tâm O. CMR OA1 5 HD. Tính qua các véc tơ chung điểm đầu A Bài 19. Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng của B qua G.

Transcript

1 Phần I. Véc tơ. hứng minh hệ thức véc tơ Véc tơ - Toạ độ hú ý + ho Với mọi điểm O, t có: = O O. + Tứ giác là hbh =. + Để cm = b. = b i) b ii) Nếu = ;b =. T cm là hbh. iii) Tính chất bắc cầu + Để cm = t cm. = // b. b, c khác phương =. // c ài. Điểm gọi là chi đoạn thẳng theo tỉ số k, nghĩ là: = k. hứng minh rằng O ko O = (O là điểm bất kì, khác ). k Ứng dụng giải các bài tập su ài. ho tm giác. Điểm thuộc đường thẳng và = k. hứng minh rằng: = ( k) + k ài. ho tm giác. Gọi là một điểm thuộc đoạn, so cho =. hứng minh rằng = +. ài 4. ho. Gọi là trung điểm củ và N là một điểm trên cạnh, so cho N = N. Gọi K là trung điểm củ cạnh N. ) hứng minh rằng: K= b) Gọi là trung điểm củ. hứng minh rằng: K= +. uuuur 4 uuur ài 5. ho điểm,, thẳng hàng. iết n = m, m + n. R với mọi điểm O t có n m O = O + O. m + n m + n ài 6. hứng minh rằng nếu,, thẳng hàng và, N, thẳng hàng và: uuuur uuur uuur uuuur n m n = m, nn = mn, m + n, thì N = +. m + n m + n ài 7. ho tứ giác. ác điểm, N lần lượt thuộc các đoạn, so cho: N m n + m = =. R: N =. N n m + n ài 8. ho. Gọi N,, K là đường phân giác củ ;, b, c lần lượt là cạnh củ ứng với các đỉnh,,. hứng minh rằng (b + c)n + b(c + ) + c( + b)k =.

2 ài 9. ác điểm, N lần lượt là trung điểm củ các cạnh, củ tứ giác. N cắt tại P. P P iết rằng: =, =. R là hình bình hành. P 4 PN H. T R =. ài. ác điểm, N lần lượt là trung điểm củ các cạnh, củ tứ giác. ác đoạn thẳng P P N, cắt nhu tại P. iết = ; =. hứng minh rằng là hình bình hành. P 4 PN ài. ho hình bình hành và. ác điểm, N, P và Q chi các đoạn thẳng, N P Q,, theo tỉ số bằng k: = = = = K. iết,,, là tứ giác. R: ' N' P' Q' NPQ là hình bình hành. ài tập ài. ho tm giác và điểm tuỳ ý. ) hứng minh rằng v = + không phụ thuộc vị trí điểm. uuur uuuur r uuur uuur b) ựng điểm so cho = v. cắt tại K. R: K + K =, = K. ài. ho tứ giác. hứng minh rằng là hình bình hành + = +. ài 4. ho 4 điểm,,, bất kỳ. R ) + = b) =. c) + = IJ với I, J lần lượt là trung điểm củ các đoạn và. ài 5. ho tm giác. Gọi, N, P lần lượt là trung điểm củ,,. R ) + =. b) + N + P =. ài 6. ho đ giác đều... n tâm O. R O + O O n =. uuur uuur r uuur uuur hú ý: Nếu O = O thì v = O + O nằm trên ti phân giác góc O. đẳng thức dạng biểu diễn véc tơ ài 7. ho. I, J là điểm thoả mãn: I = I; J + J =. hứng minh rằng: IJ =. 5 H. Tính qu các véc tơ chung điểm đầu. 7 ài 8. ho. I, J là điểm thoả mãn: I I + I = ;J + 4J =. R IJ = +. ài 9. ho tm giác, gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng củ qu G. ) hứng minh rằng: H = ;H = ( + ). 5 b) Gọi là trung điểm củ, hứng minh rằng: H =. 6 6 ài. ho tm giác, gọi H là điểm đối xứng củ trọng tâm G qu. ) hứng minh rằng H 5H + H =. uuur r uuur r uuur uuur r r b) Đặt G =, H = b. Hãy tính, theo và b. hứng minh hi tm giác có cùng trọng tâm Định lý: Hi tm giác và cùng trọng tâm ' + ' + ' =. ÁP ỤNG

