Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1
N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο : { Όλα θετικά. ο Τεταρτημόριο : { Ημφ θετικό. 3 ο Τεταρτημόριο : { Εφφ,σφφ θετικές. 4 ο Τεταρτημόριο : { Συνφ θετική. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα
ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Από τον τριγωνομετρικό κύκλο παρατηρούμε ότι τα ημφ,συνφ είναι αριθμοί που κυμαίνονται από το -1 έως το 1.Ενώ οι εφφ,σφφ μπορούν να πάρουν όποιες τιμές θέλουμε. Δηλ.: Αν παρατηρήσουμε προσεχτικά τον τριγωνομετρικό κύκλο μπορούμε να βρούμε εκείνους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς που αντιστοιχούν στα 4 σημεία του ορίζοντα. Αν το τόξο καταλήξει στο Βορρά ή στο Νότο παρατηρούμε ότι όταν ενώσουμε αυτά τα δύο σημεία με το Ο και προεκτείνουμε δεν θα ακουμπήσουμε τον άξονα των εφαπτομένων, γι αυτό και δεν ορίζεται η εφ και η εφ. Ομοίως για τον ίδιο λόγο δεν ορίζεται η σφ και η σφ. ημ 0 1 0-1 0 συν 1 0-1 0 1 εφ 0 Χ 0 Χ 0 σφ Χ 0 Χ 0 Χ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 3
ΑΚΤΙΝΙΟ (rad) ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα ακτίνιο ονομάζεται η επίκεντρη γωνία ενός κύκλου που το αντίστοιχο τόξο της έχει μήκος ίσο με μία ακτίνα. Α Β ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το μήκος του κύκλου=l=π.ρ Η πλήρης γωνία είναι π rad Δηλ. ΣΧΕΣΗ ΑΚΤΙΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΟΙΡΑΣ Είναι γνωστό ότι τα π ακτίνια αντιστοιχούν στις 180 ο.άρα: α ακτίνια π ακτίνια www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 4
Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών 0 rad ημ 0 1 συν 1 0 εφ 0 1 Χ σφ Χ 1 0 www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 5
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΤΟΞΑ :φ, π-φ ( ο τεταρτημόριο) π/ π-φ ημ(π-φ)= + ημφ συν(π-φ)= - συνφ ή συνφ= συν(π-φ) εφ(π-φ)= - εφφ σφ(π-φ)= - σφφ π Αφού καταλήγω στο ο τεταρτημόριο, μόνο το ημω είναι θετικό γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. π.χ ημ150 ο =ημ(180 ο -30 ο )=ημ30 ο =1/ συν10 ο =συν(180 ο -60 ο )=-συν60 ο = / ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΤΟΞΑ : φ,-φ (4 ο τεταρτημόριο) συν>0 0 ημ(-φ)= - ημφ ή -ημφ= ημ(-φ) 3π/ συν(-φ)= + συνφ εφ(-φ)= - εφφ ή -εφφ= εφ(-φ) σφ(-φ)= - σφφ ή -σφφ= σφ(-φ) π.χ εφ(-45 ο )= - εφ45 ο = - 1 σφ(-60 ο )= - σφ60 ο = /3 -φ Αφού καταλήγω στο 4 ο τεταρτημόριο, μόνο το συνω είναι θετικό γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 6
ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΤΑΦΟΡΑ π : φ, π+φ (3 ο τεταρτημόριο) εφ, σφ >0 π π+φ ημ(π+φ)= - ημφ 3π/ συν(π+φ)= - συνφ εφ(π+φ)= + εφφ σφ(π+φ)= + σφφ π.χ ημ5 ο =ημ(180 ο +45 ο )= - ημ45 ο = / σφ40 ο =σφ(180 ο +60 ο )= σφ60 ο = Αφού καταλήγω στο 3 ο τεταρτημόριο, μόνο η εφφ άρα και η σφφ είναι θετικές γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΑ π : φ, π+φ (1 ο τεταρ) ημ,συν,εφ,σφ >0 π/ π+φ ημ(π+φ)= + ημφ συν(π+φ)= + συνφ εφ(π+φ)= + εφφ σφ(π+φ)= + σφφ 0 π Αφού καταλήγω στο 1 ο τεταρτημόριο, όλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί γι αυτό και βάζουμε σε όλους +. Δηλαδή στους τριγωνομετρικούς αριθμούς η μία ολόκληρη περιστροφή δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα,ομοίως και οι δύο περιστροφές κ.ο.κ οι κ περιστροφές. Άρα: ημ(κπ+φ)=ημφ συν(κπ+φ)=συνφ εφ(κπ+φ)=εφφ σφ(κπ+φ)=σφφ Π.χ. ημ390 ο =ημ(360 ο +30 ο )=ημ30 ο =1/ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 7
ΤΟΞΑ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ π : φ,π-φ (4 ο τεταρ) συν >0 0 π ημ(π-φ)= - ημφ συν(π-φ)= + συνφ εφ(π-φ)= - εφφ σφ(π-φ)= - σφφ Π.χ. ημ300 ο =ημ(360 ο -60 ο )=-ημ60 ο =- 3π/ π-φ Αφού καταλήγω στο 4 ο τεταρτημόριο, μόνο το συνω είναι θετικό γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. συν315 ο =ημ(360 ο -45 ο )=συν45 ο =. ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΤΟΞΑ: φ, π/-φ (1 0 τετ.) ημ,συν,εφ,σφ >0 π/ π/-φ 0 ΠΡΟΣΟΧΗ : ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ημ(π/-φ)= συνφ ή συνφ=ημ(π/-φ) Αφού καταλήγω στο 1 ο τεταρτημόριο, όλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί γι αυτό και βάζουμε σε όλους +. ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν έχουμε π/ αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμός συν(π/-φ)= ημφ ή ημφ=συν(π/-φ) εφ(π/-φ)= σφφ ή σφφ=εφ(π/-φ) σφ(π/-φ)= εφφ ή εφφ=σφ(π/-φ) www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 8
ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΑ π : φ,π/+φ ( 0 τετ.) ημ >0 π/ π/+φ ΠΡΟΣΟΧΗ : ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ π Αφού καταλήγω στο ο τεταρτημόριο μόνο το ημω είναι θετικό γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. ημ(π/+φ)= + συνφ συν(π/+φ)= - ημφ εφ(π/+φ)= - σφφ σφ(π/+φ)= - εφφ ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν έχουμε π/ αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμός ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΑ 3π/ : φ, 3π/+φ (4 0 τετ.) συν >0 π/ 0 3π/+φ ΠΡΟΣΟΧΗ : 3π/ ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ημ(3π/+φ)= - συνφ συν(3π/+φ)= + ημφ εφ(3π/+φ)= - σφφ σφ(3π/+φ)= - εφφ Αφού καταλήγω στο 4 ο τεταρτημόριο μόνο το συνφ είναι θετικό γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν έχουμε 3 π/ αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμός. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 9
