Οκτώβριος Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα. Επιμέλεια: Χρήστος Τσιφάκης

Οκτώβριος 6 Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Επιμέλεια: Χρήστος Τσιφάκης

Εικοσιδωδεκάεδρον τεύχος 4, Οκτώβριος 6 ISSN: 4-7 Μπορεί να αναπαραχθεί και να διανεμηθεί ελεύθερα Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://wwwmathematicagr Ο δικτυακός τόπος mathematicagr ανήκει και διευθύνεται σύμφωνα με τον κανονισμό του που υπάρχει στην αρχική του σελίδα από ομάδα Διευθυνόντων Μελών Συντακτική Επιτροπή Γιώργος Απόκης Φωτεινή Καλδή Σπύρος Καρδαμίτσης Νίκος Μαυρογιάννης Ροδόλφος Μπόρης Χρήστος Τσιφάκης Χρήστος Κυριαζής Εικοσιδωεκάεδρο φιλοτεχνημένο από τον Leoardo da Vici Το εικοσιδωδεκάεδρο είναι ένα πολύεδρο (-εδρο) με είκοσι τριγωνικές έδρες και δώδεκα πενταγωνικές Εχει πανομοιότυπες κορυφές στίς οποίες συναντώνται δύο τρίγωνα και δύο πεντάγωνα και εξήντα ίσες ακμές που η κάθε μία τους χωρίζει ένα τρίγωνο από ένα πεντάγωνο Είναι αρχιμήδειο στερεό - δηλαδή ένα ημικανονικό κυρτό πολύεδρο όπου δύο ή περισσότεροι τύποι πολυγώνων συναντώνται με τον ίδιο τρόπο στις κορυφές του - και ειδικότερα είναι το ένα από τα δύο οιονεί κανονικά - quasiregular πολύεδρα που υπάρχουν, δηλαδή στερεό που μπορεί να έχει δύο τύπους εδρών οι οποίες εναλλάσσονται στην κοινή κορυφή (Το άλλο είναι το κυβο - οκτάεδρο) Το εικοσιδωδεκάεδρο έχει εικοσιεδρική συμμετρία και οι συντεταγμένες των κορυφών ενός εικοσαέδρου με μοναδιαίες ακμές είναι οι κυκλικές μεταθέσεις των (,, ± ϕ ), ϕ + ϕ + ±, ±, ±, όπου ϕ ο χρυσός λόγος ενώ το δυαδικό του πολύεδρο είναι το ρομβικό τριακοντάεδρο Πηγή: http://ewiipediaorg/wii/icosidodecahedro Απόδοση: Πάνος Γιαννόπουλος Η επιλογή των ασκήσεων αυτού του τεύχους και η συνολική επιμέλεια οφείλεται στον Χρήστο Τσιφάκη Το εξώφυλλο συνέθεσε ο Γρηγόρης Κωστάκος

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 ΑΣΚΗΣΗ Θεωρούμε τα πολυώνυμα f ( x ) x αx β και g( x ) x βx α με α,β * και α β Έστω ότι έχουν μια κοινή ρίζα ρ μόνο i Να βρεθεί η κοινή τους ρίζα ρ ii Να δείξετε ότι: α β iii Να δείξετε ότι οι υπόλοιπες ρίζες των πολυωνύμων δεν είναι όλες πραγματικές Προτείνει: Καρδαμίτσης Σπύρος wtopicphp?f=&t=87 (Γιώργος Ροδόπουλος) i Είναι α β γιατί διαφορετικά τα πολυώνυμα θα είχαν κοινές όλες τις ρίζες τους Έστω ρ η κοινή τους ρίζα, τότε: ρ αρ β ρ βρ α ( β α)ρ ( β α ) ρ ii ρ αρ β α β α β α β α β α β iii f ( x ) x αx β x αx α ( x )( x x ) α( x ) ( x )( x x α) Αν το f ( x ) είχε πραγματικές ρίζες θα ήταν Δ ( Δ η διακρίνουσα του τριωνύμου x xα ) και έτσι βρίσκουμε α 4 Εργαζόμενοι ομοίως για το g(x) βρίσκουμε β, δηλαδή αβ 4 που είναι άτοπο ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται τα πολυώνυµα 4 P( x ) ( x x ) ( x x ) και Q( x ) ( x 5x ) ( x x ) Να βρεθούν τα αθροίσµατα των συντελεστών των πολυωνύµων P( x ),Q( x ), Π( x ) P( x) Q( x ) και T( x ) ( P( x ) Q( x )) 44 5 6 Προτείνει: Χρήστος Τσιφάκης wtopicphp?f=&t=457 (Χρήστος Λαζαρίδης) Έστω το πολυώνυμο v v R( x) avx av x a x a τότε: το άθροισμα των συντελεστών του είναι R( ) av a v a a Άρα 4 P( ) ( ) ( ) 5 6 Q( ) ( 5) ( ) Π( ) T( ) 44 Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 ΑΣΚΗΣΗ Αν για τον πραγματικό x ισχύει x x Να βρεθούν τα,, έτσι ώστε 7 x x x Προτείνει: Χρήστος Δερμιτζόγλου wtopicphp?f=&t=56 (Ηλίας Καμπελής) x x Για να ισχύει η είναι x x 4 x x x 7 x x x x x 7 x x x x 7 x x x Άρα, και ΑΣΚΗΣΗ 4 Έστω το ακέραιο πολυώνυμο P( x ), βαθμού Αν P( ) και P( ), να δειχθεί ότι P( ) ( ) ( ) όπου () x το πηλίκο της διαίρεσης του Px () διά του x ( ) x Προτείνει: Ραϊκόφτσαλης Θωμάς wtopicphp?f=&t=5 (Φωτεινή Καλδή) P( x) ( x c)( x c) ( x) ax b Τότε P( c ) u ac b P( c ) u ac b και τελικά a u u, b u c u c c c c c Επομένως P( c c ) cc ( c c ) a( c c) b Άρα c u c u P( c c ) cc ( c c ) c c η (Αλέξανδρος Συγκελάκης) Θεωρούμε τη διαίρεση του Px () με το ( x)( x ) Τότε υπάρχει πολυώνυμο () x και () x ax b τέτοιο ώστε P( x) ( x )( x ) ( x) ( x) ( ) Για x παίρνουμε a b () Για x παίρνουμε a b () Λύνοντας το σύστημα των () και () παίρνουμε a και b οπότε αντικαθιστώντας στην ( ) παίρνουμε Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 P( x) ( x )( x ) ( x) x Βάζοντας στην τελευταία όπου x το παίρνουμε τη ζητούμενη σχέση ΑΣΚΗΣΗ 5 Να αποδείξετε ότι, αν είναι ρίζα του πολυωνύμου: f ( x) x x x, όπου φυσικός θετικός αριθμός, τότε:» Προτείνει: Αντώνης Κυριακόπουλος wtopicphp?f=&t=44 (Αλέξανδρος Συγκελάκης) Καταρχήν το αποτέλεσμα είναι φανερό αν για τη ρίζα ισχύει Ας υποθέσουμε λοιπόν παρακάτω ότι () Αφού λοιπόν το είναι ρίζα του πολυωνύμου άρα a a a a άρα διαιρώντας με και κάνοντας χρήση της τριγωνικής ανισότητας καταλήγουμε στην a a () a a a a a a που είναι κάτι ισχυρότερο από το ζητούμενο ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f με ακέραιους συντελεστές, όπου η εξίσωση f () x x έχει ακριβώς δύο λύσεις, τους θετικούς ακέραιους, με Να αποδείξετε ότι: f ( ) Προτείνει: Χρήστος Κυριαζής http://wwwmathematicagr/forum/post igphp?mode=quote&f=&p=56 (Αχιλλέας Συνεφακόπουλος) Το πολυώνυμο p( x) f ( x) x έχει ακέραιους συντελεστές και διαιρείται από το ( x )( x ), αφού p( ) p( ) και Άρα p( x) ( x )( x ) q( x), με qx () πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές, τέτοιο ώστε q ( ) (από υπόθεση) Συνεπώς, p( ) q( ) απ'όπου το ζητούμενο έπεται ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται το πολυώνυμο 6 4 P() x x x x όπου,,, πραγματικοί αριθμοί με, διπλή πραγματική ρίζα του () x Να αποδείξετε ότι το () x έχει όλες τις ρίζες του πραγματικές και να τις υπολογίσετε ως συνάρτηση των,, Προτείνει: Τσόπελας Γιάννης Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 http://wwwmathematicagr/forum/post igphp?mode=quote&f=&p=495 (Κώστας Τσουβαλάς) Aρκεί να παρατηρήσουμε πως, αν ο είναι ρίζα τότε είναι και ο αφού Px Px, x Tώρα επειδή το P έχει διπλή ρίζα τον πραγματικό, θα έχει και διπλή ρίζα τον πραγματικό Άρα έχει ως τώρα συνολικά 4 πραγματικές ρίζες Το πηλίκο της διαίρεσης του P με το είναι x x 4 x 4 x (το υπόλοιπο δεν χρειάζεται να αναφερθεί διότι αν και ''δεν φαίνεται'' x είναι είναι αφού το παράγoντας του P Eπομένως: P x x x x x x Άρα εξασφαλίζουμε την ύπαρξη άλλων δύο πραγματικών ριζών αφού: x αφού: x Άρα οι ρίζες του πολυωνύμου είναι:,,,,, ΑΣΚΗΣΗ 8 Έστω px () ένα πολυώνυμο 6ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές, ώστε p() p ( ), p() p ( ) και p() p ( ) Να αποδειχθεί ότι p(4) p ( 4) Προτείνει: Σπύρος Καπελλίδης wtopicphp?f=&t=48 (Θάνος Μάγκος) Έστω 6 5 4 P() x ax bx cx dx ex fx g, a Θεωρώ το πολυώνυμο Είναι Q( x) P( x) P( x ) 4 x( bx dx f ) Q(), Q(), Q (), άρα το Q έχει τουλάχιστον δύο ρίζες, από μία σε κάθε ένα από τα διαστήματα (,),(,) Όμως, οι ρίζες του Q (εκτός από το ) είναι οι ρίζες του διτετράγωνου 4 bx dx f Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 4

