Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµοµορφισµοί Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Οµοµορφισµοί Οµάδων Στην παρούσα ενότητα ϑα µελετήσουµε απεικονίσεις µεταξύ οµάδων οι οποίες ϑα µας επιτρέψουν τη σύγκριση και την ταξινόµηση διάφορων κλάσεων οµάδων, ως προς τις δοµικές τους ιδιότητες. Σ αυτό το πλαίσιο, έννοια-κλειδί η οποία υπεισέρχεται είναι η έννοια του οµοµορφισµού Βασικές ιδιότητες και Παραδείγµατα. Αφού ορίσουµε την έννοια του οµοµορφισµού οµάδων, ϑα την αναλύσουµε διαµέσου διάφορων παραδειγµάτων και ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες τις οποίες ικανοποεί ένας οµοµορφισµός οµλαδων. Ορισµός Εστω G και G δύο οµάδες. οµάδων αν : x, y G : Μια απεικόνιση f : G G καλείται οµοµορφισµός f(xy) = f(x)f(y) Ενας ενδοµορφισµός της οµάδας G είναι ένας οµοµορφισµός οµάδων f : G G. Ετσι ένας οµοµορφισµός f : G G στέλνει γινόµενα xy στοιχείων x, y της G σε γινόµενα f(x)f(y) των εικόνων f(x), f(y) των στοιχείων x, y µέσω της f στην G. Σηµειώνουµε ότι, χάριν ευκολίας του συµβολισµού, συµβολίζουµε µε το ίδιο σύµβολο την πράξη στις οµάδες G και G. Γενικά αν είναι η πράξη της G και η πράξη της G, τότε ο Ορισµός 13.1 γράφεται : f(x y) = f(x) f(y). Παράδειγµα Θεωρούµε την προσθετική οµάδα (R, +) των πραγµατικών αριθµών και την πολλαπλασιαστική οµάδα (R +, ) των ϑετικών πραγµατικών αριθµών. Η απεικόνιση f : R R +, f(x) = e x είναι ένας οµοµορφισµός, διότι : f(x + y) = e x+y = e x e y = f(x)f(y) Παρατηρούµε ότι η απεικόνιση f είναι 1-1 και επί και η αντίστροφή της f 1 := g : R + R, g(y) = log e y είναι επίσης οµοµορφισµός, διότι : g(xy) = log e (xy) = log e x + log e y = g(x) + g(y) Πριν περάσουµε σε άλλα παραδείγµατα οµοµορφισµών οµάδων, ϑα δούµε πρώτα τις ϐασικότερες ιδιότητες τι οποίες έχει ένας οµοµορφισµός οµάδων. Πρόταση Εστω f : G G ένας οµοµορφισµός οµάδων. (1) f(e G ) = e G. (2) x G: (3) x 1, x 2,, x n G, n 1: f(x 1 ) = f(x) 1 f(x 1 x 2 x n ) = f(x 1 )f(x 2 ) f(x n ) (4) x G, k Z: f(x k ) = f(x) k

4 288 Απόδειξη. (1) Με χρήση του νόµου διαγραφής ϑα έχουµε : e G f(e G ) = f(e G ) = f(e G e G ) = f(e G )f(e G ) = f(e G ) = e G (2) Εστω x G. Τότε ϑα έχουµε : f(x 1 )f(x) = f(x 1 x) = f(e G ) = e G και f(x)f(x 1 ) = f(xx 1 ) = f(e G ) = e G Οι παραπάνω σχέσεις δείχνουν ότι το στοιχείο f(x 1 ) είναι το αντίστροφο στην G του στοιχείου f(x): f(x 1 ) = f(x) 1 (3) Προκύπτει άµεσα από το ορισµό οµοµορφισµού µε χρήση επαγωγής. (4) Αν k 1, τότε ο ισχυρισµός προκύπτει από το (3). Αν k = 0, τότε ο ισχυρισµός προκύπτει από το (1). Αν k < 0, τότε επειδή f(x k ) = f(x ( k) ) = f((x k ) 1 από το (2), επειδή k > 0, ϑα έχουµε : f(x k ) = f(x ( k) ) = f((x k ) 1 ) = f(x k ) 1 = (f(x) k ) 1 = f(x) ( k) = f(x) k Πρόταση (1) Σύνθεση οµοµορφισµών οµάδων είναι οµοµορφισµός οµάδων. (2) Αν µια 1-1 και επί απεικόνιση f : G G είναι οµοµορφισµός, τότε η αντίστροφή της f 1 είναι οµοµορφισµός. Απόδειξη. (1) Εστω f και g οµοµορφισµοί µεταξύ των οµάδων G 1, G 2 και G 3 : Τότε ϑα έχουµε, x, y G 1 : G 1 f G 2 g G 3 (g f)(xy) = g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) = (g f)(x)(g f)(y) και άρα ή σύνθεση g f είναι οµοµορφισµός οµάδων. (2) Θα δείξουµε ότι, z, w G : f 1 (zw) = f 1 (z)f 1 (w) Εστω f 1 (z) = x, f 1 (w) = y, και f 1 (zw) = t. Τότε f(x) = z, f(y) = w, και f(t) = zw. Επειδή η f είναι οµοµορφισµός και 1-1, ϑα έχουµε : f(xy) = f(x)f(y) = zw = f(t) = xy = t = f 1 (z)f 1 (w) = f 1 (zw) Εποµένως η f 1 είναι οµοµορφισµός. Παράδειγµα (1) Για κάθε οµάδα G, η ταυτοτική απεικόνιση Id G : G G, Id G (x) = x, είναι ένας ενδοµορφιµός της G, ο οποίος καλείται ο ταυτοτικός ενδοµορφισµός της G. (2) Αν G, G είναι οµάδες, τότε η απεικόνιση f : G G, f(x) = e G, x G, είναι προφανώς ένας οµοµορφισµός, ο οποίος καλείται ο τετριµµένος οµοµορφισµός (από την G στην G ). (3) Θεωρούµε την πολλαπλασιαστική οµάδα GL n (K) των αντιστρεψίµων n n πινάκων υπεράνω ενός σώµατος K (= Q, R, C), και έστω K η πολλαπλασιαστική οµάδα των µη-µηδενικών στοιχείων του K. Ορίζουµε απεικόνιση det : GL n (K) K, A det(a) Από γνωστή ιδιότητα των οριζουσών, ϑα έχουµε : det(ab) = det(a)det(b) και άρα η απεικόνιση ορίζουσας det είναι ένας οµοµορφισµός οµάδων. (4) Θεωρούµε την συµµετρική οµάδα S n και την οµάδα Z 2 των ακεραίων modulo 2. Ορίζουµε την απιεκόνιση πρόσηµο µετάθεσης sign n ως εξής : { [0], αν η σ είναι άρτια sign n : S n Z 2, sign n (σ) = [1], αν η σ είναι περιττή. Εστω σ και τ δύο µεταθέσεις.

