Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσική Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Το ζήτημα των τανυστών είναι πολύ σημαντικό τόσο για την Κβαντομηχανική, όσο και για τη Σχετικότητα. Οι δύο όμως μεγάλες αυτές θεωρίες χρησιμοποιούν τους τανυστές από διαφορετικές σκοπιές. Η μεν Σχετικότητα από τη γεωμετρική τους πλευρά εκμεταλλευόμενη το αναλλοίωτο που έχουν ως προς τα διάφορα συστήματα συντεταγμένων, η δε Κβαντομηχανική από μια πιο αλγεβρική σκοπιά που εκφράζεται μέσω της συνθέσεως διανυσματικών χώρων. Στις σημειώσεις λοιπόν που αφορούν τη Σχετικότητα και που γράφω αυτόν τον καιρό ασχολούμαι πιο πολύ με τα γεωμετρικά τους χαρακτηριστικά. Εδώ που θέλουμε να μιλήσουμε για Κβαντομηχανική θα παραθέσω απλώς μερικές σαφείς λεπτομέρειες για το πώς τους χρησιμοποιούμε. Στην Κβαντική Φυσική δεν μελετούμε πάντα απλά και απομονωμένα σωματίδια. Στα πλαίσια της Κβαντικής Πληροφορικής είναι αναγκαίο να δουλεύουμε με πολύπλοκα συστήματα. Η μαθηματική κατανόηση τέτοιων συνθέτων συστημάτων προϋποθέτει την κατασκευή ενός χώρου Hilbert, ο οποίος είναι το προϊόν της συνθέσεως των επιμέρους χώρων Hilbert των διαφόρων σωματιδίων. Το μαθηματικό εργαλείο που επιτρέπει την κατασκευή αυτή είναι το λεγόμενο τανυστικό γινόμενο (ή γινόμενο Kronecker). Έστω ότι έχουμε λοιπόν δύο σωματίδια και κατ επέκταση δύο χώρους Hilbert, έναν για κάθε σωματίδιο. Ο πρώτος έχει διάσταση Ν 1 και ο δεύτερος Ν. Τότε ο σύνθετος χώρος Η που αφορά το σύνθετο σύστημα κατασκευάζεται από το τανυστικό γινόμενο H = H1 H 1
Η διάσταση του Η είναι το γινόμενο των διαστάσεων του Η 1 και Η, δηλαδή dim H ( ) = NN 1 Ιδιότητες Τανυστικού Γινομένου Το τανυστικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι γραμμικό τόσο ως προς τα διανύσματα όσο και ως προς τα βαθμωτά. Εάν λοιπόν ϕ Η1και x Η τότε το σύνθετο σύστημα θα περιγράφεται από το διάνυσμα ισχύει ψ = ϕ x για το οποίο θα ϕ x + x = ϕ x + ϕ x 1 1 και ϕ1 + ϕ x = ϕ1 x + ϕ x ( x ) ϕ α = α ϕ x ( ) x α ϕ = α x ϕ Για να κατασκευάσουμε τώρα μια βάση του συνθέτου χώρου Hilbert απλώς πολλαπλασιάζουμε τανυστικώς τα διανύσματα βάσης των επιμέρους χώρων Hilbert. Εάν δηλαδή η βάση του H 1 είναι ui και του H είναι v i τότε η βάση wi του συνθέτου χώρου θα είναι w u v i = i i Σημειωτέον ότι το τανυστικό γινόμενο είναι αντιμεταθετό, δηλαδή ϕ x = x ϕ Πολλές φορές δε γράφουμε το χαρακτηριστικό σύμβολο για λόγους συντομίας. Περιοριζόμαστε λοιπόν στο να γράφουμε απλώς ϕ x ή ακόμα πιο απλά ϕ x.
Υ πολογισμός εσωτερικών γινομένων Το εσωτερικό γινόμενο συνθέτων καταστάσεων (καταστάσεων που προέκυψαν από τανυστικό γινόμενο) γίνεται ως εξής. Έτω σ οι καταστάσεις ψ = ϕ x και ψ = ϕ x. Τότε 1 1 1 ( )( ) ψ ψ = ϕ x ϕ x = ϕ ϕ x x 1 1 1 1 1 Παράδειγμα Εάν έχουμε την κατάσταση ψ 1 = 0 1 και την κατάσταση ψ = 0 1, τότε έχουμε ψ1 ψ 1 = ( 0 1 0 1 ) = 0 0 11 = 1 ψ1 ψ = ( 0 1 1 0 ) = 0 1 1 0 = 0 αφού είναι ορθονορμαλισμένες. Τα ίδια ισχύουν και για τις άλλες δύο περιπτώσεις. Τανυστικό γινόμενο διανυσμάτων στηλών Επειδή γνωρίζουμε ότι τα καταστατικά διανύσματα στην Κβαντομηχανική ορίζονται από διανύσματα στήλες, είναι πολύ χρήσιμο να δούμε το τανυστικό γινόμενό τους. Επειδή τις περισσότερες φορές στην Κβαντική Πληροφορική μας ενδιαφέρουν τα δισδιάστατα διανύσματα (από τα qubits), τότε από μαθηματικής σκοπιάς κάνουμε μια μετάβαση του τύπου C C 4. Εάν δηλαδή Τότε a c ϕ = x b και = d ac ad ϕ x = bc bd 3
