Θέμα (.Α) Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση: Να βρεθεί η ποσότητα που ελαχιστοποιεί το κόστος παραγωγής και στη συνέχεια να υπολογιστεί το ελάχιστο κόστος παραγωγής. (0%) Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου: Κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου: Άρα είναι όντως ελάχιστο. Επομένως το κόστος παραγωγής ελαχιστοποιείται στην ποσότητα 0,5 μονάδων. Το ελάχιστο κόστος είναι C(0,5)=480 χρηματικές μονάδες. (.Β) Στην περίοδο συλλογής του σταφυλιού οι καλλιεργητές μιας περιοχής του Νομού Κορινθίας στέλνουν την ποσότητα των σταφυλιών σουλτανίνας που μάζεψαν, στο τοπικό εργοστάσιο παραγωγής σταφίδας χρησιμοποιώντας τα δικά τους τρακτέρ. Συνήθως οι ουρές που σχηματίζονται από τα τρακτέρ που περιμένουν να ξεφορτώσουν και να επιστρέψουν πίσω στα χωράφια είναι αρκετά μεγάλες, με αποτέλεσμα να δαπανάται αρκετός χρόνος περιμένοντας την εκφόρτωση, ενώ επίσης σημαντικό είναι το ρίσκο που δέχεται το φορτίο από αλλαγές των καιρικών συνθηκών (π.χ. βροχή) που επηρεάζουν αρνητικά την ποιότητα των σταφυλιών και συνεπώς και την τιμή τους. Μετά από εκτεταμένες μετρήσεις που έχουν γίνει, έχει βρεθεί ότι το κόστος για κάθε ημέρα αναμονής στο εργοστάσιο είναι 360. Ο χρόνος που χρειάζεται στο εργοστάσιο για να ξεφορτώσει ένα τρακτέρ είναι τυχαίος και ακολουθεί την εκθετική κατανομή με ρυθμό κατά μέσο όρο 75 τρακτέρ την ημέρα, ενώ ο ρυθμός αφίξεων των τρακτέρ είναι κατά μέσο όρο 70 ανά ημέρα και ακολουθεί την κατανομή Poisson. Ο ιδιοκτήτης του εργοστασίου στην αναζήτηση λύσεων για την προστασία του εισοδήματος των αγροτών ενδιαφέρεται να υπολογίσει συγκεκριμένα χαρακτηριστικά λειτουργίας του εργοστασίου του προκειμένου να εκτιμήσει τα οφέλη που θα προκύψουν από μία πιθανή αναβάθμιση των εγκαταστάσεων:.β.. Μέσος αριθμός τρακτέρ στο εργοστάσιο (σε αναμονή και εκφόρτωση/εξυπηρέτηση). ().Β..Πιθανότητα ένα τρακτέρ να εκφορτωθεί άμεσα; (%).Β.3. Μέσος συνολικός χρόνος παραμονής (αναμονή και εκφόρτωση/εξυπηρέτηση) ενός τρακτέρ στο εργοστάσιο. (%).Β.4. Συνολικό ημερήσιο κόστος για τους αγρότες λόγω της παραμονής των τρακτέρ στο εργοστάσιο. (%) Ο ιδιοκτήτης του εργοστασίου πιστεύει ότι μπορεί να επεκτείνει τις εγκαταστάσεις εκφόρτωσης σε τρόπο ώστε να μειωθεί ο χρόνος εκφόρτωσης στο μισό, δηλαδή θα υπάρχει η δυνατότητα εκφόρτωσης 50 τρακτέρ ημερησίως. Υποθέτοντας ότι το κόστος των επιπλέον εγκαταστάσεων υπολογίζεται ότι θα αποσβεστεί σε 0 χρόνια, μέχρι ποιου ύψους θα είναι δικαιολογημένη η νέα επένδυση; (7%) Σημείωση: Η περίοδος συλλογής και παράδοσης των σταφυλιών σουλτανίνας διαρκεί 30 ημέρες το χρόνο. Υπόδειξη: Να χρησιμοποιήσετε ως στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου τη μία ημέρα και να διατηρήσετε στις πράξεις είτε κλάσματα είτε τέσσερα δεκαδικά ψηφία.