5 289 (α ) Αν σ και τ είναι άρτιες τότε και η στ είναι άρτια : Αρα : sign n (σ) = [0], sign n (τ) = [0], sign n (στ) = [0] sign n (στ) = [0] = [0] + [0] = sign n (σ) + sign n (τ) (ϐ ) Αν σ και τ είναι περιττές τότε η στ είναι άρτια : Αρα : sign n (σ) = [1], sign n (τ) = [1], sign n (στ) = [0] sign n (στ) = [0] = [1] + [1] = sign n (σ) + sign n (τ) (γ ) Αν η σ είναι άρτια και τ είναι περιττή τότε η στ είναι περιττή : Αρα : sign n (σ) = [0], sign n (τ) = [1], sign n (στ) = [1] sign n (στ) = [1] = [1] + [0] = sign n (σ) + sign n (τ) (δ ) Αν η σ είναι περιττή και η τ είναι άρτια, τότε η στ είναι περιττή : Αρα : sign n (σ) = [0], sign n (τ) = [1], sign n (στ) = [1] sign n (στ) = [1] = [0] + [1] = sign n (σ) + sign n (τ) Αρα σε κάθε π[ερίπτωση ϐλέπουµε ότι, σ, τ S n : sign n (στ) = sign n (σ) + sign n (τ). Αρα η απεικόνιση sign n είναι ένας οµοµορφισµός οµάδων. (5) Εστω n 1, και έστω οι οµάδες (Z n, +) και (Z, +). Ορίζουµε την απεικόνιση ϕυσικής προβολής π : Z Z n, π(m) = [r] n, όπου r = υπόλοιπο διαίρεσης του m µε το n Τότε η απεικόνιση π είναι οµοµορφισµός. Πράγµατικά, έστω m 1, m 2 Z. Τότε από την Ευκλείδεια διαίρεση, ϑα έχουµε : m 1 = nq 1 + r 1, 0 r 1 < n, m 2 = nq 2 + r 2, 0 r 2 < n, m 1 + m 2 = nq 3 + r 3, 0 r 3 < n, Ετσι Οµως π(m 1 ) = r 1, π(m 2 ) = r 2, π(m 1 + m 2 ) = r 3 (nq 1 + r 1 ) + (nq 2 + r 2 ) = m 1 + m 2 = nq 3 + r 3 = ( n(q 1 + q 2 ) + (r 1 + r 2 ) ) = nq 3 + r 3 = r 3 (r 1 + r 2 ) = n(q 1 + q 2 q 3 ) = n r 3 (r 1 + r 2 ) = [r 3 ] n = [r 1 + r 2 ] n = [r 1 ] n + [r 2 ] n Η τελευταία σχέση όµως γράφεται π(m 1 + m 2 ) = π(m 1 ) + π(m 2 ) και άρα η π είναι ένας οµοµορφισµός οµάδων. (6) Εστω G 1 και G 2 δύο οµάδες και ϑεωρούµε την οµάδα ευθύ γινόµενο G 1 G 2. Ορίζουµε τις απεικονίσεις προβολές π 1 και π 2 ως εξής : Τότε : π G 1 π 1 G1 G 2 2 G2, όπου π 1 (g 1, g 2 ) = g 1 και π 2 (g 1, g 2 ) = g 2 π 1 ( (g1, g 2 )(h 1, h 2 ) ) = π 1 (g 1 h 1, g 2 h 2 ) = g 1 h 1 = π 1 (g 1, g 2 )π(g 2, h 2 ) Αρα η π 1 είναι οµοµορφισµός και παρόµοια η π 2 είναι οµοµορφισµός. (7) Εστω G = a µια άπειρη κυκλική οµάδα. Τότε από το Θεώρηµα 5.20 η απεικόνιση είναι ένας οµοµορφισµός οµάδων. f : Z G, f(n) = a n

