ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m 0.25 Kg κινείται στο επίπεδο xy, με τις εξισώσεις κίνησης να είναι x 4t 2 + 2 και y 6t + 1, σε μέτρα. α) να βρείτε συναρτήσει του χρόνου το διάνυσμα θέσης, r (t), και την ταχύτητα, υ (t) (0.5 μονάδα) β) να βρείτε σε συνάρτηση του χρόνου την επιτάχυνση α (t), και τη δύναμη F (t). (0.5 μονάδα) γ) να βρείτε το έργο που παράγεται στο χρονικό διάστημα από 0 ως 1. (0.5 μονάδα) δ) να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας τη χρονική στιγμή t 1, από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας. Το αποτέλεσμα συμφωνεί με εκείνο του ερωτήματος α; (0.5 μονάδα) ε) να υπολογίσετε τη συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας του σώματος, U, αν στην αρχή των αξόνων ισχύει ότι U(0) 0. (1 μονάδα) α) Από την εκφώνηση: r (t) (4t 2 + 2, 6t + 1) m (1) Επίσης, υ x (t) dx dt 8t m υ y (t) dy dt 6 m Δηλαδή: υ (t) (8t, 6) m (2) β) Ισχύει: α dυ dt α (8,0) m (3) F mα F (2,0)N (4) γ) Με βάση τη σχέση (4) το ζητούμενο έργο θα είναι: r (1) x(1) W F dr Fdx 2 N(x(1) x(0)) 2 N(6 2)m 8 J r (0) x(0) δ) Το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας δίνει (από τη σχέση (2) υ 0 6 m ):
W 1 2 mυ(1)2 1 2 mυ(0)2 1 2 mυ(1)2 W + 1 2 mυ(0)2 υ(1) 2 2W + mυ(0)2 m 16 J + 0.25 36 J 0.25 Kg Από τη σχέση (2) του ερωτήματος β) έχουμε: 100 m2 υ(1) 10 m υ (1) (8, 6) m υ(1) 64 + 36 m 10 m ε) Για να υπολογίσουμε τη δυναμική ενέργεια χρησιμοποιούμε τη σχέση: F du dx U du Fdx du Fdx U U 0 2x U(x) 2x + U 0 U 0 0 y Σύμφωνα με την εκφώνηση, στην αρχή των αξόνων ισχύει ότι U(0) 0, οπότε η σταθερά U 0 είναι μηδενική και τελικά: U(x) 2x ΑΣΚΗΣΗ 2 R O Mg F Τροχός, ακτίνας R και μάζας m, βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το σημείο επαφής του τροχού με το επίπεδο είναι το Α. Στον τροχό, ασκείται εξωτερικό φορτίο μάζας Μ, όπως στο διπλανό σχήμα. Η διεύθυνση του διανύσματος του βάρους του εξωτερικού φορτίου διέρχεται από το σημείο Ο. Για να μετακινηθεί ο τροχός με το φορτίο, εξασκούμε εξωτερική σταθερή και οριζόντια δύναμη F, με σημείο εφαρμογής το κέντρο μάζας του τροχού, Ο. Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς το κέντρο μάζας του είναι I Ο 1 2 mr2. Θεωρείστε ότι ο τροχός εκτελεί κίνηση κύλισης στο οριζόντιο επίπεδο. α) Να δώσετε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος του τροχού. β) Να γράψετε τις εξισώσεις της δυναμικής για τη μεταφορική και την περιστροφική κίνηση. γ) Να δώσετε τη διανυσματική εξίσωση που συνδέει τις ταχύτητες των σημείων Α και Ο. Στη συνέχεια, να ορίσετε πλήρως το διάνυσμα υ Ο. δ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του τροχού. Υποδείξεις: 1) θεωρείστε ότι το εξωτερικό βάρος έχει σημείο εφαρμογής το Ο, 2) η κύλιση μπορεί να θεωρηθεί ως περιστροφή γύρω από σταθερό άξονα, κάθετο στη σελίδα, που περνά από το σημείο επαφής Α. 3) Η ταχύτητα και η γωνιακή ταχύτητα στην κυκλική κίνηση συνδέονται με τη σχέση υ ω R, όπου R το διάνυσμα που συνδέει το κέντρο της κυκλικής τροχιάς με το σημείο στο οποίο υπολογίζουμε το υ. α) το διάγραμμα ελεύθερου σώματος του τροχού δίνεται στο σχήμα:
Mg O mg N F Οι επιπλέον δυνάμεις που εμφανίζονται είναι το βάρος του τροχού, mg, η στατική τριβή, Τ, και η κάθετη αντίδραση από το οριζόντιο επίπεδο, Ν. β) Οι εξισώσεις της δυναμικής είναι: Μεταφορική κίνηση: T F T (M + m)α (1) Ν (Μ + m)g (2) Περιστροφική κίνηση (οι ροπές υπολογίζονται ως προς Ο, οπότε συνεισφέρει μόνο η στατική τριβή, αφού τα βάρη και η κάθετη αντίδραση έχουν την ίδια διεύθυνση και ισχύει η σχέση (2)): τ Ο ΟΑ T R T k (3) όπου k μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στη σελίδα με φορά προς το εσωτερικό της. Επομένως, η εξίσωση της δυναμικής είναι: τ Ο Ι Ο α γ R T k Ι Ο α γ (4) γ) Με βάση τις υποδείξεις, αφού η κύλιση μπορεί να θεωρηθεί ως περιστροφή γύρω από σταθερό άξονα, κάθετο στη σελίδα, που περνά από το σημείο επαφής Α, θα ισχύει: υ 0 υ Α + ω ΑΟ και με δεδομένο ότι ο άξονας είναι σταθερός, υ Α 0, οδηγούμαστε στη συνθήκη κύλισης: υ 0 ω ΑΟ υ Ο ω R x όπου x μοναδιαίο διάνυσμα οριζόντιας διεύθυνσης με φορά προς τα δεξιά, αφού ω ωk. δ) Η στατική τριβή υπολογίζεται από τη σχέση (4) α R T Ι Ο α γ Ι Ο R T 1 α ma 2 mr2 T R2 2 και αντικαθιστώντας στη σχέση (1) λαμβάνουμε για την επιτάχυνση:
F ma 2 (M + m)α α F M + 3m 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 Οι τροχοί Α και Β με ακτίνες R 1 2m και R 2 4m, αντίστοιχα, συνδέονται με ιμάντα όπως στο σχήμα, ο οποίος δεν ολισθαίνει. Ο τροχός Α έχει ροπή αδράνειας Ι Α 200 Kg m 2 και περιστρέφεται μέσω ηλεκτροκινητήρα σταθερής ροπής τ 2000Nm. Θεωρούμε ότι όλη η ισχύς του ηλεκτροκινητήρα αποδίδεται στον τροχό Α και ότι αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο. R 1 R 2 B α) να βρείτε το έργο που παράγεται από τον τροχό Α σε χρόνο μιας περιόδου. (0.5 μονάδα) β) να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση των δύο τροχών. (1 μονάδα) γ) να βρείτε το χρόνο που χρειάζεται ο τροχός Β να φθάσει σε γωνιακή ταχύτητα ίση με 20 rad. Πόση είναι την ίδια χρονική στιγμή η γωνιακή ταχύτητα του τροχού Α; (0.5 μονάδα) δ) να προσδιορίσετε πλήρως το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας, μέτρο διεύθυνση και φορά, για τους δύο τροχούς τη χρονική στιγμή t 1. Επιλέξτε αυθαίρετα τη φορά περιστροφής του συστήματος. (1 μονάδα) Υπόδειξη: 1) Έργο στην περιστροφή: W τdθ, 2) Δεδομένου ότι ο ιμάντας δεν ολισθαίνει, τα γραμμικά μεγέθη στα σημεία της περιφέρειας των τροχών έχουν κοινή τιμή. α) Το έργο για σταθερή ροπή δίνεται από την εξίσωση: W τ Δθ και σε χρόνο μιας περιόδου Δθ 2π rad. Επομένως: W 2000Nm 2π 4000π J β) Από τη σχέση τ Ια γ βρίσκουμε ότι για τον τροχό Α: α γ1 τ Ι 2000Nm rad 10 200 Kg m2 Δεδομένου ότι ο ιμάντας δεν ολισθαίνει, οι γραμμικές ταχύτητες και οι επιταχύνσεις στα σημεία της περιφέρειας των τροχών είναι ίσες. Επομένως: α γ1 R 1 α γ2 R 2 α γ2 α γ1r 1 R 2 10 rad 2m 4m 5 rad
γ) Για τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β έχουμε ότι: Για τις γωνιακές ταχύτητες ισχύει: δ) Για t 1 έχουμε: ω 2 α γ2 t t ω 2 α γ2 20 ω 1 R 1 ω 2 R 2 ω 1 ω 2R 2 R 1 20 rad 5 rad 4 rad 4 m 2 m ω 1 α γ1 t 10 rad rad 1 10 2 ω 2 α γ2 t 5 rad 1 5 rad 40 rad Επιλέγοντας φορά περιστροφής κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού τα αντίστοιχα διανύσματα έχουν διεύθυνση κάθετη στη σελίδα με φορά προς το εσωτερικό της.