ΤΟΞΑ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ 3π/ : φ,3π/-φ (3 0 τετ.) εφ, σφ >0 ΠΡΟΣΟΧΗ : 3π/-φ π 3π/ ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ημ(3π/-φ)= - συνφ συν(3π/-φ)= - ημφ εφ(3π/-φ)= + σφφ σφ(3π/-φ)= + εφφ Αφού καταλήγω στο 3 ο τεταρτημόριο μόνο η εφφ είναι θετική άρα και η σφφ, γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν έχουμε π/ αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμός. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ i. { ii. { iii. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 10
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να βρεθεί το πρόσημο των παρακάτω τριγωνομετρικών αριθμών:,,,, ΛΥΣΗ Θυμήσου το Ο.Η.Ε.Σ. στον τριγωνομετρικό κύκλο.,, κ.ο. κ. ΑΣΚΗΣΗ η Αν να βρεθεί το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας φ. ΑΣΚΗΣΗ 3 η Αν να δειχθεί ότι: i. εφφ ημφ +σφφ-συνφ ii. εφφ+ημφ. ΑΣΚΗΣΗ 4 η Αν να δειχθεί ότι: i. εφφ+ημφ-συνφ+σφφ ii. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 11
ΑΣΚΗΣΗ 5 η Ποιος είναι ο τύπος που συνδέει τις μοίρες με τα ακτίνια; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ο τύπος που συνδέει τις μοίρες με τα ακτίνια είναι : ΑΣΚΗΣΗ 6 η Να μετατρέψεις τις παρακάτω μοίρες σε ακτίνια: ΛΥΣΗ κ.ο.κ. ΑΣΚΗΣΗ 7 η Να μετατρέψεις τα παρακάτω ακτίνια σε μοίρες: ΛΥΣΗ, κ.ο. κ. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1
ΑΣΚΗΣΗ 8 η Nα φτιάξεις τον τριγωνομετρικό κύκλο και να αναφέρεις σε κάθε τεταρτημόριο το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών. ΑΣΚΗΣΗ 9 η Να αναχθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί στο 1 ο τεταρτημόριο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). ΑΣΚΗΣΗ 10 η Να υπολογισθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: i. ημ150 ο = ii. συν10 ο = iii. εφ135 ο = iv. σφ10 ο = v. εφ40 ο = vi. ημ5 ο = vii. ημ(-30 ο )= viii. συν(-45 ο )= ix. εφ(-60 ο )= (Υπ. Τις παραπάνω μοίρες να τις γράψεις ως άθροισμα ή διαφορά με τις 180 ο, π.χ. 150 ο =180 ο -30 ο και 10 ο =180 ο +30 ο ) www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 13
ΑΣΚΗΣΗ 11 η Να υπολογισθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: i. ημπ/3= ( - ) ( ) ii. συν3π/4= iii. εφ5π/6= iv. σφ4π/3= v. εφ5π/4= vi. ημ7π/6= Θυμήσου ότι ημ(π-φ)= ημφ αφού το π-φ σε οδηγεί στο ο τεταρ. όπου το ημ vii. ημ(-5π/4)= -ημ5π/4= -ημ( + )= -ημ( + )= viii. ix. - (-ημπ/4)= ημπ/4= συν(-3π/4)= εφ(-5π/6)= Θυμήσου ότι ημ(-φ)=- ημφ αφού το -φ σε οδηγεί στο 4 ο τεταρ. όπου το ημ αλλά και το ημ(π+φ)=-ημφ αφού το π+φ σε οδηγεί στο 3 ο τετ. όπου ημ (Υπ. Τα παραπάνω ακτίνια να τα γράψεις ως άθροισμα ή διαφορά με το π, π.χ. = - = και = + = ) 9 ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να υπολογισθούν οι τιμές των παραστάσεων: i. Α= ii. Β= i. Α= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) αν φ= αν φ= ΛΥΣΗ αν φ= ( ), ( ) ( ) -ημφ, ( ) Θυμήσου ότι συν( αφού το τεταρ. όπου το συν -φ)=-ημφ -φ σε οδηγεί στο 3 ο ΠΡΟΣΟΧΗ: όποτε έχω Αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμ. ( ), ( ) ΑΡΑ: Α= ( ) ( ) ( ) ii. Ομοίως. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 14
