Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό ή σχετικό ακρότατο της f αν είναι είτε τοπικό ελάχιστο είτε τοπικό μέγιστο της f Υποθέτουμε περαιτέρω ότι U ανοικτό υποσύνολο στον R και f διαφορίσιμη συνάρτηση, το σημείο λέγεται κρίσιμο σημείο της f αν, f f για κάθε i,,, Ένα κρίσιμο σημείο που δεν είναι i τοπικό ακρότατο λέγεται σαγματικό σημείο για την f Κατ αναλογία με τον Λογισμό συναρτήσεων μιας μεταβλητής ισχύει η ακόλουθη γενίκευση του θεωρήματος Frmat: Θεώρημα Αν U R ανοικτό, η f : U R R είναι διαφορίσιμη στο τότε U και η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο U f, δηλαδή το είναι κρίσιμο σημείο για την f Απόδειξη: Υποθέτουμε χωρίς περιορισμό της γενικότητας ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο U Αν h R με t th, δηλαδή θεωρούμε την gt f th κατάλληλο διάστημα,, g f f th gt για κάθε t, h περιορίζουμε την f στην ευθεία η οποία ορίζεται σε Παρατηρούμε ότι,, για κάποιο δηλαδή η g παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο Επειδή η g ως σύνθεση t και διαφορίσιμων ( της, έπεται από το θεώρημα Frmat για διαφορίσιμες συναρτήσεις μιας μεταβλητής ότι f i i Το ίδιο συμπέρασμα έπεται από το γεγονός ότι, f ) είναι διαφορίσιμη στο g ' Όμως από τον κανόνα της αλυσίδας, g' hi f h, h h,, h f στο g ' ισούται με την παράγωγο της f g f h h, όπου στην κατεύθυνση h, δηλαδή ' h h,, h με h Έπεται από τα παραπάνω ότι: f h για κάθε i i h f R i i για κάθε hh h R Έτσι συμπεραίνουμε ότι, f κάθε i,,,,, f i i h i για

Σημείωση Το προηγούμενο αποτέλεσμα μας λέει ότι αν αναζητούμε τα τοπικά ακρότατα μιας διαφορίσιμης συνάρτησης f : U R R, τότε θα πρέπει να ψάξουμε στα κρίσιμα σημεία Εφόσον: τοπικό ακρότατο της f κρίσιμο σημείο της f Παραδείγματα: ) Να βρεθούν τα κρίσιμα σημεία της f y, y y f f Έχουμε ότι, y y, y y Εξισώνοντας τις μερικές παραγώγους με μηδέν παίρνουμε το σύστημα : y y αφαιρώντας, παίρνουμε y y y Αντικαθιστώντας το y στην πρώτη εξίσωση, βρίσκουμε ότι y y y οπότε y και άρα Αν y, τότε y y y, δηλαδή y και επομένως Επομένως το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f είναι το, Επειδή f, το το οποίο παίρνει και θετικές και αρνητικές για κοντά στο,, δεν είναι τοπικό ακρότατο της f, επομένως είναι σαγματικό σημείο της f )Έστω f y, y f f Παρατηρούμε ότι και y y f Επομένως το σύστημα: y f y y Έτσι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f είναι το, Επειδή f, f, y y για κάθε, y R το σημείο, είναι τοπικό ( μάλιστα oλικο ) ελάχιστο για την f ) Έστω f y, y f f f Παρατηρούμε ότι, y Συνεπώς το σύστημα, y f y έχει ως μόνη λύση το, Συμπεραίνουμε ότι το μόνο κρίσιμο σημείο της f είναι το, Εξετάζοντας απ ευθείας τις τιμές της f σε σημείο κοντά στην αρχή των αξόνων, βλέπουμε ότι f, f, και f y y f,,

4 σαγματικό σημείο για την f Έπεται ότι το, δεν είναι τοπικό ακρότατο για την f, επομένως είναι 4) Έστω f y, y Τότε έχουμε f y, f και το σύστημα y ως μόνη λύση το σημείο, Το σημείο f και είναι σαγματικό σημείο αφού για, y ομόσημα έχουμε για, y ετερόσημα έχουμε, f, y y Παρατηρούμε ότι, f y, y y f,έχει f y, είναι το μόνο κρίσιμο σημείο της f, y y και, άρα αν θέσουμε u y και 4 v y η συνάρτηση γίνεται f uv,, yuv, u v, που είναι η 4 περίπτωση του παραδείγματος () 5)Θεωρούμε την συνάρτηση, f y, y a y y y, όπου, και a,,, τυχόντες πραγματικοί αριθμοί Παρατηρούμε ότι, αν θέσομε, y a y y y y, y,, τότε, lim y Πράγματι, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι, y y y y y y y Έπεται ότι, υπάρχει και y y y y y και παρομοίως για τις συναρτήσεις, y, r :, όταν y r y Συνεπώς, f y y y y f,,, για y r, Παρατηρούμε ότι το δευτεροβάθμιο μέρος της συνάρτησης κυριαρχεί και καθορίζει την συμπεριφορά της συνάρτησης πλησίον του σημείου,, που σημαίνει ότι η f έχει τοπικό ελάχιστο στο,