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 Αυτό, όμως, ή έχει 4 ρίζες ανά δύο αντίθετες, ή έχει αντίθετες ρίζες, ή δεν έχει καμία Δε γίνεται, λοιπόν, να είναι Q (4), αφού τότε το Q θα είχε και τρίτη θετική ρίζα η (Αχιλλέας Συνεφακόπουλος) Αρκεί να δείξουμε ότι όπου R(4) 56b 6d f, (*) 4 R() x bx dx f, έχοντας από την υπόθεση ότι και R() b d f, R() 6b 4d f, R() 8b 9d f Πράγματι, η (*) είναι αληθής, αφού ισχύει R(4) 7 R() 4 R() 9 R () ΑΣΚΗΣΗ 9 Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο f x ax bx cx d με ένα από τα ab, να είναι διάφορο του μηδενός, έχει δύο, μόνο, ρίζες ίσες τότε αυτές είναι ίσες με bc ad ac b Προτείνει: Νίκος Μαυρογιάννης wtopicphp?f=&t=&p=949 (Νίκος Μαυρογιάννης, Βασίλης Μαυροφρύδης) Έστω κοινή τιμή των δύο ίσων ριζών Φυσικά f και επομένως () a b c d Αφού άλλη μία ρίζα του πολυωνύμου θα είναι ο, το πηλίκο της διαίρεσης θα έχει ρίζα το f x : x Το πηλίκο βρίσκεται με το σχήμα του Horer ή με διαίρεση και είναι: x ax b a x c b a και αφού έχει ρίζα το ισχύει () a b c Πολλαπλασιάζοντας την () με και αφαιρωντας από την () βρίσκουμε: () b c d Πολλαπλασιάζουμε την () με b, την () με a και αφαιρούμε Θα βρούμε: b ac bc ad από την οποία έχουμε την αποδεικτέα Έστω ΑΣΚΗΣΗ P() x x x x, με,, : ακέραιοι και : άρτιος Το x είναι παράγοντας του Px () To υπόλοιπο της διαίρεσης P( x) : ( x 5) Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 5

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 είναι ίσο με το υπόλοιπο της διαίρεσης P( x) : ( x 5) Αν το Px () έχει ρίζα στο διάστημα (,), να βρεθούν τα, και Προτείνει: Δημήτρης Πλακάκης wtopicphp?f=&t=56 (Γιώργος Βισβίκης) Για ευκολία στην πληκτρολόγηση αντικαθιστώ τα γράμματα, με bc, αντίστοιχα Από τις σχέσεις P(), P( 5) P (5) παίρνουμε b 5 και ac 4 και επειδή ο c είναι άρτιος και ο a θα είναι άρτιος P() P () (γιατί;) απ' όπου παίρνουμε a(,6) a ( ά o ) (Σταμάτης Γλάρος) Είναι Επίσης a 4 και c η P() ab c () P( 5) P(5) b 5 () Αντικαθιστώντας στη () την () έχουμε ac 4 και επειδή c : άρτιος, είναι και ο a άρτιος Συνεπώς το πολυώνυμο παίρνει την μορφή P( x) x ax 5x 4 a και με το σχήμα Horer προκύπτει: P( x) ( x )( x ( a ) x a 4) Επιπλέον ισχύει P() ( a 6) και P() 8( a ) Έστω Αφού f ( x) x ( a ) x a 4 ( a) 4( a 4) a a 96 ( a ) 96 το τριώνυμο έχει ρίζες x, x, πραγματικές και άνισες με x x Αν και x, τότε είναι f( x ) για κάθε x(, x ) ( x, ) f( x ) για κάθε x ( x, x ) Επειδή x ισχύει f () P() a 6 a 6 και f () P() a a Η περίπτωση αυτή απορρίπτεται διότι δεν θα υπήρχε ο a Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 6

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 Συνεπώς ισχύει x x οπότε f () P() a 6 και f () P() a Άρα έχουμε a 6 και επειδή a ακέραιος, άρτιος είναι a 4 και c ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται τα πολυώνυμα 5 P( x ) x 55x και Q( x ) x λx με λ Α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το Q( x ) να είναι διαιρέτης του P( x ) και να γράψετε το πηλίκο της διαίρεσης Β) Να βρείτε δυο αντίστροφες ρίζες του P( x ) Προτείνει: Κουτσούκος Γιάννης wtopicphp?f=&t=46 (Απόστολος Τιντινίδης) A) Έστω P( x ) Q( x )( x ax bx c ) για κάθε Τότε για κάθε xr με a,b,c R xr έχουμε 5 5 4 x 55x x (a λ)x (aλ b )x (a bλ c )x a λ aλ b a bλ c b cλ 55 c a λ λ λ 54 b λ 55 c λ 56λ Οι δύο εξισώσεις, ως προς λ, έχουν κοινή λύση λ Τότε a,b 8 οπότε το πηλίκο είναι το και το B) Είναι ή και ή x x x 8 Q( x ) x x P x Q x x x x 8 Q( x) x 5 5 x με xx και επειδή οι ρίζες του Q( x ) είναι ρίζες και του P( x ), οι ζητούμενες αντίστροφες ρίζες του P( x ) είναι οι x,x (b cλ)x c Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 7

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα p( x ) τρίτου βαθμού για τα οποία ισχύει για κάθε p( x ) p( x ) x x, x Οπότε 4 6 a,b c d, c d, 4 6 P( x ) c d x c d x cx d, c,d, με c 4d Προτείνει: Αχιλλέας Συνεφακόπουλος Aν ΑΣΚΗΣΗ είναι μια ρίζα του πολυωνύμου wtopicphp?f=&t=944 (Ορέστης Γότσης) Έστω P( x ) ax bx cx d Παρατηρούμε ότι ax a x a x x, οπότε p( x ) p( x ) x x a x x b x x ν ν v f ( x ) αx x x x με α, να δείξετε ότι: α ρ α Προτείνει: Σπύρος Καρδαμίτσης http://wwwmathematicagr/forum/post igphp?mode=quote&f=&p=5777 (Αχιλλέας Συννεφακόπουλος) Αν ρ, η ανισότητα είναι προφανής Ας υποθέσουμε ότι ρ c d x x a x x bx x Τότε ν ν αρ ρ ρ c d a x a x a bx bx b c d a b x a b x a b c d ab a b c d Οπότε ν ν ρ ρ ρ ρ α ρ Πολλαπλασιάζοντας με ρ και λίγη άλγεβρα παίρνουμε τη ζητούμενη Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 8

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί a ώστε το πολυώνυμο P x x ax a x ax 4 ( ) να έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα Προτείνει: Αχιλλέας Συνεφακόπουλος wtopicphp?f=&t=55 (Παύλος Μαραγκουδάκης) Το πολυώνυμο γράφεται P( x) x ax ax Επομένως P( x) x ax ax Για x δεν προκύπτει λύση Για x a βρίσκουμε a, οπότε η (Γιάννης Κουτσούκος) a Η τιμή x δεν είναι λύση της εξίσωσης εφόσον δεν επαληθεύει Διαιρώντας με x η εξίσωση μετασχηματίζεται και γράφεται Θέτω οπότε x a( x ) a x x x y (*) x x y x και η εξίσωση γράφεται y ay (a ) Η διακρίνουσα της τελευταίας είναι Δy 8 4a για να έχει πραγματικές λύσεις ισοδύναμα a () Οι λύσεις τότε είναι y a a, () Για κάθε μια από αυτές η (*) γράφεται x x y x yx Και πάλι η εξίσωση θέλουμε να έχει πραγματικές λύσεις, οπότε η διακρίνουσα Δx y y 4 () Οι απαιτήσεις () και () οδηγούν στην a και με την () και μετά την επίλυση των δυο άρρητων ανισώσεων, έχουμε a a η (Παύλος Μαραγκουδάκης) Aν δούμε το Px () σαν τριώνυμο του a τότε γράφεται P( x) x a x x a x 4 Για x έχει διακρίνουσα a Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 9