ΑΣΚΗΣΗ 13 η Δίνεται ότι 90 ο <φ<180 ο και ημφ=.να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. ΛΥΣΗ 90 ο <φ<180 ο { ( ) Είναι γνωστό ότι σφφ =, δηλ. το αντίστροφο της εφφ. ΑΣΚΗΣΗ 14 η Δίνεται ότι 180 ο <φ<70 ο και συνφ= οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. ΑΣΚΗΣΗ 15 η Δίνεται ότι 70 ο <φ<360 ο και ημφ= οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί..να υπολογιστούν.να υπολογιστούν ΑΣΚΗΣΗ 16 η Δίνεται ότι 0 ο <φ<90 ο και συνφ=.να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 15
ΑΣΚΗΣΗ 17 η Δίνεται ότι 90 ο <φ<180 ο και εφφ=.να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. 90 ο <φ<180 ο { ΛΥΣΗ Πάντα ξεκινάμε με την σχέση και διαιρούμε με το συνφ για να εμφανισθεί η εφφ που είναι γνωστή. ( ) ( ) Είναι γνωστό ότι σφφ =, δηλ. το αντίστροφο της εφφ. ΑΣΚΗΣΗ 18 η Δίνεται ότι 180 ο <φ<70 ο και σφφ=.να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 16
ΑΣΚΗΣΗ 19 η ταυτότητες: Να αποδειχθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικές i. ( ) ( ) ii. iii. iv. ( ) ( ) Πάντα ξεκινάμε από το πιο σύνθετο μέλος ΛΥΣΗ i. 1 ο μέλος=( ) ( ) = 5. + 4ημα.συνα +5. -4ημα.συνα= 5.( + )=5.1=5= ο μέλος ii. 1 ο μέλος= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ο μέλος. ΑΣΚΗΣΗ 19 η ταυτότητες: Να αποδειχθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικές i. ii. 1 ημ θ - 1 εφ θ 1 1 συνα - συνα 1 + ημα = εφα www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 17
ΟΡΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Α) Ερωτήσεις Σωστού (Σ) - Λάθους (Λ) i. H γωνία με μέτρο 3π έχει την ίδια τελική πλευρά με την γωνία - π. ii. Η γωνία με μέτρο 60 ο έχει την ίδια τελική πλευρά με την γωνία - 40 ο iii. Αν ω < 0 τότε ημω < 0. iv. Το ημ750 ο είναι θετικός αριθμός. v. Για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει ημω> 1. Β) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής i. Το μέτρο της γωνίας θ = 40 ο σε rad είναι: Α. π 5 Β. 3π 4 Γ. ii. Το μέτρο της γωνίας θ = π 9 7π 1 Δ. π 1 Ε. 3 σε μοίρες είναι: Α. 100 Β. 105 ο Γ. 50 ο Δ. 00 ο Ε. 300 ο iii. Αν ημx = λ λ - λ ο λ παίρνει τιμές: Α. λ 1 Β. λ > 1 Γ. λ = 1 Δ. λ < -1 iv. Αν συν x = λ λ IR ο λ παίρνει τιμές: λ + 1 Α. -1 λ 1 Β. λ > Γ. λ 0 Δ. λ < -1 v. Η μεγίστη τιμή της παράστασης Κ = 3συνθ + ημθ είναι: Α. 4 Β. -4 Γ. 3 Δ. 0 Ε. -3. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 18
Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να βρεθούν πάνω στο τριγωνομετρικό κύκλο: Τα σημεία που ορίζονται από την τελική πλευρά της γωνίας i) π 3 + Κπ, ii) - π 4 + Kπ π, iii) 3 + Κπ 6 Κ Ζ. ΑΣΚΗΣΗ η Για κάθε γωνία θ να βρείτε τις τιμές που παίρνουν οι παραστάσεις: Α = 3 - ημθ, Β = ημθ - 5συνθ, Γ = ημ θ + 3συνθ Δ = 3 συν θ - 4. ΑΣΚΗΣΗ3 η Nα βρείτε το πρόσημο των παρακάτω τριγωνομετρικών αριθμών: i) ημ550 ο, ii) συν80 ο, iii) εφ(-1000 ο ), iv) συν(-300 ο ). ΑΣΚΗΣΗ 4 η Αν π < θ < παραστάσεων: 3π Α= εφθ - ημθ - συνθ, Β = να βρείτε το πρόσημο των ημθ - εφθ συνθ - σφθ. ΑΣΚΗΣΗ 5 η Να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων: Α = - συν100 εφ780, Β = ημ4000 εφ00 συν5000 Δ ΑΣΚΗΣΗ 6 η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Γ = 30 ο. Φέρουμε το ύψος ΑΔ, αν ΒΔ = 1cm, ΔΓ = 3cm να βρεις την περίμετρο του ΑΒΓ. Δ ΑΒΓ ΑΣΚΗΣΗ 7 η Δίνεται τρίγωνο με B = 8 ο, Γ = 50 ο. Φέρουμε το ύψος ΑΔ, αν ΔΓ = 8cm να βρείτε την πλευρά ΑΒ. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 19
ΑΣΚΗΣΗ 8 η Σε ένα κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα R να εγγράψετε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Εστω Μ το μέσο της ΒΓ. Να δείξετε ότι: i) ΒΓ = RημΑ, ii) ΑΜ = R (1 + συνα). ΑΣΚΗΣΗ 9 η Ενας ζωγράφος παρατηρεί άγαλμα ύψους 4,70m και βρίσκεται σε απόσταση 8m από αυτό. Αν το ύψος του ζωγράφου είναι 1,70m να βρείτε το μέτρο της γωνίας ω υπό την οποία ο ζωγράφος βλέπει το άγαλμα. ΑΣΚΗΣΗ 10 η Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: π - εφπ Α = 3ημ - 4(συνπ - 5ημπ) + ημ 3π. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 0
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Α) Ερωτήσεις Σωστού (Σ) - Λάθους (Λ) i. Αν ημω = 0 τότε συνω = 0. ii. Αν ημω = 1 τότε συνω = 0. iii. Αν ημω = 0 τότε συνω = 1 ή συνω = -1. iv. Αν εφω = v. Αν εφω = vi. Αν ημω = 5 4 τότε σφω = 4 5. 1 α α τότε συνω = 1 + α. 1 τότε συνω = 3. vii. Αν ημω < 0 και συνω < 0 τότε εφω < 0. viii. Για κάθε γωνία ω ισχύει συν ω = ix. Για κάθε γωνία ω ισχύει συν ω = 1 1+ εφ 1 1+ σφ ω. ω. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1
Β) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής i. Αν x = συνθ και y = 3ημθ τότε ισχύει: y Α. x + 9 = 1, y Β. x - 9 = 1, y Γ. x + 3 = 1, Δ. x - y = 3. ii.αν x = 3ημθ και y = 4συνθ τότε ισχύει: x y x y Α. - = 1, Β. + = 1, Γ. 9x 9 16 9 16-16y = 1, Δ. x - y = 1. iii. H παράσταση Α = ημ 3 x συνx + συν 3 xημx είναι ίση με: Α. ημx, Β. συνx, Γ. ημxσυνx, Δ. εφx iv. H παράσταση Α = σφx συνxημx είναι ίση με: Α. ημx Β. ημ x Γ. συνx Δ. συν x v. Αν ημx = - 3 5 180 ο < x < 70 ο τότε συνx είναι ίσο με: Α. 4 5, Β. 5 4, Γ. - 4 5, Δ. - 5 4. vi. Αν 0 < x < π και ημx + συνx = ημ 3 x + συν 3 x είναι: Α. 8 8 Β. Γ. 9 16 Δ. 5 3 6 Ε.. 7 3 η τιμή της παράστασης π vii. Αν 0 < x < ημx + συνx είναι: και ημxσυνx = 5 8 η τιμή της παράστασης Α. 1, Β. 3, Γ., Δ. 3 8,Ε. 5 4. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα
Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 ΑΣΚΗΣΗ 1 η Αν σφx - και 3 παράσταση A = 1 + ημxσυνx 1 + ημx 3π < x < π να υπολογίσετε την π ΑΣΚΗΣΗ η Αν 9εφ x = 4 και < x < π να υπολογίσετε την εφx παράσταση A = 1 - ημx + εφx 1 + ημx.. ΑΣΚΗΣΗ 3 η Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες: α) συν 4 x - ημ 4 x = συν x - ημ x = συν x - 1 = 1 - ημ x β) (ημx + συνx) = 1 + ημx συνx. γ) ημ 4 x + συν 4 x = 1 - ημ xσυν x δ) ημ 6 x + συν 6 x = 1-3ημ xσυν x. ΑΣΚΗΣΗ 4 η Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες: α) εφα + σφβ εφβ + σφα = εφα εφβ β) (1 + εφ α) (1 - συν α) = εφ α γ) (ημα + εφα) (συνα + σφα) = (1 + ημα) (1 + συνα) www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 3
ΑΣΚΗΣΗ 5 η Να δείξετε ότι: Τριγωνομετρικός κύκλος α) 1 ημ θ - 1 εφ θ 1 β) εφ θ - ημ θ = εφ θ ημ θ γ) σφθ 1 + σφθ + εφθ 1 + εφθ 1 δ) 4 1 + εφ θ εφ θ + σφ θ εφ θ ε) 1 + ημθ - συνθ 1 + ημθ + συνθ + 1 + ημθ + συνθ 1 + ημθ - συνθ ημθ. ΑΣΚΗΣΗ 6 η Αν 0 < x < π να δείξετε ότι: α) 1 + ημx + 1 - ημx 1 + ημx - 1 - ημx = 1 + συνx ημx β) 1 + ημx 1 - ημx - 1 - ημx 1 + ημx = εφx. ΑΣΚΗΣΗ 7 η Να δείξετε ότι: 4 α) ημ x + 4συν x = - ημ x β) ημ x + 4συν x + συν x + 4ημ x = 3 4 4. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 4
ΑΣΚΗΣΗ 8 η Εστω f(x) = 3 (ημ 4 x +συν 4 x) - (ημ 6 x + συν 6 x) με x R. Nα δείξετε ότι η f(x) είναι σταθερή. ΑΣΚΗΣΗ 9 η Αν είναι x = ημθ - συνθ το x ως συνάρτηση του y. και y = εφθ + σφθ να βρείτε ΑΣΚΗΣΗ 10 η Αν ημx + συνx = α του α οι παραστάσεις: να υπολογιστούν ως συνάρτηση Α. ημx συνx, Β. ημ 4 x + συν 4 x, Γ. ημ 3 x + συν 3 x, Δ. ημ 6 x + συν 6 x. ΑΣΚΗΣΗ 11 η Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = (ασυνx - βημx) +(αημx+ βσυνx) f(x) είναι σταθερή. με x ΙR. Να δείξετε ότι η ΑΣΚΗΣΗ 1 η Αν για τη γωνία θ ισχύει 4ημθ + 3συνθ = 5 i) Να δείξετε ότι εφθ = 4 3 ii) Να δείξετε ότι εφθ 1 + σφθ + εφθ 1 + εφθ = 4 3 ΑΣΚΗΣΗ 13 η Να βρεθούν οι τιμές του κ ώστε να ισχύει ημω = κ - κ + και συνω = κ κ +. ΑΣΚΗΣΗ 14 η Για κάθε γωνία x να αποδείξετε ότι: 1 α) ημx συνx, β) ημx + συνx 1, γ) ημ 4 x + συν 4 x π, δ) ημ x - 3ημx + 3 > 0 στ) ημx + συνx>1 με 0<x <. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 5
ΑΣΚΗΣΗ 15 η Δίνεται η εξίσωση x - x - εφ θ = 0, συνθ 0. i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, οι οποίες να βρεθούν. ii) Αν x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσετε την τιμή της A = παράστασης x - x 1 1. iii) Αν f(x) = x x - 1 να δείξετε ότι f(x 1 ) f(x ) = - εφ θ ημ θ. ΑΣΚΗΣΗ 16 η Δίνεται η εξίσωση x - x ημθ - συν θ = 0. i) Να λύσετε την εξίσωση. ii) Αν x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι : x 1 + x 4. iii) Να υπολογίσετε την παράσταση 1 x + 1 x 1 ΑΣΚΗΣΗ 17 η Δίνεται η εξίσωση x - (λ + 1)x + λ = 0 βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει ρίζες: α) ρ 1 = ημθ, ρ = συνθ β) ρ 1 = εφθ, ρ = σφθ. ΑΣΚΗΣΗ 18 η Αν είναι ημx + συνx = α με 0 < x < Α = ημx + συνx + ημ 3 x + συν 3 x + ημ 4 x + συν 4 x τότε: i) Να βρείτε τι τιμές παίρνει ο α.. π και ii) Να βρείτε την παράσταση Α ως συνάρτηση του α. iii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α για x = λ ΙR. Να π 4. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 6
