«ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»
ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 5. ΟΙ ΙΕΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΟΡΙΣΜΟΣΤΩΝΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Τα Μαθηµατικά είναι η επιστήµη που µελετά την ποσότητα (δηλαδή τους αριθµούς), τη δοµή (δηλαδήτασχήµατα), τοδιάστηµα, τη µεταβολή και τις σχέσεις όλων των µετρήσιµων αντικειµένων της πραγµατικότητας και της φαντασίας µας. Η λέξη προέρχεται από τον αρχαίο πληθυντικό του ουδετέρου του επιθέτου µαθηµατικός (µάθηµα, µανθάνω), µαθαίνω, αποκτώ γνώση, παιδεία, εµπειρία
Aναδροµή στην ιστορία των µαθηµατικών. Ο άνθρωπος χρειάστηκε 1.000.000 χρόνια για να οδηγηθεί στην αφηρηµένη έννοια των αριθµών. Ο Homo sapiens (300.000 χρόνιαπριν) κάνειµια µικρή αρίθµηση µε κλαδιά. Ο Homo sapiens sapiens (100.000 χρόνιαπριν) χρησιµοποιεί κάποιες αριθµητικές λέξεις. Οι κυνηγοί-τροφοσυλλέκτες (70.000-20.000 χρόνια πριν) καταλάβαιναν την απλή πρόσθεση, τον πολλαπλασιασµό, την αφαίρεση και το µοίρασµα της τροφής τους δείχνει ότι κατανοούσαν τη διαίρεση. Η παλαιότερη ένδειξη αριθµητικής καταγραφής βρέθηκε στη Σουαζιλάνδη (Νοτιά Αφρική) και είναι µια περόνη µπαµπουίνου µε 29 εγκοπές που χρονολογείται το 35.000 π.χ. Μια κερκίδα λύκου που βρέθηκε στη Τσεχία και χρονολογείται από το 30.000 π.χ. έχει 55 εγκοπές σε δυο σειρές ανά πέντε που αποτελούν καταγραφή θηραµάτων.
ΑργότεραοιΣουµέριοι: Ζύγιζαν Χρησιµοποιούσανκλάσµατα ηµιούργησανσυστήµατα µαθηµατικώνµεβάσητο 60
ΟιΒαβυλώνιοι: ΑνακάλυψαντοΠυθαγόρειοθεώρηµα( 1.000 χρόνια πριν το Πυθαγόρα) Είχαν γνώσεις των τεσσάρων πράξεων Έλυναν προβλήµατα δευτέρου βαθµού και και υπολόγιζαν το εµβαδόν του: ορθογωνίου τριγώνου ορθογωνίου παραλληλογράµµου τραπεζίου κύκλου Χρησιµοποιούσαν αριθµητικό σύστηµα µε βάση το 60
ΟιΑιγύπτιοι: Χρησιµοποιούσαν σύστηµα αριθµών µε βάσητο 10 ΟιΚινέζοι: Χρησιµοποιούσαν σύστηµα αριθµών µε βάσητο 60 Έκαναν αστρονοµικούς υπολογισµούς ιέθεταν γνώσεις: γραµµικών εξισώσεων αόριστων εξισώσεων αρνητικών αριθµών και του «π». Είχαν ανώτερη γνώση Μαθηµατικών από τουςβαβυλώνιουςκαιτουςαιγυπτίους.
ΟιΈλληνες: Για 1.000 χρόνιαεπισκίαζαντα πνευµατικάεπιτεύγµατατων εποµένων 1.500 χρόνων ΟιΈλληνεςβασίστηκανσεαρχέςτων ΒαβυλωνίωνκαιτωνΑιγυπτίων Είχανδύοσυστήµατααρίθµησηςµε βάσητο 10 τοηρωδιακόήαττικόκαι τοιωνικόήαλεξανδρινό
ΟιΈλληνεςεπίσης ενχρησιµοποιούσαν: τιµές θέσεις Μηδέν κλάσµατα Θεµελίωσαν τη Γεωµετρία ως αµιγώς µαθηµατική ενασχόληση µε τη διαπίστωση και την απόδειξη θεωρηµάτων. Ο Πυθαγόρας θεωρείται ο γλωσσοπλάστης της λέξης «µαθηµατικά»
ΘΑΛΗΣΟΜΙΛΗΣΙΟΣ: Αρχαίος Έλληναςφιλόσοφοςκαιµαθηµατικός (624-547 π.χ. αι.). Ο Θαλής συγκαταλεγόταν µεταξύ των Επτά Σοφών της Ελλάδας. Ανακαλύψεις: α) οκύκλοςτέµνεταιαπότηδιάµετρότουσεδύοίσαµέρη β) οι γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες γ) οι κατά κορυφήν γωνίες δύο ευθειών που τέµνονται είναι ίσες µεταξύ τους δ) η εγγεγραµµένη στο ηµικύκλιο γωνία είναι πάντοτε ορθή ε) ένα τρίγωνο είναι δυνατόν να ορισθεί αν είναι γνωστή η βάση του και οι γωνίεςτις. Κατάφερεναµετρήσειτούψοςτωνπυραµίδωναπότοµήκοςτηςσκιάςτους. Το θεώρηµα του Θαλή: «όταν οι παράλληλες ευθείες τέµνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τµήµατα που ορίζονται στη µία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχατµήµατατηςάλλης. Κάθε παράλληλη ευθεία προς µια πλευρά τριγώνου χωρίζει τις άλλες πλευρές του, σε ίσους λόγους.
ΠΥΘΑΓΟΡΑΣΟΣΑΜΙΟΣ: Ο Πυθαγόρας ο Σάµιος, υπήρξε σηµαντικός έλληνας Φιλόσοφος, µαθηµατικός, γεωµέτρηςκαιθεωρητικός Της µουσικής. Είναι ο κατεξοχήν θεµελιωτής των ελληνικών µαθηµατικών και δηµιούργησε ένα άρτιο σύστηµα για την επιστήµη των ουρανίων σωµάτων, που κατοχύρωσε µεόλεςτιςσχετικέςαριθµητικέςκαιγεωµετρικέςαποδείξεις. Γεννήθηκεπερίπουτο 580-572 π.χ. Το αντικείµενο ενασχόλησης του Πυθαγόρα ήταν η καθοδήγηση µιας «εταιρείας». Αυτήηεταιρείαήτανµίαµυστική, θρησκευτικήκίνηση, που είχε αναπτύξει και έντονη πολιτική δραστηριότητα Το Πυθαγόρειο Θεώρηµα: «Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών α 2 =β 2 +γ 2»
ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ Ο Αρχιµήδης (287 π.χ 212 π.χ) ήταν ένας από τους µεγαλύτερους µαθηµατικούς, φυσικούς, και µηχανικούς της αρχαιότητας. Γεννήθηκε, έζησε και πέθανε στις Συρακούσες, τη µεγάλη ελληνική αποικία της Σικελίας. Το έργο του Αρχιµήδη υπήρξε τεράστιο, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά, και η ερευνητική µατιά του κάλυψε πολλούς τοµείς: γεωµετρία, οπτική (κατοπτρική), υδραυλική, µηχανική, αρχιτεκτονική και πολιορκητική. Συνέδεσε το όνοµά του µε τη γένεση της µηχανικής στην αρχαία Ελλάδα, τη λύση περίφηµων µαθηµατικών προβληµάτων, καθώς και µε τις αµυντικές εφευρέσεις του που χρησιµοποιήθηκαν όταν οι Ρωµαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του, τις Συρακούσες. Ο Αρχιµήδης έγραψε τα πρώτα βιβλία για την επίπεδη γεωµετρία και στερεοµετρία, την αριθµητική και τα µαθηµατικά. Επίσης ανακάλυψε τηναρχήτουειδικούβάρουςκαιτουµοχλού
Ευκλείδης, 325-265π.Χ. Το όνοµα του Ευκλείδη είναι συνώνυµο µε την γεωµετρία. Τα «στοιχεία» είναι ένα από τα πιο σηµαντικάέργαστηνιστορίατωνµαθηµατικών. Έχουν χρησιµοποιηθεί σαν βάση για την γεωµετρική εκπαίδευση όλης της ύσης για τα τελευταία 2000 χρόνια. Οι µέθοδοι διδασκαλίας του είχαν εµπνευστεί από αυτές του Αρχιµήδη. Είχε τη φήµη ότι ήταν δίκαιος, υποµονετικός, έντιµοςκαιευγενικός. Στα δεκατρία βιβλία των «Στοιχείων» ο Ευκλείδης παρουσιάζει όλη την στοιχειώδη Ελληνική γεωµετρική γνώση. Περιλαµβάνει θεωρήµατα και σύνταξη της επίπεδης και στερεάςγεωµετρίας, µαζίµετηνθεωρίατωναναλογιών, συµµετριών, αριθµών και έναν τύπο γεωµετρικής άλγεβρας.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΝΟΗΣΗ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Είναι τα µαθηµατικά µια απλή επινόηση λαµπρών µυαλών ή ασύλληπτη ανακάλυψη; Ο Πλάτωνας πίστευε ότι τα µαθηµατικά είναι ανθρώπινη ανακάλυψη και βάση δοµής του σύµπαντος. Επίσης ότι όλα αυτά που πραγµατεύεται ένας µαθηµατικός είναι µια µακροχρόνια οικειότητα µε το σύµπαν, στα µάτια του οποίου αυτή η οικειότητα είναι πιο υπαρκτή ακόµα και από την καρέκλα στην οποία κάθεται.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΝΟΗΣΗ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Ο Barry Mazur µαθηµατικός από το πανεπιστήµιο του Χάρβαρντ πίστευε ότι τα µαθηµατικά είναι επινόηση και όχι ανακάλυψη. «Η αίσθηση που έχει κάποιος όταν δουλεύει σε ένα θεώρηµα µοιάζει µε αυτή του κυνηγού και συλλέκτη χιλιάδων µαθηµατικών εννοιών»
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΝΟΗΣΗ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η πλειοψηφία των µαθηµατικών εγκαταλείπει το φιλοσοφικό ερώτηµα και κατευθύνεται στην ανακάλυψη και απόδειξη θεωρηµάτων. Έτσι το ερώτηµα παραµένει: Εάν µια µαθηµατική θεωρία παραµένει υπό σκιά αυτό σηµαίνει πως δεν υπάρχει; Η µήπως ένα δέντρο που πέφτει µέσα στο δάσος δεν κάνει θόρυβο επειδή δεν υπάρχει κανείς για να το ακούσει;
O ΘΑΥΜΑΣΤΟΣΚΟΣΜΟΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Ο άνθρωπος είναι ένα κλάσµα που αριθµητή έχει την πραγµατική του αξία καιπαρονοµαστήτηνιδέαπουέχειγιατον εαυτό του. Ο αριθµητής παραµένει ο ίδιος ( δηλαδήηπραγµατικήαξίατουανθρώπου ). Γι' αυτό όσο µεγαλύτερος είναι ο παρονοµαστής ( ηιδέαπουέχειγιατονεαυτότου ) τόσο µικρότερο είναι το κλάσµα (δηλαδή ο άνθρωπος )". Λέων Τολστόι. Ρώσος λογοτέχνης
Ηαξίατωνµαθηµατικών: " Γιαναφανταστούµετηχρησιµότητα τωνµαθηµατικώνστηζωήµας, αρκείναφανταστούµετηζωήµας χωρίςµαθηµατικά" ΛάοΤσε. Κινέζοςφιλόσοφος
Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Ησυµµετρίαπουκατεξοχήνεκφράζει Τηνκαλαισθησίακαιτηνοµορφιάείναι διάσπαρτηστονφυσικόκόσµο. Μερικέςεικόνεςµαςπείθουνότιηφύση λοιπόνγεωµετρεί!
Ηµέλισσα Χαρακτηριστικό παράδειγµα συµµετρίας στο φυσικό κόσµο αποτελεί η κατασκευή της µέλισσας Γιατί όµως η µέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο καιόχιτοισόπλευροτρίγωνοήτοτετράγωνογιατην κατασκευή των κελιών της κερήθρας; Ιδού το ερώτηµα! Αφενός µεν «κλείνει» επακριβώς το επίπεδο χωρίς κενά, αλλάείναικαιτοµοναδικόσχήµαµετην µικρότερη περίµετρο. ηλαδή η µέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της. Επιπλέον αποτελεί την καλύτερη διαµέριση για την αποθήκευση µέγιστου όγκου
ΟΙΙΕΡΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Για τους Πυθαγορείους, ο αριθµός δέκα ήταν ο πιο ιερός αριθµός και τον παρουσίαζαν ταυτόχρονα µε τους άλλους πρωταρχικούς αριθµούς, που είναι οι αριθµοί ένα ως εννέα που κατέληγαν στο δέκα, σε ένα ιερό σύµβολο Μονάς: Ήταν το Ένα και αντιπροσώπευσε την Ευδαιµονία, τον ηµιουργότηνευτυχία, τηναρµονία, τηντάξηκαιτηφιλία. υάς: Ο αριθµός αντιπροσώπευσε το πρώτο στάδιο προς τη διαδροµή της δηµιουργίας, την πόλωση, την αντίθεση, την απόκλιση, την ανισότητα, και την αστάθεια. Τριάς: Αντιπροσωπεύει την αρχή, τη µέση και το τέλος. Τετράς: Αντιπροσώπευε την ολοκλήρωση τις τέσσερις εποχές, τα τέσσερα στοιχεία (γη, αέρας, πυρ και ύδωρ), τα τέσσερα ζωτικής σηµασίας µουσικά διαστήµατα και τα τέσσερα είδη πλανητικής κίνησης. Πεντάς: Αντιπροσωπεύει το γάµο, την ένωση της αρσενικής και θηλυκήςσυµφιλίωσηςκαιτηναρµονία.
ΟΙΙΕΡΟΙΑΡΙΘΜΟΙ Εξάς: Αντιπροσωπεύει τις καταστάσεις της υγείας και της ισορροπίας, την πληρότητα, την ειρήνη και τη θυσία Επτάς: Αντιπροσωπεύει τη χαρά, την αγάπη και την ευκαιρία. Επίσης αντιπροσώπευσε µιαν ακρόπολη. Οκτάς: Η οκτάς ή ο αριθµός οκτώ ήταν σηµαντικό στους Πυθαγορείους επειδήήτανοπρώτοςκύβος (2*2*2). Σύνδεσαντοοκτώµετηνασφάλεια, τηνσταθερότητακαιόλαόσαήτανισορροπηµέναστοσύµπαν. Εννεάς: Ήταν ο αριθµός της ολοκλήρωσης. Αυτό οφειλόταν στους εννέα µήνες της εγκυµοσύνης και στην ύπαρξη των εννέα Μουσών. Είναι το πρώτοάρρεντετράγωνο (3*3). εκάς:ηδεκάςήοαριθµόςδέκαήτανοπιοιερόςόλωντωναριθµώνστους Πυθαγορείους. Είναι το σύνολο των θείων επιρροών που κράτησαν το σύµπαν µαζί και ήταν όλοι οι προφανείς νόµοι της φύσης. Η δεκάς επίσης είναιοκόσµος, οουρανός, οθεός, καιηµοίρα. Η εκάς περιέχει όλους τους αριθµούς. Μετά το 10 οι αριθµοί επαναλαµβάνουντονεαυτότους.