1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i) + Τ Α, Τ Α και f( + Τ) = f( Τ) = f() Ο αριθµός Τ λέγεται ερίοδος της συνάρτησης f.. Οι βασικές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις i) f() = ηµ µε D f = R f() = συν µε D f = R i f() = εφ µε f iv) f() = συν µε f D = { R / συν 0} D = { R / ηµ 0}. Μελέτη συνάρτησης Περιλαµβάνει : i) εδίο ορισµού i iv) εριοδικότητα µονοτονία ακρότατα v) σύνολο τιµών vi) γραφική αράσταση Η γν. αύξουσα σχεδιάζεται δεξιά και άνω. Η γν. φθίνουσα σχεδιάζεται δεξιά και κάτω.
4. Η συνάρτηση f() = ηµ Έχει εδίο ορισµού το R Είναι εριοδική µε ερίοδο Τ = Η µονοτονία στο διάστηµα [0, ] : γν. αύξουσα στο διάστηµα Πρέει να θυµόµαστε τις γραφικές αραστάσεις, αφού εύκολα διακρίνονται η µονοτονία και τα ακρότατα Η µέγιστη τιµή είναι το 1 και η ελάχιστη το 1. Άρα το σύνολο τιµών της είναι το διάστηµα [ 1, 1] Γραφική αράσταση στο διάστηµα [ 0, ] (και εαναλαµβάνεται) 1-1 γν. φθίνουσα στο διάστηµα γν. αύξουσα στο διάστηµα 0,,, 5. Η συνάρτηση f() = συν Έχει εδίο ορισµού το R Είναι εριοδική µε ερίοδο Τ = Η µονοτονία στο διάστηµα [0, ] : γν. φθίνουσα στο διάστηµα [ 0, ] Πρέει να θυµόµαστε τις γραφικές αραστάσεις, αφού εύκολα διακρίνονται η µονοτονία και τα ακρότατα γν. αύξουσα στο διάστηµα [, ] Η µέγιστη τιµή είναι το 1 και η ελάχιστη το 1. Άρα το σύνολο τιµών είναι το διάστηµα [ 1, 1] 1 Πρέει να θυµόµαστε τις γραφικές αραστάσεις Γραφική αράσταση στο διάστηµα [ 0, ] (και εαναλαµβάνεται) -1
6. Η συνάρτηση f() = εφ Έχει εδίο ορισµού το { R / συν 0} Είναι εριοδική µε ερίοδο Τ = Η µονοτονία : Στο διάστηµα (, ) (και εαναλαµβάνεται) Το σύνολο τιµών είναι το R είναι γν. αύξουσα Γραφική αράσταση στο διάστηµα (, ) (και εαναλαµβάνεται) Οι ευθείες = και = Πρέει να θυµόµαστε τις γραφικές αραστάσεις - είναι κατακόρυφες ασύµτωτες ΣΧΟΛΙΑ 1. Η συνάρτηση f() = ρηµω µε ρ, ω > 0 εριοδική µε ερίοδο Τ = ω, έχει µέγιστο ρ, ελάχιστο ρ και σύνολο τιµών [ ρ, ρ] Είναι ηµιτονοειδής,. Η συνάρτηση f() = ρσυνω µε ρ, ω > 0 Είναι συνηµιτονοειδής, εριοδική µε ερίοδο Τ = ω, έχει µέγιστο ρ, ελάχιστο ρ και σύνολο τιµών [ ρ, ρ]. Μετατόιση της C άνω ή κάτω f Αν g() = f() + c µε c > 0, η C g ροκύτει αό τη ρος τα άνω κατά c. Όταν c < 0, µετατοίζουµε ρος τα κάτω κατά c. C f µετατοίζοντάς την 4. Οι συναρτήσεις = f() και = f() λέγονται αντίθετες και οι γραφικές τους αραστάσεις είναι συµµετρικές ως ρος τον άξονα