Πρόκειται για ένα σύστημα αναμονής τύπου Μ/Μ/ (απεριόριστος χώρος αναμονής, άπειρο πλήθος πελατών, διαδικασία Poisson στην είσοδο και στην εξυπηρέτηση, FIFO προτεραιότητα, μία θέση εξυπηρέτησης), όπου «πελάτες» του συστήματος είναι τα τρακτέρ που αναμένουν να εκφορτωθούν. Ως στοιχειώδης μονάδα μέτρησης του χρόνου χρησιμοποιείται η μία ημέρα. Ο μέσος ρυθμός άφιξης της Poisson διαδικασίας είναι λ=70 πελάτες ανά ημέρα, ενώ ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης είναι μ=75 πελάτες ανά ημέρα. Άρα λ/μ = 70/75 <, οπότε το σύστημα συγκλίνει σε κατάσταση (στατιστικής) ισορροπίας και επομένως μπορούμε να προχωρήσουμε στους υπολογισμούς σύμφωνα με τους τύπους του συστήματος ουρών αναμονής Μ/Μ/. Σε κατάσταση ισορροπίας έχουμε:.β.. Μέσος αριθμός τρακτέρ σε αναμονή και σε εκφόρτωση/εξυπηρέτηση στο εργοστάσιο: 70 70 L = λ 4 μ λ = 75 70 = 5 = τρακτέρ..β.. Άμεση εκφόρτωση ενός τρακτέρ P 0 = - ρ = 70/75 = 0,0667 δηλ. μόνο το 6,67% των τρακτέρ που φτάνουν στο εργοστάσιο εκφορτώνονται άμεσα..β.3. Μέσος συνολικός χρόνος παραμονής (: αναμονή και εκφόρτωση/εξυπηρέτηση) ενός τρακτέρ στο εργοστάσιο: W = = μ λ 75 70 = ημέρες, δηλ. 0, ημέρες. 5.Β.4. Συνολικό ημερήσιο κόστος για τους αγρότες: (70 τρακτέρ/ημέρα) (0, ημέρες/τρακτέρ) (360 ευρώ/ημέρα) = 5040 ευρώ ανά ημέρα λειτουργίας του εργοστασίου..β.5. Υποθέτουμε στη συνέχεια ότι το εργοστάσιο θα λειτουργήσει με τις νέες αναβαθμισμένες εγκαταστάσεις εκφόρτωσης. Η παράμετρος που αλλάζει είναι ο ρυθμός εκφόρτωσης των τρακτέρ μ, η οποία λαμβάνει νέα τιμή ίση με μ=50 πελάτες ανά ημέρα. Με τα νέα δεδομένα ο μέσος χρόνος παραμονής στο εργοστάσιο για κάθε τρακτέρ (αναμονή και εκφόρτωση) ισούται με: W = = μ λ 50 70 = ημέρες. 80 Τότε, το συνολικό ημερήσιο κόστος για τους αγρότες θα διαμορφωθεί σε: (70 τρακτέρ/ημέρα) (/80 ημέρες/τρακτέρ) (360 ευρώ/ημέρα) = 35 ευρώ ανά ημέρα λειτουργίας του εργοστασίου. Επομένως με τις νέες εγκαταστάσεις προκύπτει όφελος 5040-35 = 475 ευρώ ανά ημέρα λειτουργίας του εργοστασίου. Προφανώς, η δαπάνη επέκτασης του εργοστασίου δεν πρέπει να υπερβαίνει το συνολικό όφελος μέσα στην εικοσαετία, δηλαδή το ποσό των (0 έτη) (30 ημέρες/έτος) (475 ευρώ/ημέρα) =.835.000.
Θέμα.A) Μια εταιρεία παράγει αγροτικά φάρμακα και τα προωθεί στην αγορά σε κουτιά συγκεκριμένου βάρους. Η εταιρεία ανησυχεί για την αποτελεσματικότητα των φαρμάκων της εξ αιτίας της παρουσίας ξένων ουσιών σ αυτά. Σύμφωνα δε με τον επίσημο κανονισμό λειτουργίας της, αν γίνει έλεγχος από την αρμόδια κρατική υπηρεσία και η εταιρεία κριθεί αρνητικά, τότε υποχρεούται να αναθεωρήσει την παραγωγική της διαδικασία και ενδεχομένως να αναβαθμίσει τα μηχανήματά της και το προσωπικό της. Ο έλεγχος συνίσταται στη λήψη ενός τυχαίου δείγματος 0 κουτιών και το αποτέλεσμα είναι αρνητικό για την εταιρεία αν από τα 0 κουτιά του δείγματος τουλάχιστον δύο βρεθούν να περιέχουν περισσότερα από,75 γραμμάρια ξένων ουσιών. Από έρευνες που έγιναν στο παρελθόν, έχει βρεθεί ότι το βάρος των ξένων ουσιών σε κάθε κουτί είναι μία τυχαία μεταβλητή που έχει κανονική κατανομή με μέσο 0 γραμμάρια και τυπική απόκλιση γραμμάριο..α.. Να υπολογισθεί η πιθανότητα σ ένα συγκεκριμένο κουτί που επιλέγεται τυχαία να περιέχονται περισσότερα από,75 γραμμάρια ξένων ουσιών. (5%).