Εργαστήριο Τεχνικής Θερμοδυναμικής Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Πατρών Πειραματική Ρευστοδυναμική Σφάλματα και Αβεβαιότητα Μετρήσεων Αλέξανδρος Γ. Ρωμαίος Χειμερινό Εξάμηνο 2018 2019
Από το σφάλμα στην αβεβαιότητα Η έννοια της αβεβαιότητας είναι σχετικά πρόσφατη στην ιστορία της μετρολογίας, αντίθετα με την έννοια του σφάλματος η οποία χρησιμοποιήθηκε επί μακρόν για να χαρακτηρίσει την απόκλιση μιας μέτρησης από την αληθή τιμή του μετρούμενου μεγέθους. Σύμφωνα με τον VIM (International vocabulary of basic and general terms in metrology, 1993), το σφάλμα ορίζεται ως: η διαφορά ανάμεσα στο αποτέλεσμα μιας μέτρησης και μια αληθή τιμή του μετρούμενου μεγέθους Γενικά, το σφάλμα είναι μια εξ ορισμού μη προσδιορίσιμη αφηρημένη έννοια που αντιπροσωπεύει τη διαφορά ανάμεσα στη μετρούμενη και την αληθή αλλά άγνωστη τιμή ενός μεγέθους. Πρέπει επομένως να διαφοροποιείται προσεκτικά από την αβεβαιότητα, η οποία αποτελεί ένα ποσοτικό μέτρο της ποιότητας των γνώσεων που διαθέτουμε για το μετρούμενο μέγεθος. 2
Από το σφάλμα στην αβεβαιότητα Η αβεβαιότητα είναι μια παράμετρος, η οποία συσχετίζεται με το αποτέλεσμα της μέτρησης μιας φυσικής ποσότητας, και η οποία χαρακτηρίζει την διασπορά των τιμών που μπορούν λογικά να αποδοθούν αντιστοιχηθούν στην φυσική ποσότητα. Κατά τη μέτρηση μιας φυσικής ποσότητας, τα αποτελέσματα των παρατηρήσεων εμπεριέχουν πάντα κάποιο βαθμό αβεβαιότητας. Η αβεβαιότητα ορίζεται ως: παράμετρος συνδεδεμένη με το αποτέλεσμα μιας μέτρησης, η οποία χαρακτηρίζει τη διασπορά των τιμών που θα μπορούσε εύλογα να αποδοθεί στο μετρούμενο μέγεθος (GUM) Εναλλακτικά: Στην ευρύτερη έννοιά της, η «αβεβαιότητα μιας μέτρησης» εκφράζει τις αμφιβολίες μας σχετικά με την ακρίβεια και την ορθότητα του αποτελέσματος μιας μέτρησης. Οι λόγοι που οδηγούν στην αναγκαιότητα του ποσοτικού προσδιορισμού της αβεβαιότητας είναι κυρίως οι εξής: Εκτίμηση της αξιοπιστίας του αποτελέσματος Έκφραση της ποιότητας της μέτρησης Δυνατότητα σύγκρισης των αποτελεσμάτων των μετρήσεων της ίδιας φυσικής ποσότητας Καθορισμός τεχνικών ανάλυσης των σφαλμάτων 3
Από το σφάλμα στην αβεβαιότητα Αβεβαιότητα Σφάλμα Η αληθής τιμή είναι κάπου εδώ Αποτέλεσμα μέτρησης Το σφάλμα έχει πρακτική σημασία μόνο εάν γνωρίζουμε την αληθή τιμή Η αβεβαιότητα, συγκρινόμενη με το σφάλμα, δίνει θολή αλλά ρεαλιστική εικόνα για την τιμή του μετρούμενου μεγέθους 4
Από το σφάλμα στην αβεβαιότητα Σφάλμα και αβεβαιότητα Σφάλμα Αποτέλεσμα μέτρησης Αβεβαιότητα Αληθής (αλλά άγνωστη) τιμή 5
Η Στατιστική στην ανάλυση τυχαίων σφαλμάτων μετρήσεων Τα σφάλματα χωρίζονται σε δυο μεγάλες κατηγορίες, τα τυχαία και τα συστηματικά. Στον πίνακα που ακολουθεί αναφέρονται επιγραμματικά τα κυριότερα χαρακτηριστικά τους και αναδεικνύονται οι διαφορές τους: Τυχαία οφείλονται σε μεταβολές επαναλαμβανόμενων παρατηρήσεων της ίδιας ποσότητας κάτω από φαινομενικά όμοιες συνθήκες Σφάλματα Συστηματικά μη επαρκής γνώση της επίδρασης των περιβαλλοντικών συνθηκών στη διαδικασία μέτρησης (σταθερών ή μεταβλητών) ανορθόδοξη χρήση εξοπλισμού ή λανθασμένης διακρίβωσης Απαιτούν επαναλαμβανόμενες μετρήσεις για να ανιχνευθούν και αναλύονται με στατιστικές μεθόδους όταν η πηγή και ο τύπος του σφάλματος είναι γνωστός μπορούν να γίνουν διορθώσεις δεν χρησιμοποιείται στατιστική ανάλυση => επαναληψιμότητα μέτρησης => ορθότητα μέτρησης 6