5 Τετραγωνικές μορφές Μια πολυωνυμική συνάρτηση f : R R ομογενής και ου βαθμού ονομάζεται τετραγωνική μορφή ή και τετραγωνική συνάρτηση ( όλα τα μονώνυμα της f είναι της μορφής, i, j ) Παραδείγματα ) i j f y, a y y, y, R, a,, R είναι τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών ( γενική μορφή ) ) Η f yz,, a y z yz yz,, yz, R είναι τετραγωνική μορφή μεταβλητών ( γενική μορφή ) ) Οι f, y y και, a,,,,, R g, y y y δεν είναι τετραγωνικές μορφές αφού στην f εμφανίζεται σταθερός όρος ( μονώνυμο μηδενικού βαθμού ) και στην g το πρωτοβάθμιο μονώνυμο 4)Η f y, y και,, μεταβλητών αντίστοιχα f yz y zείναι τετραγωνικές μορφές και Παρατηρήσεις: () Μια τετραγωνική μορφή f : R R γράφεται στην γενική της μορφή ως, f,, aij i j a ii i a ij i j () i, j i i j Με την βοήθεια του πίνακα a ij μπορούμε να γράψουμε την () ως εξής, f,,,, () είναι συμμετρικός ( δηλαδή aij aji Μπορούμε ακόμη να υποθέσουμε ότι ο a ij για κάθε i, j ) αφού η f δεν μεταβάλλεται αν αντικαταστήσουμε το aij a ji bij, αφού ij ji (Άρα, f,, aiii aijij ) i ij )Ο τετραγωνικός χαρακτήρας της f φαίνεται και από την f,, f,,, R a ij με το Μας ενδιαφέρουν κυρίως οι τετραγωνικές μορφές δύο μεταβλητών και δευτερευόντως οι τετραγωνικές μορφές τριών ή περισσοτέρων μεταβλητών Παράδειγμα: Έστω f y, a y y η γενική τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών Θέτοντας ', μπορούμε να γράψουμε:

6, ' f y a y y Η f δίνεται από τον συμμετρικό πίνακα a a ' a ', αφού f y, a ' y y y, ' ' y Έτσι μια τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών θα γράφεται: f y, a y y Σημειώνουμε ότι αν ο πίνακας της f είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή αν, τότε το, είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f ( γιατί; ) Ορισμός Μια τετραγωνική μορφή f : R R λέγεται: R με και (α) Θετικά ορισμένη, αν f για κάθε (β) Αρνητικά ορισμένη, αν f για κάθε R (γ) Η f λέγεται θετικά ημιορισμένη αν f για κάθε με R Ανάλογα ορίζεται και η αρνητικά ημιορισμένη τετραγωνική μορφή (δ) Η f λέγεται αόριστη αν υπάρχουν, y R f f y Προφανώς, ώστε f για κάθε τετραγωνική μορφή, αφού δεν περιέχει σταθερό όρο ( διάφορο του μηδενός ) Παρατηρούμε ότι: ) Αν η f είναι θετικά ( αντιστοίχως αρνητικά ) ορισμένη τότε το R είναι ολικό ελάχιστο ( αντιστοίχως ολικό μέγιστο ) για την f Ανάλογες παρατηρήσεις ισχύουν και για τις ημιορισμένες τετραγωνικές μορφές ) Αν η f είναι θετικά ή αρνητικά ορισμένη τότε ο συμμετρικός πίνακας Α που ορίζει την f (υπενθυμίζουμε ότι, f,,,, για κάποιο συμμετρικό πίνακα Α ) είναι αντιστρέψιμος ( γιατί; ) Η συμπεριφορά μιας τετραγωνικής μορφής δύο μεταβλητών κοντά στο σημείο, περιγράφεται στην επόμενη 4 Πρόταση Έστω f y, a y y τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών Τότε, ισχύουν τα ακόλουθα: (ι) Αν a και a τότε η f είναι θετικά ορισμένη άρα το, είναι ολικό ελάχιστο για την f (ιι) Αν a και a τότε η f είναι αρνητικά ορισμένη άρα το, είναι ολικό μέγιστο για την f (ιιι) Αν a, το σημείο, είναι σαγματικό σημείο της f (ιν) Αν a, έχει, (α) μέγιστο ή ελάχιστο ανάλογα αν τότε η f στο a ή a και (β) αν a, μέγιστο ή ελάχιστο ανάλογα αν ή

