ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΘΕΜΑΣΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 7 ΕΚΥΩΝΗΕΙ ΘΕΜΑ Α Α.Έςσψ μια ςτμάπσηςη f, η ξοξία είμαι ςτμεφήρ ςε έμα διάςσημα Δ. Αμ f () > ςε κάθε εςψσεπικό ςημείξ σξτ Δ, σόσε μα αοξδείνεσε όσι η f είμαι γμηςίψρ αύνξτςα ςε όλξ σξ Δ. Μονάδες 7 Α.Θεψπήςσε σξμ οαπακάσψ ιςφτπιςμό: <<Κάθε ςτμάπσηςη f, η ξοξία είμαι ςτμεφήρ ςσξ o, είμαι οαπαγψγίςιμη ςσξ ςημείξ ατσό.>> α. Να φαπακσηπίςεσε σξμ οαπαοάμψ ιςφτπιςμό γπάυξμσαρ ςσξ σεσπάδιό ςαρ σξ γπάμμα Α αμ είμαι αληθήρ ή σξ γπάμμα Ψ, αμ είμαι χετδήρ.(μξμάδα ) β. Να αισιξλξγήςεσε σημ αοάμσηςη ςαρ ςσξ επώσημα α.(μξμάδερ 3) Μονάδες Α3. Πόσε λέμε όσι μία ςτμάπσηςη f είμαι ςτμεφήρ ςε έμα κλειςσό διάςσημα ι λα,β ω ϋ. Μονάδες Α. Να φαπακσηπίςεσε σιρ οπξσάςειρ οξτ ακξλξτθξύμ, γπάυξμσαρ ςσξ σεσπάδιό ςαρ, δίολα ςσξ γπάμμα οξτ αμσιςσξιφεί ςε κάθε οπόσαςη, ση λένη
- Σψςσό, αμ η οπόσαςη είμαι ςψςσή, ή Λάθξρ, αμ η οπόσαςη είμαι λαμθαςμέμη.. Για κάθε ζεύγξρ ςτμαπσήςεψμ f : και lim g() =, σόσε lim[ f( ) g()] και g:, αμ lim f () =. Αμ f,g είμαι δτξ ςτμαπσήςειρ με οεδία ξπιςμξύ Α, Β αμσίςσξιφα, σόσε η gof ξπίζεσαι αμ 3. Για κάθε ςτμάπσηςη f : f A B οαπξτςιάζει ακπόσασα, ιςφύει f. Αμ < α <, σόσε, οξτ είμαι οαπαγψγίςιμη και δεμ lim για κάθε Ξ 5. H εικόμα f(δ) εμόρ διαςσήμασξρ Δ μέςψ μιαρ ςτμεφξύρ ςτμάπσηςηρ και μη ςσαθεπήρ ςτμάπσηςηρ f είμαι διάςσημα. Μονάδες ΘΕΜΑ Β Δίμξμσαι ξι ςτμαπσήςειρ f() = ln, > και g( ), B. Να οπξςδιξπίςεσε σημ fog Μονάδες 5 B. Aμ h( ) ( fog)( ) ln, (,), μα αοξδείνεσε όσι η ςτμάπσηςη h αμσιςσπέυεσαι και μα βπείσε σημ αμσίςσπξυή σηρ. Μονάδες 6 Β3.Αμ () h ( ),,μα μελεσήςεσε σημ υ() ψρ οπξρ ση μξμξσξμία, σα ακπόσασα, σημ κτπσόσησα και σα ςημεία καμοήρ. Μονάδες 7
Β.Να βπείσε σιρ ξπιζόμσιερ αςύμοσψσερ σηρ γπαυικήρ οαπάςσαςηρ σηρ ςτμάπσηςηρ υ και μα ση ςφεδιάςεσε. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίμεσαι η ςτμάπσηςη f ( ), [, ] και σξ ςημείξ,. Γ.Να αοξδείνεσε όσι τοάπφξτμ ακπιβώρ δύξ ευαοσξμέμερ ( ε ),( ε ), σηρ γπαυικήρ οαπάςσαςηρ σηρ ςτμάπσηςηρ f οξτ άγξμσαι αοό σξ Α, σιρ ξοξίερ και μα βπείσε. Γ.Αμ ( ε ) :y = - και ( ε ) Γ, σόσε μα ςφεδιάςεσε σιρ ( ε ),( ε ) αοξδείνεσε όσι Μονάδες 8 :y = ο είμαι ξι ετθείερ σξτ επψσήμασξρ και ση γπαυική οαπάςσαςη σηρ f και μα 8, όοξτ : Ε είμαι σξ εμβαδόμ σξτ φψπίξτ οξτ οεπικλείεσαι αοό σημ γπαυική οαπάςσαςη σηρ f και σιρ ετθείερ ( ε ),( ε ) και Ε είμαι σξ εμβαδόμ σξτ φψπίξτ οξτ οεπικλείεσαι αοό σημ γπαυική οαπάςσαςη σηρ f και σξμ άνξμα, Μονάδες 6 Γ3.Να τοξλξγίςεσε σξ όπιξ: lim f ( ) f ( ) Μονάδες Γ. Να αοξδείνεσε όσι f( ) d
Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίμεσαι η ςτμάπσηςη 3, [,) f( ) ημ, [, ] Δ.Να δείνεσε όσι η ςτμάπσηςη f είμαι ςτμεφήρ ςσξ διάςσημα [-,ο], και μα βπείσε σα κπίςιμα ςημεία σηρ. Μονάδες 5 Δ.Να μελεσήςεσε ση ςτμάπσηςη f ψρ οπξρ ση μξμξσξμία και σα ακπόσασα και μα βπείσε σξ ςύμξλξ σιμώμ σηρ. Μονάδες 6 Δ3.Να βπείσε σξ εμβαδόμ σξτ φψπίξτ οξτ οεπικλείεσαι αοό σημ γπαυική οαπάςσαςη σηρ f, σημ γπαυική οαπάςσαςη σηρ g, με άνξμα y y και σημ ετθεία = ο. 5 g( ),,σξμ Μονάδες 6 Δ.Να λύςεσε σημ ενίςψςη 3 3 6 f ( ) ( 3 ) 8 Μονάδες 8 ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑ Α Α. Σφξλικό βιβλίξ ςελίδα 53 (οαλιό βιβλίξ) Α. α) Ψετδήρ
β) Η ςτμάπσηςη, f, είμαι οαπαγψγίςιμη ςε ατσό, αυξύ f f lim lim f f lim lim εμώ είμαι ςτμεφήρ ςσξ =, αλλά δεμ..5..5 Α3. Σφξλικό βιβλίξ ςελίδα 9 (οαλιό βιβλίξ) Α. α) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ ΘΕΜΑ Β Β. Η ςτμάπσηςη fo g, ξπίζεσαι όσαμ D g g Df. Οοόσε f g f g ln,, Β. Η ςτμάπσηςη ln h είμαι οαπαγψγίςιμη ςσξ ( ), με
h. Οοόσε για κάθε,, άπα η h είμαι γμηςίψρ αύνξτςα, δηλαδή γμηςίψρ μξμόσξμη και εοξμέμψρ η hαμσιςσπέυεσαι. h y ln y y y y y y y y y y Οοόσε h,. Β3. Η είμαι οαπαγψγίςιμη ςσξ με φ( ) είμαι γμηςίψρ αύνξτςα ςσξ και δεμ έφει ακπόσασα. για κάθε, άπα η Η είμαι οαπαγψγίςιμη ςσξ με 3 3 3 και όμξια, ξοόσε οπξκύοσει ξ οαπακάσψ οίμακαρ + - φ( ) 3 Σύμυψμα με σξμ διολαμό οίμακα η υ είμαι κτπσή ςσξ
, και κξίλη ςσξ,. Εοίςηρ σξ ςημείξ A,, δηλαδή σξ ςημείξ καμοήρ σηρ γπαυικήρ οαπάςσαςηρ σηρ υ. A, είμαι ςημείξ lim lim Β. σηρ C φ ςσξ., άπα η y= είμαι ξπιζόμσια αςύμοσψση lim lim lim lim ξπιζόμσια αςύμοσψση σηρ C φ ςσξ., άπα η y= είμαι Οοόσε έφξτμε σξμ διολαμό οίμακα μεσαβξλώμ, αοό όοξτ οπξκύοσει η για οαπακάσψ γπαυική οαπάςσαςη ση ςτμάπσηςη φ( ). φ + - + + φ( ) 5 6
ΘΕΜΑ Γ Γ. Η ευαοσξμέμη σηρ γπαυικήρ οαπάςσαςηρ σηρ f ςσξ ςημείξ Μ(,y ) έφει ενίςψςη ( ) : y f ( ) f '( ) ( ). Η f είμαι οαπαγψγίςιμη ςσξ, με f '. Τξ ςημείξ, εοαληθεύει σημ ενίςψςη σηρ (ε), ξοόσε έφξτμε:. Έςσψ g. Έφξτμε: ( ) = - π + π = και η =ο. g, εμώ ( ) = - π + π = g π, άπα οπξυαμείρ πίζερ η = Είμαι: g '. Μξμξσξμία: g '. π/ π g () - + g() Σσξ διάςσημα, είμαι μξμαδική λύςη. Ομξίψρ η g, ςσξ διάςσημα, η g είμαι γμηςίψρ υθίμξτςα, ξοόσε g είμαι γμηςίψρ αύνξτςα, ξοόσε g είμαι η μξμαδική λύςη. Στμεοώρ ξι ζησξύμεμερ ενιςώςειρ σψμ ευαοσξμέμψμ είμαι:
f f y και : y () ' : y f ( ) f ' y. Γ.Έφξτμε σξ ςφήμα: Εοξμέμψρ έφξτμε: E d d 8 8 d [ ] Απά π - Ε = π = - Ε 8 f () + -ημ+ Γ3.Έφξτμε σξ όπιξ: lim = lim = L πf ()- + π π-ημ-+π Όμψρ ( ) lim - ημ + = π π και ( ) lim - ημ - + π =. π Αυξύ f κτπσή για [, ], άπα f ( ) f ( )
Άπα lim. -ημ-+π Εοξμέμψρ L= ( ) Γ. Αυξύ f κτπσή για [,], άπα ιςόσησα μα ιςφύει για φ = ο f( ) f ( ), με σημ f( ) d d.οοόσε Άπα ln f( ) d. ΘΕΜΑ Δ Δ. Η fείμαι ςτμεφήρ ςσξ, ψρ ςύμθεςη ςτμεφώμ ςτμαπσήςεψμ και ςτμεφήρ ςσξ, ψρ γιμόμεμξ ςτμεφώμ ςτμαπσήςεψμ. 3 f, lim f lim lim f lim, άπα f lim f, δηλαδή η fείμαι ςτμεφήρ και ςσξ =. Οοόσε η fείμαι ςτμεφήρ ςσξ,. 3 3 3 Για, είμαι f, άπα 3 3 για κάθε, f 3 3 ςημεία ςσξ διάςσημα,.. Για, είμαι f, άπα η fδεμ έφει κπίςιμα 3 f Ελέγφξτμε σημ οαπάγψγξ σηρ fςσξ χ= : 3 3 u 3 f f u lim lim lim lim lim u 3 u u u f f lim lim lim
Άπα η fδεμ είμαι οαπαγψγίςιμη ςσξ =. Εοξμέμψρ σα κπίςιμα ςημεία σηρ fείμαι ξι απιθμξί και 3π. 3 Δ. Για, είμαι f για κάθε, Για, έφξτμε f (αυξύ ημ >, συνχ > ςσξ, 3. 3 f και για, είμαι ), εμώ για, έφξτμε : f 3 3 και όμξια 3 f. Οοόσε έφξτμε σξμ διολαμό οίμακα, ςύμυψμα με σξμ ξοξίξ έφξτμε όσι : f χ - 3π π - + - f( ) η fείμαι γμηςίψρ αύνξτςα ςσξ, και 3, και οαπξτςιάζει : 3, και γμηςίψρ υθίμξτςα ςσα σξοικό μέγιςσξ σξ ( ) ςσξ =- f ( ) =, 3 3π ςσξ 3 = σξοικό μέγιςσξ σξ 3 f f - =, ςσξ = σξοικό ελάφιςσξ σξ και σξοικό ελάφιςσξ
ςσξ = π σξ f ( π ) =. Για σξ ςύμξλξ σιμώμ έφξτμε : Η fείμαι ςτμεφήρ και γμηςίψρ υθίμξτςα ςσξ A,, άπα f A f, f,. 3 Η fείμαι ςτμεφήρ και γμηςίψρ αύνξτςα ςσξ A,, άπα 3 3 f A f, f, 3 Η fείμαι ςτμεφήρ και γμηςίψρ υθίμξτςα ςσξ A 3,, άπα 3 3 f A3 f, f,.. 3, Άπα η fέφει ςύμξλξ σιμώμ σξ f A f A f A Δ3. Τξ ζησξύμεμξ εμβαδόμ είμαι 3. 5. E f g d d d είμαι Για κάθε ιςφύει και > ). Άπα ημχ <, ξοόσε έφξτμε 5 5. E d d d Είμαι I 5 5 5 d 5 5 και (αυξύ για κάθε > I d d d I I I Άπα 5 5 5 7 E 5
Δ.Έφξτμε διαδξφικά 3 3 3 3 3 6 f ( ) ( 3 ) 8 6 f ( ) 6 8 3 3 3 8 3 3 3 f ( ) f ( ) f f 6 3 3 f f Η fέφει μέγιςση σιμή σξ 3 3π, άπα 3 3 f f f f f Εοίςηρ, 3, άπα η μόμη οεπίοσψςη μα ιςφύει η ιςόσησα είμαι για = 3π.