6 290 (8) Εστω G = a µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα τάξης n. Τότε από το Θεώρηµα 5.20 η απεικόνιση f : Z n G, f([k] n ) = a k είναι ένας οµοµορφισµός οµάδων Οµοµορφισµοί και Υποοµάδες. Στην παρούσα υπο-ενότητα ϑα δούµε ότι οι οµοµορφισµοί ο- µάδων συµπεριφέρονται οµαλά ϐως προς τις υποοµάδες. Πρόταση Εστω f : G G ένας οµοµορφισµός οµάδων. (1) Για κάθε υποοµάδα H της G, το σύνολο f(h) είναι υποοµάδα της G : H G = f(h) G (2) Για κάθε υποοµάδα K της G, το σύνολο f 1 (K) είναι υποοµάδα της G: K G = f 1 (K) G Απόδειξη. (1) Επειδή H G, ϑα έχουµε ότι e G H και άρα από την Πρόταση 13.3 ϑα έχουµε e G = f(e G ) f(h). Εστω z, w f(h). Τότε z = f(x) και w = f(y), όπου x, y H. Επειδή H G, ϑα έχουµε : xy 1 H, και άρα χρησιµοποιώντας την Πρόταση 13.3 ϑα έχουµε : xy 1 H = f(xy 1 ) f(h) = f(x)f(y 1 ) f(h) = f(x)f(y) 1 f(h) = zw 1 H Εποµένως το υποσύνολο f(h) είναι υποοµάδα της G. (2) Επειδή K G, έπεται ότι e G K και άρα επειδή e G = f(e G ), ϑα έχουµε ότι e G f 1 (K). Εστω z, w f 1 (K). Τότε f(z) K και f(w) K. Επειδή K G, ϑα έχουµε f(z)f(w) 1 K. Οµως από την Πρόταση 13.3, ϑα έχουµε : K f(z)f(w) 1 = f(z)f(w 1 ) = f(zw 1 ) = zw 1 f 1 (K) Εποµένως το υποσύνολο f 1 (K) είναι υποοµάδα της G. Επειδή κάθε οµάδα H έχει τουλάχιστον δύο υποοµάδες : την τετριµµένη {e H } και την ίδια την οµάδα H, κάθε οµοµορφισµός οµάδων f : G G ορίζει δύο υποοµάδες : την f 1 ({e G }) G και την f(g) G. Ετσι οδηγούµαστε στον ακόλουθο ορισµό. Ορισµός Εστω f : G G ένας οµοµορφισµός οµάδων. (1) Ο πυρήνας του f είναι το υποσύνολο του συνόλου G το οποίο ορίζεται ως : Ker(f) = { } x G f(x) = e G (2) Η εικόνα του f είναι το υποσύνολο του συνόλου G το οποίο ορίζεται ως : Im(f) = { f(x) G x G } Πόρισµα Εστω f : G G ένας οµοµορφισµός οµάδων. (1) Ο πυρήνας Ker(f) του f είναι µια υποοµάδα της G. (2) Η εικόνα Im(f) του f είναι µια υποοµάδα της G. Απόδειξη. Επειδή Ker(f) = { x G f(x) = e G } = f 1 ({e G }) Im(f) = { f(x) G x G } = f(g) και επειδή {e G } G και G G, οι ισχυρισµοί έπονται άµεσα από την προηγούµενη Πρόταση.

7 291 Ορισµός Εστω f : G G ένας οµοµορφισµός οµάδων. (1) Ο οµοµορφισµός f καλείται µονοµορφισµός αν η απεικόνιση f είναι 1-1. f : G 1 G 2 (2) Ο οµοµορφισµός f καλείται επιµορφισµός αν η απεικόνιση f είναι επί, και τότε συνήθως ϑα γράφουµε : f : G 1 G 2 (3) Ο οµοµορφισµός f καλείται ισοµορφισµός αν η απεικόνιση f είναι 1-1 και επι, και τότε συνήθως ϑα γράφουµε : = f : G 1 G 2 Ενας αυτοµορφισµός της G είναι ένας ισοµορφισµός f : G = G Παράδειγµα Θεωρούµε την πολλαπλασιαστική οµάδα U(Z 12 ) των αντιστρεψίµων στοιχείων του Z 12. Θα δείξουµε ότι υοπάρχει ένας ισοµορφισµός f : U(Z 12 ) = V 4 όπου V 4 = {e, a, b, ab} είναι η (πολλαπλαστική) οµάδα του Klein. Πραγµατικά : γνωρίζουµε ότι η τάξη της U(Z 12 ) είναι ϕ(12) = 4 και µάλιστα : U(Z 12 ) = { [k] Z 12 1 k 12 & (k, 12) = 1 } = { } [1] 12, [5] 12, [7] 11, [11] 12 Τότε ορίζοντας f([1] 12 ) = e, f([5] 12 ) = a, f([7] 12 ) = b, f([11] 12 ) = ab ϐλέπουµε εύκολα ότι η f είναιο οµοµορφισµός, ο οποίος προφανώς είναι 1-1 και επί, άρα είναι ισοµορφισµός οµάδων. Θα κατασκευάσουµε έναν ισοµορφισµό : g : V 4 = Z 2 Z 2 Πράγµατικά ορίζοντας : g(e) = ([0] 2, [0] 2 ), g(a) = ([1] 2, [0] 2 ), g(b) = ([0] 2, [1] 2 ), g(ab) = ([1] 2, [1] 2 ) ϐλέπουµε άµεσα ότι η απεικόνιση g είναι ισοµορφισµός οµάδων. Επειδή η σύνθεση ισοµορφισµών είναι προφανώς ισοµορφισµός, ϑέτοντας h := g f, ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό f : U(Z 12 ) = Z 2 Z 2 Παράδειγµα Εστω G µια οµάδα. Για κάθε x G, ορίζουµε µια απεικόνιση : f x : G G, f x (a) = x 1 ax Τότε η απεικόνιση f x είναι ένας αυτοµορφισµός της G. Πραγµατικά ϑα έχουµε : (1) Η f x είναι οµοµορφισµός, διότι : f x (ab) = x 1 abx = x 1 aebx = x 1 ax 1 xbx = (x 1 ax)(x 1 bx) = f x (a)f x (b)

