Απαντήσεις ισχυρισμών και αντιπαραδείγματα. Για το Α Θέμα των Πανελληνίων Εξετάσεων

Transcript

1 Απαντήσεις ισχυρισμών και αντιπαραδείγματα Για το Α Θέμα των Πανελληνίων Εξετάσεων Παναγιώτης Βιώνης

2 1) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν f, g δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως και ορίζονται οι fog και gof τότε υποχρεωτικά ισχύει g f f g». β) Θα χρησιμοποιήσουμε ένα αντιπαράδειγμα για να αιτιολογήσουμε την επιλογή μας στο ερώτημα α). Θεωρούμε τις συναρτήσεις: ln και / D x D f x D D gof f g gof / f x x g x x x x x x 1 ln x ln x ln1 x 1 D x D g x D D fog g f fog x x x x x Συνεπώς: Dgof Dfog fog x f g x ln x, x, Επιπλέον ισχύει οτι: gof x g f x ln x, x 1, δηλαδή, fog x gof x 1

3 2) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Έστω f, g, h τρεις συναρτήσεις. Αν ορίζεται η ho(gof), τότε h g f g f h». υποχρεωτικά ισχύει β) Είναι ψευδής καθώς στην σύνθεση δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα όπως εξηγήθηκε στο 1) 3) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν f είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο Α και 1-1 τότε είναι και γνησίως μονότονη στο Α». 2

4 β) Θεωρούμε την συνάρτηση f x xx, 1, x x όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα η f ενω είναι «1-1» δεν είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. 4) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν f είναι μια συνάρτηση γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, τότε είναι και 1-1.» 3

5 α) Α β) Έστω οτι η συνάρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Α. Αυτό συνεπάγεται οτι: x, x Α με x x ισχύει οτι f x f x, δηλαδή προφανώς x, x Α με x x ισχύει οτι f x f x ) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση στο Α δεν παρουσιάζει ολικά ακρότατα». 4

6 β) Έστω η συνάρτηση με τύπο f x x, x, 2 Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Προφανώς λοιπόν δεν μπορούμε να βγάλουμε το παραπάνω συμπέρασμα αν δεν μας έχει δοθεί η μορφή του πεδίου ορισμού αφού η δοθείσα συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, αλλά παρ όλα αυτά παρουσιάζει ελάχιστο στο 1 x. x και μέγιστο στο 2 2 6) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: 1 «Έστω η συνάρτηση f (x),. Το όριο της f στο x 2 1 δεν υπάρχει.» x 5

7 α) Α 1 β) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f x, x,, της οποίας x η γραφική παράσταση δίνεται στο παρακάτω σχήμα: 6

8 7) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα, που: είναι συνεχής στο, και ισχύει ffβ τότε δεν υπάρχει x, τέτοιο ώστε f (x )». β) Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με τύπους: 2, 2, ,, 4 f x x x g x x x Και των οποίων οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα παρακάτω σχήματα: Προκύπτει λοιπόν οτι δεν είναι ασφαλές το συμπέρασμα, αφού η συνάρτησή μας δύναται να έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα,. 7

9 8) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο x τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό». x, x β) Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση με τύπο f x x -x, αν x > της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: 8

10 Θα μελετήσουμε τώρα την συνέχεια της συνάρτησης f στο σημείο x. lim f x lim x x x lim f x lim x x x f Επομένως αφού lim f x lim f x f x x συνεχής στο σημείο x. συμπεραίνουμε πως η f είναι Κατόπιν μελετάμε την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης f στο σημείο x. f x f x x x lim lim lim 1 x x x x x x x f x f x x x lim lim lim 1 x x x x x x x Αφού lim f x f x f x f x lim x x x x x x δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x. 9) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα,x x, με: συνεχής στο Δ και f x για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ». προκύπτει οτι η συνάρτηση f 9

11 β) Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο: f x 1, x < 1, αν x > Παρατηρούμε οτι αν και ισχύει f ' x x,,,εντούτις η f δεν είναι σταθερή στο,,. Η γραφική της παράσταση δίνεται στο παρακάτω σχήμα: 1) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ τότε υποχρεωτικά ισχύει f ' x σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ». 1