Η Στατιστική στην ανάλυση τυχαίων σφαλμάτων μετρήσεων Κατά την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση των σφαλμάτων των μετρήσεων, ακολουθούνται τα εξής βήματα: ανίχνευση και διόρθωση των συστηματικών σφαλμάτων μέσω λογικών εκτιμήσεων (προσδιορισμός του παράγοντα διόρθωσης, εκτίμηση του βαθμού επίδρασης σε σχέση με την επιδιωκόμενη τάξη ακρίβειας) μετά την ελαχιστοποίηση των συστηματικών επιδράσεων το αποτέλεσμα θεωρείται ορθό μόνο τυχαίες επιδράσεις λογίζονται παρούσες στο αποτέλεσμα ελαχιστοποίηση των τυχαίων σφαλμάτων με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις κάτω από πανομοιότυπες συνθήκες στατιστική επεξεργασία των αποτελεσμάτων 7
Τυπική Αβεβαιότητα Τυπική αβεβαιότητα Για μια τυχαία μεταβλητή, η μεταβλητότητα (variance) της κατανομής της ή η θετική τετραγωνική ρίζα της μεταβλητότητας, η οποία ονομάζεται τυπική απόκλιση (standard deviation), χρησιμοποιείται ως ένα μέτρο της διασποράς των τιμών της. Η τυπική αβεβαιότητα της μέτρησης (standard uncertainty of measurement) σχετίζεται με την εκτίμηση του αποτελέσματος της μέτρησης y,συμβολίζεταιμε u(y) και είναι η τυπική απόκλιση της μετρούμενης ποσότητας Υ. Προσδιορίζεται και υπολογίζεται από τις εκτιμήσεις x i,τωνx i, και τις σχετικές τυπικές τους αβεβαιότητες u(x i ). Η τυπική αβεβαιότητα έχει τις ίδιες διαστάσεις με την αντίστοιχη ποσότητα. 8
Υπολογισμός τύπου Α της τυπικής αβεβαιότητας Ο υπολογισμός τύπου Α της τυπικής αβεβαιότητας μπορεί να εφαρμοστεί όταν έχουν γίνει αρκετές ανεξάρτητες παρατηρήσεις των ποσοτήτων εισόδου (των ανεξάρτητων, δηλαδή, μεταβλητών), υπό τις ίδιες συνθήκες μέτρησης. Στις περισσότερες περιπτώσεις οι μετρούμενες τιμές θα παρουσιάζουν μια διασπορά. Ας υποθέσουμε ότι η ποσότητα εισόδου που μετρείται είναι η ποσότητα Q. Με n στατιστικά ανεξάρτητες παρατηρήσεις, η εκτίμηση της ποσότητας Q είναι q, η αριθμητική μέση τιμή ή ο μέσος όρος των ξεχωριστών παρατηρούμενων τιμών q j (j=1,2,...,n) q 1 n qj n j 1 Η αβεβαιότητα της μέτρησης η οποία σχετίζεται με την εκτίμηση σύμφωνα με την ακόλουθη μέθοδο: q υπολογίζεται 9
Μια εκτίμηση της μεταβλητότητας της κατανομής πιθανότητας είναι η πειραματική μεταβλητότητα (experimental variance) s 2 (q) των τιμών, η οποία δίνεται από την σχέση: 1 s q q q n 2 2 ( ) ( j ) n 1 j 1 Η θετική τετραγωνική της ρίζα ονομάζεται πειραματική τυπική απόκλιση (experimental standard deviation). Η καλύτερη εκτίμηση της μεταβλητότητας της μέσης τιμής q είναι η πειραματική μεταβλητότητα της μέσης τιμής (experimental standard deviation of the mean), η οποία δίνεται από την σχέση: s 2 2 ( q ) s ( q ) s ( q) s( q) n Η θετική τετραγωνική της ρίζα ονομάζεται πειραματική τυπική απόκλιση της μέσης τιμής (experimental standard deviation of the mean). Η τυπική αβεβαιότητα uq ( ), η οποία σχετίζεται με την εκτίμηση q είναι ίση με την πειραματική τυπική απόκλιση της μέσης τιμής: uq ( ) sq ( ) n 10
