Σύγχρονες Μορφές Χρηματοδότησης. Διάλεξη 7 Αξία σε κίνδυνο Value at Risk (VaR)

Σύγχρονες Μορφές Χρηματοδότησης Διάλεξη 7 Αξία σε κίνδυνο Value at Risk (VaR)

Βασικές κατηγορίες Κινδύνων Κίνδυνος: στενά συνδεδεμένος με έννοια της αβεβαιότητας: στενά συνδεδεμένη με έννοια μεταβλητότητας (variation - variability) ή αστάθειας (volatility). Gallati (2003), Kίνδυνος: έκθεση σε αντιξοότητες ή ενδεχόμενο απόκλισης από το επιθυμητό αποτέλεσμα που αναμένεται

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΙ ΚΙΝΔΥΝΟΙ Α. ΚΙΝΔΥΝΟΙ ΑΓΟΡΩΝ (market risks) 1. Συναλλαγματικός Κίνδυνος (Currency Risk) Η πιθανότητα δυσμενούς μετακίνησης της ισοτιμίας μεταξύ δύο νομισμάτων 2. Κίνδυνος Επιτοκίου (interest rate risk) Η πιθανότητα δυσμενούς μεταβολής του επιπέδου των επιτοκίων. Κίνδυνος εισοδήματος και κίνδυνος θέσης 3. Κίνδυνος μετοχών (Equity Risk) Η πιθανότητα δυσμενούς μεταβολής του επιπέδου των τιμών των μετοχών 4. Κίνδυνος Εμπορευμάτων (Commodity Risk) Η πιθανότητα δυσμενούς μεταβολής του επιπέδου των τιμών εμπορευμάτων Β. ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΙ ΚΙΝΔΥΝΟΙ 1. Πιστωτικοί Κίνδυνοι (default/credit risks) Ο κίνδυνος να μην πραγματοποιηθεί από κάποιον αντισυμβαλλόμενο η πληρωμή που προβλέπεται από συναλλαγή που έχει πραγματοποιηθεί 2. Κίνδυνος Ρευστότητας (liquidity risk) Μη αναμενόμενη ανάληψη καταθέσεων 3. Κίνδυνος Χώρας (Country risk)

Διαστάσεις Πιστωτικού Κινδύνου Ο κίνδυνος αθέτησης μετράτε από την πιθανότητα αθέτησης (Probability of Default - PD), όπου μετράει την πιθανότητα να αθετήσει κάποιος δανειολήπτης μια συγκεκριμένη πληρωμή. Ο κίνδυνος έκθεσης περιγράφεται από το ποσό που οφείλει ο δανειστής κατά την στιγμή της αθέτησης (Exposure at Default EAD). Ο κίνδυνος ανάκτησης περιγράφει το ποσοστό του ποσού που κατάφερε να ανακτήσει ως προς την συνολική οφειλή ο δανειστής και ονομάζεται ποσοστό ανάκτησης (Recovery Rate), ενώ το ποσοστό του ποσού που δεν κατάφερε να ανακτήσει ως προς την συνολική οφειλή ονομάζεται «απώλεια δεδομένης της αθέτησης» (Loss Given Default - LGD). Δάνειο από Α 60000 Ευρώ για ένα χρόνο με συνολικό επιτόκιο της τάξεως 6%. Δηλαδή η επιχ Β πρέπει να καταβάλει συνολικά μέσω δόσεων 63600 Ευρώ. Τελικά, η Α δύναται να εισπράξει μόνο 50000 ευρώ

Κίνδυνος Ρευστότητας (Liquidity Risk) Ρευστότητα: ικανότητα μίας οικονομικής επιχείρησης να ανταποκρίνεται στις υποχρεώσεις της χωρίς να διατρέχει κίνδυνο για μεγάλες απώλειες. Κίνδυνος Ρευστότητας: κίνδυνος σύμφωνα με τον οποίο μία επιχείρηση δεν θα είναι σε θέση να καλύψει τις τρέχουσες και μελλοντικές ανάγκες των ταμειακών ροών της χωρίς να επηρεάζεται ουσιωδώς η καθημερινή της λειτουργία ή η συνολική οικονομική της κατάσταση (Christensen et al., 2009). Όταν η παροχή της συνολικής ρευστότητας από την αγορά πέφτει τότε οι οφειλέτες στρέφονται μαζικά προς τις τράπεζες προκειμένου να αντλήσουν κεφάλαια δημιουργώντας το πρόβλημα ρευστότητας (Cornett et al., 2011). Πιθανές αιτίες κρίσης ρευστότητας: αναταραχή στις διεθνείς χρηματαγορές η οποία κάνει διστακτικούς τους αποταμιευτές, η οικονομική κατάσταση της τράπεζας και ο φόβος για αδυναμία εκπλήρωσης των υποχρεώσεων της

