HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά (Τσικνο)Πέµπτη, 12/02/2015 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούµενη φορά ιαδικαστικά θέµατα ΗΥ118 Εισαγωγή στα ιακριτά Μαθηµατικά Εισαγωγή στο ΗΥ118 Επισκόπηση ερευνητικών ενδιαφερόντων Θυµίζω: http://users.ics.forth.gr/~argyros/cs118.html http://users.ics.forth.gr/~argyros/cs118diary.html Username: cs118 Password: _dm15_ 2/15/2015 1 1 2/15/2015 2 2 Βάσεις της Μαθηµατικής Λογικής Προτασιακός Λογισµός Η Μαθηµατική Λογική είναι ένα εργαλείο που µας βοηθά να χειριστούµεσύνθετες προτάσεις. Περιλαµβάνει: Μία τυπική γλώσσαγια να τις εκφράζουµε. Μία µεθοδολογίαγια να αποφασίζουµε σχετικά µε το αν είναι αληθείς ή ψευδείς. Αποτελεί το θεµέλιο της έκφρασης τυπικών αποδείξεων σε όλους τους κλάδους των µαθηµατικών! 2/15/2015 3 3 2/15/2015 4 4 1

Θα µιλήσουµε για δύο συστήµατα λογικής: 1. Προτασιακός λογισµός 2. Κατηγορηµατικός λογισµός (επεκτείνει τον 1. ) Πολλοί άλλοι λογισµοί υπάρχουν, αλλά µοιάζουν µε τους δύο παραπάνω 2/15/2015 5 5 Προτασιακός λογισµός ΟΠροτασιακός λογισµός είναι η λογική των σύνθετων προτάσεων οι οποίες δηµιουργούνται από απλούστερες, χρησιµοποιώντας λογικές πράξεις. Μερικές άµεσες εφαρµογές στους υπολογιστές: Σχεδιασµός ψηφιακών κυκλωµάτων. Έκφραση συνθηκών σε προγράµµατα. Ερωτήσεις σε βάσεις δεδοµένων και µηχανές αναζήτησης. George Boole (1815-1864) Χρύσιππος 2/15/2015 6 (280 206π.Χ.) 6 Προτάσεις Παραδείγµατα προτάσεων Μία πρόταση είναι απλά µίαδήλωση µε κάποια οριστική σηµασία και η οποία µπορεί να είναι είτεαληθής (T) είτεψευδής (F) εν είναι ποτέ και τα δύο, ούτεκάπου ανάµεσα Ωστόσο, η τιµή αληθείας της δεν είναι απαραίτητο να µας είναι γνωστή 2/15/2015 7 7 Μου αρέσει η rock µουσική Ο γάιδαρος πετάει Εχθές έβρεξε στη Νέα Υόρκη Η Αθήνα είναι η πρωτεύουσα της Ελλάδας, και 1 + 4 = 2.7 2x 2 = x 2 + x 2 Αλλά οι ακόλουθες ΕΝ ΕΙΝΑΙ προτάσεις: Ποιός είναι εκεί; (ερωτηµατική) Φέρε µου ένα ποτήρι νερό (προστακτική) x := x+1 (προστακτική) 1 + 2 (ένας αριθµητικός όρος) 2/15/2015 8 8 2

Προτάσεις στον προτασιακό λογισµό Ατοµικές: p, q, r, (πχ p = Ονοµάζοµαι Αντώνης Αργυρός ) Σύνθετες: χτίζονται από τις ατοµικές προτάσεις χρησιµοποιώντας λογικούς τελεστές (π.χ., Ονοµάζοµαι Αντώνης Αργυρός ΚΑΙ είµαι σαράντα επτά ετών ) Προτάσεις στον προτασιακό λογισµό Η λογική προσφέρει ορισµούς γι αυτούς τους τελεστές και εποµένως για το τι σηµαίνουν οι σύνθετες προτάσεις που δηµιουργούνται µε τη χρήση τους. 2/15/2015 9 9 2/15/2015 10 10 Τελεστές Έναςτελεστής συνδυάζει n το πλήθος εκφράσεις σε µία µεγαλύτερη έκφραση π.χ., + στις αριθµητικές εκφράσεις Οι µοναδιαίοι τελεστές έχουν 1 όρισµα (π.χ., 3) Οι δυαδικοί τελεστές έχουν 2 ορίσµατα (π.χ., 3+4) Οι προτασιακοί τελεστές (Boolean operators) εφαρµόζονται σε λογικές προτάσεις και όχι σε αριθµητικές εκφράσεις. 2/15/2015 11 11 Μερικοί προτασιακοί τελεστές Ονοµα Συντοµ. Τύπος Σύµβολο Άρνηση NOT Μον. Σύζευξη (ΚΑΙ) AND υαδ. ιάζευξη (Ή) OR υαδ. Αποκλειστική διάζευξη XOR υαδ. «αν... τότε...» IMPLIES υαδ. «αν και µόνο αν» IFF υαδ. 2/15/2015 12 12 3

