HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG GIẢI TÍCH Dùg cho sih viê hệ đào tạo đại học từ gàh QTKD Lưu hàh ội ộ HÀ NỘI - 7

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG GIẢI TÍCH Biê soạ : TS. VŨ GIA TÊ

LỜI NÓI ĐẦU Giải tích Toá co cấp A là học phầ đầu tiê củ chươg trìh toá dàh cho sih viê các hóm gàh Quả trị kih doh. Để học tốt mô Toá co cấp tho phươg thức Đào tạo từ, ê cạh các học liệu: sách, giáo trìh i, ăg đĩ hìh,..., sách hướg dẫ cho gười học toá co cấp là rất cầ thiết. Tập sách hướg dẫ à được iê soạ là hằm mục đích trê. Tập sách được iê soạ tho chươg trìh qui địh ăm củ Bộ Giáo dục Đào tạo và tho đề cươg chươg trìh được Học việ Côg ghệ BC-VT thôg qu ăm 7. Sách hướg dẫ học toá co cấp A ám sát các giáo trìh củ các trườg đại học đg giảg dạ chuê gàh Quả trị kih doh, giáo trìh dàh cho hệ chíh qui củ Học việ Côg ghệ BC-VT iê soạ ăm và kih ghiệm giảg dạ hiều ăm củ tác giả. Chíh vì thế, tài liệu à có thể dùg để học tập và thm khảo cho sih viê củ tất cả các trườg, các gàh đại học và co đẳg. Cách trìh à trog sách thích hợp cho gười tự học, đặc iệt phục vụ đắc lực trog côg tác đào tạo từ. Trước khi ghiê cứu các ội dug chi tiết, gười đọc ê m phầ giới thiệu củ mỗi chươg để thấ được mục đích, êu cầu chíh củ chươg đó. Trog mỗi chươg, mỗi ội dug, gười đọc có thể tự đọc và hiểu được thôg qu các ví dụ mih hoạ. Su các chươg, gười đọc phải tự trả lời được các câu hỏi ô tập dưới dạg trắc ghiệm. Nhờ các ví dụ mih hoạ được đư r từ đơ giả đế phức tạp, gười đọc có thể coi đó là ài tập mẫu để tự giải các ài tập có trog tài liệu. Người đọc có thể tự kiểm tr, đáh giá kiế thức, khả ăg thu hậ dự vào phầ hướg dẫ và đáp số được cug cấp ở hữg trg cuối sách. Cũg cầ hấ mạh rằg, ội dug chíh củ toá co cấp là phép tíh vi phâ và phép tíh tích phâ mà ề tảg củ ó là phép tíh giới hạ củ hàm số. Chíh vì thế chúg tôi trìh à khá tỉ mỉ hi chươg đầu củ tài liệu để gười học tự đọc cũg có thể có được các kiế thức vữg vàg để đọc tiếp các chươg su. Trog quá trìh tự đọc và học qu mạg, tuỳ tho khả ăg tiếp thu, học viê có thể chỉ cầ hớ các địh lý và ỏ qu phầ chứg mih củ ó. Nhâ đâ tác giả cũg lưu ý rằg ở ậc trug học phổ thôg củ ước t, chươg trìh toá cũg đã o hàm các kiế thức về vi, tích phâ. Tu hiê các ội dug đó chỉ mg tíh chất giới thiệu do lượg thời gi hạ chế, do cấu tạo chươg trìh. Vì thế ếu khôg tự đọc một cách ghiêm túc các địh ghĩ, địh lý cũg sẽ vẫ chỉ ắm được một cách hời hợt và hư vậ rất gặp khó khă trog việc giải các ài tập toá co cấp. Sách gồm 5 chươg tươg ứg với học phầ gồm 45 đế 6 tiết: Chươg I: Hàm số và giới hạ Chươg II: Đạo hàm và vi phâ. Chươg III: Hàm số hiều iế số Chươg IV: Phép tíh tích phâ. Chươg V: Phươg trìh vi phâ 5

Tu rằg tác giả đã cố gắg rất hiều, sog thời gi ị hạ hẹp.vì vậ các thiếu sót cò tồ tại trog cuố sách là điều khó tráh khỏi. Tác giả châ thàh chờ đó sự đóg góp ý kiế củ các ạ đồg ghiệp, học viê gầ và i cảm ơ về điều đó. Chúg tôi à tỏ sự cám ơ đối với B Giám đốc Học việ Côg ghệ BC-VT, Trug tâm Đào tạo BC-VT, Phòg Đào tạo Đại học từ và các ạ đồg ghiệp trog Bộ mô Toá củ Học việ Côg ghệ BC-VT đã khuế khích độg viê, tạo điều kiệ cho r tập tài liệu à Hà Nội, gà 7 thág 6 ăm 6 Tác giả 6

Chươg : Hàm số một iế số CHƯƠNG I: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU Mọi vật ug quh t đều iế đổi tho thời gi. Chúg t có thể hậ thấ điều đó qu sự chuể độg cơ học củ các vật thể: ô tô, má ; sự th đổi củ các đại lượg vật lý: hiệt độ, tốc độ, gi tốc; sự iế độg kih tế trog một ã hội: Giá cổ phiếu, lãi suất tiết kiệm,... Tất cả các loại hìh đó được gá một tê chug là đại lượg h hàm số, ó phụ thuộc vào đối số ào đó, chẳg hạ là thời gi. Xm ét hàm số tức là qu tâm đế giá trị, tíh chất và iế thiê củ ó. Việc đó đặt r hư một hu cầu khách qu củ co gười và ã hội. Trog chươg à, chúg t cầ ắm được các ội dug su:. Mô tả địh tíh và địh lượg các hàm số sơ cấp cơ ả. Nhậ iết hàm số sơ cấp, tíh chất giới hạ và liê tục củ ó.. Khái iệm giới hạ củ hàm số trog các quá trìh khác hu, các tíh chất về giới hạ và thàh thạo các phươg pháp khử các dạg ất địh dự trê phép th thế các VCB, VCL tươg đươg, đặc iệt các giới hạ đág hớ: si lim lim si, lim lim. Khái iệm liê tục, giá đoạ củ một hàm số. Các tíh chất hàm số liê tục trê một đoạ kí. 4. Các hàm số thườg dùg trog phâ tích kih tế. NỘI DUNG.. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ... Các địh ghĩ cơ ả A. Địh ghĩ hàm số Cho X là tập khôg rỗg củ. Một áh ạ từ X vào gọi là một hàm số một iế số : X X gọi là tập ác địh củ, X gọi là tập giá trị củ. Đôi khi ký hiệu, X, gọi là đối số iế độc lập, gọi là hàm số iế phụ thuộc B. Hàm số chẵ, hàm số lẻ Cho X đối ứg với tức là X, X Hàm số chẵ khi và chỉ khi. Hàm số lẻ khi và chỉ khi. C. Hàm số tuầ hoà 7

Chươg : Hàm số một iế số Hàm số gọi là tuầ hoà trê X ếu tồ tại dươg so cho X thì τ X và τ. τ, được kí hiệu là tập các số Số T dươg é hất trog các số τ gọi là chu kì củ hàm số tuầ hoà. D. Hàm số đơ điệu Cho với X.. Nói rằg tăg ếu X,., và tăg gặt ếu X, < <.,. Nói rằg giảm ếu X,., và giảm gặt ếu X, < >.. Nói rằg đơ điệu ếu ó tăg hoặc giảm. E. Hàm số ị chặ, Nói rằg đơ điệu gặt ếu ó tăg gặt hoặc giảm gặt.. Hàm số ị chặ trê trog X ếu tồ tại số A so cho : X, A.. Hàm số ị chặ dưới trog X ếu tồ tại số B so cho: X, B.. Hàm số ị chặ trog X ếu tồ tại các số A,B so cho: F. Hàm số hợp X, B A. Cho : X và g: Y với g : X g X Y gọi áh ạ H g là hàm số hợp củ hi hàm và g. G. Hàm số gược Cho sog áh : X Y, X, Y Áh ạ gược : Y X gọi là hàm số gược củ Thôg thườg đối số kí hiệu là, hàm số kí hiệu là, vậ hàm gược củ là hàm số. Vì thế trê cùg mặt phẳg toạ độ O, đồ thị củ hi hàm số và đối ứg hu qu đườg phâ giác củ góc phầ tư thứ I và III.... Các hàm số sơ cấp cơ ả A. Hàm luỹ thừ Choα. Hàm luỹ thừ với số mũ α,được kí hiệu là P α, là áh ạ từ vào, ác địh hư su, P α α 8 là

Chươg : Hàm số một iế số Nếu α >, coi rằg P α. Nếu α, coi rằg P Đồ thị củ P α cho ởi h.. α > α < α < α O α < H.. B. Hàm mũ cơ số Xét \{}. Hàm mũ cơ số, kí hiệu là p, là áh ạ từ vào, ác địh hư su:, p. Đồ thị củ C. Hàm lôgrit cơ số Xét cho ởi h... \{}. Hàm lôgrit cơ số, kí hiệu là log,là áh ạ gược với áh ạ hư vậ,, log Đồ thị củ hàm số log cho ởi hìh h... Chú ý: Hàm luỹ thừ có thể mở rộg khi miề ác địh là. p,, > log, > O H.., < < H.. log, << Tíh chất củ hàm số lôgrit. log 9