3 ài. ho và cùng trọng tâm G. Gọi G,G, G lần lượt là trọng tâm củ,,. hứng minh rằng GG GG + GG =. + ài. ho. Gọi,, lần lượt là trung điểm củ,,. R tm giác và cùng trọng tâm. ài. ho tứ giác lồi. Gọi, N, P, Q lần lượt là trung điểm củ,,,. R tm giác NP và Q cùng trọng tâm là G và G + G + G + G =. ài 4. ho lục giác EF. Gọi, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm củ,,, E, EF, F. iết PR, NQS là các tm giác. ) R tm giác đó cùng trọng tâm O. b) R O + O + O + O + OE + OF =. ài 5. ho tm giác. Trên cạnh lấy điểm E, F so cho: E = k E, F = F( k ). k ) Tính E, F, EF theo,. b) R và EF cùng trọng tâm. ài 6. ho. Trên các đường thẳng,, lần lượt lấy các điểm,, lần lượt chi,, theo tỉ số m. R tm giác và cùng trọng tâm. ài 7. ho đều, là một điểm bất kì trong tm giác. Gọi,, lần lượt là các điểm đối xứng củ qu các cạnh,,. hứng minh rằng tm giác và có cùng trọng tâm. H. Qu kẻ các đường thẳng song với các cạnh củ tm giác.. iểu diễn một véc tơ theo các véc tơ khác hú ý ) Trên mp cho véc tơ không cùng phương, b. Khi đó mọi x đều tồn tại cặp số (m; n) so cho x = m + nb. O ko ) = k O = k (O là điểm bất kì, khác ) ) Nếu, b là các véc tơ không cùng phương và x = yb thì x = y =. _iểu thị một véc tơ qu véc tơ khác ài 8. ho tm giác. Trên lấy điểm I: I = I. ) Tính I theo các véc tơ và. b) Gọi J, K lần lượt là những điểm trên cạnh, so cho: J = J và K = K. Tính JK theo và. c) Tính theo I và J. d) Tính theo I và JK. hú ý: Trước hết t tính I, I, J theo véc tơ gần nhất như,. Giả sử = xi + yjk m(x; y) = n(x; y) m = n = x, y. ĐS. ) I = +. b) JK =. d) = I 4JK. 4 ài 9. ho tm giác, gọi I là điểm trên cạnh so cho I = I và J là điểm trên cạnh kéo dài so cho 5J = J.

4 ) Tính I, J theo và. b) Gọi G là trọng tâm củ tm giác, tính G theo I và J. 5 uuur 5uur uuur ĐS. ) I = +. J =. b) G = I J ài. ho lục giác đều EF. Hãy biểu diễn các véc tơ su theo u =, v = E. ) b) c) F d) E F ài. ho hình bình hành tâm O. Hãy tính các véc tơ su theo và. ) I với I là trung điểm củ O. b) G, với G là trọng tâm tm giác O Học sinh giỏi ài. ho tm giác KL, trên cạnh KL lấy điểm so cho K/L = /; trên cạnh L lấy điểm so cho L/ = 4/. Gọi là gio điểm củ K và. iết dt(kl) = (đvdt). Tính diện tích củ tm giác KL. H. L K Giả sử K = xk( < x < ) (). dt(kl) dt(kl) dt(kl) L K 5 =. = = x. T đi tính x. dt(kl) dt(kl) dt(kl) L K 4 4 Giả thiết suy r K = KL + K (). 5 5 y Giả sử = y ( < y < ). Suy r K = K K mà K = KL nên y y 4 x y = 4( y) 5 K = KL K (). Từ ()()() suy r x = 5. 4( y) y y 4 = x y 5 ài. ho tm giác. Trên cạnh lấy điểm, trên cạnh lấy điểm N so cho =, N = N. Gọi O là gio điểm củ N và. Tính diện tích () biết diện tích(on) bằng (đvdt). dt(kl) dt(kl) dt(kl) L K 5 H. =. = = x (với N = xon). dt(kl) dt(kl) dt(kl) L K 4 4

5 N O x y N = O (). Giả thiết suy r N = + (). Giả sử O = yo O = = x y y (). Thy (),() vào() tính được x =. y 4( y) ài 4. ho tm giác. Điểm K chi trung tuyến theo tỉ số -. Đường thẳng K chi diện tích tm giác theo tỉ số nào? H. K F dt( F) = dt( F) F F = x Giả sử F = xk (). Giả thiết K = + = + (). à x F = () nên từ ()()() suy r x = -/. x ài 5. ho tm giác. Trên các cạnh,, lần lượt lấy các điểm, E, K so cho: E K = = = k. Giả sử E cắt tại, K cắt E tại, cắt K tại. hứng minh E K rằng tm giác, KE và có cùng trọng tâm. k H. ) Gt suy r =... suy r + E + F =. k b) Giả sử E = x'. (). Gt có; Giả sử k E = () k y ' = y' K ' = = (). Thy ()() vào () được y y ( y)( k) k k + k x = ' = E. Từ đó ' = E =. k k k + E ài 6. (T6/45) Trên cạnh, củ tm giác lần lượt lấy điểm E, so cho =. E Gọi là gio điểm củ và E. Xác định vị trí củ E, so cho diện tích tm giác đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó theo diện tích củ tm giác. 5

6 E dt() dt() dt() H. Giả sử = =. T có =. =.. E m dt() dt() dt() dt() T có = m = m +. Đặt = x = (m +)x. T đi tính x. dt() +) = x = ( x) ( x) x = = + ( x) ( + m)x x () (vì =. ). + m +) Giả sử x y y m + m + = ye = ; = m x = x + m ( + m)x + m m(m +) dt() dt() Từ đây suy r = m + + dt(). dt() m ài 7. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tm giác. R: I+ bi+ ci=. F I E I E E+ E c+ cb I c( c) c H. T có = ; = = E= vậy = + I = + IE. IE E E c E c + c IE bc b I+ ci + c I+ ci I+ ci ặt khác E= E IE= IE= nên I= c + c b b b. hứng minh hi véc tơ cùng phương; b điểm thẳng hàng hú ý + điểm,, thẳng hàng // k : = k. ài 8. R điểm,, thẳng hàng x, y : x + y = : O = xo + yo. (với mọi điểm O). ài 9. Giả sử = m x + n y;b = m x n y với x, y là véc tơ không cùng phương. R + m n // b =. m n hú ý: ó thể điểm thẳng hàng hoặc hi véc tơ cùng phương bằng hi bài tập trên. ài 4. ho tm giác. Trên cạnh lấy điểm : =. Gọi E là điểm thoả mãn: 5 4 E + E + E =. hứng minh rằng, E, thẳng hàng. H. Đư về các véc tơ chung điểm đầu là E. 6

