Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Συναρτήσεις Όρια 19/10/2014 Απαντήσεις. Θέμα A. Θέμα Β

Transcript

1 Θέμα A Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Συναρτήσεις Όρια 19/10/014 Απαντήσεις Α 1. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 98 Α.(α) Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 150 (β) Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 141 (γ) Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 169 Α 3. i) Λάθος, ii)λάθος, iii)λάθος, iv)λάθος, 5)Λάθος. Θέμα Β Β 1. f:[ ) με f() = i. Έστω 1, [ ) τέτοια ώστε: f ( ) f ( ) , Άρα η f είναι 1 1, όποτε και αντιστρέψιμη. ii. Έστω = f() ( 3), 3 Οπότε f 1 ( ) 3, D [, ) f 1 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 1

2 iii. Το δοσμένο όριο γίνεται: f ( ) lim lim lim lim lim Β. f 3 () + 5f() + 1 = 0, (1) για κάθε i. Η σχέση (1) γίνεται f 3 () + 5f() = 1. Έστω h() = 3 + 5, με D h = Έστω 1, D h τέτοια ώστε: 1 < 1 < 5 1 < 5 (+) h( 1 ) < h( ) Οπότε η h είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Παρατηρώ ότι η σχέση (1) γίνεται: ii. Έστω 1, D f τέτοια ώστε: h(f()) = h. ύ h f h f f ( ) f ( ) 1 1 Οπότε f γνησίως αύξουσα. Θέτοντας στην (1) = 0 έχουμε: f 3 (0) + 5f(0) = 0 f(0)(f (0) + 5) = 0 f(0) = 0 ή f (0) = 5, άτοπο Οπότε το 0 = 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, η οποία μάλιστα είναι και μοναδική αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. Αν < 0 Aν > 0 f. ύ f ( ) f (0) f ( ) 0 f. ύ f ( ) f (0) f ( ) 0 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα

3 Θέμα Γ iii. f(g(ln) ) = f( + ln 3), για κάθε > 0. Γ 1. f(z) = iz 1, z f ( g(ln ) ) f ( ln 3) f 11 g(ln ) ln 3 g(ln ) ln 1 Θέτοντας στην παραπάνω σχέση = ln = έχουμε: g() = + 1 Άρα η ζητούμενη συνάρτηση είναι: g() = + 1 i. Αφού f(z) = f( ) Οπότε z iz 1 i z 1 i z 1 iz 1 iz 1 i z 1 iz 1 i z 1 zz iz i z 1 zz i z iz 1 i z z 0 z z ii. Αφού f(z) = 3 f ( z) 3 iz 1 3 i z i 3 z i 3 Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 1), ακτίνα ρ = 3 και καρτεσιανή εξίσωση C 1 : + ( + 1) = 9. iii. Αφού για τους μιγαδικούς αριθμούς z 1,z ισχύει η σχέση του ερωτήματος (ii) έπεται ότι θα ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο C 1. Άρα η μέγιστη απόσταση που μπορούν να βρεθούν είναι: z 1 z ma = ρ = 6 Άρα z 1 z 6. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 3

4 iv. w = 4i + ημθ iσυνθ, Έστω z = + i,,, όποτε έχουμε: + i = ημθ + i(4 συνθ), όποτε από την ισότητα μιγαδικών έχουμε: Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και () έχουμε: (1) Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι ο κύκλος C με κέντρο Λ(0,4) και ακτίνα r = () v. Παρατηρώ ότι d(k,λ) = 5 = ρ + r. Οπότε οι κύκλοι C 1 και C εφάπτονται εξωτερικά. Άρα θα έχουν μόνο ένα κοινό σημείο (το Δ), όποτε και η εξίσωση z = w θα έχει μοναδική λύση τον μιγαδικό με εικόνα Δ. Γ. Αν z 1 < 1 και z < 1, Ν.Δ.Ο. z 1 z < 1 z z z z 1 z z 1 z z z z1 z z 1 z z z z < 1 z z z z z z z z z z 1 z z z z z z z z z z z z z 1 z 1 z z 1 z z 1 z 1 0, ύ 1 1 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 4

5 Αφού: 1 0, z έ z ύ έ z z z1 z1 z1 έ 1 0, ' 1 0, z1 1 0, ' ύ έ Θέμα Δ Δ 1. f() = ln και g ( ) , 1 1 i. D g =, η g() γράφεται: g ( ) Έστω 1, D g τέτοια ώστε: 1 < g( 1) g( ) Άρα g γνησίως αύξουσα. ii. ( +ln 1)( + 1) = ( ln + 1)( 1) ln ln ( 1) g 11 ln 1 1 g( ln ) g(1) ln 1 1 ln 1 Έστω φ() = + ln 1, με D φ = (0, + ) Παρατηρώ ότι φ(1) = 0, οπότε το 1 είναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης. Αρκεί να δείξουμε ότι αυτή είναι και μοναδική. Έστω 1, D φ τέτοια ώστε 1 < ln 1 <ln 1 1< 1 φ( 1 ) < φ( ) άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η ρίζα θα είναι και μοναδική. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 5

6 iii. h = ( ) έχουμε: D g g() D f Οπότε D fog = (0, ) και (fog)() = f(g()) = ln Έστω = (fog)() ln ,(1 0 0) ln ln, ln 1 Οπότε h() = ( ) ( ) = 1 ln, με 1 D (,0) fog 1 Δ. f(f()) + = f() f() f(f()) = (1) i. Έστω 1, D f με f( 1 ) = f( ) f ( f ( 1)) f ( f ( )) f ( 1) f ( ) f( 1 ) f(f( 1 )) = f( ) f(f( )) 1 = Άρα η f είναι 1 1 ii. Θέτοντας στην (1) = 0 έχουμε: f(f(0)) = f(0) Άρα η ζητούμενη εξίσωση γίνεται: f ( 3 ) f (0) f ( 3 ) f (0) ή f 11 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 6

7 iii. f( ) lim mm, 0, lim f( ) Αφού lim f( ) 014 έπεται ότι f() > 0 κοντά στο 014. Οπότε η σχέση 014 (1) γίνεται: f ( f ( )) f ( ) f f f f ( f ( )) f ( ) f ( f ( )) f ( ) f ( ) 1 1 () f ( ) lim u f ( ) 014, u014 f ( f ( )) f ( u) lim m f ( ) u Οπότε η () γίνεται: f ( f ( )) f ( ) f ( ) lim 1 lim 014 f ( ) 014 mm 1 m m 1 Τις απαντήσεις επιμελήθηκαν οι καθηγητές: Γασπαράτος Ανδρέας Ίμπος Χρήστος Νταντίνος Γιώργος Παπαθανασίου Νίκος Σιταρίδης Σπύρος Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 7