( ) 0, x 0. x 1, x Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f( x ) = x. 3. Να προσδιορίσετε το α R, ώστε η συνάρτηση f μεf(x)= π

Transcript

1 Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ I. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΟ χ. Να μελετηθούν ως προς την συνέχεια στο χ= οι συναρτήσεις: i) f()= ( ),, = ii)f()= -συνχ ημχ +, ημχ, = iii) f()= χ-- χ+, χ -, = iv) f()= ηµ 9χ ηµ 5 χ, χ 4, = ημ,. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f( ) = : στο χ=,= ηµχ + α - χ, < π. Να προσδιορίσετε το α R, ώστε η συνάρτηση f μεf()= π - χ αχ-, π να είναι συνεχής στο χ=π. 4. Να εξετασθει αν είναι συνεχεις στο χ= οι συναρτησεις ι) +, f( ) = 4+, = ιι), < f( ) =, =, > ιιι) +, > 5 f( ) =, = 6 < < ηµ ( π ) 5 π ( ), 5. Αν ησυνάρτηση f ορισμένη στο R είναι συνεχής στο = και f()=, να δείξετε f( )ημ, ότι η συνάρτηση g()= είναι συνεχής στο =., = ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

2 ΙΙ. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΟ D f 6. Να μελετηθουν ως προς την συνεχεια οι συναρτησεις συν ( ηµ ) 4, < ηµ i) f( ) =, ( π,) (, π) ii) f( ) =, ηµ = 7, = ηµ 7, > 7. Να μελετηθουν ως προς την συνεχεια οι συναρτησεις ι) ηµ + f ( ) =, ν ηµ ηµχ, > ηµ = ηµ ( ηµκ) +, < κ ιι) ηµ ( α) π, < ηµ 4 f ( ) = + + α, < 4 π 8. Για την συνάρτηση f : R R ισχύει f 5 ()+f()= για κάθε R. Δείξτε ότι η f είναι συνεχή ς στο = 9. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο R.Αν για κάθε χ R ισχύει ημχ-χ χ f (χ) ημχ + χ και η f είναι συνεχής στο χ=,να βρεθεί το f().. Να βρεθουν οι α,β,γ R ώστε να είναι συνεχης η α + β + γ+, f( ) = ( ), =. Να μελετηθει ως προς τη συνεχεια η συναρτηση και Να υπολογισθουν τα ορια lim f( ) ±, + 7 f( ) =, > + 7 ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

3 . Για τις διάφορες τιμές του α κάντε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και μελετήστε την συνέχειά της. ( ) f = lim ν + ( + ) + ( α + ) ν e + e ν (ν R+ * ). Αν f(4 ) 4 5 να δειχθει ότι η f είναι συνεχης στο. 4. Αν για την ορισμενη στο R συναρτηση f ισχυει δειξετε ότι είναι - και συνεχης f ( ) + f( ) + = να 5. Αν η f είναι περιττη και συνεχης στο να δειχθει ότι είναι συνεχης και στο f( ) = lim f( III. ), f ΣΥΝΕΧΗΣ 6. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και ισχύει - - (-)f() - για κάθε R να υπολογίσετε την τιμή f(). 7. Δίνεται η συνάρτηση f:r R που είναι συνεχής στο = και για την οποία ισχύει f()+ ημχ,για κάθε R. Να υπολογίσετε την τιμή f(). 8. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύουν: f( ) f()= και lim =, R. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο =. 9. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύουν: f( ) εϕ lim = 5 f()= και. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = f( ) f( ) ii) Να βρείτε τα όρια: α) lim και β). lim. Δίνεται η περιττή συνάρτηση f:r R που είναι συνεχής στο = με. f( ) 5 lim = i) Να υπολογίσετε την τιμή f().ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο =-. f( ) + 5 iii) Να βρείτε το όριο. lim + ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