12 β) Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο 3 2 f x x 3x 3x 2 H f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R ως πολυωνυμική με 2 2 f ' x 3x 6x 3 3 x 2x 1 3 x 1 f ' x x 1 x 1 Το x = -1 είναι κρίσιμο σημείο, όμως παρ όλα αυτά ισχύει οτι: f x δηλαδή οτι η f είναι γνησίως φθίνουσα ', x, 1 1, σε κάθε ένα από τα διαστήματα, 1 και 1,. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται και η γραφική της παράσταση: 2 Σχόλιο Παρατηρούμε τελικά οτι το κρίσιμο σημείο, αντί για θέση ακρότατου είναι θέση σημείου καμπής! 11

13 11) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Ένα τοπικό μέγιστο δεν μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο». β) Το σχολικό βιβλίο παραθέτει το παρακάτω σχήμα για επαρκή αιτιολόγηση: Παρατηρούμε οτι το τοπικό μέγιστο στην θέση x1 είναι μικρότερο από το τοπικό ελάχιστο στην θέση x 4. 12) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: 12

14 «Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης είναι πάντοτε το μέγιστο αυτής». β) Το σχολικό βιβλίο παραθέτει το παρακάτω σχήμα για επαρκή αιτιολόγηση: Παρατηρούμε οτι στην θέση x 3, αν και έχουμε το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, δεν είναι το μέγιστο της συνάρτησης αφού lim x f x 13) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R, αν για κάποιο x ισχύει f ' x τότε το x είναι υποχρεωτικά θέση τοπικού ακρότατου της f». 13

15 β) Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ακριβώς το ίδιο αντιπαράδειγμα με τον ισχυρισμό Νο 1. 14) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Για κάθε συνάρτηση f κυρτή στο Δ ισχύει f '' x για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. β) Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο f x x 1 4 H f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με 3 3 f ' x 4 x 1 x 1 ' 4 x f '' x 12 x 1 x 1 ' 12 x 1 f '' x x 1 x 1 14

16 Άρα ατο x=1 έχουμε πιθανή θέση σημείου καμπής, όμως παρ όλα αυτά ισχύει: f '' x, x,1 1, Δηλαδή οτι η f είναι κυρτή σε κάθε ένα από τα διαστήματα,1 και 1,. 15) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση δευτέρου βαθμού και άνω που έχει ασύμπτωτη». f x x 5x 6 β) Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση με τύπο 2 Κατ αρχήν ως πολυωνυμική η συνάρτηση f ορίζεται σε ολόκληρο το R, δηλαδή δεν έχει σημεία ασυνέχειας στα οποία μπορούμε να αναζητήσουμε κατακόρυφες ασύμπτωτες. Επομένως δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Όσον αφορά τις πλάγιες ασύμπτωτες εξετάζουμε αν υπάρχει το όριο f x x x x lim lim lim lim x x x x x x x x Το οποίο δεν υπάρχει, άρα δεν υπάρχει πλάγια ασύμπτωτη στο. Ομοίως και στο. Είναι προφανές πως αν το πολυώνυμο είναι βαθμού μεγαλύτερου του 2, πάλι θα ισχύει οτι. 15

17 16) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν f x dx τότε κατ ανάγκη θα είναι f (x) για κάθε x,» α)ψ β) Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: f x x της οποίας η γραφική Έτσι έχουμε οτι: 2 2 xdx x 2 11 Προφανώς όμως δεν ισχύει οτι f x x, x, 2 Σχόλιο Η γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος είναι οτι τα δύο χωρία που σχηματίζει η γραφική παράσταση της f με τον άξονα x x είναι ισεμβαδικά, απλώς η f είναι θετική για κάθε x, και αρνητική για κάθε x,2. 16

18 17) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: f x g x για κάθε x A f x για κάθε x A ή «Αν gx για κάθε x A». τότε Σημείωση: Στις φετινές οδηγίες διδασκαλίας προτείνονται δύο τέτοιες συναρτήσεις. ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. β) Θεωρούμε τις συναρτήσεις f x x x, x και g x x x, x Έχουμε λοιπόν οτι: f x g x x x x x x x x x Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι παραπάνω συναρτήσεις και οπτικοποιείται το αποτέλεσμα: 17

19 18) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Δεν υπάρχουν συναρτήσεις που έχουν άπειρα ολικά ακρότατα». ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. β) Θεωρούμε την συνάρτηση f x x η οποία όπως φαίνεται κι από την γραφική της παράσταση παρουσιάζει άπειρα μέγιστα και άπειρα ελάχιστα. 18