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 Δ x x 4 Άρα έχουμε λύσεις μόνο όταν x οπότε Δ και a Για x δεν προκύπτουν άλλες λύσεις ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται το πολυώνυμο με v * P( x) x v v x v i Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P( x) : ( x ) ii Να αποδείξετε ότι για κάθε x ισχύει v x v vx Προτείνει: Χρήστος Τσιφάκης wtopicphp?f=&t=457&start=4 (Πάνος Γιαννόπουλος) i) x x x x ( x ) ( x ) ( x )( x x x x ) ( x )[( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( )] ( )( )[( x x x x x ) 4 ( x x x ) ( x ) ] 4 ( x ) x x x [ ( ) x ] Συνεπώς το πηλίκο είναι 4 ( x x x ( ) x ) ενώ το υπόλοιπο είναι μηδέν () ii) x x x x ( x ) ( x x x 4 ( ) x ) το οποίο ισχύει αφού x και * ΑΣΚΗΣΗ 6 ( x ), α) Να βρεθεί το πολυώνυμο f που ικανοποιεί την σχέση f ( x) f ( x ) x ( x ) για κάθε x () β) Να βρεθεί η συνάρτηση g : που ικανοποιεί την σχέση g( x ) x g( x) () για κάθε x γ) Αν το γράφημα της συνάρτησης g εφάπτεται στο γράφημα της f, να βρεθεί το a Προτείνει: Χρήστος Δερμιτζόγλου wtopicphp?f=&t=56 (Βαγγέλης Παπαπέτρος) Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 α) Έστω f ( x) a x a x a x a, x με a Τότε, το πολυώνυμο g( x) f ( x) f ( x ), x είναι βαθμού και άρα από την () προκύπτει ότι Συνεπώς, f ( x) px x m, x, p Για κάθε x είναι, f ( x) f ( x ) x ( a )( x ) px x m px px p x m x a x a ( ) ( ) px ( p) x ( m p) x a x a ( ) ( ) απ' όπου παίρνουμε ότι p, p a, m p a ή ισοδύναμα Έτσι, p, a, m f ( x) x ax, x β) Από την δοσμένη σχέση έχουμε ότι g( x) x, x ( ) Επίσης, g( x ) x x Στην τελευταία σχέση θέτοντας xx προκύπτει g( x ) x g( x) x και άρα g( x) x x ( ) Οι σχέσεις () και ( ) δίνουν g( x) x, x γ) Αν το γράφημα της g εφάπτεται στο γράφημα της f, τότε η εξίσωση έχει διπλή λύση Όμως, f ( x) g( x), x f ( x) g( x ) x ax x x a x ( ) 4 a ( a) x 4 4 ( a ) 4 4 ( a ) 6 a 4 a 4 a 5 a, τιμές για τις οποιες εύκολα βλέπουμε ότι επαληθεύουν τις αρχικές συνθήκες της άσκησης ΑΣΚΗΣΗ 7 Έστω Px () πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές ώστε οι αριθμοί P () και P () να είναι και οι δυο περιττοί Δείξτε ότι το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα Προτείνει: Ροδόλφος Μπόρης wtopicphp?f=&t= (Μιχάλης Λάμπρου) Η υπόθεση λέει ότι το p( x) a x a x a Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 έχει a a a και a περιττούς Για x άρτιο είναι px ( ) ( ά ) a = περιττός άρα μη μηδενικός Για x περιττό είναι (μόντουλο ) p( x) a a a ( mod ) άρα μη μηδενικός η (Καρδαμίτσης Σπύρος) Έστω ότι το πολυώνυμο Px () έχει ακεραία ρίζα την, τότε ισχύει P( x) ( x ) ( x) όπου το () x είναι πολυώνυμο με ακεραίους συντελεστές εφόσον το Px () έχει ακεραίους συντελεστές Η παραπάνω σχέση για x και x, δίνει: P() ( ) () και P() ( ) () με (), () ακεραίους Αλλά αφού οι αριθμοί P (), P () είναι και οι δύο περιττοί, έχουμε ότι οι αριθμοί, είναι και οι δύο περιττοί ΆΤΟΠΟ γιατί οι αριθμοί, είναι διαδοχικοί ακέραιοι και δεν μπορεί να είναι και οι δύο περιττοί Επομένως το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα η ( Κυριαζής Χρήστος) Έστω ότι το αναφερθέν πολυώνυμο, έχει ακέραια ρίζα πολλαπλότητας (, φυσικός), ας είναι Αποκλείεται να είναι γιατί P () περιττό Τότε έχουμε P( x) ( x ) ( x) με ( ) () Η () για x δίνει P() ( ) () Αποκλείεται το να είναι άρτιο, γιατί τότε P () άρτιος Άρα περιττός Η () για x δίνει P() ( ) () Όμως το είναι άρτιος αφού το είναι περιττός, δηλαδή το P () είναι άρτιος Άτοπο Συνεπώς το Px () δεν έχει ακέραια ρίζα 4 η (Μαυρογιάννης Νίκος) 'Εστω ότι P x ax a x x Ας πούμε ότι είναι μία ακέραια ρίζα του Θα είναι a a () και a a = περιττός () Αφαιρώντας από την () την () και αξιοποιώντας την ταυτότητα x x x έχουμε ότι επί κάποιο ακέραιο m Άρα ο ως διαιρέτης περιττού είναι περιττός Συνεπώς ο είναι άρτιος Το άτοπο προκύπτει από την () Στο α' μέλος ο a a είναι άρτιος και ο είναι περιττός Το άθροισμα τους είναι ο άρτιος 5 η (Πάνος Γιαννόπουλος) Αν υποθέσουμε ότι το () Pxέχει ακέραια λύση, έστω τότε: Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 P a a a a a a Επειδή το δεύτερο μέλος είναι περιττός, το δεν μπορεί να είναι άρτιος, διότι τότε το πρώτο μέλος θα ήταν άρτιος που είναι άτοπο Επομένως το είναι περιττός κι επειδή ό, το άθροισμα οφείλει να είναι περιττός Όμως στο άθροισμα αυτό οι όροι του 9 εκτός του τελευταίου είναι γινόμενα δύο παραγόντων, εκ των οποίων ο ένας είναι δύναμη περιττού ( ) δηλαδή περιττός και επομένως το περιττό ή το άρτιο της παράστασης δεν αλλάζει αν αντικαταστήσουμε τα,,,, με έναν άλλο περιττό (εν προκειμένω με τον ) Κάνοντας αυτή την αντικατάσταση παίρνουμε που είναι άρτιο και όχι περιττός όπως αναμενόταν Άρα το Px () δεν έχει ακέραια λύση ΑΣΚΗΣΗ 8 Έστω πολυώνυμο Px () με ακέραιους συντελεστές, ώστε Αν η εξίσωση P (7), P (4) 7 P( ) έχει δύο διακεκριμένες ακέραιες λύσεις τότε να υπολογίσετε το γινόμενο και το άθροισμα των ριζών αυτών Προτείνει: Βασίλης Μαυροφρύδης wtopicphp?f=&t= (Γιώργος Ρίζος) Αφού η εξίσωση P( ) Έχει δύο ρίζες άνισες, έστω, τότε P( ) ( )( ) ( ) Για 7 : (7 )(7 ) (7) Για 4: (4 )(4 ) (4) Πρέπει τα (7 ),(7 ), (4 ), (4 ) να διαιρούν το, οπότε πρέπει να είναι κάποιοι από τους ακέραιους:,,,, 5,5,, 7 8 Αν 4 6 (απορ) 7 6 Αν 4 8 (απορ) 7 9 Αν 4 5(δεκτή τιμή) 7 5 Αν 4 9 (απορ) 7 5 Αν 4 (δεκτή τιμή) 7 5 Αν Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 4 (απορ) 7 7 Αν 4 (απορ) 7 7 Αν 4 7 (απορ) Το ίδιο και για το, οπότε οι ρίζες είναι 9 και, με άθροισμα 4 και γινόμενο 48 ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται το πολυώνυμο Q( x ) x x, Να αποδειχθούν τα ακόλουθα: i) ότι το ( x ) είναι παράγοντάς του ii) ότι ο αριθμός 8 είναι πολλαπλάσιο του 64 iii) ο ( x ) δεν είναι παράγοντάς του Προτείνει: erxmer wtopicphp?f=&t=969 (Χρήστος Ντάβας) i) Q( x ) x x ( x ) ( x ) ( x )( x x ) ( x ) ( x )( x x ) ( x )[( x ) ( x ) ( x )] ( x )[( x )( x ) ( x )( x ) ( x )] Έστω Άρα ii) ( x ) [( x ) ( x ) ] p( x ) ( x ) ( x ) Q( x ) ( x ) p( x ) Q( 9) 9 9 8 Q( 9) ( 9 ) p( 9) 64 p( 9) 8 64 9 p( ) 64 8, αφού p( 9) iii) Έστω ότι το ( x ) είναι παράγοντας του πολυωνύμου Q( x ) Άρα, Συνεπώς, Όμως, Q( x ) ( x ) r( x ) ( x ) [( x )r( x )] p( x) ( x )r( x) p( ) ( ) ( ) ( ) ( ), άτοπο ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται το πολυώνυμο 4 P( x ) x ( m)x x 5x 4 Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 4

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 με x,,m Να βρείτε τους,m ώστε το πολυώνυμο να διαιρείται με τη μέγιστη δυνατή δύναμη του διωνύμου x Προτείνει: Καλαθάκης Γιώργης wtopicphp?f=&t=4 (Χρήστος Ντάβας) Έστω P( x ) ( x )q( x ) τότε P( ) m m και το πολυώνυμο γίνεται P( x ) ( x )( x ( )x x 4) Αν συνεπώς Αν P( x ) ( x ) r( x ) q( x ) ( x )r( x ) q( ) και r( x ) x x 4 P( x ) ( x ) t( x ) r( x) ( x )t( x) r( ), άτοπο γιατί r( ) Άρα η μεγαλύτερη πολλαπλότητα του διωνύμου x είναι για,m ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί το πολυώνυμο P βαθμού με P( ) το οποίο ικανοποιεί τη σχέση P( x ) P( x ) x Στη συνέχεια να υπολογιστεί το άθροισμα: S όπου θετικός φυσικός Προτείνει: Αποστόλης Κουρδουκλάς wtopicphp?f=&t=94 (Χρήστος Ντάβας) Για το πρώτο μέρος της άσκησης x P( ) P( ) P( x) x( x )(ax b) x P( ) x P( ) 5 P( x) x( x )( x ) 6 6 Για το δεύτερο μέρος της S P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P() ( )( ) P( ) 6 Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 5

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 (Γιώργος Απόκης) Έστω η P( x ) ax bx cx d (a ) Τότε P( x ) P( x ) a( x ) b( x ) c( x ) d (ax bx cx d ) ax ( a b)x (a b c ) Επομένως, έχουμε: και άρα a a ab b a b c d c 6 d 6 P( x) x x x d, d Από τη συνθήκη P( ) προκύπτει d άρα Στη σχέση 6 P( x ) x x x P( x ) P( x ) x αντικαθιστούμε διαδοχικά: και έχουμε: x, x,, x P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: P( ) P( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 6 ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα για τα οποία ισχύει: 5 P ( x ) P( x ) ( x x x ) Προτείνει: Θανάσης Κοντογιώργης wtopicphp?f=&t=487 (Μάκης Μανεάδης) Έστω ν βαθμού το P( x ) Tο πολυώνυμο άρτιες δυνάμεις και το P( x ) έχει μόνο P ( x ) είναι ν βαθμού τότε το P( x ) θα περιέχει όρους με βαθμούς ν, ν, Η διαφορά P ( x ) P( x ) πρέπει να έχει μεγιστοβάθμιο όρο τον περιττό αριθμό 5 και εφόσον το P( x ) αφαιρεί μόνο τις άρτιες δυνάμεις θα έχω ν 5 δηλ ν Άρα το P( x ) είναι oυ βαθμού Έστω P( x ) ax bx cx d, Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 6

