ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

Ειαγωγή Κύρια επιδίωξη της Στατιτικής ΙΙ αποτελεί ο έλεγχος ιας υπόεης χετικά ε τις παραέτρους της καταοής κάποιου χαρακτηριτικού εός πληυού Πιο υγκεκριέα υήως: Υποέτουε ότι το χαρακτηριτικό Χ εός πληυού που ας εδιαέρει ακολουεί κάποια γωτή καταοή F ε άγωτες όως παραέτρους k πχ καοική καταοή N Με βάη έα τυχαίο δείγα Χ Χ Χ τω τιώ του χαρακτηριτικού αυτού από το πληυό επιυούε α ελέγξουε α ιχύει κάποια υπόεη χετικά ε τις παραέτρους πχ α ε- λέγξουε α ή Πρι περάουε τη ελέτη του παραπάω προβλήατος γίεται ια ύτοη επικόπηη κάποιω βαικώ εοιώ της Στατιτικής που α εωρούται γωτές τη υέχεια ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΤΗΣ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗΣ Βαικοί οριοί Οριός Τυχαίο δείγα εγέους από τη καταοή F ή τη π ή ππ καλείται ια υλλογή αεξάρτητω και ιόοω αι ή d τυχαίω εταβλητώ Χ Χ Χ ~ F ή ~ Οριός Δειγατοληπτικός χώρος καλείται το ύολο τω δυατώ τιώ του δείγατος πχ α Χ R τότε ο δειγατοληπτικός χώρος είαι ο R Επίης παραετρικός χώρος Θ καλείται το ύολο τω επιτρεπτώ τιώ τω παραέτρω πχ α τότε ο παραετρικός χώρος είαι ο R Οριός 3 Έτω τυχαίο δείγα Χ Χ Χ ~ F Στατιτική ή δειγατική υάρτηη καλείται κάε υάρτηη Τ Χ Χ Χ τω Χ Χ Χ που δε εξαρτάται από άγωτες παραέτρους Οι πλέο υήεις τατιτικές υαρτήεις που εαίζοται ε προβλήατα της Στατιτικής είαι οι επόεες: δειγατικός έος m δειγατικές ροπές τάξεως r r r S δειγατική διαπορά Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

R m{ } mn{ } δειγατικό εύρος Οριός 4 Εκτιήτρια υάρτηη της παραέτρου ή τω παραέτρω ή ιας παραετρικής υάρτηης g α καλείται ία Τ η οποία χρηιοποιείται για τη εκτίηη του ή τω ή του g Οι τιές που παίρει ια τατιτική υάρτηη α πρέπει α βρίκοται ετός του παραετρικού χώρου Θ το οποίο κιείται η παράετρος ή ετός του g Θ α αυτό που ας εδιαέρει είαι η εκτίηη της παραετρικής υάρτηης g Ιδιότητες εκτιητριώ Προαώς ία εκτιήτρια υάρτηη ΤΧ είαι και αυτή ία τυχαία εταβλητή κάε ορά που παίρουε έα άλλο τυχαίο δείγα Χ η Τ δίει διαορετική τιή Είαι επίης αερό ότι από έα τυχαίο δείγα Χ πορούε α κατακευάουε πολλές εκτιήτριες για ια παράετρο πχ οι Χ α πορούα α προταού ως εκτιήτριες του έου εός καοικού πληυού Το ερώτηα είαι ποιές εωρούται «καλές» ή ποιά είαι η «καλύτερη» από όλες Διαιητικά ααέουε ότι ια «καλή εκτιήτρια» Τ του α λαβάει τιές α «γύρω» από το και β «κοτά» το ε «εγάλη» πιαότητα Για το α απαιτούε η τυχαία εταβλητή α έχει έη τιή ή «χεδό» και για το β απαιτούε η τυχαία εταβλητή α έχει «ικρή» διαπορά Πχ α έχουε τρεις εκτιήτριες 3 για τη έη τιή εός πληυού ε υαρτήεις πυκότητας πιαότητας ππ της ορής: Τ Τ 3 Τ τότε α προτιήουε τη Τ γιατί παίρει τιές κοτά το ε εγαλύτερη πιαότητα από ότι οι Τ Τ 3 Η παίρει τιές γύρω από το αλλά αυτές πορεί α διαέρου αρκετά από το έχει εγαλύτερη διαπορά από τη Τ εώ η Τ 3 παίρει τιές που είαι ακριά από το α και έχει ικρή διαπορά έχει έη τιή ακριά από το 3 Αερόληπτες εκτιήτριες Οριός 5 Μία εκτιήτρια υάρτηη της g καλείται αερόληπτη εκτιήτρια αε εά E E g για κάε Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

3 Η α εωρείται αυπτωτικά αερόληπτη εά lm E g για κάε Επίης η διαορά bs E g καλείται εροληψία της εκτιήτριας Η εροληψία ιας αε είαι Είαι αερό ότι ας υέρει α χρηιοποιήουε αερόληπτες ή χεδό αερόληπτες ε- κτιήτριες γιατί διαορετικά έχουε υποεκτίηη ή υπερεκτίηη του g Α έχουε έα τυχαίο δείγα Χ Χ Χ ~ F ε έη τιή και διαπορά τότε αποδεικύοται οι ακόλουες προτάεις: Πρόταη Ο δειγατικός έος είαι αε της έης τιής ε διαπορά V Πρόταη Η δειγατική διαπορά S είαι αε της διαποράς Για τη ύγκριη εταξύ εκτιητριώ δίοται οι ακόλουοι οριοί Οριός 6 Α Τ είαι δύο αε της g η α καλείται αποτελεατικότερη της Τ εά ιχύει ότι V V Οριός 7 Α ία αε Τ ΤΧ έχει για κάε τη ικρότερη διαπορά εταξύ όλω τω αε του g που πορού α κατακευατού από το τυχαίο δείγα Χ τότε α καλείται άριτη ή αερόληπτη οοιόορα ελαχίτης διαποράς ΑΟΕΔ εκτιήτρια του g Προαώς α Τ είαι ΑΟΕΔ και Τ είαι ια άλλη αε του g τότε VΤ VΤ Συήως προκειέου α εκτιήουε το g ως βέλτιτη εκτιήτρια εωρείται η ΑΟΕΔ εκτιήτρια α υπάρχει Οριός 8 Α είαι ια εκτιήτρια του g η ποότητα mse E g V bs καλείται έο τετραγωικό άλα της από τη g Οριός 9 Α Τ είαι δύο εκτιήτριες της g η α καλείται αποτελεατικότερη της Τ εά ιχύει ότι mse mse Από έα ύολο εκτιητριώ του g καλύτερη εωρείται αυτή που έχει το ικρότερο έο τετραγωικό άλα 4 Συέπεια Μια ακόη ιδιότητα που διαιητικά ααέουε α έχει ια «καλή» εκτιήτρια είαι αυτή της υέπειας Μια υεπής εκτιήτρια βελτιώεται ε τη αύξηη του εγέους του δείγατος και για πολύ εγάλο δείγα γίεται πρακτικά ίη ε τη υπό εκτίηη ποότητα Συγκεκριέα δίεται ο ακόλουος οριός Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

4 Οριός Μία εκτιήτρια Τ ιας παραετρικής υάρτηης g καλείται υεπής α ιχύει ότι lm g ε για κάε ε δηλαδή έχουε g καώς ύγκλιη κατά πιαότητα Έα απλό κριτήριο για τη υέπεια ιας εκτιήτριας δίεται τη ακόλουη πρόταη Πρόταη 3 Μία εκτιήτρια Τ ιας παραετρικής υάρτηης g είαι υεπής α ιχύου οι παρακάτω υήκες lm E g lm V εός τυχαίου δείγατος Χ Χ Χ είαι υεπής εκτιή- Για παράδειγα ο δειγατικός έος τρια του έου τω Χ 5 Η έοδος έγιτης πιαοάειας Η πιο γωτή έοδος εύρεης ιας εκτιήτριας για τις παραέτρους ιας καταοής F είαι η έοδος έγιτης πιαοάειας Η έοδος αυτή είαι αρκετά ιχυρή διότι ε ία χετικά απλή διαδικαία οδηγεί ε εκτιήτριες ε πολύ καλές ιδιότητες Θεωρούε έα τυχαίο δείγα Χ Χ Χ από ία καταοή ε υάρτηη π ή ππ που εξαρτάται από τις παραέτρους k και επιυούε α εκτιήουε το Οριός Συάρτηη πιαοάειας ή πιαοάεια kelhood του δείγατος καλείται η από κοιού ππ ή π τω εωρούεη ως υάρτηη του δηλαδή η Οριός Μία τατιτική υάρτηη ˆ καλείται εκτιήτρια έγιτης πιαοάειας ΕΜΠ ή ME τω παραέτρω α εγιτοποιεί τη πιαοάεια δηλαδή α ιχύει ότι ˆ su Θ Συήως ατί α ααζητούε το ηείο εγίτου της είαι πιο εύκολο α ααζητούε το ηείο εγίτου της l ln έχου το ίδιο ηείο εγίτου διότι η υάρτηη ln είαι αύξουα Α k δηλ και η υάρτηη l παραγωγίζεται ε ολόκληρο το παραετρικό χώρο Θ και Θ αοικτό διάτηα πορούε α βρούε το ηείο εγίτου έα από τη λύη της εξίωης l ελέγχοτας παράλληλα ότι η δεύτερη παράγωγος l Αξίζει α ααέρουε ότι υπό υγκεκριέες υήκες οαλότητας της αποδεικύεται γεικά ότι αυπτωτικά για ιχύει ˆ ~ N I όπου I E l πληροορία κατά Fsher Δηλαδή η ΕΜΠ του ακολουεί αυπτωτικά καοική καταοή έη τιή δηλ είαι αυπτωτικά αερόληπτη και διαπορά ίη ε το ατίτροο της πληροορίας δηλ είαι αυπτωτικά ΑΟΕΔ εκτιήτρια αού η διαπορά της υγκλίει το ράγα Crmer-Ro Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

