2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016"

Ἀρέθουσα Βιλαέτης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: f g f g μονάδες 7 Α Πότε μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε μια συνάρτηση λέγεται -; Τι χαρακτηριστικό γνώρισμα έχει η γραφική παράσταση μιας - συνάρτησης; Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Α ν f g για κάθε α,,β, τότε και lim f lim g με τη προϋπόθεση ότι υπάρχουν τα όρια β) Αν μια συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα, τότε και το πεδίο ορισμού της είναι κλειστό διάστημα γ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και fα fβ, τότε δεν υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε fξ δ) Αν f g για κάθε, τότε είναι και f g ε) Αν η ευθεία y β είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο, τότε f ΘΕΜΑ Β Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το είναι - Β Να δείξετε ότι η g είναι - Β Να δείξετε ότι η εξίσωση: και μία αρνητική ρίζα f lim μονάδες Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog g f g f έχει ακριβώς δύο θετικές Β Έστω ότι η f είναι συνεχής και ισχύει ότι: f α) Να αποδείξετε ότι f f f για κάθε και β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ α,β, α,β με α β τέτοια, ώστε γ) Να υπολογίσετε τα όρια lim και lim f f ξ f ξ

2 wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ Γ Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο f Γ Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει μέγιστο στο, 4 με Έστω ότι f 5, f4 9 Γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει, 4 τέτοιο, ώστε Γ Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, f f f f Γ4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Γ5 Αν f για κάθε, 4 τέτοια, ώστε f 7 μονάδες 6 f 4 f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο, 4, 4, να βρείτε το σύνολο τιμών της f Γ6 Αν f για κάθε, 4, να αποδείξετε ότι ΘΕΜΑ Δ f,, 4 Έστω συνεχής συνάρτηση f :,,, για την οποία ισχύει ότι : f f για κάθε και f Δ Να δείξετε ότι f ln μονάδες 6 Δ Αφού δείξετε ότι η f είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι f για κάθε Δ Να δείξετε ότι d ln α Δ4 Να δείξετε ότι ln ln α lnββ α β με α β Δ5Έστω ότι η τετμημένη του σημείου K k,f k, k απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων με ταχύτητα k cm/sc Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Κ με τον άξονα τη χρονική στιγμή t που είναι k, δίνεται από τη σχέση 6 θt συν θt μονάδες 6 Στέλιος Μιχαήλογλου

3 wwwaskisopolisgr Λύσεις

4 wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ Α Α Για, ισχύει: (f g)() (f g)( ) f () g() f ( ) g( ) f () f ( ) g() g( ) Επειδή οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: (f g)() (f g)( ) f () f ( ) g() g( ) lim lim lim f ( ) g ( ), Δηλαδή (f g) ( ) f ( ) g ( ) Α Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει, τέτοιο ώστε f () f ( ) για κάθε A (, ) Α Μια συνάρτηση f :A λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f( ) f( ) Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο Α4 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β, με g g, τότε Β Έστω επειδή η f g είναι -, ισχύει ότι g Β g f gf f f f g f g f g f g και Έστω h, Είναι h h ή Για κάθε,, είναι h h, και h,, είναι h h, Είναι lim h lim lim,, ενώ για κάθε lim h lim lim, h και h Στο διάστημα, η h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών h lim h, h, υπάρχει μοναδικό, άρα Επειδή h Στο διάστημα h, τέτοιο ώστε, η h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών h h, lim h, Επειδή h υπάρχει μοναδικό, άρα, τέτοιο ώστε h Στο διάστημα, η h είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα έχει αντίστοιχο σύνολο διάστημα αυτό τιμών h h, lim h, Τέλος στο διάστημα 4, Επειδή h η εξίσωση h είναι αδύνατη στο η h είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα έχει αντίστοιχο

