Теорија друштвеног избора

Теорија друштвеног избора Процедура гласања је средство избора између више опција, базирано на подацима које дају индивидуе (агенти). Теорија друштвеног избора је студија процеса и процедура доношења колективних одлука. Процедуре гласања су можда најпознатије по својој примени на изборима где бирамо политичке кандидате за јавну службу, међутим, могу се применити и за доделу награде, за избор једног од више различитих планова акције или за одређивање такси и јавних трошкова. За индивидуе о којима се овде говори обично користимо термин гласачи, за алтернативе кандидати, А кад нам је алтернатива на врху ранг листе префренција кажемо да има наш глас. Процедура гласања се састоји од правила како гласачи изражавају оно што желе, и како се те жеље агрегирају у коначан резултат. Описи процедура гласања датирају још из античких времена, Плутарх је описао две процедуре примењиване у IX веку старе ере. Међутим, за почетак теорије гласања узима се XVIII век када су два члана француске академије наука, Борда (J.C. Borda 1 ) и Кондорсе (J.M. Condorcet 2 ) предложили процедуре за доношење колективне одлуке. Штавише, Кондорсе је смислио знаменити парадокс показујући да добро познато правило већине може да нас доведе у ћорсокак. Следећи важан тренутак десио се 1951. године када је Ероу (K. Arrow 3 ) формулисао проблем агрегације и решио га. Смисао његове теореме је да не постоји метод агрегације индивидуалних преференција на скупу од три и више алтернатива који би задовољио неколико етичких услова. Оно што је још интересантније је да још увек није пронађен начин да се релаксира један или више од његових услова који би довео да задовољавујућег система гласања имуног на парадоксе. И сам чин гласања је парадоксалан. Парафразираћемо га речима које се често могу чути: ''Зашто да гласам кад је утицај мог гласа занемарљив? Боље ми да одем на пецање.'' Једноставности ради посматрајмо избор између две алтернативе. Чин гласања може бити мотивисан следећим аргументима: 1) Индивидуа i префереира алтернативу x у односу на алтернативу y. 2) Индивидуа i верује да ће њен глас за x учинити избор x вероватнијим него што би био ако не гласа. На основу претходног гласач може направити следећу рачуницу: где је D добитак остварен чином гласања, P вероватноћа да i-ов глас одлучује о исходу, К корист коју i очекује ако победи његов избор, и T трошкови гласања. Како је вероватноћа P врло близу 1 Jean-Charles, chevalier de Borda ( 1733 1799) француски математичар, физичар, политиколог и морепловац 2 Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet (1743 1794), познат и као Nicolas de Condorcet, француски филозоф, математичар и политиколог 3 Kenneth Joseph Arrow (1921), амерички економиста, добитник Ноблеове награде за економију заједно са John Hicks 1972. године

нуле, коликогод да је К велика, производ PK је мањи од T. Према томе, добитак од чина гласања је скоро неизбежно негативан. Другим речима, за гласача је боље да не гласа. Ако на изборима имамо само две опције онда је јасно да ћемо правилом већине одредити избор који испуњава све нормативне особине. Међутим, када имамо три и више алтернативе, тада може да не постоји опција коју преферира апсолутна већина. Различите процедуре гласања могу дати резултате који се значајно разликују, посебно у ситуацијама када нема јасне већине. У овој глави описаћемо нека правила гласања и дати њихове особине са нормативног и позитивног аспекта, када скуп алтернатива има више од два елемента. Формално проблем друштвеног избора би могли записати на следећи начин: Основни елементи: 1) Скуп агената(гласача ) Друштво, кога означавамо са: 2) Скуп алтернатива: 3) Гласачи су рационални доносиоци одлука, односно сваки гласач има на скупу алтернатива стриктну (слабу) релацију преференције. Уређени низ преференција, односно кад сваки гласач изабере по једну преференцију на скупу алтернатива, формира један профил преференција. 4) Функција друштвеног избора: Пресликава скуп профила преференција у скуп алтернатива. Ако означимо са скуп свих стриктних релација преференције на скупу, скуп свих профила преференција са и нека је, тада функцију друштвеног избора можемо формално записати са: 5) Функција друштвеног благостања: Пресликава скуп профила преференција у скуп преференција на алтернативaма. У складу са претходним ознакама функцију друштвеног благостања можемо записати на следећи начин: Решење пробема друштвеног избора: Одредити "најбољу" функцију друштвеног избора (благостања). Функција друштвеног избора се обично записују малим словима, а функције друштвеног благостања великим словима. Пример 1. (Профил преференција) Нека је скуп агената и нека је скуп алтернатива, профил преференција ових 8 агената може изгледати овако: 1 2 3 4 5 6 7 8 x y x z x x x x y z y x z z y y z x z y y y z z

С обзиром да неки агенти попут првог, трећег, седмог и осмог имају идетички једнаке преференције, онда ћемо понекад тај профил приказивати и у скраћеном (груписаном) облику: I(4) II (1) III (1) IV(2) x y z x y z x z z x y y Када арапски бројеви означавају број агената који имају префeренције у колони испод, римски именују групу. Δ Правила друштвеног избора Процедуре које се користе у реалним изборима обично нису дефинисане на свим профилима, зато их називамо правилима. Сада ћемо се упознати са неким конкретним правилима друштвеног избора. Правило релативне већине (plurality voting) Нека је дат следећи профил преференција: Табела 1. Профил p I(3) II (5) III (7) IV(6) a a b c b c d b c b c d d d a a Јасно је да имамо укупно 21 агента и четири алтернативе a, b, c и d. Код овог правила посматрамо колико се пута која алтернатива нашла на првом месту ранг листе. У конкретном примеру, алтернатива а је на првом месту код 8 агената, алтернатива b је на првом месту код 7 агената, алтернатива c је на првом месту код 6 агената и коначно алтернатива d код ниједног агента није на првом месту. Резултат овог правила је алтернатива a, односно ранг листа. С обзиром да ова процедура у случају кад две или више алтернатива имају једнак број првих места не може одредити која је најбоља, она није дефинисана на свим профилима. У случају када je ова процедура дефинисана, као на примеру овог профила, користићемо ознаке pv, односно PV у зависности да ли је њен резултат најбоља алтернатива или преференција групе. У конкретном случају писали би, односно. Правило апсолутне већине (majority rule) Ово правило користимо кад желимо да изаберемо само једну алтернативу. Као и код претходног правила посматрамо колико која алтернатива има гласова. Ако нека алтернатива има више од гласова она је друштвени избор, у супротном он не постоји. У случају када je ова процедура

дефинисана означаваћемо је pav. За профил p из Табеле 1. писали би не ефини ано, јер алтернатива а која има највећи број гласова (осам), нема потребан број гласова (11), да би била друштвени избор. За алтернативу а кажемо и да нема апсолутну већину. Ово правило је најчешће у практичној употреби. Све парламентарне државе користе ово правило како би у парламенту доносиле одлуке. Двокружно правило апсолутне већине (plurality voting) Ово правило користимо кад желимо да изаберемо само једну алтернативу. У првом кругу примењујемо правило апсолутне већине. Ако је ово правило дефинисано, односно ако нека алтернатива има апсолутну већину она је друштвени избор. У супротном примењујемо правило већине да одредимо две алтернативе које су у првом кругу имале највећи број гласова, а затим понављамо правило апсолутне већине са ове две алтернативе. С обзиром да се у оквиру ове процедуре примењују правила PV и pav, ова процедура није дефинисана на свим профилима. Конкретно, у првом кругу када нема алтернативе са апсолутном већином могуће је да не постоји јединствена друга најбоља алтернатива, а другом кругу је могуће да обе алтернативе имају исти број гласова. У случају када je ова процедура дефинисана означаваћемо је dav. За профил p из Табелe 1., имали би. Како алтернатива а има само 9 гласова, што није апсолутна већина, имамо и други круг са алтернативама a и b. Посматрајмо сада исти профил у коме су остале алтернативе a и b: Табела 2. Профил I(3) II (5) III (7) IV(6) a a b b b b a a сада, алтернатива а има 8 гласова, а алтернатива b има 13 гласова. Како је 13>21/2, друштвени избор применом овог правила је алтернатива b. То можемо и краће записати са dav(p)=b. (Са означавамо профил сужен на алтернативе a и b.) Велики број држава у свету, међу њима је и Србија, ово правило примењују за избор председника државе. Хереово правило 4 Поред овог имена ово правило има и име вишекружно правило. Примењујемо га када желимо да изаберемо само једну алтернативу. Правило је врло слично претходном, само што кад год правило апсолутно већине не доведе до избора, тада из скупа алтернатива избацујемо најслабију алтернативу, односно алтернативу са најмањим бројем гласова. Ако не буде више алтернатива са најмањим бројем гласова, после највише n-1 кругова изабраћемо алтернативу са апсолутном већином. У случају када je ова процедура дефинисана означаваћемо је hp. За профил p из Табеле 1., имали би, па у други круг иду алтернативе a, b и c. У другом кругу алтернативе a, b и c сакупиле би редом, 8, 7 и 6 гласова, па ни у другом кругу не би имали алтернативу са апсолутном већином гласова. У трећи круг би ишле само алтернативе a и b, када би коначно имали алтернативу са апсолутном већином (13 гласова), а то је алтернатива b. Дакле, hp(p)=b. Цео поступак смо могли и краће записати математичким формулама: 4 Thomas Hare (1806 1891), енглески политичар и реформатор изборних система

Табела 3. Математички запис Харевог правила Први круг: - недефинисано Други круг: Трећи круг: - недефинисано Најпознатија примена овог правила је приликом избора домаћина Олимпијских игара, а примењују га и између осталог и Аусталија, Велика Британија, САД, Индија и Пакистан најчешће при избору локалних власти, али и при избору сената односно посланика за парламент. Гласање одобравањем За разлику од претходних процедура, када само алтернативе не врху ранг листа добијају глас, код ове процедуре гласачима је омогућено да исказују своје преференције тако што ће више алтернатива добити њихов глас. Они могу одобрити више алтернатива. Вратимо се профилу из Табеле 1: Табела 4.: Профил p I(3) II (5) III (7) IV(6) a a b c b c d b c b c d d d a a Где смо болдираним словима означили, одобрене алтернативе од сваке групе. Тада би имали следећи распоред гласова: Табела 5. Одобрени гласови на профилу p из Табеле 4 Алтернатива a b c d Број гласова 8 10 14 0 С обзиром на укупан број одобрених гласова, друштвени избор би била алтернатива c, а друштвена преференција групе. Ова процедура није добро дефинисана ако се појављују алтернативе са истим бројем гласова. У случају када је дефинисана означаваћемо је са go, односно GO, тако да би у конкретном случају имали: Ово правило користе разна професионална удружења за избор руководства, као на пример Mathematical Association of America (1986), Institute for Operations Research and the Management Sciences (1987), American Statistical Association (1987) и Institute of Electrical and Electronics Engineers (1987). Бордино правило Идеја Бординог правила је једноставна. За разлику од простог већинског правила, које се фокусира само на ''најбоље'' алтернативе, оно води рачуна о потпуном рангирању алтернатива. Наиме, скор или поени сваке алтернативе рачунају се као функција позиција на којима се она налази у рангирању сваког агента: Ако скуп X има n алтернатива, тада алтернатива на i -том месту ранг листе добија n-i поена. Бордино правило онда бира алтернативу која је сакупила највећи збир (број) поена, а формира ранг листу групе на основу збира поена.

Посматрајмо следећи профил: Табела 6. Профил q I(3) II (5) III (7) a a b b c a c b c Како имамо 3 алтернативе, распоред поена је 2, 1 и 0 за редом алтернативе почев од врха ранг листе до дна ранг листе. Сада израчунајмо укупне Бордине поене: Табела 7. Укупни Бордини поени Алтернатива Збир поена а 8 2 + 7 1 + 0 0 = 23 b 7 2 + 3 1 + 5 0 =17 c 0 2 + 5 1 + 10 0 = 5 С обзиром на укупан број поена, на основу Бординог правила на профилу q избор би био алтернатива а, а преференције групе. Конструкција Бординог правила заснива се на броју елемената скупа X, међутим правило се може генерализовати ако се скуп позиција преслика било којом монотоно неопадајућом функцијом. На тај начин можемо добити, на пример, и просто већинско правило. Предност правила овог типа је што се може применити за произвољне X и N. Један од недостатака је недефинисаност правила на профилима код којих неке алтернативе имају једнак збир поена. Као и раније у случају да је правило дефинисано, одговарајуће функције друштвеног избора, односно благостања означаваћемо редом са bp, BP, тако да би на профилу q имали односно. Кондорсеово правило Нека је p произвољан профил преференција. Нека алтернатива је Кондорсеов победник ако она побеђује (добија више од половине гласова) у парском поређењу са било којом другом алтернативом. На профилу из Табеле 6. алтернатива a је Кондорсеов победник јер имамо следеће односе. Нажалост, у многим случајевима нема алтернативе која би била Кондорсеов победник. У то се можемо уверити посматрајући следећи профил: Табела 8. Профил p I(3) II(4) III (5) x y z y z x z x y Однос гласова на профилу из претходне табеле и, где не само да нема Кондорсеовог победника, него се суочавамо и са Кондосеовим парадаксом: Нека алтернатива је Кондорсеов губитник ако она губи (има мање од половине гласова) у парском поређењу са било којом другом алтернативом. Приметимо да је на профилу из Табеле 6 Кондорсеов губитник алтернатива, а да на профилу из Табеле 8. он не постоји.

Једна од пожељних особина правила гласања је да препозна Кондорсеовог победника и губитника. Кад кажемо препозна, тада мислимо да правило не би требало да изабере Кондорсеовог губитника кадгод он постоји, односно, правило треба да изабере Кондорсеовог победника кадгод он постоји. Пример 2. У чувеној дебати у француској академији наука крајем 18. века поводом процедуре избора, критикујући правило релативне већине Кондорсе наводи следећи пример: Табела 9. Кондорсеов пример I(23) II(19) III(16) IV(2) a b c c c c b a b a a b где би применом правила релативне већине изабрали алтернативу а, иако је она Кондорсеов губитник. По њему, с обзиром да важе следећи односи у парским поређењима: У одговору на Кондорсеову критику, Борда критикујући Кондорсеово правило наводи профил из Табеле 8. где нема Кондорсеовог победника, па наводи следећи сценарио: Претпоставимо да председавајући зна преференције гласача и да може да одлучи којим ће се редоследом гласати о избору најбоље алтернативе. Показаћемо да тада председавајући може да утиче на крајњи исход. Рецимо да председавајући жели да друштвени избор буде алтернатива z. Одлучујући да се прво гласа између алтернатива x и y, где побеђује x са 5:4, а затим између x и z, где побеђује z са 9:3, председавајући остварује свој циљ. Може се показати да на сличан начин он може омогућити избор алтернатива x и y изостављајући их из првог дуела. Δ Диктаторско правило Правило код кога су префренције групе, а тиме и најбоља алтернатива одређене преференцијам једног фиксираног гласача. Посматрајмо следећи профил: Табела 10. Профил p 1 2 3 4 5 x x x y y y y y z z z z z x x и претпоставимо да је агент број 3 диктатор. Тада, ако одговарајуће функције друштвеног избора и благостања означимо са d (p), имамо, али и за све профиле каквегод биле преференције гласача 1, 2, 4 и 5. Неко ће рећи, недемократско правило, али још увек је у употреби.

Нормативне особине правила друштвеног избора и благостања Кад кажемо нормативнa особина онда мислимо на то коју би особину требало да има неко правило, а не како је у пракси. У претходном делу већ смо напоменули неке од нормативних особина правила избора, као на пример да правило треба да препозна Кондорсеовог победника односно губитника, кадгод они постоје. Као што смо видели правило релативне већине не испуњава овај критеријум. Кондорсев критеријум(кк) Правило друштвеног избора и благостања треба да препозна Кондорсеовог победника односно губитника, кадгод они постоје. Неограничен домен (НД) Ако је неко правило дефинисано за све профиле преференција тада кажемо да оно има особину неограниченог домена. Сва правла описана у претходном делу, осим диктаторског правила не испуњавају ову особину. Малим допунама она се могу додефинисати за све профиле. На пример, када постоје алтернативе где се не може успоставити стриктан однос, тада можемо искористити случајан избор за разрешавање таквих ситуација, или неки додатни критеријум. Особина неограниченог домена је пожељна јер њоме омогућавамо апсолутну слободу мишљења и ставова. Парето (П) Особина Парето у контексту Теорије друштвеног избора дефинише се на следећи начин: Ако сви чланови групе сматрају да је нека алтернатива x боља од неке друге алтернативе y онда и друштвена преференција мора бити таква да група префереира x у односу на y. Да то не мора да буде увек можемо се уверити из следећег примера. Пример 3. Посматрајмо следећи профил: Табела 11. Профил p I(3) II(4) III(5) x x z y z x z y y Применимо гласања одобравањем, где смо одобрене алтернативе маркирали болдираним словима. Како је однос одобрених гласова имали би. Приметимо да сви чланови групе мисле да је x боље од y, а ипак преференције групе применом овог правила су такве да је група индиферентна између ове две алтернативе.δ Независност од ирелевантних алтернатива (НИА) Ова нормативна особина промовише идеју да друштвени избор између две алтернативе треба да зависи само од релативног односа те две алтернативе, не и од других алтернатива. Пре него што прецизно дефинишемо ово правило, подсетимо се да са означавамо профил сужен на алтернативе x, y.

Дефиниција 1. Нека је F функција друштвеног благостања, x, y произвољне алтернативе и два произвољна профила. Ако важи: и Тада кажемо да функција друштвеног благостања испуњава услов незевисност од ирелевантих алтернатива. Пример 5. Бордино рангирање алтернатива x и y може да се разликује у две ситуације чак и кад је индивидуални поредак алтернатива x и y исти у тим ситуацијама. Посматрајмо прво профил p: Табела 12. Профил p 1 2 3 4 5 x x x y y y y y x x z z z z z С обзиром да имамо 3 алтернативе, Бордини поени за прво, друго и треће место су редом, 2, 1 и 0. Како укупни скор, на овом профилу, за x износи 8=2+2+2+1+1, за y је 7=1+1+1+2+2, а за z je 0=5 0, по Бордином правилу:. Ако међутим размотримо мало другачију ситуацију, са различитим преференцијама агената 4 и 5: Табела 13. Профил 1 2 3 4 5 x x x y y y y y z z z z z x x Укупан скор за x је сада 6, за y је 7, а за z је сада 2, пa имамо. Приметимо да је релативан однос алтернатива x и y на профилима и идентичан, а да се преференције групе разликују. Зато кажемо да Бордино правило не испуњава услов независности од релативних алтернатива. Недиктаторство (НД) Већ смо раније споменули дикаторско правило. Кад у групи нема диктатора, односно кад правило није диктаторско, тада кажемо да има особину недиктаторства. Особине као што су неограничен домен, Парето, независност од ирелеватних алтернатива би можда могли бити неки минимални услови за нашу идеалну функцију друштвеног благостања, међутим имамо следећи резулатат: Теорема (Kenneth Arrow, 1951). Ако скуп алтернатива има бар три алтернативе, тада је свака функција друштвеног благостања која испуњава услове: Неограничени домен, Парето и независност од ирелеватних алтернатива, диктаторска.

Претходна теорема се често и назива Теорема немогућности друштвеног избора. За овај изузетан резултат Кенет Ероу је добио Нобелову награду за економију 1972. године (поделивши је са Џоном Хиксом (John Hicks)). Списку пожељних особина додајемо још две. Имуност на стратешке манипулације Посматрајмо следећи профил преференција: Табела 14. Профил p I(10) II(7) III(11) a d b b a a c b c d c d Применом Бординог правила, налазимо да је укупан број поена за алтернативе: Табела 15. Укупни Бордини поени на профилу p Алтернатива Збир поена а 10 3 + 18 2 + 0 1 + 0 0 = 66 b 11 3 + 10 2 + 7 1 + 0 0 = 60 c 0 3 + 0 2 + 21 1 + 7 0 = 21 d 7 3 + 0 2 + 0 1 + 21 0 = 21 Па би применом овог правила, друштвени избор био алтернатива a. Tрећа група од 11 гласача, код које је алтернатива b на првом месту има интерес да резултат избора буде алтернатива b. Зато, она може на следећи начин да искаже своје преференције: Табела 16. Профил p I(10) II(7) III(11) a d b b a c c b d d c a Одавде, налазимо да је укупан број поена за алтернативе: Табела 17. Укупни Бордини поени на профилу p Алтернатива Збир поена а 10 3 + 7 2 + 0 1 +11 0 = 44 b 11 3 + 10 2 + 7 1 + 0 0 = 60 c 0 3 + 11 2 + 10 1 + 7 0 = 32 d 7 3 + 0 2 + 11 1 + 21 0 = 32 Па би применом овог правила, друштвени избор био алтернатива b. Дакле, исказивањем својих преференција лажно четврта група гласача је изманипулисала изборима тако да победник буде алтернатива на врху њене ранг листе.

За процедуре избора које не омогућавају гласачима да лажним (стратешким) гласањем постижу боље исходе, кажемо да су имуне на стратешке манипулације. Претходни пример показује да Бордина правило није имуно на стратешке манипулације. У вези са претходном особином имамо и следећу теорему немогућности: Теорема (A. Gibbard, M. Satterthwhite, 1975) Ако скуп алтерантива има бар 3 елемента и функција друштвеног избора је дефинисана на неограниченом домену, тада важи бар један од три следећа услова 1) Функција друштвеног избора је диктаторска 2) Постаји алтернатива која никад неће бити изабрана 3) Функција друштвеног избора није имуна на стратешке манипулације. Монотоност Посматрајмо следећи профил преференција: Табела 18. Профил p' I(6) II(5) III(4) IV(2) a c b b b a c c c b a a Применимо двокружно правило за избор најбоље алтернативе на профил из Табеле 18. У првом кругу алтернативе a и b имају 6 по гласова, а алтернатива c има 5 гласова. С обзиром да нема алтернативе са апсолутнм већином гласова у други круг иду алтернативе a и b где побеђује алтернатива a са 11 гласова. Замислимо сада да је пре гласања четврта група гласача одлучила да додатно подржи алтернативу a стављајући је на прво место своје ранг листе. Тада би имали следећи профил преференција: Табела 18. Профил p' I(6) II(5) III(4) IV(2) a c b а b a c b c b a c Сада, применом истог правила у други круг би ишле алтернативе a и c, али би у другом кругу са 9:8 победила алтернатива c, што би био и крајњи резултат ове процедуре. Додатна подршка алтернативи имала је за последицу да она не буде више друштвени избор. Слободно говорећи, могли би рећи да процедура избора има особину монотоност, ако додатна подршка некој алтернативи не доводи њеном паду на друштвеној ранг листи.