7 ài 4. ho. Gọi, I là các điểm xác định bởi biểu thức = và I + I I =. R, I, thẳng hàng. ài 4. ho tm giác., N là điểm xác định như su: + = ; N + N + N =. hứng minh rằng, N, thẳng hàng. H. Đư về các véc tơ chung điểm đầu là N. ài 4. Trên các cạnh củ tm giác lấy các điểm, N, P so cho + = ; 6N N = P + P =. hứng minh rằng, N, P thẳng hàng. ài 44. ho, lấy các điểm, N, P so cho: = ; N + N = ; P + P =. hứng minh rằng, N, P thẳng hàng. ài 45. ho, lấy các điểm P, Q so cho - P + P =, Q + Q =. R đường thẳng PQ đi qu trọng tâm G củ. ài 46. ho tm giác, lấy các điểm I, J so cho: I I + I = ;J + J J =. ) hứng minh rằng I, và trọng tâm G củ thẳng hàng. b) hứng minh rằng I J //. ài 47. ho tứ giác. Gọi P, Q, R lần lượt là trọng tâm củ,,. R điểm và trọng tâm củ, PRQ thẳng hàng. H. ùng hệ thức véc tơ với trọng tâm tm giác. Phân tích các véc tơ thành hiệu các véc tơ có điểm đầu là. T có G' = / G. ài 48. ho tứ giác. Gọi, N, P lần lượt là các điểm đối xứng với qu trung điểm các cạnh củ. R điểm và trọng tâm củ tm giác, NP thẳng hàng. H. P N T có + + = G; + N + P = G. Áp dụng quy tắc hình bình hành t có G = G. ài 49. ho tm giác nội tiếp trong đường tròn (O). Qu đỉnh,, vẽ các đường thẳng song song với nhu cắt (O) lần lượt tại,,. hứng minh rằng trọng tâm củ các tm giác,, thẳng hàng. ài 5. ho lục giác EF. ác điểm, N, P, Q, R, S lần lượt thy đổi trên các cạnh,,, N P Q ER FS E, EF, F so cho: = = = = =. hứng minh rằng trọng tâm hi tm giác E EF F NP và Q đối xứng nhu qu điểm cố định O. H. O là điểm thoả mãn: O + O + O + O + OE + OF =. ài 5. ho. là điểm xác định bởi = ;N = x. Tìm x để điểm,, N thẳng hàng. ài 5. ho. là điểm xác định bởi = ;N = x +. Tìm x để điểm,, N thẳng hàng. 7

8 Thm khảo - học sinh giỏi ài 5. (*)ho hình bình hành, gọi I, J, K là các điểm được xác định bởi I = p; J = q và K = r. hứng minh rằng điều kiện để I, J, K thẳng hàng là: = +. q p r ài 54. (*IO ) Trên các đường chéo và E củ lục giác đều EF, t lần lượt lấy điểm, N N so cho = = k. iết rằng,, N thẳng hàng. Tìm k. E H. F N E NE k Gt = = k = ( k); N k kne = ( k)n à E = ( + ) nên = k + ( k) k k. o,, N thẳng hàng nên =. N = (k +)E + k k + k Từ đó tính được k = (< k< ). ài 55. ho tứ giác. Đường thẳng đi qu đỉnh song song với cắt tại, đường thẳng đi qu đỉnh song song với cắt tại N. R: N//. O H. Đặt ON = no;o = mo N = mn. (o ON/O = O/O; O/O = O/O). ài 56. (*)ho. Đương tròn nội tiếp tm giác tiếp xúc với, tại, N. Vẽ đường trung bình E (// ) củ tm giác. Đường phân giác góc cắt E tại P. hứng minh rằng điểm, N, P thẳng hàng. H. Đặt = c, =, = b. e,e, e là các véc tơ đơn vị củ ti, và. + + = e + be + ce =. + + N = (p )e; = (p ) e N 8

9 suy r N = N + = (p )(e + e). E P N Tm giác PE cân tại E nên PE = E = b nên P = ( e e ) + 4. hứng minh đồng quy. Từ đây suy r, N, P thẳng hàng. PE = e;e = e; = (p b) e và e = e e b c Phần II. Toạ độ 5. Tích vô hướng củ hi véc tơ hú ý: Để tính tích vô hướng. b, t dùng các phương pháp su: + Phân tích, b theo véc tơ x, y không cùng phương (vuông góc với nhu càng tốt). + họn véc tơ u, v dễ tính tích vô hướng (vuông góc càng tốt), phân tích véc tơ u, v theo, b (Khi, b không cùng phương). Tính u.v.b. r r r r r r r r r r r r +.b = ( + b ) ( b) ;4.b = ( + b) ( b) (ùng khi véc tơ chung điểm đầu). + Sử dụng công thức hình chiếu (xem bài tập )..b + cos ( ;b) =. b + b.b =. 5. Tính tích vô hướng, tính góc ài. (ông thức hình chiếu). hứng minh rằng. = ' '. =.' ', trong đó ' ' là hình chiếu củ lên đường thẳng, ' ' là hình chiếu củ lên. 9