8 292 (2) Η f x είναι 1-1, διότι : f x (a) = f x (b) = x 1 ax = x 1 bx = ax = bx = a = b και η f x είναι επί, διότι : b G : f x (xbx 1 ) = x 1 (xbx 1 )x = x 1 xbx 1 x = ebe = b Ο αυτοµορφισµός f x, x G, καλείται ο εσωτερικός αυτοµορφισµός τον οποίον ορίζει το στοιχείο x. Ενας αυτοµορφισµός f καλείται εσωτερικός αν και µόνον αν f = f x για κάποιο x G. Ασκηση 288. Εστω G µια οµάδα. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Η G είναι αβελιανή. (2) Η απεικόνιση f : G G, f(x) = x 1 είναι οµοµορφισµός. (3) Η απεικόνιση g : G G, f(x) = x 2 είναι οµοµορφισµός. (4) Η απεικόνιση h: G G G, h(x, y) = xy είναι οµοµορφισµός. Πρόταση Εστω f : G G ένας οµοµορφισµός οµάδων. (1) Ο f είναι µονοµορφισµός αν και µόνον αν Ker(f) = {e G }. (2) Ο f είναι επιµορφισµός αν και µόνον αν Im(f) = G. (3) Ο f είναι ισοµορφισµός αν και µόνον αν υπάρχει οµοµορφισµός g : G G έτσι ώστε : f g = Id G και g f = Id G και τότε : g = f 1 και η f 1 είναι ισοµορφισµός. Απόδειξη. (1) Εστω ότι η f είναι µονοµορφισµός, δηλαδή 1-1, και έστω x Ker(f). Τότε f(x) = e G. Από την Πρόταση 13.3 γνωρίζουµε ότι f(e G ) = e G. Επειδή f(x) = e G = f(e G ) και η f είναι 1-1, έπεται ότι x = e G. Εποµένως Ker(f) {e G }, και άρα Ker(f) = {e G } καθώς πάντα έχουµε e G Ker(f) διότι η Ker(f) G. Αντίστροφα έστω Ker(f) = {e G } και έστω f(x) = f(y). Τότε f(x) = f(y) = f(x)f(y) 1 = e G = f(x)f(y 1 ) = e G = f(xy 1 ) = e G = και εποµένως η f είναι 1-1. xy 1 Ker(f) = {e G } = xy 1 = e G = x = y (2) Προφανώς ϑα έχουµε από τον ορισµό ότι η f είναι επιµορφισµός αν και µονον αν η f είναι επί αν και µόνον αν f(g) = Im(f) = G. (3) Εστω ότι ο οµοµορφισµός f είναι ισοµορφισµός, και άρα η f είναι 1-1 και επί. Τότε από την Πρόταση 13.4(2), έπεται ότι η f 1 είναι οµοµορφισµός και ϑέτοντας g = f 1 ϐλέπουµε ότι ικανοποιούνται οι Ϲητούµενες σχέσεις. Αντίστροφα αν υπάρχει οµοµορφισµός g : G G έτσι ώστε g f = Id G και f g = Id G, τότε ϑα έχουµε : (α) Η f είναι 1-1, διότι αν f(x) = e G, τότε g(f(x)) = g(e G ) = (g f)(x) = e G = Id G (x) = e G = x = e G = Ker(f) = {e G } και από το (1) έπεται ότι η f είναι 1-1. (ϐ) Η f είναι επί, διότι αν y G, τότε επειδή f g = Id G, ϑα έχουµε : y = (f g)(y) = y = f(g(y)), όπου x := g(y) G και f(x) = y και εποµένως η f είναι επί. Από τα (α) και (ϐ) έπεται ότι η f είναι 1-1 και επί, και άρα η f είναι ισοµορφισµός.

9 293 Ασκηση 289. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση είναι ένας ισοµορφισµός. f : Z 16 U(Z 17 ), f([k] 16 ) = [3 k ] 17 Ασκηση 290. Πόσοι οµοµορφισµοι Z 6 S 3 υπάρχουν ; Κλείνουµε την παρούσα υπο-ενότητα µε τη ακόλουθη σηµαντική γενίκευση της Πρότασης 13.6 και η οποία, δοθέντος ενός οµοµορφισµού οµάδων f : G 1 G 2, µας δίνει µια 1-1 και επί αντιστοιχία µεταξύ των υποοµάδων της G 1 οι οποίες περιέχουν τον πυρήνα της f, και των υποοµάδων της G 2 οι οποίες περιέχονται στην εικόνα του f: Θεώρηµα Εστω f : G 1 G 2 ένας οµοµορφισµός οµάδων. Τότε η απεικόνιση Φ : { Υποοµάδες H της G 1 έτσι ώστε : Ker(f) H } { Υποοµάδες K της G 2 έτσι ώστε : K Im(f) } H Φ(H) = f(h) είναι 1-1 και επί, µε αντίστροφη την απεικόνιση : Ψ : { Υποοµάδες K της G 2 έτσι ώστε : K Im(f) } { Υποοµάδες H της G 1 έτσι ώστε : Ker(f) H } K Φ(K) = f 1 (K) Απόδειξη. Αν H G 1, τότε προφανώς f(h) f(g) = Im(f), και αν K Im(f) = f(g), τότε {e G2 } K και άρα Ker(f)f 1 ({e G2 }) f 1 (K) G. Εποµένως από την Πρόταση 13.6 ότι οι απεικονίσεις Φ και Ψ είναι καλά ορισµένες µεταξύ των παραπάνω αναφεροµένων συνόλων υποοµάδων. Μένει να δείξουµε ότι : Ker(f) H G = ΨΦ(H) = H και K Im(f) = ΦΨ(K) = K Με άλλα λόγια αρκεί να δείξουµε ότι : Ker(f) H G = f 1 (f(h)) = H και K Im(f) = f(f 1 (K)) = K Παρατηρούµε ότι, µε τους παραπάνω συµβολισµούς, ϑα έχουµε : (1) Υποθέτουµε ότι : Ker(f) H G. Ker(f) H = Ker(f) H H και Εστω h H. Τότε f(h) f(h) και εποµένως h f 1 (f(h)). Αρα : H f 1 (f(h)). Αντίστροφα, έστω x f 1 (f(h)). Τότε f(x) f(h) και άρα f(x) = f(h), όπου h H. Τότε : f(x) = f(h) = f(x)f(h) 1 = e G = f(x)f(h 1 ) = e G = f(xh 1 ) = e G = xh 1 Ker(f) = x Ker(f)h Ker(f) H H και εποµένως f 1 (f(h)) H. Άρα : (2) Υποθέτουµε ότι K Im(f) = f(g). f 1 (f(h)) = H Εστω y f(f 1 (K)). Τότε y = f(x), όπου x f 1 (K) και εποµένως f(x) K. Τότε y = f(x) K και άρα f(f 1 (K)) K. Αντίστροφα έστω k K f(g). Τότε k = f(x), για κάποιο x G και τότε προφανώς x f 1 (K) διότι f(x) = k K. Άρα k = f(x) f(f 1 (K)) και εποµένως K f(f 1 (K)). Άρα : K = f(f 1 (K))