Υπολογισμός τύπου Β της τυπικής αβεβαιότητας Ο υπολογισμός της αβεβαιότητας τύπου Β συνήθως βασίζεται στην επιστημονική κρίση και στις γενικές γνώσεις του προσώπου που πραγματοποιεί μια μέτρηση. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι μια ικανότητα που αποκτάται με την εμπειρία. Για την εκτίμησή της χρησιμοποιούνται όλες τις διαθέσιμες σχετικές πληροφορίες, όπως: Προηγούμενα δεδομένα μετρήσεων Εμπειρία της συμπεριφοράς και των ιδιοτήτων σχετικών υλικών και συσκευών Προδιαγραφές του κατασκευαστή Δεδομένα που περιλαμβάνονται στα πιστοποιητικά διακρίβωσης Αβεβαιότητες των δεδομένων αναφοράς Μια σωστά υπολογισμένη τυπική αβεβαιότητα τύπου Β μπορεί να είναι τόσο αξιόπιστη όσο και μια τύπου Α, ιδιαίτερα στις περιπτώσεις που ο τύπου Α υπολογισμός βασίζεται σε έναν σχετικά μικρό αριθμό στατιστικά ανεξάρτητων παρατηρήσεων. Στη συνέχεια παραθέτονται ορισμένες περιπτώσεις υπολογισμού αβεβαιοτήτων τύπου Β. Γενικά, αυτού του τύπου η αβεβαιότητα λαμβάνεται είτε από εξωτερική πηγή, είτε υποθέτοντας κάποια κατανομή. 11
I. Όταν μόνο μια και μοναδική τιμή της ποσότητας X i είναι γνωστή, δηλαδή μια μοναδική μετρηθείσα τιμή, όπως, για παράδειγμα, μια τιμή που προέκυψε από προηγούμενη μέτρηση, μια τιμή αναφοράς από την βιβλιογραφία ή μια τιμή διόρθωσης, αυτή ητιμή χρησιμοποιείται για το x i. Η τυπική αβεβαιότητα u(x i ), όταν δίνεται, πρέπει να υιοθετείται. Σε άλλη περίπτωση πρέπει να υπολογίζεται από αναμφίβολα δεδομένα αβεβαιότητας. Εάν τέτοιου είδους δεδομένα δεν είναι διαθέσιμα, η αβεβαιότητα πρέπει να υπολογίζεται με βάση την εμπειρία. II. Όταν για την ποσότητα X i μπορεί να υποτεθεί, από την θεωρία ή την εμπειρία, μια κατανομή πιθανότητας, τότε η αναμενόμενη τιμή και η τετραγωνική τιμή της μεταβλητότητας αυτής της κατανομής ορίζονται ως η εκτίμηση x i και η σχετική τυπική αβεβαιότητα u(x i ),αντίστοιχα. 12
III. Στην περίπτωση που για την ποσότητα X i,μόνοτοανώτεροκαικατώτεροόριο,α + και α, αντίστοιχα, μπορούν να υπολογισθούν (π.χ. από τις προδιαγραφές του κατασκευαστή μιας μετρητικής συσκευής, από μια περιοχή θερμοκρασίας), πρέπει να υιοθετηθεί για την μεταβλητότητα της X i μια κατανομή πιθανότητας με σταθερή πυκνότητα πιθανότητας μεταξύ αυτών των ορίων (ορθογώνια κατανομή πιθανότητας). Σε αυτήν την περίπτωση η εκτιμώμενη τιμή δίνεται από την σχέση: Σε αυτήν την περίπτωση η εκτιμώμενη τιμή δίνεται από την σχέση: 1 xi ( ) 2 ενώ το τετράγωνο της τυπικής αβεβαιότητας από τη σχέση: 2 1 2 ( ) u ( xi) ( ) ή u( xi) 12 12 Στην περίπτωση που α + = α - =α, τότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται: u ( x i ) 3 13