7 Απόδειξη: Αν a f y, yμε και εύκολα βλέπουμε ότι το, είναι σαγματικό σημείο της f ( δες και το παράδειγμα (4)) Παρατηρούμε ακόμη ότι τότε a και η περίπτωση αυτή εντάσσεται στην (ιιι) Υποθέτουμε λοιπόν χωρίς περιορισμό της γενικότητας ότι a Αντιμετωπίζοντας την f ως συνάρτηση του ή του y και ενθυμούμενοι ότι ένα τριώνυμο παραγοντοποιείται «συμπληρώνοντας τα τετράγωνα» έχουμε, f y, a y y a a y y y a y a a a a a a y y ( Αν, τότε εναλλάσσοντας το a με το και το a a με το y έχομε: f y, y ) Έπεται ότι: (ι) Αν a και a, στο σημείο, η f έχει ελάχιστη τιμή (ιι) Αν a και a στο σημείο, η f παίρνει μέγιστη τιμή (ιιι) Αν a το σημείο, είναι σαγματικό σημείο της f Πράγματι, αν f, y ως προς, είναι οι τότε y τότε οι ρίζες της εξίσωσης a y y και y y, όπου, i, i, a Έπεται εύκολα ότι για y με y μικρό αριθμό, υπάρχουν, R με, μικρούς αριθμούς ώστε f, y και f, y ( ο θα είναι εκτός του διαστήματος των ριζών y και y και ο θα επιλεγεί εντός αυτού του διαστήματος ) Συνεπώς το, είναι σαγματικό σημείο της f Σημειώνουμε ότι το τελευταίο συμπέρασμα ισχύει ακόμη και αν a ( με την προϋπόθεση ότι a ) Πράγματι αν, εναλλάσσοντας τους ρόλους των a και βρίσκουμε f, y y Από όπου εύκολα συμπεραίνουμε ότι το, είναι πράγματι σαγματικό σημείο της f y (ιν) Αν a και a τότε f, ya a Από όπου έπεται αμέσως ο πρώτος ισχυρισμός Αν a και a, τότε f y, y δεύτερος ισχυρισμός και άρα, από όπου έπεται ο

Παρατήρηση Έστω f a,, ij i j i, j ορίζεται από τον συμμετρικό πίνακα ij, a i j Άλγεβρας αποδεικνύεται ότι: )Η f είναι θετικά ορισμένη ( f για κάθε όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι θετικές )Η f είναι αρνητικά ορισμένη ( f για κάθε όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι αρνητικές ) Η f είναι θετικά ημιορισμένη ( f για κάθε ιδιοτιμές του είναι Η f είναι αρνητικά ημιορισμένη ( f για κάθε 8, μια τετραγωνική μορφή που Στο μάθημα της Γραμμικής R με R με R R ) αν και μόνο αν ) αν και μόνο αν ) αν και μόνο αν όλες οι ) αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του είναι 4) Η f είναι αόριστη αν και μόνο αν ο έχει αρνητικές και θετικές ιδιοτιμές Δηλαδή η f δεν είναι θετικά αλλά ούτε αρνητικά ημιορισμένη Επίσης υπενθυμίζουμε τα ακόλουθα για ένα τετραγωνικό πίνακα 5) Οι ιδιοτιμές του είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης ( χαρακτηριστικού πολυωνύμου ) του, δηλαδή της dt, όπου ο ταυτοτικός πίνακας 6) Για την ορίζουσα dt του ισχύει ότι dt το γινόμενο των ιδιοτιμών του 7) Αν ο είναι επιπλέον συμμετρικός τότε οι ιδιοτιμές του είναι όλες πραγματικές Είναι εύκολο να ελέγξουμε τους ισχυρισμούς (), (), () και (4) στην περίπτωση μιας τετραγωνικής μορφής δύο μεταβλητών a Έστω, f, ya y y, y y a Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι το dt a Επομένως a a a Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι η a 4 Οι πραγματικές ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι a a οι, και Οι ρίζες αυτές είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι το dt a το δε άθροισμα των Α Το γινόμενο των ριζών του ριζών του είναι το S a Εύκολα τώρα διαπιστώνουμε τους παραπάνω ισχυρισμούς Παρατηρούμε ότι αν οι ρίζες είναι ετερόσημες, δηλαδή το a ( η f είναι αόριστη τετραγωνική μορφή )τότε το, είναι σαγματικό σημείο της f

9 5 Ορισμός Έστω U κλάσης R ανοικτό, U και f : U R συνάρτηση της C Η Εσσιανή ( Hssia) της f στο είναι η τετραγωνική μορφή Hf : R R που ορίζεται ως, f Hf h h h i j, i, j i j,, h h h R Παρατηρούμε ότι: ) Η f είναι ακριβώς το διαφορικό δεύτερης τάξης της f, δηλαδή f D f στο Υπενθυμίζουμε ότι από την συνέχεια των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης της f, έχουμε ότι αν,, h h h R τότε: f f D f h h hh και άρα η Εσσιανή είναι i i j i i ijij πράγματι τετραγωνική μορφή Ακόμη ότι το ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης της f στο είναι το f h f Df h Df h Rh, όπου Rh, είναι το! υπόλοιπο Taylor της f στο για το οποίο ισχύει R h, lim h h ) Ο πίνακας ( Hss ) που δίνει την τετραγωνική μορφή f, δηλαδή την Εσσιανή, είναι ο συμμετρικός πίνακας f f f f f f f f f f των δευτέρων μερικών παραγώγων της f στο