10 , ài. ho hình thng vuông, đường co =, đáy lớn =, đáy nhỏ =. ) Tính.,.,.. b) Gọi I là trung điểm củ. Tính góc ( I ;). uuur uuur H. ùng công thức hình chiếu hoặc phân tích theo véc tơ, ài. ho hình vuông cạnh. Trên cạnh lấy điểm so cho ài 4. ho hình vuông cạnh. Tính các tích vô hướng su: ) ( + )( + ) b) ( )( + ) =. Tính cos. c). +. ( thuộc đường tròn ngoại tiếp hình vuông ). ài 5. ho cân tại, hi trung tuyến và N vuông góc với nhu. Tính. H. Tính, N theo,. ài 6. ho hình vuông và NPQ sắp xếp so cho P thuộc cạnh, thuộc đoạn. Tính góc( P,N. ) P N 5. hứng minh đẳng thức về tích vô hướng ài 7. ho hình bình hành. R: + = ( + ). H. ách : ĐL cosin. ách : = ( + ) = + ( ) ài 8. ho hình chữ nhật, là điểm tuỳ ý. hứng minh rằng: ) + = +. b). =. c) N = N. NO (O là tâm hình chữ nhật và N thuộc đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật). ài 9. ho tứ giác. Đặt = ; = b; = c; = c ; = ; = b. R G = ( + b + c ) ( + b + c ) 9 (G là trọng tâm củ tm giác ).

11 H. G = ( + + ). 9 ài. ho tm giác trọng tâm G. R ) G.G + G.G + G.G = ( + + ). 6 b) + + = G + G + G + G, với là điểm tuỳ ý. Từ đó suy r vị trí điểm để + + đạt giá trị nhỏ nhất. ài. ho tm giác. Tìm điểm để tổng: T = + + đạt giá trị nhỏ nhất. ài. ho tm giác. Tìm điểm để tổng: T = + đạt giá trị nhỏ nhất. 5. Ứng dụng chứng minh đường thẳng vuông góc ài. ho tm giác vuông cân tại, gọi là trung điểm. Đường thẳng qu và vuông góc với cắt tại H. Tính tỉ số H. H H ài. ho hình chữ nhật, độ dài cạnh là. Gọi là trung điểm cạnh. iết vuông góc với đường chéo. Tính độ dài cạnh. H ài. ho tm giác vuông tại, đường co H. Gọi là trung điểm, I là gio điểm giữ H và. Tính tỉ số I biết,. I = = I H ài 4. ho tm giác, cân tại đỉnh, đường co H. Gọi là hình chiếu vuông góc củ H lên, là trung điểm củ H. hứng minh rằng.

12 H ài 5. Gọi K là trung điểm củ cạnh củ hình vuông, L là điểm chi trong đường chéo L theo tỉ số =. R KL L. uuur L uuur uuur uuur H. Phân tích KL,L theo véc tơ, j K L ài 6. ho hình vuông. Gọi, N lần lượt là trung điểm và. hứng minh rằng N, vuông góc với nhu. N ài 7. ho tm giác cân có = ;= =. Từ kẻ đường co H. Tìm tỉ số H. H H k Giả sử H= kh H= ; = k H.= ( )( k) = + k (+ k).=

13 .=..cos ;=.cos =. ài 8. ho tm giác cân tại, = = ;=. Từ kẻ đường co H. Tìm tỉ số H. H H k Giả sử H= kh H= ; = k H.= ( )( k) = + k (+ k).= + k à.= + ( ).= 4+ 4=. Vậy 4+ k = k= 7 ài 9. ho hình vuông. Trên cạnh lấy điểm E, kẻ EF (F thuộc cạnh ). Gọi, N lần lượt là trung điểm củ E và. hứng minh rằng: N F. F E N ài. ho hình vuông. Trên cạnh lấy điểm P, trên cạnh lấy điểm Q so cho P = Q. Kẻ H vuông góc P tại H. hứng minh rằng H QH. ài. ho hình vuông. E, F là các điểm xác định bởi điểm I. R: I =v. E =, F = và E cắt F tại ài. ho hcn. Kẻ H, H thuộc đoạn. Gọi, N lần lượt là trung điểm củ đoạn thẳng H và. R N. uuur uuur H. Phân tích theo,.