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 τότε ο μεγιστοβάθμιος όρος του είναι 6 (a a )x P ( x ) P( x ) οπότε για να είναι 5ου βαθμού πρέπει α (απορρ) ή α Άρα P( x ) x bx cx d και αντικαθιστώντας το P( x ) στην δεδομένη σχέση έχω πολυωνυμική εξίσωση από που εξισώνοντας τους συντελεστές έχω b d,c η (Σιλουανός Μπραζίτικος) Γράφουμε Q( x ) x x Το P( x ) πρέπει να έχει βαθμό και συντελεστή μεγιστοβάθμιου ίσο με Τότε η σχέση γράφεται: οπότε P ( x ) P( x ) Q ( x ) Q( x ) ( P( x ) Q( x ))( P( x ) Q( x )) P( x ) Q( x ) και F( x )( P( x ) Q( x )) F( x ) Οπότε αν το F δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο τότε deg( F ) deg ( F ) οπότε deg( F ) αλλά από τα πρώτα έχουμε deg( F ), άρα το F είναι το μηδενικό πολυώνυμο ΑΣΚΗΣΗ Έστω ένας περιττός ακέραιος a και ένας άρτιος φυσικός v Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση: x x x x a v v δεν έχει ακέραιες ρίζες Προτείνει: Χρήστος Ντάβας wtopicphp?f=&t=4 (Γιώργος Γαβριλόπουλος) Αφού ο v είναι άρτιος οι αριθμοί 4 v x,x,x,x,,x είναι άρτιοι το πλήθος Αν η εξίσωση έχει ακέραια περιττή λύση x τότε το άθροισμα x x x x v είναι άρτιο (άθροισμα αρτίου πλήθους περιττών) Οπότε αφού ο a είναι περιττός το πρώτο μέλος είναι περιττό,άτοπο Αν η λύση είναι άρτια τότε το άθροισμα x x x v είναι και πάλι άρτιο οπότε με την πρόσθεση του περιττού a γίνεται περιττό, άτοπο και πάλι Επομένως η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις ΑΣΚΗΣΗ 4 Να δείξετε ότι τα πολυώνυμα P ( x) x x x 4 Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 7

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 ( )x x ( ) όπου θετικός ακέραιος, δεν έχουν πραγματικές ρίζες Προτείνει: Απόστολος Τιντινίδης wtopicphp?f=&t=497 (Κώστας Ζερβός) Η εξίσωση δεν έχει ρίζα αρνητικό αριθμό ή το, αφού αν x, τότε P ( x) x x x x 4 ( )x x ( ) Για x έχουμε: xp ( x) x x x x 4 ( )x x ( )x Άρα Αλλά xp ( x ) P ( x ) x x x x x x x x x x x x x x x ( x) x x x x (άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου με a x, λ x) Άρα x x ( x )P ( x) x ρ ρ ρ ρ ( )( ρ ) που είναι αδύνατη, αφού το ο μέλος είναι θετικό και το ο αρνητικό ΑΣΚΗΣΗ 5 Βρείτε όλα τα πολυώνυμα Px () τέτοια ώστε P x P x x ( ) 8 ( ) ( ) Προτείνει: socrates wtopicphp?f=&t=847 (Κακαβάς Βασίλειος) Λόγω της ισότητας των πολυωνύμων ο βαθμός του Pxείναι () Τώρα, αν το P x x x ( ), από την ισότητα, θα προκύψει ότι 4 x x (8 ) x (8 4) x 8 4 και λόγω της ισότητας θα έχουμε 4 8, 8 4, 8 4 από όπου και τότε 4,, 4 7 Έστω ρ ρίζα του P ( x ), τότε Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 8

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 4 4 7 P() x x x Τώρα, αν και P( x) x x, το P( x) x x, και λόγω της ισότητας P( x) 8 P( x) ( x ) θα έχουμε ότι αναγκαία ότι άρα 8 8 P x x x x ( ), και από την ισότητα προκύπτει ότι P( x) 8 P( x) ( x ) 8 x 4 x x 8 x (8 ) x (8 4) x 8 4 και λόγω της ισότητας έχουμε ότι 8 8, 4 8, 8 4, 8 4, οπότε * 4 R,,, 4 7 ΑΣΚΗΣΗ 6 Βρείτε όλα τα πολυώνυμα P που ικανοποιούν τη σχέση: p(a b c ) p(b c a ) p(c a b) p(a b) p(b c ) p(c a ) Προτείνει: Θανάσης Κοντογιώργης wtopicphp?f=&t=8497 (Θάνος Μάγκος) Ξεκινάμε με την παρατήρηση, ότι το μόνο σταθερό πολυώνυμο που ικανοποιεί τη δοθείσα είναι φανερά το μηδενικό πολυώνυμο Αναζητούμε, τώρα, άλλα πολυώνυμα θετικού βαθμού Καταρχάς, από την () για a b c, βρίσκουμε P( ) Θέτουμε στην (): bc, οπότε βρίσκουμε P( a ) P(a) P( a ) για κάθε a () Ας είναι P( x) ax a x ax Συγκρίνοντας στην () τους συντελεστές του μεγιστοβάθμιου όρου, προκύπτει ( ) Από εδώ είναι προφανές ότι ή, οπότε επειδή είναι P( ), ελέγχουμε τα πολυώνυμα της μορφής P( x) x και P( x ) x mx Είναι ένα απλό θέμα πράξεων να διαπιστώσουμε, ότι και τα δύο ικανοποιούν την αρχική Συμπέρασμα: Τα ζητούμενα πολυώνυμα είναι όλα της μορφής P( x ) x mx, με,m Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 9

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P( x ) με πραγματικούς συντελεστές για τα οποία ισχύει: ( x )P( x ) ( x )P( x ) xp( x ) Προτείνει: Θανάσης Κοντογιώργης http://wwwmathematicagr/forum/post igphp?mode=quote&f=&p=95 7 (Θάνος Μάγκος) Θέτοντας Q( x) P( x ) P( x) η συναρτησιακή γράφεται ( x )Q( x) ( x )Q( x ) Για x βρίσκουμε Q( ), P( x ) P( x ) cx cx Θέτοντας P( x) a x βρίσκουμε εύκολα ότι, οπότε αντικαθιστώντας P( x ) ax bx cx d βρίσκουμε τελικά P( x ) ax ax d, a,d ΑΣΚΗΣΗ 8 Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της συνάρτησης f ( x) f ( ) x f () x f (), στο διάστημα (,) Προτείνει: Λάμπρος Μπαλός wtopicphp?f=&t=4759 άρα Q( x ) xr( x ) (Βαγγέλης Παπαπέτρος) Η συνάρτηση f με τύπο και η παραπάνω σχέση γράφεται xr( x) ( x )R( x ) Για x βρίσκουμε R( ), άρα R( x) ( x )g( x) και η παραπάνω σχέση γράφεται άρα g( x ) c, οπότε προκύπτει g( x) g( x ), f x f x f x f ( ) ( ) () () είναι ορισμένη στο Είναι: f ( ) 8 f ( ) f () f () 9 f ( ) f () f () f () 7 f ( ) f () f () 7 f ( ) f () f () και από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι: Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 9 f ( ) f () 7 f ( ) f () 4 f () 6 f ( ) f () 9 f ( ) και τότε: Ώστε, με f () 9 f ( ) f () f x f x f x f ( ) ( ) 9 ( ) 9 ( ) x Αν f ( ), τότε f ( x), x και άρα η f έχει άπειρες ρίζες στο, Έστω ότι f ( ) Τότε, για x έχουμε: f ( x) x 9x 9 Ας είναι x, τέτοιο ώστε x 9x 9 x 9x 9 Αν x,, τότε: 9 x 9x 9 x x άτοπο Αν x,, τότε: x 9x 9 9 9 9 8 9 8 x x, άτοπο διότι x, Συνεπώς, σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση f ( x),x, δεν έχει καμία ρίζα στο, ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν f ( x) x ax bx c, a, b, c και τότε να αποδείξετε πως: max f (), f ( ), f ( ), f ( ) Προτείνει: Χρήστος Κυριαζής wtopicphp?f=&t=4496 (Δημήτρης Σκουτέρης) Εχουμε f ( ) f () f ( ) f ( ) f ( ) f () f ( ) f ( ) (επειδή ) Η ανισότητα μεταξύ πρώτου και τελευταίου όρου μας δίνει το συμπέρασμά μας η (Χρήστος Κυριαζής) Ας υποθέσουμε πως: max f ( ), f ( ), f (θ ), f ( θ ) θ Τότε: f ( ) θ, f ( ) θ, f(θ ) θ, f( θ ) θ Πιο χειροπιαστά, ισχύει: α b c θ α b c θ Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 και a b c,,, 4 και τέτοιες ώστε να ισχύει a b c Οι δύο πρώτες με πρόσθεση δίνουν: a b c a b c a b c a b c Απ'όπου: και 4 4 4,,, να προσδιοριστούν οι α,β,γ αν ισχύει 4 b θ θ b θ () Επιπλέον οι δύο τελευταίες σχέσεις, με πρόσθεση πάλι δίνουν: a b c a b c Δηλαδή: a b c a b c b b b () Απο τις () και () λαμβάνω εύκολα: Άτοπο,αφού το θ είναι μεγαλύτερο ή ίσο του Άρα δεν ισχύει η αρχική μας υπόθεση Συνεπώς max f ( ), f ( ), f (θ ), f ( θ ) θ ΑΣΚΗΣΗ Θεωρούμε το πολυώνυμο P x x x x x 4 ( ) με πραγματικές ρίζες Προτείνει: Θωμάς Ραικόφτσαλης wtopicphp?f=&t= (Αλέξανδρος Συγκελάκης) Από την ανισότητα ΑΜ ΓΜ έχουμε 4 4 4 4 4 4 (διότι από τους τύπους Vieta (ή από εκ ταυτότητος ίσα πολυώνυμα) αν γράψουμε P( x) ( x )( x )( x )( x ) έχουμε 4 4 () Αφού λοιπόν ισχύει η ισότητα, άρα πρέπει 4 4 Λόγω της () όλοι είναι μη μηδενικοί, άρα, 4 Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 που λόγω της () παίρνουμε 4 Και πάλι από την ανισότητα ΑΜ ΓΜ έχουμε 4 4 άρα αφού ισχύει η ισότητα, άρα αναγκαστικά πρέπει ( ) 4 Αν το πολυώνυμο έχει πραγματικές ρίζες, τότε να δείξετε ότι f () Μάγκος Θάνος Πηγή: Στήλη Μαθηματικών, Κώστας Δόρτσιος Προτείνει: Παπαδόπουλος Στράτος άρα τελικά, 4 οπότε τα i είναι ίσα με και συγκεκριμένα, α) είτε όλα είναι ίσα με, β) είτε είναι ίσα με και τα υπόλοιπα είναι ίσα με, γ) είτε όλα είναι ίσα με Όμως λόγω των τύπων Vieta (ή από εκ ταυτότητος ίσα πολυώνυμα) έχουμε 4 4 4 4 Άρα b b b 4 4 4 4 απ' όπου βρίσκουμε τα,, αναλόγως σε ποια περίπτωση από τις α, β, γ βρισκόμαστε ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται το πολυώνυμο με f ( x) x a x a x a, a,, a wtopicphp?f=&t=78 wtopicphp?p=785#p785 (Παύλος Μαραγκουδάκης) Oι ρίζες της εξίσωσης είναι όλες θετικές Επομένως Τότε Είναι Άρα f ( x) ( x b )( x b )( x b ), b, b,, b f () ( b )( b )( b ) b i bi b i () f b b b η (Μιχάλης Λάμπρου) Το βελτιώνουμε λίγο δείχνοντας ότι για x ισχύει Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 f ( x) ( x ) Για x δίνει το ζητούμενο Επειδή οι ρίζες είναι υποχρεωτικά αρνητικές είναι f ( x) ( x b ) ( x b ) x S x S x Εδώ bb b Από ΑΜ ΓΜ έχουμε S b b b b To άθροισμα S γινομένων ανά δύο, S bb b b, έχει όρους άρα από ΑΜ ΓΜ με παρόμοιο επιχείρημα και χρήση της bb b έχουμε S Γενικά (παρόμοιο) είναι Έχουμε λοιπόν για x ότι S f ( x) x S x S x x ( x ) όπως θέλαμε ΑΣΚΗΣΗ Έστω () x μη σταθερό πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές κανένας εκ των οποίων δεν είναι μικρότερος του Αν έχει ρίζα τον αριθμό, να αποδείξετε ότι δεν έχει ρίζα το Προτείνει: Νίκος Αντωνόπουλος, wtopicphp?f=&t=87 (Γεώργιος Κώστας) Έστω () x το πολυώνυμο που θα είναι τουλάχιστον τρίτου βαθμού P( x) ( a x a x a x a ) ( x x ) a x ( a a ) x ( a a a ) x ( a a a ) x ( a a ) x a Πρέπει οι συντελεστές να είναι ακέραιοι και μεγαλύτεροι ή ίσοι του Έχουμε a a a a ( ) και επαγωγικά a a a ( ) ( ) φτάνω μέχρι, από το συντελεστή του όρου x έχουμε a a a a γιατί ο a είναι μεγιστοβάθμιος και άρα διάφορος του και θετικός από την προηγούμενη κατασκευή Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 4