5 Ατίτοιχα αποτελέατα ιχύου και για k δηλαδή ότα k Στη περίπτωη αυτή η ΕΜΠ του υήως λαβάεται από τη λύη του υτήατος k εξιώεω l l k k δεδοέου ότι η l είαι παραγωγίιη το Θ και Θ αοικτό ύολο του R Και πάλι υπό υγκεκριέες υήκες οαλότητας της η ΕΜΠ ακολουεί αυπτωτικά πολυδιάτατη καοική καταοή ε διάυα έω τιώ δηλ είαι αυπτωτικά αερόληπτη και πίακα διαποράς το ατίτροο του k k πίακα πληροορίας δηλ είαι αυπτωτικά ΑΟΕΔ εκτιήτρια Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΕΛΕΓΧΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Ειαγωγή Σε αρκετές εαρογές παρουιάζεται η αάγκη λήψης αποάεω χετικά ε τη καταοή F του πληυού Θα πρέπει βάει του τυχαίου δείγατος Χ Χ Χ ~ F α αποαίουε α ευταεί ή όχι ία υπόεη χετικά ε τη καταοή F ή τις παραέτρους Για παράδειγα έλουε α ελέγξουε α ο έος του πληυού είαι ίος ε ή εγαλύτερος έλουε α ελέγξουε α ια παράετρος είαι ίη ε ή όχι έλουε α ελέγξουε α έα ποοτό είαι ικρότερο ή εγαλύτερο του 5% κοκ Πρι προχωρήουε το οριό τω βαικώ εοιώ τω ελέγχω υποέεω ας δούε τις έοιες αυτές έα από έα απλό παράδειγα Παράδειγα Έα εργοτάιο παράγει κάποιες υκευές και κάε ώρα γίεται έλεγχος τω υκευώ της ωριαίας παραγωγής Η παραγωγική διαδικαία εωρείται ότι βρίκεται έα τις προδιαγραές της α η πιαότητα παραγωγής ελαττωατικής υκευής είαι 5% Σε περίπτωη που το αυξηεί 5% εωρείται ότι υπάρχει κάποιο πρόβληα ταατά η παραγωγή και ααζητούται τα αίτια Εποέως α πρέπει α κατακευάουε έα έλεγχο ώτε α κρίουε α ιχύει 5% ή 5% οπότε υεχίζεται η παραγωγή ή 5% όποτε διακόπτεται η παραγωγή Συήως καλούε τις παραπάω βαική ή ηδεική υπόεη Η και εαλλακτική υπόεη Η ατίτοιχα Θέτουε Χ α η -οάδα βρέηκε ελαττωατική και διαορετικά Για α αποαίουε α ιχύει η ία ή η άλλη υπόεη πορούε α βαιτούε το δειγατικό ποοτό Συγκεκριέα παρατηρούε ότι: Α ιχύει ότι Η : 5% τότε είαι πολύ πιαό α υπολογίουε τη δειγατική έη τιή α βρεεί κοτά το 5% δηλαδή 5% ή α είαι και λίγο ικρότερο από το 5% Α ιχύει ότι Η : 5% τότε είαι πολύ πιαό α υπολογίουε τη δειγατική έη τιή α λάβει τιή πολύ εγαλύτερη από το 5% δηλαδή 5% Δηλαδή ια εγάλη χετικά τιή του οδηγεί το υπέραα ότι άλλο δε ιχύει η Η Εποέως για α αποαίουε α 5% ή 5% αίεται λογικός ο καόας: - Α «ικρή» τιή του τότε άλλο ιχύει ότι 5% δεχόατε τη Η - Α «εγάλη» τιή του τότε άλλο ιχύει ότι 5% απορρίπτουε τη Η για κάποιο κατώλι το οποίο αποέει α καοριτεί Παρατηρούε ότι α πάρουε εγάλο πχ % ή % υπάρχει ο κίδυος α δεχούε ότι 5% εώ τη πραγατικότητα ιχύει ότι 5% πχ 7% εώ α πάρουε ικρό πχ 5% τότε υπάρχει ο κίδυος α απορρίψουε ότι 5% διότι πχ 6% εώ τη πραγατικότητα ιχύει 5% Γεικά αάλογα ε τη απόαη που α πάρουε αποδοχή η απόρριψη της Η εδέχεται α κάουε έα από τα εξής άλατα: - Λααέη απόρριψη της Η : 5% ότα εώ 5% : Σάλα τύπου Ι - Λααέη αποδοχή της Η : 5% ότα εώ 5%: Σάλα τύπου ΙΙ Οι πιαότητες πραγατοποίηης τω παραπάω αλάτω είαι [I] άλα τύπου Ι ιχύει η Η 5% F v b Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

7 [II] άλα τύπου ΙΙ ιχύει η Η 5% F b v όπου Fb είαι η υάρτηη καταοής της διωυικής καταοής b διότι ~ b Πχ α τότε πορούε α υπολογίουε τις [I] [II] για διάορες τιές τω 5% Η 75% Η % Η 5% [I] 384 [II] 3 [II] 57 6% [I] 34 [II] 37 [II] 7 7% [I] 8 [II] 5 [II] 6 8% [I] 63 [II] 664 [II] 3 9% [I] 8 [II] 783 [II] 45 % [I] [II] 87 [II] 583 Για παράδειγα α έουε 8% και ιχύει ότι 5% Η τότε παίρουε λάος απόαη λααέη απόρριψη της Η άλα τύπου Ι ε πι [I] 63 Α ιχύει ότι % Η τότε παίρουε λάος απόαη λααέη αποδοχή της Η άλα τύπου ΙΙ ε [II] 3 Από το παραπάω πίακα παρατηρούε ότι όο αυξάεται το τόο ειώεται η [I] αλλά παράλληλα αυξάεται η [II] Εποέως δε υπάρχει που α ελαχιτοποιεί τις πιαότητες [I] [II] ταυτόχροα Για το λόγο αυτό υήως δίεται εγαλύτερη βαρύτητα τη απουγή του άλατος τύπου Ι δηλαδή έλουε πάια α απορρίπτουε τη Η λααέα Πιο υγκεκριέα απαιτούε η [I] α είαι ικρή υήως [I] % ή 5% Δηλαδή προκαορίζουε τη πιαότητα [I] και βρίκουε το που δίει τη υγκεκριέη [I] Α πχ έλουε [I] 6% και τότε α πρέπει α πάρουε 8% Σε αυτή τη περίπτωη - Α 8 τότε δεχόατε τη Η : 5% - Α 8 τότε απορρίπτουε τη Η : 5% έατι της : 5% Ο παραπάω καόας οδηγεί ε λααέη απόρριψη της δηλαδή διακοπή της παραγωγικής διαδικαίας χωρίς λόγο lse lrm το 6% περίπου τω ελέγχω εώ α δε ιχύει η και πχ % τότε ηαίει ορά υαγερός ε πι [ΙΙ] 68% Το γεικό πρόβληα: τατιτικές υποέεις άλατα ιχύς Ας δούε το παραπάω πρόβληα τη γεικότερή του ορή Έτω τυχαίο δείγα Χ Χ Χ ~ F και έτω ότι επιυούε α ελέγξουε τη υπόεη : Θ ηδεική ή βαική υπόεη έατι της : Θ εαλλακτική υπόεη όπου Θ Θ είαι υπούολα του παραετρικού χώρου Θ ύολο επιτρεπτώ τιώ τω άγωτω παραέτρω εώ υικά Θ Θ τα Θ Θ είαι ξέα Στο Παράδειγα είχαε Χ Χ Χ ~ b δηλαδή καταοή Bernoull ε παράετρο και : {5} ε : 5 ] Μία υπόεη Η : Θ καλείται απλή α είαι της ορής Θ { } Διαορετικά καλείται ύετη Για παράδειγα η Η : 5 είαι απλή εώ η : 5 είαι ύετη Επίης ία υπόεη καλείται οόπλευρη α είαι της ορής : ή της ορής : και αίπλευ- Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

8 ρη α είαι της ορής : ή δηλ η πιο υηιέη περίπτωη είαι η : ή δηλ οπότε α γράουε : Χρηιοποιώτας το τυχαίο δείγα Χ Χ Χ κατακευάζουε ία διαδικαία ελέγχου της παραπάω υπόεης Συγκεκριέα χωρίζουε το δειγατοληπτικό χώρο Ω το ύολο τω δυατώ τιώ του δείγατος ε δύο ξέα υπούολα Α και Κ Α ΚΩ έτι ώτε - α Χ Χ Χ Χ Κ απορρίπτουε τη : Θ - α Χ Χ Χ Χ Α δεχόατε τη : Θ Η περιοχή Κ καλείται κρίιη περιοχή ή περιοχή απόρριψης της Η εώ η περιοχή Α καλείται περιοχή αποδοχής της ηδεικής υπόεης Η Η περιοχή απόρριψης καορίζεται από τη τιή κατάλληλης τατιτικής υάρτηης Τ ΤΧ και υήως είαι της ορής: K: και άρα A: το παραπάω παράδειγα K: A: Αάλογα τώρα ε τη απόαη που α πάρουε είαι πιαό α προκύψει έα από τα εξής δύο άλατα: - άλα τύπου Ι: απόρριψη της εώ ιχύει η - άλα τύπου ΙI: αποδοχή της εώ ιχύει η Η πιαότητα άλατος τύπου Ι και ΙΙ ατίτοιχα είαι [I] άλα τύπου Ι Κ F [ΙI] άλα τύπου ΙΙ Α όπου F είαι η κ της τ υπό τη Η Επίης η ποότητα π άλα τύπου ΙΙ F καλείται ιχύς του ελέγχου και όπως α δούε γεικά εξαρτάται από τις άγωτες παραέτρους Παρατηρούε ότι η ιχύς του ελέγχου ιούται ε τη πιαότητα ορής απόρριψης της Η : π άλα τύπου ΙΙ Α K Στο επόεο πίακα δίοται τα δυατά αποτελέατα εός ελέγχου Απόαη Φυική κατάταη τι ιχύει πραγατικά Αποδοχή της Η Απόρριψη της Η Η ορή Ορή απόαη Σάλα τύπου Ι Η όχι ορή Σάλα τύπου ΙI Ορή απόαη Αποέει α καορίουε τη κρίιη περιοχή Κ και από αυτή τη Α αού Α Ω Κ Α πχ είαι της ορής α πρέπει α βρούε κατάλληλη και α προδιορίουε και το Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