Λογική άρνηση Ο µοναδιαίος τελεστής άρνησης (NOT) µετασχηµατίζει µία πρόταση στην άρνησή της. Π.χ. Εάν p = Είµαι κοντός. τότε p = εν είµαι κοντός. Οπίνακας αληθείαςγια την NOT: p p T : True; F : False : σηµαίνει ορίζεται ως Όρισµα T F F T Αποτέλεσµα Λογική σύζευξη Ο δυαδικός τελεστής σύζευξης (AND) Π.χ.Έστω p= Έφαγα µπριζόλα για µεσηµεριανό. q= Έφαγα σαλάτα για βραδυνό Τότε p q= Έφαγα µπριζόλα για µεσηµεριανό και έφαγα σαλάτα για βραδυνό. 2/15/2015 13 13 2/15/2015 14 14 Ορισµός της λογικής σύζευξης µέσω πίνακα αληθείας Στήλες ορισµάτων Αποτέλεσµα p q p q F F F F T F T F F T T T 2/15/2015 15 15 Λογική διάζευξη Ο δυαδικός τελεστής διάζευξης (OR). p= Το αυτοκίνητό µου έχει χαλασµένη µηχανή. q= Το αυτοκίνητό µου έχει τρύπια λάστιχα. p q= Το αυτοκίνητό µου έχει χαλασµένη µηχανή ή το αυτοκίνητό µου έχει τρύπια λάστιχα Εννοώντας και/ή στα ελληνικά. 2/15/2015 16 16 4

Πίνακας αλήθειας της διάζευξης Μερικές βασικές ιδέες: Η p qεννοεί ότι η pείναι αληθής, ή η qείναι αληθής ή και τα δύο. Οι τελεστές και µαζί, είναι ικανοί να εκφράσουν κάθε πίνακα αληθείας p q p q F F F T F T T T T ιαφορά µε την AND ιαφορετικοί τύποι προτάσεων Συνειδητοποίηση ότι κάποιες προτάσεις έχουν διαφορετική εµφάνιση αλλά εκφράζουν την ίδια πληροφορία 2/15/2015 17 17 2/15/2015 18 18 Ταυτολογίες Ταυτολογίες Μίαταυτολογίαείναι µία σύνθετη πρόταση η οποία είναι αληθήςανεξάρτητα από τις τιµές αληθείας των ατοµικών προτάσεων. Π.χ. p ( p) p ( p) p p p ( p) T F T Ποιός είναι ο πίνακας αληθείας; Κάθε γραµµή του πίνακα αληθείας δίνει T. 2/15/2015 19 19 2/15/2015 20 20 5

Αντιφάσεις Μία αντίφαση είναι µία σύνθετη πρόταση που είναι ψευδήςανεξάρτητα από τις τιµές αληθείας των ατοµικών προτάσεων. Π.χ., p ( p) p ( p) Αντιφάσεις p p p ( p) F T F T F F Ποιός είναι ο πίνακας αληθείας; Κάθε γραµµή του πίνακα αληθείας δίνει F 2/15/2015 21 21 2/15/2015 22 22 Τι αποµένει πέραν των ταυτολογιών και των αντιφάσεων Προφανώς, υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι ούτε ταυτολογίες ούτε αντιφάσεις...κάποιες γραµµές του πίνακα αληθείας δίνουν T, άλλες δίνουν F Λογική ισοδυναµία προτάσεων ύο συντακτικά διαφορετικέςσύνθετες προτάσεις µπορεί να είναι σηµασιολογικά ταυτόσηµες (δηλ., να έχουν το ίδιο νόηµα). Τέτοιες προτάσεις τις ονοµάζουµελογικά ισοδύναµες. 2/15/2015 23 23 2/15/2015 24 24 6