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 Δηλαδή που είναι άτοπο ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα P() x x ax bx c με θετικές πραγματικές ρίζες x, y, z που ικανοποιούν τις σχέσεις i a c b 4 ii x y z x y z Προτείνει: Κώστας Παππέλης wtopicphp?f=8&t=6778&p=68 (Θάνος Μάγκος) Από την ανισότητα των δυνάμεων ισχύει x y z x y z οπότε αν m x y z x y z είναι άρα m ( ) m m, και η ισότητα ισχύει αν x y z Ακόμα, από την ταυτότητα x y z xyz x y z ( ) ( x y z) ( xy yz zx ) και από τους τύπους Vieta, προκύπτει, c 4 ( ) b a m c a a b a ab c a ab b 6a Αποδεικνύουμε ότι m a ab b a 6 a 6a 9 b( a ) Αν a, είναι a a 6 9, ενώ το δεξί μέλος είναι αρνητικό Αν a αποδεικνύουμε ότι a 6a9 b ( a ) Λόγω της προφανούς αρκεί να αποδείξουμε ότι δηλαδή ότι a, b a 6a 9 a, ( a ) ( ), a που ισχύει Τελικά δηλαδή είναι και m, οπότε σε συνδυασμό με την ( ) προκύπτει m, άρα x y z Συμπέρασμα: P( x) ( x ) ΑΣΚΗΣΗ 4 Αν τα ακέραια πολυώνυμα P() x x ax b και Q( x) bx a x 5abx a b, με ab, έχουν κοινή ρίζα τότε, να δείξετε ότι το Qxέχει () διπλή ρίζα Προτείνει: Απόστολος Τιντινίδης Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 5

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 wtopicphp?f=&t=478&p=97586 (Αντώνης Ζητρίδης) Έστω r η κοινή ρίζα Απ'το πολυώνυμο P έχουμε Απ'το Q: r b ar () b( b ar) a r 5abr a b ar br a a( b ar) br ra a r Από () βρίσκουμε, λοιπόν, br Οπότε Q( x) r x 8r x r x 5r 4 5 6 Επιλύοντας την εξίσωση Q( x ) ( Qη παράγωγος του Q) προκύπτει xr ή x5r Παρατηρώ ότι Q( 5 r ), άρα το Q έχει πράγματι διπλή ρίζα τη x5r Άρα θα είναι c r r 4 4 8, 5 d cr r, 5 6 dr r Από αυτές τις σχέσεις παίρνουμε Οπότε 4 5 c r, d 5r Q( x) r ( x r)( x rx 5 r ) ( )( 5 ) r x r x r Άρα το πολυώνυμο Qx () έχει διπλή ρίζα x5r Παρατήρηση: Η παραγοντοποίηση του Q( x) r( x 9rx 5r x 5 r ) μπορεί να γίνει και με σχήμα Horer ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P με πραγματικούς συντελεστές που έχουν την ιδιότητα P( x) P(x ) P( x ) P(x ), x η (Γιώργος Βισβίκης) Θα τη λύσω από το σημείο Q( x) r x 8r x r x 5r και κάτω, επειδή βρίσκεται σε φάκελο Β Λυκείου και οι μαθητές δεν ξέρουν παραγώγους 4 5 6 Κατ' αρχήν r, γιατί αλλιώς θα ήταν ab Q( x) ( x r) r x cx d 4 ( ) ( ) r x c r x d cr x dr Προτείνει: Βασίλης Μαυροφρύδης wtopicphp?f=59&t=646 (Νίκος Ζανταρίδης) Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: P x P x P x P x ( ) ( ) ( ) ( ) : () Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 6

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 Κάθε σταθερό πολυώνυμο P() x c ικανοποιεί την () Έστω Px () ένα μή σταθερό πολυώνυμο και έστω ( P( x)) Επειδή το Px () είναι μή σταθερό πολυώνυμο έπεται ότι υπάρχει xo ώστε: P( x), x x o ( ) Έτσι για κάθε x x o, έχουμε: όπου: P(x ) P(x ) () Px ( ) Px () f x ( ) f ( x) : () P(x) f() x Px () Λόγω της () προκύπτει ότι για κάθε x x o έτσι: ισχύει: f ( x) f ( x ), * lim f ( x) lim f ( x ) lim f ) P( ) lim f( x) P( ) P(x) Px () P(x ) P( x) ( ) ( ) ( P(x )) ( ( P( x))) P (x ) P ( x): ( ) ( ) P (x ) P ( x): ( ) () () ( ) ( ) ( ) P (x ) P ( x): ( ) Από τις ( ),( ),( ) για x προκύπτει ότι: ( ) P() P() P () Άρα το Px () έχει παράγοντα το ( x ) και επειδή είναι βαθμού έπεται ότι είναι της μορφής: P( x) ( x ), (ικανοποιεί την υπόθεση) Επομένως το Px () είναι οποιοδήποτε σταθερό πολυώνυμο ή είναι της μορφής: P( x) x, όπου οποιοσδήποτε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός και οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος ΑΣΚΗΣΗ 6 Έστω τα πολυώνυμα p x x x x x 6 8 ( ) ( )( ) ( )( ) και q x x x x 6 5 ( ) Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης p( x) : q( x ) Προτείνει: Νίκος Κατσίπης wtopicphp?f=&t=497 Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 7

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 (Δημήτρης Σκουτέρης) Το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι εκείνο το πολυώνυμο rx, () το πολύ 5ου βαθμού, το οποίο, στις ρίζες του qx () (δηλ στις 7-ες ρίζες της μονάδας εκτός του ) έχει την ίδια τιμή με το px () Η τιμή του px () στο i e 7 ( mod7) είναι 8 m, m7 e m i 7 Αφού όμως ο 7 είναι πρώτος και ο είναι μονάδα του, τα γινόμενα m θα είναι ακριβώς τα μη μηδενικά στοιχεία του Δηλαδή το γινόμενο γίνεται 7 7 6 m i 7 e q() 7 m Αφού λοιπόν το rx () έχει σταθερή τιμή στις ρίζες του q και είναι βαθμού το πολύ 5, σημαίνει πως είναι το σταθερό πολυώνυμο με τιμή 7 ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται το πολυώνυμο Px () αx βx γx δ Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, δ αν για κάθε ν θετικό ακέραιο ισχύει η σχέση: P() P() P() P( ν) ν 4 Προτείνει: Καρδαμίτσης Σπύρος wtopicphp?f=&t=47 (Κωνσταντόπουλος Γιώργος) P() P() P() P( ν) ν α β γ δ α β γ δ 4 αν β ν γν δ ν α ν β ν α 4 γ ν νδ ν ν ν ν ν ν β 4 6 4 νν γ νδ ν ν 4 ν ν ν ν ν α β 4 6 ν ν γ νδ ν α α β α β γ 4 4 4 ν ν ν άρα β γ ν δ ν 6 α α 4 και 4 α β β 6 και α β γ γ 4 και 4 4 4 4 Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 8