Α.. Να υπολογισθεί η πιθανότητα σ ένα συγκεκριμένο κουτί που επιλέγεται τυχαία να περιέχονται λιγότερα από 7,75 γραμμάρια ξένων ουσιών. (5%).Α.3. Αν γίνει έλεγχος από την αρμόδια κρατική υπηρεσία, πόσα από τα 0 κουτιά του δείγματος, το οποίο λαμβάνεται προκειμένου να γίνει ο έλεγχος, αναμένεται να περιέχουν περισσότερα από,75 γραμμάρια ξένων ουσιών; (5%) Έστω Χ = το βάρος (σε γραμμάρια) των ξένων ουσιών σ ένα κουτί. Δίνεται ότι Χ ~ Ν(μ = 0, σ = ). Συνεπώς:,75 0.A. Ρ(Χ >,75) = P ( Z > ) = Ρ(Ζ >,75) = Ρ(Ζ <,75) = 0,997 = 0,003 ή 0.3% 7,75 0.A. Ρ(Χ < 7,75) = P ( Z < ) = Ρ(Ζ < -,5) = Ρ(Ζ <,75) = 0,0 ή,%.a.3. Έστω Υ = ο αριθμός των κουτιών που περιέχουν περισσότερο από,75 γραμμάρια ξένων ουσιών σ ένα τυχαίο δείγμα n κουτιών. Στην προκειμένη περίπτωση, σύμφωνα με την απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα, έχουμε ότι Υ ~ b(n = 0, p = 0,003). Συνεπώς, η αναμενόμενη τιμή της Υ είναι Ε(Υ) = np = 0 0,003 = 0,03 κουτιά..β) Δίνονται οι παρακάτω συναρτήσεις προσφοράς (D) και ζήτησης (S) που χαρακτηρίζουν μία αγορά: Dq ( ) =,5q 5q+ 35 Sq ( ) = q+ 7.Β.. Να βρεθεί το κοινό πεδίο ορισμού των δύο συναρτήσεων (5%) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού εργαζόμαστε ως εξής: Για τη συνάρτηση ζήτησης θα πρέπει να ισχύει:
dd( q) < 0 και q 0.και D(q) 0 (). dq Η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει ρίζες, και αφού ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι θετικός, έχει τα κοίλα προς τα άνω και λαμβάνει μη αρνητικές τιμές στα διαστήματα (-, 3,7] και [6,9, ) Επίσης, dd( q) = 3q 5. dq Επομένως () 3q 5< 0 q< 5 και τελικά. 0 q 3,7 Για τη συνάρτηση προσφοράς θα πρέπει να ισχύει: ds( q) > 0 και S(q) 0 και. dq q 0 Όμως, ds( q) = > 0για κάθε q, S(q) 0 για κάθε και. dq q 0 q 0 Άρα τελικά 0 q 3,7 ()..Β..Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας της αγοράς. (5%) Σε κατάσταση ισορροπίας η προσφορά ισούται με την ζήτηση οπότε D( q) = S( q) :, 5q 5q 35 q 7 + = +, 5q 7q+ 8 = 0 q = ή q = 9 3 Απορρίπτουμε, λόγω της (), τη δεύτερη λύση και καταλήγουμε ότι q=. Αντικαθιστώντας είτε στη συνάρτηση προσφοράς είτε στη συνάρτηση ζήτησης, προκύπτει ότι p=.
Άρα το σημείο ισορροπίας είναι το q=, p=. Θέμα 3 3.Α) Μια μονάδα καταδρομέων, η MOK, βρίσκεται στη θέση και αναμένει να πάρει διαταγή προκειμένου να μετακινηθεί σε κάποια άλλη θέση. Το σχήμα που ακολουθεί αναπαριστά με ένα δίκτυο το συνολικό σχέδιο μετακίνησης με την ακόλουθη λογική: οι κόμβοι του δικτύου είναι οι θέσεις από τις οποίες μπορεί να περάσει η ΜΟΚ, οι ακμές του δικτύου είναι οι διαθέσιμες μεταξύ αυτών των θέσεων συνδέσεις (δρόμοι) και, τέλος, οι αριθμοί επάνω στις ακμές δίνουν τις αναμενόμενες απώλειες για κίνηση πάνω σε κάθε πιθανή διαδρομή (ακμή του δικτύου) όπως εκτιμήθηκαν από το επιτελείο επιχειρήσεων. Η κίνηση της MOK μέσα από τα δυνατά δρομολόγια του δικτύου ενέχει κινδύνους που συνεπάγονται απώλειες ανδρών, και είναι αυτονόητο ότι κάθε μετακίνηση πρέπει να γίνει με ελάχιστες δυνατές απώλειες. 5 5 7 3 4 9 3 8 4 3 6 3.