Να ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο.

Σχετικά έγγραφα
f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ:

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (iv) (ii) (ii) (ii) 5. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι λα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : x 6 3 9x

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου

Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ

ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

ΣΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 3/2/2016 Γηάξθεηα Δμέηαζεο: 2 ώξεο θαη 30 ιεπηά Ομάδα Α

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ηόρνη ηεο δηάιεμεο Ση είλαη γξάθνο; Πνηνη είλαη νη δηάθνξνη ηύπνη γξάθσλ; Ση είλαη ην πξόβιεκα ηζνκνξθηζκνύ ησλ γξάθσλ;

1. Άζξνηζκα. Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: ( ) ( )

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δωξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ψεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.

x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1

x x 15 7 x 22. ΘΔΜΑ Α 3x 2 9x 4 3 3x 18x x 5 y 9x 4 Α1. i. . Η ιύζε είλαη y y x 3y y x 3 2x 6y y x x y 6 x 2y 1 y 6

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Σύνθετα Δίκτυα. com+plex: with+ -fold (having parts) Δηδάζθσλ Δεκήηξηνο Καηζαξόο

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων

Μνλνδηάζηαηνη Πίλαθεο Λπκέλεο Αζθήζεηο. Άζθεζε 1. Πνηά ζα είλαη ηα πεξηερόκελα ηνπ πίλαθα Α κεηά ηελ εθηέιεζε ηνπ παξαθάησ αιγνξίζκνπ;

Γεωμεηπικοί Τόποι Σςμμεηπίερ Α Λυκείου - Γεωμετρία

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά):

3 ΑΠΙΔ ΑΘΖΔΗ ΘΟΚΟΙΟΓΗΑ ΠΟΤ ΑΛΣΗΚΔΣΩΠΗΕΟΛΣΑΗ ΚΔ ΦΤΗΘΖ ΘΑΗ ΚΑΘΖΚΑΣΗΘΑ ΙΤΘΔΗΟΤ

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση

Ηλεκηπονικά Απσεία και Διεπαθέρ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

f x 2xln x x x 2ln x 1 x f x 0 x 2ln x 1 0 2ln x 1 0 ln x ln e x e

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Χαξαθηήξεο δηαηξεηόηεηαο ΜΚΓ ΔΚΠ Αλάιπζε αξηζκνύ ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ

Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο

Β. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ

1. (Epp 30) Γξάςηε ηελ άξλεζε ησλ παξαθάησ ινγηθώλ πξνηάζεσλ:

3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο:

ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών

ΓΙΑΙΡΔΣΔ ΦΤΙΚΟΤ ΑΡΙΘΜΟΤ Μ.Κ.Γ. ΦΤΙΚΏΝ ΑΡΙΘΜΏΝ

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

Μέγιστη ροή. Καηεπζπλόκελν γξάθεκα. πλάξηεζε ρωξεηηθόηεηαο. αθεηεξίαθόο θόκβνο. ηεξκαηηθόο θόκβνο. Ροή δικηύος. κε ηηο αθόινπζεο ηδηόηεηεο

ΠΡΩΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. (δει. ν n έρεη έλαλ ηνπιάρηζηνλ δηαηξέηε πνπ αλήθεη ζην ζύλνιν 2,..., n 1

Ανάκληση Πληποφοπίαρ. Διδάζκων Δημήηριος Καηζαρός. Διάλεξη 14η

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ

Δσζμενές διαηαρατές και Ονομαζηικό-πραγμαηικό επιηόκιο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. z2. Να απνδεηρζεί όηη:

Ζαχαρίας Μ. Κοντοπόδης Εργαστήριο Λειτουργικών Συστημάτων ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace

Transcript:

. Σρεδίαζε Καηεπζπλόκελωλ Γξαθεκάηωλ (.8.) Να ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο. Κνξπθέο 0 0 0 0 0 0 0 0. Σρεδίαζε(.8.5) Να ζρεδηαζηεί ην παξαθάηω γξάθεκα ώζηε θαλέλα δεύγνο αθκώλ λα κελ ηέκλεηαη (λα είλαη δειαδή επίπεδν). Να γίλεη επαιήζεπζε ηνπ ζεωξήκαηνο Euler. 6 5 5 6 Αξηζκόο θνξπθώλ V =6 Αξηζκόο αθκώλ E =

Αξηζκόο πεξηνρώλ R=8. Ιζρύεη V - E + R = 6-+8=.. Ιζνκνξθηζκόο(.8.7) Να δεηρζεί όηη ηα γξαθήκαηα είλαη ηζόκνξθα. 7 a g c f 5 6 b d e G G Πξέπεη λα ππάξρεη ζπλάξηεζε θ ώζηε φ:v ={,,,,5,6,7} V ={a,b,c,d,e,f,g} {v,w} ϵ E {φ(v),φ(w)} ϵ E Παξαηεξνύκε όηη: Υπάξρεη ζην G κόλν κία θνξπθή όπνπ d()= Υπάξρεη ζην G κόλν κία θνξπθή όπνπ d(d)= Άξα φ()=d, φ()=c, φ()=a, φ(5)=e, φ()=b, φ(6)=f, φ(7)=g Εμάιινπ έρνπλ θαη ηνπο ίδηνπο πίλαθεο γεηηλίαζεο.. Ιζνκνξθηζκόο(.8.) Να δεηρζεί όηη ηα γξαθήκαηα είλαη ηζόκνξθα. d G G a b c 5 e