IV. Η ορθογώνια κατανομή είναι ένα λογικό μοντέλο όταν δεν υπάρχει άλλο. Στις περιπτώσεις, όμως, που γνωρίζουμε ότι οι τιμές της εξεταζόμενης ποσότητας στο κέντρο του διαστήματος ορίων είναι πιο πιθανές από τις τιμές στα άκρα, μια κανονική ή μια τριγωνική κατανομή μπορεί να είναι καλύτερο μοντέλο. Διαδικασία: Υπολογίζουμε το μικρότερο, α,καιμεγαλύτερο,α +,όριογιατηντιμήτης εξεταζόμενης ποσότητας, έτσι ώστε η πιθανότητα οι τιμές της να βρίσκονται στο διάστημα α και α + είναι 100%. Εάν δεν υπάρχει άλλη, αντίθετη, ένδειξη, υποθέτουμε ότι οι τιμές της ακολουθούν τριγωνική κατανομή. Στην περίπτωση αυτή η καλύτερη εκτίμηση της τιμής της ποσότητας είναι (α + +α )/2 με 1 u ( x ) 6 2 2 i V. Στις περιπτώσεις που η εκτίμηση x i, λαμβάνεται από τις προδιαγραφές ενός κατασκευαστή, από ένα πιστοποιητικό διακρίβωσης ή άλλη πηγή και η αναφερόμενη αβεβαιότητά της δηλώνεται ότι είναι ένα συγκεκριμένο πολλαπλάσιο μιας τυπικής απόκλισης,τότεητυπικήαβεβαιότηταu(x i ), είναι η αναφερόμενη διαιρεμένη με το συγκεκριμένο πολλαπλασιαστή. 14
VI. Η αναφερόμενη αβεβαιότητα δεν δίνεται κατ' ανάγκη ως το πολλαπλάσιο μιας τυπικής απόκλισης, όπως αναφέρθηκε στο V. Αντί αυτού, μπορεί να δηλώνεται ότι η αναφερόμενη αβεβαιότητα ορίζει ένα διάστημα το οποίο έχει 90, 95 ή 99 % επίπεδο εμπιστοσύνης. Σε αυτές τις περιπτώσεις, και εφόσον δεν αναφέρεται κάτι άλλο, η κατανομή με την οποία υπολογίστηκε η αναφερόμενη αβεβαιότητα είναι η κανονική κατανομή. Σε αυτήν την περίπτωση, η τυπική αβεβαιότητα u(x i ),τουx i ανακτάται από την διαίρεση της αναφερόμενης αβεβαιότητας με τον κατάλληλο συντελεστή για την κανονικήκατανομή.πάντως,γιατατρίαπροαναφερθένταεπίπεδαεμπιστοσύνης, οι αντίστοιχοι συντελεστές είναι 1.64, 1.96 και 2.58. 15
Κανονική κατανομή μ: η αναμενόμενη ή μέση τιμή της κατανομής Σκιασμένη επιφάνεια: ±μιας τυπικής αβεβαιότητας u γύρω από τη μέση τιμή μ σ μ μ+σ Κανονική κατανομή: ±u => 68% της κατανομής Ορθογωνική κατανομή: ±u => 58% της κατανομής Τριγωνική κατανομή: ±u => 65% της κατανομής Ορθογωνική κατανομή Τριγωνική κατανομή μ σ μ μ+σ μ σ μ μ+σ 16
Αβεβαιότητα των αποτελεσμάτων μέτρησης Εξίσωση μέτρησης Η περίπτωση που μας ενδιαφέρει είναι αυτή κατά την οποία η μετρήσιμη ποσότητα Υ δεν μετρείται άμεσα, αλλά προσδιορίζεται από Ν άλλες ποσότητες Χ 1, Χ 2, Χ 3,, Χ i,,χ N μέσω μιας συναρτησιακής σχέσης f η οποία ονομάζεται συνήθως εξίσωση μέτρησης: Υ =f (Χ 1, Χ 2, Χ 3,, Χ N ) (6.1) Στις ποσότητες Χ, περιλαμβάνονται διορθώσεις (ή παράγοντες διόρθωσης), καθώς και ποσότητες που λαμβάνουν υπόψη τους και άλλες πηγές μεταβολών, όπως διαφορετικοί παρατηρητές, συσκευές, δείγματα, εργαστήρια, χρόνοι στους οποίους λήφθησαν οι μετρήσεις (π.χ. διαφορετικές ημέρες). Για τον λόγο αυτό, η συνάρτηση f της παραπάνω εξίσωσης εκφράζει τόσο την διαδικασία της μέτρησης όσο και την μέθοδο υπολογισμού. Ουσιαστικά περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο από τις τιμές των ποσοτήτων εισόδου Χ i οδηγούμαστε στις τιμές της εξόδου Υ. Τις περισσότερες φορές είναι μια αναλυτική έκφρασηαλλάμπορείεπίσηςναείναικαιμιαομάδατέτοιωνεκφράσεων,ηοποίαείναι συνήθως αρκετά πιο πολύπλοκη. Επίσης, η f μπορεί να προσδιοριστεί πειραματικά ή μπορεί να έχει την μορφή αλγορίθμου σε υπολογιστή, ο οποίος πρέπει να υπολογιστεί αριθμητικά, ή, τέλος, μπορεί να είναι ο συνδυασμός όλων αυτών. 17