Α.) Η διαταγή που πήρε η ΜΟΚ είναι, μετακίνηση από τον θέση που βρίσκεται (κόμβος ) στη θέση (κόμβος) 6. Βρείτε τη διαδρομή που πρέπει να ακολουθήσει η ΜΟΚ προκειμένου να εκτελέσει την διαταγή με τις ελάχιστες δυνατές αναμενόμενες απώλειες. Πόσες θα είναι οι απώλειες της μονάδος; Προσοχή Στην απάντησή σας πρέπει να αναφέρεται με σαφήνεια η τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης που θα χρησιμοποιήσετε. Η διαδικασία επίλυσης θα πρέπει να ακολουθεί την εφαρμογή του αλγορίθμου, δηλαδή στην πορεία επίλυσης του προβλήματος θα πρέπει να αριθμήσετε με,,3 τις διαδοχικές επαναλήψεις του αλγορίθμου και σε κάθε μία εξ αυτών πρέπει να είναι απολύτως σαφές τι υπολογίζεται και πώς. Λύσεις που θα δοθούν χωρίς να προκύπτουν από την απόλυτη εφαρμογή των βημάτων του αλγορίθμου (π.χ. λύσεις που βασίζονται σε απαρίθμηση των δυνατών διαδρομών ή άλλους εμπειρικούς υπολογισμούς) δεν θα ληφθούν καθόλου υπόψη. (0) 3.Α.) Αμέσως μόλις ολοκληρώθηκαν οι αναγκαίοι υπολογισμοί για τη διαταγή που δόθηκε στα πλαίσια του προηγούμενου ερωτήματος και η μονάδα ήταν έτοιμη να ξεκινήσει την πορεία που χαράχθηκε, έφθασε νέα διαταγή η οποία ακυρώνει την παλαιά και διατάσσει την ομάδα να μετακινηθεί στη θέση (κόμβος) 5. Στηριζόμενοι αποκλειστικά και μόνο στους υπολογισμούς που έχετε κάνει προκειμένου να απαντήσετε στο ερώτημα, δηλαδή χωρίς να κάνετε κανένα απολύτως νέο υπολογισμό, προσδιορίστε τη διαδρομή και τις ελάχιστες απώλειες που θα έχει η ομάδα για να εκτελέσει την νέα διαταγή. () 3.Β.3) Και αυτή η διαταγή ακυρώθηκε και η ΜΟΚ διατάχθηκε τελικά να κινηθεί προς τη θέση (κόμβο) 4. Στηριζόμενοι αποκλειστικά και μόνο στους υπολογισμούς που έχετε κάνει προκειμένου να απαντήσετε στο ερώτημα, δηλαδή χωρίς να κάνετε κανένα απολύτως νέο υπολογισμό, είναι δυνατόν να δυνατόν να προσδιορίσετε τη διαδρομή και τις ελάχιστες απώλειες που θα έχει η ομάδα για να εκτελέσει την νέα διαταγή; (3) Προσοχή. Η απάντησή σας θα πρέπει να είναι ΝΑΙ ή ΟΧΙ συνοδευόμενη από πλήρη
αιτιολόγηση. Αν η απάντηση σας είναι τελικά ΟΧΙ θα πρέπει ταυτόχρονα να υποδείξετε πόσες ακόμη (και για ποιο λόγο) επαναλήψεις του αλγορίθμου θα χρειαζόταν να γίνουν για να απαντήσετε στο ερώτημα (δεν ζητείται να τις κάνετε). Ερώτημα 3.A. Πρόκειται για πρόβλημα που ανήκει στην κατηγορία των προβλημάτων ελάχιστης διαδρομής καθόσον για κάποιο κόμβο Χ του δικτύου ζητείται να βρεθεί η διαδρομή με τις ελάχιστες απώλειες που συνδέει τον κόμβο με τον Χ. Έτσι θα εφαρμοσθεί ο αλγόριθμος ελαχίστης διαδρομής (Shorter Route algorithm) Στα επόμενα και για ευκολία στην ανάπτυξη της λύσης η λέξη απόσταση θα αναφέρεται σε απώλειες ανδρών Ξεκινάμε με τον κόμβο ο οποίος είναι η αφετηρία με απόσταση 0 (από τον εαυτό της).και καθίσταται ο πρώτος λυμένος κόμβος η Λ={} η επανάληψη: Κόμβοι που συνδέονται με κόμβους του Λ, είναι οι {, 3, 4} κόμβος, ακμή (-) με μήκος 7, διαδρομή και προσωρινή απόσταση 7 από την αφετηρία. κόμβος 3, ακμή (-3) με μήκος 9 διαδρομή 3 και προσωρινή απόσταση 9 από την αφετηρία κόμβος 4, ακμή (-4) με μήκος 8 διαδρομή 4 και προσωρινή απόσταση 8 από την αφετηρία Επειδή min(7,9,8)=7 και αυτό αντιστοιχεί σον κόμβο, ο λυμένος κόμβος που προκύπτει σε αυτή την επανάληψη του αλγορίθμου είναι ο, εισέρχεται στο σύνολο των μονίμων κόμβων και αυτό γίνεται Λ={, }. Το 7 είναι και η τελική ελάχιστη απόσταση του από τον και αντιστοιχεί στην διαδρομή, (δεν υπάρχει άλλη συντομότερη διαδρομή που να οδηγεί από τον στον, αν υπήρχε αυτή θα ήταν μέσω του 3, ή του 4 αλλά αυτές έχουν σίγουρα μεγαλύτερη απόσταση ) η επανάληψη: Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με κόμβους του Λ={, }, είναι οι {3,4,5} κόμβος 3, που συνδέεται με τον, ακμή (-3) με μήκος 9. Η ελάχιστη απόσταση του 3 από τον είναι 9 και πετυχαίνεται στην διαδρομή 3 με τον, ακμή (-3) με μήκος 3. Η ελάχιστη τελική απόσταση του από τον έχει ήδη βρεθεί στην επανάληψη είναι 7 και αντιστοιχεί στην διαδρομή Επομένως η προσωρινή απόσταση του κόμβου 3 (από τον ) είναι 7 + 3 =0 και πετυχαίνεται στην διαδρομή 3 Επειδή min(0,9)=9 η προσωρινή ελάχιστη απόσταση του 3 από τον είναι 9 και αντιστοιχεί στην διαδρομή 3. κόμβος 4, που συνδέεται