9 Παρατηρούε ότι οι [I] [IΙ] εξαρτώται από τη επιλογή της περιοχής K και άρα α ήτα λογικό α ααζητήουε τη Κ που τις ελαχιτοποιεί Όπως όως διαπιτώαε και το Παράδειγα ία επιλογή της κρίιης περιοχής που ειώει τη [I] παράλληλα αυξάει τη [IΙ] Συήως ας εδιαέρει περιότερο α η απορρίψουε λααέα τη και υεπώς α ζητάε η κρίιη περιοχή Κ α είαι έτι ώτε α ιχύει άλα τύπου Ι και η πιαότητα άλα τύπου ΙΙ α είαι η ελάχιτη δυατή Συήως επιλέγουε 5 ή Α έχουε προδιορίει τη και έχουε προεπιλέξει το το οποίο καλείται επίπεδο ηατικότητας του ελέγχου πορούε α προδιορίουε και το Συγκεκριέα α υβολίουε ε F τη υάρτηη καταοής της Τ ότα ιχύει η Η και η περιοχή απόρριψης της Η είαι της ορής τότε α πρέπει [Ι] F F F όπου ε F υβολίαε το άω -ηείο της καταοής της Τ ότα ιχύει η Η Συήως το λαβάεται ίο ε τη παραπάω ποότητα για α εξααλίουε ελάχιτη [ΙI] Δηλαδή τελικά απορρίπτουε τη Η ότα F Παλαιότερα υπήρχα πίακες ε τιές τω άω -ηείω για υγκεκριέες καταοές και % % 5% Σήερα τη πράξη ο έλεγχος γίεται ιοδύαα έω ΗΥ χρηιοποιώτας το -vlue ή sgnne vlue το οποίο α εξετάουε ε επόεη παράγραο Στο επόεο πίακα δίοται τα δυατά αποτελέατα εός ελέγχου αζί ε τους υβολιούς που έχουε ειάγει για τα άλατα και τις πιαότητες ωτής απόαης Απόαη Φυική κατάταη τι ιχύει πραγατικά Αποδοχή της Η Απόρριψη της Η Η ορή Η όχι ορή Ορή απόαη Αποδ Σάλα τύπου ΙI Αποδ β Σάλα τύπου Ι Απόρ Ορή απόαη Απόρ Η β π Υπογραίζεται ε αυτό το ηείο ότι οι υβολιοί που χρηιοποιούε δε υποδηλώου δεευέη πιαότητα διότι τη κλαική τατιτική οι υποέεις Η Η δε αποτελού εδεχόεα Οι υβολιοί αυτοί χρηιοποιούται για α υποδηλωεί η καταοή από τη οποία προέρχεται το δείγα ότα ιχύει η και η Η ατίτοιχα Θα ήτα ίως ωτότερο α Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

γράουε και αλλά τη υέχεια α εξακολουήουε α χρηιοποιούε για λόγους απλότητας τους υβολιούς καώς επίης και τα ύβολα Ε Ε ατί E και E για α δηλώουε τη έη τιή τω ατίτοιχω τυχαίω εταβλη- τώ ότα ιχύει η και η Η ατίτοιχα Αξίζει εδώ α ααέρουε και τη επόεη ερηεία της πιαότητας άλατος τύπου Ι Έ- τω ότι χρηιοποιούε έα έλεγχο ε επίπεδο ηατικότητας και ότι η ηδεική υπόεη είαι αληής Τότε από όλα τα δείγατα εγέους που πορούε α υγκετρώουε από το πληυό έα ποοτό ίο ε το πολύ α οδηγήου ε τιή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου τέτοια που α ααγκαούε α απορρίψουε τη ηδεική υπόεη ε προκειέω ε- αλέα Σε έα έλεγχο υποέεω αυτό που ας εδιαέρει περιότερο είαι α διατηρηεί ικρή η [I] και για αυτό απαιτούε [I] Κάτω από αυτό το περιοριό η [II] πορεί α είαι ικρή α πορούε όως και α πάρει εγάλες τιές κάτι το οποίο είαι υικά αεπιύητο Για το λόγο αυτό - α Χ Κ λέε ότι «απορρίπτουε τη Η» ε πι λάους - α Χ Α υήως λέε ότι «δε έχουε αρκετά τοιχεία ώτε α απορρίψουε τη Η» Αποεύγουε δηλαδή α πούε ότι «δεχόατε τη Η» διότι η πιαότητα λάους [II] πορεί α είαι εγάλη Παράδειγα Έτω ότι έχουε έα πληυό N δηλαδή το χαρακτηριτικό του πληυού που ας εδιαέρει ακολουεί καοική καταοή ε έη τιή και διαπορά και έλουε α ελέγξουε τη υπόεη : έατι της : Επιλέγουε τυχαίο δείγα Χ Χ Χ από το πληυό αυτό και αποαίζουε α χρηιοποιήουε τη v Παρατηρούε ότι ότα ιχύει η : τότε ~ Ν ότα ιχύει η : τότε η Τ λαβάει «εγάλες» τιές Τ ~ Ν τα παραπάω ιχύου διότι ότα ~ Ν τότε ~ Ν Εποέως είαι λογικό α α- πορρίπτουε τη Η ότα Τ Στο ακόλουο χήα απεικοίζεται η ορή της ππ της υπό τη Η και υπό τη καώς και η περιοχή απόρριψης Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

[ΙΙ] [Ι] Για α έχουε [I] α πρέπει περιοχή αποδοχής της Η περιοχή απόρριψης της - Φ z όπου ε Φ υβολίζεται η κ της N και ε z υβολίζουε το άω -ηείο της τυποποιηέης καοικής καταοής βλέπε ακόλουο χήα Τελικά ο έλεγχος α είαι της ορής: - Α z τότε απορρίπτουε τη Η - Α z τότε δε απορρίπτουε τη Η [ΙI] τη υγκεκριέη περίπτωη α είαι [ II] z z ~ N ~ N Φ z η οποία ειώεται όο αυξάεται το έγεος του δείγατος Η ιχύς α είαι ίη ε π [II] 645 και παίρουε τις επόεες τιές για τη πι- Για [I] 5% προκύπτει Φ - αότητα άλατος τύπου ΙΙ z [II] 5 7737 645983 5 948 3483 5 39685 Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

Έτω τώρα ότι πήραε υγκεκριέο δείγα εγέους 9 και καταγράηκα οι τιές 45 54 8 3 888 48 977 49 5 Οι υγκεκριέες τιές του δείγατος ετά τη πραγατοποίηη του τυχαίου πειράατος δειγατοληψία δε εωρούται τυχαίες εταβλητές είαι γωτές και υήως υβολίζοται ε πρι τη πραγατοποίηη του τυχαίου πειράατος υβολίζοται ε Χ Χ Χ διότι τότε εωρούται τυχαίες εταβλητές Όοια ο δειγατικός έος και η τιή της από τα πραγατικά δεδοέα υήως υβολίζοται ε και t Τ Τ ατίτοιχα Από το παραπάω δείγα υπολογίζουε τώρα ότι 66 και t 9833 το οποίο είαι εγαλύτερο του z 645 οπότε το δείγα προέρχεται από τη περιοχή Κ Εποέως απορρίπτουε τη Η : έατι της Η : ε επίπεδο ηατικότητας 5% [I] 5% [II] Φ z 877% Παρατηρούε ότι από το υγκεκριέο δείγα η έλαβε τη τιή t Τ 9833 Έα εδιαέρο και γόιο ερώτηα εδώ είαι το εξής: πόο πιαή είαι ια τέτοια τιή της και ακόη πιο «ακραία» από αυτή ότα ιχύει η Η Η πιαότητα αυτή είαι t Η 9833 Η Φ9833 366 το πορεί α γίει διότι η Τ είαι υεχής τυχαία εταβλητή Μπορεί α εωρηεί ότι η παραπάω τιή εκράζει τη πιαότητα α εαιτεί το δείγα που πήραε εώ ιχύει η Η Μπορούε εποέως α πούε ότι α ιχύει η Η παίρουε έα τέτοιο δείγα όλις το 3% περίπου τω περιπτώεω Η παραπάω ποότητα καλείται -vlue ή sgnne vlue του δείγατος Θα εξετάουε γεικότερα τη έοια αυτή τη ακόλουη παράγραο 3 -vlue Α η περιοχή απόρριψης της Η είαι της ορής τότε ως -vlue ή sgnne vlue τω τιώ εός υγκεκριέου δείγατος ορίζεται η τιή vlue t F t όπου t Τ είαι η τιή της ε βάη το δείγα Το vlue πορεί α εωρηεί ότι εκράζει τη πιαότητα α πάρουε τη τιή t και ακόη πιο «ακραί» από αυτή εώ ιχύει η Η Συήως η είαι υεχής τυχαία εταβλητή οπότε πορεί α εωρηεί ότι έχουε έα τη παραπάω πιαότητα Διαιητικά α το -vlue είαι «κοτά» το τότε υπεραίουε ότι είαι «απίαο» δεδοέης της Η α εαιτεί το υγκεκριέο δείγα και όπως είαι υικό τάουε το υπέραα ότι άλλο δε πρέπει α ιχύει η Η Για «ικρό» λοιπό -vlue είαι λογικό α απορρίπτουε τη Τι χέη όως έχει αυτή η απόρριψη ε τη απόρριψη που γίεται ε βάη τη κρίιη περιοχή που είδαε παραπάω δηλ ότα t Σχετικά παρατηρούε ότι Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

