Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 3x 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)= i-2 22, xi=1,2,3,4. α) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: P(X=x i) β) Να βεβαιωθείτε ότι πρόκειται για κατανομή πιθανότητας. γ) Να βρεθούν η μέση τιμή, η διασπορά και η τυπική απόκλιση. 2) Για τη τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει ο παρακάτω πίνακας: P(X=x i) 2/5 1/6 1/3 1/10 α) Να βεβαιωθείτε ότι πρόκειται για κατανομή πιθανότητας. γ) Να βρεθούν η μέση τιμή, η διασπορά και η τυπική απόκλιση. 3) Για τις τυχαίες διακριτές μεταβλητές Χ και Υ ισχύουν οι παρακάτω πίνακες: P(X=x i) 1/8 2/8 3/8 2/8 y i -20 1 10 30 P(X=x i) 2/8 2/8 3/8 1/8 α) Να βεβαιωθείτε ότι πρόκειται για κατανομή πιθανότητας. β) Να βρεθούν η μέση τιμή, η διασπορά και η τυπική απόκλιση. (2.75-0.9375-242.69) 4) Στη ρουλέτα τα 37 εξαγόμενα από το 0 έως το 36 είναι ισοπίθανα. Όταν η μπάλα κάθεται στο 10 κερδίζουμε 10 ευρώ, αν κάθεται σε ένα αριθμό που τελειώνει σε 5 κερδίζουμε 5 ευρώ, διαφορετικά δεν κερδίζουμε τίποτα. Αν Χ είναι η τ.μ που παριστάνει το ποσό που κερδίζουμε να βρεθεί η μέση τιμή της. (30/37) 1
5) Να βρείτε την μέση τιμή για κάθε μια από τις μεταβλητές Χ,Υ και Ζ οι οποίες έχουν τις ακόλουθες κατανομές πιθανότητας. 5 6 Άθροισμα P(X=x i) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 y i 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 Άθροισμα P(Y=y i) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1 z i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Άθροισμα P(Z=z i) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1 (3,5-49/12-7) 6) Η τ.μ Χ έχει την διπλανή κατανομή πιθανότητας: Αν Ε(Χ)=3, να βρεθούν τα α, β. (α=0,2-β=0,4) P(X=x i) 0,1 α 0,3 β 7) Οι οργανωτές μια λαχειοφόρου αγοράς τύπωσαν 1000 λαχνούς αριθμημένους από το 1 έως το 1000. Ο κανονισμός προβλέπει τα ακόλουθα: 5 εισιτήρια κερδίζουν από 500 ευρώ. 12 εισιτήρια κερδίζουν από 100 ευρώ. 25 εισιτήρια κερδίζουν από 30 ευρώ. 55 εισιτήρια κερδίζουν από 10 ευρώ. Τα υπόλοιπα εισιτήρια δεν κερδίζουν τίποτα. Όλα τα εισιτήρια πουλήθηκαν. α) Ποια πρέπει να είναι η τιμή του κάθε λαχνού έτσι ώστε η λαχειοφόρος αγορά να έχει κέρδος 5000 ευρώ; β) Έστω Χ η τ.μ που παριστάνει το κέρδος του κάθε εισιτηρίου. Να βρεθεί η κατανομή πιθανότητας της Χ η μέση τιμή, η διασπορά και η διακύμανσή της. (10-(0,903-0,055-0,025-0,012-0,005)-5-1373-37,05) 8) Να βρείτε την μέση τιμή για κάθε μια από τις μεταβλητές Χ, Υ οι οποίες έχουν τις ακόλουθες κατανομές πιθανότητας: x i 0 1 2 3 4 y i -2-1 0 1 2 3 P(X=x i) 1/8 3/8 1/8 1/4 1/8 P(Y=y i) 0,15 0,25 0,3 0,05 0,2 0,05 (15/8-0,05) 2
9) Να βρείτε την μέση τιμή και την διασπορά για κάθε μια από τις μεταβλητές Χ, Υ οι οποίες έχουν τις ακόλουθες κατανομές πιθανότητας: 5 6 7 y i 3 4 5 6 7 P(X=x i) 0,1 0,2 0,1 0,2 0,1 0,2 0,1 P(Y=y i) 1/18 5/18 7/18 1/18 4/18 (4-3,6-46/9-116/81) 10) Ένα αμερόληπτο ζάρι έχει τις ενδείξεις 1,2,2,3,3 και 3. Ρίχνουμε το ζάρι μια φορά και ονομάζουμε με Χ την τ.μ που δείχνει το αποτέλεσμα της πάνω όψης. α) Να βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση της Χ. β) Ρίχνουμε το ζάρι δύο φορές και έστω Υ η τ.