Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα του κώνου ΕΛΛΕΙΨΗ το επίπεδο δεν είναι παράλληλο σε καμία γενέτειρα του κώνου ΥΠΕΡΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε δύο γενέτειρες του κώνου
Κύκλος Έλλειψη Παραβολή Υπερβολή
Κύκλος το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση ρ από ένα σταθερό σημείο Κ(x 0,y 0 ). C: KM = ρ (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = ρ Επομένως C: (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = ρ 2 Ειδική περίπτωση: Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων η εξίσωσή του είναι: C: x 2 + y 2 = ρ 2
Γενική Μορφή Εξίσωσης Κύκλου Η εξίσωση x 2 + y 2 + Ax + By + Γ = 0 με Α, Β, Γ R και Α 2 + Β 2 4Γ > 0, παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ Α, Β και ακτίνα ρ = 2 2 Αντιστρόφως: Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής x 2 + y 2 + Ax + By + Γ = 0 με Α, Β, Γ R και Α 2 + Β 2 4Γ > 0. Απόδειξη x 2 + y 2 + Ax + By + Γ = 0 x + A 2 2 x + A 2 + y + B 2 2 + y + B x 2 + 2 A 2 x + A2 4 A2 4 + y2 + 2 B 2 y + B2 4 B2 2 = A2 4 + B2 4 Γ x + A 2 2 2 = A 2 +Β 2 4Γ 2 + y + B 2 άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ Α 2, Β 2 2 2 2 4 + Γ = 0 = A2 + Β 2 4Γ 4 και ακτίνα ρ = Α2 +Β 2 4Γ 2. Α2 +Β 2 4Γ Αντιστρόφως: Έστω κύκλος με κέντρο K(x0,y0) και ακτίνα ρ, η εξίσωση του κύκλου γράφεται: (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = ρ 2 x 2 2x 0 x + x 0 2 + y 2 2y 0 y + y 0 2 = ρ 2 x 2 + y 2 + 2x 0 x +( 2y 0 )y + x 0 2 + y 0 2 ρ 2 = 0 που είναι της μορφής x 2 + y 2 + Ax + By + Γ = 0 με Α = 2x 0, Β = 2y 0 και Γ = x 0 2 + y 0 2 ρ 2 και Α 2 + Β 2 4Γ = 2x 0 2 + 2y 0 2 4 x 0 2 + y 0 2 ρ 2 = 4ρ 2 > 0 2.
Εξίσωση Εφαπτομένης Κύκλου Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C: x 2 + y 2 = ρ 2 στο σημείο του Α x 1, y 1 είναι ε xx 1 + yy 1 = ρ 2. Απόδειξη Έστω Μ x, y σημείο της εφαπτομένης, τότε: ΟΑ ΑΜ (1) αλλά ΟΑ = x 1, y 1, AM = x x 1, y y 1, επομένως: (1) ΟΑ ΑΜ = 0 x 1 x x 1 + y 1 y y 1 = 0 xx 1 + yy 1 = x 1 2 +y 1 2 (2) και επειδή το σημείο Μ x1, y 1 είναι σημείο του κύκλου C τότε x 1 2 +y 1 2 = ρ 2 (3) από τις σχέσεις (2),(3) προκύπτει xx 1 + yy 1 = ρ 2 Σημείωση: Η παραπάνω εξίσωση χρησιμοποιείται μόνο για την εφαπτομένη του κύκλου με κέντρο Ο(0,0). Αν ο κύκλος έχει κέντρο Κ x 0, y 0 τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο του Α x 1, y 1 προκύπτει ομοίως από την καθετότητα των διανυσμάτων ΚΑ, ΑΜ όπου Μ x, y σημείο της εφαπτομένης.
Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ Κέντρο Ο(0,0) ακτίνα ρ Κέντρο Κ(x 0,y 0 ) ακτίνα ρ C: x 2 + y 2 = ρ 2 C: (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = ρ 2 Εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο Α(x 1,y 1 ) ε: xx 1 + yy 1 = ρ 2 ε: KA AM Γενική μορφή εξίσωσης κύκλου Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής x 2 + y 2 + Ax + By + Γ = 0 με Α 2 + Β 2 4Γ > 0 και αντιστρόφως κάθε εξίσωση αυτής της μορφής είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο Κ Α, Β και ακτίνα ρ = 2 2 Α2 +Β 2 4Γ 2
Σχετικές θέσεις σημείου & κύκλου Έστω το σημείο Μ(x,y) και ο κύκλος κέντρου Κ(x 0,y 0 ), τότε: Το Μ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου KM < ρ (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 < ρ 2 Το Μ είναι σημείο του κύκλου KM = ρ (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = ρ 2 Το Μ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου KM > ρ (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 > ρ 2
Σχετικές θέσεις ευθείας & κύκλου Έστω η ευθεία ε και ο κύκλος C, κέντρου Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνας ρ τότε: d K, ε d K, ε d K, ε > ρ Ο κύκλος και η ευθεία δεν έχουν κοινά σημεία = ρ Ο κύκλος και η ευθεία εφάπτονται < ρ Ο κύκλος και η ευθεία έχουν δύο κοινά σημεία Το σύστημα των εξισώσεων του κύκλου και της ευθείας είναι αδύνατο στο R ή έχει μία διπλή ρίζα ή δύο ρίζες άνισες αντίστοιχα.
Σχετικές θέσεις δυο κύκλων Κ 1 Κ 2 < ρ 1 ρ 2 Οι κύκλοι δεν έχουν κοινά σημεία, έχουν κοινά σημεία οι κυκλικοί δίσκοι, (1) δεν υπάρχει κοινή εφαπτομένη Κ 1 Κ 2 = ρ 1 ρ 2 Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, έχουν ένα μόνο κοινό σημείο (2) και μια κοινή εφαπτομένη ρ 1 ρ 2 < Κ 1 Κ 2 < ρ 1 + ρ 2 Οι κύκλοι τέμνονται, έχουν δύο κοινά σημεία (3) και δυο κοινές εφαπτόμενες
Κ 1 Κ 2 = ρ 1 + ρ 2 Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, έχουν ένα μόνο κοινό σημείο (4) και τρείς κοινές εφαπτόμενες Κ 1 Κ 2 > ρ 1 + ρ 2 Οι κύκλοι και οι κυκλικοί δίσκοι εφάπτονται εξωτερικά, (5) δεν έχουν κοινά σημεία, και έχουν τέσσερις κοινές εφαπτόμενες Στις περιπτώσεις (1) & (5) το σύστημα των δυο κύκλων είναι αδύνατο Στις περιπτώσεις (2) & (4) το σύστημα των δυο κύκλων έχει μια λύση Στην περίπτωση (3) το σύστημα των δυο κύκλων έχει δυο λύσεις
Οικογένειες κύκλων Οικογένεια κύκλων που έχουν ένα μόνο κοινό σημείο Α: οι κύκλοι έχουν κοινή εφαπτομένη στο Α, τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται στην ίδια ευθεία που είναι κάθετη στην κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο Α. Οικογένεια κύκλων που έχουν δύο μόνο κοινά σημεία Α, Β: οι κύκλοι έχουν κοινή χορδή την ευθεία ΑΒ, τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται στην ίδια ευθεία ε που είναι μεσοκάθετος της κοινής τους χορδής.
Παραβολή το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα του κώνου Έστω μια ευθεία (δ) και ένα σημείο Ε εκτός της (δ). Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από την ευθεία (δ) και από το σημείο Ε, ονομάζεται παραβολή με εστία Ε και διευθετούσα (δ). C:(ΜΕ)=d(M,δ) Αποδεικνύεται ότι Για την οριζόντια παραβολή: αν δ: x = p 2 και Ε p, 0 2 τότε: C: y2 = 2px Για την κατακόρυφη παραβολή: αν δ: y = p 2 και Ε 0, p 2 τότε: C: x2 = 2py
Η παράμετρος p Έστω παραβολή με εστία Ε και διευθετούσα δ. Συμβολίζουμε με p τον μη μηδενικό πραγματικό αριθμό που ορίζεται από την ισότητα: p = d E, δ. Η απόλυτη τιμή της παραμέτρου p καθορίζει τη μορφή της παραβολής. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή p τόσο περισσότερο «ανοιχτή» είναι η παραβολή. Στην οριζόντια παραβολή η παράμετρος p είναι ομόσημη των τετμημένων, ενώ στη κατακόρυφη είναι ομόσημη των τεταγμένων των σημείων της.
Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ Η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζουν η Εστία και η Διευθετούσα Άξονας συμμετρίας xx Άξονας συμμετρίας yy p = d E, δ y 2 = 2px p,x ομόσημοι x 2 = 2py p,y ομόσημοι Εξίσωση διευθετούσας Συντεταγμένες Εστίας x = p 2 E p 2, 0 y = p 2 E 0, p 2 Εξίσωση εφαπτομένης στο Α(x1,y1) ε: yy 1 = p x + x 1 ε: xx 1 = p y + y 1
Σχετικές θέσεις σημείου & παραβολής Έστω Μ x, y σημείο του επιπέδου, τότε: Για την οριζόντια παραβολή: Μ εσωτερικό της παραβολής: d M, E < d M, δ y 2 < 2px Μ σημείο της παραβολής: d M, E = d M, δ y 2 = 2px Μ εξωτερικό της παραβολής: d M, E > d M, δ y 2 > 2px Για την κατακόρυφη παραβολή: Μ εσωτερικό της παραβολής: d M, E < d M, δ x 2 < 2py Μ σημείο της παραβολής: d M, E = d M, δ x 2 = 2py Μ εξωτερικό της παραβολής: d M, E > d M, δ x 2 > 2py
Σχετικές θέσεις ευθείας & παραβολής Έστω (Σ) το σύστημα των εξισώσεων της παραβολής C και της ευθείας (ε), τότε: (1) Αν το (Σ) είναι αδύνατο η C και η (ε) δεν έχουν κοινά σημεία (2) Αν το (Σ) έχει μια διπλή λύση η C και η (ε) εφάπτονται (3) Αν το (Σ) έχει δύο άνισες λύσεις η C και η (ε) τέμνονται σε δύο σημεία (4) Αν το (Σ) έχει μια απλή λύση η C και η (ε) τέμνονται σε ένα σημείο Σχόλιο: Στις περιπτώσεις (1), (2), (3) η (ε) τέμνει τον άξονα συμμετρίας της παραβολής και το σύστημα καταλήγει σε επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης με Δ < 0, Δ = 0, Δ > 0 αντίστοιχα, ενώ στην περίπτωση (4) η (ε) είναι παράλληλη στον άξονα συμμετρίας της παραβολής και καταλήγει σε επίλυση πρωτοβάθμιας εξίσωσης.
Ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής Η κάθετη στην εφαπτομένη (ε) μιας παραβολής στο σημείο επαφής Μ διχοτομεί την γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία ΜΕ και η ημιευθεία Μt, που είναι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής και Ο η κορυφή της. (Δηλαδή ω = φ)
Έλλειψη το επίπεδο δεν είναι παράλληλο σε καμία γενέτειρα του κώνου Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δυο σταθερά σημεία Ε, Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του (ΕΕ ) C: (ME )+(ME)=2α, όπου (Ε Ε)<2α Αποδεικνύεται ότι Για την οριζόντια έλλειψη με κέντρο (0,0) C: x2 α 2 + y2 β 2 = 1, α > β Για την κατακόρυφη έλλειψη με κέντρο (0,0) C: x2 β 2 + y2 α 2 = 1, α > β
Οι παράμετροι α, β, γ, α > β, α > γ, α 2 = β 2 + γ 2 Μήκος μεγάλου άξονα (ΑΑ )=2α Μήκος μικρού άξονα (ΒΒ ) =2β Εστιακή απόσταση (ΕΕ ) =2γ Εκκεντρότητα της έλλειψης ε = γ α ε = 1 β2 α 2, 0 < ε < 1 Όμοιες ελλείψεις έχουν την ίδια εκκεντρότητα Όταν ε 0 η έλλειψη τείνει να γίνει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΑ Όταν ε 1 η έλλειψη τείνει να γίνει o κύκλος διαμέτρου ΑΑ
Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ Μεγάλος άξονας στον xx Μεγάλος άξονας στον yy C: x2 α 2 + y2 β 2 = 1 x2 C: + y2 = 1 β 2 α 2 Συντεταγμένες κορυφών εστιών Εστίες: Ε (-γ,0), Ε(γ,0) Ε (0,-γ), Ε(0,γ) Κορυφές: Α α, 0, Α α, 0, Β 0, β, Β 0, β Α 0, α, Α 0, α, Β β, 0, Β β, 0 Εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο Α(x 1,y 1 ) ε: xx 1 α 2 + yy 1 β 2 = 1 ε: xx 1 β 2 + yy 1 α 2 = 1 Εκκεντρότητα της έλλειψης ε = γ α ε = 1 β2 α 2, 0 < ε < 1
Σχετικές θέσεις σημείου & έλλειψης Έστω Μ x, y σημείο του επιπέδου, τότε: Για την οριζόντια έλλειψη: Μ εσωτερικό της έλλειψης: ΜE + ΜE Μ σημείο της έλλειψης: ΜE + ΜE Μ εξωτερικό της έλλειψης: ΜE + ΜE Για την κατακόρυφη έλλειψη : Μ εσωτερικό της έλλειψης: ΜE + ΜE Μ σημείο της έλλειψης: ΜE + ΜE Μ εξωτερικό της έλλειψης: ΜE + ΜE = 2α = 2α < 2α > 2α < 2α > 2α x 2 α 2 + y2 β 2 < 1 x 2 α 2 + y2 β 2 = 1 x 2 α 2 + y2 β 2 > 1 x 2 β 2 + y2 α 2 < 1 x 2 β 2 + y2 α 2 = 1 x 2 β 2 + y2 α 2 > 1
Σχετικές θέσεις ευθείας & έλλειψης Έστω (Σ) το σύστημα των εξισώσεων της έλλειψης C και της ευθείας (ε), τότε: (1) Αν το (Σ) είναι αδύνατο η C και η (ε) δεν έχουν κοινά σημεία (2) Αν το (Σ) έχει μια διπλή λύση η C και η (ε) εφάπτονται (3) Αν το (Σ) έχει δύο άνισες λύσεις η C και η (ε) τέμνονται σε δύο σημεία Σχόλιο: Στις παραπάνω περιπτώσεις (1), (2), (3) το σύστημα καταλήγει σε επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης με Δ < 0, Δ = 0, Δ > 0 αντίστοιχα
Ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης Η κάθετη στην εφαπτομένη (ε) μιας έλλειψης στο σημείο επαφής Μ διχοτομεί την γωνία Ε ΜΕ, όπου Ε, Ε είναι οι εστίες της έλλειψης. (Δηλαδή ω = φ)
Υπερβολή το επίπεδο είναι παράλληλο σε δυο γενέτειρες του κώνου Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δυο σταθερά σημεία Ε, Ε είναι σταθερή και μικρότερη από (ΕΕ ) C: (ME ) (ME) =2α, όπου (Ε Ε)>2α Αποδεικνύεται ότι Για την οριζόντια υπερβολή με κέντρο (0,0) C: x2 α 2 y2 β 2 = 1 Για την κατακόρυφη υπερβολή με κέντρο (0,0) C: y2 α 2 x2 β 2 = 1
Οι παράμετροι α, β, γ, γ > β, γ > α, γ 2 = β 2 + α 2 Απόσταση κορυφών (ΑΑ )=2α Εστιακή απόσταση (ΕΕ )=2γ Ορθογώνιο βάσης ΚΛΜΝ (διαγώνιες οι ασύμπτωτες) (ΚΛ)=(ΜΝ)=(ΑΑ )=2α (ΛΜ)=(ΝΚ)=2β (ΚΜ)=(ΛΝ)=(ΕΕ )=2γ Εκκεντρότητα της υπερβολής ε = γ α ε = 1 + β2 α 2, ε > 1 Όταν ε 1 η υπερβολή είναι «κλειστή» τείνει σε δυο ημιευθείες. Όταν ε η υπερβολή είναι «ανοιχτή» τείνει σε δυο παράλληλες ευθείες.