3 t F F t F t vlue Εποέως ατί α εξετάζουε α t ιοδύαα πορούε α εξετάζουε α ιχύει η αιότητα -vlue Ειδικότερα πορούε α αποαίζουε ε βάη το εξής καόα : - α το -vlue : απορρίπτουε τη Η εώ - α -vlue : δε απορρίπτουε τη Η απόρριψη της Η -vlue η απόρριψη της Η Καόας απόαης ε βάη τη τιή του -vlue εός ελέγχου Α το -vlue είαι πάρα πολύ ικρό πχ τότε απορρίπτουε τη Η χωρίς επιυλάξεις εώ α το -vlue είαι χετικά ικρό πχ «κοτά» το 45 ε 5 τότε αι ε απορρίπτουε τη Η αλλά ε κάποια επιύλαξη ε αυτή τη περίπτωη τη πράξη για α είατε πιο ίγουροι χρειάζεται περιότερη πληροορία πχ εγαλύτερο δείγα Όπως είαι αερό από το παραπάω χήα το -vlue πορεί α οριεί και ως η ελάχιτη τιή του επιπέδου ηατικότητας για τη οποία απορρίπτεται η Η Το -vlue είαι έα έτρο το οποίο εκράζει πόο ιχυρές είαι οι εδείξεις που προκύπτου από το δείγα εατίο της Η Έτι υπολογίζοτας το -vlue εός δείγατος για υγκεκριέο έλεγχο υποέεω γωρίζουε πόο πιαή ήτα η εάιη του δείγατος που πήραε α η ηδεική υπόεη ήτα αληής Εποέως όο πιο ικρό είαι το -vlue τόο ιχυρότερες εδείξεις εατίο της προκύπτου από το υγκεκριέο τυχαίο δείγα ή αλλιώς τόο πιο ηατική είαι η τιή που δίει το δείγα τη τατιτική υάρτηη ελέγχου Στα τατιτικά πακέτα ετά τη ειαγωγή τω τιώ του δείγατος και τη επιλογή του επιυητού ελέγχου εαίζεται η τιή του -vlue που ατιτοιχεί το Σύωα ε τα παραπάω α η τιή αυτή είαι ικρή ικρότερη του προαποαιέου επίπεδου ηατικότητας ή 5 τότε απορρίπτουε τη Η ε ε Το πλεοέκτηα από τη χρήη του -vlue είαι ότι δε απορρίπτουε ή δεχόατε απλώς τη Η αλλά πορούε α δούε και πόο πιαή ήτα η εάιη του δείγατος που πήραε υπό τη Η εώ επίης πορούε α τη υγκρίουε άεα ε όποιο και α επιλέξουε Ο λόγος για το οποίο το -vlue υήως προϋποέτει τη χρήη ΗΥ είαι διότι χωρίς το ΗΥ δε είαι πάτοτε εύκολο α υπολογιτεί ή α πιακοποιηεί η t για κάε τιή του t Στη διεή βιβλιογραία καώς και ε οριέα τατιτικά πακέτα χρηιοποιείται για το - vlue και ο όρος παρατηρούεο επίπεδο ηατικότητας observed sgnne level Στα πλαίια τω παρότω ηειώεω δε α χρηιοποιηεί ο όρος αυτός αλλά καλό α είαι ο ααγώτης α το έχει υπόψη του Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

4 Παράδειγα 3 Επιυούε α ελέγξουε α ο έος εός καοικού πληυού ε γωτή διαπορά είαι ίος ε ή είαι εγαλύτερος του δηλαδή έχουε τις υποέεις : έατι της : Λαβάουε έα τυχαίο δείγα Χ Χ Χ από το πληυό αυτό και χρηιοποιούε τη τατιτική υάρτηη η οποία ότα ιχύει η ακολουεί τη τυποποιηέη καοική καταοή Ν διότι ~Ν εώ ότα ιχύει η : λαβάει «εγάλες» τιές Συεπώς απορρίπτουε τη Η ότα t z Σηειώεται ότι λάβαε z για α εξααλίουε [I] Το -vlue τω τιώ εός τυχαίου δείγατος εδώ α είαι vlue t Φ t Φ Στο ακόλουο χήα αίεται το -vlue και το επίπεδο ηατικότητας α το υγκεκριέο παράδειγα Από το χήα αυτό είαι προαές ότι α t τότε για τα ατίτοιχα εβαδά α είαι - vlue και ατίτροα ππ της Τ Η -vlue άλα τύπου I t περιοχή απόρριψης της Η Επίης είαι εύκολο α δούε εδώ ότι [ II] z : z z Φ z και π Φ z Φ z για υπευίζεται ότι Φ Φ Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

5 Έτω τώρα ότι από έα δείγα εγέους 5 πήραε ε 5 και έλουε α ελέγξουε α ιχύει η Η : ή Η : δηλ ε ε 5% Σύωα ε τα παραπάω η περιοχή απόρριψης της Η καορίζεται από τη αιότητα Κ: t z v Επειδή όως t z 5 645 η παραπάω δε ιχύει και εποέως δε πορούε α απορρίψουε τη Η Επίης vlue Φ 58 Μπορούε λιγότερα αυτηρά α πούε ότι το 58% τω περιπτώεω που ιχύει η Η λαβάουε έα τέτοιο δηλαδή το δείγα αυτό πορεί α εωρηεί χετικά «υιολογικό» υπό τη Η Επειδή λοιπό το -vlue είαι εγαλύτερο του 5% δε απορρίπτεται τη Η Σε αυτό το ηείο αξίζει και πάλι α παρατηρήουε ότι υήως ότα είατε τη περιοχή Α αποεύγουε α πούε ότι «δεχόατε τη Η» και προτιούε όπως παραπάω α λέε ότι «δε απορρίπτουε» ή «δε έχουε αρκετά τοιχεία α απορρίψουε» τη Η πχ χρειαζόατε εγαλύτερο δείγα Αυτό υβαίει διότι α πούε ότι «δεχόατε τη Η» υπάρχει το εδεχόεο α έχουε πάρει λάος απόαη ε πιαότητα αποδ Η ιχ Η [II] η οποία ατίετα ε τη [I] πορεί α είαι αρκετά εγάλη Πχ α το παράδειγα ιχύει η Η ε τότε [ II] Φ z Φ645 Φ645 74% 5 5 Κλείοτας τη παράγραο αυτή αξίζει α ααερεί ότι έτοτας ικρότερο επίπεδο ηατικότητας ε έα έλεγχο απαιτούε για τη απόρριψη της πιο «ηατικές εδείξεις» από το παρατηρηέ δείγα ας ότι η υπεριορά τω τιώ που υγκετρώαε αποκλίει από τη υπεριορά που α ααέαε ότα η είαι αληής Έτι πορεί ε κάποιο επίπεδο ηατικότητας πχ 5 α απορρίπτουε τη και ε κάποιο ικρότερο πχ α η τη απορρίπτουε γιατί απαιτούε ηατικότερες αποδείξεις Όο πιο ικρό είαι το επίπεδο ηατικότητας το οποίο πορούε α απορρίψουε τη δηλαδή το -vlue του δείγατος τόο πιο ηατική είαι η τιή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που παρατηρείται το δείγα ε τη έοια ότι δίει πιο ιχυρές αποδείξεις εατίο της Άρα όο πιο ικρό είαι το επίπεδο ηατικότητας το οποίο πορούε α απορρίψουε τη τόο πιο ηατικό τατιτικά είαι το αποτέλεα του ελέγχου Τέλος είαι προαές ότι α η απορρίπτεται ε κάποιο επίπεδο ηατικότητας δηλαδή -vlue τότε επίης απορρίπτεται ε οποιοδήποτε εγαλύτερο διότι τότε -vlue εώ α δε απορρίπτεται ε κάποιο επίπεδο ηατικότητας δηλαδή -vlue τότε επίης δε απορρίπτεται ε οποιοδήποτε ικρότερο διότι τότε -vlue Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

6 4 Τυχαιοποιηέοι έλεγχοι Σε οριέες περιπτώεις που δε πορούε α επιτύχουε ακριβώς το επίπεδο ηατικότητας που έλουε πχ ότα η που χρηιοποιούε για το έλεγχο είαι διακριτή πορούε εαλλακτικά α πραγατοποιήουε τυχαιοποιηέο έλεγχο Για απλότητα η έοδος αυτή α παρουιατεί έα από έα παράδειγα Παράδειγα 4 υέχεια Παραδείγατος - τυχαιοποιηέος έλεγχος Σε έα εργοτάιο γίεται έλεγχος τω υκευώ της ωριαίας παραγωγής Η διαδικαία βρίκεται ετός προδιαγραώ α η πι παραγωγής ελαττωατικής υκευής 5% Για α αποαίουε α ιχύει ότι : 5% ή : 5% εξετάζουε α ιχύει όπου Χ α η -οάδα είαι ελαττωατική και διαορετικά και α ιχύει απορρίπτουε τη Η Θέλοτας α βρούε το τέτοιο ώτε [I] 5% παρατηρούε ότι [I] Η : 5% [] Η : 5% και κατακευάζουε το πίακα [] 5% Η 7 [I] 8 8 [I] 63 9 [I] 8 [I] [ ] από το οποίο γίεται ατιληπτό ότι δε πορούε α επιτύχουε ακριβώς [I] 5 Α ως περιοχή απόρριψης οριτεί η 9 τότε έχουε [I] 8 εώ α οριτεί η 8 τότε [I] 63 Συήως ε αυτή τη περίπτωη έτουε ως περιοχή απόρριψης αυτή που οδηγεί ε [I] πιο κοτά το 5 και [I] Οι έλεγχοι αυτού του τύπου ε [I] καλούται υτηρητικοί διότι απορρίπτου τη Η παιότερα δηλ ε πιαότητα ικρότερη από τη οοατική Εά όως για κάποιο λόγο επιυούε α κάουε το έλεγχο της Η ε [I] ίη ακριβώς ε τότε πορούε α κάουε το εξής: - Α 9 απορρίπτουε τη Η - Α 9 τότε απορρίπτουε τη Η ε πιαότητα γ Παρατηρώτας ότι τώρα [I] απόρ Η 9 9 απόρ Η 9 9 9 γ 9 8 γ 35 πορούε α βρούε το γ που α οδηγεί ε [I] από τη εξίωη 8 γ 35 5 Προκύπτει ότι γ 685 Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