14 ài. ho hcn. Đường thẳng vuông góc với qu cắt tại I. Gọi E, F lần lượt là trung điểm củ đoạn thẳng và I. hứng minh rằng E F. ài 4. Trên hi cạnh góc vuông, củ tm giác vuông lần lượt lấy các điểm, so cho. =.. Gọi là trung điểm củ đoạn. R:. ài 5. Trên các cạnh,, củ tm giác vuông cân tại, lấy các điểm, N, P so cho: N P = =. hứng minh rằng: P N và P = N. N P ài 6. ho tm giác đều. Lấy điểm, N so cho =, N =. Gọi I là gio điểm củ và N. R: I =v. ài 7. ho cân tại. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp, là trung điểm cạnh, E là trọng tâm. R: IE. E I ài 8. ho vuông tại, đường co H. Gọi I, K thứ tự là hình chiếu củ H trên và. Gọi là trung điểm củ. hứng minh rằng: IK. I H J 6. Toạ độ 6. Tính toạ độ ài 9. Trên trục x Ox cho 4 điểm,,,. hứng minh rằng: ) = (hệ thức OLe) b)( Hệ thức Stio) Với mọi điểm trên trục. R = kx ky ài. Trong mặt phẳng Oxy cho = k. R x = ; y =. k k Áp dụng x y 4

15 ài. ho tm giác., N, P lần lượt là trung điểm các cạnh,,. iết (; ) N(; -5); P(5; 7). Tính toạ độ các điểm,, và trọng tâm G. ài. ho điểm,, có toạ độ: (; ), (-; 4), (; ). ) R,, là đỉnh củ một tm giác. b) Tính chu vi, diện tích củ tm giác. c) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tm giác. d) Tìm toạ độ trực tâm củ tm giác. e) Tìm toạ độ chân đường co kẻ từ đỉnh. f) Tính độ dài phân giác trong củ góc. ài. Trong mặt phẳng Oxy cho (; ); (; ); (-; -). ác điểm,, thoả mãn: ' = '; ' = ' ; ' = ' ; ) Tính toạ độ,,. b) hứng minh rằng,, thẳng hàng. ài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho tm giác. ác điểm, N, P thoả mãn: = ; N = N; P = P. Tìm toạ độ các đỉnh tm giác biết (; ); N(4; -), P(-4; 8). ài 5. Trong mặt phẳng Oxy cho (; 5); (4; -) và điểm (; ). Tìm trên đường thẳng điểm N so cho N vuông góc với. 6. hứng minh vuông góc ài 6. Gọi K là trung điểm củ cạnh củ hình vuông, L là điểm chi trong đường chéo L theo tỉ số =. R KL L. L H. họn hệ trục toạ độ: K L Giả sử (; ), (o; ), (;)m suy r (; ). Tính toán được L(/4; /4). ài 7. ho hcn. Kẻ H, H thuộc đoạn. Gọi, N lần lượt là trung điểm củ đoạn thẳng H và. R N. H. họn hệ trục toạ độ so cho (; ), (; ), (; d). Sử dụng H thuộc H(k; kd) và H H tính H. ài 8. ho hcn. Đường thẳng vuông góc với qu cắt tại I. Gọi E, F lần lượt là trung điểm củ đoạn thẳng và I. hứng minh rằng E F. H. họn hệ trục: (; ), (; ), (; ). ài 9. Trên hi cạnh góc vuông, củ tm giác vuông lần lượt lấy các điểm, so cho. =.. Gọi là trung điểm củ đoạn. R:. ài. Trên các cạnh,, củ tm giác vuông cân tại, lấy các điểm, N, P so cho: N P = =. hứng minh rằng: P N và P = N. N P 5

16 ài. ho hình vuông. Trên cạnh lấy điểm E, kẻ EF (F thuộc cạnh ). Gọi, N lần lượt là trung điểm củ E và. hứng minh rằng: N F. ài. ho hình vuông. Trên cạnh lấy điểm P, trên cạnh lấy điểm Q so cho P = Q. Kẻ H vuông góc P tại H. hứng minh rằng H QH. ài. ho hình vuông. E, F là các điểm xác định bởi E =, F = và E cắt F tại điểm I. R: I =v. ài 4. ho tm giác đều. Lấy điểm, N so cho =, N =. Gọi I là gio điểm củ và N. R: I =v. ài 5. ho tm giác, cân tại đỉnh, đường co H. Gọi là hình chiếu vuông góc củ H lên, là trung điểm củ H. hứng minh rằng. ài 6. ho cân tại. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp, là trung điểm cạnh, E là trọng tâm. R: IE. ài 7. ho vuông tại, đường co H. Gọi I, K thứ tự là hình chiếu củ H trên và. Gọi là trung điểm củ. hứng minh rằng: IK. ài 8. ho tứ giác có. ác điểm E, F, G, H theo thứ tự chi trong các cạnh,,, theo tỉ số :. hứng minh rằng EG = FH, EG FH. ài 9. ho tứ giác có các đường chéo vuông góc với nhu, nội tiếp đường tròn tâm (O). Nối trung điểm củ dây cung với điểm S là gio điểm củ với. hứng minh rằng: S. H. (;b) (;) (c;) S O (;d) ài 4. (NmTư 95) ho tm giác có góc nhọn. Gọi là chân đường vuông góc từ tới, E là E chân đường vuông góc từ đến, F là điểm thuộc đoạn E so cho =. hứng minh rằng FE E F. H. E F (; ), (b; ) (; c) O ài 4. (Vô địch NmTư 8) 6