10 294 Από τα (1) και (2) έπεται ότι ΨΦ(H) = H για κάθε υποοµάδα H της G 1 η οποία περιέχει τον πυρήνα της G και ΦΨ(K) = K, για κάθε υποοµάδα K της G 2 η οποία περιέχεται στην εικόνα της f. Εποµένως η απεικόνιση Φ είναι 1-1 και επί και η Ψ είναι η αντίστροφή της οµικές Ιδιότητες Οµάδων - Κριτήρια (Μη)-Ισοµορφίας. Στην παρούσα υπο-ενότητα ϑα δούµε εν συντοµία κάποιες ιδιότητες οι οποίες είναι κοινές για οµάδες οι οποίες είναι ισόµορφες. Πρόταση Θεωρούµε την ακόλουθη σχέση ισοµορφίας στην συλλογή Grp όλων των οµάδων : G 1, G 2 Grp : G 1 = G2 υπάρχει ένας ισοµορφισµός f : G 1 G 2 Τότε η σχέση = είναι µια σχέση ισοδυναµίας επι της συλλογής Grp. Απόδειξη. (1) Η σχέση = είναι ανακλαστική, δηλαδή G = G για κάθε οµάδα G, διότι η ταυτοτική απεικόνιση Id G : G G είναι πάντα ισοµορφισµός. (2) Εστω G 1 = G2, και έστω f : G 1 G 2 ένας ισοµορφισµός. Τότε από την Πρόταση 13.10, η αντίστροφη f 1 : G 2 G 1 της f είναι ισοµορφισµός και άρα : G 2 = G1. Άρα η σχέση = είναι συµµετρική. (3) Εστω τώρα G 1 = G2 και G 2 = G3. Τότε υπάρχουν ισοµορφισµοί οµάδων f : G 1 G 2 και g : G 2 G 3. Από την Πρόταση 13.4 έπεται άµεσα ότι η σύνθεση g f : G 1 G 3 είναι ισοµορ- ϕισµός και εποµένως ϑα έχουµε G 1 = G3. Άρα η σχέση = είναι µεταβατική. Άρα η σχέση = είναι µια σχέση ισοδυναµίας. Από την παραπάνω Πρόταση έπεται ότι η σχέση ισοδυναµίας = επί της συλλογής Grp όλων των οµάδων, επάγει µια διαµέριση της συλλογής Grp: Grp/ = = { [G] = Grp G Grp } όπου για κάθε οµάδα G, η κλάση ισοδυναµίας της G ως προς την = : [G] = = { G Grp G } = G καλείται κλάση ισοµορφίας της οµάδας G. Εποµένως η κλάση ισοδυναµίας [G] = µιας οµάδας G, αποτελείται από όλες τις οµάδες G οι οποίες είναι ισόµορφες µε την G, και όπως ϑα δούµε αργότερα όλες αυτές οι οµάδες έχουν τις ίδιες δοµικές ιδιότητες, δηλαδή τις ίδιες ιδιότητες οι οποίες απορρέουν από τα αξιώµατα µιας οµάδας. Γι αυτόν τον λόγο ισόµορφες οµάδες ϑα ϑεωρούνται ότι είναι ίδιες και ϑα τις ταυτίζουµε, µέσω κάποιου ισοµορφισµού. Εστω G µια οµάδα, και έστω [G] = = { G Grp G = G } η κλάση ισοµορφίας της G ως προς τη σχέση = ισοµορφίας. Ορισµός Μια ιδιότητα (P ) η οποία αφορά µια οµάδα καλείται δοµική ιδιότητα οµάδας αν και µόνον αν : µια οµάδα G ικανοποιεί την ιδιότητα (P ) κάθε οµάδα G [G] = ικανοποιεί την ιδιότητα (P ) ηλαδή µια ιδιότητα η οποία αφορά οµάδες είναι δοµική ιδιότητα αν και µόνον αν : η ιδιότητα ισχύει σε µια οµάδα G αν και µόνον αν ισχύει σε κάθε οµάδα η οποία είναι ισόµορφη µε την G. Παράδειγµα Οι επόµενες ιδιότητες είναι δοµικές ιδιότητες οµάδας : (1) Η τάξη µιας οµάδας : αν G είναι µια οµάδα µε o(g) = n (< ή = ) τότε προφανώς κάθε οµάδα G η οποία είναι ισόµορφη µε την G έχει τάξη o(g ) = o(g).

11 295 (2) Η ιδιότητα µιας οµάδας να είνα αβελιανή : αν G είναι µια αβελιανή οµάδα τότε προφανώς κάθε οµάδα G η οποία είναι ισόµορφη µε την G είναι αβελιανή. (3) Η ιδιότητα µιας οµάδας να είνα κυκλική : αν G είναι µια κυκλική οµάδα τότε προφανώς κάθε οµάδα G η οποία είναι ισόµορφη µε την G µέσω ενός ισοµορφισµού f, είναι κυκλική, διότι αν G = a, τότε G = f(a). (4) Η ιδιότητα µια οµάδα να έχει στοιχεία πεπερασµένης ή άπειρης τάξης. (5) Η ιδιότητα ότι το πλήθος των υποοµάδων µιας οµάδας G να είναι κάποιος αριθµός (πεπερασµένος ή άπειρος) µεταφέρεται σε κάθε οµάδα ισόµορφη µε την G. (6) Οπως ϑα δούµε στην επόµενη ενότητα 14, αν περιορισθούµε σε κυκλικές οµάδες, τότε η τάξη µιας κυκλικής οµάδας προσδιορίζει την κλάση ισοµορφίας της. (7) Η ιδιότητα ότι όλες οι υποοµάδες µιας οµάδας G να είναι αβελιανές, κυκλικές, κανονικές, κτλ, µεταφέρεται σε κάθε ισόµορφη µε την G οµάδα. Εποµένως αν µια οµάδα G ικανοποιεί µια δοµική ιδιότητα οµάδας (P ) και µια οµάδα H δεν ικανοποιεί την (P ), τότε οι οµάδες G και H δεν είναι ισόµορφες. Για παράδειγµα η προσθετική οµάδα (R, +) και η πολλαπλασιαστική οµάδα (R, ) δεν είναι ισόµορφες, διότι η οµάδα R έχει ένα στοιχείο τάξης 2, το 1, και η R δεν έχει κανένα στοιχείο πεπερασµένης τάξης εκτός του ταυτοτικού. Ασκηση 291. Θεωρούµε το σύνολο { ( ) } G = a b 0 c M3 3 (Z 3 ) a c = 1 στο Z 3 (1) Να δείξετε ότι το σύνολο G εφοδιασµένο µε την συνήθη πολλαπλασιασµό πινάκων αποτελεί οµάδα. (2) Να δείξετε ότι η οµάδα G είναι κυκλική τάξης 6. (3) Να ϐρεθεί µια υποοµάδα H της G τάξης 3 και να υπολογισθεί η οµάδα πηλίκο G/H. (4) Να ϐρεθεί µια υποοµάδα K της G τάξης 2 και να υπολογισθεί η οµάδα πηλίκο G/K.