5 wwwaskisopolisgr σύνολο τιμών h lim h, lim h, Επειδή h 4, άρα 4, τέτοιο ώστε υπάρχει μοναδικό h Άρα η h έχει θετικές και μια αρνητική ρίζα Βα) Επειδή για κάθε, είναι f σταθερό πρόσημο στο Επειδή, είναι f f f f f f f β) Σύμφωνα με το ΘΜΤ για την f, υπάρχει, f f f t και επειδή η φ είναι συνεχής, διατηρεί για κάθε, άρα τέτοιο, ώστε 4 () Έστω t,, Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει, t t Τότε η () γίνεται: f γ) Θέτουμε f u f u Όταν f είναι συνεχής και -, είναι u u u lim f u lim u, άρα u u f u f u f lim lim f και u u u u τέτοιο, ώστε τότε f u f u f Όμοια, όταν, τότε fu Όμως και επειδή η lim f lim u u ΘΕΜΑ Γ Γ Έστω ότι η f παρουσιάζει μέγιστο στο, τότε f f Για κάθε,4 είναι, άρα, οπότε και f f f f f f lim () f f Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει ότι f lim f άτοπο Άρα η f δεν έχει μέγιστο στο Γ Επειδή f 7 f 4 και η f είναι συνεχής στο,4, λόγω του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών υπάρχει,4 τέτοιο, ώστε f 7 Γ Για την f εφαρμόζεται το ΘΜΤ σε καθένα από τα διαστήματα, και,4 οπότε υπάρχουν,,4 τέτοια, ώστε: f f f και f f 4 f f f 4 f f 4,

6 wwwaskisopolisgr f f f f f f f f Γ4 f f 4 f 4 f f f 4 Έστω g f,,4 Η g είναι συνεχής στο,4 ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο g f f 4,4 με Επιπλέον g f 8, g g4, άρα λόγω του θεωρήματος Roll, η εξίσωση g f f 4 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο Γ5 Επειδή f για κάθε,4 f g 4 4f , δηλαδή,4 και η f είναι συνεχής, θα είναι γνησίως αύξουσα στο,4 Για κάθε 4 f f f f, 4 Επειδή f 5 και f 4 9, η f έχει σύνολο τιμών το 5,9 Γ6 Έστω,4 Για την f εφαρμόζεται το θεώρημα μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα, και,4, οπότε υπάρχουν, και,4 f f f 5 f 4 f 9 f f και f 4 4 f 5 Είναι f f () και 9 f f 9 f 8 f () 4 f,4 Από τις (),() είναι για κάθε f 4 4 9, είναι f για κάθε,4 τέτοια, ώστε: Επειδή f 5 και ΘΕΜΑ Δ Δ f f f ln ln c f f f Για είναι: f c c ln f f f ln c, c, άρα f ln ln ln ln ln, ln Δ f και f f κυρτή στο Παρατηρούμε ότι f Η εφαπτομένη της C f στο είναι η ευθεία ε: y f f y y,

7 wwwaskisopolisgr Επειδή η f είναι κυρτή βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της στο, εκτός του σημείου επαφής, άρα f f f Δ Είναι f για κάθε, και επειδή η ισότητα ισχύει μόνο για, έχουμε: f d d 4 f d Δ4 Από το ΘΜΤ για την f υπάρχει, τέτοιο, ώστε f f ln ln ln ln f ln ln ln f ln ln Είναι f f f f ln ln ln ln ln ln Δ5 Η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση: y f k fk k y k y ln k kln k kln k ln k ln k ln k y kln k ln k Για τη γωνία θ που σχηματίζει η ε με τον άξονα ισχύει ότι: kln k και επειδή τα μεγέθη μεταβάλλονται με τη πάροδο του χρόνου, είναι: t k t ln k t Επειδή και τα δύο μέλη της προηγούμενης ισότητας αποτελούνται από παραγωγίσιμες συναρτήσεις όταν k t, έχουμε: ktln kt t t ktln kt t k t ln k t t t Τη χρονική στιγμή ln kt kt kt ktln kt t είναι k t ln k t k t k t, k t k t και k t ln k t ln k t k t t t k t ln k t ln ln 6 t t t ln t 6 t t

Σχετικά έγγραφα

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,