17 Trên cung củ đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, người t lấy điểm khác và. Gọi P, Q, R, S là hình chiếu củ điểm trên các đường thẳng,,,. R PQ RS và gio điểm củ chúng nằm trên một đường chéo củ hcn. P R O Q S H. Giả sử R = và ( ; ); (-; ) ; (- ; - P( ; m ); R(; m ); Q(m; );S(m; ) ); (; - ); (m; m ) 6. ột số dạng toán hình học khác ài 4. (Vĩnh Phúc 95) ho tứ giác lồi có. Qu trung điểm củ và kẻ các đường vuông góc với các cạnh và. hứng minh rằng đường thẳng đó và đồng quy. H. Lập các phương trình đường thẳng. (;) N (b;) I (d;) N' (;c) ' ài 4. (Trại Hè Hùng Vương 5) ho hình vuông. Tìm quỹ tích các điểm thuộc bên trong và biên củ hình vuông so cho: diện tích( ) = diện tích( ). ĐS: thuộc cạnh và đoạn thẳng I (I: trung điểm ). ài 44. (Trại Hè Hùng Vương 5) ho hình vuông. Giả sử E là trung điểm cạnh và F là điểm ở bên trong hình vuông. Xác định vị trí điểm Q thuộc cạnh : QE = QF. ài 45. (T/7)ho tm giác cân tại. Trên cạnh lấy điểm và trên cạnh lấy điểm E so cho hình chiếu củ E lên bằng. R đường vuông góc với E tại E luôn đi qu một điểm cố định. 7

18 ài 46. (PO 98) ho tm giác. Gọi là đường co hạ từ. Gọi E, F là điểm khác nằm trên một đường thẳng đi qu so cho E vuông góc với E, F vuông góc với F. Fọi, N lần lượt là trung điểm củ các đoạn,ef. R N vuông góc N. c H. (-; ), (c; ), (; ). Giả sử ; và đ/thẳng qu :y = kx thì k k k k + c k + ck E ;, F ; k + k + k + k + ài 47. (T9/5)ho hình vuông, trung điểm E củ, một điểm F trên cạnh so cho F > F. Gọi G là gio điểm củ ti EF với ti ; I là tâm đường tròn tiếp xúc đường thẳng tại G và với. Tiếp tuyến thứ hi củ (I) kẻ qu F cắt tại điểm K. R: tứ giác EGK là hình bình hành. H. (; ), (; ), (; )suy r (; ), E ;, F(; f) (/< f< ), f + G ;, f f + ; f I ; r f f ( f ) =. Tiếp tuyến qu F: y f = ( x ), K ; f f f f. ài 48. ho tứ giác có các đường chéo vuông góc với nhu, nội tiếp đường tròn tâm (O). Nối trung điểm củ dây cung với điểm S là gio điểm củ với. hứng minh rằng: S. ài 49. (NmTư 95) ho tm giác có góc nhọn. Gọi là chân đường vuông góc từ tới, E là E chân đường vuông góc từ đến, F là điểm thuộc đoạn E so cho =. hứng minh rằng FE E F. ài 5. (NmTư 8)Trên cung củ đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, người t lấy điểm khác và. Gọi P, Q, R, S là hình chiếu củ điểm trên các đường thẳng,,,. R PQ RS và gio điểm củ chúng nằm trên một đường chéo củ ài 5. (T5/7) ho tm giác vuông cân đỉnh. Lấy điểm tuỳ ý trên cạnh, kẻ ti x vuông góc với. Gọi H là gio điểm củ x với và K là điểm đối xứng với qu H. Kẻ ti Ky vuông góc với, gọi I là gio điểm củ Ky với. Tính I. ĐS: 45 ài 5. ho tứ giác IJ có các góc, vuông và I > I. là một điểm bất kì trên đường thẳng IJ. R: J < < I. J I ài 57. (HVSN k ) ho tm giác có đường thẳng đi qu trọng tâm G và tâm đường tròn + b+ c b nội tiếp I củ tm giác vuông góc với phân giác trong góc. R: =. + b E F I + b H. T có I+ bi+ ci= ( I) + b( I) + ci= I= + b + c 8

19 + + b + b ( + )( + b) = IG. I= ( I+ G) I= I. = + b+ c + b+ c ( + b+ c) ( + b) ( + b+ c)( + )( + b) = hy ( b + b + b. ) ( + b+ c)[ b + b + ( + b). ] = Hy 6 b (+ cos ) b( + b)( + b+ c)(+ cos ) = 6 b= ( + b)( + b+ c) Định lý sin, cosin. Giải tm giác ột số bài tập củ chương trình lớp 7, 8,, giải bằng cách kẻ đường phụ phức tạp. ài 5. ho tm giác có góc =, =4, =6. Tính độ dài trung tuyến. H. Định lý cosin tính được. Su đó tính độ dài trung tuyến. ài 54. ho tm giác có góc = hứng minh rằng dt( ) =. 4 H. Giả thiết suy r sin=cos. Định lý cosin t có: dt()=..cos=..sin= +. ài 55. ho tm giác có góc = 5, =5, đường co H=. Tính độ dài các cạnh và. H..diện tích()=..sin =H..=5. ặt khác ĐLcosin t được +..sin =. Từ đó tính được,. ài 56. Tứ giác có O là gio điểm hi đường chéo, =6, O=8, O=4, O=6. Tính độ dài. H. Định lý sin tính được góc O góc O. ài 57. ho tm giác đều cạnh. Trên cạnh lấy điểm, còn trên cạnh lấy điểm E so cho = /, E = E. Tính độ dài E. E Đặt E = E = x, E = x. = ; = = 6. Áp dụng đl cosin cho tm giác E: x = 7 5 E = 8 5 đl cosin cho tm giác E E =. 5. ài 58. ho tm giác vuông tại, đường phân giác. iết = 7, = 5. Tính độ dài. H. Đặt = y, = x. T có + = x + y = 7. ặt khác = hy x y = = Từ đó tính được x. 5 y + ( x + 5) ài 59. ho tm giác đường phân giác =, =, = 4. Tìm,. ài 6. ho tm giác có góc = ài 6. (*)(ĐL Stwrt ) 6 và =, trung tuyến = 7. Tìm,. 9