7 Ο παραπάω έλεγχος κατά το οποίο απορρίπτουε τη ε κάποια πιαότητα καλείται τυχαιοποιηέος έλεγχος Στη πράξη παίως κατακευάζεται τυχαιοποιηέος έλεγχος Όπως α- αέραε και παραπάω υήως αρκούατε ε έα υτηρητικό έλεγχο 5 Ελεγχουάρτηη Για τη ευκολότερη διατύπωη κάποιω εοιώ και αποδείξεω ορίζουε τη ελεγχουάρτηη εός ελέγχου Οριός Ελεγχουάρτηη ή κρίουα υάρτηη για το έλεγχο της Η έατι της Η καλείται η τατιτική υάρτηη υάρτηη του τυχαίου δείγατος Χ Χ Χ Χ : K A ή γεικότερα περιλαβάοτας και τη περίπτωη τυχαιοποιηέω ελέγχω γ K A M Στη περίπτωη τυχαιοποιηέου έλεγχου ο δχ χωρίζεται ε τρία ξέα υπούολα Κ Α Μ Ω Κ Α Η ελεγχουάρτηη πορεί α εωρηεί ότι εκράζει τη πιαότητα ε τη οποία α απορρίψουε τη Η δεδοέου ότι λάβαε το δείγα Η πιαότητα απόρριψης της Η εκράζεται έω της ελεγχουάρτηης ως εξής: απόρριψης της γ γ E δηλαδή είαι ίη ε τη ααεόεη τιή της ελεγχουάρτηης Εποέως γεικά I] E και π E [ 6 Ακήεις Έτω έα τυχαίο δείγα εγέους από ια καταοή ε υάρτηη πυκότητας Για το έλεγχο της υπόεης : έατι της : χρηιοποιούε τη κρίιη περιοχή K : όπου κατάλληλη ταερά α Να υπολογιού οι πιαότητες άλατος τύπου Ι και τύπου II τη περίπτωη που επιλέγουε β Να βρεεί η τιή της ταεράς έτι ώτε η πιαότητα εάιης άλατος τύπου Ι α είαι ίη ε 9 Στη υέχεια α υπολογιεί η πιαότητα άλατος τύπου ΙΙ γ Α 8 α κάετε το έλεγχο ε 9 έω του -vlue Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

8 Έτω έα τυχαίο δείγα από τη καοική καταοή N Για το έλεγχο της υπόεη : έατι της : 4 χρηιοποιούε τη κρίιη περιοχή K : α Αού βρεεί η ταερά ώτε ο έλεγχος α έχει πιαότητα άλατος τύπου Ι ίη ε α5% α υπολογιεί η πιαότητα άλατος τύπου ΙΙ β Α 3 4 3 8 α κάετε το έλεγχο ε ε 5% 3 Σε ια κάλπη ε αίρες είαι γωτό ότι υπάρχου είτε 3 Λευκές και 7 Μαύρες αίρες είτε 7 Λευκές και 3 Μαύρες Για το έλεγχο της υπόεης Η : Η κάλπη έχει 3 Λευκές και 7 Μαύρες αίρες Η : Η κάλπη έχει 7 Λευκές και 3 Μαύρες αίρες εξάγοται 3 αίρες και η Η απορρίπτεται ότα και οι 3 αίρες είαι Λευκές Να υπολογιού οι πιαότητες άλατος τύπου Ι και τύπου II τη περίπτωη που η εξαγωγή τω 3 αιρώ γίεται α ε επαάεη β χωρίς επαάεη 4 Για το έλεγχο της υπόεης : έατι της : όπου η παράετρος της καταοής ε υάρτηη πυκότητας χρηιοποιείται τυχαίο δείγα δύο παρατηρήεω και η Η απορρίπτεται ότα ιχύει 3 4 α Να βρεεί η καταοή της τυχαίας εταβλητής S ln ln β Να υπολογιού οι πιαότητες άλατος τύπου Ι και τύπου II 5 Έτω έα τυχαίο δείγα από τη καταοή Ν Για το έλεγχο της υπόεης Η : έατι της Η : χρηιοποιείται η επόεη κρίιη περιοχή Κ: όπου κατάλληλη ταερά Να δειχεί ότι το ελάχιτο έγεος του δείγατος που απαιτείται ώτε οι πιαότητες αλάτω τύπου Ι και II του ελέγχου α είαι το πολύ ίες ε α και β ατίτοιχα δίεται από το τύπο [ z ] z β όπου το ύβολο [] παριτάει το ακέραιο έρος του 6 Έτω η πιαότητα εάιης της έδειξης "γράατα" κατά τη ρίψη εός οίατος Για το έλεγχο της υπόεης : κατά της : ρίχουε το όια ορές και έτω Χ ο αριός τω ορώ που εαίζεται "γράατα" Ποια είαι η πιαότητα άλατος τύπου Ι και ποια η ιχύς π34 του ελέγχου ε κρίιη περιοχή K : ή 8 Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

9 7 Για α αποαίουε κατά πόο έα όια είαι αερόληπτο : ή ευοεί τη εάιη της έδειξης "γράατα" : ρίχουε το όια 5 ορές και απορρίπτουε τη α είχαε 4 ή 5 εαίεις γραάτω Να υπολογιεί η πιαότητα άλατος τύπου Ι και η ιχύς του ελέγχου για 34 8 Έτω έα τυχαίο δείγα από τη καταοή Ν 4 Για το έλεγχο της υπόεης Η : έατι της Η : όπου είαι έας δοέος πραγατικός αριός χρηιοποιείται η επόεη κρίιη περιοχή K : όπου κατάλληλη ταερά Να βρεεί το και το έγεος του δείγατος ώτε για τη υάρτηη ιχύος π του ελέγχου α ιχύει π α 5 και π 5 9 Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΛΕΓΧΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Έλεγχοι απλώ τατιτικώ υποέεω o λήα Neymn erson Έα ερώτηα που δε έχει απατηεί έχρι τώρα είαι πως προδιορίζουε τη περιοχή α- πόρριψης της Η Σε προηγούεα παραδείγατα δίοτα η ορή της περιοχής Κ πχ για υγκεκριέη και απέεε α προδιοριτεί το έτι ώτε [I] Πως όως προδιορίζουε τη και πότε η επιλογή της είαι βέλτιτη Για έλεγχο απλής έατι απλής αποδεικύεται ότι πορεί α βρεεί βέλτιτη επιλογή της Τ που οδηγεί τη εγαλύτερη δυατή ιχύ Α Χ Χ Χ έα τυχαίο δείγα ~ F ε π ή ππ ιχύει το ακόλουο αποτέλεα Θεώρηα Λήα Neymn - erson Έτω ότι έλουε α ελέγξουε τη υπόεη Η : έατι της Η : ε επίπεδο ηατικότητας Α υβολίουε ε λ το λόγο λ τότε ο έλεγχος που ορίζεται από τη κρίιη περιοχή K : λ όπου ταερά τέτοια ώτε [I] παρουιάζει τη εγαλύτερη ιχύ αάεα ε όλους τους ελέγχους ε επίπεδο ηατικότητας ΙΕ - Ιχυρότατος έλεγχος Το πηλίκο λ καλείται λόγος πιαοαειώ του δείγατος Ιοδύαα ε τη διατύπωη του παραπάω εωρήατος πορούε α πούε ότι η κρίουα υάρτηη λ λ ε τέτοιο ώτε α ιχύει [ I] E οδηγεί ε έλεγχο ε τη εγαλύτερη ιχύ αάεα ε όλους τους ελέγχους ε ε Διαιητικά ότα ο λόγος πιαοαειώ λ λάβει ικρή τιή ικρότερη εός τότε ο παροοατής πιαοάεια του δείγατος υπό τη πρέπει α είαι χετικά εγαλύτερος από το αριητή πιαοάεια του δείγατος υπό τη από όπου υπεραίουε ότι ε αυτή τη περίπτωη άλλο α πρέπει α ιχύει η Η είατε τη περιοχή K Ακολουεί αυτηρή απόδειξη Απόδειξη Έτω έας άλλος έλεγχος ο οποίος έχει κρίουα υάρτηη τη * και [I] Α υβολίουε ε π π * τη ιχύ του ελέγχου ε βάη τη και τη * ατίτοιχα και K {: λ } A {: λ } τότε * * * * π π E Χ E Χ E Χ Χ d * * d K A R d Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας ε d g R υβολίουε το -πλό ολοκλήρωα ως προς Ότα K έχουε ότι * * και A έχουε ότι * * και Εποέως A K d d * * * π π R d * * E Χ Χ δηλαδή * π π Α επιυούε α κατακευάουε έα τυχαιοποιηέο έλεγχο πχ ότα δε πορούε α επιτύχουε ακριβώς το που έλουε όπως ε παραπάω παράδειγα τότε το λήα Neymn erson διατυπώεται ε το ατίτοιχο τρόπο Συγκεκριέα ε αυτή τη περίπτωη η κρίουα υάρτηη λ γ λ λ ε και γ : E I ] [ οδηγεί ε έα έλεγχο ε τη εγαλύτερη ιχύ αάεα ε όλους τους ελέγχους ε ε Η απόδειξη είαι αάλογη αυτής του η τυχαιοποιηέου ελέγχου Ας εωρήουε τη υέχεια έα τυχαίο δείγα Χ Χ Χ ~ Ν όπου η παράετρος είαι γωτή και ας προπαήουε α προδιορίουε έω του λήατος Neymn erson το ιχυρότατο έλεγχο ΙΕ ε επίπεδο ηατικότητας ε για το έλεγχο της Η : έατι της Η : για δεδοέα ε Για το λόγο πιαοαειώ λ έχουε e e e e λ π π οπότε ln λ Παρατηρούε ότι ln ln lnλ λ

Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας και επειδή η αιότητα λ είαι ιοδύαη ε τη Άρα η κρίιη περιοχή του ελέγχου περιοχή απόρριψης α έχει τη ορή Κ: για κάποιο το οποίο α καορίζεται από τη Ι Χ Κ α Εποέως το α πρέπει α είαι τέτοιο ώτε I ] [ και επειδή κάτω από τη Η ιχύει ότι ~ N υπεραίουε τελικά ότι z z Άρα ύωα ε το Λήα N- ο καλύτερος έλεγχος ε επίπεδο ηατικότητας α για τη υπόεη Η : έατι της Η : α έχει περιοχή απόρριψης: Κ: z όπου είαι η τατιτική υάρτηη Η πιαότητα άλατος τύπου ΙΙ και η ιχύς π του παραπάω ελέγχου είαι ίες ε [II] z z Φ z και π Φ Φ ] [ z z II ατίτοιχα Στο επόεο χήα αίεται διαγραατικά η περιοχή απόρριψης της υπόεης Η : έατι της Η : ε καώς και οι πιαότητες τω αλάτω τύπου Ι και τύπου ΙΙ