.. 4.,, log log log Chươg : Hàm số một iế số log α α log αlog log log,, log log.log, log log Chú ý: Su à gười t thườg lấ cơ số là số và gọi là lôgrit Nêp h lôgrit tự l hiê củ, kí hiệu l và su r log,,7888845945, l D. Các hàm số lượg giác lg,4494... l Các hàm số lượg giác: si, cos, tg, cotg đã được ét kỹ trog chươg trìh phổ thôg trug học. Dưới đâ chúg t chỉ hắc lại một số tíh chất cơ ả củ chúg. Tíh chất:. si ác địh trê, là hàm số lẻ, tuầ hoà với chu kì T π và ị chặ: si,. cos ác địh trê, là hàm số chẵ, tuầ hoà với chu kì T π và ị chặ: cos, π. tg ác địh trê \{ kπ, k }, là hàm số lẻ, tuầ hoà với chu kỳ T π và hậ giá trị trê khoảg,. 4. cotg ác địh trê \{ kπ, k }, là hàm số lẻ, tuầ hoà với chu kỳ T π và hậ giá trị trê khoảg,. E. Các hàm số lượg giác gược π π. Hàm rcsi đọc là ác-si là áh ạ gược củ si:, [, ] Kí hiệu là rcsi:[ ] π π,,. π π Vậ t có: [,],,, rcsi si Đồ thị củ rcsi cho trê hìh.4

Chươg : Hàm số một iế số π - π rcsi O π rccos O π π π π H..4 H..5, π, kí hiệu:. Hàm rccosi đọc là ác- cô- si là áh ạ gược củ cos : [ ] [ ] rccos :[, ] [,π ] [,], [, π ], rccos cos Đồ thị hàm số rccos cho trê hìh.5 π rcsi [, π ] cos π rcsi sircsi Vậ π rccos rcsi π π. Hàm rctg đọc là ác-tg là áh ạ gược củ tg :,, kí hiệu: π π rctg :, π π Vậ t có,, rctg tg Đồ thị củ rctg cho trê hìh.6. 4. Hàm rccôtg đọc là ác-cô-tg là áh ạ gược củ cotg:, π kí hiệu: π rc cot g :, π Vậ t có,, rc cot g cot g Đồ thị hàm rccotg cho trê hìh.7

Chươg : Hàm số một iế số π tg rctg π H..6 π π rccotg π π H..7

, cot grc cot g Vậ π rctg rc cot g Chươg : Hàm số một iế số Người t gọi hàm số luỹ thừ, hàm số mũ, hàm số lôgrit, các hàm số lượg giác và các hàm số lượg giác gược là các hàm số sơ cấp cơ ả. H. Đ thức, hàm hữu tỉ.. Áh ạ P: X được gọi là đ thức khi và chỉ khi tồ tại và,,..., so cho X, P i i Nếu, gọi là ậc củ đ thức, kí hiệu dgp. Áh ạ : X được gọi là hàm hữu tỉ khi và chỉ khi tồ tại hi đ thức P P, Q: X so cho X, Q, Q Gọi P là hàm hữu tỉ thực sự khi và chỉ khi: dgp < dgq Q. Hàm hữu tỉ tối giả là các phâ thức có dạg: A Trog đó k, k hoặc B C p q k, p, q, A, B, C là các số thực và p 4q < Dưới đâ t đư r các địh lí được chứg mih trog lí thuết đại số Địh lí.: Mọi đ thức ậc với các hệ số thực đều có thể phâ tích r thừ số trog dạg: P k kl β α... α p q... p q l trog đó α i i, l là các ghiệm thực ội k i củ đ thức, cò p, q, β với l m j,,..., m và ki β j, pj 4qj < ; j, m i j m i m β m j j j Địh lí.: Mọi hàm hữu tỉ thực sự đều có thể phâ tích thàh tổg hữu hạ các hàm hữu tỉ tối... Hàm số sơ cấp giả.. Địh ghĩ: Hàm số sơ cấp là hữg hàm số được tạo thàh ởi một số hữu hạ các phép tíh cộg, trừ, hâ, chi và các phép lấ hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ ả và các hằg số, chẳg hạ l rcsi cos là một hàm số sơ cấp...4. Các hàm số trog phâ tích kih tế A. Hàm cug và hàm cầu Khi phâ tích thị trườg hàg hó và dịch vụ, các hà kih tế sử dụg khái iệm hàm cug suppl uctio và hàm cầu dmd uctio để iểu diễ sự phụ thuộc củ lượg cug và lượg cầu củ một loại hàg hó vào giá trị củ hàg hó đó. Hàm cug và hàm cầu iểu diễ

Chươg : Hàm số một iế số tươg ứg là: Qs S p, Qd D p, trog đó: p là giá hàg hó, Qs là lượg cug qutit supplid, tức là lượg hàg hó mà gười á ằg lòg á ở mỗi mức giá; Qd là lượg cầu qutit dmdd, tức là lượg hàg hó mà gười mu ằg lòg mu ở mỗi mức giá. Tất hiê, lượg cug và lượg cầu hàg hó khôg chỉ phụ thuộc vào giá cả củ hàg hó đó, mà cò chịu ảh hưởg củ hiều ếu tố khác, chẳg hạ hư thu hập và giá củ các hàg hó liê qu. Khi m ét các mô hìh hàm cug và hàm cầu ở dạg êu trê gười t giả thiết rằg các ếu tố khác khôg th đổi. Qu luật thị trườg trog kih tế học ói rằg, đối với các hàg hó thôg thườg, hàm cug là hàm đơ điệu tăg, cò hàm cầu là đơ điệu giảm. Điều à có ghĩ là, với các ếu tố khác giữ guê, khi giá hàg hó tăg lê thì gười á sẽ muố á hiều hơ và gười mu sẽ mu ít đi. Các hà kih tế gọi đồ thị củ hàm cug và hàm cầu là đườg cug và đườg cầu. Gio điểm củ đườg cug và đườg cầu gọi là điểm câ ằg củ thị trườg. Ở mức giá câ ằg p t có Q Q Q, tức là gười á á hết và gười mu mu đủ, thị trườg khôg có hiệ tượg dư thừ hoặc kh hiếm hàg hó. s d Chú ý: Trog các tài liệu kih tế gười t thườg sử dụg trục hoàh để iểu diễ lượg Q, trục tug để iểu diễ giá p. Cách iểu diễ hư vậ tươg ứg với việc iểu diễ hàm gược củ hàm cug và hàm cầu: p S Q, p D Q. Trog kih tế học hiều khi gười t vẫ gọi s các hàm à là hàm cug và hàm cầu. Đồ thị củ chúg được cho trê H..8. B. Hàm sả uất gắ hạ d Các hà kih tế học sử dụg khái iệm hàm sả uất để mô tả sự thuộc củ sả lượg hàg hó tổg số lượg sả phẩm hiệ vật củ một hà sả uất vào các ếu tố đầu vào củ sả uất, hư vố và lo độg v,v p S Q s p D Q s H..8 Trog kih tế học khái iệm gắ hạ và dài hạ khôg được ác địh ằg một khoảg thời gi cụ thể, mà được hiểu tho ghĩ hư su: Ngắ hạ là khoảg thời gi mà ít hất một trog các ếu tố sả uất khôg th đổi. Dài hạ là khoảg thời gi mà tất cả các ếu tố sả uất có thể th đổi. Khi phâ tích sả uất, gười t thườg qu tâm đế hi ếu tố sả uất qu trọg là vố cpitl và lo độg lor, được kí hiệu tươg ứg là K và L. Trog gắ hạ thì K khôg th đổi, do đó hàm sả uất gắ hạ có dạg: Q L 4

Chươg : Hàm số một iế số trog đó L là lượg lo độg được sử dụg và Q là mức sả lượg tươg ứg. Chú ý rằg gười t ét hàm sả uất sả lượg Q và các ếu tố sả uất K, L được đo tho luồg low, tức là đo tho địh kì hàg gà, hàg tuầ, hàg thág, hàg ăm v,v C. Hàm doh thu, hàm chi phí và hàm lợi huậ Tổg doh thu totl rvu, tổg chi phí totl cost và tổg lợi huậ totl proit củ hà sả uất phụ thuộc vào hàg hó. Khi phâ tích sả uất, cùg với hàm sả uất, các hà kih tế học cò sử dụh các hàm số:. Hàm doh thu là hàm số iểu diễ sự phụ thuộc củ tổg doh thu, kí hiệu TR vào sả lượg Q: TR TRQ Chẳg hạ, tổg doh thu củ hà sả uất cạh trh là hàm ậc hất: TR pq trog đó p là giá sả phẩm trê thị trườg.. Hàm chi phí là hàm số iểu diễ sự phụ thuộc củ tổg chi phí, kí hiệu TC vào sả lượg Q: TC TCQ.. Hàm lợi huậ là hàm số iểu diễ sự phụ thuộc củ tổg lợi huậ, kí hiệu π vào sả lượg Q: π π Q Hàm lợi huậ có thể ác địh thôg qu hàm doh thu và hàm chi phí: π TRQ TCQ. D. Hàm tiêu dùg Lượg tiề mà gười tiêu dùg dàh để mu sắm hàg hó và dịch vụ phụ thuộc vào thu hập. Các hà kih tế sử dụg hàm tiêu dùg để iểu diễ sự phụ thuôc củ iế tiêu dùg, kí hiệu C cosumptio vào iế thu hập Y icom: C Y Tho qui luật chug, khi thu hập tăg, gười t có u hướg tiêu dùg hiều hơ, do đó hàm tiêu dùg là hàm đồg iế...giới HẠN CỦA HÀM SỐ... Khái iệm về giới hạ A. Địh ghĩ giới hạ T gọi δ lâ cậ củ điểm là tập Ω δ, δ Gọi A- lâ cậ củ Gọi B- lâ cậ củ 5 δ là tập ΩA A, với A> và khá lớ. là tập Ω, B với B> và khá lớ. B Cho ác địh ở lâ cậ điểm có thể khôg ác địh tại. Nói rằg có giới hạ là l khi dầ đế gọi tắt: có giới hạ là l tại ếu ε >, Ω. Nói rằg có giới hạ là tại ếu { } l ε η X, Ωη \ < { } A A >, Ω X, Ω \ > η η.