4 . Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο με f()= και για κάθε R ισχύει f(5-)=f(), τότε: i) Nα προσδιορίσετε την τιμή f(), ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο =.. Να βρεθει ο τυπος της συνεχους συναρτησης f : R R που ικανοποιει τη σχεση f()-(-)(-)=ημ(χ)-6, R.. Αν f( ) = ηµ f( ) συν και η f συνεχης στο R να βρεθει το f ( ) π 4 4. Η συναρτηση f είναι συνεχης στο R και f( ) lim f( ) + 8 lim = 7 να βρεθει το 5. Αν η συνεχης συναρτηση f R R : ικανοποιει τη σχεση ηµ ηµ < f( ) <, R να βρεθει το f(). f( ) 6. Aν lim =, να βρεθει ο πραγματικος αριθμος α ώστε η συναρτηση f ( ) + f ( ) ηµ ( α ), g ( ) = 4 ηµ να είναι συνεχης στο. 7, = 7. Αν η για τη συναρτηση f ισχυει f( + k) k, k R και f( ) f( ) lim = lim, να βρεθει το f() αν η f είναι συνεχης στο =. 8. Aν + f ( ) + k +, f () = να βρεθουν οι κ, λ R ώστε η συναρτηση f( ), g ( ) = λ, = να είναι συνεχης στο = 9. Αν η f είναι συνεχης στο R και f( ) + 5 lim = 6 να βρεθει το f( ) f() lim. Αν η f είναι συνεχης στο f( + ) και lim = 5 να βρεθει το f( ) f() lim. Αν για κάθε χ, ψ R ισχυει ( ) ( ψ) ψ f f να δειχθει ότι η f είναι ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

5 R συνεχης στο. Να βρεθει ο τυπος της συνεχους συναρτησης f στο R όταν ισχυει f ( ) + ηµ = + ηµ. Αν ( ) + ( ) + = [ ( ) ηµ + ( ) συν ] f g f g να δειχθει ότι οι συναρτησεις f, g είναι συνεχης στο R f( ) 4. Aν για τη συναρτηση f ισχυουν f(4 ) = f( ), R και lim = 6 4 και η f είναι συνεχης στο να δειχθει ότι είναι συνεχης και στο. 5. Έστω οι συναρτήσεις f,g : R R για τις οποίες ισχύει ( f()) ηµ (g()) = ( ) () για κάθε χ ε R. (α)να αποδείξετε ότι. f () = g() =. Οι f,g είναι συνεχείς στο (β) Να υπολογίσετε τα όρια f() g() g() f() ηm lim, lim, lim + ηm ΙV.ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ι) Αν f(a+β) =f(a)+ f(β) και f() f(a) lim α = να δειξετε ότι f() f( ). lim = Αποδειξη. Αν τοτε χ -, τοτε χ - + α α, θετω h= + a, Και εχω h α Aρα lim f ( ) = lim f ( h α + ) = lim f ( ) + f ( h α) = lim f ( h α) + f ( ) = f () + f ( ) h α h α [ ] h α = f ( + ) = f ( ) ΙΙ) Αν f(a.β) = f(a)+ f(β) και f() f(a) χ lim α = να δειξετε ότι f() f( ) lim = Αποδειξη. Αν τοτε h f ( ) = lim f ( ) = lim f ( ) h α α h α + τοτε α α. Θετω h = h h lim f ( ) lim f ( ) f ( ) α = + = h α α 6. Δινεται η συναρτηση f R R f ( ) = f ( α) + f ( β ), α, β R. : για την οποια ισχυει η σχεση αβ Aν η f είναι συνεχης στο = να δειχθει ότι είναι συνεχης στο R. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ α και εχω f () + f ( α) = f ( α)