3 ππ της Τ Η ππ της Τ Η [II] [I] z περιοχή η απόρριψης της Η περιοχή απόρριψης της Η Α παράλληλα ε τη πιαότητα άλατος τύπου Ι έλαε α περιορίουε και τη πιαότητα άλατος τύπου ΙΙ α πορούαε α το επιτύχουε ε τη προϋπόεη ότι είχαε τη δυατότητα α υλλέξουε πολλές παρατηρήεις δηλαδή α αυξήουε το έγεος του δείγατος Πράγατι α έλαε το άλα τύπου ΙΙ α η ξεπεράει τη τιή β β πχ β % α έπρεπε α ιχύει [II] β Φ z β από όπου παίρουε διαδοχικά χρηιοποιούε και το γεγοός ότι Φ z Φ z β Φ z Φ z β z z β β β z z Στο έλεγχο που κατακευάαε για τη υπόεη Η : έατι της Η : ε παρατηρούε ότι η κρίιη περιοχή Κ: z δε εξαρτάται από τη τιή Εποέως η ίδια κρίιη περιοχή πορεί α χρηιοποιηεί και για το έλεγχο της υπόεης : έατι της Η : απλή έατι οόπλευρης Πράγατι α έχουε και πάλι [I] εώ α ιχύει η Η τότε α είαι για κάποιο και από το Λήα Neymn erson η παραπάω κρίιη περιοχή Κ α έχει τη εγαλύτερη ιχύ αάεα ε όλους τους ελέγχους ε ε Εποέως προκύπτει βέλτιτος έλεγχος για οποιαδήποτε τιή του υπό τη Η Σε αυτή τη περίπτωη ο έλεγχος καλείται Οοιόορα Ιχυρότατος Έλεγχος ΟΙΕ δηλαδή είαι ΙΕ για κάε τιή της παραέτρου υπό τη Η Προαώς η τιή της επηρεάζει τη [ΙΙ] καώς και τη ιχύ του ελέγχου Πιο υγκεκριέα ότα η τιή του αυξάεται τότε η [II] Φ z β Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

4 ειώεται εώ η ιχύς π [ II] αυξάεται Επίης η ίδια κρίιη περιοχή Κ πορεί α χρηιοποιηεί και για το έλεγχο της υπόεης : έατι της Η : οόπλευρη έατι οόπλευρης οδηγώτας και πάλι ε ΟΙΕ Το γεγοός αυτό αποδεικύεται αυτηρά έω της Εκετικής Οικογέειας Καταοώ βλ Θεώρηα παρακάτω Αξίζει α ηειωεί ότι τώρα η τιή της [I] δε είαι οαδική υπό τη Η αλλά εξαρτάται από το δηλ είαι υάρτηη του Το επίπεδο ηατικότητας του ελέγχου τώρα εωρείται ως η έγιτη πιαότητα άλατος τύπου Ι Συεπώς su [ I] su z su z su Φ z και αού η υάρτηη Φ z είαι αύξουα ως προς προκύπτει τελικά ότι su [ I] su Φ z Φ z Φ z Εποέως ο ΟΙΕ για τη απλή υπόεη Η : έατι της οόπλευρης Η : καώς και ο ΟΙΕ για τη οόπλευρη υπόεη Η : έατι της οόπλευρης Η : έχει τη ίδια κρίιη περιοχή ε το ΙΕ της απλής Η : έατι της απλής Η : ε Εργαζόεοι ε παρόοιο τρόπο πορούε α κατακευάουε τη κρίιη περιοχή για το έλεγχο της : έατι της Η : ε Πιο υγκεκριέα α έχουε και πάλι λ και επειδή τώρα ιχύει η αιότητα λ είαι ιοδύαη ε τη Άρα η κρίιη περιοχή του ελέγχου περιοχή απόρριψης α έχει τη ορή Κ: και η τιή της ταεράς βρίκεται ίη ε z βλέπε και ακόλουο χήα Εποέως ο καλύτερος έλεγχος ε επίπεδο ηατικότητας α για τη υπόεη Η : έατι της Η : ε α έχει περιοχή απόρριψης: Κ: z z Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

5 όπου είαι η ίδια τατιτική υάρτηη που χρηιοποιήαε και για τους προηγούεους ελέγχους Οοίως διαπιτώεται ότι η ίδια κρίιη περιοχή παρέχει οοιόορα ιχυρότατο έλεγχο ΟΙΕ για τη υπόεη : έατι της Η : καώς και ΟΙΕ για τη υπόεη : έατι της Η : Συοψίζοτας δίουε το ακόλουο πίακα ο οποίος περιλαβάει όλες τις περιπτώεις οόπλευρω ελέγχω για το έο εός καοικού πληυού ότα το είαι γωτό Έλεγχος για το ότα το είαι γωτό ε ε : Η : : Η : : Η : Κ: z Στατιτική υάρτηη : Η : : Η : : Η : Κ: z Στη περίπτωη που η διαπορά του πληυού είαι γωτή και το έγεος του δείγατος είαι εγάλο εωρητικά τη πράξη 3 οι παραπάω περιοχές απόρριψης ι- χύου για οποιοδήποτε πληυό όχι κατ αάγκη καοικό αού τότε πορεί α εαροεί το ΚΟΘ Όως τη περίπτωη αυτή οι ατίτοιχοι έλεγχοι είαι κατά προέγγιη επιπέδου ηατικότητας γιατί η καταοή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου δε είαι τη περίπτωη αυτή καοική αλλά προεγγίζεται από τη καοική Φυικά όο εγαλύτερο είαι το δείγα τόο καλύτερη είαι η προέγγιη Ας εωρήουε τώρα έα τυχαίο δείγα Χ Χ Χ ~ Ν όπου η παράετρος είαι γωτή και ας προπαήουε α προδιορίουε έω του λήατος Neymn erson το ιχυρότατο έλεγχο ΙΕ ε επίπεδο ηατικότητας για το έλεγχο της Η : έατι της Η : για δεδοέα ε Για το λόγο πιαοαειώ λ έχουε λ π π e e e e οπότε Παρατηρούε ότι λ ln λ ln lnλ ln ln ln Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

6 Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας ln και επειδή η αιότητα λ είαι ιοδύαη ε τη Άρα η κρίιη περιοχή του ελέγχου περιοχή απόρριψης α έχει τη ορή Κ: για κάποιο το οποίο α καορίζεται από τη Ι Χ Κ α Εποέως το α πρέπει α είαι τέτοιο ώτε I ] [ και επειδή κάτω από τη Η ιχύει ότι ~ χ n α έχουε ] [ I χ α α οπότε χ χ όπου ε χ υβολίζεται το άω -ηείο της χι τετράγωο καταοής ε βε Άρα ύωα ε το Λήα N- ο καλύτερος έλεγχος ε επίπεδο ηατικότητας α για τη υπόεη Η : έ- ατι της Η : ε α έχει περιοχή απόρριψης Κ: χ ή ιοδύαα Κ: χ όπου είαι η τατιτική υάρτηη Η πιαότητα άλατος τύπου ΙΙ και η ιχύς π του παραπάω ελέγχου είαι ίες ε ] [ F II χ χ χ χ F χ χ π ατίτοιχα όπου ε χ F έχουε υβολίει τη αροιτική υάρτηη καταοής της χι τετράγωο καταοής ε βε Στο έλεγχο που κατακευάαε για τη υπόεη Η : έατι της Η : ε παρατηρούε ότι η κρίιη περιοχή

7 Κ: χ δε εξαρτάται από τη τιή Εποέως όοια ε τη περίπτωη τω ελέγχω για το που εξετάαε παραπάω η ίδια κρίιη περιοχή πορεί α χρηιοποιηεί και για το έλεγχο της υπόεης Η : έατι της Η : απλή έατι οόπλευρης καώς και για το έλεγχο της υπόεης Η : έατι της Η : οόπλευρη έατι οόπλευρης οδηγώτας ε ΟΙΕ ε ε Για τη δεύτερη περίπτωη η αυτηρή απόδειξη γίεται έω της Εκετικής Οικογέειας Καταοώ βλ Θεώρηα παρακάτω Εργαζόεοι ε παρόοιο τρόπο πορούε τέλος α κατακευάουε τη κρίιη περιοχή για το έλεγχο της Η : έατι της Η : ε Πιο υγκεκριέα α έχουε και πάλι λ και επειδή τώρα ιχύει η αιότητα λ είαι ιοδύαη ε τη Άρα η κρίιη περιοχή του ελέγχου α έχει τη ορή Κ: και η τιή της ταεράς βρίκεται ίη ε χ Εποέως ο καλύτερος έλεγχος ε επίπεδο ηατικότητας α για τη υπόεη Η : έατι της Η : ε α έχει περιοχή απόρριψης Κ: χ όπου είαι η ίδια τατιτική υάρτηη που χρηιοποιήαε και για τους προηγούεους ελέγχους Οοίως διαπιτώεται ότι η ίδια κρίιη περιοχή παρέχει ΟΙΕ για τη υπόεη Η : έατι της Η : καώς ΟΙΕ για τη υπόεη Η : έατι της Η : Συοψίζοτας δίουε το ακόλουο πίακα ο οποίος περιλαβάει όλες τις περιπτώεις οόπλευρω ελέγχω για το εός καοικού πληυού ότα το είαι γωτό Έλεγχοι για το ότα το είαι γωτό Η : Η : : Η : : Η : : Η : : Η : : Η : Κ: χ Κ: χ Στατιτική υάρτηη Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