12 Οµοµορφισµοί και Κανονικές Υποοµάδες. Υπάρχει µια άµεση σχέση µεταξύ κανονικών υποοµάδων µιας οµάδας G και οµοµορφισµών οµάδων που εκκινούν από την G. Στην παρούσα ενότητα ϑα αναλύσουµε αυτή τη σχέση. Θα δούµε τώρα µια σηµαντική ιδιότητα την οποία έχει ο πυρήνας ενός οµοµορφισµού. Πρόταση Εστω f : G G ένας οµοµορφισµός οµάδων. Τότε ο πυρήνας Ker(f) είναι µια κανονική υποοµάδα της G: Ker(f) G δηλαδή g G : g Ker(f) = Ker(f)g Απόδειξη. Θέτουµε για ευκολία : H := Ker(f) και ϑα δείξουµε ότι : gh = f 1( {f(g)} ) = { x G f(x) = f(g) } = Hg, g G Θα έχουµε : x f 1( {f(g)} ) = f(x) = f(g) = f(g) 1 f(x) = e G = f(g 1 x) = e G = g 1 x H = Ker(f) = x gh = f 1( {f(g)} ) gh ( ) Αντίστροφα : y gh = y = gh, όπου h H = f(y) = f(gh) = f(g)f(h) = f(g)e G = f(g) = y f 1( {f(g)} ) = gh f 1( {f(g)} ) ( ) Από τις σχέσεις ( ) και ( ), έπεται ότι gh = f 1( {f(g)} ) και παρόµοια f 1( {f(g)} ) = Hg Εποµένως ϑα έχουµε : g G : g Ker(f) = Ker(f)g = f 1( {f(g)} ) και άρα από την Πρόταση 10.4, έπεται ότι ο πυρήνας Ker(f) είναι κανονική υποοµάδα της G. Η παραπάνω Πρόταση πιστοποιεί ότι ο πυρήνας ενός οµοµορφισµού είναι κανονική υποοµάδα. Φυσιολογικά τίθεται το ερώτηµα αν, αντίστροφα, κάθε κανονική υποοµάδα είναι πυρήνας ενός οµοµορφισµού. Η ακόλουθη Πρόταση δίνει καταφατική απάντηση στο παραπάνω ερώτηµα. Πρόταση Εστω H G µια κανονική υποοµάδα της οµάδας G, και έστω G/H η επαγόµενη οµάδα-πηλίκο. (1) Η απεικόνιση προβολής (2) π H : G G/H, είναι ένας επιµορφισµός οµάδων. H = Ker(π H ) π H (x) = [x] H = xh Απόδειξη. (1) Επειδή η H είναι κανονική υποοµάδα της G, γνωρίζουµε ότι ο πολλαπλασιασµός στο σύνολο-πηλίκο G/H ικανοποιεί τη σχέση [x] H [y] H = [xy] H. Εποµένως ϑα έχουµε : π H (xy) = [xy] H = (xy)h = (xh)(yh) = [x] H [y] H = π H (x)π H (y) και άρα η π H είναι οµοµορφισµός, και προφανής η π H είναι επιµορφισµός. (2) Θα έχουµε : Ker(π H ) = { x G π H (x) = e G/H } = { x G xh = eg H } = { x G x H } = H

13 297 Παρατήρηση Θα δούµε στην ενότητα 15 ότι «µέχρι ισοµορφισµό» η αντιστοιχία Φ : { κανονικές υποοµάδες H της G } { επιµορφισµοί f : G G }, Φ(H) = π H : G G/H είναι 1-1 και επί, µε αντίστροφη την αντιστοιχία { Ψ : επιµορφισµοί f : G G } { κανονικές υποοµάδες H της G }, Ψ(f) = Ker(f) Εποµένως υπό αυτή την οπτική γωνία, κανονικές υποοµάδες της G και επιµορφισµοί οι οποίοι εκκινούν από την G είναι ισοδύναµες έννοιες. Ηδη έχουµε δείξει στην Πρόταση 13.13, ότι για κάθε κανονική υποοµάδα H G ισχύει H = Ker π H το οποίο σηµαίνει ότι : H G : ΦΨ(H) = H Ετσι µένει να δείξουµε ότι : για κάθε επιµορφισµό οµάδων f : G G, ο επιµορφισµός f είναι «ισόµορφος» µε τον κανονικό επιµορφισµό π H : G G/H, όπου H := Ker(f). Ιδιαίτερα πρέπει να δείξουµε ότι ο επιµορφισµός f επάγει έναν ισοµορφισµό = f : G/ Ker(f) G Αυτό είναι αντικείµενο του Πρώτου Θεωρήµατος Ισοµορφισµών που ϑα δούµε στην µεθεπόµενη ενότητα Το Θεώρηµα του Cayley. Υοπενθυµίζουµε ότι για κάθε µη-κενό σύνολο A, το σύνολο S(A) = { σ : A A σ : } 1-1 και επί των 1-1 και επί απεικονίσεων από το σύνολο A στον εαυτό του αποτελεί µια οµάδα µε πράξη τη σύνθεση απεικονίσεων. Η οµάδα S(A) καλείται η συµµετρική οµάδα επί του συνόλου A. Αν A = {1, 2,, n}, τότε S(A) = S({1, 2,, n}) = S n είναι η n-οστή συµµετρική οµάδα. Πρόταση Εστω A και B δύο µη-κενά σύνολα. Αν τα σύνολα A και B έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων, τότε οι συµµετρικές οµάδες S(A) και S(B) είναι ισόµορφες : A = B = S(A) = S(B) Απόδειξη. Επειδή τα σύνολα A και B έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων, έπεται ότι υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση ϕ : A B Ορίζουµε µια απεικόνιση : ϕ : S(A) S(B), ϕ(σ) = ϕ σ ϕ 1 Θα δείξουµε ότι η ϕ είναι ισοµορφισµός οµάδων, δηλαδή : 1-1, επί, και οµοµορφισµός. (1) 1-1: Εστω σ, τ S(A), τότε : ϕ(σ) = ϕ(τ) = ϕ σ ϕ 1 = ϕ τ ϕ 1 = σ ϕ 1 = τ ϕ 1 = σ = τ (2) Επί: Εστω ρ S(B). Τότε : σ := ϕ 1 ρ ϕ S(A) και ϕ(σ) = ϕ σ ϕ 1 = ϕ (ϕ 1 ρ ϕ) ϕ 1 = ρ (3) Οµοµορφισµός: Εστω σ, τ S(A), τότε : ϕ(σ τ) = ϕ σ τ ϕ 1 = ϕ σ Id A τ ϕ 1 = ϕ σ ϕ 1 ϕ τ ϕ 1 = ϕ(σ) ϕ(τ)

