202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα υποσύνολο R του καρτεσιανού γινοµένου X X: R X X το οποίο ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες : 1. x X: (x, x) R. (ανακλαστική ιδιόητα) 2. x, y X: (x, y) R = (y, x) R (συµµετρική ιδιότητα) 3. x, y, z X: (x, y) R & (y, z) R = (x, z) R (µεταβατική ιδιότητα) Συµβολισµός : x, y X, αν (x, y) R, τότε ϑα γράφουµε ισοδύναµα : x R y ή x R y ή x y(r) Εστω R µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου X. Αν x X, η κλάση ισοδυναµίας του x ως προς την R ορίζεται να είναι το ακόλουθο σύνολο : [x] R = { y X y R x } X Ενα τυχόν στοιχείο µιας κλάσης ισοδυναµίας, δηλαδή ενός υποσυνόλου του X της µορφής [x] R καλείται αντιπρόσωπος της κλάσης ισοδυναµίας. Επειδή x R x, ϑα έχουµε προφανώς ότι x [x] R και άρα το x είναι ένας αντιπρόσωπος της κλάσης ισοδυναµίας του. Θα δούµε αργότερα σε συγκεκριµµένα παραδείγµατα ότι πολλές ϕορές υπάρχει ϕυσική επιλογή αντιπροσώπου µιας κλάσης ισοδυναµίας. Το σύνολο X/R όλων των κλάσεων ισοδυναµίας των στοιχείων του X X/R = { [x] R x X } ως προς τη σχέση ισοδυναµίας R, καλείται σύνολο-πηλίκο του X ως προς την R. Ορίζουµε µια απεικόνιση π R : X X/R, π R (x) = [x] R η οποία καλείται η κανονική προβολή του X στο σύνολο πηλίκο X/R του X ως προς τη σχέση ισοδυναµίας R. Παρατήρηση 1.2. Η απεικόνιση κανονικής προβολής π R : X X/R είναι προφανώς επί. Ενα ϕυσικό ερώτηµα το οποίο προκύπτει είναι ποιά είναι η σχέση µεταξύ δύο κλάσεων ισοδυναµίας. Λήµµα 1.3. Εστω R µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου X, και x, y X. 1. x R y [x] R = [y] R. 2. Είτε [x] R = [y] R ή [x] R [y] R =.
203 Απόδειξη. 1. = Εστω x R y. Εστω z [x] R. Τότε z R x και άρα από την µαταβατική ιδιότητα ϑα έχουµε z R y. Εποµένως z [y] R και εποµένως [x] R [y] R. Αντίστροφα αν z [y] R, τότε z R y και άρα y R z. Από την µαταβατική ιδιότητα ϑα έχουµε x R z ή ισοδύναµα z R x. Εποµένως z [x] R και άρα [y] R [x] R. Ετσι δείξαµε ότι : [x] R = [y] R. = Εστω [x] R = [y] R. Τότε x [x] R = [y] R και εποµένως x R y. 2. Αρκεί να δείξουµε ότι αν [x] R [y] R, τότε [x] R = [y] R. Εστω z [x] R [y] R. Τότε z [x] R και z [y] R. Αυτό σηµαίνει ότι : z R x και z R y. Ισοδύναµα, επειδή η σχέση R είναι σχέση ισοδυναµίας, x R z και z R y. Από την µεταβατική ιδιότητα τότε ϑα έχουµε x R y και άρα από το 1. ϑα έχουµε [x] R = [y] R. Πόρισµα 1.4. Εστω R µια σχέση ισοδυναµίας επί του µη-κενού συνόλου X. 1. x X: [x] R. 2. Είτε [x] R = [y] R ή [x] R [y] R =. 3. X = x X [x] R. Απόδειξη. 1. Εστω x X. Επειδή x [x] R έπεται ότι [x] R. 2. Το Ϲητούµενο προκύπτει από το 2. του Λήµµατος 1.3. 3. Επειδή x X, έχουµε x [x] R, έπεται ότι X = x X {x} x X [x] R και άρα ϑα έχουµε X = x X [x] R. Από το παραπάνω Πόρισµα 1.4 ϐλέπουµε ότι το σύνολο-πηλίκο X/R είναι ένα σύνολο υποσυνόλων του X, των κλάσεων ισοδυναµίας των στοιχείων του X ως προς τη σχέση ισοδυναµίας R, το οποίο ικανοποιεί την ακόλουθη ιδιότητα : κάθε στοιχείο του συνόλου X ανήκει σε µία και µόνο µία κλάση ισοδυναµίας. Αυτή η ιδιότητα µας οδηγεί στην έννοια της διαµέρισης ενός συνόλου. 