Λογική ισοδυναµία προτάσεων ύο σύνθετες προτάσεις p και qείναιλογικά ισοδύναµες, και το συµβολίζουµε µε p q: Αν και µόνο αν οποιαδήποτε εκχώρηση τιµών στις επιµέρους προτάσεις που απαρτίζουν τις p και q καταλήγει σε ταυτολογία δηλαδή αν και µόνο αν οι pκαι q έχουν τις ίδιες τιµές αληθείας σε όλεςτις γραµµές των πινάκων αληθείας τους Απόδειξη ισοδυναµίας µέσω των πινάκων αληθείας Π.χ.. Αποδείξτε ότι p q ( p q). p q p q p q p q ( p q) F F T F T F F T T F T F T F T T T T F F F T 2/15/2015 25 25 2/15/2015 26 26 Η λογική ως «στενογραφία» της φυσικής γλώσσας Έστω p = Είµαι έξυπνος, q = Είµαι καλός, r = Είµαι όµορφος p = εν είµαι έξυπνος. r p = Είµαι όµορφος και δεν είµαι έξυπνος. r p q = εν είµαι όµορφος, ή είµαι καλός, ή είµαι έξυπνος 2/15/2015 27 27 «Φωλιασµένες» λογικές προτάσεις Χρήση παρενθέσεων για την οµαδοποήση υποεκφράσεων: Είµαι έξυπνος και είµαι καλός ή είµαι όµορφος Έίµαι έξυπνος και είµαι καλός ή είµαι όµορφος f g s Η f (g s)σηµαίνει: Είµαι έξυπνος,...και είµαι καλός ή όµορφος Η (f g) sσηµαίνει: Είµαι έξυπνος και καλός,...ή είµαι όµορφος Η f g s είναι διφορούµενη! 2/15/2015 28 28 7

«Φωλιασµένες» λογικές προτάσεις Κατά σύµβαση, ο τελεστής έχει προτεραιότητα έναντι των τελεστών και. Η f gσηµαίνει ( f) g, και όχι (f g) Όπου χρειάζεται να επιβάλουµε την προτεραιότητα που επιθυµούµε, το κάνουµε χρησιµοποιώντας παρενθέσεις Ερώτηµα Μπορούµε να γράψουµε p 1 p 2 p 3 χωρίς ασάφεια; 2/15/2015 29 29 2/15/2015 30 30 Απάντηση Εάν οι προτάσεις (p 1 p 2 ) p 3 και p 1 (p 2 p 3 )είναι ισοδύναµες, τότε ναι! Πρέπει δηλαδή να δούµε κατά πόσον ισχύει (p 1 p 2 ) p 3 p 1 (p 2 p 3 ) Πως µπορούµε να το αποδείξουµε αυτό; Μπορούµε να γράψουµε p 1 p 2 p 3 χωρίς ασάφεια;;; p 1 p 2 p 3 (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) p 3 (p 2 p 3 ) p 1 (p 2 p 3 ) F F F F F F F F F T F F F F F T F F F F F F F T F T F F F F F F T F T F F F F T T F T F F F T T T T T T T 2/15/2015 31 31 2/15/2015 32 32 8

Ερώτηµα Ισχύει ότι (p 1 p 2 ) p 3 = p 1 ( p 2 p 3 ); Η ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΝ ΕΧΕΙ ΝΟΗΜΑ (δεν έχουµε ορίσει την ισότητα προτάσεων µόνο τη λογική ισοδυναµία! ) Αυτό που ισχύει είναι ότι (p 1 p 2 ) p 3 p 1 ( p 2 p 3 ) Ερώτηµα 1. Θεωρείστε τη σύζευξη p 1 p 2 p n, nτο πλήθος προτάσεων. Πόσες γραµµές έχει ο πίνακας αληθείας της; 2x2x2x x2 (nπαράγοντες) Εποµένως,το πλήθος των γραµµών του πίνακα αληθείας είναι 2 n όπου nτο πλήθος των προτάσεων 2/15/2015 33 33 2/15/2015 34 34 Ας εισάγουµε κάποιους ακόµα τελεστές Αποκλειστική διάζευξη (XOR, σύµβολο ) «εάν... τότε» (IMPLIES, σύµβολο ) «αν και µόνο αν» (IFF, σύµβολο ) Η αποκλειστική διάζευξη υαδικός τελεστής αποκλειστικής διάζευξης (XOR). p = Θα πάρω 10 σε αυτό το µάθηµα q = Θα παρατήσω αυτό το µάθηµα p q = Ή θα πάρω 10 σε αυτό το µάθηµα ή θα παρατήσω αυτό το µάθηµα (...αλλά όχι και τα δύο!) 2/15/2015 35 35 2/15/2015 36 36 9