Παξαηεξνύκε όηη d()=d()= d()=d()=d(5)= d(a)=d(b)= d(c)=d(d)= d(e)= Από ηνλ έιεγρν ηωλ βαζκώλ δελ απνθιείεηαη ν ηζνκνξθηζκόο. φ()=a φ()=b φ()=c φ()=d φ(5)=e 5 a b c d E 0 0 a 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 0 d 0 0 5 0 e 0 Άξα είλαη ηζόκνξθα. 5. Ιζνκνξθηζκόο(.8.) Να δεηρζεί όηη ηα γξαθήκαηα είλαη ηζόκνξθα. b c G G a d d()= d()=d()=d()= d(a)=d(d)= d(b)=d(c)= Άξα είλαη αδύλαην λα είλαη ηζόκνξθα. 6. Επίπεδα Γξαθήκαηα (7..7) Να δείμεηε όηη ν Κ, είλαη επίπεδνο όηαλ γξαθηεί ζε κία επηθάλεηα ηύπνπ ληόλαη.

7. Ιζνκνξθηζκόο (Rosen 8..5) Να δεηρηεί όηη ν ηζνκνξθηζκόο απιώλ γξαθεκάηωλ είλαη ζρέζε ηζνδπλακίαο ~ (αλαθιαζηηθή ζπκκεηξηθή κεηαβαηηθή). Τν G είλαη ηζνκνξθηθό πξνο ηνλ εαπηό ηνπ θαη άξα είλαη αλαθιαζηηθή. (G~G) Έζηω όηη ην G είλαη ηζνκνξθηθό πξνο ην Η. Τόηε ππάξρεη κία απεηθόληζε έλα-πξνο-έλα f από ην G ζην Η πνπ δηαηεξεί ηελ γεηηνληθόηεηα θαη ηελ κε-γεηηνληθόηεηα. Άξα, ε f - είλαη έλα-πξνο-έλα απεηθόληζε από ην H ζην G κε ηηο ίδηεο ηδηόηεηεο. Άξα ν ηζνκνξθηζκόο είλαη ζπκκεηξηθόο. (G~H H~G) Αλ ην G είλαη ηζνκνξθηθό ζην H θαη ην H είλαη ηζνκνξθηθό ζην Κ κέζω ηωλ απεηθνλίζεωλ f θαη g ηόηε ε απεηθόληζε f o g είλαη έλα-πξνο-έλα απεηθόληζε από ην G ζην Κ θαη άξα είλαη ηζόκνξθα (G~H,H~K G~K) 8. Ιζνκνξθηζκόο (Rosen 8..50) Έλα απιό γξάθεκα G ιέγεηαη απηό-ζπκπιεξωκαηηθό αλ ην G είλαη ηζόκνξθν κε ην G. Να δεηρηεί όηη ην παξαθάηω γξάθεκα είλαη ζπκπιεξωκαηηθό. Τν ζπκπιεξωκαηηθό είλαη ην:

Τν νπνίν είλαη πξάγκαηη ηζόκνξθν κε ην αξρηθό γξάθεκα. 9. Επίπεδν Γξάθεκα (Rosen 8.7.) Έζηω επίπεδν ζπλδεδεκέλν γξάθεκα κε 6 θνξπθέο θαη θαζεκία κε βαζκό. Σε πόζεο πεξηνρέο δηαηξείηαη ην επίπεδν από ηελ επίπεδε παξάζηαζε ηνπ γξαθήκαηνο; n-m+r= 6-+r= r=8 0. Επίπεδν Γξάθεκα Αλ θακία πεξηνρή ζε έλα επίπεδν γξάθεκα κε R πεξηνρέο θαη m αθκέο δελ έρεη ιηγόηεξεο από k αθκέο γηα ζύλνξν, ηόηε ζα ηζρύεη kr m Εθόζνλ έρνπκε R πεξηνρέο, κε ηνπιάρηζηνλ k αθκέο γηα θάζε ζύλνξν, ζεκαίλεη όηη ππάξρνπλ ηνπιάρηζηνλ kr αθκέο. Όκωο, θάζε αθκή κπνξεί λα είλαη ην πνιύ ζε δύν πεξηνρέο θαη άξα ηελ κεηξάω δύν θνξέο ζε θάζε πεξηνρή. Άξα, kr m.. Επίπεδν Γξάθεκα (Rosen 95) Αλ ην G είλαη ζπλεθηηθό επίπεδν απιό γξάθεκα κε e αθκέο θαη v θνξπθέο, όπνπ v, ηόηε e v-6. Έζηω όηη έρνπκε R πεξηνρέο. Τν ζύλνξν θάζε πεξηνρήο ζα έρεη κήθνο ηνπιάρηζηνλ. Άξα από (0) πξνθύπηεη όηη R e. Όκωο από ηνλ ηύπν ηνπ Euler r=e-v+ από όπνπ θαη πξνθύπηεη όηη ( ). Επίπεδν Γξάθεκα (Rosen 96) Να δείμεηε όηη ην Κ 5 δελ είλαη επίπεδν. Τν γξάθεκα Κ 5 έρεη πέληε θνξπθέο θαη δέθα αθκέο. Όκωο ε αληζόηεηα από ην δελ ηθαλνπνηείηαη γηα απηέο ηηο ηηκέο θαη άξα ην γξάθεκα δελ είλαη επίπεδν.