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 β γ δ δ 6 (Θάνος Μάγκος) Θέλουμε να ισχύει η 4, a b c η οποία, λόγω των σχέσεων γράφεται ( ) ( ) ( )( ), 6 ( ) a 4 a b a b c 4 4 b c d 6 Εξισώνοντας αντίστοιχους συντελεστές βρίσκουμε Άρα, 4 a 4, b 6, c 4, d f x x x x ( ) 4 6 4 η (Μιχάλης Λάμπρου) Είναι 4 P P P P και άρα P P P P Αφαιρώντας είναι οπότε P( ) ( ) 4 4 a b c d 4 6 4 Συγκρίνοντας συντελεστές (υπόψη ότι ως πολυώνυμα που είναι ίσα για άπειρα, ταυτίζονται) είναι αμέσως a 4, b 6, c 4, d ΑΣΚΗΣΗ 8 Να βρεθεί ο ακέραιος a, ώστε το x x a να διαιρεί το Προτείνει: Θάνος Μάγκος x x 9 wtopicphp?f=&t=45784 (Δημήτρης Κανακάρης) x x a x x 9 Για x a 9 5 Για x a 9 Οπότε a, Αν a τότε 9 mod Αδύνατον Αν a τότε ( ) 5 9 mod 5 Αδύνατον ( ) 4 Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 9

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 Αν a τότε 9 Αδύνατον Άρα το μόνο πιθανό a είναι a 9 x x 9 ( x x )( x x x 8 7 6 5 4 x x 5x 7x x 7x x x 45) η (Αλέξανδρος Συγκελάκης) Θέλουμε x x 9 ( x x a) p( x) όπου το p(x) είναι πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές Για x και x παίρνουμε ότι a 9 και a 9 αντίστοιχα άρα a, Για a έχουμε x x mod x x οπότε x x x ( x ) x x x x x x x mod οπότε τελικά 4 x x x x x 9 9 4 ( ) x x 9 x 9 mod x x Για a έχουμε x x x x mod, άρα κάθε φορά που βρίσκουμε το μπορούμε να το αντικαθιστούμε με x οπότε αποκλείεται να έχουμε x x x x x 9 mod αφού το x x 9 μετά τον όποιο υποβιβασμό στη δύναμη, θα περιέχει πάντοτε όρους με θετικούς συντελεστές Για a έχουμε x x mod x x οπότε x x x ( x ) x x x x x x mod κι έτσι 5 x x x ( x )( x ) 4 x 4 x 6 x mod x x Άρα λοιπόν 5 x x x x x 9 ( ) 9 (6 x) ( x ) x 9 ( x x 6)( x ) x 9 ( x 4)( x ) x 9 x x 4x 68 x 9 mod x x οπότε η τιμή a είναι δεκτή Με ακριβώς όμοιο τρόπο όπως παραπάνω απορρίπτεται η τιμή a Έτσι η μόνη δεκτή τιμή είναι η a ΑΣΚΗΣΗ 9 Έστω gx ( ) πολυώνυμο και ας είναι f ( x ) = x x g( x ) Να αποδείξετε ότι το f( x) δεν διαιρείται από το x x Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 Από τη Loglist της ΔΜΟ 976, προταθέν από τις ΗΠΑ άτοπο ΑΣΚΗΣΗ 4 Προτείνει: Θάνος Μάγκος wtopicphp?f=&t=66&p=686 9 (Κοτρώνης Αναστάσιος) Έστω r( x) [ x] (με μιγαδικούς συντελεστές) μη μηδενικό Για δυο πολυώνυμα λέμε ότι Αν τώρα τότε Όμως f ( x),g( x) [ x] f ( x ) g( x ) mod r( x ) αν r( x) f ( x ) g( x) f ( x ) mod x x, x xg( x ) mod x x x x mod x x άρα θα είναι και x mod x x, x xg( ) mod x x, οπότε x g( ) mod x x, Βρείτε τα πολυώνυμα P( x ) [ x] για τα οποία ισχύει P( x ) x[ P( x ) P( x )] P ( x ) x Προτείνει: Θάνος Μάγκος wtopicphp?f=&t=595&p=495 9 (Δημήτρης Χριστοφίδης) Είναι P( x ) x P ( x ) xp( x ) xp( x ) Θέτοντας όπου x το P( x ) x x παίρνω και P ( x ) xp( x ) xp( x ) Αφού τα αριστερά μέλη των δύο εξισώσεων είναι ίσα, εξισώνοντας τα δεξιά μέλη παίρνω P ( x ) P ( x) 4x( P( x ) P( x )) ή ισοδύναμα ( P( x ) P( x))( P( x) P( x ) 4x) Θέτω Τότε είναι Q( x ) P( x ) P( x ) και R( x) P( x) P( x) 4x Q( x )R( x ) Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 οπότε τουλάχιστον ένα από τα Q,R έχει άπειρες ρίζες και άρα είναι το μηδενικό πολυώνυμο Έστω ότι Q( x ), άρα P( x) P( x) Αντικαθιστώντας στην αρχική και κάνοντας αλγεβρικές πράξεις, παίρνω P( x ) x ( P( x ) x ) Δηλαδή, αν θέσω τότε είναι T( x) P( x) x T( x ) T( x ) Ισχυρίζομαι ότι είτε T( x ) είτε T( x ) x (Επιτρέπεται ) για κάποιο φυσικό Για την απόδειξη του ισχυρισμού θα δείξω αρχικά ότι το T( x) δεν μπορεί να είναι άθροισμα δύο ή περισσότερων (μη μηδενικών) μονωνύμων Έστω ότι συμβαίνει αυτό και ότι τα δυο μονώνυμα με τον μεγαλύτερο βαθμό είναι βαθμού και m αντίστοιχα με m Τότε στο μεν T( x ) οι μεγαλύτεροι βαθμοί είναι και m, στο δε T( x ) είναι και m, άτοπο Αν τώρα T( x) a x είναι άμεσο ότι a a και άρα a ή a Οπότε έχω τις λύσεις P( x ) { x, x,x,x x,x x, } Επειδή όμως σε αυτήν την περίπτωση είναι P( x) P( x) μένουν μόνο οι λύσεις 5 P( x ) { x, x,x x,x x, } Εύκολα ελέγχεται ότι όλες αυτές είναι λύσεις [Άμεσο ότι για όλα ισχύει P( x) P( x), οπότε η αρχική είναι ισοδύναμη με την T( x ) T( x ) κτλ] Στην περίπτωση όπου R( x ) με παρόμοιο τρόπο λαμβάνω S( x ) S( x ) όπου S( x) P( x ) x Αυτό δίνει P( x ) { x, x, x,x x,x x, } Επειδή όμως σε αυτήν την περίπτωση είναι P( x ) P( x ) 4x μένουν μόνο οι λύσεις 4 P( x ) { x, x,x x,x x, } Εύκολα ελέγχεται ότι όλες αυτές είναι λύσεις Οπότε εν τέλει είναι P( x ) { x, x, x,x x,x x, 4 5 x x,x x, } ΑΣΚΗΣΗ 4 Να λύσετε την εξίσωση: ( x )( x 4)( x )( x 5) 6 Προτείνει: Αποστόλης Κουρδουκλάς Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 wtopicphp?f=&t=948 (Πάνος Γκριμπαβιώτης) ( x )( x 5) ( x )( x 4) 6 ( 7 )( 7 ) 6 x x x x Θέτουμε y x 7x και η εξίσωση γίνεται y y y y ( ) 6 6 η οποία έχει λύσεις τις 8, Άρα: x 7x 8 ή x x 7 Η πρώτη δίνει λύσεις τις, 8 και η δεύτερη είναι αδύνατη (Ηλίας Καμπελής) Θέτοντας η 7 7 w x x w η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: w 6 w w w 9 w 6 4 w 4 4 6w 4w 575 Λύνοντας την παραπάνω διτετράγωνη βρίσκουμε: 568 w, απορρίπτεται και 8 9 w w 4 Με Με 9 w είναι x 9 w είναι x 8 η (Μιχάλης Λάμπρου) Αφού οι παράγοντες ( x ),( x 4),( x ),( x 5) διαφέρουν κατά μία μονάδα, πονηρευόμαστε μήπως το 6 γράφεται ως γινόμενο διαδοχικών ακεραίων Με μικρές δοκιμές βρίσκουμε 456 6 Αμέσως αμέσως έχουμε και την ανάλυση ( 6) ( 5) ( 4) ( ) 6 Άρα έχουμε τις λύσεις x, x 6, δηλαδή x, x 8 Τώρα εύκολα βρίσκουμε τις άλλες δύο ρίζες, αφού διαιρέσουμε με το ( x)( x 8) Αν έκανα σωστά τις πράξεις, ( x )( x 4)( x )( x 5) 6 ( x )( x 8)( x 7x ) και οι άλλες δύο ρίζες είναι οι 7 i 7 Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 4 η Το συμπέρασμα είναι προφανές αν το (Sotosbarl) Θέτουμε x y οπότε η εξίσωση γίνεται: y( y )( y )( y ) 6 y( y )( y )( y ) 6 y( y )( y )( y ) 9 () Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών αριθμών αυξημένο κατά είναι τέλειο τετράγωνο και ισχύει η ταυτότητα: y( y )( y )( y ) ( y y ) Άρα η () γίνεται: ( y y ) 9 ( )( 8) y y y y Οπότε παίρνουμε τις λύσεις: y και y 6 Άρα x και x 8 ΑΣΚΗΣΗ 4 Έστω P( x ) πολυώνυμο βαθμού ν με * ν με πραγματικούς συντελεστές Αν το P ( x ) διαιρεί το P( x ), να δείξετε ότι το P( x ) είναι της μορφής: ν P( x ) a( x ρ),a,ρ Προτείνει: Νίκος Ζανταρίδης wtopicphp?f=7&t=7547 (Σπύρος Καπελλίδης) πολυώνυμο είναι ου βαθμού Έστω λοιπόν ότι το πολυώνυμο είναι βαθμού Έχουμε p( x) a( x r )p ( x) p ( x) ap ( x) a( x r )p ( x) () Αν p (r ), τότε η () δίνει Άρα p (r ) ap (r ) a ( ) p ( x) p ( x ) ( x r )p ( x) p ( x ), άτοπο Συνεπώς p (r ) Υποθέτουμε ότι ο r είναι ρίζα του p με βαθμό πολλαπλότητας και p ( x ) ( x r ) q( x ), q(r ) και το q( x ) είναι πολυώνυμο βαθμού τουλάχιστον Τότε p( x ) a( x r ) q( x ) p ( x ) a( )( x r ) q( x ) a( x r ) q ( x ) () q( x) a( )q( x) a( x r )q ( x) Συνεπώς η () γράφεται ( )q( x) ( )q( x) ( x r )q ( x) Άρα q ( x ), άτοπο p ( x ) ( x r ) και το ζητούμενο αποδείχθηκε Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 4