Αβεβαιότητα των αποτελεσμάτων μέτρησης Οι ποσότητες Χ i μπορούν να ταξινομηθούν σε δύο κατηγορίες, ανάλογα με τον τρόπο με τον οποίο η ποσότητα και η αντίστοιχη αβεβαιότητα της έχουν προσδιοριστεί. 1. Ποσότητες των οποίων η εκτίμηση και η αντίστοιχη αβεβαιότητα έχουν προσδιοριστεί άμεσα στην τρέχουσα μέτρηση. Αυτέςοιτιμέςμπορείναέχουν προέλθει, για παράδειγμα, από μια μόνη παρατήρηση, από επαναλαμβανόμενες παρατηρήσεις ή από εκτιμήσεις που βασίζονται στην εμπειρία. Είναι επίσης δυνατόν να περιέχουν τον προσδιορισμό διορθώσεων στις ενδείξεις των συσκευών, διορθώσεις εξαιτίας εξωτερικών επιδράσεων, όπωςηθερμοκρασίαπεριβάλλοντος,ηπίεσηήηυγρασία. 2. Ποσότητες των οποίων η εκτίμηση και η αντίστοιχη αβεβαιότητα έχουν προέλθει από εξωτερικές πηγές, όπως είναι οι ποσότητες που σχετίζονται με τα διακριβωμένα πρότυπα, με τα υλικά αναφοράς ή δεδομένα αναφοράς από αντίστοιχους πίνακες. 18
Αβεβαιότητα των αποτελεσμάτων μέτρησης Μια εκτίμηση του Υ, η οποία εκφράζεται με y και ονομάζεται εκτίμηση εξόδου, λαμβάνεται από τη σχέση (6.1) με την χρήση των εκτιμήσεων εισόδου x 1, x 2,.., x Ν των Ν Χ 1, Χ 2, Χ 3,, Χ N. Δηλαδή: y=f(x 1, x 2,.., x Ν ) (6.2) Για τις εκτιμήσεις, ή αλλιώς, τις ανεξάρτητες παρατηρήσεις, x 1,x 2,.., x Ν ισχύουν τα ακόλουθα: Οι τιμές των ανεξάρτητων παρατηρήσεων x i διαφέρουν μεταξύ τους εξαιτίας των τυχαίων μεταβολών των παραμέτρων επίδρασης Για n, το σύνολο των παρατηρήσεων x i, ονομάζεται πληθυσμός (parent population). 19
Υπολογισμός της αβεβαιότητας της μέτρησης των εκτιμήσεων εξόδου Για μη σχετιζόμενες (uncorrelated) ποσότητες εισόδου το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης της εκτίμησης εξόδου y, όπου y=f(x 1, x 2,.., x Ν ), δίνεται από την σχέση: N 2 2 i i 1 u ( y) u ( y) (6.3) Η ποσότητα u i (y) (i=1, 2,..., Ν) είναι η συνεισφορά στην τυπική αβεβαιότητα του μετρητικού αποτελέσματος y και προέρχεται από την τυπική αβεβαιότητα που σχετίζεται με την εκτίμηση εισόδου x i u ( y) c u( x ) (6.4) i i i όπου c i είναι ο συντελεστής ευαισθησίας που σχετίζεται με την εκτίμηση εισόδου x i, δηλαδή η μερική παράγωγος της συνάρτησης μέτρησης f ως προς το X i, υπολογισμένη στην εκτίμηση εισόδου x i : c i f f x X i i X x,..., X x i i N N (6.5) 20