6 7. Η συναρτηση f : R + R, ικανοποιει τη σχεση f(αβ)=f(β)f(α). Αν ειναι συνεχης στο = να δειχθει ότι είναι συνεχης στο R + Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ι. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 8. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, a>, f(a), τότε να δείξετε ότι υπάρχει f ( a ) f ( ) (,a ): = (Εδώ αξίζει να είστε παρατηρητικοί) a 9. Αν η f είναι συνεχής στο [,] και f() χ [,], να δειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξ [,), ώστε να ισχύει:f 5 (ξ) + ξ = f(ξ) 4. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο = [ αβ, ] και ισχύει f( ) = g ( ) = [ αβ, ] Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [ αβ, ], τέτοιο ώστε ( g f)( ) =. 4. Έστω f συνεχής στο Δ = [α, β]. Να δειχθεί ότι: Η συνάρτηση f (α+β-χ) είναι συνεχής στο Δ. Υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξ Δ, ώστε να ισχύει: f (α+β-ξ) = f(ξ). 4. Έστω f συνεχής στο Δ = [α, β] και γ >. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον f( α ) +γf( β) ξ Δ, ώστε να ισχύει: f(ξ) =. γ+ 4. Αν η f είναι συνεχής στο [,4] και f()= f(4), να αποδειχθεί ότι υπάρχουν α,β [,4] με β - α = τέτοια, ώστε f(α)= f(β). 4. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [ αα+, ] για την οποία ισχύει : f ( α) + f ( α + ) =, α. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f( ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ αα+, ] 44. Έστω f: R R συνεχής συνάρτηση με f() + f() + f() =. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα. 45. Να δείξετε ότι η ευθεία ε :y= + τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) = συν σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (, ) f ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ.

7 46. Δίνονται οι συναρτήσεις f() = + β + γ και g() = - + β + γ με γ. Αν ρ είναι ρίζα της f και ρ είναι ρίζα της g με ρ<ρ, να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ) +g() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (ρ, ρ). 47. Έστω α,β R, με α < β. Να αποδειχθεί ότι για κάθε γ (α,β) υπάρχει μοναδικό ξ (,), ώστε γ = ξ β + (-ξ)α. 48. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: με f ( ) ln για κάθε. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [,], τέτοιο ώστε f ( ( ) ) ln( ) συn π = Έστω f,g συναρτήσεις με Π.Ο. το Δ. Εάν για κάθε χ Δ η f είναι συνεχής και f()-g() = c, c R τότε ν.δ.ο: Αν ρ, ρ δύο ετερόσημες ρίζες της f() = η εξίσωση g() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [ρ, ρ]. 5. Έστω f() = + συν(π) και g() = ln(-). Να αποδειχθεί ότι υπάρχει α (,) ώστε f(α)= g(κ), e+,e 8 κ + e. 5. Να δείξετε ότι η εξίσωση διάστημα (-,), για κάθε α. 4 α α = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 5. Οι αριθμοί α α α4 ανήκουν στο διάστημα [,]. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξ [ ], ωστε ξ α + ξ α ξ α 4 =. 5. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα (a,b) και επιπλέον ισχύει: ( im f ( )).( im f ( )) < τότε να δείξετε ότι υπάρχει στο (a,b) τέτοιο ώστε f()= a+ b (Και αυτή η άσκηση μπορεί να είναι θεώρημα) 54. Οι συναρτήσεις f,g : [,] [,] είναι συνεχείς. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα gg gg v = (fog + gof )( ξ ), και v = ( ξ,) τουλάχιστον ξ [, ] ώστε τα διανύσματα ( ) να είναι παράλληλα 55. Να αποδείξτε ότι : ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