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 η (Νίκος Μαυρογιάννης) Θέλουμε να δείξουμε ότι το πολυώνυμο μας έχει μόνο μία ρίζα Το πηλίκο της διαίρεσης P : P θα είναι πρωτοβάθμιο και επομένως Px ax ρp x Θα δείξουμε ότι όλες οι ρίζες του P είναι ίσες με ρ Πράγματι αν το P έχει ρίζα t ρ αυτή θα ήταν αναγκαστικά ρίζα του P Επιλέγουμε την t να είναι η εγγύτερη δυνατή προς την ρ που σημαίνεί πως μεταξύ των t,ρ δεν υπάρχει άλλη ρίζα του P και φυσικά ούτε του P Από εφαρμογή του θεωρήματος Rolle στο διάστημα με άκρα τα t,ρ έχουμε το επιθυμητό άτοπο ΑΣΚΗΣΗ 4 Πως θα αποδείξουμε ότι το πολυώνυμο x x x P( x ) x!! ( )! δεν έχει πραγματικές ρίζες; Προτείνει: Σπύρος Καπελλίδης wtopicphp?f=56&t=7 (Θάνος Μάγκος) Ας παρατηρήσουμε ότι ισχύει m x P( x ) P ( x ) () ( m ) m! Καταρχάς, το πολυώνυμο δεν έχει πολλαπλή ρίζα Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι το x είναι τουλάχιστον διπλή ρίζα του πολυωνύμου, θα πρέπει να ισχύει P( x) P ( x), οπότε λόγω της () είναι x, άτοπο, αφού προφανώς το δεν είναι ρίζα Άρα αν το πολυώνυμο έχει πραγματική ρίζα a θα έχει και δεύτερη ρίζα b ( a b) αφού είναι άρτιου βαθμού Θεωρούμε τη συνάρτηση Είναι x g( x ) e P( x ) m x x g ( x) e m! (και η ισότητα ισχύει μόνο αν x ) Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο Οπότε, επειδή a b είναι g( a ) g(b), άτοπο, αφού g(a) g(b) η (Κώστας Σερίφης) Μια σκέψη και μια γρήγορη παρουσίασή της Γενικότερα ισχύει: ( ) ( ) x P ( x ) P ( x ) ( ), ( )! για,, και ( ) P ( x ) (επαγωγικά και ξεκινώντας από την παράγωγο) να κάνω την απόδειξη με ανάποδη επαγωγή! ( ) Ισχύει: P ( x) για κάθε,, Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 5

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 Απόδειξη Για ισχύει αφού ( ) P ( x ) ( ) Αν ισχύει για : P ( x ), θα δείξω ότι ισχύει για Είναι ( ) P ( x ) ( ) P ( x ) άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και εφόσον είναι πολυώνυμική συνάρτηση περιττού βαθμού θα έχει μοναδική ρίζα, έστω ρ ( ) Άρα η P ( x ) παρουσιάζει ελάχιστο για x ρ το ( ) ( ) ρ P (ρ) P ( ρ) ( )! ρ ( )! (χρησιμοποιήθηκε η ()) Άρα ( ) P ( x ) Συνεπώς, κάθε άρτια παράγωγος είναι θετική και κάθε περιττή είναι πολυωνυμική περιττού βαθμού και γνησίως αύξουσα Έτσι, έχει μοναδική ρίζα στην οποία η αρχική της παρουσιάζει ελάχιστο με τιμή θετική Δηλαδή η P ( x ) έχει μοναδική ρίζα στην οποία η P( x ) έχει ελάχιστο με θετική τιμή Το, δεν μηδενίζει καμιά παράγωγο και, βέβαια, ούτε την P( x ) η (Μιχάλης Λάμπρου) Αλλιώς: Για x όλοι οι όροι είναι θετικοί, οπότε δεν μηδενίζεται Μένει να δείξουμε ότι δεν μηδενίζεται ούτε για x Θα δείξουμε κάτι παραπάνω: Για κάθε και x ισχύει όπου P ( x) e P ( x) (*), x m x x x P m( x) x!! m! Από αυτό έπεται το ζητούμενο αφού x e Ένας τρόπος να δείξουμε την (*) είναι επαγωγικά Για απλό Για το επαγωγικό βήμα ολοκληρώνουμε την (*) από X έως οπότε x X X X P ( x )dx e dx P ( x )dx Άρα X X X X!! ( )! X e X X X X!! ( )! που σημαίνει P ( X ) e P ( X ) X Άλλη μία τέτοια ολοκλήρωση δίνει το ζητούμενο P ( X ) e P ( X ) X Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 6

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 ΑΣΚΗΣΗ 44 Αποδείξτε ότι, αν το πολυώνυμο X X X μπορεί να γραφεί σαν το γινόμενο δύο μονικών πολυωνύμων με πραγματικούς μη αρνητικούς συντελεστές, τότε αυτοί είναι ή Προτείνει: Vzf wtopicphp?f=59&t=677 (Δημήτρης Χριστοφίδης) Έστω X p( X )q( X ) όπου p,q έχουν τις ζητούμενες ιδιότητες Επειδή το πολυώνυμο διαιρεί το X, όλες οι ρίζες του πολυωνύμου είναι ρίζες της μονάδος και άρα το ίδιο ισχύει και για τα p,q Αν τώρα p( w), τότε ww και επειδή το p έχει πραγματικούς συντελεστές, τότε Επομένως, αν p( w) p w r r p( X ) X ar X a X a πρέπει, a ar για κάθε r, όπου a Ομοίως αν s s q( X ) X bs X b X b τότε bb για κάθε r, s όπου bs Κοιτάμε τώρα τον συντελεστή του στο γινόμενο p( X )q( X ) και καταλήγουμε ότι ar b ab r br Επειδή όλα τα a i,b j είναι μη αρνητικά, έπεται ότι ab r για κάθε r Γνωρίζουμε όμως ότι a ar και άρα ab για κάθε r Έστω τώρα ώστε ο ελάχιστος δείκτης a {, } ή b {, } ell r r X Κοιτάζοντας τώρα τον συντελεστή του X παίρνουμε a a b a b b Επειδή το είναι ελάχιστο συμπεραίνουμε ότι a b πρέπει να είναι ακέραιος Άρα πρέπει a,b Αυτό όμως είναι άτοπο Αποδείξαμε λοιπόν ότι όλοι οι συντελεστές του p( X ) ισούνται είτε με είτε με Ομοίως δείχνουμε το ίδιο και για τους συντελεστές του q( X ) και το ζητούμενο αποδείχθηκε Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 7

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 ΑΣΚΗΣΗ 45 Όμως Να βρείτε όλα τα μονικά πολυώνυμα τέτοια ώστε i) P( x) [ X ] P( x P( x)) x P( P( x )), ii) P( ) Προτείνει: Θανάσης Κοντογιώργης wtopicphp?f=&t=545&p=55 (Δημήτρης Σκουτέρης) Από την δεύτερη συνθήκη μπορώ να γράψω P( ) a για κάποιο a Αφού το P είναι μονικό τότε P( x ) ( x x ) ( x x ) όπου x,,x οι μιγαδικές ρίζες του P (όχι απαραίτητα διαφορετικές) Τότε P( x i ) και άρα από την πρώτη συνθήκη (θέτοντας x x ) παίρνω που δίνει Δηλαδή xi xi a a ή xi a r s P( x ) ( x a ) ( x a ) για κάποια r,s i r s r a P( ) a ( ) Επειδή a πρέπει rs (παίρνοντας απόλυτες τιμές) και r περιττός Άρα r s Δηλαδή P( x ) x a Το συγκεκριμένο πολυώνυμο όμως δεν ικανοποιεί την πρώτη συνθήκη για καμία τιμή του a Άρα τέτοια πολυώνυμα δεν υπάρχουν ΑΣΚΗΣΗ 46 i Να λυθεί στο η εξίσωση z z ii Για τα πολυώνυμα P,Q,W : ισχύει: P z z Q z z z W( z ) για κάθε z Να δειχθεί ότι ο αριθμός είναι κοινή ρίζα των τριών πολυωνύμων, P, Q, W Προτείνει: Ραϊκόφτσαλης Θωμάς wtopicphp?f=7&t=759&p=4#p 4 (Θάνος Μάγκος) i Παίρνοντας μέτρα στην εξίσωση βρίσκουμε ότι το μέτρο του z θα ικανοποιεί την Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 8