1.2. ιαµερίσεις. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.5. Μια διαµέριση του X είναι µια συλλογή υποσυνόλων = { A i A i X } i I, όπου I είναι ένα σύνολο δεικτών, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητης : (1) i I: A i. (2) i, j I: i j = A i A j =. (3) X = i I A i. Με άλλα λόγια µια διαµέριση του µη-κενού συνόλου X είναι µια συλλογή µη-κενών υποσυνόλων του X µε την ιδιότητα κάθε στοιχείο του συνόλου X ανήκει σε ένα και µόνο ένα σύνολο της συλλογής. Υπενθυµίζουµε ότι αν X είναι ένα σύνολο, τότε συµβολίζει το πλήθος των στοιχείων του X. X ή #(X) Παρατήρηση 1.6. Εστω X ένα πεπερασµένο σύνολο και = { A i A i X } µια διαµέριση του i I συνόλου X. Τότε προφανώς το σύνολο δεικτών I και κάθε υπσύνολο A i της διαµέρισης είναι πεπερασµένα σύνολα και εποµένως επειδή το X είναι ξένη ένωση των A i : X = i I A i, και A i Aj =, i j ϑα έχουµε : X = i I A i
204 Η επόµενη Πρόταση µας εξασφαλίζει ότι κάθε διαµέριση του συνόλου X ορίζει µια σχέση ισοδυνα- µίας R επί του X έτσι ώστε οι κλάσεις ισοδυναµίας των στοιχείων του X ως προς την R να συµπίπτουν µε τα υποσύνολα της διαµέρισης. Πρόταση 1.7. Εστω = { A i A i X } µια διαµέριση του µη-κενού συνόλου X. Τότε ορίζοντας i I R := { } (x, y) X X i I : x, y A i αποκτούµε µια σχέση ισοδυναµίας R επί του X. Επιπλέον : 1. x X: [x] R = A i, για κάποιο i I (το i είναι ο µοναδικός δείκτης i I έτσι ώστε x A i ). 2. X/R = ως συλλογές υποσυνόλων του X. Απόδειξη. Εστω x X. Επειδή η συλλογή υποσυνόλων είναι µια διαµέριση του X, έπεται ότι x X = i I A i και άρα υπάρχει δείκτης i I έτσι ώστε : x A i. Τότε προφανώς (x, x) R, δηλαδή x R x και άρα ισχύει η ανακλαστική ιδιότητα. Εστω x, y X και υποθέτουµε ότι (x, y) R, δηλαδή x R y. Τότε εξ ορισµού υπάρχει δείκτης i I έτσι ώστε x, y A i και προφανώς τότε y, x A i. Άρα (y, x) R δηλαδή y R x και έτσι η σχέση R είναι συµµετρική. Εστω (x, y) R και (y, z) R, δηλαδή x R y και y R z. Τότε υπάρχουν δείκτες i, j I έτσι ώστε : x, y A i και y, z A j. Τότε όµως y A i A j. Επειδή όµως A i A j = αν i j, έπεται ότι αναγκαστικά ϑα έχουµε i = j και άρα A i = A j. Εποµένως x, y, z A i το οποίο σηµαίνει ότι (x, z) R, δηλαδή x R z και έτσι η σχέση R είναι µεταβατική. 1. Εστω x X. Τότε υπάρχει µοναδικός δείκτης i I έτσι ώστε : x A i. Θα έχουµε : [x] R = { y X y R x } = { } y X j I : x, y A j Επειδή x A i και A i A j = αν i j, ϑα έχουµε αναγκαστικά i = j και άρα : [x] R = { y X j I : x, y A j } = { y X y Ai } = Ai 2. Επειδή X/R = { [x] R x X } και [x] R = A i, όπου i I είναι ο µοναδικός δείκτης για τον οποίο ισχύει x A i, ϑα έχουµε ότι : X/R = { [x] R x X } = { A i i I } = 1.3. ιαµερίσεις και Σχέσεις Ισοδυναµίας. Συνδυάζοντας το Πόρισµα 1.4 και την Πρόταση 1.7, έχου- µε το ακόλουθο ϐασικό Θεώρηµα : Θεώρηµα 1.8. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Τότε οι απεικονίσεις Φ : D := { ιαµερίσεις του X } S := { Σχέσεις ισοδυναµίας R επί του X }, Φ( ) = R Ψ : S := { Σχέσεις ισοδυναµίας R επί του X } D := { ιαµερίσεις του X }, Ψ(R) = X/R ορίζουν µια 1-1 και επί αντιστοιχία µεταξύ του συνόλου D των διαµερίσων του X και του συνόλου S των κλασεων ισοδυναµίας επί του X. Απόδειξη. Από το Πόρισµα 1.4 και την Πρόταση 1.7 έπεται ότι οι αντιστοιχίες Φ και Ψ ορίζουν απεικονίσεις Φ: D S, Φ( ) = R και Ψ: S D, Ψ(R) = R := X/R. Για την ολοκλήρωση της απόδειξης, αρκεί να δείξουµε ότι οι απεικονίσεις Φ και Ψ είναι η µία αντίστροφη της άλλης. Με άλλα λόγια αρκεί να δείξουµε ότι : ή ισοδύναµα : D : ΨΦ( ) = και R S : ΦΨ(R) = R D : R = και R S : R R = R Από την Πρόταση 1.7, έπεται ότι για κάθε διαµέρσιη του X, έχουµε X/R = ως υποσύνολα του X. Ετσι ΨΦ( ) = Ψ(R ) = X/R =
Για να δείξουµε τώρα ότι R S : ΦΨ(R) = R, αρκεί να δείξουµε ότι R R = R. Υπενθυµίζουµε ότι η διαµέριση R, την οποία ορίζει η σχέση ισοδυναµίας R, αποτελείται από τις κλάσεις ισοδυναµίας [x] R των στοιχείων του X. Ετσι εξ ορισµού για την επαγόµενη σχέση ισοδυναµίας R R την οποία ορίζει η R ϑα έχουµε : x, y X: (x, y) R R αν και µόνον αν τα στοιχεία x και y ανήκουν στο ίδιο σύνολο της διαµέρισης R, δηλαδή αν και µόνον αν υπάρχει z X έτσι ώστε x, y [z] R. Αυτό όµως συµβαίνει αν και µόνον αν z R x και z R y και εποµένως αν και µόνον αν x R y αν και µόνον αν (x, y) R. Συνοψίζοντας δείξαµε ότι : x, y X : (x, y) R R (x, y) R Εποµένως R R = R και άρα R S : ΦΨ(R) = R. Ετσι δείξαµε ότι οι απεικονίσεις Φ και Ψ είναι 1-1 και επί και επιπλέον : Ψ = Φ 1. 205 1.4. Απεικονίσεις και Σχέσεις Ισοδυναµίας. Εστω f : X Y µια απεικόνιση µεταξύ των µη-κενών συνόλων X, Y. Ορίζουµε µια σχέση επί του συνόλου X ως εξής : R f = { (x, y) X X f(x) = f(y) } Η επόµενη πρόταση δείχνει ότι η σχέση R f είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X. Πρόταση 1.9. Η σχέση R f είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X. Επιπλέον, x X: [x] Rf = f 1{ f(x) } = { x X f(x) = f(x ) } και η απεικόνιση f επάγει µια 1-1 και επί απεικόνιση f : X/R f Im(f), f([x] Rf ) = f(x) Επιπλέον αν g : X Z είναι µια απεικόνιση έτσι ώστε να ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη : τότε υπάρχει µοναδική απεικόνιση x, y X : f(x) = f(y) = g(x) = g(y) ( ) g : X/R f Z, έτσι ώστε : g π f = g όπου π f : X X/R f είναι η απεικόνιση κανονικής προβολής. Απόδειξη. Εστω x X. Τότε x Rf x διότι f(x) = f(x). Άρα η σχέση R f είναι ανακλαστική. Εστω x, y X και υποθέτουµε ότι x Rf y. Τότε f(x) = f(y). Άρα f(y) = f(x) και εποµένως y Rf x, δηλαδή η σχέση R f είναι συµµετρική. Εστω x, y, z X και υποθέτουµε ότι x Rf y και y Rf z. Τότε f(x) = f(y) και