Πίνακας αληθείας αποκλειστικής διάζευξης Η p qείναι αληθής όποτε µόνο µία από τις p, qείναι αληθής, αλλά όχι και οι δύο! Αποκλειστική διάζευξη, επειδή αποκλείει το ενδεχόµενο και το pκαι το qνα είναι αληθή. Οι τελεστές και µαζί, ΕΝ είναι ικανοί να εκφράσουν κάθε πίνακα αληθείας p q p q F F F T F T T T F ιαφορά από τον OR. 2/15/2015 37 37 Η φυσική γλώσσα είναι διφορούµενη... Το Ελληνικό ή µπορεί να είναι διφορούµενο p q F F p "ή" q F T F T T T? Χρειαζόµαστε τα συµφραζόµενα για γνωρίζουµε εάν προκειται για την OR ή την XOR! 2/15/2015 38 38 Η φυσική γλώσσα είναι διφορούµενη... Χρειαζόµαστε τα συµφραζόµενα για γνωρίζουµε εάν σε µία πρόταση το ακριβές νόηµα αποδίδεται από την OR ή την XOR! p = Μου αρέσουν τα θρίλερ q = Μου αρέσει η επιστηµονική φαντασία r= Μου αρέσουν τα θρίλερ ή η επιστηµονική φαντασία r p q...ή... r p q; 2/15/2015 39 39 Έλεγχος της κατανόησης των δύο διαζεύξεων 1. Ας υποθέσουµε ότι η p q είναι αληθής. Προκύπτει από αυτό ότι και η p qείναι αληθής; OXI: δέστε τι συµβαίνει για p=t, q=t 2/15/2015 40 40 10

Έλεγχος της κατανόησης των δύο διαζεύξεων 2. Ας υποθέσουµε ότι η p q είναι αληθής. Προκύπτει από αυτό ότι και η p q είναι αληθής; ΝΑΙ: Ελέγξτε τις δύο περιπτώσεις που κάνουν την p qαληθή: a) p=t, q=f (η p q είναι Τ) b) p=f, q=t (η p q είναι Τ) Ο τελεστής «εάν...τότε» υπόθεση συµπέρασµα Η πρόταση p q σηµαίνει εάν pτότε q. Π.χ.,.έστω p = Μελετώ πολύ q = Θα πάρω καλό βαθµό. p q = Εάν µελετώ πολύ, τότε θα πάρω καλό βαθµό. 2/15/2015 41 41 2/15/2015 42 42 Πίνακας αληθείας «εάν...τότε» Η p q είναι ψευδήςµόνο όταν p -αληθήςαλλά q ψευδής µε άλλα λόγια η p q είναι ψευδής µόνοόταν µία αληθής υπόθεση οδηγεί σε ένα ψευδές συµπέρασµα Η p q δεν λέει ότι η pείναι η αιτίατης q! Η p q δεν απαιτείηpή η qνα είναι αληθής! Π.χ.: Η πρόταση (1=0) ο γάιδαρος πετάει είναι αληθής! p q p q F F T T F F T T T Το µόνο False 2/15/2015 43 43 «εάν...τότε» µεταξύ προτάσεων Εάναυτό το µάθηµα είναι το ΗΥ118, τότεο ήλιος ανέτειλε σήµερα το πρωί. True ή False; Εάνη Παρασκευή είναι µέρα της εβδοµάδας, τότεείµαι πιγκουίνος. True or False ; Εάν 1+1=6, τότε διδάσκω ιακριτά Μαθηµατικά. True or False ; Εάντο φεγγάρι είναι από τυρί, τότε είµαι πλουσιότερος από τον Bill Gates. True or False ; 2/15/2015 44 44 11

Γιατί αυτά µοιάζουν «λάθος»; Πίνακας αληθείας «εάν...τότε» Θυµηθείτε Εάν [µελετώ πολύ] τότε [θα πάρω καλό βαθµό] Στην καθοµιλουµένη, υπάρχει µία σχέση αιτίας αποτελέσµατος µεταξύ των δύο προτάσεων. Ο τελεστής όµως, δεν δηλώνει τέτοιου είδους σχέση! Ας υποθεσουµε ότι η q είναι T. Τί ξέρουµε για την αλήθεια της p q ; Είναι αληθής! p q p q F F T T F F T T T 2/15/2015 45 45 2/15/2015 46 46 Πίνακας αληθείας «εάν...τότε» «εάν...τότε» Ας υποθεσουµε ότι η p είναι F. Τι ξέρουµε για την αλήθεια της p q; Είναι αληθής! p q p q F F T T F F T T T Αποδείξτε ότι (p q) ( p q) p q p q p p q F T T T T F F F F T T T F T 2/15/2015 47 47 2/15/2015 48 48 12

Ελληνικές εκφράσεις που δηλώνουν p q Καλή Τσικνοπέµπτη! Εάν pτότε q Η p συνεπάγεται την q Εάν p, q Όποτε p, q Οποτεδήποτε p, q p µόνο εάν q q οποτεδήποτε p q προκύπτει από p H pαρκεί για να ισχύει η q Μια αναγκαία συνθήκη για την pείναι η q Η q είναι αναγκαία για την p Μια επαρκής συνθήκη για την qείναι η p 2/15/2015 49 49 2/15/2015 50 50 13