με τον, ακμή (-4) με μήκος 8. Η προσωρινή ελάχιστη απόσταση του κόμβου 4 από τον είναι 8. κόμβος 5, που συνδέεται με τον, ακμή (-5) με μήκος 5. Η ελάχιστη απόσταση του από τον έχει ήδη βρεθεί στην επανάληψη είναι 7 και αντιστοιχεί στην διαδρομή Επομένως η προσωρινή ελάχιστη απόσταση του κόμβου 5 (από τον ) είναι 7 + 5 = και πετυχαίνεται στην διαδρομή 5 Επειδή min(9,8,)=9 και αυτό αντιστοιχεί στον κόμβο 3 λυμένος κόμβος σε αυτή την επανάληψη είναι ο 3, αυτός καθίσταται μόνιμος μπαίνει στο σύνολο των μονίμων κόμβων το οποίο γίνεται Λ3={,,3 }. Με αυτό θα εκτελέσουμε το επόμενο βήμα στον αλγόριθμο. Η ελάχιστη τελική απόσταση του 3 από τον, είναι 9, πετυχαίνεται μέσω της διαδρομής, 3 3 η επανάληψη: Ξεκινάμε με Λ3={,,3 }. Οι κόμβοι που τώρα συνδέονται είναι οι {4,5} κόμβος 4 που συνδέεται με τον, ακμή (-4) με μήκος 8 Η προσωρινή ελάχιστη απόσταση του 4 από τον είναι 8 και αντιστοιχεί στην διαδρομή 4. κόμβος 5 που συνδέεται με τον ακμή (-5) με μήκος 5. Η ελάχιστη απόσταση του από τον έχει ήδη βρεθεί σε στην επανάληψη, είναι 7 και αντιστοιχεί στην διαδρομή Επομένως η προσωρινή ελαχίστη απόσταση του κόμβου 5 από τον είναι 7 + 5 = και πετυχαίνεται στην διαδρομή 5 με τον 3, ακμή (3-5) με μήκος 4 Η ελάχιστη απόσταση του 3 από τον (έχει ήδη βρεθεί σε προηγούμενο βήμα) είναι 9 και αντιστοιχεί στην διαδρομή 3. Επομένως η εναλλακτική προσωρινή απόσταση του κόμβου 5 (από τον ) είναι 9 + 4 =3 και πετυχαίνεται στην διαδρομή 3 5 min(,3)=, και πετυχαίνεται μέσω του κόμβου που προηγείται του 5 Έτσι η προσωρινή ελάχιστη απόσταση του 5 από τον είναι, και επιτυγχάνεται μέσω της διαδρομής 5 Επειδή min(8,) = και αντιστοιχεί στον κόμβο 5, από τους κόμβους {4,5} που σε αυτή την επανάληψη συνδέθηκαν με κόμβους του Λ3, λυμένος κόμβος είναι ο 5. Το νέο σύνολο των μονίμων κόμβων είναι τώρα Λ4={,, 3, 5}. Η ελάχιστη τελική απόσταση του 5 από τον, είναι, και πετυχαίνεται μέσω της διαδρομής 5. 4 η επανάληψη: Ξεκινάμε με Λ4={,,3,,5}. Οι κόμβοι που συνδέονται είναι οι {4,6} κόμβος 4 που συνδέεται
με τον ακμή (-4) με μήκος 8 διαδρομή 4 κόμβος 6 που συνδέεται με τον 5 ακμή (5-6) με μήκος. Η ελάχιστη απόσταση του 5 από τον έχει ήδη βρεθεί στην τρίτη επανάληψη είναι και αντιστοιχεί στη διαδρομή 5 Επομένως η προσωρινή ελάχιστη απόσταση του κόμβου 6 από τον είναι + =4 και πετυχαίνεται στην διαδρομή 5 6. κόμβος 7 που συνδέεται με τον 5, ακμή (5-7) με μήκος 6. Η ελάχιστη απόσταση του 5 από τον καθώς και η αντίστοιχη διαδρομή, είναι και 5. Επομένως η προσωρινή ελάχιστη απόσταση του κόμβου 7 από τον είναι + 6 =8 και πετυχαίνεται στην διαδρομή 5 7. Επειδή min(8,4,8) =4 και αντιστοιχεί στον κόμβο 6 από τους κόμβους {4,6} που σε αυτή την επανάληψη συνδέθηκαν με κόμβους του Λ5, λυμένος κόμβος είναι ο 6. Το νέο σύνολο των μονίμων κόμβων είναι τώρα Λ5={,, 3, 5,6}. Η ελάχιστη τελική