f(y) = f(z). Προφανώς τότε f(x) = f(z) και εποµένως x Rf z, δηλαδή η σχέση R f είναι µεταβατική. Ετσι η σχέση R f είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X. Εστω x X. Τότε : [x] Rf = { y X y Rf x } = { y X f(y) = f(x) } = { y X y f 1 ({f(x)}) } = f 1 ({f(x)}) Ορίζουµε τώρα µια απεικόνιση f : X/R f Im(f), f([x] Rf ) = f(x) Η f είναι καλά ορισµένη: Εστω [x] Rf = [y] Rf. Τότε όπως γνωρίζουµε ϑα ισχύει x Rf y και από τον ορισµό της R f : f(x) = f(y). Ετσι f([x] Rf ) = f(x) = f(y) = f([y] Rf ) και η f([x] Rf ) είναι καλά ορισµένη. Η f είναι 1-1 και επί: Προφανώς η f είναι επί, διότι αν y Im(f), τότε y = f(x) για κάποιο x X, και εποµένως f([x] Rf ) = f(x) = y. Εστω τώρα ότι f([x] Rf ) = f([y] Rf ) και εποµένως f(x) = f(y). Εξ ορισµού ϑα έχουµε τότε x Rf y και από το Λήµµα 1.3 έπεται ότι [x] Rf = [y] Rf. Αυτό δείχνει ότι η f είναι 1-1.
206 Τέλος έστω g : X Z µια απεικόνιση για την οποία ισχύει η σχέση ( ). Ορίζουµε τότε απεικόνιση g : X/R f Z, g([x] Rf ) = g(x) Η g είναι καλά ορισµένη διότι αν [x] Rf = [y] Rf, τότε όπως γνωρίζουµε ϑα ισχύει x Rf y και από τον ορισµό της R f : f(x) = f(y). Λόγω της συνθήκης ( ) ϑα έχουµε τότε και g(x) = g(y), δηλαδή g([x] Rf ) = g(x) = g(y) = g([y] Rf ) και η g είναι καλά ορισµένη. Επιπλέον (g π f )(x) = g(π f (x)) = g([x] Rf ) = g(x), x X = g π f = g Αν h: X/R f Z είναι µια άλλη απεικόνιση έτσι ώστε h π f = g, τότε, x X: h([x] Rf ) = h(π f (x)) = (h π f )(x) = g(x) = (g π f )(x) = g(π f (x)) = g([x] Rf ) = g = h και άρα η g είναι η µοναδική απεικόνιση : X/R f Z η οποία ικανοποιεί την ιδιότητα g π f = g. Ορισµός 1.10. Η σχέση ισοδυναµίας R f η οποία ορίζεται στο σύνολο X µέσω µιας απεικόνισης f : X Y καλείται η επαγόµενη από την f σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο X. Παράδειγµα 1.11. Εστω R µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου X. Τότε η απεικόνιση κανονικής προβολής π R : X X/R, π R (x) = [x] R επάγει στο X την ίδια σχέση ισοδυναµίας : R = R πr. Πράγµατικά : x RπR y π R (x) = π R (y) [x] R = [y] R x R y Από την Πρόταση 1.9 έπεται ότι κάθε απεικόνιση f : X Y µπορεί να γραφεί ως σύνθεση f = i f π Rf (1) µιας απεικόνισης «Επι» π Rf : X X/R f, π Rf (x) = [x] Rf (2) µιας απεικόνισης «1-1 και Επι» f : X/R f Im(f), f([x] Rf ) = f(x) (3) µιας απεικόνισης «1-1» Σχηµατικά : i : Im(f) Y, X f i(y) = y Y π Rf X/R f f i Im(f) Παρατηρούµε ότι αν η f είναι απεικόνιση επί, τότε η επαγόµενη απεικόνιση f : X/R f Y είναι 1-1 και επί. Συµπερασµατικά : 1. Κάθε σχέση ισοδυναµίας R σε ένα σύνολο X ορίζει µια απεικόνιση επί, την π R : X X/R, της οποίας η επαγόµενη σχέση ισοδυναµίας επί του X συµπίπτει µε την R. 2. Κάθε απεικόνιση επί f : X Y ορίζει µια σχέση ισοδυναµίας επί του X, την R f, η οποία επάγει µια απεικόνιση επί π Rf : X X/R f και υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση f : X/R f Y.