4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση των συναρτήσεων f() = ηµ, g() = ηµ, h() = ηµ, 0 Η C f είναι ηµιτονοειδής γνωστή αό τη θεωρία. Η C g είναι ηµιτονοειδής της µορφής g() = ρηµω µε ρ = και ω = 1, άρα έχει ερίοδο 1 =, µέγιστο και ελάχιστο. Η C h είναι συµµετρική της C f ως ρος τον άξονα, αφού η h είναι αντίθετη της f. (Σχόλιο 4) 1-1 - f( ) = ηµ ( ) g ( ) = ηµ ( ) h ( ) = -ηµ ( ). Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση των συναρτήσεων f() = ηµ, g() = + ηµ, h() = + ηµ, 0 Η C f είναι ηµιτονοειδής γνωστή αό τη θεωρία. Η C g ροκύτει αό τη C f µετατοίζοντάς την ρος τα άνω κατά Η C h ροκύτει αό τη C f µετατοίζοντάς την ρος τα κάτω κατά 1-1 - f( ) = ηµ ( ) g ( ) = +ηµ ( ) h ( ) = -+ηµ ( )
5. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση των συναρτήσεων f() = συν, g() = συν, h() = + συν στο διάστηµα [0, ] Η C f είναι συνηµιτονοειδής γνωστή αό τη θεωρία. Σχόλιο 4 Η συνάρτηση g() = συν είναι αντίθετη της q() = συν. Άρα η C g είναι συµµετρική της ως ρος τον άξονα Για να έχουµε τη η συνάρτηση q C q C q, αρατηρούµε ότι είναι της µορφής q() = ρσυνω µε ρ = και ω = 1, h( ) = +συν( ) 4 - q ( ) = συν ( ) f ( ) = συν ( ) g ( ) = - συν ( ) 5 άρα έχει ερίοδο 1 =, µέγιστο και ελάχιστο. Η C h ροκύτει αό τη C f µετατοίζοντάς την ρος τα άνω κατά.
6 4. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε την γραφική αράσταση των συναρτήσεων f() = εφ, g() = εφ, h() = + εφ,, Η C f είναι εφατοµενική γνωστή αό τη θεωρία. Για τη C g : Θεωρούµε (ΟΚ) = τυχαίο. Αό το Κ φέρνουµε κάθετη στον άξονα, η οοία τέµνει τη Τότε είναι (ΚΜ) = εφ. C f στο σηµείο Μ, Προεκτείνουµε το τµήµα ΚΜ κατά ΜΜ = ΚΜ. Τότε είναι (ΚΜ ) = (ΚΜ) = εφ. Οότε το σηµείο Μ είναι σηµείο της Πολλά τέτοια σηµεία συνιστούν τη C g C g Η C h ροκύτει αό τη C f µετατοίζοντάς την ρος τα άνω κατά. - ε ε g ( ) = εφ ( ) Ο h ( ) = +εφ ( ) M K M ε f ( ) = εφ ( ) ε f ( ) = εφ ( ) Οι ευθείες ε : =, ε : = λέγονται κατακόρυφες ασύµτωτες της εφατοµενικής συνάρτησης. - g( ) = εφ( )
7 5. Να ααντήσετε, οιο είναι το εδίο ορισµού, οια η ερίοδος, οια η µέγιστη και οια η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης i) f() = ηµ, g() = ηµ i) Πεδίο ορισµού Πρέει R R. Άρα D f = R Περίοδος Τ = ω = Μέγιστη τιµή 1 και ελάχιστη 1, αφού είναι ηµιτονοειδής. Πεδίο ορισµού Πρέει R R. Άρα D g = R Η συνάρτηση g ροκύτει αό την f διλασιάζοντας τις τιµές της f. Και εειδή η f εαναλαµβάνεται κατά διαστήµατα λάτους, το ίδιο θα συµβαίνει και για τη g. Εοµένως και η g έχει ερίοδο Με την ίδια λογική, η g έχει µέγιστη τιµή και ελάχιστη