4 h f f h h h f hh i j, i, jij h f f f Παρατηρούμε ότι,,, όπου hh h R και ακόμη ότι,, 6 Λήμμα Έστω : R R τετραγωνική μορφή Αν η είναι θετικά ορισμένη τότε υπάρχει σταθερά h h για κάθε h R Απόδειξη: Έστω ώστε, h aijhh i j και S h R : h i, j συνάρτηση g: S R: gh h, ορίζουμε την, δηλαδή περιορίζουμε την στο S Επειδή η g είναι συνεχής ( η είναι συνεχής στον R ως πολυώνυμο) και η επιφάνεια S της μοναδιαίας σφαίρας του R είναι συμπαγές σύνολο η g επιτυγχάνει ελάχιστη τιμή στην S, η οποία είναι βεβαίως θετικός αριθμός, αφού η είναι θετικά ορισμένη Έστω mi gh : h Επειδή η είναι τετραγωνική μορφή θα έχουμε, ότι αν h τότε, h h h h h h h g h h h h Αν h το αποτέλεσμα είναι προφανώς σωστό Πρόκειται να αποδείξουμε ένα αποτέλεσμα για διαφορίσιμες συναρτήσεις πολλών μεταβλητών που γενικεύει το ακόλουθο κλασσικό αποτέλεσμα για μια πραγματική μεταβλητή Αν R είναι ανοικτό διάστημα, και f : R είναι μια συνάρτηση της κλάσης f ' τότε: C ώστε (ι) Αν f '', το (ιι) Αν '' Έστω f, το U R ανοικτό, είναι τοπικό ελάχιστο της f είναι τοπικό μέγιστο της f U και f : U είναι κρίσιμο σημείο της f Επειδή τότε R συνάρτηση της κλάσης f στο, δεύτερης τάξης γράφεται ως εξής: f h f f h Rh, C ώστε το f, το ανάπτυγμα Taylor της

4 Η γενίκευση στην οποία αναφερθήκαμε έχει ως ακολούθως 7 Θεώρημα (Κριτήριο της δεύτερης παραγώγου ) Αν η f : U R R είναι της κλάσης C και το U είναι ένα κρίσιμο σημείο της f τότε: (ι) Αν η Εσσιανή f είναι θετικά ορισμένη, δηλαδή αν οι ιδιοτιμές του Εσσιανού πίνακα f της f είναι όλες θετικές, τότε το είναι τοπικό ελάχιστο για την f (ιι) Αν η Εσσιανή f είναι αρνητικά ορισμένη, δηλαδή αν οι ιδιοτιμές του f είναι όλες αρνητικές, τότε το είναι τοπικό μέγιστο για την f (ιιι) Αν η Εσσιανή f δεν είναι θετικά αλλά ούτε αρνητικά ημιορισμένη, δηλαδή ο είναι σαγματικό f έχει αρνητικές και θετικές ιδιοτιμές τότε το σημείο της f Απόδειξη: Όπως παρατηρήσαμε ήδη ο τύπος του Taylor στο, δεύτερης τάξης R h, γράφεται f h f f h R h, όπου lim h h (ι) Επειδή η H f είναι θετικά ορισμένη από το προηγούμενο Λήμμα έπεται ότι υπάρχει ώστε f h h για κάθε h R Rh, Αφού, υπάρχει : h τότε R h, h h h Συνεπώς, αν h τότε,, f R h f h f Άρα f f h για κάθε h με h, δηλαδή το είναι ( γνήσιο! ) τοπικό ελάχιστο για την f Η απόδειξη στην περίπτωση που η f είναι αρνητικά ορισμένη είναι παρόμοια ( εξάλλου έπεται αν εφαρμόσουμε τα παραπάνω στην f ) και έτσι παραλείπεται (ιιι) Έστω h, h R ώστε, f h και f h Είναι Rth, σαφές ότι υπάρχει ώστε : t h και th, R th h th Έπεται ότι αν t τότε, f th f f thrth, f f ht Rth, f t Rth, f, t R th, t R th, t R th, ) ( εφόσον