Chươg : Hàm số một iế số. Nói rằg có giới hạ là tại ếu có giới hạ là tại 4. Nói rằg có giới hạ là l tại ếu ε >, Ω X, Ω l < ε. A A 5. Nói rằg có giới hạ là l tại ếu ε >, Ω X, Ω l < ε. B B 6. Nói rằg có giới hạ là tại ếu A >, Ω X, Ω A. M M > 7. Nói rằg có giới hạ là tại ếu và chỉ ếu có giới hạ là tại 8. Nói rằg có giới hạ là tại ếu A >, Ω X, Ω A. M M > 9. Nói rằg có giới hạ là tại khi và chỉ khi có giới hạ là tại Khi có giới hạ là l tại hoặc tại ± ói rằg có giới hạ hữu hạ tại hoặc tại ±. Ngược lại có giới hạ là ±, ói rằg ó có giới hạ vô hạ. B. Địh ghĩ giới hạ một phí.. Nói rằg có giới hạ trái tại là l ếu ε >, η > Ωη X,, < < η l < ε.. Nói rằg có giới hạ phải tại là l ếu ε >, η >,, < < η l < ε. Kí hiệu có giới hạ là l tại thườg là: lim l hoặc l Tươg tự có các kí hiệu: lim, ; lim l,, Kí hiệu có giới hạ trái tại là lim l Tươg tự Hệ quả: Điều kiệ cầ và đủ để 6 ± lim l l, thườg dùg lim l là l.... Tíh chất củ hàm có giới hạ. A. Tíh du hất củ giới hạ Địh lí.: Nếu lim l thì l là du hất. B. Tíh ị chặ Địh lí.4: Nếu lim l thì ị chặ trog một lâ cậ củ. Chứg mih:

Lấ, Chươg : Hàm số một iế số ε η >, Ω \ { } l <. η H l l l l l Chú ý: tại. Trườg hợp, cũg chứg mih tươg tự. Địh lí đảo: Hàm khôg ị chặ trog lâ cậ củ thì khôg có giới hạ hữu hạ Chẳg hạ si khôg có giới hạ hữu hạ tại. C. Tíh chất thứ tự củ giới hạ và guê lí kẹp. Địh lí.5: Cho. Nếu l lim l. Khi đó:. Nếu d c < thì trog lâ cậ đủ é củ : c < l < thì trog lâ cậ đủ é củ : < d. Nếu c < l < d thì trog lâ cậ đủ é củ : c < < d Chứg mih:. ε l c >, η, Ω \ { } l < l c c < η. ε d l,, Ω \ { } l < d l < d η η Mi, Ω \ < <. η η η { } c d, η Chú ý: Địh lí trê khôg cò đúg khi th các ất đẳg thức gặt ằg các ất đẳg thức khôg gặt. Địh lí.6: Cho lim l, khi đó. Nếu c trog lâ cậ củ thì c l. Nếu d trog lâ cậ củ thì l d. Nếu c d trog lâ cậ củ thì c l d Nhờ vào lập luậ phả chứg, chúg t thấ địh lí trê thực chất là hệ quả củ địh lí. Địh lí.7 Nguê lí kẹp: Cho hàm số lim limh l Khi đó lim g l Chứg mih:, g, h thoả mã: g h trê X; và ε >, η, η, : < < η l < ε < < η h l < ε Lấ η Mi η, η thì X : < l < ε < η h l < ε ε < l g l h l < ε. Tức là lim g l Chú ý: Địh lí đúg với các trườg hợp, 7

Chươg : Hàm số một iế số Địh lí.8: Nếu trog lâ cậ củ có g và lim Chứg mih: limg A >, η, : < < > A η thì: Mặt khác η : < < η g, Lấ η Mi η, η, : < < g > A chứg tỏ g η Chú ý: Địh lí đúg với trườg hợp, Tươg tự có địh lí khi D. Các phép tíh đại số củ hàm số có giới hạ Địh lí.9: Trườg hợp giới hạ hữu hạ:. l l.. l và g l g l l 4. l λ. λl, λ 5. và g ị chặ trog lâ cậ củ. g 6. l và g l. g ll. l 7. l và g l g l Địh lí. Trườg hợp giới hạ vô hạ:. Nếu và g m trog lâ cậ củ thì g. Nếu và g m > trog lâ cậ củ thì. g E. Giới hạ củ hàm hợp Cho : X, g: Y và X Y Địh lí.: Nếu và g l thì g l Chứg mih: ε >, η, : < < η g l < ε δη, : < < δη < η : < < δ η g l < ε, vậ g l 8

F. Giới hạ củ hàm đơ điệu Chươg : Hàm số một iế số Địh lí.: Cho :,,, hoặc, và là hàm tăg.. Nếu ị chặ trê ởi M thì M M lim. Nếu khôg ị chặ trê thì lim Địh lí. có thể su diễ cho trườg hợp giảm trê,.kết quả cho trê hìh.9 :, Kết luậ Đồ thị Tăg và ị Sup, chặ trê Giảm và ị chặ dưới I, Giảm và ị chặ trê Sup, Tăg và ị I chặ dưới Tăg và khôg ị chặ trê Giảm và khôg ị chặ dưới Giảm và khôg ị chặ trê Tăg và khôg ị chặ dưới H..9 9

Chươg : Hàm số một iế số Địh lí.: Nếu ác địh tại và tăg ở lâ cậ củ thì luô tồ tại một giới hạ trái và một giới hạ phải hữu hạ tại đồg thời có hệ ất đẳg thức: Chứg mih: lim lim Rõ ràg: tăg và ị chặ trê ởi ở lâ cậ ê trái củ. tăg và ị chặ dưới ởi ở lâ cậ ê phải củ. Tho địh lí., chúg t hậ được kết quả cầ chứg mih. T có kết quả tươg tự khi giảm. Hìh.. mô tả địh lí.. H..... Các giới hạ đág hớ si A. lim lim si π π Chứg mih: Dễ dàg thấ được, \ {} thì có ất đẳg thức kép: si cos < <.. Dùg địh ghĩ chứg mih được limcos. Vậ su r côg thức. B. lim lim. C. lim l, lim l Chứg mih: Vì l tăg trê ê tại Giả sử có giới hạ hữu hạ l thì lim l l lim l. Tu hiê l l l l l l vô lý. Vậ. hàm số có giới hạ hữu hạ hoặc là. o l., l l

Chươg : Hàm số một iế số Ví dụ : Chứg mih: lim si, lim ± Giải: ε > ε é Ω ε \ { } có si <. Lấ η ε, : < < ε si < ε ε > để < ε > A ε Vậ A, : > A < ε. Chứg tỏ ± Ví dụ : Tíh lim, lim 4 Giải: 4... 4. 4. cos cos Ví dụ : Tíh lim Giải: cos cos si cos cos si si 9 9 4 Ví dụ 4: Tíh lim, lim si Giải:. si. si si si D. Sự tồ tại giới hạ củ các hàm sơ cấp - si Địh lí.4: Hàm số sơ cấp ác địh tại thì lim

Chươg : Hàm số một iế số.. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉVCB VÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚNVCL... Đại lượg VCB A. Địh ghĩ: hoặc - Hàm số α : X, gọi là đại lượg VCB tại ếu hư α, có thể là Hệ quả: Để tồ tại lim l điều kiệ cầ và đủ là hàm số α l là VCB tại. B. Tíh chất đại số củ VCB Dự vào tíh chất đại số củ hàm có giới hạ, hậ được tíh chất đại số củ các VCB su đâ: α là các VCB tại thì tổg α i. Nếu i, i,,..., VCB tại i, tích α i cũg là. Nếu α là VCB tại, ị chặ trog lâ cậ củ thì α. là VCB tại. C. So sáh các VCB Cho α, β là các VCB tại. α. Nếu thì ói rằg α là VCB cấp co hơ β tại, kí hiệu α oβ tại, β cũg ói rằg β là VCB cấp thấp hơ α tại. α. Nếu c thì ói rằg α, β là các VCB gg cấp tại. β Đặc iệt c thì ói rằg α, β là các VCB tươg đươg tại. Khi đó kí hiệu α ~ β tại. Rõ ràg ếu α, β gg cấp tại thì tồ tại hằg số c khác khôg để: α ~ cβ tại. k. Nếu γ o α thì ói rằg γ là VCB có cấp co hơ k so với VCB α tại 4. Nếu γ ~ cα k c thì ói rằg γ là VCB có cấp k so với VCB α tại α α Hệ quả : Nếu γ ~ α, β ~ β tại thì lim lim β β Hệ quả : Nếu α oβ tại thì α β ~ β tại. Hệ quả : Qui tắc gắt ỏ VCB cấp co: Nếu và α là VCB cấp thấp hất trog số các VCB α i, i, m β là VCB cấp thấp hất trog số các VCB i, i, lim m i αi α lim β β j Chú ý: Các VCB đág hớ là: j i β tại. Khi đó:

. α, α > Chươg : Hàm số một iế số., >, < <. 4. si, tg, rcsi rctg... Đại lượg VCL A. Địh ghĩ Hàm số A: X gọi là đại lượg VCL tại ếu hư A hoặc có thể là hoặc. Hệ quả: Để A là VCL tại thì cầ và đủ là α là VCB tại. A B. Tíh chất củ VCL i. Nếu A i, i,,..., là các VCL cùg dấu h A i là VCL mg dấu đó tại. Nếu B i, i,,..., là các VCL tại thì tích B i là VCL tại i tại thì tổg. Nếu A là VCL tại và giữ guê dấu tại và lâ cậ củ ó thì A. là VCL tại. C. So sáh các VCL Cho A, B là các VCL tại. Nếu A thì ói rằg A là VCL cấp co hơ B tại, h B là B VCL có cấp thấp hơ A tại A. Nếu c thì ói rằg A, B là VCL gg cấp tại. B Đặc iệt c thì ói rằg A, B là các VCL tươg đươg tại, kí hiệu A ~ B tại. A A Hệ quả : Nếu A ~ A, B ~ B tại thì lim lim B B Hệ quả : Nếu A là VCL cấp co hơ B tại thì A B ~ A. Hệ quả : Qui tắc gắt ỏ các VCL cấp thấp: Nếu A là các VCL cấp co hất trog số các VCL cấp co hất trog số các VCL B j, j,,..., tại thì t có A i, i,,..., m và B là VCL

m Chươg : Hàm số một iế số Ai i A lim lim B B j Chú ý: Các VCL su đâ thườg h dùg:. α, α >., >, < < j. log, > log, < < 4. log, > log, < < Ví dụ 5: Tíh Giải: Ví dụ 6: Tíh Giải: Ví dụ 7: Tìm Giải: lim si.cos, si lim si, cos lim si.cos si, si lim si tg lim, lim si 4 si si ~ si lim si 4 ~ 4 si 4 tg ~,si ~ tg lim si lim 4 lim 4 lim, lim, lim lim lim lim lim.4. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ.4.. Các khái iệm cơ ả A. Hàm liê tục tại một điểm lim lim lim Cho : X và X. Nói rằg liê tục tại ếu lim h lim lim Tức là ε >, η >, : < η < ε B. Hàm liê tục một phí tại Cho : X, X. Nói rằg hàm liê tục ê trái tại ếu

lim Hàm liê tục ê phải tại ếu lim Chươg : Hàm số một iế số Hệ quả: Để hàm liê tục tại điều kiệ cầ và đủ là: C. Hàm liê tục trê một khoảg. Hàm liê tục tại mọi điểm X thì ói rằg ó liê tục trê tập X.. Hàm liê tục trê khoảg mở, và liê tục trái tại, liê tục phải tại ói rằg ó liê tục trê [,] D. Điểm giá đoạ củ hàm số. Nếu khôg liê tục tại, ói rằg có điểm giá đoạ tại.. Nếu là điểm giá đoạ và, là các số hữu hạ thì gọi là điểm giá đoạ loại củ hàm số và gọi h là ước hả củ tại. Hệ quả: Nếu tăg giảm ở lâ cậ điểm khi đó liê tục tại khi và chỉ khi h. Điều à su r từ địh lí. củ hàm số đơ điệu.. Nếu là điểm giá đoạ củ và khôg phải là điểm giá đoạ loại thì ói rằg có điểm giá đoạ loại tại. Các địh ghĩ trê được mô tả trê hìh.. O 4 O loại loại liê tục từg khúc H.. E. Hàm liê tục từg khúc :,,,. Hàm [ ] Nói rằg hàm liê tục từg khúc trê [, ] ếu hư chỉ có một số hữu hạ các điểm giá đoạ loại củ hàm số trê đoạ đó. 5

.4.. Các phép toá đại số củ hàm liê tục Chươg : Hàm số một iế số Địh lí.5: Cho, g: X, X, λ. Nếu liê tục tại thì liê tục tại.. Nếu, g cùg liê tục tại thì g liê tục tại.. Nếu liê tục tại thì λ liê tục tại. 4. Nếu, g liê tục tại thì. g liê tục tại. 5. Nếu, g liê tục tại và g thì 6 liê tục tại. g Địh lí.6: Cho : X X, g: Y và X Y. Nếu liê tục tại và g liê tục tại thì hàm hợp g liê tục tại. Chú ý: Chứg mih tươg tự hư chứg mih địh lí về giới hạ củ hàm hợp. Địh lí.6 cũg được phát iểu tươg tự cho liê tục trê X và g liê tục trê Y. Sử dụg địh lí.6, hậ được các giới hạ qu trọg dưới đâ: Vì khi thỏ mã địh lí.6 thì lim g glim do đó: log lim log l Đặc iệt lim lim l, < Thật vậ gọi log. Tho.4 sẽ có: lim lim log lim α α α Gọi αl l lim Từ trê dễ dàg hậ được địh lý su: Địh lý.7: Mọi hàm số sơ cấp ác địh tại.4.. Tíh chất củ hàm số liê tục trê một đoạ Cho : [, ] là liê tục, <. A.Tíh trù mật củ hàm số liê tục Địh lí.8: Nếu liê tục trê [ ] α log l αl lim lim α l thì liê tục tại., và. < thì tồ tại c,.4.5.6.7 để c

Chươg : Hàm số một iế số Chứg mih: Thực hiệ phươg pháp chi đôi đoạ [, ]. Nếu trog quá trìh chi đôi tìm được điểm c sẽ dừg lại. Nếu khôg tìm được c thì hậ được dã các đoạ lồg hu [, ] trog đó <, > và. Su r lim lim c và lim lim c trog đó c,. Vậ c. Địh lí.9: Nếu liê tục trê [ ] giữ và, khi đó hậ giá trị trug gi, ghĩ là: γ [, ], c [, ], c γ Chứg mih : Địh lí đúg với γ hoặc γ. Giả sử < và ét < γ <. Đặt γ, và g <, g >. Tho địh lí.8 thì tồ tại c, để g c h c γ. B.Tíh ị chặ củ hàm số liê tục Địh lí.: Hàm số liê tục trê [ ] [, ], ghĩ là: [, ], [ ] m, M, g liê tục trê [ ], thì đạt được giá trị lớ hất và hỏ hất trê có Chúg t khôg chứg mih địh lí à. m M TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG I Các khái iệm và tíh chất cơ ả về hàm số: địh ghĩ hàm số, hàm số tuầ hoà, hàm số chẵ, lẻ, hàm số hợp, hàm số gược, hàm số cho dưới dg tườg mih, dạg ẩ, dạg thm số. Tíh chất cơ ả củ hàm số: đơ điệu, ị chặ. Các hàm số sơ cấp cơ ả: hàm số lũ thừ, hàm số mũ, hàm số lôgrit, hàm số lượg giác, hàm số lượg giác gược, đ thức, hàm hữu tỉ. Hàm số sơ cấp. Các hàm số được dùg trog phâ tích kih tế Địh ghĩ giới hạ củ hàm số tươg ứg với các quá trìh Chẳg hạ, có giới hạ là l khi dầ đế gọi tắt: có giới hạ là l tại ếu ε >, Ω Tíh chất củ hàm có giới hạ. A. Tíh du hất củ giới hạ { } l ε η X, Ωη \ < Nếu lim l thì l là du hất. B. Tíh ị chặ Nếu lim l thì ị chặ trog một lâ cậ củ. C. Tíh chất thứ tự củ giới hạ và guê lí kẹp. 7

Cho lim l. Khi đó:. Nếu l. Nếu d Chươg : Hàm số một iế số c < thì trog lâ cậ đủ é củ : c < l < thì trog lâ cậ đủ é củ : < d. Nếu c < l < d thì trog lâ cậ đủ é củ : c < < d 4. Nếu c trog lâ cậ củ thì c l 5. Nếu d trog lâ cậ củ thì l d 6. Nếu c d trog lâ cậ củ thì c l d Cho hàm số khi đó, g, h thoả mã: g h trê X; lim limh l lim g l 7. Nếu trog lâ cậ củ có g và lim thì: limg D. Các phép tíh đại số củ hàm số có giới hạ Trườg hợp giới hạ hữu hạ:. l l.. l và g l g l l 4. l λ. λl, λ 5. và g ị chặ trog lâ cậ củ. g 6. l và g l. g ll. l 7. l và g l g l Trườg hợp giới hạ vô hạ:.nếu và g m trog lâ cậ củ thì g. Nếu và g m > trog lâ cậ củ thì. g E. Giới hạ củ hàm số hợp Nếu và g l thì g l F. Giới hạ củ hàm số ị chặ Cho :,,, hoặc, và là hàm tăg.. Nếu ị chặ trê ởi M thì lim M M 8

Chươg : Hàm số một iế số 4. Nếu khôg ị chặ trê thì lim G. Giới hạ củ hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp ác địh tại thì lim Các giới hạ đág hớ si. lim lim si. lim lim. lim l, lim l log 4. lim log 5. lim l, < Đại lượg VCB A. Địh ghĩ: Áh ạ α : X l Đặc iệt lim, gọi là đại lượg VCB tại trog quá trìh dầ về ếu hư α, có thể là hoặc - Để tồ tại lim l điều kiệ cầ và đủ là hàm số α l là VCB tại. B. Tíh chất đại số củ VCB. Nếu i, i,,..., α là các VCB tại thì tổg α i VCB tại i, tích α i cũg là. Nếu α là VCB tại, ị chặ trog lâ cậ củ thì α. là VCB tại. C. So sáh các VCB α. Nếu thì ói rằg α là VCB cấp co hơ β tại, kí hiệu α oβ tại, cũg β ói rằg β là VCB cấp thấp hơ α tại. α.nếu c thì ói rằg α, β là các VCB gg cấp tại. β c thì ói rằg α, β là các VCB tươg đươg tại. Khi đó kí hiệu α ~ β tại. Rõ ràg ếu α, β gg cấp tại thì tồ tại hằg số c khác khôg để α ~ cβ tại. k. Nếu γ o α thì ói rằg γ là VCB có cấp co hơ k so với VCB α tại 4. Nếu γ ~ cα k c thì ói rằg γ là VCB có cấp k so với VCB α tại i 9

α α 5. Nếu γ ~ α, β ~ β tại thì lim lim β β 6. Nếu α oβ tại thì α β ~ β tại. 7. Qui tắc gắt ỏ VCB cấp co: Nếu và Đại lượg VCL A. Địh ghĩ Chươg : Hàm số một iế số α là VCB cấp thấp hất trog số các VCB α i, i, m β là VCB cấp thấp hất trog số các VCB i, i, lim m i αi α lim β β j j β tại. Khi đó: Áh ạ A: X gọi là đại lượg VCL tại trog quá trìh dầ về ếu hư A hoặc, có thể là hoặc. Để A là VCL tại thì cầ và đủ là α là VCB tại. A B. Tíh chất củ VCL. Nếu A i, i,,..., i là các VCL cùg dấu h A i là VCL mg dấu đó tại. tại thì tổg. Nếu B i, i,,..., là các VCL tại thì tích B i là VCL tại. Nếu A là VCL tại và giữ guê dấu tại và lâ cậ củ ó thì A. là VCL tại. C. So sáh các VCL Cho A, B là các VCL tại. Nếu A thì ói rằg A là VCL cấp co hơ B tại, h B là B VCL có cấp thấp hơ A tại A. Nếu c thì ói rằg A, B là VCL gg cấp tại. B c thì ói rằg A, B là các VCL tươg đươg tại, kí hiệu A ~ B tại. A A. Nếu A ~ A, B ~ B tại thì lim lim B B 4. Nếu A là VCL cấp co hơ B tại thì A B ~ A. i

5. Qui tắc gắt ỏ các VCL cấp thấp: Nếu Chươg : Hàm số một iế số A là các VCL cấp co hất trog số các VCL A i, i,,..., m và B là VCL cấp co hất trog số các VCL B j, j,,..., tại thì t có m Ai i A lim lim B B j j Các khái iệm cơ ả về sự li tục củ hàm số A. Hàm liê tục tại một điểm Cho : X và X. Nói rằg liê tục tại ếu lim h lim lim Tức là ε >, η >, : < η < ε B. Hàm liê tục một phí tại Cho : X, X. Nói rằg hàm liê tục ê trái tại ếu lim Hàm liê tục ê phải tại ếu lim Để hàm liê tục tại điều kiệ cầ và đủ là: C. Điểm giá đoạ củ hàm số.nếu khôg liê tục tại, ói rằg có điểm giá đoạ tại..nếu là điểm giá đoạ và, là các số hữu hạ thì gọi là điểm giá đoạ loại củ hàm số và gọi h là ước hả củ tại. Nếu tăg giảm ở lâ cậ điểm khi đó liê tục tại khi và chỉ khi h. D. Các phép toá đại số củ hàm liê tục. Nếu liê tục tại thì liê tục tại. Nếu, g cùg liê tục tại thì g liê tục tại.. Nếu liê tục tại thì λ liê tục tại. 4. Nếu, g liê tục tại thì. g liê tục tại. 5. Nếu, g liê tục tại và g thì liê tục tại. g 6. Cho : X X, g: Y và X Y. Nếu liê tục tại

Chươg : Hàm số một iế số và g liê tục tại thì hàm hợp g liê tục tại. 7. Mọi hàm số sơ cấp ác địh tại thì liê tục tại. E.Tíh chất củ hàm số liê tục trê một đoạ.nếu. Nếu ghĩ là:. Hàm số ghĩ là: liê tục trê [ ] liê tục trê [ ], và. < thì tồ tại c, để c, khi đó hậ giá trị trug gi giữ và, [, ], c [, ], c γ γ liê tục trê [, ] thì đạt được giá trị lớ hất và hỏ hất trê [ ] [, ], [ ] m M, có m M,,, CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG I.. Hàm số khôg ác địh tại thì khôg có giới hạ tại? Đúg Si.. Hàm số ị chặ tại lâ cậ điểm thì có giới hạ tại? Đúg Si.. Hàm số khôg ị chặ tại lâ cậ điểm thì có giới hạ tại là vô cùg? Đúg Si.4. Tổg hoặc tích vô hạ các hàm số có giới hạ hữu hạ tại là hàm có giới hạ tại? Đúg Si.5. Tổg hoặc tích hi hàm số khôg có giới hạ hữu hạ tại là hàm khôg có giới hạ tại? Đúg Si.6. Hàm số có giới hạ trái và phải tại điểm thì có giới hạ tại? Đúg Si.7. Tích vô hạ các VCB cũg là một VCB? Đúg Si.8. Tổg vô hạ các VCB cũg là một VCB? Đúg Si.9. Tổg hữu hạ các VCL cũg là một VCL? Đúg Si.. Hàm số liê tục tại điểm thì có giới hạ tại? Đúg Si

Chươg : Hàm số một iế số.. Hàm số liê tục trái và phải tại điểm thì liê tục tại? Đúg Si.. Hàm số ác địh tại điểm thì liê tục tại? Đúg.. Hàm số liê tục trê khoảg mở, thì ị chặ trê khoảg đó? Đúg Si Si.4. Hàm số liê tục trê khoảg mở, thì khôg thể có GTNN, GTLN trê khoảg đó? Đúg Si.5. Hàm số liê tục trê khoảg, và > thì vô ghiệm trê khoảg đó? Đúg.6. Cho hàm số rccoslg. Tíh,,. Si.7. Tìm miề ác địh và miề giá trị củ các hàm số:.,. g, c. h, d. k..8. Xét m hàm số có chẵ hoặc lẻ khôg và phác hoạ đồ thị củ ó..,. g, c. h, d. k. 4.9. Xét m hàm số ào tuầ hoà và tìm chu kì củ ó. si,. g si, c. h tg, d. k si... Tìm hàm gược củ các hàm số su:.,., <, c., d. l,.. Tìm các giới hạ. lim 6,. lim...,

Chươg : Hàm số một iế số c. lim 5, d. lim.. Tìm các giới hạ.. lim.. Tìm các giới hạ. lim m,. α β lim,. lim m 4. α. β..4. Tìm các giới hạ si si tg si. lim,. lim cos.cos.cos cos cos c. lim, d. lim. cos si.5. Tìm các giới hạ. lim 4,. lim. 5 4.6. Tìm các giới hạ,. lim,. lim, c. lim.7. Tíh giới hạ các hàm số su lim si. tg π α β c. lim siα si β.8. Tíh giới hạ các hàm số su. lim l c. lim l lim cos, d.,. lim [ si l si l ] cot g., d.. lim, >. tg,. lim si si,,.9. Xét sự liê tục củ các hàm số su:,.. 4 A 4

.. Hàm Hã tíh liê tục trê [,] Chươg : Hàm số một iế số và chỉ hậ giá trị hữu tỉ và... Chứg mih rằg mỗi phươg trìh đại số ậc lẻ có ít hất một ghiệm thực. 5

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số CHƯƠNG II: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU Phép tíh vi phâ củ hàm một iế số gắ liề với phép tíh đạo hàm củ hàm số. Khái iệm đạo hàm là một trog hữg tư tưởg qu trọg hất củ giải tích. Trog chươg I, chúg t đã đặt vấ đề m ét hàm số, hưg vấ đề cốt lõi củ hàm số là tốc độ iế thiê củ ó chư được ét đế. Nhờ vào khái iệm đạo hàm gười t có thể khảo sát toà diệ một đại lượg iế thiê. Khái iệm đạo hàm gắ liề với các đại lượg vật lý: vậ tốc tại thời điểm t củ một vật chuể độg, hiệt dug củ vật thể ở hiệt độ t o, cườg độ dòg điệ,v.v...; gắ liề với các hiệ tượg hoá học: tốc độ phả ứg hoá học ở thời điểm t; gắ liề với các ài toá kih tế ã hội: tốc độ tăg trưởg kih tế, phươg á tối ưu trog gio thôg, trog sả uất kih doh, v.v... Các ội dug cơ ả cầ ắm vữg gồm:. Phâ iệt các khái iệm: đạo hàm, vi phâ, tíh khả vi củ hàm số. Ý ghĩ củ chúg.. Nắm vữg các qui tắc tíh đạo hàm, vi phâ củ hàm số dự vào: ảg đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ ả; các tíh chất củ hàm số khả vi, đặc iệt côg thức đạo hàm củ hàm số hợp.. Côg thức đạo hàm và vi phâ cấp co củ các hàm số sơ cấp cơ ả, từ đó hậ được côg thức Tlor củ chúg. Ý ghĩ củ côg thức Tlor. 4. Ứg dụg đạo hàm: khử các dạg ất địh qui tắc Lôpit, ét sự iế thiê củ hàm số, tìm cực trị củ hàm số, tìm điểm uố và ét tíh lồi hoặc lõm củ hàm số. NỘI DUNG.. ĐẠO HÀM Từ về su t coi rằg : X, X φ và X khôg thu về một điểm, tức là X là khoảg ào đó trê, và... Đạo hàm tại một điểm... Địh ghĩ đạo hàm tại một điểm X là tập các áh ạ đã ói ở trê, cò C là đồ thị củ hàm số. X Cho X, h X,. Nói rằg khả vi tại ếu tồ tại giới hạ hữu hạ lim h h h d Giới hạ à thườg kí hiệu ' h gọi là đạo hàm củ tại. d Nếu cho hàm thì đạo hàm củ hàm số tại cò được kí hiệu ' 6