8 i) η εξίσωση + = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-,). χ+ χ 4 χ + χ + εφχ σφχ π π ii) η εξίσωση + = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ). 6χ π 4χ π Δίνονται οι συναρτήσεις f() = e -α -και g() = ln(α+) + α, όπου α (, ). 4 i) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ) = αχ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [α,α+]. ii) Αν ξ είναι μια ρίζα της εξίσωσης f(χ) = αχ στο διάστημα [α,α+], τότε να δείξετε ότι: lim g() =. 57. Αν f,g είναι συνεχεις στο R ώστε f()+f()+ +f(4)= g()+g()+ +g(4)., να δειχθει ότι υπαρχει ξ {,,,...,4 } τετοιο ώστε f(ξ) =g(ξ) 58. Οι συναρτησεις f,g εχουν πεδιο ορισμου και τιμων το [,α] ειναι συνεχεις σε αυτό.αν f είναι φθινουσα και f g = g f να δειχθει ότι υπαρχει ξ [,α] τετοιο ώστε f(ξ )=g( ξ)= ξ α β γ 59. Θεωρούμε την εξίσωση + + =, α,β,γ + Α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (-,). γ β Β) Αν ρ, ρ οι ρίζες της εξίσωσης να δειχθεί ότι + =. ρ ρ α 6. Αν f συνεχής συνάρτηση με ( ) f = α + β + γ+ δ για την οποία ισχύουν : δ > και α + β + γ + δ = και α + β + γ >, f = Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) τέτοιο ώστε ( ) 6. Δίνεται η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει : f = ( ) ( ) + f = για κάθε και ( ) f e 5 4 Να αποδειχθεί ότι : Α) Η f αντιστρέφεται. f f f 5 = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Β) Η εξίσωση ( )( ) ( ) 6. Έστω f()=a +b +c+d, a>, d<, a+c<b+d. Δείξτε ότι η f έχει δυο αρνητικές και μία θετική ρίζα ακριβώς. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

9 6. Να δείξετε ότι η εξίσωση a 5 +b 4 +c +d +e+f= με f>, a+b+c+d+e+f=, 5a+4b+c+d+ e > έχει μια τουλάχιστον λύση στο (,) 64. Για την συνεχή συνάρτηση f ισχύει ότι: f ()+βf ()+γf()= - +6-, για κάθε R, με β,γ R και β <4γ. Αν η f είναι γνησίως στο R αύξουσα να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f()= στο διάστημα (,) 65. Δίνεται ότι η συνάρτηση f () είναι συνεχής στο R γν. αύξουσα στο διάστημα [,] και γν. φθίνουσα στα [,] και [, ]. Αν ισχύει ότι : f() = κ +, f() = -κ + κ -, f() = κ + κ +, f() = - με κ R να δείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει ακριβώς ρίζες στο (, ). 66. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,5] με f() = και f(5) =, να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με την ευθεία (ε): ψ-χ=. 67. Αν α>, n N* τότε να δείξετε ότι η εξίσωση : n =α έχει μοναδική θετική λύση. (Πώς θα ονομάζατε αυτή την λύση;) 68. Για μια συνεχή συνάρτηση f, ισχύει ότι: f() ημ + 6 6, για κάθε 4 Να υπολογίσετε το f() και να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον κ (, ], κ ώστε f(κ) = ημ + κ Για μια συνάρτηση f συνεχή στο R, ισχύει ότι: f() = - R - lim 4 και 4ημ(-) (-)f() 4. Να δειχθεί ότι η Cf τέμνει τη γραφική παράσταση της παραβολής ψ = - + σε σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (,). 7. α. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και σε διάστημα Δ. Αν α, β, γ Δ με α < β < γ, να αποδείξετε ότι ισχύει: είτε f(α) < f(β) < f(γ), είτε f(γ) < f(β) < f(α). ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

10 β. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και στο διάστημα Δ, να αποδείξετε ότι είναι γνησίως μονότονη στο Δ. (Πρόκειται για βασικό θεώρημα το οποίο σας προτείνεται να αποδείξετε). γ. Με την βοήθεια του προηγούμενου ερωτήματος δείξτε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f στο R ώστε f(f())=- δ. Aν f συνεχής συνάρτηση στο R και f(a)+f(b)=f(c)+f(d) με a,b,c,d διαδοχικούς όρους μη σταθερής αριθμητικής προόδου τότε η f δεν μπορεί να είναι αντιστρέψιμη II. Θ.Ε.Τ -Θ.Μ.Ε.Τ 7. Αν f συνεχής στο R και f().f(f())=, f(9)=/9 υπολογίστε το f() 7. Μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R με f( 8) = 7 για κάθε και ( ) f 4. ισχύει : f( ) f f( ) = να βρείτε ( ) 7. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [,], με f ( ) = και ( ) ( ( )) Να προσδιοριστεί το f ( ) και το f( 5 ). f f f = Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, ]. Α) Να δείξετε ότι η g ( ) = f ( ) + e, [, ] έχει μέγιστη τιμή. Β) Να δείξετε ότι υπάρχει [, ] τέτοιο ώστε f( ) f( ) e [,] 75. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [,] f ( ) + 5f ( 6) + f ( 8) υπάρχει [,] τέτοιο ώστε : f( ) = < +. Να δειχθεί ότι 76. Αν f συνεχης στο [ α,β], χ, χ,,χν [α,β] και κ, κ,,κν R+ να δειξετε k f ( ξ ) + k f ( ξ ) kν f ( ξν ) ότι υπαρχει ξ (α,β) ώστε f ( ξ ) = k + k k ν 77. Για μια συνεχή συνάρτηση f στο [,] ισχύει f() = και f() = 4. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ που ανήκει στο (,) 4 f + f + f + f ώστε f(ξ): = 4 ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 7