Συζυγείς υπερβολές Μια κατακόρυφη και μια οριζόντια υπερβολή που έχουν τις ίδιες ασύμπτωτες λέγονται συζυγείς υπερβολές. Οι συζυγείς υπερβολές έχουν το ίδιο ορθογώνιο βάσης και οι εξισώσεις τους είναι της μορφής C 1 : x2 α 2 y2 β 2 = 1, C 2: y2 β 2 x2 α 2 = k2 Ισοσκελής υπερβολή Η υπερβολή στην οποία ισχύει α = β ονομάζεται ισοσκελής υπερβολή. Στις ισοσκελείς υπερβολές το ορθογώνιο βάσης είναι τετράγωνο, οι ασύμπτωτες είναι οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων, η εκκεντρότητα είναι 2 και οι εξισώσεις τους είναι της μορφής C 1 : x 2 y 2 = α 2, C 2 : y 2 x 2 = α 2
Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ Εστίες - κορυφές στον xx Εστίες - κορυφές στον yy C: x2 α 2 y2 β 2 = 1 Συντεταγμένες κορυφών εστιών Ε (-γ,0), Ε(γ,0), A (-α,0), Α(α,0) Εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο Α(x 1,y 1 ) y2 C: x2 = 1 α 2 β 2 Ε (0,-γ), Ε(0,γ), A (0,-α), Α(0,α) ε: xx 1 α 2 yy 1 β 2 = 1 ε: yy 1 α 2 xx 1 β 2 = 1 Εξισώσεις ασυμπτώτων ε 1,2 : y = ± β α x ε 1,2: y = ± α β x Εκκεντρότητα: ε = γ α ε = 1 + β2 α 2, ε > 1
Σχετικές θέσεις σημείου & υπερβολής Έστω Μ x, y σημείο του επιπέδου, τότε: Για την οριζόντια υπερβολή: Μ εσωτερικό της υπερβολής: ΜΕ ΜΕ > 2α Μ σημείο της υπερβολής: ΜΕ ΜΕ = 2α Μ εξωτερικό της υπερβολής: ΜΕ ΜΕ < 2α x 2 α 2 y2 β 2 > 1 x 2 α 2 y2 β 2 = 1 x 2 α 2 y2 β 2 < 1 Για την κατακόρυφη υπερβολή: Μ εσωτερικό της υπερβολής: ΜΕ ΜΕ > 2α Μ σημείο της υπερβολής: ΜΕ ΜΕ = 2α Μ εξωτερικό της υπερβολής: ΜΕ ΜΕ < 2α y 2 α 2 x2 β 2 > 1 y 2 α 2 x2 β 2 = 1 y 2 α 2 x2 β 2 < 1
Σχετικές θέσεις ευθείας & υπερβολής Έστω (Σ) το σύστημα των εξισώσεων της υπερβολής C και της ευθείας (ε), τότε: (1) Αν το (Σ) είναι αδύνατο η C και η (ε) δεν έχουν κοινά σημεία (2) Αν το (Σ) έχει μια διπλή λύση η C και η (ε) εφάπτονται (3) Αν το (Σ) έχει δύο άνισες λύσεις η C και η (ε) τέμνονται σε δύο σημεία (4) Αν το (Σ) έχει μια απλή λύση η C και η (ε) τέμνονται σε ένα σημείο Σχόλιο: Στις περιπτώσεις (1), (2), (3) το σύστημα καταλήγει σε επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης με Δ < 0, Δ = 0, Δ > 0 αντίστοιχα, ενώ στην περίπτωση (4) η (ε) είναι παράλληλη σε μια ασύμπτωτη της υπερβολής και το σύστημα καταλήγει σε επίλυση πρωτοβάθμιας εξίσωσης.
Ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής Η εφαπτομένη ε της υπερβολής, στο σημείο επαφής Μ, διχοτομεί την γωνία Ε ΜΕ, όπου Ε, Ε οι εστίες της υπερβολής. (Δηλαδή ω = φ)