Τανυστικό γινόμενο Πινάκων Γενίκευση προηγουμένης περιπτώσεως Εάν τώρα έχουμε πίνακες x ή μεγαλύτερους, τότε το τανυστικό γινόμενό τους είναι: u11v11 u11v1 u1v11 u1v1 u11v1 u11v u1v1 u1v uv 11 uv 1 U V = u1v uv = u1v11 u1v1 u1v1 u1v Παράδειγμα Να υπολογιστεί το τανυστικό γινόμενο των πινάκων Χ και Ζ του Pauli. Λύση Είναι X 0 1 1 0 = και Συνεπώς 1 0 Z = 0 1. 0 0 1 0 ( 0) Z ( 1) Z 0 0 0 1 X Z == = () 1 Z ( 0) Z 1 0 0 0 0 1 0 0 Τελεστές και Τανυστικό Γινόμενο Οι τελεστές δρουν στα τανυστικά γινόμενα κατά την εξής έννοια: Έστω ξανά ϕ Η και 1 x Η δύο διανύσματα που ανήκουν σε χώρους Hilbert που συντίθενται για να φτιάξουν τον H. Έστω τώρα τελεστές Α, Β που δρουν πάνω στα δύο παραπάνω διανύσματα, ο Α στο πρώτο και ο Β στο δεύτερο. Μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν τελεστή Α Βπου δρα στα διανύσματα του Η ως εξής: ( Α Β ) ψ = ( Α Β)( ϕ x ) = ( Α ϕ ) ( Β x ) 4
Παράδειγμα Έστω ψ = α b και A a = a a, B b = b b. Τότε πόσο είναι το ( Α Β )ψ ; Λύση ( )( α b ) Α Β ψ = Α Β Έχουμε λοιπόν από τη σχέση στο κίτρινο πλαίσιο ( A a ) Α Β ψ = B b και συνεπώς ( aa bb) Α Β ψ = Χρησιμοποιώντας όμως τη γραμμικότητα του τανυστικού γινομένου ως προς τα βαθμωτά, δηλαδή τη σχέση ( x ) ϕ α = α ϕ x παίρνουμε ότι ( a a b b ) = ab( a b ) = ab ψ Αποδείξαμε λοιπόν ότι Α Β ψ = ab ψ Σ ημαντικές Ιδιότητες του τανυστικού γινομένου τελεστών Το τανυστικό γινόμενο δύο τελεστών Α Βικανοποιεί τις παρακάτω πολύ σημαντικές ιδιότητες: Εάν και ο Α και ο Β είναι ερμιτιανοί, τότε και ο Α Β είναι ερμιτιανός τελεστής. Εάν και ο Α και ο Β είναι προβολικοί, τότε και ο τελεστής. Εάν και ο Α και ο Β είναι μοναδιαίοι, τότε και ο τελεστής. Α Β είναι προβολικός Α Β είναι μοναδιαίος Εάν και ο Α και ο Β είναι θετικοί, τότε και ο Α Β είναι θετικός τελεστής. 5
Άσκηση Να αποδειχθεί η πρώτη από τις παραπάνω ιδιότητες Λύση Έστω δύο σύνθετες καταστάσεις (product states) ψ = α b ϕ = μ ν Έστω επίσης τελεστής C =Α Β. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι ϕ C ψ = ψ C ϕ = ψ C ϕ Δουλεύοντας με τον πρώτο όρο έχουμε ( α ) ( ) C ψ = C α b =Α Β α b = Α Β b Χρησιμοποιώντας όμως όσα είπαμε πιο πριν για τα εσωτερικά γινόμενα έχουμε ( )( ) ( )( )( ) ϕ C ψ = ϕ Α α Β b = μ ν Α α Β b = μ Α α ν Β β Το ερμιτιανό συζυγές της παραπάνω εκφράσεως είναι ( ) ϕ C ψ = μ Α α ν Β β = β Β ν α Α μ Όμως οι A, B είναι ερμιτιανοί οπότε ϕ C ψ = α Α μ β Β ν Χρησιμοποιώντας τώρα αντιστρόφως τη σχέση των εσωτερικών γινομένων ( )( ) ψ ψ = ϕ x ϕ x = ϕ ϕ x x 1 1 1 1 1 Έχουμε ( ) ( ) ϕ C ψ = α β Α Β μ ν = ψ Α Β ϕ = ψ C ϕ Άρα ο Α Βείναι ερμιτιανός. 6
Σ ημαντικό τανυστικό γινόμενο Ένα πολύ σημαντικό τανυστικό γινόμενο, το οποίο εμφανίζεται πολλές φορές στα βιβλία της Κβαντικής Πληροφορικής, αλλά και της Φυσικής των ανοικτών συστημάτων είναι το Α I. Αυτό το γινόμενο ενεργεί μόνο στα διανύσματα του χώρου Η 1 και δεν κάνει τίποτα σ αυτά του Η. Το Ι είναι ο ταυτοτικός τελεστής. Ομοίως ο διανύσματα του Η. I B δεν κάνει τίποτα στα διανύσματα του Η 1 και δρα μόνο στα Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε την κατάσταση Περιγράψτε τη δράση του τελεστού Λύση ψ = X I 00 11 στην παραπάνω κατάσταση. Προς υπενθύμιση 00 = 0 0 και 11 = 1 1. Η δράση του X I είναι: 00 11 1 10 01 X I ψ = X I = ( X 0 ) 0 ( X 1 ) 1 = Παρατηρούμε λοιπόν τα όσα είπαμε παραπάνω. Τίποτα δεν άλλαξε στο δεύτερο υποσύστημα. Βιβλιογραφία 1) Quantum Computing Explained, by D. McMahon (Wiley) ) Quantum Mechanics, by E. Merzbacher (Wiley) 3) Προσωπικές σημειώσεις 7
8