8 Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Κατακευή Οοιόορα Ιχυρότατω Ελέγχω ΟΙΕ έω της Εκετικής Οικογέειας Καταοώ ΕΟΚ Σε αυτή τη παράγραο προτείεται ια έοδος κατακευής βέλτιτω ελέγχω για οόπλευρες υποέεις έω της οοπαραετρικής εκετικής οικογέειας καταοώ Οριός Εκετική οικογέεια καταοώ EOK καλείται η οικογέεια τω καταοώ ε ππ ή π της ορής e η B όπου Β η Τ Η είαι πραγατικές υαρτήεις και το τήριγα {: } της δε εξαρτάται από τη παράετρο Ιοδύαα ερικές ορές η γράεται τη ορή e h η β Υπευίζεται ότι α ια τυχαία εταβλητή αήκει τη ΕΟΚ δηλαδή η καταοή της αήκει τη ΕΟΚ τότε η έη τιή και η διακύαη της τυχαίας εταβλητής δίοται από τους τύπους ] [ η B E ] [ η η B V Πράγατι παραγωγίζοτας ως προς και τα δύο έρη της γωτής ιότητας d λαβάεται ότι d e η B η B ή ιοδύαα E η B από όπου προκύπτει η πρώτη χέη Η δεύτερη χέη αποδεικύεται όοια ε παραγώγιη ας τάξης ως προς αήεται ως άκηη Η περίπτωη διακριτής καταοής αποδεικύεται ε το ίδιο τρόπο ως υήως χρηιοποιώτας αροίατα ατί ολοκληρώατα A έα τυχαίο δείγα Χ Χ Χ ~ EOK τότε για το έλεγχο της Η : έατι της Η : ε ε ο ιχυρότατος έλεγχος ΙΕ έχει περιοχή απόρριψης της ορής K λ : όπου : [I] από το λήα Neymn-erson Επειδή η αήκει τη εκετική οικογέεια καταοώ α είαι e e e K η η B B η B η B λ : και εποέως η αιότητα λ οδηγεί τη υήκη η η Παρατηρούε ότι α η υάρτηη η είαι αύξουα τότε η η και εποέως η κρίιη περιοχή περιοχή απόρριψης της Η α έχει τη ορή : K Ατίετα α η η είαι ίουα τότε

9 Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας : K όπου : I ] [ Άρα α EOK τότε προκύπτει άεα η περιοχή απόρριψης που οδηγεί ε ΙΕ για τη Η : έατι της Η : αρκεί α προδιορίουε τη οοτοία της η Όοια προκύπτει ΙΕ για τη Η : έατι της Η : η αιότητα τη περιοχή α- πόρριψης α είαι ατίετη Γεικότερα πορούε α αποδείξουε ότι οι παραπάω περιοχές α- πόρριψης οδηγού ε οοιόορα ιχυρότατους ελέγχους για οόπλευρες υποέεις της ορής Η : ε Η : και Η : ε Η : βλ εώρηα που ακολουεί Έας έλεγχος καλείται οοιόορα ιχυρότατος ΟΙΕ α για κάε τιή του υπό τη Η έχει τη εγαλύτερη ιχύ αάεα ε όλους τους ελέγχους ε ε Θεώρηα ΟΙΕ τη ΕΟΚ Έτω EOK ε η και ότι έλουε α ελέγξουε τη υπόεη Η : έατι της Η : ε ε δηλ I ] [ m Ο έλεγχος ε κρίιη περιοχή απόρριψης της Η της ορής K : όπου τέτοιο ώτε I ] [ είαι Οοιόορα Ιχυρότατος Έλεγχος ΟΙΕ Μάλιτα ιχύει ότι ] [ ] [ m I I Ιοδύαα πορούε α πούε ότι η κρίουα υάρτηη ε τέτοιο ώτε E I ] [ οδηγεί ε ΟΙΕ Απόδειξη Αού EOK ε η για α ιχύει ότι η η και για K η η B B η B η B e h e h e e η η B B και όοια για Α Α υβολίουε b ] [ Χ E I τότε ] [ ] [ I I b E Χ d b d A K d b d b A K d b d b b b b E Χ

3 Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας για Εποέως I I ] [ ] [ m Έτω τώρα άλλος έλεγχος ε κρίουα υάρτηη * και I ] [ m * Συβολίζουε ε π π * για τη ιχύ τω * ατίτοιχα Ό- οια ε παραπάω για βρίκουε ότι για K και για Α Εποέως για * * π π Χ Χ E E * Χ Χ E A K d d * * A K d d * * ] [ ] [ ] [ * * * I I I E Χ Χ δηλαδή π * π για κάε Για διακριτές καταοές ιχύει παρόοια απόδειξη ε αροίατα ατί ολοκληρώατα Όοια καλύπτοται όλες οι περιπτώεις οόπλευρω ελέγχω Συγκεκριέα α : ΕΟΚ ο ακόλουος πίακας περιλαβάει τις περιοχές απόρριψης της Η που οδηγού ε ΟΙΕ ε όλες τις δυατές περιπτώεις οόπλευρω ελέγχω η η η η Η Η : Η : Η : Η : Η : Η : Η : Η : ΟΙΕ K : K : K : K : Η ταερά προδιορίζεται έτι ώτε α ιχύει I ] [ Παράδειγα 5: Έτω τυχαίο δείγα Χ Χ Χ από τη Διωυική καταοή bn ε n γωτό Ιχύει ότι ln ln ln ln n n ln ln ln η B n n όπου n η n B ln ln ln Επειδή

3 Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας ln η η η υάρτηη η είαι αύξουα και για το έλεγχο πχ Η : έατι της Η : η κρίιη περιοχή K v v : α ορίζει ΟΙΕ Παράδειγα 6: Έτω τυχαίο δείγα Χ Χ Χ ~ N ε γωτό Ιχύει ότι ln η B e e e π π και επειδή η υάρτηη η είαι αύξουα για το έλεγχο Η : έατι της Η : η κρίιη περιοχή K v v : ορίζει ΟΙΕ Α έλουε [I] τότε α πρέπει v z z I ] [ όπου ε z υβολίζεται το άω -ηείο της Ν ελικά ο ΟΙΕ ε ε της υπόεης Η : έατι της Η : α έχει κρίιη περιοχή z K : Με το ίδιο τρόπο βρίκουε ότι ο ΟΙΕ ε ε της υπόεης Η : έατι της Η : α έχει κρίιη περιοχή z K : Τα αποτελέατα αυτά υωού ε εκεία που παρουιάτηκα τη Παράγραο 3 Παράδειγα 7: Έτω τυχαίο δείγα Χ Χ Χ από τη καταοή Γάα e λ λ Γ όπου το εωρείται γωτό και το λ άγωτη παράετρος Ιχύει ότι ln ln ln ln η B Γ λ λ λ λ όπου ln ln ln η B Γ λ λ λ λ Επειδή λ λ η πχ για το έλεγχο Η : λ λ έατι Η : λ λ

3 η κρίιη περιοχή που οδηγεί ε OIE είαι της ορής K : Ας εωρήουε τη υέχεια έα τυχαίο δείγα Χ Χ Χ από τη εκετική καταοή ε υάρτηη πυκότητας πιαότητας e και ας εξετάουε το πρόβληα της κατακευής οοιόορα ιχυρότατου έλεγχου ε ε της Η : έατι της Η : Δεδοέου ότι η εκετική καταοή αποτελεί ειδική περίπτωη της καταοής Γάα ε και λ α πορούαε α γράψουε τη υπόεη που ας εδιαέρει τη ιοδύαη ορή Η : λ λ έατι της Η : λ λ και α υπεράουε ότι η κρίιη περιοχή του OIE είαι της ορής K : Στη περίπτωη που διαέτουε εγάλο δείγα 3 ο προδιοριός της ταεράς ώτε α επιτευχεί υγκεκριέο ε πορεί α γίει εύκολα ε χρήη του Κετρικού Οριακού Θεωρήατος ΚΟΘ Από το ΚΟΘ γωρίζουε ότι ιχύει κατά προέγγιη και εποέως [ I] Η υήκη [ I] δίει διαδοχικά ~ N Φ οπότε Φ Φ [ I] Φ z n z και η κρίιη περιοχή του OIE είαι η K : z ή ιοδύαα K : z z Τέλος η πιαότητα άλατος τύπου ΙΙ και η ιχύς α δίεται προεγγιτικά από τους τύπους [ ] Φ II Φ z π II Φ z Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

33 3 Ακήεις Έτω τυχαίο δείγα Χ Χ Χ ~ Ν όπου 6 6 και είαι άγωτη παράετρος α Να βρεεί η περιοχή απόρριψης Κ για το έλεγχο της υπόεης Η : έατι της Η : για 5 55 ε ε 5 β Να βρείτε τη πιαότητα άλατος τύπου ΙΙ και τη ιχύ π του παραπάω ελέγχου Ε- πίης α βρεεί πόο α έπρεπε α ήτα το έγεος του δείγατος ώτε η ιχύς α είαι τουλάχιτο β 95 ότα Επιυούε α εξετάουε α ο έος εός καοικού πληυού N είαι Η ή Η Λαβάουε τυχαίο δείγα εγέους το οποίο βρίκουε έο α Α 5 α κάετε το υγκεκριέο έλεγχο ε ε α 5% β Να υπολογίετε το -vlue του παραπάω δείγατος και έω αυτού α επαελέγξετε τη Η έατι της Η Τι πορεί α εωρηεί ότι εκράζει το -vlue γ Α ο ίδιος δειγατικός έος προέκυπτε από δείγα 5 τι απόαη α παίραε Να βρείτε το ατίτοιχο -vlue δ Πόο πρέπει α είαι το ώτε π β 95 3 Η έη γεωργική παραγωγή αά τρέα εός υγκεκριέου προϊότος ε ια αγροτική περιοχή είαι 35 τόοι ε τυπική απόκλιη 3 τόους Μετά τη χρηιοποίηη εός έου λιπάατος η έη παραγωγή ε τυχαία επιλεγέα τρέατα αήλε τους 356 τόους Να ε- λέγξετε ε ε 5% α η υγκεκριέη αύξηη είαι τατιτικά ηατική δηλαδή α το υγκεκριέο λίπαα ευοεί τη αύξηη της έης παραγωγής εωρείτε ότι η διαπορά της παραγωγής έχει παραείει η ίδια Να βρείτε το ατίτοιχο -vlue του δείγατος 4 Με βάη έα τυχαίο δείγα Χ Χ Χ ~ Ν8 έλουε α ελέγξουε ε ε α 5% τη Η : 8 έατι της Η : 76 Να δειχεί ότι η κρίιη περιοχή του IE είαι της ορής K: Να βρεεί το ελάχιτο και το έτι ώτε [I] 5 [II] 5 Έτω έα τυχαίο δείγα Χ Χ Χ ~ Ν α Α α δοεί η κρίιη περιοχή του ελέγχου ε ε 5% της υπόεης Η : έατι της Η : Στη υέχεια α βρεεί η πιαότητα άλατος τύπου ΙΙ και η ιχύς του παραπάω ελέγχου β Να βρεεί το ελάχιτο έγεος του δείγατος ώτε η ιχύς α ελέγχου ε ε 5% της υπόεης Η : έατι της Η : α είαι τουλάχιτο 95 6 Επιυούε α ελέγξουε α η τιή πώληης εός αγαού έχει διαπορά ίη ε 9 ή εγαλύτερη από 9 Λαβάοτας τυχαίο δείγα εγέους 3 βρίκουε ε αυτό δειγατική διαπορά και δειγατικό έο Να ελέγξετε τη παραπάω υπόεη ε ε % έω κατάλληλης κρίιης περιοχής K και έω του ατίτοιχου -vlue εωρώτας ότι η τιή του αγαού ακολουεί καοική καταοή ε έο Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