Tỉ số h h Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số Δ gọi là tỉ số củ các số gi hàm số và số gi đối số. Δ... Địh ghĩ đạo hàm một phí. Cho X, h X. Nói rằg khả vi phải tại ếu tồ tại giới hạ hữu hạ lim h h h Giới hạ à kí hiệu là p ', gọi là đạo hàm phải củ tại.. Cho X, h X. Nói rằg khả vi trái tại ếu tồ tại giới hạ hữu hạ lim h h h Giới hạ à kí hiệu là t ', gọi là đạo hàm trái củ tại. Hệ quả : Để khả vi tại điều kiệ cầ và đủ là khả vi trái và phải tại đồg thời t ' p' ' Hệ quả : điều kiệ cầ củ hàm khả vi: Nếu khả vi tại thì liê tục tại Chứg mih: Lấ h để h X, được kí hiệu tập các số thực khác khôg rõ ràg h h h. h mà h ' h. Chứg tỏ liê tục tại. h h h Chú ý:. có thể liê tục tại hưg khôg khả vi tại chẳg hạ các hàm dưới đâ và đồ thị củ chúg trê hìh.. mô tả điều đó cho ởi h. liê tục tại hưg khôg khả vi tại vì khôg có h giới hạ khi h, ở đâ t thấ: ' ' t p cho ởi liê tục tại hưg khôg khả vi tại vì với h h h được kí hiệu tập các số khôg âm h h cho ởi.si, 7

liê tục tại vì Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số hưg khôg khả vi vì khôg có giới hạ khi h h.si h h si h H... Nếu khả vi phải hoặc trái tại thì liê tục phải hoặc trái tại.. Nếu khả vi phải và trái tại thì liê tục tại....ý ghĩ hìh học củ đạo hàm Nếu khả vi tại thì tồ tại tiếp tuế củ đồ thị à khôg sog sog với trục và có hệ số góc là '. C tại điểm A,. Tiếp tuế A Trườg hợp khôg khả vi tại mà tồ tại t ' và '. Lúc đó gọi điểm, C là điểm góc củ Trườg hợp khôg khả vi tại hưg có C,và hi á tiếp tuế tại A khôg sog sog với hu. p h h h hoặc h hoặc hoặc thì tại A, đườg cog C có một h h á tiếp tuế sog sog với O. Hìh.. mô tả các ội dug trê. 8

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số C C H.....4. Ý ghĩ cơ học củ đạo hàm Cho chất điểm chuể độg tại thời điểm t được địh vị ởi véc tơ á kíh r t Xm hìh.. z r t O H.. Gọi r rt là phươg trìh chuể độg củ chất điểm. Giả sử tại thời điểm t,t véc tơ á kíh củ chất điểm là r t, r t Gọi v TB Δ là vậ tốc trug ìh từ thời điểm t r t r t r t t t t đế t 9

t t Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số Vậ tốc tức thời v t củ chất điểm tại thời điểm t sẽ là giới hạ củ tỉ số trê khi rt rt vt lim rt t t t t Vậ vậ tốc tức thời củ chất điểm chíh ằg đạo hàm củ véc tơ á kíh tho thời gi t....5. Ý ghĩ củ đạo hàm đối với các ài toá kih tế Xét mô hìh hàm số: Trog đó và là các iế số kih tế t coi iế độc lập là iế số đầu vào và iế số phụ thuộc là iế số đầu r. Trog kih tế học gười t qu tâm đế u hướg iế thiê củ iế phụ thuộc tại một điểm khi iế độc lập th đổi một lượg hỏ. Chẳg hạ, khi ét mô hìh sả uất Q L gười t thườg qu tâm đế số lượg sả phẩm hiệ vật tăg thêm khi sử dụg thêm một đơ vị lo độg / / Khi hàm số khả vi tại và khi Δ su r Δ. Như vậ, đạo hàm iểu diễ ấp ỉ lượg th đổi giá trị củ iế số khi iế số tăg thêm một đơ vị. Trog kih tế học, các hà kih tế gọi trị cậ iê có tê gọi cụ thể hư su: / là giá trị cậ iê củ tại điểm Đối với mô hìh hàm sả uất Q L thì củ lo độg tại L. Sả phẩm hiệ vật cậ iê củ lo độg được kí Phsicl Product o lor:. Đối với mỗi hàm kih tế, giá / L được gọi là sả phẩm hiệ vật cậ iê MPP L hiệu là Mrgil MPP / L. Tại mỗi điểm L, MPP L cho iết ấp ỉ lượg sả phẩm hiệ vật gi tăg khi sử dụg thêm một đơ vị lo độg. Đối với mô hìh hàm doh thu TR TR Q thì L / TR Q gọi là doh thu cậ iê tại điểm Q. Doh thu cậ iê được kí hiệu là MR Mrgil Rvu: MR TR / Q. Tại mỗi mức sả lượg Q, MR cho iết ấp ỉ lượg doh thu tăg thêm khi uất thêm một đơ vị sả phẩm. Đối với doh ghiệp cạh trh t có:tr pq MR p p là giá sả phẩm trê thị trườg. / Đối với mô hìh hàm chi phí TC TC Q thì TC Q được gọi là chi phí cậ iê tại điểm Q. Chi phí cậ iê được kí hiệu là MC Mrgil Ccst: MC TC / Q. Tại mỗi mức sả lượg Q, MC cho iết ấp ỉ lượg chi phí tăg thêm khi sả uất thêm một đơ vị sả phẩm Đối với hàm tiêu dùg C C Y thì / C Y được gọi là u hướg tiêu dùg cậ iê tại Xu hướg tiêu dùg cậ iê được kí hiệu là MPC Mrgil Propsit to Cosum: MPC C / Y. Tại mỗi mức thu hập Y, MPC là số đo ấp ỉ lượg tiêu dùg gi tăg khi có thêm $ thu hập. Y. 4

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số Chẳg hạ, hàm sả uất củ một doh ghiệp là Q 5 L. Ở mức sử dụg L đơ vị lo độg chẳg hạ giờ lo độg một tuầ, mức sả lượg tươg ứg là Q 5 sả phẩm. Sả phẩm cậ iê củ lo độg tại điểm L sẽ là: MPPL Q, 5 khi L L / 5 Điều à có ghĩ là khi tăg mức sử dụg lo độg hàg tuầ từ lê thì sả lượg hàg tuầ sẽ tăg thêm khoảg,5 đơ vị hiệ vật.... Các phép tíh đại số củ các hàm khả vi tại một điểm Địh lí.: Cho và g khả vi tại khi đó:. g khả vi tại và g' ' g'. λ, λ khả vi tại và λ ' λ. '.. g khả vi tại và. g' '. g. g' 4. Nếu g thì g khả vi tại và g ' '. g. g' g. Địh lí.: Đạo hàm củ hàm hợp. Cho X, : X, g: Y với X Y. Nếu khả vi tại và g khả vi tại thì hàm hợp go khả vi tại và Địh lí.: Đạo hàm củ hàm gược.. '. go ' g'. Giả sử : X đơ điệu gặt và liê tục trê X khả vi tại X và ' Khi đó hàm gược củ là : X khả vi tại và ' '. Nếu gọi C là đồ thị củ hàm, C thì các tiếp tuế tại A C A ' đối ứg với hu qu đườg phâ giác củ góc phầ tư thứ I và III Hìh.4. mô tả điều đó, và 4

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số C C ' ' H..4... Đạo hàm trê một khoảg áh ạ đạo hàm A.Địh ghĩ: Cho X khả vi tại mỗi điểm, Kí hiệu áh ạ ':, ' là áh ạ đạo hàm h đạo hàm củ trê, thườg kí hiệu ' h d d,,. Cũg ói rằg khả vi trê, X B.Các tíh chất Các địh lí dưới đâ su r một cách dễ dàg từ các địh lí ở mục.. Địh lí.4: Cho, g: X khả vi trê X, tức là. g khả vi trê X và g' ' g', X khi đó.. λ, λ khả vi trê X và λ ' λ '... g khả vi trê X và. g' ' g g' 4. g trê X thì g ' g khả vi trê X và g g ' g' Bằg một phép qui ạp đơ giả, hậ được: Nếu và,...,, khả vi trê X thì i i khả vi trê X và i ' i i' i 4

i i Địh lí.5: Cho khả vi trê X và X và Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số i i ' k... k ' k k... Y g. Nếu khả vi trê X và g khả vi trê X thì go khả vi trê X và go ' g' o '. Mở rộg hogo ' h' ogo g' o ' Địh lí.6: Cho X đơ điệu gặt trê X, khả vi trê X và ' trê X khi đó khả vi trê X và ' '...4. Đạo hàm củ các hàm số thôg thườg A. Hàm số mũ Cho, : h h h l hờ vào côg thức.6 h h h Vậ hàm mũ khả vi trê. Đặc iệt '.4 B. Hàm số lôgrit Cho log,. Hàm gược ' l '.5 l l Đặc iệt l thì ' C. Hàm luỹ thừ Cho α α,, lấ logrit cả vế sẽ có l α l Sử dụg đạo hàm củ hàm hợp t có ' α ' α α.6 Trườg hợp tuỳ tho α để iểu thức α ác địh thì t vẫ có ' α α 4

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số D. Hàm lượg giác Cho si, [,] si h si h cosh sih si cos h h si si h h sih cos h Tho côg thức. su r h si sih, h h h h Vậ si ' cos,.7 Tươg tự có thể chỉ r cos cũg khả vi trê và π π cos si cos ' cos si.8 π su r tg khả vi trê \ kπ, k và ' si cos si tg' tg.9 cos cos cos cotg khả vi trê \ { kπ, k } và cot g ' cot g.. si E. Hàm lượg giác gược Cho [ ] [,] rccos,, π t sẽ chứg mih khả vi trê,. Thật vậ hàm gược củ ó cos. ' si cos vì, π Vậ rccos '. cos Tươg tự rcsi '. rctg'. rccot g'.4 44