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 άρα z x x Τότε η εξίσωση γίνεται με λύσεις τις z, π π z cos i si,,, και αυτές ικανοποιούν την αρχική ii Ίδια με 976 USAMO; (Αχιλλέας Συνεφακόπουλος) 'Εστω,ξ,ζ ξ οι κυβικές ρίζες της μονάδος στο Τότε και P( ) ξq( ) (), P( ) ζq( ) () P( ) Q( ) W( ) () Από (), αρκεί να ισχύει Από (), () έπεται P( ) Q( ) ( ξ ζ )Q( ), οπότε Q( ), κι άρα και P( ) http://wwwartofproblemsolvigcom/ Wii /Problem_5 ΑΣΚΗΣΗ 47 Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα p( x ) με πραγματικούς συντελεστές για τα οποία ισχύει p( x ) p([ x]) p({ x}), x Προτείνει: Σπύρος Καπελλίδης wtopicphp?f=6&t=48 (Γιώργος Βλάχος) Αν το πολυώνυμο είναι σταθερό ή πρώτου βαθμού τότε προφανώς ισχύει η σχέση αν και μόνο αν ο σταθερός όρος είναι Αν το πολυώνυμο έχει βαθμό τότε η παράσταση px p( x ), όπου x θετικός ακέραιος είναι σταθερή Όμως το πολυώνυμο px p( x ) έχει βαθμό, αφού το x x έχει βαθμό, οπότε δεν μπορεί να παίρνει την ίδια τιμή για όλους τους θετικούς ακεραίους Άρα τα δεκτά πολυώνυμα είναι το μηδενικό και όσα είναι πρώτου βαθμού και έχουν σταθερό όρο ΑΣΚΗΣΗ 48 Ας είναι P( x ) ένα πολυώνυμο με συντελεστές από το Να αποδείξετε ότι, αν το P( x ) είναι άρτια συνάρτηση, τότε υπάρχει πολυώνυμο Q( x ), ώστε να ισχύει P( x ) Q( x)q( x), για κάθε x Προτείνει: Θάνος Μάγκος wtopicphp?f=6&t=77 Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 9

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 (Βαγγέλης Μουρούκος) Αν το Px είναι το μηδενικό πολυώνυμο, τότε το συμπέρασμα ισχύει προφανώς, παίρνοντας Qx 'Εστω τώρα ότι το μη μηδενικό πολυώνυμο P x είναι άρτια συνάρτηση Θα αποδείξουμε με επαγωγή στον αριθμό m των μη μηδενικών ριζών του πολυωνύμου P x ότι υπάρχει πολυώνυμο Q x τέτοιο, ώστε P x Q x Q x για κάθε x Έστω ότι m Τότε, υπάρχει a με a τέτοιο, ώστε P x ax για κάθε x Εφόσον το P x είναι άρτια συνάρτηση, θα είναι για κάποιο θετικό ακέραιο Θέτουμε Q x bx, όπου ο μιγαδικός αριθμός b ικανοποιεί τη σχέση Τότε θα είναι b a Q x Q x bx b x ax P x και το συμπέρασμα ισχύει Υποθέτουμε τώρα ότι το συμπέρασμα ισχύει για όλα τα μη μηδενικά άρτια πολυώνυμα που έχουν αριθμό μη μηδενικών ριζών μικρότερο του m Θεωρούμε ένα άρτιο πολυώνυμο Px με ακριβώς m μη μηδενικές ρίζες και έστω x μια από αυτές Τότε, θα είναι P x P x, οπότε θα υπάρχει πολυώνυμο Rx τέτοιο, ώστε P x x x x x R x Rx είναι επίσης Το πολυώνυμο άρτια συνάρτηση, γιατί R x x x P x P x R x x x R x x x Από την επαγωγική υπόθεση, θα υπάρχει πολυώνυμο U x τέτοιο, ώστε R x U x U x για κάθε x Θέτουμε τώρα Q x i x x U x, οπότε Px Qx Q x i x x U x i x x U x και το συμπέρασμα έπεται επαγωγικά ΑΣΚΗΣΗ 49 Αν για τις ρίζες x,x,x της εξίσωσης x (a )x ( a )x a ( a ) ισχύει, x x x να λυθεί η εξίσωση Προτείνει: Θάνος Μάγκος wtopicphp?f=6&t=96 (Λευτέρης Πρωτοπαπάς) Έστω x,x,x οι ρίζες του πολυωνύμου, οπότε: Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 4

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 f ( x ) ( x x )( x x )( x x ) με f ( x ) x (a )x ( a )x a, a Συνεπώς: f ( x) x ( x x x )x ( x x x x x x )x x x x, και από την ισότητα των πολυωνύμων έχουμε: x x x a ( I ) x x x x x x a ( II ) x x x a ( III ) ενώ από την υπόθεση έχουμε ότι: ( IV ), x x x με x,x,x Τότε διαιρώντας την (ΙΙ) με x x x, έχουμε: ( II ) a x x x x x x η οποία λόγω των (III), (IV) δίνει: a ( II ) x x a 5 a x a από την οποία προκύπτει ότι a, 5a οπότε x (V ) ( a ) Τότε: η (Ι) γίνεται λόγω της (V): 4a 5a4 xx (VI ), ( a ) η (IΙ) γίνεται λόγω της (V): ( a ) xx (VII ) 5 η (IV) γίνεται λόγω της (V): ( a ) x x 5a x x ( a ) xx 5a η οποία λόγω των (VI), (VII) γίνεται: 5( 4a 5a 4) ( a ) 4( a ) 5a η οποία έχει λύσεις a ή a 4 (διπλή) Αντικαθιστώντας προς τα πίσω τώρα βρίσκουμε ότι: (a,x,x,x ) (,,, ) ή (a,x,x,x ) (,,, ) ή ( a,x,x,x ),,, 4 4 Διαπιστώνεται εύκολα ότι οι τρεις αυτές τετράδες επαληθεύουν το σύστημα ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνονται τα πολυώνυμα P( x ) ( x ) x και φ( x ) ( x x ) m, όπου,m θετικοί ακέραιοι Για ποιές τιμές των,m το πολυώνυμο f() x διαιρεί το P( x ); Προτείνει: Στράτης Αντωνέας wtopicphp?f=6&t=97 (Ροδόλφος Μπόρης) Θα πρέπει κάθε ρίζα r του φ να είναι και ρίζα του P Έστω r r r,r και έστω ότι Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 4

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 τότε 6 v,v,,,, 5 p( r ) ( r ) r 6v 6v ( r ) r 6v 6v r η προηγούμενη γίνεται v v αφού ( r ) r που ισχύει μόνον αν v,v 5 οπότε 6, 6 5 Θα πρέπει τώρα να δούμε αν το P μπορεί να έχει πολλαπλή ρίζα το r Αν ήταν τριπλή ή και περισσότερο θα έπρεπε άρα p(r ) p (r ) p (r ) ( r ) t, (( r ) r ), ( )(( r ) r ) Οι δυο τελευταίες δίνουν r ( r ) r r, άτοπο Συνεπώς m,m Αν m και 6 5 τότε από 4 p (r ) r r, άτοπο Αν m και 6 τότε, όπως πριν, καταλήγουμε στο ( ) r που ισχύει αν το είναι άρτιο πολλαπλάσιο του, όπως εδώ Τελικά m, 6 ή 6 5 ή 6,m ή m ΑΣΚΗΣΗ 5 Να αποδείξετε, ότι το πολυώνυμο P( x) x x x x διαιρεί το πολυώνυμο 4 Προτείνει: Θάνος Μάγκος wtopicphp?f=&t=5879 (Παύλος Μαραγκουδάκης) Έχουμε: 4 4 Q( x) P( x) x ( x ) x ( x ) Όμως όπου x ( x ) x( x ) () 5 5 x x R x ( ) ( ) R x x x 55 5 ( ) για κάθε θετικό ακέραιο κ Επίσης 5 x x P x ( ) ( ) Άρα το ο μέλος της () είναι πολλαπλάσιο του Px () άρα και το ο μέλος Έτσι προκύπτει το ζητούμενο η (Γιώργος Μπαλόγλου) Αρχίζουμε την πολυωνυμική διαίρεση και το πηλίκο φαίνεται να είναι 4 9 5 4 ( x x ) ( x x ) Ως εδώ πάμε καλά, χωρίς πολλή δουλειά, οι απαλοιφές πάνε μια χαρά, αντιλαμβανόμαστε όμως ότι δεν μπορούμε να συνεχίσουμε έτσι γιατί πρέπει να επιζήσει στο γινόμενο διαιρέτη επί πηλίκου ο όρος x Πονηρευόμαστε και για να σώσουμε 9 τον x παραλείπουμε τον x και αντί Q x x x x x 44 ( ) Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 4

wwwmathematicagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 4, Οκτώβριος 6 του 9 ( x x ) πηλίκο τον προσθέτουμε στο 8 ( x x )! Αργά ή γρήγορα αντιλαμβανόμαστε ότι ο επόμενος όρος στο πηλίκο είναι ο 5 ( x x ), μετά οι δύο επόμενοι είναι οι 7 ( x x ) και 5 ( x x ), και 'προσγειωνόμαστε' τελικά στους 6 ( x x ) και 5 ( x x) Σ' αυτό το σημείο είτε κάνοντας την σούμα είτε διαισθανόμενοι ότι λείπει ο x (από τον οποίο βεβαίως δεν υπάρχει τίποτα για να αφαιρεθεί), προσθέτουμε και την θετική μονάδα στους προηγούμενους όρους και προκύπτει επιτέλους το πηλίκο 54 5 58 544 x x x x ] 4 η (Κώστας Τσουβαλάς) Το πολυώνυμο 4 x x x x έχει ρίζες τους μιγαδικούς z cos isi,,,,4 5 5 Eύκολα με την χρήση του θεωρήματος του De moivre cos isi cos isi, δείχνουμε ότι οι παραπάνω ρίζες είναι ρίζες και του Q x και έτσι αποδεικνύεται η γενίκευση που έδωσε η Φωτεινή η (Φωτεινή Καλδή) Αν παρατητήσουμε ότι: Q( x) P( x ), o5 θα μπορούσαμε να το δούμε κι έτσι: Tο πολυώνυμο P( x) x x x x διαιρεί το πολυώνυμο 4 Q( x) x x x x 5m m 5m m4, m θετικός ακέραιος Παρατήρηση (Γιώργος Μπαλόγλου) Και το πηλίκον αυτών εγένετο m 5 55 5 545 x x x x [ Συλλογή Ασκήσεων στα Πολυώνυμα Σελίδα 4