14 298 Παρατήρηση Αντίστροφα αν A και B είναι δύο µη-κενά σύνολα µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων, και οι συµµετρικές οµάδες S(A) και S(B) είναι ισόµορφές, τότε A = B. Πραγµατικά, έστω A = n και B = m. Αν n m, τότε χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, έστω n < m. Τότε επειδή S(A) = S(B), ϑα έχουµε o(s(a)) = o(s(b)), και άρα n! = m!. Οµως : m! = n (n+ 1) m = n! (n + 1) m το οποίο είναι άτοπο διότι n! = m!. Αρα n = m και εποµένως : A = B. Το ακόλουθο σηµαντικό Θεώρηµα, το οποίο οφείλεται στον Cayley, πιστοποιεί ότι κάθε οµάδα G είναι ισόµορφη µε µια οµάδα µεταθέσεων, δηλαδή µε µια υποοµάδα µιας συµµετρικής οµάδας. Με ϐάση το Θεώρηµα του Cayley, η Θεωρία οµάδων ανάγεται τυπικά στην Θεωρία συµµετρικών οµάδων και των υποοµάδων τους. Θεώρηµα (Θεώρηµα Cayley) Εστω G µια οµάδα. Τότε υπάρχει ένας µονοµορφισµός οµάδων L G : G S(G) Εποµένως η G είναι ισόµορφη µε την υποοµάδα Im(L G ) S(G): L G : G = Im(L G ) S(G) Απόδειξη. Θεωρούµε απεικόνιση L G : G S(G), L G (g) = l g όπου l g : G G, l g (x) = gx Θα δείξουµε τον ισχυρισµό της εκφώνησης σε µια σειρά ϐηµάτων : (1) Για κάθε g G, η απεικόνιση l g : G G είναι 1-1 και επί, δηλαδή είναι µια µετάθεση του συνόλου G: g G : L G (g) = l g S(G) Πράγµατι ϑα έχουµε : l g (x) = l g (y) = gx = gy = x = y = l g : 1-1 y G : l g (g 1 y) = g(g 1 y) = gg 1 y = e G y = y = l g : επί Εποµένως πράγµατι η απεικόνιση L G στέλνει την G στην οµάδα µετυαθέσεων S(G). (2) Η απεικόνιση L G : G S(G) είναι οµοµορφισµός οµάδων. Πράγµατι, ϑα έχουµε : L G (g 1 g 2 ) = l g1 g 2 και L G (g 1 ) L G (g 2 ) = l g1 l g2 Ετσι πρέπει να δείξουµε ότι οι απεικονίσεις l g1 g 2 και l g1 l g2 είναι ίσες. Θα έχουµε : ( ) ( lg1 l g2 (x) = lg1 lg2 (x) ) = l g1 (g 2 x) = g 1 (g 2 x) = (g 1 g 2 )x = l g1 g 2 (x) Αρα l g1 g 2 = l g1 l g2 και άρα L G (g 1 g 2 ) = l g1 g 2 = l g1 l g2 = L G (g 1 ) L G (g 2 ) δηλαδή η απεικόνιση L G είναι οµοµορφισµός οµάδων. (3) Η απεικόνιση L G : G S(G) είναι µονοµορφισµός. Πράγµατι, ϑα έχουµε : Ker(L G ) = { } { } g G L G (g) = Id G = g G lg = Id G = = { g G l g (x) = Id(x), x G } = { g G gx = x, x G } = {e G } Εποµένως, σύµφωνα µε την Πρόταση 13.13, η απεικόνιση L G είναι µονοµορφισµός οµάδων.

15 299 (4) Θέτοντας G = { l g S(G) g G } = Im(L G ) S(G) έχουµε έναν ισοµορφισµό G = G S(G). Πράγµατι, επειδή η απεικόνιση L G : G S(G) είναι οµοµορφισµός και 1-1, έπεται ότι ϑα επάγει µια 1-1 και επί απεικόνιση L G : G Im(L G ), L G (g) = l g η οποία προφανώς είναι οµοµορφισµός, και άρα ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό L G : G = Im(LG ) S(G) όπου Im(L G ) είναι η ακόλουθη υποοµάδα της S(G): Im(L G ) = { L G (g) S(G) g G } = { l g S(G) g G } S(G) Μπορούµε να ϑεωρήσουµε και την απεικόνιση R G : G S(G), R G (g) = r g όπου r g : G G, r g (x) = xg Ακριβώς µε τον ίδιο τρόπο όπως στο Θεώρηµα 13.23, αποδεικνύεται ότι υπάρχει µια 1-1 απεικόνιση R G : G S(G) η οποία όµως δεν είναι µονοµορφισµός οµάδων διότι εύκολα ϐλέπουµε ότι ισχύει : R g1 g 2 = R g2 R g1 και όχι R g1 g 2 = R g1 R g2 ιορθώνουµε το πρόβληµα ως εξής : Εστω η απεικόνιση op : G G G, x x op y = yx Τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι το Ϲεύγος (G, op ) είναι µια οµάδα, η οποία καλείται η αντίθετη οµάδα της G, και συµβολίζεται µε G op. Τότε προφανώς ϑα έχουµε έναν µονοµορφισµό R G : G op S(G) και η G op είναι ισόµορφη µε την υποοµάδα Im(R G ) S(G): R G : G op = Im(R G ) S(G) Θα λέµε ότι η G είναι αντι-ισόµορφη µε την υποοµάδα Im(R G ) της S(G). Εναλλακτικά για να αποφύγουµε το πρόβληµα, ορίζουµε µια απεικόνιση R G : G S(G), R G (g) = r g όπου r g : G G, r g (x) = xg 1 Ακριβώς µε τον ίδιο τρόπο όπως στο Θεώρηµα 13.23, αποδεικνύεται ότι η R G είναι µια 1-1 απεικόνιση R G : G S(G) η οποία είναι µονοµορφισµός οµάδων διότι εύκολα ϐλέπουµε ότι ισχύει : R g1 g 2 = R g1 R g2 Ετσι µε ϐάση την παραπάνω συζήτηση, δίνουµε τον ακόλουθο ορισµό :