Ο συντελεστής ευαισθησίας c i, περιγράφει το μέγεθος της επίδρασης των οποιωνδήποτε διακυμάνσεων του x i στο μετρητικό αποτέλεσμα y. Υπολογίζεται είτε από την συνάρτηση f μέσω της σχέσης (6.5), είτε με αριθμητικές μεθόδους, υπολογίζοντας δηλαδή τηνμεταβολή του y για μια μεταβολή του x i,κατά+u(x i ) και -u(x i ) και λαμβάνοντας ως τιμή του c i τη μεταβολή που προκύπτει στο y διαιρεμένη με 2u(x i ). Μερικές φορές είναι πιο εύκολο να βρεθεί η μεταβολή στο y πειραματικά, με επανάληψη της μέτρησης στην τιμή, π.χ. x i ±u(x i ). Ενώ το u(x i ) είναι πάντα θετικό, σύμφωνα με την εξίσωση (6.4), η συνεισφορά u(y) μπορεί να είναι είτε θετική είτε αρνητική, ανάλογα με το πρόσημο του συντελεστή ευαισθησίας. Η συνδυασμένη αβεβαιότητα προκύπτει από τη θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης: u ( y) u c (6.6) 2 y 21
Η ανάλυση της αβεβαιότητας μιας μέτρησης, ή, όπως συνήθως αποκαλείται, το ισοζύγιο της αβεβαιότητας, πρέπει να περιλαμβάνει μια λίστα όλων των πηγών αβεβαιότητας, τις αντίστοιχες επιμέρους αβεβαιότητες καθώς και τις μεθόδους μέσω των οποίων αυτές υπολογίστηκαν. Στην περίπτωση επαναλαμβανόμενων μετρήσεων πρέπει να αναφέρεται και ο αριθμός n των επαναλήψεων. O καλύτερος τρόπος παρουσίασης όλων αυτών των πληροφοριών είναι με την μορφή πίνακα. Ένα παράδειγμα τέτοιου πίνακα είναι ο παρακάτω πίνακας (6.1), ο οποίος εφαρμόζεται στην περίπτωση μη συσχετιζόμενων ποσοτήτων εισόδου. Η τυπική αβεβαιότητα u(y) η οποία σχετίζεται με το αποτέλεσμα της μέτρησης είναι η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων (RSS root sum square) όλων των συνεισφορών στην αβεβαιότητα της τελευταίας στήλης. Οι γκρι περιοχές δεν συμπληρώνονται. Πίνακας 6.1 Ποσότητα X i Εκτίμηση x i Τυπική Αβεβαιότητα u(x i ) Συντελεστής ευαισθησίας c i Συνεισφορά στην τυπική αβεβαιότητα u i (y) X 1 x 1 u(x 1 ) c 1 u 1 (y) X 2 x 2 u(x 2 ) c 2 u 2 (y) : : : : : X N x N u(x N ) c N u N (y) Y y u(y) 22
Διευρυμένη (εκτεταμένη) αβεβαιότητα Η αβεβαιότητα που προσδίδουμε σε κάθε αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι κατάλληλου εύρους έτσι ώστε να καλύπτει ένα διάστημα υψηλού βαθμού εμπιστοσύνης (αύξηση της πιθανότητας ορθότητας του αποτελέσματος). U k u ( ) c y (6.7) Στις περιπτώσεις εκείνες στις οποίες μπορεί να αποδοθεί στην μετρούμενη ποσότητα κανονική κατανομή και η τυπική αβεβαιότητα που σχετίζεται με την εκτίμηση της εξόδου είναι αξιόπιστη, χρησιμοποιείται για το k ητιμήk=2. Η σχετική διευρυμένη αβεβαιότητα αντιστοιχεί σε πιθανότητα κάλυψης περίπου 95%. Αυτή η περίπτωση είναι η πλέον συχνά απαντώμενη στις διακριβώσεις. Η υπόθεση της κανονικής κατανομής δεν μπορεί πάντα να επιβεβαιωθεί πειραματικά.. Παρόλα αυτά, στις περιπτώσεις όπου στην τυπική αβεβαιότητα συνεισφέρουν, με συγκρίσιμες συνεισφορές, αρκετοί όροι ( 3), οι οποίοι μάλιστα προέρχονται από καλά οριζόμενες κατανομές πιθανότητας ανεξάρτητων ποσοτήτων, δηλ. κανονικές ή τετραγωνικές κατανομές, τότε μπορεί να υποτεθεί με πολύ καλή προσέγγιση ότι το αποτέλεσμα ακολουθεί κανονική κατανομή. 23