μ που παριστάνει το άθροισμα των δύο αποτελεσμάτων. Αφού γράψετε την κατανομή πιθανότητας της Υ να βρείτε την μέση τιμή της και την διασπορά της. (14/3-10/9) 11) Ένα κουτί περιέχει 5 κόκκινα σφαιρίδια, 3 πράσινα σφαιρίδια και 2 μπλε. Βγάζουμε ένα σφαιρίδιο τυχαία από το κουτί. Αν το σφαιρίδιο είναι μπλε κερδίζουμε 10 ευρώ, αν είναι πράσινο κερδίζουμε 5 ευρώ και αν είναι κόκκινο χάνουμε 1 ευρώ. Για κάθε σφαιρίδιο που τραβάμε ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή Χ ως το αντίστοιχο κέρδος. α) Να γραφεί η κατανομή πιθανότητας της Χ. β) Να υπολογισθεί η μέση τιμή, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση της Χ. (3-19-4,36) 12) Σε μια λαχειοφόρο αγορά προσφέρονται τα ακόλουθα δώρα: ένα αυτοκίνητο αξίας 20 000, 5 τηλεοράσεις αξίας 500 η κάθε μία και 50 ποδήλατα αξίας 200 το καθένα. Πουλήθηκαν 50 000 λαχνοί. Να βρείτε την αναμενόμενη τιμή κάθε λαχνού. Αν ο λαχνός πουληθεί 1 ποιο είναι το κέρδος που αναμένεται από κάθε λαχνό; (0,65-0,35) 13) Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει κουμπιά. Στο τέλος της διαδικασίας κάποια έχουν ελαττώματα. Η τ.μ Χ συνδέει κάθε κουμπί με το πλήθος των ελαττωμάτων του. Μια στατιστική μελέτη έδωσε τον παρακάτω πίνακα κατανομής της Χ: x i 0 1 2 3 P(X=x i) 0,92 0,06 0,016 0,004 Να υπολογισθεί η μέση τιμή, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση της Χ. (0,104-0,149-0,386) 3
14) Σ ένα λούνα παρκ ο παίκτης πληρώνει 3 και ρίχνει 2 αμερόληπτα ζάρια. i) Αν το αποτέλεσμα είναι διπλή ζαριά (π.χ άσσοι ή εξάρες κλπ), ο παίκτης κερδίζει το ποσό σε που αντιστοιχεί στο άθροισμα των αριθμών που σημειώνονται στα δύο ζάρια. ii) Αν το αποτέλεσμα περιλαμβάνει ένα μόνο 6, ο παίκτης κερδίζει το ποσό σε που αντιστοιχεί στο άλλο ζάρι. iii) Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις ο παίκτης χάνει. Αν συμβολίσουμε με Χ την τμ που εκφράζει το κέρδος του παίκτη, να βρεθεί ο πίνακας κατανομής πιθανότητας της Χ και η μέση τιμή της. x i -3-2 -1 0 1 2 3 5 7 9 P(X=x i) 20/36 2/36 3/36 2/36 3/36 2/36 1/36 1/36 1/36 1/36 (-1) 15) Η τμ Χ έχει την διπλανή κατανομή πιθανότητας: Αν Ε(Χ)=0, να βρεθούν τα α, β. (α=0,1-β=0,3) x i -2-1 0 1 2 P(X=x i) 0,2 α 0,3 β 0,1 16) Σ ένα παιχνίδι ο παίκτης ρίχνει ένα ζάρι. Αν έρθει 2 κερδίζει 20, αν έρθει 4 κερδίζει 40, ενώ χάνει 30 αν έρθει 6. Σε οποιοδήποτε άλλο αριθμό ούτε χάνει ούτε κερδίζει. Πόσα ευρώ αναμένεται να κερδίσει σ αυτό το παιχνίδι; Ποια είναι η τυπική απόκλιση; (5-21,4) 17) Η τμ Χ έχει την διπλανή κατανομή πιθανότητας: Να βρεθούν το α και η μέση τιμή της κατανομής (α=0,2-2,8) 5 P(X=x i) α 0,3 0,2 0,1 0,2 18) Σ ένα παιχνίδι ο παίκτης αφήνει ένα σφαιρίδιο μέσα σε μια συσκευή η οποία περιέχει 6 πόρτες εξόδου αριθμημένες από το 1 έως το 6. Η κατανομή πιθανότητας για κάθε πόρτα δίνεται από τον παρακάτω πίνακα:. 5 6 P(X=x i) 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32 Κάθε φορά που παίζει ένας παίκτης βάζει 2. Αν το σφαιρίδιο περάσει από τις πόρτες 1 ή 6 παίρνει 12, ενώ αν περάσει τις πόρτες 3 ή 4 παίρνει 2. Για τις 2 ή 5 δεν παίρνει τίποτα. Το κέρδος του παίκτη είναι αυτά που παίρνει μείον αυτά που βάζει. Συμβολίζουμε με Υ την τμ που παριστάνει το κέρδος σε κάθε ρίψη. α) Να γραφεί η κατανομή πιθανότητας της Υ. β) Είναι δίκαιο το παιχνίδι, δηλαδή ισχύει Ε(Υ)=0; (α) -2-10/32, 0-20/32, 10-2/32 β) ναι) 4
19) Σ ένα παιχνίδι ρουλέτας τα 37 εξαγόμενα: 0,1,2,,36 είναι ισοπίθανα. Το 0 είναι πράσινου χρώματος και υπάρχουν ακόμα 18 κόκκινοι αριθμοί και 18 μαύροι. Ένας τρόπος παιξίματος είναι να βάλουμε 1 στο κόκκινο (18 αριθμοί) και αν βγει κόκκινος αριθμός κερδίζουμε 1, διαφορετικά χάνουμε. Άλλος τρόπος παιξίματος είναι να βάλουμε 1 σε ένα συγκεκριμένο αριθμό και αν βγει κερδίζουμε 35, αλλιώς τίποτα. Να συγκριθούν μέσω της μέσης τιμής και της τυπικής απόκλισης οι δύο τρόποι παιξίματος. (-1/37-1-5,83) 5