8 6. Να ααντήσετε, οιο είναι το εδίο ορισµού, οια η ερίοδος, οια η µέγιστη και οια η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης i) f() = συν g() = συν i) Πεδίο ορισµού Πρέει Περίοδος Τ = R R. Άρα D f = R ω = = 6 1 Μέγιστη τιµή 1 και ελάχιστη 1, αφού είναι συνηµιτονοειδής. Πεδίο ορισµού Πρέει R R. Άρα D g = R Η συνάρτηση g ροκύτει αό την f διλασιάζοντας τις τιµές της f. Και εειδή η f εαναλαµβάνεται κατά διαστήµατα λάτους 6, το ίδιο θα συµβαίνει και για τη g. Εοµένως και η g έχει ερίοδο 6 Με την ίδια λογική, η g έχει µέγιστη τιµή και ελάχιστη -
9 7. Για τη συνάρτηση f() = εφ i) Να αναφέραιτε το εδίο ορισµού Να βρείτε µια συγκεκριµένη τιµή του, η οοία να µην ανήκει στο εδίο ορισµού της i Να αοδείξετε ότι είναι εριοδική µε ερίοδο iv) Να βρείτε ένα διάστηµα λάτους στο οοίο να ορίζεται η f. i) D = { R / συν 0} f Θα ρέει να έχουµε συν = 0. Μια συγκεκριµένη τιµή για την οοία συµβαίνει συν = 0 είναι η =, αφού συν = 0, δηλαδή η = 6 i f( + ) = εφ ( + ) f( ) = εφ ( ) Πρέει να θυµηθείς την αναγωγή στο ρώτο τεταρτηµόριο = εφ( + ) = εφ = f() (1) = εφ( ) = εφ = f() () Αό τις (1), () συµεραίνουµε ότι η f είναι εριοδική µε ερίοδο iv) Αφού η f δεν ορίζεται για = και η ερίοδός της είναι, η εόµενη τιµή 6 του, για την οοία δεν ορίζεται η f, θα είναι η = + = + = = 6 6 6 Άρα το ζητούµενο διάστηµα είναι (, 6 )
10 8. ίνεται η συνάρτηση f() = λ συν4, όου λ ραγµατικός αριθµός, της οοίας η ελάχιστη τιµή είναι το 5 i) Να βρείτε το λ και τον τύο της f Να βρείτε τον τύο και την ερίοδο της συνάρτησης g() = f 8 i) Θεωρούµε τη συνάρτηση φ() = συν4 τότε f() = λ + φ() Η συνάρτηση φ() είναι της µορφής φ() = ρσυνω µε ρ = και ω = 4. Άρα έχει ελάχιστη τιµή ρ = =. Οότε η ελάχιστη τιµή της f είναι λ Άρα λ = 5 λ = Εοµένως Έχουµε H f() = συν4 g() = f 8 ( ) = συν 4 8 = συν = συν, C g ροκύτει αό κατακόρυφη µετατόιση ρος τα κάτω κατά µονάδες της γραφικής αράστασης της συνάρτησης h() = συν,, άρα οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια ερίοδο. Τ = 4 = ω =.
11 9. Η αόσταση (σε µέτρα ) ενός κινητού αό ένα σηµείο Ο δίνεται αό την συνάρτηση = 4 συν t, όου t ο χρόνος σε λετά. 6 Έστω Α το σηµείο της µέγιστης αοµάκρυνσης αό το Ο και Β το σηµείο της ελάχιστης αοµάκρυνσης αό το Ο. i) Να βρείτε τις αοστάσεις ΟΑ, ΟΒ και την ερίοδο της κίνησης. Να βρείτε την αόσταση ΟΓ του κινητού αό το Ο όταν t = min i) Έστω f(t) = συν t, τότε = 4 + f(t) 6 Η συνάρτηση f είναι της µορφής f(t) = ρσυνωt µε ρ = και ω = 6 Η µέγιστη τιµή της f είναι ρ = =, οότε η µέγιστη τιµή της συνάρτησης είναι 4 + = 6 Άρα ΟΑ = 6 Η ελάχιστη τιµή της f είναι ρ = = οότε η ελάχιστη τιµή της είναι 4 = Άρα ΟΒ = Εειδή η C ροκύτει αό κατακόρυφη ρος τα άνω µετατόιση κατά µονάδες της C f, οι συνάρτήσεις f(t) και θα έχουν την ίδια ερίοδο Τ = ω = = 1 min 6 Για t =, η αόσταση ΟΓ του κινητού είναι : ΟΓ = 4 συν 4 συν = = 4. 1 6 = 4 1 = µέτρα