απόσταση του 6 από τον, είναι 4, και πετυχαίνεται μέσω της διαδρομής, 5 6 Εδώ τερματίζεται ο αλγόριθμος για την απάντηση στο πρώτο ερώτημα Ερώτημα 3.A. Ο κόμβος 5 έγινε μόνιμος στην επανάληψη 3, όπου έχει βρεθεί ότι οι ελάχιστες απώλειες είναι και η διαδρομή είναι η 5 Ερώτημα 3.A.3 Όχι. Ο αλγόριθμος για την απάντηση στο ερώτημα τερμάτισε όταν ο κόμβος 6 έγινε μόνιμος. Αυτό όμως έχει συμβεί πριν ο κόμβος 4 γίνει μόνιμος, δηλαδή οι υπολογισμοί για το ερώτημα δεν κατέστησαν λυμένο τον κόμβο 4 για να μπορεί να απαντηθεί το ερώτημα Χρειάζεται μια ακόμη επανάληψη συνοψισμένη σε πίνακα Σύνολο Μονίμω ν Κόμβων Λ η ΕΠΑ/ΨΗ Σύνολο άμεσα συνδεομ ένων κόμβων Συνδεό- μενος Κόμβος Ακμές κόμβων που συνδέονται άμεσα με κόμβους του Λ Προσωρινή απόσταση αντίστοιχης διαδρομής από τον κόμβο μέχρι τον συνδεόμενο κόμβο Προσωρινή ελάχιστη απόσταση του συνδεόμενου κόμβου από τον κόμβο Ελάχιστο {προσωρινών ελάχιστων αποστάσεων όλων των συνδεομένων κόμβων από τον κόμβο } Λυμέ νος Κόμ βος Ελάχιστο μήκος διαδρομής από τον κόμβο μέχρι τον λυμένο κόμβο και αντίστοιχη Διαδρομή {} {,3,4} - 7 7 min(7,9,8) =7 3-3 9 9 αντιστοιχεί στον κόμβο 4-4 8 8 Ο κόμβος καθίσταται μόνιμος 7
η ΕΠΑ/ΨΗ {,} {3,4,5} 3-3 9-3 7+3=0 min(9,0) =9 μέσω του 4-4 8 8 5-5 7+5= Άρα ο κόμβος 3 καθίσταται μόνιμος min(9,8, ) =9 αντιστοιχεί στον κόμβο 3 3 9 3 3η ΕΠΑ/ΨΗ {,,3} {4,5} 4-4 8 8 4η ΕΠΑ/ΨΗ 5-5 7+5= 3-5 9+4=3 min(,3) = μέσω του Άρα ο κόμβος 5 καθίσταται μόνιμος {,,3,5} {4,6} 4-4 8 8 6 5-6 +=4 4 Min(8,) = αντιστοιχεί στον κόμβο 5 Min (8,4,8)= 4 αντιστοιχεί στον κόμβο 6 Άρα ο κόμβος 6 καθίσταται μόνιμος και ο αλγόριθμος τερματίζεται 5 6 5 = ( ) 5 = 5 4 6= ( 5) 6 ={( ) 5)} 6 = 5 6 3.Β) Η συνάρτηση ζήτησης ενός μονοπωλητή που επιδιώκει μεγιστοποίηση των κερδών του είναι και η συνάρτηση του συνολικού κόστους της επιχείρησής του είναι, όπου Ρ είναι η τιμή, και Q η ποσότητα του προϊόντος. 3.Β.) Να προσδιορισθεί το ύψος παραγωγής στο οποίο το κόστος παραγωγής ελαχιστοποιείται. (5%) 3.Β.) Να προσδιορισθεί το ύψος παραγωγής στο οποίο ο μονοπωλητής μεγιστοποιεί τα κέρδη του. (5%) 3.Β.) Είναι.
Κ.Π.Π. Κ.Δ.Π., επομένως υπάρχει ελάχιστο. 3.Β.) Η συνάρτηση συνολικού κέρδους δίνεται από τον τύπο. Η συνάρτηση συνολικών εσόδων δίνεται από τον τύπο: Επομένως και Κ.Π.Π. Κ.Δ.Π. Για Q=,5. Για Q=. Θέμα 4 (4.Α) Η συνάρτηση συνολικού κόστους μιας επιχείρησης είναι : TC = q + 5q + 800 όπου q η ποσότητα παραγωγής του προϊόντος. 4.A. Να βρεθεί η τιμή της q για την οποία ελαχιστοποιείται η συνάρτηση μέσου κόστους και να υπολογισθεί το ελάχιστο μέσο κόστος. (5%) 4.A. Να βρεθεί η τιμή της q για την οποία ικανοποιείται η σχέση MC=AC. Τι παρατηρείτε; (5%) 4.A. TC = + + q 5q 800 TC q q AC = q q 800 AC = q + 5+ q + 5 + 800 AC = q + 5 + 800q dac 800 = 800q = dq q 800 = = q 0 q 800 0
q = 900 q =± 30 H αρνητική ρίζα απορρίπτεται και επομένως q = 30 Αυτό είναι ελάχιστο γιατί: d AC 3 3600 = 3600q = το οποίο είναι θετικό για q = 30. 3 dq q Το ελάχιστο της AC: 800 min AC = *30 + 5 + = 5 30 4.A. Η συνάρτηση οριακού κόστους είναι: dtc MC = 4q + 5 dq Η συνάρτηση μέσου κόστους είναι: 800 AC = q + 5+ q Επομένως η σχέση MC=AC γίνεται: 800 4q+ 5= q+ 5+ q q = 900 q =± 30 H αρνητική ρίζα απορρίπτεται και επομένως q = 30 Παρατηρούμε ότι η σχέση MC=AC ισχύει για την τιμή της q που ελαχιστοποιεί το μέσο κόστος.