207 1.5. Πράξεις. Στην παρούσα παράγραφο ϑα µελετήσουµε σύντοµα την έννοια της πράξης επί ενός συνόλου καθώς και την έννοια της πράξης η οποία είναι συµβατή µε µια σχέση ισοδυναµίας. Ορισµός 1.12. Μια (διµελής) πράξη επί ενός συνόλου X είναι µια απεικόνιση µ : X X X, (x, y) µ(x, y) Συνήθως µια πράξης µ επι ενός συνόλου X παρίσταται µε ένα εκ των συµβόλων : µ =,,, #,, +,,,... Αντίστοιχα, το αποτέλεσµα της πράξης στο Ϲεύγος στοιχείων (x, y) του X, συµβολίζεται ως εξής : µ(x, y) = x y, x y, x y, x#y, x y, x + y, x y, x y,... Ορισµός 1.13. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο, και µια πράξη επί του X. : X X X, 1. Η πράξη καλείται προσεταιριστική αν ισχύει : x, y, z X : 2. Η πράξη καλείται µεταθετική αν ισχύει : x, y X : (x, y) = x y x (y z) = (x y) z x y = y x 3. Υποθέτουµε ότι η πράξη επί του X είναι προσεταιριστική. α. Ενα στοιχείο e X καλείται ουδέτερο στοιχείο του X ως προς την πράξη, αν ισχύει : x X : x e = x = e x Υπενθυµίζουµε αν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο για την πράξη στο σύνολο X, τότε αυτό είναι µοναδικό. ϐ. Αν e X είναι ένα ουδέτερο στοιχείο της πράξης, και x X, τότε ένα στοιχείο x X καλείται αντίθετο του x, αν ισχύει : x x = e = x x Υπενθυµίζουµε ότι επειδή η πράξη επί του X είναι προσεταιριστική, αν e είναι το ουδέτερο στοιχείο της, τότε αν υπάρχει το αντίθετο στοιχείο x του x X, τότε αυτό είναι µοναδικό. 1.6. Πράξεις συµβιβαστές µε σχέσεις ισοδυναµίας. Υποθέτουµε τώρα ότι : X X X είναι µια πράξη επί του συνόλου X. Εστω R X X µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου X. Στα επόµενα εδάφια σηµαντικό ϱόλο ϑα παίξουν πράξεις επί συνόλων οι οποίες είναι συµβιβαστές µε µια δοσµένη σχέση ισοδυναµίας µε την έννοια του ακόλουθου ορισµού. Ορισµός 1.14. Η σχέση ισοδυναµίας R είναι συµβιβαστή µε την πράξη αν ισχύει : x, y, z, w X : x R z και y R w = x y R z w Πρόταση 1.15. Εστω : X X X µια πράξη επί του συνόλου X, και έστω R X X µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου X η οποία είναι συµβιβαστή µε την πράξη. 1. Ορίζοντας : X/R X/R X/R, ([x] R, [y] R ) := [x] R [y] R = [x y] R αποκτούµε µια πράξη επί του συνόλου-πηλίκο X/R. 2. Αν η πράξη επί του X είναι προσεταιριστική ή µεταθετική, τότε η πράξη επί του X/R είναι προσεταιριστική ή µεταθετική αντίστοιχα.