4 Ανάλογα βρίσκουμε: f th f f thrth, f t Rth, f Άρα για t έχουμε, f th f f th, από όπου συμπεραίνουμε ότι η f δεν έχει τοπικό ακρότατο στο Δηλαδή το είναι σαγματικό σημείο της f Ακολούθως εφαρμόζουμε το προηγούμενο θεώρημα και την πρόταση 4 σε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών πραγματική συνάρτηση της κλάσης C, ορισμένη στο ανοικτό υποσύνολο U του R και, yu κρίσιμο σημείο της f, δηλαδή f f y Θέτομε, a f, f, f και a y y Η ποσότητα a ονομάζεται διακρίνουσα και ισούται με την ορίζουσα του, y ( Παρατηρούμε ότι ο Εσσιανός πίνακας της Έστω λοιπόν z f, y Εσσιανού πίνακα της f στο f στο ακόλουθο θεώρημα είναι αντιστρέψιμος, εφόσον η ορίζουσά του ισούται με a ) 8 Θεώρημα Ισχύουν τα ακόλουθα: (ι) Αν a και a, y (ιι) Αν a και a, y (ιιι) Αν a, y είναι σαγματικό σημείο της f y, η f έχει τοπικό ελάχιστο στο, η f έχει τοπικό μέγιστο στο, το Απόδειξη: Ας συμβολίσουμε με Q την Εσσιανή f, y, h, h R της f στο Q h h h hh h, όπου y y f f f Τότε έχουμε,, Συνεπώς σύμφωνα με τον συμβολισμό που υιοθετήσαμε Q h, h ah hh h, h, h R Οι ισχυρισμοί (ι), (ιι) και (ιιι) είναι τώρα εύκολη συνέπεια του προηγούμενου θεωρήματος σε συνδυασμό με την πρόταση 4 Σημείωση Μια ενδιαφέρουσα απευθείας απόδειξη του ισχυρισμού (ιιι) του θεωρήματος 8 έχει ως ακολούθως: Παρατηρούμε ότι επειδή

4 από τον ισχυρισμό (ιιι) της πρότασης 4 το a, είναι σαγματικό του R ώστε Qu και Qv Υποθέτουμε, όπως μπορούμε, ότι u v Έστω :, U, θεωρούμε τις συναρτήσεις ( της κλάσης C ) που ορίζονται από τους τύπους, t f tu και t f tv για t Εφαρμόζοντας τον κανόνα αλυσίδας δύο φορές στις συναρτήσεις και ( δηλαδή στις και ' και και ' ), υπολογίζουμε ότι ' f u και '' Qu ' f vκαι '' Qu Έπεται από την θεωρία της μιας πραγματικής μεταβλητής ότι η επιτυγχάνει στο τοπικό ελάχιστο και η τοπικό μέγιστο Συμπεραίνουμε ότι, f tv t f t f tu για αρκετά μικρό t Είναι σαφές από αυτές τις ανισότητες ότι η f δεν μπορεί να έχει στο σημείο, y τοπικό ακρότατο, έτσι το, y είναι πράγματι σαγματικό σημείο της f σημείο της Q, επομένως υπάρχουν σημεία u u, u και v v, v Οι υπολογισμοί, με τον κανόνα της αλυσίδας, των ' και '' στην προηγούμενη απόδειξη έχουν ως εξής: Για t, έχουμε, f f f ' t tuu tuu, άρα, '' t tuu u y f f f tuu u y tuu u y tuu u y y f f f tuu tuuu tuu y y f f Συνεπώς, ' f u και '' u uu y f u Qu y Οι υπολογισμοί για τις ' και '' είναι παρόμοιοι Παρατηρήσεις: ) Η συμπεριφορά μιας συνάρτησης f της κλάσης C κοντά στο κρίσιμο σημείο υπό την προϋπόθεση ότι ο Εσσιανός πίνακας f είναι αντιστρέψιμος ( στην περίπτωση που η f είναι δύο μεταβλητών αυτό σημαίνει ότι η διακρίνουσα, a ) καθορίζεται από το δευτεροβάθμιο μέρος της, δηλαδή την Εσσιανή f της f Τα κρίσιμα σημεία στα οποία ο f είναι

44 αντιστρέψιμος ονομάζονται μη εκφυλισμένα, τα υπόλοιπα κρίσιμα σημεία όπου ο f δεν είναι αντιστρέψιμος ονομάζονται εκφυλισμένα )Η μελέτη μιας C συνάρτησης δύο μεταβλητών συνοψίζεται ως εξής: f (α) Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f λύνοντας το σύστημα f y (β) Υπολογίζουμε τις Εσσιανές των κρίσιμων σημείων της f : (ι) κάποιες από αυτές μπορεί να είναι θετικά ορισμένες, υποδεικνύοντας τα σχετικά ελάχιστα, κάποιες μπορεί να είναι αρνητικά ορισμένες υποδεικνύοντας τα σχετικά μέγιστα ( a ) (ιι) Κάποιες μπορεί να μην είναι ούτε θετικά ούτε αρνητικά ορισμένες υποδεικνύοντας τα σαγματικά σημεία ( αν ) (γ) Τα κρίσιμα σημεία για τα οποία a ( μη εκφυλισμένα κρίσιμα σημεία ) είναι ( τοπικά ) μέγιστα και ελάχιστα ή σαγματικά σημεία Τα υπόλοιπα κρίσιμα σημεία όπου εκφυλισμένα κρίσιμα σημεία), συνήθως ελέγχονται απευθείας ) Το Κριτήριο της δεύτερης παραγώγου ( θεώρημα 7) μπορεί να αποφανθεί υπό την προϋπόθεση ότι το κρίσιμο σημείο είναι μη εκφυλισμένο, διότι τότε όλες οι ιδιοτιμές του Εσσιανού πίνακα είναι μη μηδενικές, από όπου έπεται ότι μια από τις τρείς περιπτώσεις του θεωρήματος ισχύει Παραδείγματα όπως τα 4 4 4 4 f y, y και y, δείχνουν ότι η f μπορεί να έχει ελάχιστο, μέγιστο ή σαγματικό σημείο αντίστοιχα στο,, ενώ ο Εσσιανός πίνακας στο σημείο αυτό είναι ο μηδενικός πίνακας Παραδείγματα: ) Να μελετηθούν τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f y, y y 4 y, y, R f f Λύση y, y4 Επιλύουμε το σύστημα y f y y y f y 4 y4 y 4 y 4 y Το πρώτο σύστημα έχει ως λύσεις τις και y 4 Το δεύτερο σύστημα είναι ισοδύναμο με το y 4 και έχει ως λύσεις τις και y και 4 και y 6 Έτσι οι λύσεις του αρχικού συστήματος είναι:,,,, 4,6 Έπεται ότι τα κρίσιμα σημεία της f είναι,,,, 4,6