16 300 Ορισµός Εστω G µια οµάδα. (1) Ο µονοµορφισµός L G : G S(G), g L G = l g, και l g (x) = gx καλείται η αριστερή κανονική αναπαράσταση της G. (2) Ο µονοµορφισµός R G : G S(G), g R G = r g, και r g (x) = xg 1 καλείται η δεξιά κανονική αναπαράσταση της G. Πόρισµα Εστω G µια πεπερασµένη οµάδα τάξης o(g) = n. (1) Η αριστερή κανονική αναπαράσταση L G της G ορίζει έναν µονοµορφισµό L G : G S n, g L G = l g, και l g (x) = gx και άρα κάθε πεπερασµένη οµάδα τάξης n είναι ισόµορφη µε την υποοµάδα Im(L G ) της S n. (2) Η δεξιά κανονική αναπαράσταση R G της G ορίζει έναν µονοµορφισµό R G : G S n, g R G = r g, και r g (x) = xg 1 και άρα κάθε πεπερασµένη οµάδα τάξης n είναι ισόµορφη µε την υποοµάδα Im(R G ) της S n. Παράδειγµα Θα υπολογίσουµε την αριστερή κανονική αναπαράσταση της κυκλικής οµάδας G τάξης 3: G = { e, a, b } = { e, a, a 2} = a Επειδή o(g) = 3, έπεται ότι η G ϑα είναι ισόµορφη µε την υποοµάδα Im(L G ) της S 3, και ϑα έχουµε : Im(L G ) = { l e, l a, l b } S3 Οι πίνακες Cayley του πολλαπλασιασµού των οµάδων G και Im(L G ) είναι : G = { e, a, b } : e a b e e a b a a b e b b e a Θα προσδιορίσουµε τις µεταθέσεις l e, l a, l b : (1) Η µετάθεση Αρα : l e : G G, και Im L G = l e, l a, l b : l e l e l a l b l a l a l b l e { } l e l a l b l b l b l e l a l e (x) = ex l e (e) = ee = e 2 = e, l e (a) = ea = a, l e (b) = e = b Εποµένως η απεικόνιση l e είναι η ταυτοτική µετάθεση του συνόλου G = {e, a, b}: ( ) e a b l e = e a b (2) Η µετάθεση Αρα : l a : G G, l a (x) = ax l a (e) = ae = a, l a (a) = aa = a 2 = b, l a (b) = ab = e Εποµένως η απεικόνιση l a είναι η ακόλουθη µετάθεση του συνόλου G = {e, a, b}: ( ) e a b l a = = (e a b) a b e

17 301 (3) Η µετάθεση Αρα : l b : G G, l b (x) = bx l b (e) = be = b, l b (a) = ba = e, l b (b) = bb = b 2 = a Εποµένως η απεικόνιση l a είναι η ακόλουθη µετάθεση του συνόλου G = {e, a, b}: ( ) e a b l b = = (e b a) b e a Εποµένως η G είναι ισόµορφη µε τη ακόλουθη οµάδα µεταθέσεων (υποοµάδα της S(G)): Im(L G ) = { (e), (eab), (eba) } Χρησιµοποιώντας την 1-1 και επί απεικόνιση G = {e, a, b} {1, 2, 3}, όπου e 1, a 2, b 3, από την Πρόταση 13.22, ϑα έχουµε ότι η S(G) είναι ισόµορφη µε την S 3. Εποµένως η G είναι ισόµορφη µε τη ακόλουθη οµάδα µεταθέσεων (υποοµάδα της S 3 ): Im(L G ) = { (e), (123), (132) } η οποία συµπίπτει µε την εναλλάσσουσα οµάδα A 3. Αρα : L G : G = A 3 S 3 Παρόµοια δουλεύουµε για την εύρεση της δεξιάς κανονικής αναπαράστασης της G. Ασκηση 292. Να υπολογισθεί η αριστερή κανονική αναπαράσταση της οµάδας του Klein V 4. Κλείνουµε την παρούσα ενότητα µε το ακόλουθο, σηµαντικό απο ϑεωρητικής πλευράς, αποτέλεσµα. Θεώρηµα Για κάθε n 1, το πλήθος των κλάσεων ισοµορφίας των πεπερασµένων οµάδων τάξης n είναι πεπερασµένο. Απόδειξη. Από το Θεώρηµα του Cayley έπεται ότι κάθε οµάδα G τάξης n είναι ισόµορφη µε µια υποο- µάδα της συµµετρικης οµάδας S n. Επειδή η S n είναι µια πεπερασµένη οµάδα (τάξης n!), έπεται ότι το σύνολο των υποοµάδων της είναι πεπερασµένο. Συµπεραίνουµε ότι το πλήθος των κλάσεων ισοµορφίας των οµάδων τάξης n είναι ίσο µε το σύνολο των υποοµάδων της S n και εποµένως είναι πεπερασµένο.

18 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

19 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης «Αλγεβρικές Δομές Ι». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]