11 78. Έστω f: [, ] α β Rσυνεχής συνάρτηση. Αν α,β είναι ρίζες της εξίσωσης χ -4χ+ =, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [α,β] τέτοιο α+β α+β α+β α+ β ώστε να ισχύει: α f + f +β f = f ( ξ). ΙΙΙ. ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 78. Έστω συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει f () + χ = 5χ για κάθε χ Δ = (,5). Να αποδείξετε ότι η f. Δεν έχει ρίζες στο Δ. Έχει σταθερό πρόσημο στο Δ.. Να βρεθεί ο τύπος της f στο Δ, αν επιπλέον είναι γνωστό ότι f() = Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f : R R με την ιδιότητα f () = e f(), R 8. Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f : R R με την ιδιότητα: (f () ) (f () ) =, R. 8. Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f : R R με την ιδιότητα: f () (f ()ημ =, R. 8. H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R,f()=- και f () + f() 4=, R τότε να δείξετε ότι η f δεν έχει καμιά ρίζα.και βρείτε τον τύπο της 8. Να βρείτε την συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύει : ( ) = + ( ) για κάθε. f f συν 84. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: [, + ) R με g() = και [f()-g()] = [ f()+g()]. α) Να βρείτε το f(). β) Αν για κάθε χ [,4] είναι f(), να δείξετε ότι:. Η εξίσωση (-)f() + f(+) = (-) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,).. g() > για κάθε χ [,4]. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

12 85. Έστω συνεχής συνάρτηση f στο [, 4], με f(), για κάθε [, 4], f() > και f() f() = f() f(4). Να αποδείξετε ότι: α. f() >, για κάθε [, 4]. β. Η συνάρτηση g() = f () f() f() έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [, ]. γ. Η συνάρτηση f δεν είναι αντιστρέψιμη. 86. Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g : R R με f()g()=e, για κάθε R με f()> και g()>. Nαδείξετε ότι : α) f()>, για κάθε R β) Υπάρχει (,) τέτοιο ώστε g()= 87. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, f()=5 και ( ) δείξετε ότι η f δεν έχει καμιά ρίζα. f για κάθε R τότε να 88. H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, f()=- και τότε να δείξετε ότι η f δεν έχει καμιά ρίζα.και βρείτε τον τύπο της 89. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [,] για την οποία ισχύει 4 + f ( ) = 7 για κάθε [,] Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,). 9. Έστω η συνεχής συνάρτηση f, ώστε f () = 6, για κάθε (, ). Να βρείτε τον τύπο της αν f() =. IV. ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ 9. Δίνεται η συνάρτηση f : (,] με f ( ) Α) Να βρείτε την μονοτονία της f. Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. = ln Γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς (,] τέτοιο ώστε : ln = 9. Δίνεται η συνάρτηση f()= α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ. Να λύσετε την ανίσωση f() <. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