45 Οι δεύτερες μερικές παράγωγοι της f είναι: f f f f 6 y, και y y y Στο κρίσιμο σημείο, Εσσιανή είναι:,,,, y η f f f Q h h y h y hh y h y y (Ι) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a 4,, Επομένως a και 4 8 Άρα η f έχει στο, a τοπικό μέγιστο (ΙΙ) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: f a, 6 6, f f, και, y y Συνεπώς a και άρα το, είναι σαγματικό σημείο για την f (ΙΙΙ) Στο κρίσιμο σημείο 4,6 έχουμε: f f a 4,66464, 4, 648 και y f 4,6 Συνεπώς, a 8 4 64 4 και y το 4,6 είναι σαγματικό σημείο για την f Η μελέτη μας μπορεί να συνοψισθεί στον ακόλουθο πίνακα: y a f fy f yy a Κατάταξη 4 8 Τοπικό μέγιστο Σαγματικό σημείο 4 6 8 4 Σαγματικό σημείο ) Μελετήστε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f y, y 5 8y5 y, y, R ( Πρβλ το παράδειγμα (5) μετά το θεώρημα ) f f Λύση y 8y και y 8 y y f y 8y Έτσι έχουμε να επιλύσουμε το σύστημα δηλαδή το f () y8y y Παρατηρούμε ότι αν τότε ( και μόνο τότε ) y

46 Άρα μία λύση είναι η y,, Υποθέτοντας ότι ( και άρα y ) πολλαπλασιάζουμε την δεύτερη εξίσωση με y και την πρώτη με και y 8y καταλήγουμε στο y 8yy y Συνεπώς με την υπόθεση ότι ( και y ) το αρχικό σύστημα ισοδυναμεί με το και y y και y y8y και y και y Έτσι οι λύσεις του συστήματος () και άρα τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα ακόλουθα,,,,,,,,, Οι δεύτερες μερικές παράγωγοι της f είναι: f y f, 4y 8 και y f y Η Εσσιανή της f στο κρίσιμο σημείο, y f f f είναι: Q, yh, h, yh, yhh, yh y y (Ι) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: f f f a,,,8 και, y y Συνεπώς a και a 8 64 6 Άρα το, είναι τοπικό μέγιστο για την f f f (ΙΙ) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a, 8,,, y f, 8 y Συνεπώς ( a 8 ) και a 88 64 44 Άρα το, είναι σαγματικό σημείο για την f f f (ΙΙΙ) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a,8,,, y f,8 y Συνεπώς ( a 8 ) και a 88 64 44 Άρα το, είναι σαγματικό σημείο για την f

47 (IV) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a f,4 8 8 y Συνεπώς ( a 8 και ) a σαγματικό σημείο για την f f f, 8 y και 88 8 64 8 Έτσι το, 8, είναι επίσης f (V) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a, 8, f f, 4 8 8 και, 8 y y Έπεται όπως προηγουμένως ότι a 88 8 64 8 Έτσι και το σημείο, είναι επίσης σαγματικό σημείο για την f )Να μελετηθούν τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f yz,, y9y z Λύση Οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης της f είναι οι, f, f f y 9, z y z f f Οι μερικές παράγωγοι της f δεύτερης τάξης είναι οι 6, 6y, y f όλες οι υπόλοιπες μικτές παράγωγοι της f δεύτερης τάξης είναι ταυτοτικά z f f μηδέν (,, κτλ) y z Έπεται ότι ο Εσσιανός πίνακας της f στο, y, z είναι ο 6 f, y, z 6y Η Εσσιανή Q f, y, z είναι η τετραγωνική μορφή: f f f Qh, h, h, y, zh, y, zh, y, z h y z f f f, y, zhh, y, zhh, y, zhh y z yz 6 h 6y h h, hh, h, h R,