(4.Β) Δύο φίλοι (ο Π και ο Α) παίζουν το ακόλουθο παιγνίδι: Αναφωνούν ταυτόχρονα έναν από τους δύο αριθμούς ή. Ο Α πληρώνει στον Π το άθροισμα των δύο αριθμών (σε ευρώ) αν το άθροισμα είναι περιττό. Προφανώς αν το άθροισμα είναι άρτιο, τότε ο Π πληρώνει στον Α το άθροισμα των δύο αριθμών (σε ευρώ). 4.B.. Να κατασκευάσετε τον πίνακα πληρωμών του παιγνίου για τον παίκτη Π και στη συνέχεια να εφαρμόσετε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, για να διαπιστώσετε την ύπαρξη ή όχι σημείου ισορροπίας. (3%) 4.B.. Εφαρμόζοντας τη μεθοδολογία της θεωρίας παιγνίων ποιος παίκτης θα προτιμούσατε να είστε; (0%) 4.B.3. Ο παίκτης Α προτείνει στον Π να αλλάξει ο κανόνας και αντί να ελέγχουν το άθροισμα των δύο αριθμών για να αποφασίσουν ποιος πληρώνει και πόσο, να ελέγχουν το γινόμενο των δύο αριθμών καταβάλλοντας το αντίστοιχο ποσό ανάλογα πάλι αν είναι άρτιο ή περιττό. Θα δεχτεί άραγε ο Π τον κανόνα αυτό; (%) Ερώτημα 4.B.. Έχουμε ένα παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος (υπό την έννοια ότι τα ευρώ που κερδίζει ο ένας παίκτης είναι η ζημία για τον αντίπαλο παίκτη). Οι στρατηγικές του κάθε παίκτη είναι οι αριθμοί που αναφωνεί δηλαδή ή. Ο πίνακας πληρωμών του παιγνίου για τον παίκτη Π είναι ο ακόλουθος: Π y Α -y x - 3 -x 3-4 Η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών για τον Π δεν μπορεί να δώσει αμιγείς στρατηγικές αφού η maximin τιμή για τον Π είναι το - και η minimax τιμή για τον Α είναι ο αριθμός 3. Επομένως, αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Για να δούμε ποιος παίκτης θα προτιμούσαμε να είμαστε. Ερώτημα 4.B.. Ο πίνακας πληρωμών είναι διάστασης. Π x - 3 -x 3-4 Αν ονομάσουμε x την πιθανότητα ο Π να ακολουθήσει τη στρατηγική τότε (-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική. Ομοίως, έστω y η πιθανότητα ο Α να ακολουθήσει τη στρατηγική, οπότε (-y) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική. Έτσι, για τον Π έχουμε ότι η προσδοκώμενη τιμή, όταν ο Α εφαρμόζει την y Α -y
, είναι V(Π, ) = -x +3(-x) = -5x + 3 και όταν ο Α εφαρμόζει την V(Π, ) = 3x - 4(-x) = 7x - 4. Επειδή πρέπει να ισχύει V(Π, ) = V(Π, ) παίρνουμε ότι: -5x + 3 = 7x -4, δηλαδή x = 7 που δίνει x = 7/ οπότε -x = 5/. Η προσδοκώμενη τιμή του παιγνίου (το αναμενόμενο κέρδος του Π) βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων x και -x σε οποιοδήποτε από τα V(Π, ) = V(Π, ) δηλαδή είναι: -5(7/) + 3 = 7(7/) 4 = / το προσδοκώμενο κέρδος του Π (σε ευρώ). Για τον Α, με όμοιο τρόπο, έχουμε ότι V(Α, ) = V(Α, ), απ όπου προκύπτει ότι: -y + 3(-y) = 3y + -4(-y), που δίνει -5y + 3 = 7y 4 δηλαδή y = 7 που δίνει y = 7/ οπότε -y = 5/. Με αντικατάσταση των τιμών των πιθανοτήτων y και -y σε οποιαδήποτε από τις σχέσεις V(Α, ) = V(Α, ), επαληθεύουμε ότι πράγματι η τιμή του παιγνίου (τα αναμενόμενα ευρώ που πληρώνει ο Α) είναι κατά μέσο όρο V = / όσο δηλαδή βρήκαμε πριν ότι θα κερδίσει κατά μέσο όρο ο Π. Ανακεφαλαιώνοντας, το τελικό αποτέλεσμα είναι το εξής: Μεικτή στρατηγική για τον Π: (7/, 5/) Μεικτή στρατηγική για τον Α: (7/, 5/) Αναμενόμενο κέρδος για τον Π: V = / ευρώ (αναμενόμενο κέρδος για τον Π, αναμενόμενη ζημιά για τον Α) Άρα θα προτιμούσατε να είστε ο Παίκτης Π. Ερώτημα 4.B.3. Ο πίνακας πληρωμών του παιγνίου για τον παίκτη Π παίρνει τώρα την ακόλουθη μορφή: Α Π - - -4 Παρατηρούμε ότι η στρατηγική του παίκτη Π είναι υποδεέστερη από τη στρατηγική. Ομοίως η στρατηγική του παίκτη Α είναι υποδεέστερη από τη στρατηγική αυτού του παίκτη. Διαγράφοντας τις υποδεέστερες στρατηγικές απομένει ο εξής: Α Π - Άρα το παιγνίδι έχει ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές και η τιμή του είναι - (ζημία για τον Παίκτη Π). Προφανώς ο Π δεν θα δεχτεί να παίξει το παιγνίδι με τον κανόνα αυτό. Θέμα 5 5.Α) Δίνονται τα παρακάτω ταξινομημένα δεδομένα που αναφέρονται στη βαθμολογία 00 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε μια γραπτή εξέταση. Βαθμοί Σπουδαστών Σχετική Συχνότητα