. Επίπεδν Γξάθεκα - Μνλνπάηηα (Θεώξεκα 89) Έζηω όηη ην γξάθεκα G κε πίλαθα γεηηλίαζεο Α ωο πξνο ηελ δηάηαμε ηωλ θνξπθώλ v,v,,v m (επηηξέπνληαη νη θαηεπζπλόκελεο ή κε θαηεπζπλόκελεο αθκέο θαζώο θαη νη βξόγρνη). Τν πιήζνο ηωλ δηαθνξεηηθώλ κνλνπαηηώλ κήθνπο r από ην v i ζην v j είλαη ίζν κε ην θειί (i,j) ηνπ πίλαθα A r. Μαζεκαηηθή επαγωγή. Τν πιήζνο ηωλ κνλνπαηηώλ από ην v i ζην v j κήθνπο ζα είλαη ε εγγξαθή (i,j) ηνπ πίλαθα Α, αθνύ απηή πεξηέρεη ην πιήζνο ηωλ αθκώλ κεηαμύ ηωλ δύν θνξπθώλ. Έζηω όηη ε εγγξαθή (i,j) ηνπ πίλαθα A r είλαη ην πιήζνο ηωλ δηαθνξεηηθώλ κνλνπαηηώλ κήθνπο r κεηαμύ v i θαη v j. Αθνύ: ην θειί (i,j) ηνπ A r+ ζα είλαη: όπνπ είλαη ην θειί (i,k) ηνπ A r. Μία δηαδξνκή κήθνπο r+ από ην v i ζην v j απνηειείηαη από έλα κνλνπάηη κήθνπο r από ην v i ζε θάπνηνλ ελδηάκεζν θόκβν v k θαη από κία αθκή από ην v k ζην v j. Επνκέλωο, ην πιήζνο κνλνπαηηώλ κήθνπο r+ ζα είλαη ην γηλόκελν ηνπ πιήζνπο ηωλ κνλνπαηηώλ κήθνπο r επί ην πιήζνο ηωλ αθκώλ πνπ είλαη δηαζέζηκεο γηα ηελ ηειεπηαία αθκή.. Επίπεδν Γξάθεκα - (Παξάδεηγκα 8.) Πόζα κνλνπάηηα κήθνπο ππάξρνπλ από ην α ζην δ ζην απιό γξάθεκα G ηνπ παξαθάηω ζρήκαηνο; α β δ γ Ο πίλαθαο γεηηλίαζεο ηνπ G ζα είλαη: ( ) Άξα ην πιήζνο κνλνπαηηώλ κήθνπο είλαη ην (,) ηνπ πίλαθα Α.

( ) Τα νπνία είλαη: α,β,α,β,δ α,β,α,γ,δ α,β,δ,β,δ θνθ

Άιπηεο Αζθήζεηο. (Rosen 8..6) Έζηω όηη ηα G θαη Η είλαη ηζόκνξθα απιά γξαθήκαηα. Να δεηρηεί όηη ηα ζπκπιεξωκαηηθά ηνπο G θαη Η είλαη θαη απηά ηζόκνξθα.. (Rosen 8..) Να δείμεηε όηη ζε θάζε απιό γξάθεκα ππάξρεη κνλνπάηη από θάζε θνξπθή πεξηηηνύ βαζκνύ πξνο θάπνηα άιιε θνξπθή πεξηηηνύ βαζκνύ.. (Rosen 8.7.8) Έζηω όηη επίπεδν γξάθεκα έρεη k ζπλδεδεκέλεο ζπληζηώζεο, e αθκέο θαη v θνξπθέο. Έζηω όηη αθόκα ην επίπεδν δηαηξείηαη ζε r πεξηνρέο από επίπεδε παξάζηαζε ηνπ γξαθήκαηνο. Να βξεζεί ηύπνο γηα ην r ζαλ έθθξαζε ηωλ e, v θαη k.. Έζηω όηη n είλαη δύλακε ηνπ. Να δεηρηεί όηη n αξηζκνί κπνξνύλ λα πξνζηεζνύλ ζε logn βήκαηα κε ρξήζε δηθηύνπ n- επεμεξγαζηώλ.