώροφο σύστημα είναι δύστρεπτο, διότι ισχύει x ( flex δavg) Αντιθέτως, σύμφωνα με τον Ευρωκώδικα Νο8/1998 το ίδιο κτίριο είναι «στρεπτικά ευαίσθητο», διότι ισχύει ρ <0.80 r όπως ορίζεται στην παράγραφο.3.1(3) (part 1-3)/EC8. Σύμφωνα με το κριτήριο (α) της παραγράφου 4.1.4.β[3] του ΕΑΚ/003 το κτίριο δεν έχει «στρεπτική ευαισθησία». Αντιθέτως, σύμφωνα με τα δύο κριτήρια (β) και (γ) της παραγράφου 4.1.4.β[3] του ΕΑΚ/003 το κτίριο έχει «στρεπτική ευαισθησία». Σύμφωνα με το κριτήριο (εξ.(α) των Anastassiadis et.all 1998) το κτίριο έχει «στρεπτική ευαισθησία». 13

Σύμφωνα με το κριτήριο των Tso & Moghadam το κτίριο διαθέτει την ελάχιστη στρεπτική δυσκαμψία που απαιτείται, διότι ισχύει ρ = 0.499 L το οποίο είναι μεγαλύτερο από το 0.30 L, δηλαδή αποδεικνύεται ότι η εξ.(3) δεν έχει καθολική εφαρμογή. ΤΟ ΠΟΛΥΩΡΟΦΟ ΑΣΥΜΜΕΤΡΟ ΚΤΙΡΙΟ Από τα παραπάνω εκτεθέντα προκύπτει ότι για να ορισθεί η ακτίνα δυστρεψίας σε ένα κτίριο πρέπει προηγουμένως να ευρεθεί το (πραγματικό ή πλασματικό) ελαστικό του κέντρο Κ, οι οριζόντιοι κύριοι άξονες Ι και ΙΙ, οι μεταφορικές δυσκαμψίες, καθώς επίσης και η στρεπτική δυσκαμψία του κτιρίου. Σύμφωνα με τον ορισμό της ακτίνας δυστρεψίας που προέκυψε από την εξ.(14), η εύρεση της ακτίνας δυστρεψίας των πολυώροφων κτιρίων δεν μπορεί να γίνει με ανάλογο τρόπο όπως στο μονώροφο κτίριο, διότι τόσο οι μεταφορικές όσο και η στρεπτική δυσκαμψία εκφράζονται με την μορφή πινάκων. Για την αντιμετώπιση του προβλήματος, έγιναν ταυτόχρονα στο παρελθόν δύο τεκμηριωμένες ερευνητικές προσπάθειες (Maarios & Anastassiadis 1998a,b, Tso & Moghadam 1998), ενώ με μεταγενέστερες εργασίες (Μακάριος 000 και Maarios 008) διερευνήθηκε πλήρως το πρόβλημα του ορισμού της ακτίνας δυστρεψίας στα πολυώροφα κτίρια. Η βασική ιδέα που χρησιμοποιήθηκε είναι ότι για την αποφυγή των μητρωϊκών εκφράσεων των μεταφορικών και στρεπτικών δυστρεψιών του κτιρίου, χρησιμοποιούνται τρεις ή τέσσερις (ανάλογα με την επιλεγόμενη μέθοδο από τις παραπάνω δύο) προσωρινές επιλύσεις του συστήματος αντίστοιχα, οι οποίες έχουν ήδη περιγραφεί στην προηγούμενη παράγραφο ως δύο εναλλακτικοί τρόποι υπολογισμού της ακτίνας δυστρεψίας. Η εφαρμογή του πρώτου εναλλακτικού τρόπου υπολογισμού της ακτίνας δυστρεψίας στα πολυώροφα κτίρια μπορεί να γίνει εύκολα ακολουθώντας τις κάτωθι διαφοροποιήσεις: Εύρεση της θέσης στην κάτοψη του πλασματικού ελαστικού άξονα (άξονα βέλτιστης στρέψης) του κτιρίου. Εύρεση των δύο οριζόντιων πλασματικών κύριων διευθύνσεων του κτιρίου. Επιλογή ενός προσωρινού διανύσματος φόρτισης F των οριζόντιων στατικών δυνάμεων των ορόφων (σχ.5α) που ακολουθεί μία συγκεκριμένη καθύψος κατανομή (π.χ. τριγωνική ή σύμφωνα με την πρώτη ιδιομορφή). Διαμόρφωση του προσωρινού διανύσματος φόρτισης Μ των εξωτερικών ροπών περί κατακόρυφο άξονα που αριθμητικά να είναι ίσο με το διάνυσμα F των οριζόντιων στατικών δυνάμεων των ορόφων (σχ.5β). Διενέργεια τριών προσωρινών επιλύσεων. Η πρώτη επίλυση αναφέρεται στην φόρτιση με το διάνυσμα Μ των εξωτερικών ροπών απ όπου προκύπτουν οι στροφές θ z,m των ορόφων του κτιρίου. Η δεύτερη επίλυση αναφέρεται στη φόρτιση με το διάνυσμα F των οριζόντιων στατικών δυνάμεων των ορόφων του κτιρίου, προσανατολισμένο κατά τον οριζόντιο πλασματικό κύριο άξονα Ι απ όπου, σε κάθε στάθμη, προκύπτουν οι μετακινήσεις του πλασματικού ελαστικού άξονα u,, u, κατά μήκος των δύο κύριων αξόνων, αντίστοιχα. Η τρίτη επίλυση αναφέρεται στη φόρτιση του κτιρίου με το διάνυσμα F των οριζόντιων στατικών δυνάμεων των ορόφων, προσανατολισμένο κατά το οριζόντιο πλασματικό κύριο άξονα ΙΙ απ όπου, σε κάθε στάθμη, προκύπτουν οι 14

μετακινήσεις του πλασματικού ελαστικού άξονα u,, u, κύριων αξόνων, αντίστοιχα. κατά μήκος των δύο α. β. Σχήμα 5. Το διάνυσμα φόρτισης των οριζόντιων δυνάμεων των ορόφων σε πολυώροφο σύστημα και το αντίστοιχο, αριθμητικά ίσο, διάνυσμα φόρτισης ροπών περί κατακόρυφο άξονα. Έχει αποδειχθεί (Μακάριος 1994, Μακάριος 000 & Maarios 008) τόσο από τη θεωρητική μαθηματική ανάλυση με χρήση της θεωρίας των συνεχών συστημάτων όσο και από την υπολογιστική ανάλυση με χρήση του διακριτού μοντέλου ότι σε κάθε στάθμη ενός τυχόντος πολυώροφου κτιρίου, η ακτίνα δυστρεψίας υπολογίζεται κατά μήκος των δύο οριζόντιων πλασματικών κύριων διευθύνσεων από τις εξ.( 33α,β): ρ B u B u =, ρ = M θ M θ,, z,m z,m (33α,β) όπου Β είναι η διρροπή και Μ η ροπή κάμψης αντίστοιχα στη βάση του κτιρίου (σχ.5). Βέβαια, σημειώνεται ότι επειδή οι δυνάμεις F i έχουν ληφθεί αριθμητικά ίσες με τις ροπές Μ i, ο λόγος Β/Μ είναι μονάδα. Παραμετρική ανάλυση Προκειμένου να διαπιστωθεί η μεταβολή της ακτίνας δυστρεψίας καθύψος του κτιρίου, διενεργήθηκε πρόσφατα εκτεταμένη παραμετρική ανάλυση σε ασύμμετρα πολυώροφα κτίρια που διατηρούσαν αμετάβλητα καθύψος τα ελαστικά και γεωμετρικά τους χαρακτηριστικά (Maarios 008). Τα πολυώροφα κτίρια που εξετάσθηκαν, χωρίσθηκαν σε τέσσερις μεγάλες κατηγορίες αναλόγως της παραμέτρου λ H, όπου Η είναι το ολικό ύψος του κτιρίου και λ = GA E με ΕΙ την καμπτική δυσκαμψία της ισοδύναμης διατομής του καμπτικού υποσυστήματος και GA τη διατμητική δυσκαμψία της ισοδύναμης διατομής του διατμητικού υποσυστήματος του κτιρίου. Είναι γνωστό ότι όταν τα πολυώροφα κτίρια έχουν λ H 1 τότε παρουσιάζουν σχεδόν αμιγή καμπτική παραμόρφωση καθύψος, όταν έχουν 1 < λ H 5 παρουσιάζουν καμπτικοδιατμητική παραμόρφωση με κυριαρχία του καμπτικού 15

υποσυστήματος, όταν έχουν 5 < λ H 15 παρουσιάζουν καμπτικοδιατμητική παραμόρφωση με κυριαρχία του διατμητικού υποσυστήματος και τέλος όταν τα πολυώροφα κτίρια έχουν 15 < λ H τότε παρουσιάζουν σχεδόν αμιγή διατμητική παραμόρφωση. Σχήμα 6. Αποτελέσματα παραμετρικής ανάλυσης αναλόγως της παραμέτρου λ H. Καμπύλη (1): Τοποθέτηση του συνόλου των τοιχωμάτων του συστήματος στο κεντρικό τρίτο της κάτοψης ώστε το κτίριο να είναι εύστρεπτο. Καμπύλη (): Ομοιόμορφη τοποθέτηση των τοιχωμάτων σε ολόκληρη την έκταση της κάτοψης. Καμπύλη (3): Τοποθέτηση του 80% της καμπτικής δυσκαμψίας ΕΙ των τοιχωμάτων στην περίμετρο του συστήματος. 16

Σημειώνεται ότι τα πολυώροφα κτίρια με λ H < 5, προσεγγιστικά, διαθέτουν τόσα τοιχώματα ώστε η κατασκευή να μην εμφανίζει φαινόμενα ης ή ανώτερης τάξης. Στο σχ.6 φαίνονται ενδεικτικά, μερικά αποτελέσματα της παραμετρικής ανάλυσης, όπου η ακτίνα δυστρεψίας ρ(ξ) δίδεται ως ποσοστό της ακτίνας αδράνειας r= J m του διαφράγματος. Από τα διαγράμματα του σχ.6 προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα: (α) Η κατανομή της ακτίνας δυστρεψίας των κανονικών καθύψος πολυώροφων κτιρίων δεν εμφανίζει ενδιάμεσες ακρότατες τιμές. (β) Στα πολυώροφα κτίρια με λ H 5 η διάταξη των τοιχωμάτων στην κάτοψη λίγο επηρεάζει την ακτίνα δυστρεψίας ρ(ξ) διότι στα κτίρια αυτά η ακτίνα δυστρεψίας εξαρτάται κυρίως από τη διάταξη των διατμητικών πλαισίων. (γ) Στα πολυώροφα κτίρια με λ H < 5 η διάταξη των τοιχωμάτων στην κάτοψη επηρεάζει σημαντικά την ακτίνα δυστρεψίας ρ(ξ) (βλ. καμπύλες 1, & 3 του σχ.6). (δ) Στα πολυώροφα κτίρια με λ H < 5, η ομοιόμορφη διάταξη των τοιχωμάτων στην κάτοψη (καμπύλη ) οδηγεί κατά κανόνα σε εύστρεπτα κτίρια. (ε) Στα πολυώροφα κτίρια με λ H < 5, η συγκέντρωση στην περίμετρο του κτιρίου του 80% της καμπτικής δυσκαμψίας ΕΙ των τοιχωμάτων (ανά ζεύγη), δηλ. η καμπύλη (3) του σχ.6, εξασφαλίζει οριακά την ελάχιστη δυστρεψία στο κτίριο. (στ) Στα εύστρεπτα πολυώροφα κτίρια με λ H < 5 (βλ. καμπύλες 1 & του σχ.6), οι πρώτοι όροφοι του συστήματος παρουσιάζουν συστηματικά μικρότερη ακτίνα δυστρεψίας ρ(ξ) από ό,τι οι ανώτεροι όροφοι του συστήματος. Συνεπώς, στα εύστρεπτα πολυώροφα κτίρια αρκεί ο έλεγχος της εξ.(15) να διενεργείται μόνο στον πρώτο όροφο. (ζ) Η διασπορά της ακτίνας δυστρεψίας των δύστρεπτων (βλ. καμπύλη 3 του σχ.6) καμπτικοδιατμητικών πολυώροφων υψηλών κτιρίων δεν είναι σημαντική. Στην περίπτωση αυτών, προσεγγιστικά για λόγους απλοποίησης, αρκεί συνήθως να λάβουμε μία μέση τιμή της ακτίνας δυστρεψίας, την οποία θα θεωρήσουμε ενιαία για ολόκληρο το κτίριο, π.χ. την ακτίνα δυστρεψίας ρ(0.8) της στάθμης ξ =0.80, ή τον αριθμητικό/γεωμετρικό μέσο όρο της ακτίνας δυστρεψίας όλων των ορόφων ενός κτιρίου. (η) Τέλος, για κάθε τύπο κανονικού καθύψος πολυώροφου κτιρίου, είναι αρκετό ο έλεγχος της εξ.(15) να διενεργείται στον πρώτο και στον τελευταίο όροφο κάθε συστήματος, καθώς επίσης και στην τυχούσα στάθμη έντονης μεταβολής της δυσκαμψίας των τοιχωμάτων (π.χ. στάθμη διακοπής ή προσθήκης τοιχώματος). Αριθμητικό Παράδειγμα 5-ώροφου κτιρίου Για τις ανάγκες του παρόντος άρθρου εξετάσθηκε το πενταώροφο ασύμμετρο κτίριο του σχ.7, το οποίο διαθέτει διαφραγματική λειτουργία στις στάθμες των ορόφων. Τα στοιχεία δυσκαμψίας του κτιρίου διατηρούν, καθύψος, αμετάβλητα όλα τα γεωμετρικά και ελαστικά τους χαρακτηριστικά. Τα τέσσερα τοιχώματα έχουν σταθερή διατομή A w = 0.30 8.00 =.40m, ενώ οι στύλοι των πλαισίων έχουν επίσης σταθερή διατομή ίση 4 με A c = 0.50 0.50 = 0.5m. Οι δοκοί έχουν ροπή αδράνειας b = 0.0103m, ενώ επιπλέον ελήφθησαν οι μειωμένες καμπτικές δυσκαμψίες των διατομών που προβλέπονται από τον EAK/003 (0.40E για δοκούς, 0.60ΕΙ για τοιχώματα και περιμετρικά υποστυλώματα και 0.80ΕΙ για εσωτερικά υποστυλώματα). Το μέτρο ελαστικότητας του υλικού του φορέα ελήφθη 17

ίσο με E c =9Gpa. Το ύψος κάθε ορόφου είναι 4.00 μέτρα μήκους και άρα το συνολικό ύψος του κτιρίου φτάνει τα 0.00 μέτρα μήκους. Η μάζα του κάθε ορόφου θεωρείται συγκεντρωμένη στο γεωμετρικό κέντρο του κάθε διαφράγματος και ισούται με m = 700.t (S), ενώ το διάφραγμα διαθέτει μαζική ροπή αδράνειας ίση με J = 6700. tm περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας. Σχήμα 7. Κάτοψη εύστρεπτου ασύμμετρου 5-ώροφου κτιρίου. Η ακτίνα αδράνειας του κάθε διαφράγματος είναι : x y L +L 4 + 4 r = = = 9.80 1 1 Ως σύστημα αναφοράς λαμβάνουμε το καρτεσιανό κεντρομαζικό σύστημα Μ(x,y,z), του οποίου η αρχή Μ είναι το κέντρο μάζας του κτιρίου. Για την εύρεση της θέσης, στην κάτοψη, του πλασματικού ελαστικού άξονα, διενεργείται η πρώτη προσωρινή επίλυση με το φορτιστικό διάνυσμα Μ. Στρεπτική φόρτιση με το διάνυσμα ροπών Μ Από την επίλυση του χωρικού συστήματος με την φόρτιση Μ προκύπτουν οι μετακινήσεις u x4,u y4,θ z4 της αρχής Μ στην στάθμη z o = 0.8H η οποία συμπίπτει με το διάφραγμα του 4ου ορόφου. M 5 = 1xF 5 =3333.33 N m M 4 = 1xF 4 =666.67 N m M 3 = 1xF 3 =000.00 N m M = 1xF =1333.33 N m M 1 = 1xF 1 =666.67 N m u x4, Μ u y4, Μ θ z4, Μ 0.00708 m - 0.00105 m 0.0004608 rad 18

Ο κατακόρυφος άξονας βέλτιστης στρέψης (πλασματικός ελαστικός άξονα) του κτιρίου διέρχεται από τον πόλο περιστροφής P o(x P,Y P ) της στάθμης z o = 0.8H : uy4-0.00105 ux8 0.00708 X P = - = - = +.8, Y P = = = +5.88 θ z4 +0.0004608 θ z8 +0.0004608 Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον προσανατολισμό των δύο οριζόντιων πλασματικών κύριων διευθύνσεων. Για το σκοπό αυτό διενεργούμε δύο προσωρινές επιλύσεις. Στην πρώτη, τοποθετούμε το φορτιστικό διάνυσμα F των οριζόντιων δυνάμεων των ορόφων στον πλασματικό ελαστικό άξονα (άξονας βέλτιστης στρέψης), δηλ. στο σημείο P o(x P,Y P ), με προσανατολισμό την κατεύθυνση x και σημειώνουμε τις μετακινήσεις u x,x και u y,x του σημείου P o(x P,Y P ) της στάθμης z o = 0.8H : ux,x = 0.04036 uy,x = 0.000106 Στην δεύτερη προσωρινή επίλυση, τοποθετούμε το φορτιστικό διάνυσμα F των οριζόντιων δυνάμεων των ορόφων στον πλασματικό ελαστικό άξονα (άξονας βέλτιστης στρέψης), δηλ. στο σημείο P o(x P,Y P ), με προσανατολισμό την κατεύθυνση y και σημειώνουμε τις μετακινήσεις u y,y και u x,y του σημείου P o(x P,Y P ) της στάθμης z o = 0.8H : uy,y = 0.01697 ux,y = 0.000106 Συνεπώς, η γωνία a του προσανατολισμού των δύο κύριων οριζόντιων αξόνων υπολογίζεται άμεσα από την ακόλουθη σχέση: x,x ( ) u 0.000106 tan(a) = = = 0.018007695 a = 0.5 0 u u 0.04036 0.01697 x,y o o y,y Δηλαδή, οι δύο κύριοι άξονες Ι,ΙΙ του κτιρίου ταυτίζονται πρακτικά με τους άξονες x, y αντίστοιχα και κατά συνέπεια δεν θα διενεργήσουμε νέες επιλύσεις κατά Ι,ΙΙ. Επίσης, η στατική εκκεντρότητα του κτιρίου είναι e =+.8 (ή e =0.1 L) κατά τον άξονα x και e =+5.88 (ή e =0.5 L) κατά τον άξονα y αντίστοιχα. Υπολογισμός των ακτίνων δυστρεψίας ρx, ρ y του πολυώροφου κτιρίου Με δεδομένο ότι η συνολική διρροπή Β, περί του άξονα ΙΙΙ, στη βάση του κτιρίου λόγω των εξωτερικών ροπών των ορόφων από το διάνυσμα Μ ισούται αριθμητικά με τη συνολική ροπή κάμψης Μ (περί οριζόντιου άξονα) στη βάση του κτιρίου από τις οριζόντιες δυνάμεις των ορόφων του διανύσματος F, προκύπτει ότι ο λόγος BM είναι μονάδα (σχ.5). Οι μετακινήσεις του κατακόρυφου πλασματικού άξονα (άξονα βέλτιστης στρέψης) στις στάθμες των διαφραγμάτων, εξαιτίας των τριών προσωρινών επιλύσεων M, F κατά Ι και F κατά ΙΙ, 19

φαίνονται στον Πίνακα 1. Στον ίδιο Πίνακα φαίνονται και οι ακτίνες δυστρεψίας του κτιρίου που υπολογίσθηκαν, σε κάθε στάθμη, από τις σχέσεις: ρ B u B u =, ρ = M θ M θ,, z,m z,m θεωρώντας προσεγγιστικά ότι u, ux,x, u, uy,x, u, ux,y και u, uy,y, διότι οι δύο οριζόντιοι πλασματικοί κύριοι άξονες ταυτίζονται πρακτικά με τους άξονες x, y αντίστοιχα. Πίνακας 1: Μετακινήσεις του σημείου P o για κάθε όροφο & ακτίνες δυστρεψίας αντίστοιχα. Όροφοι M F κατά x-x F κατά y-y α/α θ z,μ (rad) u x,x (m) u y,x (m) ρ y (m) u y,y (m) u x,y (m) ρ x (m) 5 0.0005350 0.05349-0.00004 10.000 0.086-0.000077 6.537 4 0.0004608 0.04036-0.000087 9.359 0.01697-0.000033 6.069 3 0.0003559 0.0706-0.0001813 8.70 0.01115-0.0001757 5.597 0.00095 0.01470-0.0001344 8.003 0.00590-0.000199 5.070 1 0.00009744 0.0049-0.00006654 7.106 0.00191-0.00006355 4.47 Παρατηρούμε ότι η μικρότερη ακτίνα δυστρεψίας ( ρx = 4.47 = ρ ) του συστήματος εμφανίζεται στον πρώτο όροφο, οπότε εκφράζοντάς την ως προς το κέντρο μάζας Μ του συστήματος έχουμε: ( ) min ρ, m = min ρ + e = 4.47 +.8 = 4.98 και κατά συνέπεια σύμφωνα με την εξ.(15) προκύπτει : min ρ, m = 4.98 < r = 9.80 ή min ρ, m = 0.51 r δηλαδή το κτίριο είναι εύστρεπτο και άρα κυριαρχούν οι στρεπτικές ταλαντώσεις έναντι των μεταφορικών για μεταφορική σεισμική διέγερση της βάσης. Αλλά, ακόμα και αν λάβουμε την μέγιστη ακτίνα δυστρεψίας επί του άξονα x, δηλ. αυτήν του πέμπτου ορόφου ρx = 6.537 = ρ, την οποία θα την εκφράσουμε ως προς το κέντρο μάζας του συστήματος, πάλι προκύπτει ότι το κτίριο είναι εύστρεπτο. Πράγματι: ( ) ρ, m = ρ + e = 6.537 +.8 = 6.9 < 9.80 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στο παρόν άρθρο παρουσιάζεται ο ορισμός της ακτίνας δυστρεψίας στα πολυώροφα συστήματα, βασισμένος τόσο σε πρόσφατη θεωρητική μαθηματική ανάλυση όσο και σε εκτεταμένη παραμετρική ανάλυση. Οι ακτίνες δυστρεψίας των πολυώροφων κτιρίων δίνονται από τις εξ.(33α,β) από όπου προκύπτει ως ειδική περίπτωση η ισοδυναμία με τις εξ.(1α,β) των μονώροφων κτιρίων. Η ακτίνα δυστρεψίας στη γενική περίπτωση των πολυώροφων κτιρίων είναι μεταβλητή από όροφο σε όροφο ακόμα και στην περίπτωση επανάληψης 0

τυπικών ορόφων. Όμως, από την παραμετρική ανάλυση αποδεικνύεται ότι η μεταβολή καθύψος της τιμής της ακτίνας δυστρεψίας στα κανονικά καθύψος πολυώροφα κτίρια δεν παρουσιάζει ακρότατα. Έτσι, υπολογίζοντας την ακτίνα δυστρεψίας στον πρώτο και στον τελευταίο όροφο, «περιβάλλουμε» την τιμή της ακτίνας δυστρεψίας που διαθέτουν τα κτίρια αυτά και εξάγουμε ασφαλή συμπεράσματα ως προς την ύπαρξη ή μη της «στρεπτικής τους ευαισθησίας». (α) Η κατανομή της ακτίνας δυστρεψίας των κανονικών καθύψος πολυώροφων κτιρίων είναι μεταβλητή από όροφο σε όροφο, χωρίς ενδιάμεσες ακρότατες τιμές. (β) Στα πολυώροφα κτίρια με λ H < 5, δηλαδή με τόσα τοιχώματα ώστε η κατασκευή να μην εμφανίζει φαινόμενα ης ή ανώτερης τάξης, η συγκέντρωση στην περίμετρο των κτιρίων του 80% της καμπτικής δυσκαμψίας ΕΙ των τοιχωμάτων (ανά ζεύγη) εξασφαλίζει οριακά την ελάχιστη απαιτούμενη δυστρεψία. (γ) Τέλος, για κάθε πολυώροφο κτίριο, είναι αρκετό να διενεργείται ο έλεγχος των εξ.(α,β) στον πρώτο και στον τελευταίο όροφο, καθώς επίσης και στην οποιαδήποτε στάθμη έντονης μεταβολής της δυσκαμψίας των τοιχωμάτων (π.χ. στάθμη διακοπής ή προσθήκης τοιχώματος). Ο έλεγχος της ακτίνας δυστρεψίας στα 0.80Η του κτιρίου που προτείνεται από τον ΕΑΚ/003 για λόγους απλότητας, δίνει μία μέση τιμή της ακτίνας δυστρεψίας του πολυώροφου κτιρίου. ΑΝΑΦΟΡΕΣ ή ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αναστασιάδης Κ., (1989), Αντισεισμικές Κατασκευές, εκδ. ΖΗΤΗ, Θεσσαλονίκη. Anastassiadis K., Athanatopoulou A., Maarios T., (1998), Equivalent Static Eccentricities n the Simplified Methods of Seismic Analysis of Buildings, Earthquae Spectra. The Professional Journal of the Earthquae Engineering Research nstitute, 14, Number 1, February: 1-34. Maarios T., Anastassiadis K., (1998a), Real and Fictitious Elastic Axis of Multi-Storey Buildings: Theory, Structural Design of Tall Buildings, (7): pp 33-45. Maarios T., Anastassiadis K., (1998b), Real and Fictitious Elastic Axis of Multi-Storey Buildings: Applications, Structural Design of Tall Buildings, (7): pp 57-71. Μακάριος Τ., (1994), Πλασματικός Ελαστικός Άξονας Μικτών Πολυώροφων Κτιρίων. Διδακτορική Διατριβή, επιστημονική επετηρίδα του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής ΑΠΘ παράρτημα Ε.Ε.Π.Σ. αριθμ. του ΙΓ' τόμου, Θεσσαλονίκη. Μακάριος Τ., (000), Άξονας Βέλτιστης Στρέψης και Ακτίνες Δυστρεψίας στα Πολυώροφα Κτίρια. Τεχνικά Χρονικά, Επιστ. Εκδ. ΤΕΕ, Σειρά Ι, τόμος 0, τεύχος Α/000, σελ.75-94, ΤΕΕ. Maarios T., (008), Practical calculation of the torsional stiffness radius of multistorey tall buildings, Journal of the Structural Design of Tall & Special Buildings, 17, 1, (March), pp 39-65. Ρουσόπουλος Α., (193), Διανομή οριζοντίων δυνάμεων υπό ακάμπτου πλακός εις ολοσώμους εν τω χώρω φορείς. Περίπτωσις σεισμικών δυνάμεων. Διανομή και δίαιτα αυτών, Τεχνικά Χρονικά, τεύχος 17, 1η Σεπτεμβρίου, σελ.871-884. Tso W.K., Moghadam A.S., (1998), Application of Eurocode 8 torsional provisions to multistorey buildings, Proc.11 th European Conference on Earthquae Engineering, Sept.,SBN:905410983, Paris-France, on CD. 1