20 ho tm giác, là điểm trên cạnh. Đặt = d, = m, = n. Khi đó: d = mb + nc mn. H. (ĐL cosin) Từ tm giác c = d + m md cosα b = n + d nd cos( 8 α). nc + mb = n(m + d ) + m(n + d ) = = mn(m + n) + (m + n)d. Vì m + n = nên t có đpcm. ài 6. (*) ho tm giác vuông tại. thuộc cạnh so cho =α. hứng minh rằng bc =. bcosα + csinα H. (ĐL sin) Tm giác sinα = sin. sin( 9 α) Tm giác =. sin + = = sinα + cosα (*). Từ tm giác vuông t có: sin sin = ; = Thy vào (*) t có đpcm. sin b sin c Lời giải thm khảo Lời giải 9. (lớp 8) H K. kẻ H. Tm giác H vuông có góc H= 6 nên H=. ĐL Pythgore, t tính được H=8. Kẻ K H thì HK=4, K=, K= suy r = 7. Lời giải 9. (lớp 8) Kẻ H vuông góc với. Đặt H= H=m, H = n. iến đổi t được đpcm.

21 Lời giải 9. (lớp 8) Kẻ K. T được góc K= 45. nên tm giác K vuông cân tại K. Đặt =x, K=K=y. Từ tm giác đồng dạng H và K t có xy=5. ặt khác xét tm giác vuông K t có x + xy+ y = 5. Từ đó tính được = 5, = hoặc =, = 5. Lời giải 9. (lớp 8) Kẻ H O. Đặt H=x, H=y. Áp dụng định lý Pythgore vào tm giác H và OH, t tính được x, y. ÀI TẬP TH KHẢO Áp dụng định lý cosin ài 6. ho tm giác. hứng minh rằng ) = bcos + ccos; b = cos + ccos; c = cos + bcos. b) b(+b)cos + bc(b+c)cos + c(c+)cos = + b + c. + b c) cos + cos = ( cos). c ài 64. (+b)cos + (b+c)cos + (c+)cos= +b+ c. ài 65. ột tm giác có độ dài các cạnh là + b, b + c, c + (, b, c là độ dài cho trước). hứng minh rằng các góc củ tm giác này đều nhọn. H. hứng minh rằng cos, cos, cos >. ài 66. ho tm giác có các cạnh = k + k +,b = k +,c = k (k > ). Tính góc. ài 67. ác trung tuyến, E, F củ tm giác tương ứng bằng 5 cm, 4 cm, cm. Tính các cạnh củ tm giác và chứng minh > 45. b c ài 68. ho tm giác có các cạnh thoả mãn: = Tính góc. b c ài 69. ho tm giác biết m + m = m ;h + h = h. Tính cos và R cos + cos =. b c b c, b,c là độ dài tương ứng củ các cạnh củ tm giác ài 7. Gọi, b, c là cạnh củ tm giác và. ) hứng minh rằng tm giác là tm giác nhọn. b) (*) So sánh góc bé nhất củ tm giác với góc bé nhất củ tm giác. H. Giả sử b c b c. T cm (b c )(b c) + (bc ) cos cos = '. b c ài 7. (*)ho tứ giác có = 6, = 6, = 5, = 9. Tính độ dài các cạnh,. H. Đặt = x, = y. Đl cosin cho tm giác và t tính và suy r x +8 6 x = 44 + y y. () Tương tự và suy r x +44 = 8 + y + 8y. Giải (), () được (x, y) = ( 6 ;6). ài 7. (*) ho tm giác. vẽ các đường phân giác, E. iết = 6, F =, =. Tìm độ dài F. 45. H. Tính được F = 8/5; = 9/5. Tính được cos = rồi dùng đl Pitgo tính F = 5 ài tập áp dụng định lý sin ()