208 3. Εστω e X ένα ουδέτερο στοιχείο για την πράξη επί του X. Τότε το [e] R X/R είναι ουδέτερο στοιχείο για την πράξη επί του X/R. 4. Υποθέτουµε ότι η πράξη έχει ένα ουδέτερο στοιχείο e X, και έστω x ένα στοιχείο του X για το οποίο υπάρχει ένα αντίθετο στοιχείο x X. Τότε το στοιχείο [x ] R είναι ένα αντίθετο στοιχείο του [x] R για την πράξη επί του X/R. Απόδειξη. 1. Αρκεί ο ορισµός [x] R [y] R = [x y] R να είναι ανεξάρτητος της επιλογής αντιπροσώπων των κλάσεων ισοδυναµίας. ηλαδή αρκεί να δείξουµε ότι : x, y, z, w X : [x] R = [z] R και [y] R = [w] R = [x y] R = [z w] R Ισοδύναµα αρκεί να δείξουµε ότι x, y, z, w X : x R z και y R w = x y R z w Η τελευταία συνεπαγωγή όµως ισχύει ακριβώς διότι η σχέση R είναι συµβιβαστή µε την πράξη. Τα υπόλοιπα µέρη της Πρότασης προκύπτουν άµεσα από τους ορισµούς και αφήνονται ως άσκηση. Η επαγόµενη πράξη στο σύνολο-πηλίκο X/R µιας συµβιβαστής µε την πράξη σχέσης ισοδυναµίας R επί του X σχηµατικά περιγράφεται µε το ακόλουθο µεταθετικό διάγραµµα X X X π R π R π R X/R X/R X/R δηλαδή : (π R π R ) = π R, όπου η απεικόνιση π R π R ορίζεται ως (π R π R )(x, y) = ([x] R, [y] R ). Φυσικά δεν είναι όλες οι πράξεις σε ένα σύνολο συµβιβαστές µε µια δοσµένη σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου. Ας δούµε ένα παράδειγµα µιας σχέσης ισοδυναµίας R που ορίζεται επί ενός συνόλου X, η οποία δεν είναι συµβιβαστή µε µία από τις πράξεις του συνόλου : Παράδειγµα 1.16. Επί του συνόλου των ακεραίων αριθµών ϑεωρούµε τις γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού : Επιπλέον, ϑεωρούµε την ακόλουθη διαµέριση του Z: + : Z Z Z, (z 1, z 2 ) z 1 + z 2 : Z Z Z, (z 1, z 2 ) z 1 z 2. Z = A B, όπου A = {0, ±1}, B = {±2, ±3, ±4,... }. Η προηγούµενη διαµέριση, χορηγεί τη σχέση ισοδυναµίας R = {(α, β) α, β A} {(γ, δ) γ, δ B}. Η πράξη της πρόσθεσης δεν είναι συµβιβαστή µε τη σχέση R, αφού [0] R = [1] R, ενώ [0] R = [0 + 0] R [2] R = [1 + 1] R. Αλλά η πράξη του πολλαπλασιασµού είναι συµβιβαστή µε τη σχέση R, αφού [0] R = [1] R = [ 1] R, όπως επίσης [±2] R = [±3] R = [±4] R =... και όλα τα δυνατά γινόµενα α β, όπου α, β A ή B αντιστοίχως δίνουν και πάλι στοιχείο από το A ή το B αντιστοίχως. Ισως το πιο χαρακτηριστικό παράδειγµα πράξης η οποία είναι συµβιβαστή µε µια σχέση ισοδυναµίας είναι το ακόλουθο : Παράδειγµα 1.17. Εστω n 1. Στο σύνολο Z ϑεωρούµε τη σχέση R n η οποία ορίζεται ως εξής : a, b Z : a Rn b n a b
209 Τότε η R n είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του Z, και είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι η R n είναι συµβιβαστή µε την πράξη της πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού ακεραίων. Παρατήρηση 1.18. Εστω : X X X µια πράξη επί του συνόλου X, και έστω R X X µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου X η οποία είναι συµβιβαστή µε την πράξη. Τότε η πράξη [x] R [y] R := [x y] R επί του X/R είναι η µοναδική πράξη επί του X/R η οποία ικανοποιεί την παραπάνω σχέση. ηλαδή αν : X/R X/R X/R, ([x] R, [y] R ) := [x] R [y] R είναι µια πράξη επί του X/R για την οποία ισχύει : [x] R [y] R = [x y] R, [x] R, [y] R X/R, τότε : [x] R, [y] R X/R. = : X/R X/R X/R, δηλαδή : [x] R [y] R = [x] R [y] R Το παρακάτω πρόβληµα ϑα αναλυθεί διεξοδικά αργότερα - στην ϑεωρία (κανονικών) υποοµάδων µιας οµάδας : Πρόβληµα 1.19. Εστω : G G G µια πράξη επί του µη κενού συνόλου G. Εστω H G ένα µη-κενό υποσύνολο του G. Αν το Ϲεύγος (G, ) είναι οµάδα, και R H είναι η σχέση τότε : x, y G : x RH y x 1 y H (1) Πότε η σχέση R H είναι σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου G; (2) Αν η σχέση R H είναι σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου G, πότε η R H είναι συµβιβαστή µε την πράξη της G;