[30 40) 0,0 [40 50) 0,3 [50 60) 0,0 [60-70) 0,8 [70-80) 0,4 [80-90) 0,05 ΣΥΝΟΛΟ,00 5.Α.) Ποια είναι η μέση βαθμολογία των σπουδαστών του δείγματος; (5%) 5.Α.) Να υπολογίσετε το ενδοτεταρτημοριακό εύρος των βαθμολογιών. (5%) 5.Α.3) Να χαρακτηρίσετε την κατανομή των δεδομένων από πλευράς ασυμμετρίας. (5%) 5.Α.4) Πόσοι σπουδαστές έχουν βαθμολογία τουλάχιστον ίση με τη βάση (δηλαδή το 50); (5%) 5.Β) Μια εταιρεία προσάρμοσε στα δεδομένα της ένα μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης για να μελετήσει την σχέση ανάμεσα στις πωλήσεις της (Υ) σε ευρώ και του ποσού που δαπάνησε σε διαφήμιση ο βασικός ανταγωνιστής της (Χ). Η ευθεία παλινδρόμησης που βρήκε ήταν Υ = 000 43.3Χ και ο συντελεστής προσδιορισμού 0.95. Ποιά είναι η τιμή του συντελεστή συσχέτισης; (Δικαιολογήστε την απάντησή σας.) (5%) 5.A. Κατασκευάζουμε τον Πίνακα που περιέχει τα στοιχεία που απαιτούνται για τον υπολογισμό των ζητούμενων ποσοτήτων (πλήθος δεδομένων n=00): k Τάξεις Κεντρική Τιμή Σχετική Αθροιστική Βαθμολογιών Τάξης m i Συχνότητα Συχνότητα f i m i * f i Συχνότητα Fi η [30 40) 35 0,0 40 400 40 η [40 50) 45 0,3 46 070 86 3η [50 60) 55 0,0 40 00 6 4η [60-70) 65 0,8 36 340 6 5η [70 80) 75 0,4 8 00 90 6η [80-90) 85 0,05 0 850 00 ΣΥΝΟΛΟ,00 00 0960 Με βάση τα στοιχεία αυτά έχουμε: fm i i i= 0960 5.A.) Αριθμητικός μέσος: X = = = 54, 80 6 00 f είναι 54,8. 6 i i= δηλαδή η μέση βαθμολογία
5.Α.) Ενδοτεταρτημοριακό εύρος: IR = Q 3 Q. Θα πρέπει να υπολογιστούν τα Q3, Q. Εντοπισμός της θέσης του Q : n * i = 4 00* 4 = 00 = 50 4 Υπολογισμός της τιμής του Q : Q το Q ανήκει στην η τάξη (διάστημα 40-50) δ n* i 0 Q = LQ + F = 40+ *(50 40) = 4,7 = 4,7 Q Q f 4 46 Εντοπισμός της θέσης του Q 3 : n * i = 4 00*3 4 = 600 = 50 4 Υπολογισμός της τιμής του Q 3 : 3 3 Q3 το Q ανήκει στην 4 η 3 τάξη (διάστημα 60-70) δ n* i 0 Q = LQ + F = 60+ *(50 6) = 66,67 3 = 66,67 3 Q Q f 4 36 Συνεπώς το ενδοτεταρτημοριακό εύρος είναι: IR = Q 3 Q = 66,67 4,7 = 4,49 (περίπου) 5.Α.3) Συντελεστής ασυμμετρίας ( S P ) Εξαρτάται από τη σχέση μεταξύ επικρατούσας τιμής και αριθμητικού μέσου: S = X T ) / Tυπικήαπόκλιση ( 0 Ο μέσος είναι γνωστός από ερώτημα : X = 54, 80 Για την επικρατούσα τιμή Τ 0 έχουμε: Εντοπισμός της θέσης της: Η τάξη με τη μεγαλύτερη συχνότητα είναι η η. Άρα η επικρατούσα τιμή βρίσκεται στην τάξη αυτή (διάστημα 40-50). Δ (46 40) 6 To = LT + δ = 40 + 0* = 40 + 0* = 45 T = 45 o o Δ + Δ (46 40) + (46 40) Αφού X T0 =54,8 45 = 9,8 > 0 έχουμε θετική ασυμμετρία. (Σημείωση. Η διακύμανση (διαιρώντας με n) ισούται με και η τυπική απόκλιση με 4.90 (περίπου). Επομένως ο συντελεστής ισούται με 9.8/4.9 = 0.6577. Επίσης, ως ασυμμετρία θα μπορούσαν εναλλακτικά να πάρουν τον λόγο της τρίτης κεντρικής ροπής προς τον κύβο της
τυπικής απόκλισης: Είναι οπότε 953.8/4.9 3 =0.88.) 5.Α.4) Οι σπουδαστές αυτοί είναι όσοι έχουν βαθμολογία 50. Άρα αθροίζουμε όλες τις συχνότητες από την 3η μέχρι και την 6η τάξη: 40+36+8+0 = 4. 5.Β. Ο συντελεστής συσχέτισης σχετίζεται με το συντελεστή προσδιορισμού και είναι η τετραγωνική του ρίζα. Ως προς το πρόσημο αυτό είναι ίδιο με το συντελεστή του β της παλινδρόμησης. Επομένως θα είναι r = 0.95 = 0. 9747