34 7 Έτω τυχαίο δείγα Χ Χ Χ όπου οι τυχαίες εταβλητές Χ ακολουού τη καταοή osson ε παράετρο λ α Να δείξετε ότι η περιοχή απόρριψης του ιχυρότατου ελέγχου της Η : λ λ έατι της Η : λ λ ε λ λ είαι της ορής β Α λ 3 λ 4 α 5 α βρεεί ο ικρότερος ακέραιος που οδηγεί ε [I] υτηρητικός έλεγχος ε [I] όο το δυατό πιο κοτά το Να βρείτε τη ατίτοιχη ιχύ γ Α λ 3 λ 4 α 5 α κατακευάετε έα τυχαιοποιηέο έλεγχο γ ώτε [I] α και α βρείτε τη ιχύ του δ Σε έα ηείο της εικής οδού ο έος αριός ατυχηάτω που υβαίου τη περίοδο Μάιο - Σεπτέβριο είαι λ 3 αά εβδοάδα Μετά από κάποια έργα που έγια το ηείο αυτό τα οποία ολοκληρώηκα αρχές Μαΐου καταγράηκα τα ακόλουα ατυχήατα τις επόεες εβδοάδες: Αυξήηκε η ε- πικιδυότητα του υγκεκριέου ηείου Να δώετε το -vlue του παραπάω δείγατος 8 Έτω τυχαίο δείγα εγέους n από τη καταοή ε ππ [] Να βρεεί ΟΙΕ ε ε για τη υπόεη Η : έατι της Η : και α δοεί η ατίτοιχη υάρτηη ιχύος π 9 Έτω Χ Χ Χ τυχαίο δείγα από τη εκετική καταοή ε ππ e α Να βρεεί οοιόορα ιχυρότατος έλεγχος ε ε της Η : έατι της Η : β Να βρεεί η υάρτηη ιχύος π γ Ο έος χρόος διάρκειας ιας τηλεωικής κλήης ε έα δίκτυο είαι λεπτά Μετά από ια είωη της χροοχρέωης τω κλήεω το δίκτυο αυτό καταγράηκε η διάρκεια 3 κλήεω η οποία ήτα υολικά 66 λεπτά δηλ δειγατική έη διάρκεια κλήης λεπτά Υποέτοτας ότι η διάρκεια ιας κλήης ακολουεί εκετική καταοή α ελέγξετε ε ε α α η αύξηη αυτή είαι τατιτικά ηατική δηλαδή α επήλε πραγατική αύξηη της έης διάρκειας ιας κλήης ετά τη είωη της χρέωης Να βρεεί το ατίτοιχο -vlue του δείγατος Έτω Χ Χ Χ τυχαίο δείγα από τη καταοή Webull ε ππ β β β e και β γωτό α Να βρεεί οοιόορα ιχυρότατος έλεγχος ε ε της Η : έατι της Η : β Να βρεεί η υάρτηη ιχύος π Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

35 Έτω έα τυχαίο δείγα: το οποίο προέρχεται από τη γεωετρική καταοή ε π Να ελέγξετε ε ε 5% α ιχύει η Η : 3 έατι της Η : 3 έω του - vlue του δείγατος Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

36 3 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΛΟΓΟΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΩΝ - ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕ- ΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ ΕΝΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ 3 Γεικευέος λόγος πιαοαειώ Στη Εότητα είδαε ότι έω του λήατος Neymn-erson πορούε α κατακευάζουε ιχυρότατους ελέγχους απλώ υποέεω Διαπιτώαε επίης ότι ε υδυαό ε το λήα αυτό πορεί α ααπτυχεί κατάλληλη εοδολογία για τη δηιουργία ΟΙΕ τη ΕΟΚ για το έλεγχο οόπλευρω υποέεω της ορής Η : Η : και Η : Η : Ωτόο τη γεικότερη περίπτωη όπου πχ πορεί α έχουε αίπλευρες υποέεις της ορής Η : Η : ή πορεί τους ελέγχους α επλέκοται άγωτες παράετροι πχ το έλεγχο για το καοικής ε το α είαι άγωτο δε πορούε α εργατούε έω του λήατος Neymn-erson για τη δηιουργία ΟΙΕ Σε αυτή τη περίπτωη α δούε ότι πορεί α χρηιοποιηεί ια επέκταη του λήατος Neymn-erson που α και δε οδηγεί πάτα ε βέλτιτο έλεγχο δίει αρκετά ικαοποιητικά αποτελέατα τις περιότερες περιπτώεις Έτω τυχαίο δείγα Χ Χ από καταοή ε π ή ππ k και ότι έλουε α ελέγξουε τη Η : Θ έατι της Η : Θ Τότε γεικεύοτας το λήα Neymn-erson επιλέγουε ως περιοχή απόρριψης της Η αυτή που ορίζεται από τη αιότητα su Θ λ su Θ όπου είαι η πιαοάεια του δείγατος Στη πράξη για τη απλοποίηη της διαδικαίας τις περιότερες ορές το παροοατή λαβάεται το su για όλα τα Θ Θ Εποέως ύωα κριτήριο του γεικευέου λόγου πιαοαειώ ΓΛΠ α α- πορρίπτεται η Η : Θ έατι της Η : Θ ε ε ότα ιχύει λ su Θ su Θ U Θ su Θ su Θ Θ U όπου το καορίζεται έτι ώτε su [ I] Έτι η κρίιη περιοχή του ελέγχου α είαι η K : λ Από το κριτήριο γεικευέου λόγου πιαοαειώ δε προκύπτει απαραίτητα βέλτιτος έλεγχος δηλαδή ε τη εγαλύτερη ιχύ από όλους τους ελέγχους ε επίπεδο ηατικότητας για κάε Θ Κάτι τέτοιο εξάλλου δε α ήτα δυατό αού αποδεικύεται ότι υπάρχου περιπτώεις πχ έλεγχοι αίπλευρω υποέεω όπου δε πορεί α υπάρξει τέτοιος έλεγχος Παρόλα αυτά το κριτήριο του γεικευέου λόγου πιαοαειώ είαι έα εύχρητο εργαλείο που τις περιότερες περιπτώεις δίει αρκετά ικαοποιητικά αποτελέατα Στις επόεες παραγράους α εαρόου- Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας

37 Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας ε το κριτήριο του γεικευέου λόγου πιαοαειώ για α κατακευάουε ελέγχους για τις παραέτρους καοικώ πληυώ 3 Έλεγχος υποέεω για το έο εός καοικού πληυού ότα η διαπορά είαι γωτή Έτω Χ Χ Χ τυχαίο δείγα από τη καοική καταοή Ν ε γωτό Θα ααζητήουε τη κρίιη περιοχή του ελέγχου της Η : έατι της : έω του γεικευέου λόγου πιαοαειώ ΓΛΠ ε ε Σε αυτή τη περίπτωη ουιατικά ααζητούε έλεγχο τω υποέεω Η : Θ { } έατι της Η : Θ και εποέως η περιοχή απόρριψης ύωα ε το ΓΛΠ α είαι της ορής su su su λ : Θ Θ Θ K R όπου είαι η πιαοάεια του τυχαίου δείγατος εγέους π π e e Στο παροοατή του λ α πρέπει α βρούε το που εγιτοποιεί τη πιαοάεια ή ιοδύαα τη ln ε όλο το παραετρικό χώρο R Είαι όως γωτό ότι η πιαοάεια εγιτοποιείται το που είαι ίο ε τη εκτιήτρια έγιτης πιαοάειας ΕΜΠ του εξ οριού της ΕΜΠ Δηλαδή η εγιτοποιείται το ˆ όπου ˆ Πράγατι d d ˆ ln και η δεύτερη παράγωγος το είαι αρητική Εποέως Χ e e Χ K Χ R su λ : ή ιοδύαα Το καορίζεται έτι ώτε I ] [ δηλαδή

38 Φ Φ Φ Φ z όπου ε z υβολίζεται το άω -ηείο της Ν Τελικά η περιοχή απόρριψης της Η α είαι K : z Σε προηγούεη παράγραο είχαε δώει ε πίακα τις κρίιες περιοχές για τις ατίτοιχες οόπλευρες υποέεις Συπληρώοτας και το αίπλευρο έλεγχο παίρουε το ακόλουο πίακα ο οποίος περιλαβάει όλες τις περιπτώεις ελέγχω για το έο καοικού πληυού ότα το είαι γωτό Έλεγχος για το ότα το είαι γωτό ε ε : Η : : Η : : Η : Κ: z : Η : : Η : : Η : Κ: z Στατιτική υάρτηη Η : Η : Κ: z 33 Έλεγχος υποέεω για το έο εός καοικού πληυού ότα η διαπορά είαι άγωτη Η υπόεη που κάαε τη προηγούεη εότητα ότι η διαπορά του καοικού πληυού που ελετάε είαι γωτή δε είαι ια ρεαλιτική υπόεη Στη πράξη η διαπορά του πληυού είαι υήως άγωτη Στη παρούα εότητα α δούε πώς εργαζόατε ότα η διαπορά του πληυού είαι άγωτη Έτω Χ Χ Χ τυχαίο δείγα από τη καοική καταοή Ν ε άγωτο Θα α- αζητήουε και πάλι τη κρίιη περιοχή του ελέγχου της Η : έατι της : έω του γεικευέου λόγου πιαοαειώ ΓΛΠ ε ε Σε αυτή τη περίπτωη ουιατικά ααζητούε έλεγχο τω υποέεω Η : Θ { } R έατι της Η : Θ R-{ } R και η περιοχή απόρριψης α προκύπτει έω της αιότητας λ όπου λ ο ΓΛΠ Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας