http://uer.uom.gr/~acg Στοιχεία από τη Θεωία Γαών Αναονής (Queueig Theory) Πηγή Πεατών ιαδικασία Αφίξεων Ουά Αναονής Πειθαχία Μηχανισός Εξυπηέτησης Έξοδος Ιστοικά Στοιχεία Μαθηατικά οντέα για τη εέτη των ουών αναονής (ueue cōda cauda tail) Ποια θεωείται η αχαιότεη αναφοά σε ουά αναονής; Ager Krarup Erlag (878-99), Τηεφωνικά δίκτυα Poio κατανοή στις τηεφωνικές κήσεις (99) Συβοισοί D.G. Kedal (98-7) το 9, πώτη αναφοά σε «ueuig ytem» (9, JRSS) G.F. O'Dell (9), Thorto Fry (98), Edward Charle Molia (97), Feli Pollaczek (89-98, 9), Adrey Kolmogorov (9-987, 9), Aleader Khichi (89-99, 9), C.D. Crommeli (9), Joh ittle (98- MIT profeor) και ποοί άοι. Εφαογές: τηεπικοινωνίες, ονάδες υγείας, πηοφοική, συγκοινωνία και εταφοές, πηοφοική, παοχή υπηεσιών, σχεδίαση γαών πααγωγής, ιανεπόιο κ.π ΟΙ ΟΥΡΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΝΤΟΥ Εισαγωγικά Στοιχεία Πηθυσός (πηγή) πεατών (populatio) ιαδικασία Αφίξεων (arrival proce) Ουά αναονής (ueue) Πειθαχία της ουάς (diciplie) ιαδικασία εξυπηέτησης (ervice) Έξοδος (eit) Κωδικοποίηση και Συβοισοί Λήψη Αποφάσεων Επιπέδου Εξυπηέτησης Εισαγωγικά Στοιχεία (συνέχεια) Ουές αναονής δηιουγούνται όταν η τέχουσα ζήτηση για κάποια υπηεσία ξεπενάει τη δυναικότητα παοχής της Ακόη και στις πειπτώσεις όπου η δυναικότητα του συστήατος φαινοενικά καύπτει τις απαιτήσεις (τη ζήτηση), ουές αναονής τείνουν να διαοφώνονται όγω της εταβητότητας (στοχαστικότητας) που υπάχει στις διαδικασίες άφιξης και εξυπηέτησης πεατών Στόχος:Υποογισός δεικτών απόδοσης Αποφάσεις για το επίπεδο της παεχόενης εξυπηέτησης αντισταθίζοντας το κόστος παοχής της εξυπηέτησης ε το κόστος (για την επιχείηση) από την αναονή των πεατών http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg Βασικά δοικά στοιχεία Η πηγή των πεατών (callig populatio) Μέγεθος: άπειο δεν επηεάζει το υθό αφίξεων πότε θεωείται πακτικά άπειο πεπεασένο επηεάζει υθό αφίξεων? Ανοικτά συστήατα που απευθύνονται στο ευύ κοινό Κειστά συστήατα (π.χ. συστήατα συντήησης) Η ιαδικασία των αφίξεων (arrival proce) Ποέευση Πότε Μέσος υθός άφιξης των πεατών (arrival rate) Πογαατισένες αφίξεις (determiitic arrival) Τυχαίες αφίξεις (tochatic, radom arrival), ανεξάτητες εταξύ τους - άγνωστη η χονική στιγή κάθε άφιξης Αφίξεις κατά οάδες (batche) Κατανοή των αφίξεων (π.χ Poio, σταθεή, Geeric) Poio ε παάετο (διακιτή κατανοή) Η ιαδικασία των αφίξεων (συνέχεια-) Αν η τυχαία εταβητή Χ, που παιστάνει το πήθος αφίξεων στην ονάδα του χόνου (π.χ. σε ία ώα), ακοουθεί κατανοή Poio ε έσο υθό αφίξεων πεάτες ανά ονάδα χόνου, τότε η πιθανότητα η τυχαία εταβητή Χ να πάει τιή έστω, δηαδή να παγατοποιηθούν αφίξεις στη ονάδα του χόνου, είναι: e X ),,,,...! ιαδικασία αφίξεων (συνέχεια-) Αν το πήθος των αφίξεων στη ονάδα του χόνου ακοουθεί κατανοή Poio (διακιτή) ε παάετο, τότε ο χόνος, έστω Τ, που εσοαβεί ανάεσα σε διαδοχικές αφίξεις, είναι επίσης τυχαία εταβητή και ακοουθεί την εκθετική κατανοή (συνεχής) ε έση τιή / (ονάδες χόνου). ηαδή είναι: t f ( t) e Πυκνότητα: t ε Ε[t] / Αθοιστική: T t) e t http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 8 ιαδικασία αφίξεων (συνέχεια-) Πήθος αφίξεων σε ένα διάστηα: π.χ. στη ονάδα του χόνου, το πήθος των αφίξεων ακοουθεί την κατανοή Poio και το έσο πήθος πεατών που ποσέχονται (έσος υθός άφιξης) κατά τη διάκεια ενός χονικού διαστήατος ήκους α, είναι α (στη ονάδα χόνου το ήκος είναι α) Χόνος εταξύ διαδοχικών αφίξεων: εσοαβεί ανάεσα σε διαδοχικές αφίξεις, είναι τυχαία εταβητή και ακοουθεί εκθετική κατανοή και έχει έση τιή το αντίστοφο του έσου υθού αφίξεων δηαδή / ή γενικά /α. Ο χόνος έχι την επόενη άφιξη είναι ανεξάτητος της χονικής στιγής που έγινε η ποηγούενη (ιδιότητα ανησίας τυχαίες αφίξεις) Η ουά αναονής - πειθαχία (ueue, diciplie) Χωητικότητα (ήκος ουάς) πεπεασένη ή απειόιστη, όταν όες οι θέσεις αναονής είναι κατειηένες τότε ο παγατικός υθός αφίξεων εκηδενίζεται Συνήθειες των πεατών: η ποσχώηση (balkig), έειψη υποονής και αποχώηση (reegig), ενααγή (witchig - jockeyig) Πειθαχία: ο κανόνας ε τον οποίο επιέγεται ο επόενος πεάτης για να εξυπηετηθεί. FIFO (FCFS), IFO (CFS), Priority, Radom Order, accordig to ervice time. ιαδικασία εξυπηέτησης (ervice proce) Θέσεις εξυπηέτησης (πήθος παάηων θέσεων - igle chael, multiple chael) Φάσεις εξυπηέτησης (πήθος διαδοχικών φάσεων - igle phae, multiple phae) ιαδικασία εξυπηέτησης (συνέχεια-) Αν η τυχαία εταβητή Χ, που παιστάνει το πήθος των ατόων που εξυπηετούνται στην ονάδα του χόνου (π.χ. σε ία ώα), ακοουθεί κατανοή Poio ε έσο υθό εξυπηέτησης πεάτες ανά ονάδα χόνου, τότε η πιθανότητα η τυχαία εταβητή Χ να πάει τιή έστω, δηαδή να παγατοποιηθούν εξυπηετήσεις στη ονάδα του χόνου, είναι: e X ),,,,...! http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg ιαδικασία εξυπηέτησης (συνέχεια-) Αν το πήθος των εξυπηετήσεων στη ονάδα του χόνου ακοουθεί κατανοή Poio (διακιτή) ε παάετο, τότε ο χόνος, έστω Τ, που απαιτείται για ία εξυπηέτηση, είναι επίσης τυχαία εταβητή και ακοουθεί την εκθετική κατανοή (συνεχής) ε έση τιή / (ονάδες χόνου). ηαδή είναι: t f ( t) e Πυκνότητα: όπου t και Ε[t]/ t T Αθοιστική: t) e ιαδικασία εξυπηέτησης (συνέχεια-) Πήθος εξυπηετήσεων σε ένα διάστηα: π.χ. στη ονάδα του χόνου, το πήθος των εξυπηετήσεων ακοουθεί την κατανοή Poio και το έσο πήθος πεατών που εξυπηετούνται (έσος υθός εξυπηέτησης) κατά τη διάκεια ενός χονικού διαστήατος ήκους α είναι α (στη ονάδα χόνου το ήκος είναι α) Χόνος εξυπηέτησης: είναι ο χόνος που απαιτείται για ία εξυπηέτηση, είναι τυχαία εταβητή και ακοουθεί εκθετική κατανοή και έχει έση τιή το αντίστοφο του έσου υθού εξυπηέτησης δηαδή / ή γενικά /α. Έξοδος Άεση επιστοφή στην πηγή, Επιστοφή ε χονική υστέηση, Εγκατάειψη της πηγής και του συστήατος, Επιστοφή σε ποηγούενη φάση της εξυπηέτησης (rework) Σύστηα εξυπηέτησης ε διάφοα δοικά στοιχεία http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg
http://uer.uom.gr/~acg 7 Παάδειγα Αν υποτεθεί ότι η διαδικασία άφιξης ακοουθεί κατανοή Poio ε έση τιή (έσο υθό αφίξεων) άτοα ανά (ία) ώα, τότε. ηαδή, το πήθος των ατόων Χ που ποσέχονται σε ία ώα είναι τυχαία εταβητή και η πιθανότητα η τυχαία εταβητή Χ «πήθος ατόων που ποσέχονται σε ία ώα» να είναι ίση ε κάποια δεδοένη τιή, είναι: e X ),,,,...! Αντιστοίχως, ο χόνος που παεβάεται εταξύ διαδοχικών αφίξεων ακοουθεί εκθετική κατανοή ε έση τιή // ώες, δηαδή, κατά έσο όο, παεβάονται επτά. Ιστόγαα (αβδόγαα) κατανοής Poio ε ( radomly geerated value) Κατανοή Poio ε Ιστόγαα εκθετικής κατανοής ε έση τιή // ( radomly geerated value) http://uer.uom.gr/~acg 8 http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg Εκθετική κατανοή (πυκνότητα) ε έση τιή // Παάδειγα Η πιθανότητα η τυχαία εταβητή Χ «πήθος ατόων που ποσέχονται σε ία ώα», να πάει τιή ακιβώς ίση ε, είναι: e X ).8! Η πιθανότητα να πάει τιή ικότεη ή ίση ε, δηαδή να εφανιστούν από έως άτοα σε ία ώα είναι: X ) e.98! Παάδειγα Ο χόνος Χt, που παεβάεται εταξύ διαδοχικών αφίξεων ακοουθεί εκθετική κατανοή ε έση τιή // ώες (δηαδή επτά). Η πιθανότητα η τυχαία εταβητή Χt να πάει τιή το πού έχι επτά, δηαδή ο χόνος ανάεσα σε δύο διαδοχικές αφίξεις να είναι έχι / ώες: X t /) e t [ ] t. 9 Η πιθανότητα ο χόνος ανάεσα σε δύο διαδοχικές αφίξεις να είναι το πού επτό (/ ώες) είναι: X t /) e t [ ] t. 799 Παάδειγα Έστω ότι ο υθός εξυπηέτησης της θέσης εξυπηέτησης ακοουθεί κατανοή Poio ε έση τιή άτοα ανά ώα, (οπότε ο χόνος εξυπηέτησης ακοουθεί εκθετική κατανοή ε έση τιή // ώες, δηαδή επτά ανά άτοο). Η πιθανότητα, έσα σε ία ώα, να εξυπηετηθούν έως άτοα είναι: X ) e.8! ενώ, η πιθανότητα να εξυπηετηθούν έχι άτοα είναι: e X ).998! Πόση είναι η πιθανότητα να εξυπηετηθούν έχι «άπεια» άτοα ; http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg Πααδείγατα συστηάτων εξυπηέτησης () Εποικά συστήατα εξυπηέτησης Εξυπηέτηση εξωτεικών πεατών πατήια βενζίνης, ταεία τάπεζας, ταεία κοινωφεών ογανισών, καταστήατα, αυτόατοι πωητές, ΑΤΜ'', ταχυδοεία, upermarket, κπ Μεταφοικά έσα εξυπηέτησης Τα εταφοικά έσα ως πεάτες σταθοί διοδίων, σηατοδότες, ποία σε ποβήτες, φοτηγά αναένουν για φοτοεκφότωση, αεοσκάφη που αναένουν για απογείωση ή ποσγείωση κπ Τα εταφοικά έσα ως θέσεις εξυπηέτησης επιβάτες που αναένουν ταξί, εωφοεία, πυοσβεστικά οχήατα, ασθενοφόα, ανεκυστήες, αεοποικές εταφοές κ.π Πααδείγατα συστηάτων εξυπηέτησης () Εποοβιοηχανικά συστήατα εξυπηέτησης Εξυπηέτηση εσωτεικών πεατών διακίνηση υικών σε πααγωγικές διαδικασίες, συντήηση ηχανών, σταθοί επιθεώησης, συστήατα Η/Υ, συστήατα εξυπηέτησης εγαζοένων (αποθήκες εξοπισού, εστιατόια, κάτες πόσβασης κπ), συστήατα όπου ηχανές αποτεούν θέσεις εξυπηέτησης κπ Κοινωνικά συστήατα εξυπηέτησης Εξυπηέτηση ευύτεου κοινωνικού συνόου άεσα ή έεσα σύστηα δικαιοσύνης, νοοθετικό σύστηα, συστήατα υγείας, κοινωνικές υπηεσίες (π.χ. στεγαστική πόνοια, υποστήιξη ανέγων κπ), παιδεία, δηόσια έγα κπ Η ψυχοογία της αναονής. Ο χόνος που αναώνεται σε αδάνεια οιάζει εγαύτεος από εκείνον που αναώνεται όταν ο πεάτης είναι απασχοηένος. Η αναονή έχι να αχίσει ία διαδικασία οιάζει εγαύτεη από την αναονή όταν είσαι έσα στη διαδικασία. Η ανυποονησία κάνει την αναονή να οιάζει εγαύτεη. Οι αναονές στοχαστικής διάκειας οιάζουν εγαύτεες από εκείνες που είναι ποσδιοιστικής διάκειας. Μη εξηγήσιες αναονές είναι εγαύτεες από τις εξηγήσιες. Αναονή που οφείεται σε η ισότιη εταχείιση είναι εγαύτεη 7. Όσο πιο σηαντική είναι η διαδικασία εξυπηέτησης τόσο εγαύτεη οιάζει η αναονή αά και ο πεάτης είναι διατεθειένος να πειένει και πεισσότεο 8. Στη οναχική αναονή, ο χόνος οιάζει εγαύτεος απ ότι στην οαδική αναονή 9. Τα συναισθήατα είναι εταδοτικά! Μεικές ιδέες αντιετώπισης εγάων ουών αναονής. Απόκυψη της αηθινής ουάς από τους πεάτες (εστιατόια, πάκα διασκέδασης). Ο πεάτης ως πόος, αβάνει έος στη διαδικασία εξυπηέτησης (alad bar, συπήωση φοών σε υπηεσίες, elf ervice κ.π). Παοχή άνετων χώων αναονής (ε στόχο την αποφυγή του balkig και του reegig, άνετοι χώοι αναονής στα ιατεία ε υικό για διάβασα, αναονή στο πα για τα εστιατόια, χώοι αναονής επίσηων συνεγείων κ.π.). Απόσπαση της ποσοχής του πεάτη (τηεοάσεις, καταστήατα και εστιατόια σε αεοδόια κ.π.). Άεση ενηέωση για πιθανές καθυστεήσεις (οι πεάτες δεν θέουν να νοιώθουν πααεηένοι, εταφοικές εταιείες package trackig ytem). Παοχή απαισιόδοξων χόνων αναονής (τεειώνοντας νωίτεα οι πεάτες είναι ευτυχείς, αά χειάζεται ποσοχή) 7. ικαιοσύνη (faire, ίδια εταχείιση, αποφυγή πααβίασης της σειάς π.χ. erpetie ueue) http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 8 Αν τα πααπάνω δεν σας έχουν πείσει πόσο σηαντική είναι η εέτη και η ψυχοογία των ουών αναονής, δείτε αυτό: Για κάποιους, θεωείται η αφίσα που οδήγησε τους Συντηητικούς της Μ. Θάτσε στη νίκη στις βουευτικές εκογές του 979 (Saatchi & Saatchi). Το εώτηα βέβαια (που απαντήθηκε πού αγότεα) ήταν: πόσο κοντά στην αήθεια βίσκεται; Βετανία, 7. Αντίστοιχη καπάνια, από την ίδια εταιεία, για τους Εγατικούς (θα έεγα όχι ε την ίδια επιτυχία, τουάχιστον σηειοογικά). Οι εκογές αυτές δεν έγιναν ποτέ (έγιναν το ). Κωδικοποίηση οντέων (Kedall) Γενική οφή : a/b//k/ a: κατανοή αφίξεων (π.χ. M, G, D) b: κατανοή του χόνου εξυπηέτησης (οοίως ε a) : πήθος παάηων θέσεων εξυπηέτησης ( ) k: χωητικότητα του συστήατος εξυπηέτησης (>) : πήθος πεατών στην πηγή, όταν αυτό είναι πεπεασένο. Όταν το σύστηα έχει άπειη χωητικότητα ή άπειους πεάτες στην πηγή, τα αντίστοιχα σύβοα συνήθως πααείπονται. M/M/, M/M/, M/G/, M/D/, M/M// /? Βασικά σύβοα και οισοί πήθος πεατών στο σύστηα κάποια χονική στιγή ((t)) πήθος των θέσεων εξυπηέτησης του συστήατος έσος υθός αφίξεων στη ονάδα χόνου () έσος υθός εξυπηέτησης στη ονάδα χόνου () βαθός απασχόησης θέσεων εξυπηέτησης P πιθανότητα να υπάχουν πεάτες στο σύστηα (t)) έσο πήθος πεατών που βίσκονται στην εξυπηέτηση (beig erved) έσο πήθος πεατών στο σύστηα έσο πήθος πεατών στην ουά W έσος χόνος πααονής πεάτη στο σύστηα W έσος χόνος αναονής πεάτη στην ουά http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg
http://uer.uom.gr/~acg Βασικά σύβοα και οισοί (συνέχεια-) Κατάσταση ισοοπίας (όνιη, σταθεή, οιακή κατάσταση - teady tate): Ένα σύστηα βίσκεται σε κατάσταση ισοοπίας, όταν η συπειφοά του δεν εξατάται από τις αχικές συνθήκες που υπάχουν κατά την έναξη της ειτουγίας του. Ένα σύστηα φθάνει σε κατάσταση ισοοπίας, όταν παέθει ένα εύογο χονικό διάστηα από την αχική του κατάσταση (την εκκίνηση), στη διάκεια του οποίου εξαείφεται η επίδαση των συνθηκών εκκίνησης, οπότε οι ειτουγικοί δείκτες είναι ανεξάτητοι από το χόνο παατήησης t. Βασικά σύβοα και οισοί (συνέχεια-) Παοδική - εταβατική πείοδος (traiet period, warm up period): Η πείοδος που διέχεται το σύστηα ώστε να πάψει να εξατάται από τις αχικές συνθήκες εκκίνησης και να συγκίνει σε κατάσταση ισοοπίας. Κατά την πείοδο αυτή, οι τιές των ειτουγικών δεικτών επηεάζονται ουσιαστικά από τις συνθήκες εκκίνησης και εξατώνται από τη χονική στιγή της παατήησης (t). Η ποσοοίωση είναι ία εθοδοογία της Επιχειησιακής Έευνας ε την οποία διεευνάται η συπειφοά πούποκων δυναικών συστηάτων όπου ενδεχοένως δεν υπάχει κατάσταση ισοοπίας (και όχι όνο). Σχέσεις κατάστασης ισοοπίας (ittle aw, Joh ittle 9) Aν το σύστηα συγκίνει σε κατάσταση ισοοπίας και δεν υπάχουν παεβοές στην εξυπηέτηση (table ad o-preemptive) W πωταχική W + + W W + βαθός απασχόησης (utilizatio factor) ποσοστό χόνου που είναι απασχοηένες οι θέσεις εξυπηέτησης. Συχνά, για να ποεί να υπάξει κατάσταση ισοοπίας πέπει : <, διαφοετικά η ουά τείνει στο άπειο (utable). Joh ittle http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg Το σύστηα Μ/Μ/ Γενικό παίσιο. Η πηγή των πεατών πειέχει άπειους πεάτες ( ).. Η διαδικασία αφίξεων ακοουθεί την κατανοή Poio ε γνωστό έσο υθό αφίξεων στη ονάδα του χόνου (πεάτες ανά ονάδα χόνου), ο οποίος πααένει σταθεός κατά τη διάκεια παατήησης. Ισοδύναα, ο χόνος που εσοαβεί ανάεσα σε διαδοχικές αφίξεις ακοουθεί εκθετική κατανοή ε έση τιή / (ονάδες χόνου).. Υπάχει ία όνο ουά ε πειθαχία FIFO.. εν παατηούνται: η ποσχώηση (balkig, dicouragemet), αποχώηση (reegig, impatiece) ή ενααγή (jockeyig, witchig).. Χωητικότητα του συστήατος αναονής απειόιστη (k ). Το σύστηα Μ/Μ/ Γενικό παίσιο (συνέχεια). Υπάχει ία θέση εξυπηέτησης ( ) και η εξυπηέτηση γίνεται σε ία φάση. 7. Ο χόνος εξυπηέτησης ακοουθεί εκθετική κατανοή ε γνωστή έση τιή /, που πααένει σταθεή κατά τη διάκεια παατήησης. Ισοδύναα, η διαδικασία εξυπηέτησης (πήθος πεατών που εξυπηετούνται) είναι Poio ε έση τιή. 8. Ο έσος υθός άφιξης είναι ικότεος από το έσο υθό εξυπηέτησης ( < < ), οπότε το σύστηα οδηγείται σε κατάσταση ισοοπίας. Βασικές σχέσεις για τους δείκτες απόδοσης (Μ/Μ/) / / / ( για το οντέο αυτό όπου ) ( ) + W ( ) W W + P P k + P > k Παάδειγα (εξωτεικό ιατείο) Σε ένα εξωτεικό ιατείο ε ία διαγνωστική οάδα και ία ουά αναονής, παατηήθηκε ότι την ηέα της εφηείας, κατά την πείοδο αιχής, οι ασθενείς καταφθάνουν ε διαδικασία Poio ε έσο υθό άτοα ανά ώα, ενώ η οάδα εξέτασης εξυπηετεί ε έσο υθό άτοα ανά ώα. Να αξιοογήσετε το σύστηα ε τον υποογισό των κατάηων δεικτών απόδοσης, χησιοποιώντας ως ονάδα έτησης του χόνου τη ία ώα. http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 8 http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg Παάδειγα (συνέχεια-) Σηειώνεται ότι: ο χόνος ανάεσα σε διαδοχικές αφίξεις ακοουθεί εκθετική κατανοή (αφού έχουε διαδικασία αφίξεων Poio) ε έση τιή / / ώες ( επτά). ο χόνος εξυπηέτησης ακοουθεί εκθετική κατανοή (αφού έχουε εξυπηέτησης ε διαδικασία Poio) ε έση τιή / / ώες ( επτά). Παάδειγα (συνέχεια-) / / / πεάτες ( ) ( ) πεάτες τι παιστάνει η πιθανότητα αυτή W / ώες επτά ( ) ( ) Παάδειγα (αποτεέσατα στον Η/Υ - QSBWi) Παάδειγα (ταείο κινηατογάφου) Στο ταείο ενός κινηατογάφου υπάχει ένας ταίας και ία ουά αναονής. Τις ώες αιχής, καταφθάνει ένας πεάτης ανά ec κατά έσο όο (εκθετική κατανοή), ενώ ο χόνος εξυπηέτησης ακοουθεί εκθετική κατανοή ε έση τιή ec ανά πεάτη. Να αξιοογήσετε το σύστηα ε τον υποογισό των κατάηων δεικτών απόδοσης, χησιοποιώντας ως ονάδα έτησης του χόνου το ένα επτό. W W + + ώα http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg Παάδειγα (συνέχεια-) Η διαδικασία αφίξεων είναι Poio (αφού ο χόνος ανάεσα στις αφίξεις ακοουθεί εκθετική κατανοή). Ο έσος υθός αφίξεων είναι έχει τιή πεάτες το επτό (ισοδύναα: / πεάτες ανά δευτεόεπτο). Παάδειγα (συνέχεια-) 9. πε. ( ) ( ) Παάδειγα (συνέχεια-) P P.87 P 9 9. Παάδειγα (όες πιθανότητες) Οι πιθανότητες για,,, κ.π. > Η διαδικασία εξυπηέτησης είναι Poio (αφού ο χόνος εξυπηέτησης ακοουθεί εκθετική κατανοή). Ο έσος υθός εξυπηέτησης πεάτες το επτό (ισοδύναα: / πεάτες ανά δευτεόεπτο). 9 + πεάτες 9 / W επτά W W + + επτό P..87.87 P.79 P. 9 http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 8
http://uer.uom.gr/~acg 9 Παάδειγα (εταβοή των δεικτών ε βάση το ) Παάδειγα (γαφική παάσταση /) Παάδειγα (εταβοή των δεικτών ε βάση το ) Παάδειγα (γαφική παάσταση /) http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg Το σύστηα Μ/Μ/> Γενικό παίσιο. Η πηγή των πεατών πειέχει άπειους πεάτες ( ).. Η διαδικασία αφίξεων ακοουθεί την κατανοή Poio ε γνωστό έσο υθό αφίξεων στη ονάδα του χόνου (πεάτες ανά ονάδα χόνου), ο οποίος πααένει σταθεός κατά τη διάκεια παατήησης. Ισοδύναα, ο χόνος που εσοαβεί ανάεσα σε διαδοχικές αφίξεις ακοουθεί εκθετική κατανοή ε έση τιή / (ονάδες χόνου).. Υπάχει ία όνο ουά ε πειθαχία FIFO.. εν παατηούνται: η ποσχώηση (balkig, dicouragemet), αποχώηση (reegig, impatiece) ή ενααγή (jockeyig, witchig).. Χωητικότητα του συστήατος αναονής απειόιστη (k ). Σύστηα Μ/Μ/> Γενικό παίσιο (συνέχεια). Υπάχουν πεισσότεες από ία παάηες θέσεις εξυπηέτησης.. Εξυπηέτηση σε ία φάση σε ία από τις παάηες θέσεις.. Ο χόνος εξυπηέτησης σε κάθε θέση ακοουθεί την ίδια εκθετική κατανοή ε γνωστή έση τιή /, που πααένει σταθεή κατά τη διάκεια παατήησης. Άα και ο υθός εξυπηέτησης κάθε θέσης ακοουθεί την ίδια κατανοή Poio ε έση τιή.. Ο συνοικός έσος υθός εξυπηέτησης όων των θέσεων αζί είναι εγαύτεος από το έσο υθό αφίξεων ( > < ) οπότε το σύστηα οδηγείται σε κατάσταση ισοοπίας. Βασικές σχέσεις για τους δείκτες απόδοσης (M/M/) ( / ) + ( / )!! P,!! P w P, > + P + + P Pw! Βασικές σχέσεις - δείκτες απόδοσης M/M/ (συνέχεια) / P ( )!( ) + + W W W + http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg Παάδειγα 7 Παάδειγα 7 (συνέχεια-) Παάδειγα 7 (συνέχεια-, ε ονάδα χόνου την ώα) Παάδειγα 7 (συνέχεια-) Η διεύθυνση ενός upermarket εετά το υποσύστηα διάθεσης τυοκοικών και ααντικών. Τις ώες αιχής, οι πεάτες καταφθάνουν ε έσο υθό 7 πεάτες την ώα (Poio) και σχηατίζουν ία ουά αναονής, ε τη χήση αιθηένων ετικετών. Τεις πωητές ανααβάνουν να εξυπηετήσουν τους πεάτες () και σύφωνα ε τα δεδοένα που έχουν καταγαφεί, ο έσος χόνος εξυπηέτησης συνήθως κυαίνεται στο επτό ανά πεάτη (εκθετική κατανοή). Να εντοπιστούν και να σχοιαστούν οι δείκτες απόδοσης χησιοποιώντας ως ονάδα έτησης του χόνου την ία ώα ή το ένα επτό. Θα πέπει οι δύο παάετοι να αναφέονται στην ίδια ονάδα χόνου. ιατηώντας το 7 άτοα ανά ώα, θα πέπει ο έσος υθός εξυπηέτησης, που είναι άτοο ανά επτό (αφού ο χόνος είναι επτό ανά άτοο) να εταταπεί σε άτοα ανά ώα. Ισοδύναα, αν πααείνει το άτοο το επτό, θα πέπει να θέσουε. άτοα ανά επτό. / 7/8. ( 7 / ) ( 7 / ) +!! 7.98 ( 7 / ) ( 7 / ) ( 7 / ) ( 7 / ) 8 + + +!!! 8 δηαδή 9.% ( / ) 7 7 ( )!( )! ( 7) P 7 +.9+.9 πεάτες W /.9/ 7. ώες (.78επτά) W /.9/ 7.797 ώες (.78επτά) ή W.8 και W.8 δευτεόεπτα (για ακόη καύτεη κατανόηση του αποτεέσατος).9 http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 8 http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg Παάδειγα 7 (συνέχεια-) Πόση είναι η πιθανότητα ένας πεάτης να εξυπηετηθεί αέσως Παάδειγα 7 (η κατανοή του πήθους πεατών στο σύστηα -- ) Παάδειγα 7 (αποτεέσατα στον Η/Υ - σε ώες) Παάδειγα 7 (αποτεέσατα στον Η/Υ - σε επτά) + P + P ( 7 / ) P.9! ( 7/) P.8! Οπότε : + P + P.9 +.9 +.8.888 8.88% - ( + P + P) -.888..% http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg
http://uer.uom.gr/~acg Το σύστηα Μ/Μ//k - Γενικό παίσιο Βασικές σχέσεις για τους δείκτες απόδοσης (M/M//k) Βασικές σχέσεις - δείκτες απόδοσης (M/M//k συνέχεια) Παάδειγα 8 Ισχύουν οι πααδοχές του συστήατος Μ/Μ/ εκτός από: Είναι σύστηα ε πεπεασένη χωητικότητα ουάς (k-) εν είναι απααίτητο να ισχύει ότι < () Εκηδένιση του παγατικού υθού αφίξεων όταν το σύστηα είναι πήες για,,..., k για k / k+ k+ P όταν k P όταν > k P k k + ( k + ) k + W W + ( Pk ) ( Pk ) ( P ) W ( Pk ) Ο παγατικός έσος υθός αφίξεων (effective arrival rate) στο σύστηα είναι (-Pk) επειδή είναι ίσος ε: όταν < k όταν k οπότε Ε() (-Pk) + (Pk) (-Pk) Επίσης, ο παγατικός βαθός απασχόησης είναι Ε() (/)(-Pk)+ (/)(Pk) (-Pk) Ένα αυτόατο πυντήιο αυτοκινήτων ποεί να δεχτεί έχι τέσσεα οχήατα στο χώο αναονής. Η διαδικασία αφίξεων τις ώες αιχής είναι Poio ε έση τιή: 9 οχήατα ανά ώα. Η διαδικασία εξυπηέτησης είναι επίσης Poio ε έσο υθό οχήατα ανά ώα. Να βεθούν οι δείκτες απόδοσης του συστήατος. http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 8 Παάδειγα 8 (συνέχεια-) Η χωητικότητα του συστήατος είναι k+ οχήατα 9. Παάδειγα 8 (συνέχεια-)..9 k+. P k.9.. P k.. 97 Παάδειγα 8 (η κατανοή του πήθους πεατών στο σύστηα -- ) Παάδειγα 8 (συνέχεια-) k + ( k + ) k +. ( + ).. οχήατα.. ( ). (.9).9 οχήατα Ο παγατικός (effective) έσος βαθός απασχόησης είναι: ( Pk ) + Pk ( Pk ). (.).8 Οι πιθανότητες για,,,,, >.9.78 ώες(.8 επτά) W ( Pk ) 9(.) W W +.78+.8 ώες( 8. επτά) http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 7 Παάδειγα 8 (αποτεέσατα στον Η/Υ) Παάδειγα 8 (παααγή η ) Ας υποθέσουε ότι ο έσος υθός εξυπηέτησης ειώνεται (π.χ. όγω κάποιας βάβης) σε: οχήατα ανά ώα. Η χωητικότητα πααένει k και η διαδικασία αφίξεων τις ώες αιχής πααένει Poio ε έση τιή 9 οχήατα ανά ώα. Να βεθούν οι δείκτες απόδοσης του συστήατος (και να συγκιθούν ε την ποηγούενη πείπτωση). Παάδειγα 8 (παααγή η συνέχεια-) 9.8 > Όως, ο παγατικός έσος βαθός απασχόησης είναι ( Pk ).8 (.79).977 Παάδειγα 8 (παααγή η συνέχεια-).8. k+.8 P..8.79 P k.79. Οι πιθανότητες για,,,,, > http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 7 Παάδειγα 8 (παααγή η ) (η κατανοή του πήθους πεατών στο σύστηα -- ) Παάδειγα 8 (παααγή η συνέχεια-) k ( k + ).8 ( + ).8.9 οχήατα + k +.8.8 ( ).9 (.).9 οχήατα W.9. ώες( επτά) ( P ) 9(.79) W W +.+.8 ώες( 8 επτά) Παάδειγα 8 (παααγή η - αποτεέσατα στον Η/Υ) Παάδειγα 8 (παααγή η ) Ας υποθέσουε ότι η χωητικότητα της ουάς εκηδενίζεται οπότε k? Η διαδικασία αφίξεων τις ώες αιχής πααένει Poio ε έση τιή 9 οχήατα ανά ώα Η διαδικασία εξυπηέτησης είναι Poio ε οχήατα ανά ώα Πακτικά, ένας πεάτης που καταφθάνει και βίσκει κάποιον ήδη να εξυπηετείται, τότε αποχωεί και δεν δηιουγείται ποτέ ουά. Να βεθούν οι δείκτες απόδοσης του συστήατος (και να συγκιθούν ε την αχική πείπτωση) http://uer.uom.gr/~acg 77 http://uer.uom.gr/~acg 78 http://uer.uom.gr/~acg 79 http://uer.uom.gr/~acg 8
http://uer.uom.gr/~acg 8 Παάδειγα 8 (παααγή η συνέχεια-) Οι πιθανότητες για, > Παάδειγα 8 (παααγή η - αποτεέσατα στον Η/Υ) Το σύστηα Μ/Μ// /Ν - Γενικό παίσιο Ισχύουν οι πααδοχές του συστήατος Μ/Μ/ εκτός από: Πηγή πεατών: πεπεασένο πήθος ατόων (Ν) Ο έσος υθός άφιξης στο σύστηα () επηεάζεται από το πήθος των ατόων που είναι ήδη στο σύστηα () Η διαδικασία αφίξεων ακοουθεί κατανοή Poio ε έσο υθό εφάνισης (άφιξης) για κάθε πεάτη, ίσο ε Ο παγατικός υθός αφίξεων εκηδενίζεται όταν έχει αδειάσει η πηγή (δηαδή για ). Σύστηα Μ/Μ// /Ν (συνέχεια-) Εφαογές: Συστήατα εσωτεικής εξυπηέτησης (π.χ. βιοηχανικά συστήατα, συντήηση ηχανών) Ο παγατικός υθός άφιξης επηεάζεται από το πήθος των πεατών που είναι ήδη έσα στο σύστηα (δηαδή, το ). Tο οίζεται ως ο υθός ε τον οποίο κάθε πεάτης, από τους Ν διαθέσιους στην πηγή, τείνει να (επαν)εφανίζεται στην ουά (π.χ. είναι ο υθός ε τον οποίο ία ηχανή παουσιάζει βάβες, οπότε υπάχει ανάγκη για επιδιόθωσή της). Γενικά, αν οι πεάτες έσα στο σύστηα εξυπηέτησης είναι (πήθους), τότε ο συνοικός υθός εφάνισης των υποοίπων που πααένουν στην πηγή, είναι (Ν - ) Το είναι και ο έσος υθός εξυπηέτησης είναι το κασικό http://uer.uom.gr/~acg 8 http://uer.uom.gr/~acg 8 http://uer.uom.gr/~acg 8 Παάδειγα 9 Αν (π.χ.) Ν ηχανές και συνεγείο, όες οι πιθανές καταστάσεις του συστήατος δίνονται στον ακόουθο πίνακα: Με βάβη (στο σύστηα Σε ειτουγία Μήκος ουάς Συνεγείο εξυπηέτησης ) (πηγή -) Καία () Κενή () Αδανές Κενή () Ενεγό Ενεγό Ενεγό Ενεγό Καία () Ενεγό / / / / / Πηγή/Συνεγείο / http://uer.uom.gr/~acg 8 Βασικές σχέσεις για τους δείκτες απόδοσης (Μ/Μ// /Ν)! ( )!! P όταν ( )! + ( ) + P ) ( P P όταν > P W ( ) W W + ( ) http://uer.uom.gr/~acg 8 Σύστηα Μ/Μ// /Ν (συνέχεια-) Υποογισός του παγατικού έσου υθού αφίξεων: όταν Ν, ε πιθανότητα P όταν Ν-, ε πιθανότητα P- όταν Ν-, ε πιθανότητα P-. (Ν-) όταν, ε πιθανότητα P (Ν-) όταν ε πιθανότητα P Ν όταν, ε πιθανότητα δηαδή, το είναι (Ν-) Για να βούε τον παγατικό έσο υθό αφίξεων στο σύστηα πέπει να βούε τη έση τιή της πααπάνω τυχαίας εταβητής (δηαδή, του ) http://uer.uom.gr/~acg 87 Υποογισός του παγατικού έσου υθού αφίξεων ( ) P P P ( ) Επίσης, ο παγατικός βαθός απασχόησης της θέσης εξυπηέτησης ε βάση τις αφίξεις που εισέχονται τεικά στο σύστηα είναι: ( ) http://uer.uom.gr/~acg 88 Παάδειγα Σε ία βιοτεχνία, η οποία ειτουγεί σε ωη βάδια επί πενθήεο, ένας τεχνικός είναι υπεύθυνος για την επιδιόθωση τεσσάων -σχετικά πααιών- ηχανών πέξης. Κάθε ηχανή, ειτουγεί κατά έσο όο ώες πιν να χειαστεί ύθιση, πογαατισό ή επισκευή και "εφανίζεται" στο συνεγείο για το σκοπό αυτό, ε διαδικασία Poio. Ο τεχνικός χειάζεται κατά έσο όο ώες για κάθε επισκευή (εκθετική κατανοή). Να υποογιστούν οι δείκτες απόδοσης, ε στοιχειώδη ονάδα έτησης του χόνου το πενθήεο ( ώες) Παάδειγα (συνέχεια-) Θα χησιοποιήσουε ως στοιχειώδη ονάδα χόνου το πενθήεο ( ώες). Τότε, είναι: / (δύο, κατά έσο όο, αφίξεις ιας ηχανής ανά πενθήεο) και / 8 (οκτώ, κατά έσο όο, επιδιοθώσεις ηχανών ανά πενθήεο από τον τεχνικό) Αν είχαε χησιοποιήσει ως στοιχειώδη ονάδα χόνου την ώα, τότε: / (/ της ηχανής φθάνει ανά ώα) και / (ο ηχανικός επιδιοθώνει ε υθό / ηχανής ανά ώα) Παάδειγα (συνέχεια-).7!!! +... + ( )! ( )! 8 ( )! 8 P!!.7 ( )! 8 ( )!.9 Παάδειγα (συνέχεια-) Οι πιθανότητες για,,,, > + + 8 ( ) (.7). ηχανές + ( ). + (.7).7 ηχανές http://uer.uom.gr/~acg 89 http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg 9 Παάδειγα (η κατανοή του πήθους πεατών στο σύστηα -- ) Παάδειγα (συνέχεια -) Παάδειγα (αποτεέσατα στον Η/Υ) Παάδειγα.. W. (. day) ( ) (.7). W W +. +. (.7 day) 8 Σε ία βιοτεχνία, υπάχουν όοιες ηχανές που ειτουγούν κατά έσο όο ώες πιν να χειαστούν κάποια ύθιση. Ένας τεχνικός χειάζεται κατά έσο όο ώες για να υθίσει ία ηχανή. ( ) (.7).89 8 Υποογίστε τους δείκτες απόδοσης ε στοιχειώδη ονάδα έτησης του χόνου τη ία ώα. http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg 9
http://uer.uom.gr/~acg 97 Παάδειγα (συνέχεια-) Χησιοποιώντας ως στοιχειώδη ονάδα χόνου τη ία ώα παίνουε: / (/ ηχανής φθάνει ανά ώα) και / (ο ηχανικός επιδιοθώνει ε υθό / ηχανής ανά ώα). Το πήθος των πεατών στην πηγή είναι Ν Οπότε: Παάδειγα (αποτεέσατα στον Η/Υ) Παάδειγα (συνέχεια-) Οι πιθανότητες για,,,,,, > Παάδειγα (η κατανοή του πήθους πεατών στο σύστηα -- ) P.8!.!.!. + +... + ( )!. ( )!. ( )!. http://uer.uom.gr/~acg 98 http://uer.uom.gr/~acg 99 http://uer.uom.gr/~acg Το σύστηα Μ/G/ Γενικό Παίσιο Ισχύουν οι πααδοχές του συστήατος Μ/Μ/ εκτός από: Η διαδικασία εξυπηέτησης δύναται να ακοουθεί οποιαδήποτε κατανοή (Geeral) Χειαζόαστε κάποια εκτίηση για τη έση τιή του χόνου εξυπηέτησης δηαδή για το (/) και για τη διακύανσή του, δηαδή για το σ. Για να ποούν να χησιοποιηθούν οι γνωστές σχέσεις που συνδέουν τα έτα ειτουγικότητας πέπει να ισχύει ότι <. Βασικές σχέσεις για τους δείκτες απόδοσης (Μ/G/) σ + σ + ( ) Pollaczek Khichi Formula + < W W W + Παάδειγα Σε ένα σύστηα εξυπηέτησης ε, ο έσος χόνος που εσοαβεί ανάεσα σε διαδοχικές αφίξεις είναι επτά (εκθετική κατανοή) ενώ από δειγατοηψία η οποία διενεγήθηκε, βέθηκε ότι η εξυπηέτηση χειάζεται κατά έσο όο 7. επτά ανά πεάτη, ε άγνωστη κατανοή. H διακύανση του χόνου εξυπηέτησης ποσεγγίστηκε από το πααπάνω δείγα και βέθηκε να είναι ίση ε σ / (ώες ). Να υποογιστούν οι δείκτες απόδοσης. Παάδειγα (συνέχεια -) Αν θεωήσουε τη ία ώα ως στοιχειώδη χονική ονάδα, τότε: Μέσος υθός άφιξης: / πεάτες/ώα Μέσος υθός εξυπηέτησης: /7. 8 πεάτες/ώα. http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg Παάδειγα (συνέχεια-) Παάδειγα (συνέχεια-) Παάδειγα (συνέχεια-) Παάδειγα (συνέχεια-) 8 8 8 + σ + 8 πεάτες ( ) 8 + + πεάτες 8 W W W ώες(. επτά) + + ώες( επτά) 8 Επειδή η εκτίηση της διακύανσης είναι: σ / /8 /, ουσιαστικά, στο παάδειγά ας, η έση τιή και η διακύανση, συπειφέονται όπως και της εκθετικής (χωίς απααίτητα να είναι παγατικά η κατανοή του χόνου εξυπηέτησης εκθετική). Έτσι, τα αιθητικά αποτεέσατα είναι ισοδύναα ε το Μ/Μ/. Πάγατι, αν αντικαταστήσουε στον τύπο για το το σ ε / θα έχουε: + ( ) ( ) Είναι δηαδή, ο τύπος του οντέου Μ/Μ/ για το. Οπότε είναι αήθεια ότι έχουε αντίστοιχα αποτεέσατα ε εκείνα του συστήατος Μ/Μ/, τουάχιστον κατά ποσέγγιση επειδή η έση τιή και η διασποά συπειφέονται έτσι. Οι υπόοιποι δείκτες υποογίζονται από τους γνωστούς τύπους για το Μ/Μ/ (διαφάνεια 9). http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 8 Παάδειγα (τα αποτεέσατα στον Η/Υ) Το σύστηα Μ/D/ - Γενικό παίσιο Αν στο σύστηα Μ/G/ υποθέσουε επιπέον ότι σ, τότε έχουε ένα σύστηα Μ/G/ ε ηδενική εταβητότητα του χόνου εξυπηέτησης. Τέτοιες πειπτώσεις εφανίζονται σε βιοηχανικά συστήατα (π.χ. σε σταθούς εγασίας) όπου ία επανααβανόενη εγασία εκτεείται από κάποια ηχανή σε σταθεό χόνο και αεητέα, πακτικά ηδενική, απόκιση. Στην πείπτωση αυτή, ο χόνος εξυπηέτησης είναι πάντα ίδιος (σταθεός) και δεν υπάχει αβεβαιότητα ως πος τη διάκεια της εξυπηέτησης. Είναι η πείπτωση εκφυισένης (σταθεής) κατανοής χόνου εξυπηέτησης. Τότε, για σ έχουε: σ + ( ) ( ) Παάδειγα Συνεχίζοντας ε τα δεδοένα του Πααδείγατος και θέτοντας σ, έχουε τα ακόουθα αποτεέσατα για τους βασικούς δείκτες απόδοσης. 8 ( ) 8 πεάτες 8 8 W 8 ώες (. επτά) Παάδειγα (συνέχεια-) + + 8 8 8 πεάτες 8 W 8 ώες (.7 επτά) Παατηούε, ότι οι δείκτες απόδοσης του M/D/ είναι καύτεοι από εκείνους του M/G/ και του M/M/ ε ίδιες πααέτους ( και ) αά ε η ηδενική τη διακύανση του χόνου εξυπηέτησης. Π.χ. ένας πεάτης στο παόν σύστηα θα πααείνει κατά έσο όο. επτά στην ουά, ενώ στο ποηγούενο θα παέενε. επτά. Εποένως, είωση ή εκηδενισός της εταβητότητας του υθού εξυπηέτησης ποεί να οδηγήσει σε σηαντικές βετιώσεις των δεικτών ειτουγικότητας. http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg
http://uer.uom.gr/~acg Βετιστοποίηση της δυναικότητας Λήψη αποφάσεων αναφοικά ε: το πήθος των θέσεων εξυπηέτησης () την αποτεεσατικότητα των θέσεων εξυπηέτησης () το πήθος των συστηάτων εξυπηέτησης () Όες οι αποφάσεις σχετίζονται ε το γενικότεο εώτηα: Ποιο είναι το κατάηο επίπεδο εξυπηέτησης? Ειδικότεα, για το πήθος των θέσεων εξυπηέτησης () αναζητείται το βέτιστο πήθος τους, ώστε να εαχιστοποιείται το συνοικό ποσδοκώενο (αναενόενο, έσο) εταβητό κόστος ειτουγίας του συστήατος, ανά ονάδα χόνου. Στοιχεία ειτουγικού κόστους Κόστος (για την επιχείηση) από την αναονή των πεατών Κόστος για την παοχή εξυπηέτησης (εγκατάσταση ειτουγία θέσεων εξυπηέτησης, αδάνεια) Όταν αυξάνεται η δυναικότητα του συστήατος () τότε ειώνεται ο έσος χόνος πααονής των πεατών στο σύστηα ε αποτέεσα να ειώνεται και το κόστος από την αναονή των πεατών (έεσο κόστος). Αυξάνεται όως το κόστος παοχής εξυπηέτησης (άεσο κόστος) Όταν ειώνεται η δυναικότητα του συστήατος () τότε αυξάνεται ο έσος χόνος πααονής των πεατών στο σύστηα οπότε αυξάνεται και το κόστος από την αναονή των πεατών. Μειώνεται όως το κόστος παοχής της εξυπηέτησης Γαφική παάσταση του ειτουγικού κόστους ως πος το Κόστος Συνοικό ποσδοκώενο κόστος, TC Εάχιστο κόστος Κόστος εξυπηέτησης, SC Κόστος αναονής, WC Βέτιστη δυναικότητα Δυναικότητα συστήατος, Υπάχει σηείο ισοοπίας http://uer.uom.gr/~acg Μεικά ακόη στοιχεία για το κόστος αναονής Εξωτεικοί πεάτες Εποικά συστήατα ή κεδοσκοπικές θέσεις εξυπηέτησης διαφυγόντα κέδη, χαένες συνααγές, αξιοπιστία Κοινωνικά συστήατα ή η κεδοσκοπικές θέσεις εξυπηέτησης κοινωνικό κόστος Εσωτεικοί πεάτες Εποοβιοηχανικά συστήατα χαένη πααγωγική εκοή, νεκοί χόνοι, αδάνεια πώτων υών, ηικατεγασένων ποϊόντων και κεφααιουχικού εξοπισού, ακινητοποίηση πόων, καθυστεήσεις, ήτες κ.π http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg ιαόφωση συνάτησης κόστους ως πος το TC: έσο συνοικό εταβητό κόστος ειτουγίας (Total Cot) WC: έσο κόστος αναονής των πεατών (Waitig Cot) SC: έσο κόστος παοχής εξυπηέτησης (Service Cot) Τότε: TC WC + SC, οπότε ο στόχος είναι : Miimize TC cw: κόστος αναονής ενός πεάτη ανά ονάδα χόνου c: κόστος εξυπηέτησης από ία θέση στη ονάδα του χόνου όπου WC cw W cw SC c Παάδειγα Μια εταιεία εφοδιαστικής και διανοών διαθέτει εγάο στόο οχηάτων τα οποία τις ώες αιχής καταφθάνουν στην κεντική αποθήκη για φοτοεκφότωση, ε υθό οχήατα ανά ώα (διαδικασία Poio). Στην αποθήκη υπάχουν οοιόοφα συνεγεία φοτοεκφοτωτών καθένα από τα οποία είναι σε θέση να εξυπηετήσει ένα όχηα κατά έσο όο σε επτά (εκθετική κατανοή). Το ωιαίο κόστος εγασίας ενός συνεγείου ανέχεται στα ευώ ανά ώα ενώ το κόστος που αφοά τον αδανή οδηγό και το όχηά του ανέχεται στα ευώ ανά ώα. Ποιο είναι το άιστο πήθος συνεγείων? Παάδειγα (συνέχεια-) Ο έσος υθός αφίξεων είναι: οχήατα/ώα Ο έσος υθός εξυπηέτησης είναι: / οχήατα/ώα. Είναι ένα σύστηα M/M/ ε πήθος θέσεων που πέπει να είναι τουάχιστον ίσο ε (). ιαδικασία: Για κάθε πιθανή (ακέαια) τιή του, υποογίζουε από το σχετικό τύπο για το Μ/Μ/, το, και στη συνέχεια το. Κατόπιν, υποογίζουε το συνοικό εταβητό ωαίο κόστος. Συγκίνουε τις διαδοχικές τιές ώστε να βούε το βέτιστο. Σύστηα Μ/Μ/S ( / ) + ( / )!! P ( )!( ) + + http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 8 http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg Παάδειγα (συνέχεια-) Πίνακας υποογισών SC WC TC Παάδειγα (υποογισοί κόστους στον Η/Υ) Παάδειγα (υποογισοί για την άιστη ύση ) Παάδειγα (συνέχεια για την άιστη ύση ) Οι πιθανότητες για,,,, 9 >.8 8 8.79 88.79. 8. 8..99 7.78 9.78 7.8 7 7.77.77 8.78 8 7.87.87 Ποιοι από τους πααπάνω υποογισούς δεν έπεπε να γίνουν? http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg Παάδειγα (η κατανοή του πήθους πεατών στο σύστηα -- ) Παάδειγα Η εταιεία ενοικίασης αυτοκινήτων «Speedy» επιθυεί να ποσάβει ένα στέεχος για να εγάζεται τις αγίες. Θα απασχοείται επί εξάωο, αποκειστικά τις ηέες αυτές. Ενδιαφέονται τεις υποψήφιες, η Αντωνία, η Βασιική και η Γιάννα, καθεία από τις οποίες έχει επειία ανάογης εγασίας. Ο υπεύθυνος ποσωπικού, απασχόησε κάθε υποψήφια για ία δοκιαστική πείοδο, συνέεξε δεδοένα σχετικά ε την απόδοσή τους και διαπίστωσε ότι και οι τεις υποψήφιες ακοουθούν εκθετική κατανοή χόνου εξυπηέτησης, ε έσο χόνο επτά για την Αντωνία, επτά για τη Βασιική και επτά για την Γιάννα. Το συνοικό κόστος εγασίας των υποψηφίων για ένα εξάωο είναι ανάογο της επειίας τους και ανέχεται σε 9 ευώ για την Αντωνία, ευώ για τη Βασιική και ευώ για τη Γιάννα. Ο υθός αφίξεων στο κατάστηα τις αγίες είναι συνήθως 7 πεάτες ανά δίωο, (κατανοή Poio). Το κόστος για την επιχείηση από την πααονή ενός πεάτη στο σύστηα εκτιήθηκε στα ευώ ανά ώα. Ποια υποψήφια θα ποσηφθεί ε βάση το κιτήιο του ωιαίου κόστους? Παάδειγα (συνέχεια-) εδοένα Υποψήφια Ρυθός εξυπηέτησης Ωιαίο κόστος εγασίας (πεάτες/ώα) c (ευώ) Α /.7 9 / Β / / 9 Γ /. / Σύγκιση τιών συστηάτων Μ/Μ/ τα οποία, ενώ έχουν ίδιο υθό αφίξεων. άτοα ανά ώα, διαφέουν στο υθό εξυπηέτησης καθώς και στο κόστος παοχής της εξυπηέτησης. Υποογίζουε για κάθε υποψήφια τους δείκτες και το ποσδοκώενο κόστος ειτουγίας. Σύστηα Μ/Μ/ / / / ( για το οντέο αυτό όπου ) ( ) + W ( ) W W + P P k + P > k http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 8
http://uer.uom.gr/~acg 9 Παάδειγα (Αντωνία) Παάδειγα (Βασιική) Παάδειγα (Γιάννα) Παάδειγα (σύνοψη) Αντωνία Βασιική Γιάννα είκτης (.,.7) (., ) (.,.) (πεάτες).7...9 (πεάτες)..797 W (ώες).7.7.8 W (ώες).7..7% %.8% Pwait (-) 9.% 7%.7% WCcw...797.9 SCc 9 TC WC + SC..9 http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg Παάδειγα (συπεάσατα - ) Κατ'αχήν αποίπτεται η Αντωνία αφού απέχει κατά πού από τις υπόοιπες υποψήφιες και ως πος τους ειτουγικούς δείκτες και ως πος το συνοικό κόστος. Με βάση το ωιαίο ειτουγικό κόστος επιέγεται η Βασιική (.<.9). Όως, η διαφοά σε σχέση ε τη Γιάννα είναι όις,.7 ευώ/ώα, (εφόσον οι εκτιήσεις είναι σχετικά ακιβείς). Συνοικά, ανά εξάωο η εξοικονόηση ανέχεται όις στα. ευώ αν ποσηφθεί η Β έναντι της Γ. Παάδειγα (συπεάσατα - ) Υπάχουν και οι δείκτες απόδοσης, οι οποίοι για τη Γιάννα είναι όοι καύτεοι. Π.χ, ο έσος χόνος αναονής των πεατών ε τη Βασιική είναι 8 επτά (. ) ενώ ε τη Γιάννα είναι 9.7 επτά (.8 ) δηαδή % καύτεος. Εποένως, και τα στοιχεία αυτά πέπει να ηφθούν υπόψη για την τεική απόφαση. Τέος, αά καθόου εάχιστο, ακόη και αν ποσηφθεί η Γιάννα, ο καύτεος έσος χόνος αναονής είναι σχεδόν επτά και ο χόνος συνοικής πααονής, πάνω από επτά (. ώες). Εσείς, θα ήσασταν ευχαιστηένοι ως πεάτες Παάδειγα Μία βιοτεχνία ασχοείται ε εποχιακά καοκαιινά ποϊόντα και διαθέτει ηχανές επεξεγασίας παστικής ύης για το σκοπό αυτό. Κάθε ηχανή εφανίζει, κατά έσο όο, κάποια βάβη κάθε ηέες (εκθετική κατανοή). Υπάχει ένα τεχνικό συνεγείο, το οποίο χειάζεται κατά έσο όο ηέες για να επιδιοθώσει ία βάβη. Το ηεήσιο κόστος εγασίας ανέχεται στα 7 ευώ. Όταν υπάχουν χαασένες ηχανές, τα διαφυγόντα κέδη από ποινικές ήτες όγω καθυστέησης κάυψης πααγγειών και από τη είωση της αξιοπιστίας της επιχείησης, εκτιώνται σε ευώ ηεησίως ανά ηχανή εκτός ειτουγίας. Να υποογιστεί το συνοικό κόστος ειτουγίας του συστήατος και οι βασικοί δείκτες απόδοσης (ονάδα χόνου η ία ηέα). Στη συνέχεια, να υποογιστούν τα ίδια στοιχεία, αν καταφέουε να βετιώσουε την πααγωγικότητα του συνεγείου κατά % ε την χοήγηση επιδόατος πααγωγικότητας αντίστοιχης αξίας. Παάδειγα (συνέχεια-) : Πόκειται για ένα σύστηα Μ/Μ// /Ν όπου Ν. Αν θεωήσουε ως στοιχειώδη ονάδα έτησης του χόνου την ηέα, τότε: Μέσος υθός εφάνισης βάβης ηχανής: / (/ ηχανής εφανίζεται ανά ηέα για επιδιόθωση). Μέσος υθός επιδιόθωσης: / (/ ηχανής επιδιοθώνεται ανά ηέα). Κόστος αναονής: cw ευώ/ηέα (ανά ηχανή) Κόστος Εξυπηέτησης: c 7 ευώ ηεησίως. Χησιοποιώντας τις γνωστές σχέσεις για το σύστηα Μ/Μ// /Ν (διαφάνεια 8) για Ν, υποογίζουε το και στη συνέχεια το συνοικό κόστος. http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg Παάδειγα (συνέχεια-)!!.!. +... + ( )! ( )!. ( )!..8 Παάδειγα (αποτεέσατα στον Η/Υ) Παάδειγα (συνέχεια-) Οι πιθανότητες για,,,, > Παάδειγα (η κατανοή του πήθους πεατών στο σύστηα -- ) +.+. ( ) (.8).. + ( ). + (.8).8 WC.8.8 και SC 7 7 TC WC + SC.8 + 7 8.8 http://uer.uom.gr/~acg 7 http://uer.uom.gr/~acg 8 http://uer.uom.gr/~acg 9 http://uer.uom.gr/~acg Παάδειγα (παααγή) (% βετίωση πααγωγικότητας - % αύξηση κόστους εγασίας) Παάδειγα 7 Στο κατάστηα ψυχαγωγίας «Αένα», το πιο δηοφιές παιγνίδι εικονικής παγατικότητας είναι το «ot Of augh ver..7» το οποίο διακεί ακιβώς τία επτά και κοστίζει ευώ τη φοά. Οι πεάτες καταφθάνουν ε εκθετική κατανοή του χόνου εταξύ διαδοχικών αφίξεων ε έση τιή επτά και πειένουν τη σειά τους δηιουγώντας ία ουά αναονής. Λόγω της εγάης ζήτησης, η διεύθυνση του καταστήατος δεν επιτέπει να παίξει κανείς δύο συνεχόενες φοές. Το κόστος πααονής ενός πεάτη στο σύστηα είναι. ευώ το επτό, και το κόστος εξυπηέτησης είναι. ευώ το επτό. Υποογίστε τους δείκτες ειτουγικότητας και το ποσδοκώενο πειθώιο κέδους της επιχείησης από το συγκεκιένο παιγνίδι, όταν η ονάδα του χόνου είναι το ένα επτό. Παάδειγα 8 Ένα σχοείο διαθέτει τία εωφοεία για τη εταφοά των αθητών και του ποσωπικού. Το διοικητικό συβούιο του σχοείου ποσέαβε έναν ηχανικό για να τα συντηεί. Ένα όχηα χειάζεται κάποια συντήηση, κατά έσο όο, κάθε εγάσιες ηέες (διαδικασία Poio). Η συντήηση απαιτεί κατά έσο όο τέσσεις εγάσιες ηέες (εκθετική κατανοή). Το ηεήσιο κόστος εγασίας για τον τεχνικό είναι ευώ ενώ το κόστος ενός εωφοείου το οποίο δεν εκτεεί δοοόγια διότι είναι στο σύστηα συντήησης, είναι ίσο ε ευώ ηεησίως. Με ονάδα έτησης του χόνου την ία ηέα, να υποογίσετε, σε κατάσταση ισοοπίας, τους βασικούς δείκτες απόδοσης και τις πιθανότητες να βίσκονται εωφοεία στο τήα συντήησης, για όες τις τιές του. Πόσα εωφοεία είναι σε ειτουγία κατά έσο όο και πόσο είναι τεικά το συνοικό αναενόενο ηεήσιο κόστος ειτουγίας του συστήατος αυτού; http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg http://uer.uom.gr/~acg