Λειτουργικός Vs Θεσμικός κίνδυνος Λειτουργικός Κίνδυνος (Operational Risk): αφορά την κακοδιαχείριση της τράπεζας εκ των έσω, δηλαδή κυρίως αποτυχημένες εσωτερικές διαδικασίες (failed internal processes). i. Technical risk ii. Legal Risk iii. Kίνδυνος φήμης και αξιοπιστίας iv. Κίνδυνος τεχνολογίας. Θεσμικός κίνδυνος (Legal Risk): ο κίνδυνος μια συναλλαγή να αντιτίθεται στη νομοθεσία ή ακόμα ο κίνδυνος να αλλάξει η νομοθεσία κατά τη διάρκεια της ζωής ενός χρηματοοικονομικού συμβολαίου.

Επιτοκιακός Κίνδυνος Κίνδυνος επιτοκίου: ζημιά που μπορεί να υποστεί μια τράπεζα λόγω μη αναμενόμενων μεταβολών του επιτοκίου. Μπορεί να αναλυθεί σε δύο επιμέρους κινδύνους: (α) κίνδυνο θέσης (position risk) και (β) κίνδυνο εισοδήματος (income risk). Κίνδυνος θέσης: σχετίζεται με μεταβολή τιμής κάποιου στοιχείου του ενεργητικού (π.χ. ομόλογο) οφειλόμενη στην μεταβολή των επιτοκίων και επηρεάζει την αξία του χαρτοφυλακίου. Κίνδυνος εισοδήματος: αναφέρεται στην πιθανότητα που υπάρχει να μειωθεί το εισόδημα μιας τράπεζας σε μια απρόβλεπτη ή μη επιθυμητή εξέλιξη των επιτοκίων

Κίνδυνος Μετοχικών Τίτλων και Κίνδυνος Εμπορευμάτων Συμμετοχή στην αγοροπωλησία τίτλων προς ίδιο όφελος (trading): αποφέρει σημαντικό έσοδο για τράπεζες δεδομένου ενός περιβάλλοντος χαμηλών επιτοκίων. Mη αναμενόμενη μεταβολή στις τιμές αυτών των τίτλων μπορεί να επιφέρει σημαντικές ζημίες για τράπεζα. Πρέπει να μετράει έκθεση σε τέτοια προϊόντα και να καλύπτεται σε πιθανές μελλοντικές ζημιές. Η αξία σε κίνδυνο βοηθάει σε αυτό.

Κίνδυνος Χώρας Οικονομικοί και χρηματοοικονομικοί κίνδυνοι (financial risk): ξαφνική επιδείνωση των όρων εμπορίου της χώρας, ταχεία αύξηση του κόστους παραγωγής ή/και των τιμών της ενέργειας, αλλαγές στην οικονομική και δημοσιονομική διαχείριση της χώρας. Κίνδυνος μεταβίβασης (transfer risk): απορρέει από την απόφαση αλλοδαπού κράτους να περιορίσει τις μετακινήσεις κεφαλαίων από και προς την ημεδαπή χώρα. Συναλλαγματικός κίνδυνος (exchange risk): λόγω απρόσμενης αλλαγής στο νομισματικό καθεστώς, όπως η αλλαγή από τις σταθερές στις κυμαινόμενες συναλλαγματικές ισοτιμίες. Kίνδυνος τοποθεσίας ή Γειτονικός κίνδυνος: λόγω δευτερογενών επιδράσεων από προβλήματα σε μια περιοχή, σε κάποια χώρα «εμπορικό εταίρο ή γείτονα», ή σε χώρες με παρόμοια χαρακτηριστικά. Κρατικός κίνδυνος: κράτος απρόθυμο ή ανίκανο να ανταποκριθεί στις δανειακές του υποχρεώσεις ή να ανακαλέσει δάνεια τα οποία είχε εγγυηθεί. Πολιτικός κίνδυνος: κίνδυνος μεταβολής των πολιτικών θεσμών που απορρέουν από αλλαγή στην κυβέρνηση του κράτους, τον κοινωνικό ιστό, ή άλλους μη οικονομικούς παράγοντες.