13 9. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, + ) με lim f()= γ R και lim f()= δ R, να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός >, ώστε f( )+e +ln( )=.. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: ( ) + Θέμα Β f = e 5 +. α) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) = έχει ακριβώς μια λύση στο R.. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) = + 5 7, R. i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R. ii. Να λύσετε την εξίσωση f( ) =. iii. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f.. Δίνεται η συνάρτηση f με f( ) = 4 e +. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Να ορίσετε την f. 4. Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) = ln( + ) +. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι -. iii. Να ορίσετε την f. f + =. iv. Να λύσετε την εξίσωση ( ) f = +. i. Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f. ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός R για τον οποίο η συνάρτηση παίρνει την τιμή. iii. Να λύσετε την ανίσωση: + < 5. Δίνεται η συνάρτηση f με ( ) 6. Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) = + 5, R. i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) = έχει ακριβώς μία ρίζα τη =. iii. Να βρείτε το πρόσημο της f. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

14 7. Να βρείτε το ( ) i. lim = + f ( ) limf, όταν: ii. f( ) lim = iii. lim f ( )( 4 ) = + 8. Δίνεται η συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση f :, 5 της οποίας η γραφική B 5,. παράσταση περνάει από τα σημεία A (, 8 ) και ( ) i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παίρνει την τιμή 9. iii. Υπάρχει μοναδικό (, 5 ) τέτοιο ώστε: f( ) 9. Δίνεται η συνάρτηση f με ( ) ( ) f = ln e +. i.να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. iii. Να ορίσετε την f. f < f ln5. iv. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ). Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) =. i. Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. f = iii. Να λυθεί η εξίσωση ( ) iv. Να λυθεί η ανίσωση ( ) f. Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f :R ( ( )) ( ) i. Να βρείτε το f ( ). ii. Να βρείτε το f( ). iii. Να λυθεί η εξίσωση ( ) f f + f = + για κάθε R και. iv. Να βρεθεί το f = συν + ηµ + liµ. f f + f ( ( )) ( ) ( ) + ( ) + ( ) f f 4f 4 = 9 R για την οποία ισχύει:. Δίνεται η συνεχής στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι: ( ) + ηµ ( ) f liµ = i. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f περνάει από το σημείο ( ) f ( ) ii.να βρείτε το lim. + f = ln +. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.. Δίνεται η συνάρτηση f με ( ) M,. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

15 iii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια. lim f. iv. Να βρείτε τα όρια: limf ( ) και ( ) 4. Δίνεται η συνάρτηση f :R i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f g. + R και η συνάρτηση g με τύπο g( ) = ln. ii. Να βρείτε συνάρτηση h για την οποία να ισχύει: ( )( ) = iii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι περιττή. Θέμα Γ h g. 5. Δίνονται οι συνεχείς στο R συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν: f( ) για κάθε R. Οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο A(, ). ρ = και ρ = 5 είναι δύο διαδοχικές ρίζες της g ( ) =. Να αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. β) ( ) <, 5. γ) g για κάθε ( ) 4 f ( ) + + lim = g ( ) Δίνεται η συνάρτηση f : (, + ) R με τύπο: ( ) = + + f ln. i. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. iii. Να αποδείξετε ότι για κάθε α R, η εξίσωση f( ) = α έχει μοναδική ρίζα. iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός λ> για τον οποίο 4 ισχύει: λ + = λn λ 7. Δίνεται η συνάρτηση f :R R f = f, για κάθε R. i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. ii. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το R, να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f. iii. Να λύσετε την εξίσωση f( ) =. iv. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f. ( ) - f ( α) f α + + = α- α+ 8. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο κάθε,. i. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f( ) =. για την οποία ισχύει η σχέση: ( ) ( ), για την οποία ισχύει ( ) ii. Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα (, ). + 4f = 7 για ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