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Α) Ερωτήσεις Σωστού (Σ) - Λάθους (Λ) i. Αν Α, Β, Γ γωνίες τριγώνου ισχύουν: α. ημ(α + Β) = - ημγ β. συν A + B Γ = ημ γ. συν (Α + Β) = - συνγ A δ. εφ + B Γ = - σφ ε. εφ(β + Γ) = εφα στ. σφ(β + Γ) = - σφα ii. ισχύει ημ600 ο = -συν30 ο iii. ισχύει ημ(180 ο + ω) = ημω iv. ισχύει συν(360 ο - ω) = συνω v. ισχύει εφ(90 ο + ω) = - σφω vi. ισχύει σφ(70 ο + ω) = - σφω vii. ισχύει ημ(90 ο - ω) = - συνω viii. ισχύει συν(70 ο + ω) = ημω ix. ισχύει σφ(70 ο - ω) = εφω x. ισχύει ημ 50 ο + ημ 40 ο = 1 xi. ισχύει ημ 70 ο + ημ 0 ο = 1 xii. ισχύει συν 80 ο + συν 170 ο = 1 www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 7
Β) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής i. Το συν(180 + ω) είναι ίσο με: Α. συνω Β. - συνω Γ. ημω Δ. - ημω ii.η εφ(90 + ω) είναι ίση με: Α. - εφω Β. σφω Γ.- σφω Δ. εφω iii. Η σφ(360 + ω) είναι ίση με: Α. - εφω Β. εφω Γ. - σφω Δ. σφω 3π iv.το ημ + ω είναι ίσο με: Α. - συνω Β. συνω Γ. ημω Δ. - ημω 3π v.το συν - ω είναι ίσο με: Α. - ημω Β. ημω Γ. συνω Δ. - συνω 15π vi.το συν + ω είναι ίσο με: Α. ημω Β. συνω Γ. - ημω Δ. - συνω 19π vii.h εφ - ω είναι ίση με: Α. - σφω Β. σφω Γ. εφω Δ. - εφω 1π viii.το ημ + ω είναι ίσο με: Α. -ημω Β. ημω Γ. - συνω Δ. συνω www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 8
ix. Αν Α, Β, Γ γωνίες τριγώνου τότε: α) Το ημ(β + Γ) είναι ίσο με: Α. - συνα Β. συνα Γ. - ημα Δ. ημα β) Το συν A + B είναι ίσο με: Α. ημ Γ Β. - ημ Γ Γ. συν Γ Δ. - συν Γ B γ) Η εφ + Γ είναι ίση με: Α. εφ A Β. - σφ A Γ. - εφ A Δ. σφ A δ) Η σφ Γ + Α είναι ίση με: Α. σφ B Β. - εφ B Γ. εφ B Δ. - σφ B. x. H παράσταση συν ω + συν π - ω είναι ίση με: Α. συν ω Β.0 Γ.1 Δ. Ε. ημ ω xi. π H παράσταση συν 4 + x π - ημ 4 - x είναι ίση με: Α. ημx Β.συνx Γ.- Δ.0 Ε. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 9
xii. Τριγωνομετρικός κύκλος π ημ(π + θ) ημ + θ H παράσταση συν (π - θ) συν(π + θ) είναι ίση με: Α. 1 Β. -1 Γ. σφθ Δ.- σφθ Ε. εφθ xiii. H παράσταση: π συνx +συν + x + συν(π + x) + συν 3π + x είναι ίση με: Α. 0 Β. 1 Γ. -1 Δ. ημx Ε. συνx www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 30
ΑΣΚΗΣΗ 1 η 187π 6 Τριγωνομετρικός κύκλος Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών:, 04π 4, 105π 3. ΑΣΚΗΣΗ η Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: - 410 ο, 50 ο, - 3000 ο. ΑΣΚΗΣΗ 3 η ι. ημ 71π 4 ΑΣΚΗΣΗ 4 η A = Να υπολογίσετε τα:, ιι) συν - 5π 3, Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: 3π συν (π + x) συν - x συν(π - x) ημ(π - x), ιιι) εφ 41π 6 B = Γ = ΑΣΚΗΣΗ 5 η ημ x - 3π 3 συν π- x εφ x - π συν x - 3π 3 3 π ημ - x ημ (- x) συν(- x) συν(π - x). Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: Α = ημ - 14π 3 + σφ - 9π 4 3π - εφ 4 + 1. Β = 6συν - 3π 6 8π + σφ 4 - εφ 16π 3-1. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 31