48 Τα κρίσιμα σημεία,, y z της f είναι οι λύσεις του συστήματος f f y y y z z f z Συνεπώς τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα ακόλουθα: (α) (γ),, και (δ),, Έτσι έχουμε:,,, (β),, (α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα f,, 6 6, είναι το, που έχει ρίζες τις 6, 6, Επειδή οι ρίζες αυτές είναι ετερόσημες το κρίσιμο σημείο,, είναι σαγματικό σημείο της f (β) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα f,, 6 6 είναι το, που έχει ρίζες τις 6, 6, οι οποίες είναι θετικές, άρα το κρίσιμο σημείο,, είναι τοπικό ελάχιστο της f (γ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα f,, 6 6 είναι το, που έχει ρίζες τις 6, 6, Επειδή οι ρίζες αυτές είναι ετερόσημες το κρίσιμο σημείο,, είναι σαγματικό σημείο της f (δ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα f,, 6 6 είναι το, που έχει ρίζες τις 6, 6, Επειδή οι ρίζες αυτές είναι ετερόσημες το κρίσιμο σημείο,, είναι σαγματικό σημείο της f a by f y y R, όπου a b y 4)Έστω,,, f έχει ολικό μέγιστο στο σημείο,, Λύση, y R y f y Έπεται ότι ( λόγω συμμετρίας): y y a by a by f y ba by y y Αποδείξτε ότι η συνάρτηση,, y R aa by = y,

49 Η συνάρτηση f, y είναι βέβαια C διαφορίσιμη στο R ως πηλίκο των C y διαφορίσιμων συναρτήσεων a by ( πολυωνυμική ) και της f Λύνουμε τώρα το σύστημα για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία της f f y Έτσι έχουμε το αλγεβρικό σύστημα: a a by y a by a () y b a by y a by b y Μια προφανής λύση του συστήματος () είναι η y Οι υπόλοιπες λύσεις του () είναι οι λύσεις των συστημάτων και by b y, οι οποίες είναι οι, y και, y για το πρώτο και a a, y και, y για το δεύτερο Έτσι οι λύσεις του () και άρα τα κρίσιμα σημεία της f είναι οι ακόλουθες:,,,,,,,,, b a () lim f, y a, Παρατηρούμε ότι: f,, f, f, και f, f, άρα η μεγαλύτερη τιμή είναι η f, f,, y R Ισχυρισμός: y, a y, y z y και παρατηρούμε ότι Απόδειξη ισχυρισμού Προφανώς ισχύει f, y Θέτουμε z z, y Όπως είναι γνωστό από τον Απειροστικό Λογισμό μιας μεταβλητής z az για κάθε a R z z z z a y a by Έπεται ότι, f y y,, y y y, a Έστω τώρα αρκετά μεγάλο ώστε: y, fy, ( Η ύπαρξη τέτοιου έπεται από τον ισχυρισμό ) Είναι τότε σαφές ότι,,, Έπεται τότε ότι: a f, sup f, y sup f, y () y, y, R

5 Από την () συμπεραίνουμε ότι για να βρούμε το y, R sup f y, αρκεί να περιοριστούμε στον κλειστό δίσκο, Επειδή η f συνεχής και, συμπαγές σύνολο η f επιτυγχάνει μέγιστη τιμή, y στον δίσκο, άρα και στον R Το σημείο, y θα είναι ένα από τα κρίσιμα σημεία της f, δηλαδή ένα από τα,,,,,,,,, Επειδή από την () την μεγαλύτερη τιμή την παίρνει στο,,( και το, ) και η a τιμή αυτή είναι f, f,, έπεται ότι στο, ( και στο, ) η f παίρνει την μέγιστη τιμή της Συμπέρασμα: Αν a b τότε, a by a f, y f, f, y για κάθε, y R Παρατήρηση Το παράδειγμα 4 μπορεί να αντιμετωπιστεί και ως εξής: Η συνάρτηση z gz, z παίρνει την μέγιστη τιμή της στο z ( όπως μπορεί να ελεγχθεί με z παραγώγους ή με ένα επιχείρημα συμπάγειας όπως στο παράδειγμα 4) Θέτομε a by y z a z y και παρατηρούμε ότι: a a, z y y z a Επειδή, f,, έπεται ότι το, είναι θέση ολικού μεγίστου για την f Ασκήσεις )Έστω f : R, συνεχής συνάρτηση ώστε f y lim, Αποδείξτε y, ότι η f επιτυγχάνει μέγιστη τιμή στον R Γενικεύστε στον R )Έστω f : R R μια τετραγωνική συνάρτηση τριών μεταβλητών ώστε,,, f yz a y z yz yz Αποδείξτε ότι μπορούμε να f yz yz y, z όπου Α ο συμμετρικός πίνακας, a Γενικεύστε για μια τετραγωνική συνάρτηση μεταβλητών γράψουμε,,,,, )Μελετήστε τα κρίσιμα σημεία των συναρτήσεων:

5 y (α), f y y, y 9 y, (β) y (γ) f y,, (δ) f y, y y f (ε) f, y y, (στ) f yz,, yz4 y z y 4)Δείξτε ότι η f yz,, y z έχει ένα κρίσιμο σημείο, το οποίο δεν είναι τοπικό ακρότατο Περιγράψτε τις επιφάνειες στάθμης της f 5)Έστω f, y, z y z y z Δείξτε ότι το είναι η ελάχιστη τιμή της f 6) Θεωρούμε την συνάρτηση f του παραδείγματος 5( μετά το θεώρημα ) (α) Αποδείξτε ότι το, είναι κρίσιμο σημείο για την f (β) Υπολογίστε την Εσσιανή f, και συμπεράνατε ότι το τοπικό ελάχιστο για την f 7)(*) Έστω a ij συμμετρικός όπου,,,,, πίνακας Θέτομε, Αποδείξτε ότι:, είναι y a y i, j y y y R (α) Η Β είναι μια συμμετρική διγραμμική μορφή επί του R, δηλαδή ισχύουν:, y y,, y, y, y, R, (ι), (ιι) (ιιι), y, y, y και (άρα) (ιν), y y y, y, (β) Η απεικόνιση R, ij i j είναι μια τετραγωνική μορφή επί του R (γ) Αν η Β είναι μια συμμετρική διγραμμική μορφή επί του R με την επιπλέον ιδιότητα ότι,, ( η Β είναι θετικά ορισμένη) Τότε η Β λέγεται ένα εσωτερικό γινόμενο επί του R ( Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο το, y που ορίζει ο ταυτοτικός παίρνουμε θεωρώντας την διγραμμική μορφή πίνακας ) Αποδείξτε ότι:, y ισχύει η ανισότητα Cauchy-Schwartz, ) Για ένα εσωτερικό γινόμενο, y, y, y ) Η απεικόνιση R,, έχει τις ιδιότητες της Ευκλείδειας νόρμας: (ι), R και, (ιι), R, R και (ιιι) y y,, y R ( τριγωνική ανισότητα) Μια τέτοια απεικόνιση ονομάζεται νόρμα επί του R [ Υπόδειξη Για το (γ) ) Έστω, y R με y Παρατηρούμε ότι, ty, ty, t, y t y, y ()

5 για κάθε t R Η δεξιά πλευρά της ταυτότητας () είναι ένα τριώνυμο φ(t) ως προς, y t με ελάχιστη τιμή στο t Αντικαθιστώντας το t με το y, y t στην, y ταυτότητα () βρίσκουμε ty, ty,, από όπου yy, έπεται η ζητούμενη ανισότητα ( Εναλλακτικά παρατηρούμε ότι, επειδή t, t R και ο συντελεστής yy, του t είναι θετικός, θα πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύμου να είναι, y yy επομένως,, y, y, y 4, 4,, ) [Καθόσον αφορά το (γ) ), χρησιμοποιήστε την ανισότητα Cauchy-Schwartz για να αποδείξετε την τριγωνική ανισότητα] Άσκηση 8) (*) Έστω τυχούσα νόρμα στον R Αν συμβολίζει την Ευκλείδεια νόρμα, αποδείξτε ότι, υπάρχουν σταθερές m και ώστε για κάθε m [ Υπόδειξη Θέτομε ma,, R Αν, όπου R,,, η συνήθης βάση του,, R τότε, άρα i i i i i Όμως, i,,, Επομένως () Από την () έπεται ότι i y y,, y R η οποία έπεται ότι η είναι ( Lipschitz και άρα ) συνεχής συνάρτηση επί του R Η ως συνεχής επιτυγχάνει ελάχιστη τιμή επί του συμπαγούς συνόλου S R : Έστω m S mi : Η ανισότητα m, R αποδεικνύεται όπως η αντίστοιχη ανισότητα στο Λήμμα 6] Σχόλιο (*) Έχοντας μια νόρμα στον R μπορούμε να ορίσουμε σφαίρες ανοικτά και κλειστά σύνολα ( όρια συναρτήσεων και ακολουθιών ) ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως και για την Ευκλείδεια νόρμα Το αποτέλεσμα που περιγράφεται στην άσκηση 8) μας λέει ότι όλες οι νόρμες στον R είναι μεταξύ τους ισοδύναμες και άρα ορίζουν τα ίδια ανοικτά σύνολα ( τις ίδιες συγκλίνουσες ακολουθίες, συνεχείς συναρτήσεις κτλ) με την Ευκλείδεια νόρμα Ακόμη σημειώνουμε ότι δεν προέρχονται όλες οι νόρμες στον R από κάποιο εσωτερικό γινόμενο ( όπως περιγράφεται στην άσκηση 7)) Ένα παράδειγμα τέτοιας νόρμας είναι η,,, R Προσοχή η επόμενη παράγραφος που είναι «το θεώρημα της αντίστροφης απεικόνισης» αρχίζει πάλι από την σελίδα 5 i i