F. Hàm cho tho thm số Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số Cho X dưới dạg thm số : α, β X, : α, β Cụ thể ϕ t ψ t víi t α, β T Nếu, khả vi trê T, tồ tại hàm gược t ϕ khả vi và ϕ ' t khác khôg trê T, thì tho côg thức tíh đạo hàm củ hàm số gược và hàm số hợp sẽ hậ được d d G. Đạo hàm lôgrit ψ ' t.5 ϕ' t Nếu có dạg tích củ các hâ tử với số mũ cố địh hoặc u v, u u >, v v thì t có thể ét đạo hàm logrit củ tươg tự hư hàm luỹ thừ trog mục C hoặc hàm số mũ trog mục A. Su đó sử dụg địh lí đạo hàm củ hàm hợp. Thật vậ ω α β γ u v trog đó,, X và luô dươg trê X. Khi đó. l α lu β lv γ lω ' u' v' ω' α β γ. u v ω α βγ cò các hàm u, v, ω khả vi trê u' v' ω' ' α β γ.6 u v ω Hoặc có thể iểu diễ α l u β l v γ l w Các cách tíh đạo hàm thôg qu côg thức đạo hàm củ hàm lôgrit gọi là đạo hàm lôg. H. Bảg các đạo hàm củ các hàm số thôg dụg C cost ' α α α α, X ' X X si ' cos cos ' si tg π π \ kπ, k, ' tg \ kπ, k cos 45

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số cot g, \ k, k, ' cot g \ k, k si { π } { π } ' l log ' l rcsi [, ] ', rccos [, ] ', rctg ' rc cot g ' Ví dụ : Hã tíh đạo hàm tại củ các hàm số su ếu có. si.. Giải:... h si si ' h h h h h h h h h, h h khôg khả vi tại h h h h h h h h, khôg khả vi tại h Ví dụ : Tíh đạo hàm, vẽ đồ thị củ hàm số và đạo hàm củ ó các hàm su đâ.. 46

. l Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số Giải: Trước hết t hã tíh '.,,, < ', > ' lim t p t p, '. ' ' ' trê. l l l < > ' < > ' với Hìh.5. mô tả các đồ thị củ và ' - O - O - ' - H..5 Ví dụ : Tíh đạo hàm ' củ hàm số l t t rctgt Giải: d d t rctgt ' t t d d l t t t 47

.. VI PHÂN CỦA HÀM SỐ... Địh ghĩ vi phâ tại một điểm Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số thức X Cho, khả vi tại X. Vi phâ củ tại kí hiệu d ác địh ởi côg d '. h với h.7 Vậ d là một hàm tuế tíh củ h Xét hàm số trê R, ', vậ d. h Từ đó cũg thườg kí hiệu d '. d hoặc d '. d Hệ quả: Để khả vi tại điều kiệ cầ và đủ là tồ tại hằg số λ và một VCB αh tại so cho h λ h hα h đồg thời λ '. Thật vậ khả vi tại khi và chỉ khi tồ tại ' h ghĩ là lim ' h h h Vậ h ' α h h h ' h '. h hα h λ Tươg tự hư đạo hàm tại một điểm, t hậ được tíh chất đại số củ vi phâ. X Địh lí.7: Nếu, g và khả vi tại. d g d dg. d λ λd với λ X thì. d g dg g d g g 4. d g d dg khi g Chú ý: h Δ là số gi củ hàm số ứg với số gi đối số Δ h. Vậ ếu khả vi tại thì với h khá é sẽ có côg thức tíh gầ đúg số gi củ hàm số Δ d. Từ đó hậ được h d 48

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số Xét hàm hợp go. Nếu khả vi tại và g khả vi tại tho địh lí thì go khả vi tại. Tức là d go go ' h g ' ' h g ' d. Như vậ dù là iế độc lập h iế phụ thuộc thì dạg vi phâ đều giốg hu. Người t ói vi phâ cấp có tíh ất iế.... Vi phâ trê một khoảg Cho X khả vi trê, X. Vi phâ củ hàm số trê, được ác địh tho côg thức d '. h với,. Tươg tự hư địh lí trê, t hậ được địh lí su đâ. Địh lí.8: Nếu, g khả vi trê, thì trê khoảg đó cũg thoả mã các hê thức su.. d g d dg. d λ λd. d g dg g d g g 4. d g d dg khi g Ví dụ 4: Tíh gầ đúg o si 6 4' Giải: Đặt si, t có ' cos Chọ o 6 o π, khi đó 4. π π h 4' 6.8 7 Tho côg thức ấp ỉ t có: o si 6 4' si 6 o o π cos 6. 7 π.,866,6, 87 7 Ví dụ 5: Một hìh cầu ằg kim loại á kíh R, khi óg lê á kíh ở thêm một đoạ Tíh thể tích mới củ hìh cầu một cách chíh ác và gầ đúg. Δ R. Áp dụg ằg số R 5 cm, ΔR, cm Giải: Côg thức tíh thể tích V củ hìh cầu là: 49

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số là: 4 V π R Su khi giã ở, á kíh hìh cầu là R ΔR, thể tích mới củ hìh cầu tíh chíh ác 4 V ΔV 4 π Δ π 5, R R 76,868π cm Nếu tíh gầ đúg, t m : Δ V dv Số gi củ thể tích gầ ằg vi phâ và khi đó 4π thể tích V R m hư hàm số củ đối số R. Vậ: dv V R '. ΔR 4πR 4π.5., π cm Thể tích đầu củ hìh cầu:. ΔR V 4 4 π π 5 R 66,666π cm Vậ thể tích mới củ hìh cầu tíh gầ đúg là: V ΔV V dv 76,666π cm Si số tuệt đối trog ài toá à là: π π 76,868 cm 76,666 cm, cm Như vậ si số tươg đối là:,π δ, 76,868π.. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO... Đạo hàm cấp co A.Địh ghĩ. Cho khả vi trê X, ếu ' khả vi tại X thì ói rằg có đạo hàm cấp tại và kí hiệu đạo hàm đó là ". Tươg tự đạo hàm cấp củ tại, kí hiệu là chíh là đạo hàm củ hàm tại. π X,. Nói rằg khả vi đế cấp h lầ trê X khi và chỉ khi tồ tại trog đó là đạo hàm củ trê. Nói rằg khả vi vô hạ lầ trê X khi và chỉ khi khả vi mọi cấp trê X,. Su đâ thườg kí hiệu Chú ý: 5

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số Nếu khả vi đế cấp trê X thì pq, so cho p q t có p q p q Tập ác địh củ B.Địh lí.9: thườg chứ trog tập ác địh củ X Cho λ,, g, khả vi lầ trê X, khi đó trê X có các hệ thức su đâ g g. λ λ.. g k C k k g k gọi là côg thức Liitz 4. g trê X thì g khả vi lầ trê X... Vi phâ cấp co A.Địh ghĩ. Nếu khả vi đế cấp tại X thì iểu thức hiệu là d. Vậ là d d h h. h d d gọi là vi phâ cấp tại kí. Nếu khả vi đế cấp trê X thì vi phâ cấp củ trê X được kí hiệu là, X và ác địh tho côg thức su X, d h d hoặc d d B.Côg thức tíh vi phâ cấp co Từ địh lí về đạo hàm cấp co, trực tiếp hậ được các côg thức tíh vi phâ cấp co dưới đâ Địh lí.: Nếu, g khả vi đế cấp trê X thì khi đó. d g d d g. Với λ, d λ λd k. d. g C d k k. d k g 4. Nếu g thì g có vi phâ đế cấp. Chú ý: 5

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số Khôg có côg thức tổg quát cho g cũg hư d. g Tíh ất iế củ vi phâ ị phá vỡ khi lấ vi phâ cấp co từ trở lê, Ví dụ su sẽ chứg tỏ điều đó. Cho hàm hợp go, trog đó 6, g g dg 6 d d g d Mặt khác 5 4 dg d d g d mà d 4 4 d d g 8 d d m Ví dụ 6: Cho,, m Tíh với Giải: ' m, " m m m m,... k Chứg tỏ m m... m k mk m m... m m! m Õu < m Õu m Õu > m Ví dụ 7: Chứg mih ếu si thì,, si π Giải: Trườg hợp. Đúg π si ' cos si Giả sử côg thức đúg với π si π cos si π Tươg tự cũg hậ được π cos cos,, 5

Ví dụ 8: Tíh đạo hàm cấp củ hàm số Giải: Áp dụg côg thức Liitz Ví dụ 9: Cho :, Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số k C k k si si k 99 C si C 'si C "si 99π si 5π si 99si 49π si cos 99si hã tíh Giải: Phâ tích thàh các phâ thức tối giả 98 5.. 4. 4 5! 4!....4. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH.4.. Địh lí Phéc m Frmt A. Điểm cực trị củ hàm số Cho X. Gọi hàm số đạt cực trị đị phươg tại để hoặc Ω. δ. 4! X khi và chỉ khi tồ tại Ω X Trườg hợp thứ hất ả r ói rằg đạt cực tiểu đị phươg tại, trườg hợp su ói rằg đạt cực đại đị phươg tại. Nếu chỉ có > hoặc < ói rằg hàm số đạt cực trị đị phươg gặt tại. B. Địh lí Frmt Địh lí.: Nếu khả vi tại và đạt cực trị đị phươg tại thì ' Chứg mih: Tho giả thiết tồ tại Ω so cho Ω t có T đã giả thiết hàm đạt cực đại đị phươg h so cho h δ Ω sẽ có δ δ δ 5

h > h < Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số h h h h Chuể qu giới hạ khi h sẽ có ' ' ' Chú ý: Hàm đạt cực tiểu đị phươg cũg được chứg mih tươg tự Su à thườg ói rằg hàm đạt cực trị tại tho ghĩ là đạt cực trị đị phươg tại. Nếu hàm đạt cực trị tại thì phải là điểm trog củ X. Như vậ ếu ác địh trê [, ] thì khôg có khái iệm đạt cực trị tại đầu mút và, có chăg chỉ ói về các đạo hàm trái tại và phải tại. Địh lí Frmt có thể phát iểu tổg quát hơ: Nếu khả vi phải và trái tại và đạt cực đại cực tiểu tại thì t ' và ' p t ' và p ' Hàm số có cực trị tại chư chắc khả vi tại Chẳg hạ Tu hiê khôg khả vi tại vì có cực tiểu chặt tại vì <,,,. h h khôg có giới hạ khi h h h Hàm số khả vi tại và ' chư chắc đạt cực trị tại, chẳg hạ có ' tu hiê víi víi Vậ ó khôg có cực trị tại..4.. Địh lí Rô Roll Địh lí.: Cho [, ] thoả mã.. liê tục trê [, ]. khả vi trê,.. Khi đó tồ tại c, so cho ' c 54