ΑΣΚΗΣΗ 6 η π Αν ημ 4 + x π + ημ 4 - x = κ να αποδείξετε ότι: π συν 4 - x συν π 4 + x κ - 1 =. π ΑΣΚΗΣΗ 7 η Αν εφ 4 - α π + εφ 4 + α = 3 να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: π i) εφ 4 - α εφ π 4 + α ii) εφ ΑΣΚΗΣΗ 8 η παραστάσεις: i) συν π 4 - α + εφ π Αν ημ 4 + α + ημ π 4 + α +συν π 4 - α π 4 + α. π 4 - α 3 = να υπολογίσετε τις ii) ΑΣΚΗΣΗ 9 η π συν 4 + α συν π 4 - α. Να δείξετε ότι οι παραστάσεις: Α = συν(x + 40 ο ) + συν(x + 130 ο ) + συν(x +0 ο ) + συν(x +310 ο ) π B = συν + x συν(π - x) [εφ (π +x) + εφ 3π - x ]. 7π Γ = ημ - x ημ(π - x) + ημ(3π +x) ημ 3π + x είναι ανεξάρτητες του x. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 3
ΑΣΚΗΣΗ 10 η Τριγωνομετρικός κύκλος π Αν εφ 3 - x + εφ την τιμή της παράστασης Α = εφ π 6 + x = 4 να υπολογίσετε π 3 - x + εφ π 6 + x. ΑΣΚΗΣΗ 11 η Να βρεθούν οι τιμές του ημ κπ 3 όταν κ ακέραιος. ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδειχθεί ότι: i) 0 < εφ (π +x) εφx - σφ(π -x) < 1 ii) 0 < σφ (π +x) σφ (5π +x) + εφ(x - π) < 1 ΑΣΚΗΣΗ 13 η Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι γωνίες του είναι ανάλογες των αριθμών, 3, 4 και 15 αντίστοιχα. i) Να βρείτε τα μέτρα των γωνιών Α, Β, Γ, Δ. ii) Να δείξετε ότι: α. 3εφΑ - εφ(-β) - εφγ + εφ(-α) = 0 β. ημα + συν (-Β) - συν(-γ) - ημ (-Δ) = 0 www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 33
ΑΣΚΗΣΗ 14 η Δίνεται ότι ημ π 1 = 6-4. i) Να υπολογίσετε τους συν π π 1, εφ 1 ii) Να υπολογίσετε τους ημ 5π 5π 1, συν 1 iii) iv) Να υπολογίσετε το ημ Να υπολογίσετε το ημ 11π 1 13π 1 v) Μπορείτε να υπολογίσετε το ημ 7π 1. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 34
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (1 ώρας ) ΑΣΚΗΣΗ 1 η Α. Να βρείτε το συνημίτονο των γωνιών: i) 300 ο ii) -40 ο iii) 10 ο (15 μονάδες) Β. Αν συν π 5 = 5 + 1 4 να βρείτε το συν 4π 5. ΑΣΚΗΣΗ η (10 μονάδες) π Α. Δίνεται ότι ημ 4 - x + ημ π 4 + x = κ. π i) Δείξτε ότι ημ 4 - x = συν π ii) Δείξτε ότι συν 4 - x συν π 4 + x. π 4 + x κ - 1 =. (8 μονάδες) (7 μονάδες) π Β. Αν ημ 1 = 6-4 υπολόγισε το συν 13π 1. (10 μονάδες) www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 35
ΑΣΚΗΣΗ 3 η Α. Να απλοποιήσετε την παράσταση: A = εφ 3π - θ συν π + θ ημ π - θ σφθ ημ(π + θ) ημ(15π + θ) (10 μονάδες) Β. Να δείξετε ότι η παράσταση: 7π Α = ημ - x ημ (π - x) + ημ(3π +x) ημ είναι ανεξάρτητη του x. 3π + x (15 μονάδες) ΑΣΚΗΣΗ 4 η π Α. Η παράσταση ημ - x + συν(π +x) + συν x - π είναι ίση με: Α. 0 Β. 1 Γ. ημx Δ. συνx Ε. -1. (10 μονάδες) Β. Να αποδείξετε ότι 0 < εφ (π +x) εφx - σφ(π -x) < 1 (15 μονάδες) www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 36