Βαθμοί ελευθερίας Η αξιοπιστία της τυπικής αβεβαιότητας που επισυνάπτεται στο αποτέλεσμα καθορίζεται από τους ενεργούς βαθμούς ελευθερίας. Για να υπολογίσουμε την τιμή ενός συντελεστή κάλυψης k oοποίοςσχετίζεταιμεμια συγκεκριμένη πιθανότητα κάλυψης πρέπει να λάβουμε υπόψη μας την αξιοπιστία της τυπικής αβεβαιότητας u(y) της εκτίμησης εξόδου y. Με άλλα λόγια, πρέπει να λάβουμε υπόψη μας πόσο καλά εκτιμάει η u(y) την τυπική απόκλιση που σχετίζεται με το αποτέλεσμα της μέτρησης. Για μια εκτίμηση της τυπικής απόκλισης μιας κανονικής κατανομής, οι βαθμοί ελευθερίας αυτής της εκτίμησης, οι οποίοι εξαρτώνται από το μέγεθος του δείγματος στο οποίο βασίζεται, είναι ένα μέτρο της αξιοπιστίας. Κατ' αναλογία, ένα κατάλληλο μέτρο της αξιοπιστίας της τυπικής αβεβαιότητας που σχετίζεται με μια εκτίμηση εξόδου είναι οι ενεργοί βαθμοί ελευθερίας v eff, oαριθμόςτωνοποίων υπολογίζεται προσεγγιστικά από έναν κατάλληλο συνδυασμό των ενεργών βαθμών ελευθερίας των διαφορετικών συνεισφορών της αβεβαιότητας u i (y). 24
Η διαδικασία υπολογισμού του κατάλληλου συντελεστή κάλυψης k είναι η ακόλουθη: (α) Υπολογίζουμε την τυπική αβεβαιότητα u(y) της εκτίμησης εξόδου y. (β) Υπολογίζουμε τους ενεργούς βαθμούς ελευθερίας v eff, της τυπικής αβεβαιότητας u(y) από τον τύπο Welch Satterthwaite: v eff N i 1 4 u ( y) 4 ui ( y) v i (6.8) όπου τα u i (y) (i=1,2,,n), τα οποία υπολογίζονται σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω, είναι οι συνεισφορές στην τυπική αβεβαιότητα που σχετίζονται με την εκτίμηση εξόδου y και προέρχονται από τις αντίστοιχες ποσότητες εισόδου x i,οι οποίες θεωρούνται στατιστικά ανεξάρτητες μεταξύ τους, και ν i, είναι οι ενεργοί βαθμοί ελευθερίας της συνεισφοράς u i (y). 25
Για την τυπική αβεβαιότητα u(q) που προέρχεται από υπολογισμό τύπου Α, οι βαθμοί ελευθερίας είναι ν i =n-1. Για αβεβαιότητες που προέρχονται από υπολογισμούς τύπου Β είναι πιο δύσκολο να υπολογιστούν οι αντίστοιχοι βαθμοί ελευθερίας. Πάντως, ο γενικός κανόνας που ακολουθείται είναι όλοι οι υπολογισμοί να μην εμπεριέχουν τον κίνδυνο εκτίμησης μικρότερης αβεβαιότητας από αυτήν που πραγματικά επισυνάπτεται στην μέτρηση. Έτσι, στην περίπτωση, για παράδειγμα, που ακολουθείται το μοντέλο της ορθογωνικής κατανομής, το χαμηλότερο, α -, και υψηλότερο, α +, όριο, λαμβάνονται έτσι, ώστε πρακτικά η πιθανότητα η ποσότητα που ενδιαφέρει να βρίσκεται εκτός αυτών των ορίων να είναι εξαιρετικά μικρή. Με αυτήν την υπόθεση, οι βαθμοί ελευθερίας που αντιστοιχούν στην τυπική αβεβαιότητα u(x i ) που προέρχεται από υπολογισμό τύπου Β μπορούν να θεωρηθούν v i. (γ) Λαμβάνουμε το συντελεστή κάλυψης k από τα δεδομένα του πίνακα 5.2. Αυτός ο πίνακας βασίζεται σε μια t κατανομή υπολογισμένη για διάφορες πιθανότητες κάλυψης. Το αποτέλεσμα μπορεί πλέον να εκφραστεί ως εξής: Y = y ± U (6.9) 26
Πίνακας 5.2: Συντελεστής κάλυψης k pv για διάστημα εμπιστοσύνης ( k pv, + k pv ), πιθανότητας κάλυψης p v,k και βαθμούς ελευθερίας v (κατανομή student) Βαθμοί Πιθανότητα κάλυψης p v,k ελευθερίας ν 68.27 90 95 95.45 99 99.73 1 1.84 6.31 12.71 13.97 63.66 235.80 2 1.32 2.92 4.30 4.53 9.92 19.21 3 1.20 2.35 3.18 3.31 5.84 9.22 4 1.14 2.13 2.78 2.87 4.60 6.62 5 1.11 2.02 2.57 2.65 4.03 5.51 6 1.09 1.94 2.45 2.52 3.71 4.90 7 1.08 1.89 2.36 