Μέθοδος της αξίας σε κίνδυνο (Value at Risk) Η μέτρηση του συνόλου των χ-o κινδύνων (ή κινδύνων του εμπορικού Χ/Φ- trading book) με μια μόνο μέθοδο την αξία σε κίνδυνο (Value at Risk) Είναι η μέθοδος μέτρησης με την αξιοποίηση στατιστικών μεθόδων, του συνόλου των χ-ο κινδύνων που αναλαμβάνει ένα ΧΙ ή εμπεριέχει ένα Χ/Φ Η VaR αποτελεί μια προσπάθεια για να εκτιμηθεί ο συνολικός κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου και να αποδοθεί σε χρηματικούς όρους με έναν και μόνο αριθμό

Μέθοδος της αξίας σε κίνδυνο (Value at Risk) Η VaR ενός χαρτοφυλακίου ορίζεται σαν η μέγιστη ζημιά που αναμένεται να πραγματοποιηθεί αναφορικά με το χαρτοφυλάκιο μέσα σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα με μια συγκεκριμένη πιθανότητα (επίπεδο εμπιστοσύνης π.χ. 99%) Η VaR αποτελεί μια προσπάθεια για να εκτιμηθεί ο συνολικός κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου και να αποδοθεί σε χρηματικούς όρους με έναν και μόνο αριθμό Η VaR είναι η απάντηση της ερωτήσεως: Ποια είναι η μέγιστη ζημία στην διάρκεια μιας δεδομένης περιόδου (έστω 1 ημέρα) ώστε η πιθανότητα πραγματοποίησης ακόμη μεγαλύτερης ζημίας να είναι μικρή (έστω 1%).

Μέθοδος της αξίας σε κίνδυνο (Value at Risk) Η VaR του χαρτοφυλακίου συναλλαγών υπολογίζεται για σύντομες περιόδους 1 ή 10 ημερών. Για τον υπολογισμό της VaR απαιτείται η κατανομή των τιμών (αξίας) ή των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου στον επιλεγμένο χρονικό ορίζοντα. Η κατανομή υπολογίζεται είτε από ιστορικά δεδομένα (μη παραμετρική) είτε υποτίθεται ότι οι τιμές ή αποδόσεις ακολουθούν μια αναλυτική κατανομή (κανονική ή άλλη)

Ιστορικά Δεδομένα (μη παραμετρική) Μετράτε κάτω από κανονικές συνθήκες στην αγορά, η υψηλότερη πιθανή ή αναμενόμενη ζημιά & κατά συνέπεια η μείωση της αξίας ενός Χ/Φ ή της καθαρής θέσης ενός ΧΙ, εντός συγκεκριμένου χρονικού ορίζοντα & εντός συγκεκριμένου διαστήματος στατιστικής εμπιστοσύνης (δηλαδή μετά από επιλεγμένη πιθανότητα) VaR=1.000.000, στο επιλεγμένο χρονικό διάστημα ενός μηνός και για διάστημα στατιστικής εμπιστοσύνης 95% σημαίνει ότι: Η πιθανότητα να υπερβεί η ζημιά το 1 εκατ. το επόμενο μήνα είναι 5% Ή διαφορετικά η ζημιά θα είναι μικρότερη του 1 εκ με πιθανότητα 95% τον επόμενο μήνα

Διάστημα εμπιστοσύνης: Διάστημα εμπιστοσύνης: αναφέρεται στην μεταβλητή του πληθυσμού σχετικά με την περιοχή που βρίσκεται σε σχέση με την εκτίμηση που έχει γίνει για αυτήν την μεταβλητή. Υποθέστε ότι ο πληθυσμός έχει μία Κανονική κατανομή (μ,1) και {Υ 1, Υ n } είναι ένα τυχαίο δείγμα του πληθυσμού. Ο μέσος όρος του δείγματος ഥΥ, έχει μια κανονική κατανομή με μέσο μ και διακύμανση 1/n: ഥΥ~Normal(μ, 1 ) και από αυτή παίρνουμε την τυποποιημένη κανονική n κατανομή του ഥΥ και συνεπώς ισχύει: Y μ P 1,96 < ത 1 < 1,96 = 0.95 Φ 1,96 Φ 1,96 = 0,975 0,0250 = 0.95 P തY 1,96 < μ < തY + 1,96 n n n =0.95 (1)

Διάστημα εμπιστοσύνης: Η εξίσωση (1) μας λέει ότι η πιθανότητα το τυχαίο δείγμα [തY 1,96, തY + n 1,96/ n]να περιέχει τον μέσο του πληθυσμού μ είναι 0.95 ή 95%. Αυτή η πληροφορία μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε ένα «φάσμα πιθανών τιμών ή διάστημα εκτίμησης» του μέσου του πληθυσμού μ. Το οποίο καλείται 95% διάστημα εμπιστοσύνης με συντομογραφία തy ± 1.96/ n. Μπορούμε εύκολα να κατασκευάσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης εάν έχουμε ένα δείγμα του πληθυσμού {y 1, y 2,, y n } Για παράδειγμα, n=16 και το μέσος αυτών των 16 στοιχείων είναι 7.3. Τότε, το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μ είναι 7.3 ±1.96/ 16=7.3±.49,το οποίο μπορεί να γραφεί σε μορφή διαστήματος [6.81,7.79]. Από κατασκευής, തy =7.3 είναι κέντρο του διαστήματος.