16 iii. Να βρεθεί ο τύπος της f. iv. Αν επιπλέον f ( ) = f( ) 6 να βρείτε το όριο lim. 9. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :[, ) f ( ) ηµ + + i. Το όριο: iv. Το f(. ) lim ii. Το όριο:. Δίνεται η συνάρτηση f :R R και ( ) = f 5. i. Να βρείτε το ( ) iii. Να βρείτε το ( ). Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :R κάθε R, α R. + R για την οποία ισχύει: για κάθε >.Να βρείτε: 7 liµ ηµ. iii. Το όριο: ( ) limf. R για την οποία ισχύει: ( f f)( ) + f ( ) = + για κάθε f 5. ii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. ( ) f f + 7 =. f. iv. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) i. Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. ii. Αν f( ) = να βρείτε τον τύπο της f. f ( ) iii. Να υπολογίσετε το όριο: iv. Να υπολογίσετε το όριο: lim, α<. + 4 f ( ) lim, α> Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :R κάθε. i. Να αποδείξετε ότι: f( ) ( ) 4 και f R για την οποία ισχύει f ( ) =α + α + για 4 4 R για την οποία ισχύει: + 4f ( ) + για 4. ii. Να βρείτε το όριο: 4 lim f. iii. Να βρείτε το όριο: 5 f + 4 ηµ liµ. + ηµ iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( ) f 4. i.αν lim = ii. Δίνεται η συνάρτηση g:r για κάθε, τέτοιο, ώστε ( ) να βρείτε το ( ). Να βρείτε το ( ) limf. f ξ ξ=. R για την οποία ισχύει: g( ) + συν ηµ + limg, αν είναι γνωστό ότι υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. iii. Να βρείτε το όριο: 4. Δίνεται η συνάρτηση f :R R. liµ ( ) + ηµ ( ) g ( ) f εϕ + R για την οποία ισχύει: f ( ) + f ( ) = 4 + για κάθε ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

17 f. i. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. iii.να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f, αν γνωρίζετε ότι αυτά βρίσκονται πάνω στην ευθεία με εξίσωση y=. iv.να λυθεί η εξίσωση: ( ) = ( ) f e f. 5. Δίνονται οι συναρτήσεις f( ) = + και g ( ) =. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και g. ii. Να ορισθεί η συνάρτηση f g. iii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f. iv. Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης f f g. 6. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με f( ) i. Να βρείτε τα κ,λ. ii. Να υπολογίσετε το όριο: lim f ( ). + iii.να υπολογίσετε το όριο: ( ) lim f. iv. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = ( + ) (, ). 7. Δίνεται η συνάρτηση f με f( ) ( ) ηµ g + την οποία ισχύει: liµ = 5 Να βρείτε: + κηµ,< = λ, = , > f ln 8 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 5 + 6,,, 4( ) = κ + ( + ),, ( 4) ( ) ( ) και η g: R {,} και g ( + ) = g ( ) + f ( ) για κάθε R. i. Το κ αν υπάρχει το lim f ( ). ii.το όριο lim f ( ). iii.το όριο ( ) iv. Το όριο ( ) limg. limg. R για Θέμα Δ 8. Δίνεται η συνάρτηση f με f( ) = ln + e + 4. i. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία την f. lim f. ii. Να υπολογίσετε τα όρια: limf ( ) και ( ) iii. Να λυθεί η εξίσωση f( ) = e. iv. Να βρείτε τον πραγματικό θετικό αριθμό μ για το οποίο ισχύει: ( µ + ) 6µ ln4µ ln µ + 4 µ + = e e 8 µ ( ) ( ) + ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 44

18 9. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύουν οι συνθήκες: ηµ f ( ), για κάθε R. 4f + f + =, για κάθε R. ( ) ( ) i. Να βρείτε το όριο ( ) ii. Να βρείτε το f ( ). limf. iii. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) =,. g σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ( ). Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :R R τέτοια ώστε: κηµ = f( ) + + ηµ λ για κάθε R και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο A,. i. Να βρείτε τα κ και λ. ii. Αν κ= και λ= να βρείτε την f. f( ) iii. Να βρείτε το όριο: lim συν. + 4 =. i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. lim f.. Δίνεται η συνάρτηση f με f( ) ii. Να βρείτε το όριο ( ) iii. Να βρείτε το όριο lim f ( ). + iv. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) = κ έχει μία ακριβώς ρίζα στο R για κάθε κ R. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 45