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số O c H..6 Chứg mih: hất M trê [, ] Tho tíh chất củ hàm liê tục trê [, ] thì sẽ đạt giá trị hỏ hất m và lớ m Mi I ; [, ] [, ] M M Sup [, ] [, ] Nếu m M thì cost ', Nếu m < M, vì ê khôg có đồg thời M và m hoặc m và M. Chứg tỏ hàm đạt giá trị hỏ hất m hoặc lớ hất M tại điểm c, Tức là c hoặc c tho địh lí Frmt thì ' c Chú ý: Địh lí Roll có thể mih hoạ hìh học hư su : Tồ tại ít hất một điểm M c, c C với c, tại đó tiếp tuế củ C sog sog với trục. Xm hìh.6. Điểm c, tươg ứg số θ, so cho c θ.4.. Địh lí số gi hữu hạ. địh lí Lgơrăg Lgrg Địh lí.: Cho [, ] thoả mã:. liê tục trê [, ]. khả vi trê,. Khi đó tồ tại c, để có ' c.8 Chứg mih: 55

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số [, ] Xét hàm ϕ ác địh ởi ϕ Rõ ràg ϕ liê tục trê [, ], khả vi trê, và ϕ ϕ. Tho địh lí Roll tồ tại c, so cho ϕ ' c ϕ ' c ' c Su r Như vậ ' c h ' c Δ ' c. h trog đó h θ,, c θh Chú ý: Địh lí Lgrg có thể mih hoạ hìh học hư su : Tồ tại ít hất một điểm M c, c C với c, mà tiếp tuế tại đó sog sog với đườg thẳg AB, trog đó A, B, Hệ quả : Địh lí giới hạ củ đạo hàm,. Xm hìh.7. Cho,,, thoả mã:. liê tục tại. khả vi trê, \ { }. lim ' l. Khi đó khả vi tại và ' liê tục tại Chứg mih: Vì lim ' l ê ε >, η > so cho Áp dụg địh lí Lgrg trê [ ], { }: < < η ' l < ε, \, hư vậ tồ tại c, so cho ' c và đươg hiê c < < η Từ đó su r l ' c l < ε Điều à chứg tỏ ' l và từ điều kiệ củ địh lí su r ' liê tục tại. 56

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số C B A O c H..7 Chú ý: Chúg t hậ được địh lí tươg tự đối với đạo hàm trái hoặc phải Hệ quả : Cho [, ] thoả mã:. liê tục phải tại. khả vi trê, h. lim ' l khi đó có l p ' lim h h Hệ quả : Cho, thoả mã.. liê tục tại,. khả vi trê, \ { }. lim ', khi đó lim,.4.4. Địh lí số gi hữu hạ su rộg Địh lí CôsiCuch Địh lí.4: Cho [, ], g thoả mã:., g liê tục trê [, ]., g khả vi trê,.9. g',. Khi đó tồ tại c, để có g g ' c g' c Chứg mih: 57

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số Trước hết thấ g g g, vì ếu g g, tho địh lí Roll su r tồ tại c, để g ' c, vô lí tho giả thiết. [ ], Xét hàm số ϕ cho ởi ϕ g g g g Hàm ϕ thoả mã các điều kiệ củ địh lí Roll ê tồ tại c, để ϕ ' c, tức là ' c g' c h g g g g ' c g' c Chú ý: Thấ g rằg địh lí Lgrg là trườg hợp riêg củ địh lí Cuch lấ g trê [, ] Địh lí Roll là trườg hợp riêg củ địh lí Lgrg cho..5. ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÍ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH.5.. Côg thức Tlo Tlor, côg thức Mclôrh McLuri A.Địh ghĩ. Cho hàm khả vi đế cấp tại X. Gọi đ thức P với dg thoả mã điều kiệ k k P k, là đ thức Tlor củ tại lâ cậ điểm, h là phầ chíh qui củ khi triể hữu hạ ậc tại củ. Nếu thì P gọi là đ thức McLuri củ B.Địh lí.5: Nếu P là đ thức Tlor củ tại lâ cậ củ thì ó là du hất và có dạg Chứg mih: ' P...!! Giả sử tồ tại đ thức thứ hi là Q khi đó hiệu P Q là đ thức có ậc khôg vượt quá và có ghiệm ội, chứg tỏ P Q P Đặt P A A... A 58

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số 59,,...,!! k k A A k P k k k k k Chứg tỏ k k k P! C.Côg thức Tlor Cho P là đ thức Tlor củ tại lâ cậ củ. Gọi P r là phầ dư Tlor ậc tại củ Hệ quả: Phầ dư r có dạg:! c r với, c. tức là, < < θ θ c, gọi là phầ dư trog dạg Lgrg Chứg mih: Rõ ràg... ' r r r Đặt... ' G G G G và! G Với và δ Ω, tho địh lý Cuch sẽ có G G r r G r ' ' c G c r,, c ' ' ' ' ",, ' ' " r c r c r r c c c G c G c G G c Su lầ áp dụg địh lí Cuch, kết quả sẽ là c G c r G r với,...,, c c c mà!, c G c c r Su r! c r.. k k k k!! θ. Được gọi là côg thức Tlor ậc, h khi triể hữu hạ ậc hàm tại lâ cậ củ. k k k k!! θ.

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số Được gọi là côg thức McLuri ậc, h khi triể hữu hạ ậc củ tại lâ cậ củ. Chú ý: Nếu r c! ị chặ ở lâ cậ củ thì rõ ràg ghĩ là r dầ đế khi Với giả thiết ằg đ thức ị chặ ở lâ cậ củ thì có thể lấ gầ đúg r. P với si số là Người t đã chứg mih phầ dư viết trog dạg khác, gọi là dạg Cuch: ở lâ cậ củ r θ θ! D.Côg thức McLuri củ các hàm thườg dùg.,. T có k, k k Su r k! k.. si,,, k π k kπ k m si k si, m m, k m m m si.4 m m! Tươg tự m m cos..5 m m! α, α, X, X phụ thuộc α. Với ở lâ cậ củ, k t có k k α α... α k α α... α k α k Su r α k α α... α k k! k..6 Các trườg hợp đặc iệt: Với α 6

Với Với Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số...... α α 8 8. l. Trog lâ cậ thì!.!, l... 4. tg. Trog lâ cậ củ hàm khả vi mọi cấp.7 T iểu diễ 5... tg cos...! 4! si! 5! 4.8.5.. Qui tắc Lôpit L Hospitl X Cho X,, g thoả mã các điều kiệ su:. liê tục tại và khả vi ở lâ cậ Ω \ { }. g ' Ω \ { } '. lim l g' Khi đó lim l. g g Chứg mih: ' ε >, α >, : < < α l < ε g' δ δ 6

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số Lấ Ω α \ {} so cho < < α. Tho địh lí Cuch sẽ tồ tại {} c Ω α \ so cho < < để có c g g ' c g' c Chứg tỏ ε >, α >, Ωα l < ε g g Chú ý: ghĩ là lim g g l Nếu g thì rõ ràg qui tắc L Hospitl cho t điều kiệ đủ để tìm giới hạ ' dạg lim lim l g g' Nếu lim lim g, thì ằg cách ét các hàm số và g và hư vậ cũg hậ được điều kiệ để tìm giới hạ dạg. Nhậ thấ rằg trog phép chứg mih qui tắc L Hospitl ếu quả vẫ đúg. hoặc l kết Cầ lưu ý rằg qui tắc L Hospitl chỉ cho điều kiệ đủ để tìm giới hạ. Bởi vì khi khôg ' tồ tại lim vẫ có thể tồ tại lim. Chẳg hạ : g ' g cos lim. Tu hiê cos ' si lim lim ' khôg tồ tại ởi lầ. Để tìm ' và ' lim g ' đươg hiê có thể áp dụg qui tắc L Hospitl trog đó và g th g '. Như vậ, trog một ài toá tìm giới hạ, có thể lặp lại qui tắc L Hospitl một số Ví dụ : Tíh si lim cos Giải: Áp dụg các côg thức khi triể hữu hạ sẽ hậ được si lim cos 4 lim 6 6

Chươg: Phép tíh vi phâ hàm số một iế số Ví dụ : Tíh lim cos si Giải: cos 4 si 6 Vậ Ví dụ : cos lim lim lim si Tìm. l α α lim,. lim l, β α > Giải:. Nhậ ét α l α ' l lim lim α α α α lim β ' β β β β α α l l '. lim l lim I, lim lim.vậ I. α ' α α Ví dụ : Tíh Giải: l. lim, α >,. lim, >, α > α α l '. α α α ' α α l chứg tỏ lim α khi. α α ' α, lấ đạo hàm hữu hạ lầ so cho α. Khi đó ' l α α... α l α α chứg tỏ lim 6