2.43 3.50 4.53 8 1.07 1.86 2.31 2.37 3.36 4.28 9 1.06 1.83 2.26 2.32 3.25 4.09 10 1.05 1.81 2.23 2.28 3.17 3.96 11 1.05 1.80 2.20 2.25 3.11 3.85 12 1.04 1.78 2.18 2.23 3.05 3.76 13 1.04 1.77 2.16 2.21 3.01 3.69 14 1.04 1.76 2.14 2.20 2.98 3.64 15 1.03 1.75 2.13 2.18 2.95 3.59 16 1.03 1.75 2.12 2.17 2.92 3.54 17 1.03 1.74 2.11 2.16 2.90 3.51 18 1.03 1.73 2.10 2.15 2.88 3.48 19 1.03 1.73 2.09 2.14 2.86 3.45 20 1.03 1.72 2.09 2.13 2.85 3.42 25 1.02 1.71 2.06 2.11 2.79 3.33 30 1.02 1.70 2.04 2.09 2.75 3.27 35 1.01 1.70 2.03 2.07 2.72 3.23 40 1.01 1.68 2.02 2.06 2.70 3.20 45 1.01 1.68 2.01 2.06 2.69 3.18 50 1.01 1.68 2.01 2.05 2.68 3.16 100 1.005 1.660 1.984 2.025 2.626 3.077 1.000 1.645 1.960 2.000 2.576 3.000 27
Σφάλμα ορίου Υπολογισμός της αβεβαιότητας της μέτρησης Η ανάλυση που έχει γίνει έως τώρα αφορά τον υπολογισμό της αβεβαιότητας για μετρήσεις ελέγξιμες, που πραγματοποιούνται στο εργαστήριο και των οποίων το κάθε στάδιο είναι πολύ καλά ορισμένο. Στις περιπτώσεις, όμως, που ένας κατασκευαστής καλείται να δώσει πληροφορίες για την επίδοση ενός συγκεκριμένου μοντέλου μιας συσκευής που προσφέρει στην αγορά, δεν μπορεί φυσικά να ελέγξει τον τρόπο χρήσης όλων των παρόμοιων συσκευών, ούτε να καταγράψει τις ιδιαιτερότητες της καθεμιάς από αυτές. Για το σκοπό αυτό οφείλει να καταγράψει ως επιδόσεις του συγκεκριμένου μοντέλου την χειρότερη περίπτωση που μπορεί να απαντηθεί. Από εκεί και πέρα, μέσω της διακρίβωσης μιας συγκεκριμένης συσκευής προσδιορίζονται οι ιδιαίτερες επιδόσεις της. Ως βασική επίδοση ενός μοντέλου συσκευής είναι το σφάλμα ορίου. Για τον υπολογισμό του σφάλματος ορίου ακολουθούμε μια μέθοδο παρόμοια με αυτήν που ακολουθήσαμε για τον υπολογισμό της αβεβαιότητας τύπου Β, μόνο που η άθροιση των τετραγώνων των επιμέρους όρων της σχέσης (6.3) αντικαθίσταται από απλή άθροιση. Αναλυτικά, ξεκινώντας από την εξίσωση μέτρησης (6.1) υποθέτουμε ότι η καθεμιά από τις παραμέτρους X i παρουσιάζει σφάλμα ±Δ. Η υπολογιζόμενη, σε αυτήν την περίπτωση ποσότητα εξόδου Ŷ θα δίνεται από την σχέση: Y f ( X X, X X,..., X X ) 1 1 2 2 (6.10) 28
Το Ŷ μπορεί να αναλυθεί σε σειρά Taylor για N μεταβλητές. Για μια μεταβλητή η ανάλυση Taylor είναι: 2 2 n 1 n 1 df X d f ( X ) d f ( X ) f ( X X) f( X)... R dx dx dx n 2 n 1 1! 2! ( 1)! n (6.11) Για την περίπτωση N μεταβλητών η (6.11) γίνεται df df df Y f( X, X,..., X,) (... ) dx dx dx 1 2 N 1 2 1 2 1 f f f [ ( ) ( )... ( ) ]... 2! X X X 2 2 2 2 2 2 X 2 1 X 2 2 X 2 N 1 2 N f 3! 3 1 [ 3 3 ( X1 )...]... X1 (6.12) 29
Οι όροι με τις παραγώγους δεύτερης ή μεγαλύτερης τάξης μπορούν να θεωρηθούν αριθμητικά αμελητέοι και να αγνοηθούν. Έτσι, η μεγαλύτερη αβεβαιότητα ή, η χειρότερη περίπτωση αβεβαιότητας στο Y δίνεται προσεγγιστικά από τη σχέση: N f Ymax Y Y X X j 1 j j (6.13) Σαν παράδειγμα, υπολογίζουμε το σφάλμα ορίου στον υπολογισμό της DC ισχύος σε μία αντίσταση: Οπότε: P=I 2 R (6.14) ΔP max =2IRΔΙ+I 2 ΔR (6.15) και P I R ( ) max 2 (6.16) P I R 30