22 ài 7. ho tm giác có =, =α. Gọi O là tâm nội tiếp tm giác. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tm giác O theo, α. ài 74. Gọi H là trực tâm củ tm giác. hứng minh rằng các tm giác H, H, H có bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng nhu. ài 75. Gọi r là độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tm giác. hứng minh rằng sin /.sin / R ) r =. b) =. cos / sin cos ài 76. ho tứ giác ngoại tiếp đường tròn (O). cắt tại E. án kính các đường tròn ngoại tiếp tm giác E, E, E tương ứng bằng R, R, R. Tìm bán kính R củ đường tròn ngoại tiếp tm giác E. H. T có + = +. ùng đl sin trong các tm giác suy r R = R R + R. ài 77. (*) ho. Trên cạnh lấy điểm E, trên ti đối củ ti lấy điểm so cho E =. Gọi là gio điểm củ và E. hứng minh rằng =. E H. E E =. E =. sin sinα sin E sinα E sin = = =. sin Esin E sin ài 78. (*)ho tm giác nội tiếp trong đường tròn tâm O. ác tiếp tuyến với (O) tại và cắt nhu b ở S, S cắt tại. hứng minh rằng =. H. S Tm giác =. sin sin b sin Tm giác = =. sin sin sin Tm giác S, S S sin = S sin( + ; ) S sin S sin = sin( + ) sin = sin sin = b. HỌ SINH GIỎI ài 79. (*)ho tứ giác nội tiếp đường tròn (O). =, = b, = c, = e, = f. R e f 4 b c d H. ùng đl cosin cho tm giác, và + = 8

23 (d + bc)(c + bd) e = ;f b + cd (b + cd)(c + bd) b + cd d + cb d + bc e f 4bcd 4bcd 4 b bc cd d 8 b ài 8. (Thuỵ Điển, 8) Tìm tất cả các số tự nhiên n để mỗi giá trị n tồn tại số tự nhiên m mà có các cạnh =, =, = n và các điểm, E lần lượt trên cạnh, thoả mãn: = E = E =m. H. E suy r 7 < m <... Áp dụng ĐL cosin với góc củ E, t có n =, do giả thiết suy r m =9, m =. Thử m được m =, n =. ài 8. (Nm Tư,8) ột đường thẳng chi một tm giác thành phần có diện tích bằng nhu và có chu vi bằng nhu. R tâm đường tròn nội tiếp tm giác đó nằm trên đường thẳng đó. H. hu vi tm giác K và đ giác K suy r :+ K = ++ + K SK Suy r = =. ặt khác giả sử r, r là bán kính đường + + S K tròn nội tiếp tm giác và đường tròn tiếp xúc với, và tâm nằm trên SK r ' + Kr ' đường thẳng. = r ' = r S / ( + + ) r ài 8. (Áo, 6) ho tm giác, trên các cạnh, và lần lượt lấy các điểm,, so cho các đoạn,, đồng quy; các điểm,, lần lượt đối xứng với các điểm,, qu,,. hứng minh rằng: S " " " = S + 4 S' ' '. ài 8. (VN,79) Tìm tất cả các bộ số tự nhiên (, b, c) là độ dài cạnh củ một tm giác nội tiếp trong đường tròn tâm đường kính 6,5 (đvdd) ài 84. Đường tròn tâm I bán kính r tiếp xúc với cạnh =, = b, = c củ tm giác lần lượt tại, N, P. Gọi S là diện tích củ tm giác. R: ) 4S = bn + bcnp + cp N NP P b) + + =. hhb hb hc hch ài 85. (Nm Tư, 76) ác đường co củ tm giác nhọn cắt nhu tại O. Trên đoạn O, O người t lấy điểm, so cho: ' = ' = 9. R: =. ài 86. Gọi,, lần lượt là tiếp điểm củ đường tròn nội tiếp tm giác. Đặt = c, =, = b, = c, =, = b. R: b = =. b c ài 87. ho tm giác nhọn. Gọi H là trực tâm củ tm giác. R: ( ) H + H + H + b + c. Nhận dạng tm giác với học sinh lớp (bằng đl sin, cosin). Nhận dạng tm giác vuông

24 hú ý. Tm giác vuông tại c + b =. Nhận dạng tm giác biết S=bc.. Nhận dạng tm giác biết 4S=(+b-c)(+c-b). sin + sin. Nhận dạng tm giác biết = sin. cos + cos sin + cos 4. Nhận dạng tm giác biết = tn. sin + cos b c 5. Nhận dạng tm giác biết + = cos cos sin.sin. Nhận dạng tm giác cân hú ý Tm giác cân tại b = c sin = cos. 6. Nhận dạng tm giác biết sin 7. Nhận dạng tm giác biết c =.cos. sin = ( cos)sin 8. hứng minh rằng tm giác vuông cân nếu sin = ( cos)sin. sin+ sin =.sin 9. Nhận dạng tm giác biết cos+ cos =.. Nhận dạng tm giác biết h = p(p ). h hb hc hb h hc. Nhận dạng tm giác biết + + = + +. h h h h h h b c. Nhận dạng tm giác đều b + c. hứng minh rằng tm giác đều nếu = b + c = bcos. R tm giác đều nếu sin + sin + sin = sin (sin + sin ) + sin (sin + sin ) + sin (sin + sin ) ( ) ài tập 4. (ĐSP Hà Nm-5) R tm giác thoả mãn: ( + b )( b + c )( c b ) = cos thì tm giác bc vuông. 5. (ự bị -)Tìm diện tích củ tm giác biết: bsin(bcos+cos) =. 6. ho. R: cos.coscos R tm giác đều S = R (sin + sin + sin ). H. huyển sng hệ thức cạnh, đánh giá VP VT. 8. ho tm giác thoả mãn: cos bcos = sin bsin. c b 4

25 R tm giác cân hoặc vuông. 9. ho tm giác thoả mãn: cos bcos = sin bsin. R tm giác cân. 5