Μέθοδοι υπολογισμού της VaR Μέθοδοι υπολογισμού της VaR Ιστορική προσομοίωση (Historical Simulation) Διακύμανση συνδιακύμανση (Variance-Covariance ή Delta Normal)

Μέθοδοι υπολογισμού της VaR Σημαντικές Έννοιες Ο χρονικός ορίζοντας αναφέρεται σε μελλοντικούς όρους, για παράδειγμα τις επόμενες Ν ημέρες (Ν-days) Το διάστημα εμπιστοσύνης (X%): δείχνει την πιθανότητα η ζημία να είναι μικρότερη από ένα συγκεκριμένο μέγεθός, το V, δηλαδή την αξία σε κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου (VaR) Ο όρος (100 Χ)% δείχνει την πιθανότητα η ζημία να ξεπεράσει ένα συγκεκριμένο μέγεθός, το V, δηλαδή την αξία σε κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου (VaR) Το V είναι εκφρασμένο σε χρήματα. Είναι η ζημία που μπορεί να έχει κάποιος σε ένα χαρτοφυλάκιο για τις επόμενες Ν ημέρες με πιθανότητα να συμβεί αυτό (100 Χ) %

Ιστορική προσομοίωση (Historical Simulation) Απαιτούνται ημερήσιες παρατηρήσεις για τις μεταβολές στις τιμές των μεταβλητών που καθορίζουν την αξία του χαρτοφυλακίου μας (έστω οι 500 τελευταίες παρατηρήσεις, επίπεδο εμπιστοσύνης 99%) Επίσης δεδομένου ότι η πρώτη ημέρα συμβολίζεται με το μηδένημέρα - 0 έως την ημέρα 500, τελικά θα έχουμε 500 σενάρια για την ημερήσια μεταβολή της αξίας του χαρτοφυλακίου μας. Για κάθε ένα από τα 500 σενάρια υπολογίζουμε την ημερήσια μεταβολή της αξίας του χαρτοφυλακίου μας.

Ιστορική προσομοίωση (Historical Simulation) Επίσης θα εκτιμήσουμε την επόμενη ημέρα (ημέρα 501), η οποία υπολογίζεται ως εξής: u m u i u i 1 u:η τιμή της μεταβλητής (π.χ. μετοχή, γενικά ένα περιουσιακό στοιχείο) Το i =σενάριο (μεταβολή της αξίας μεταξύ ημέρας i-1 και ημέρας i, με 1 i 500) m=500 Συνεπώς το σήμερα είναι η ημέρα 500 ενώ το αύριο είναι η ημέρα 501. Η εμπειρική κατανομή μας θα προκύψει εάν εντοπίσουμε την μεταβολή της αξίας μεταξύ του σήμερα(ημέρα 500) και του αύριο(ημέρα 501) για τα 500 σενάρια που έχουμε

Ιστορική προσομοίωση (Historical Simulation) Οι 500 τιμές αποτελούν μια εμπειρική κατανομή των ημερήσιων μεταβολών της αξίας του χαρτοφυλακίου μας Η 5η χειρότερη ημερήσια μεταβολή αντιστοιχεί στο 1% της κατανομής(υπολογίζουμε 500/100 καθώς έχουμε χωρίσει το δείγμα μας σε 100 ίσα μέρη(εκατοστημόρια) που το καθένα περιέχει 5 ημερήσιες μεταβολές) ξεκινώντας από την χειρότερη μεταβολή προς την καλύτερη μεταβολή Η εκτίμηση της VaR είναι η ζημία που αντιστοιχεί στο 1% της κατανομής γεωγραφικά αυτή βρίσκεται στην αριστερή ουρά μιας κατανομής των ημερήσιων μεταβολών της αξίας του χαρτοφυλακίου μας, καθώς πάμε από την χειρότερη μεταβολή προς την καλύτερη μεταβολή

Διακύμανση συνδιακύμανση (Variance- Covariance ή Delta Normal) Θυμηθείτε:Για τον υπολογισμό της VaR απαιτείται η κατανομή των τιμών (αξίας) ή των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου στον επιλεγμένο χρονικό ορίζοντα. Η κατανομή υπολογίζεται είτε από ιστορικά δεδομένα (μη παραμετρική) είτε υποτίθεται ότι οι τιμές ή αποδόσεις ακολουθούν μια αναλυτική κατανομή (κανονική ή άλλη)

Διακύμανση συνδιακύμανση (Variance- Covariance ή Delta Normal) Υποθέτουμε ένα απλό χαρτοφυλάκιο που αποτελείτε από μία μόνο μετοχή της Microsoft. Συγκεκριμένα έχουμε επενδύσει $10(εκατομμύρια) σε μετοχές της Microsoft Ενδιαφερόμαστε για τον υπολογισμό της VaR, υποθέτουμε Ν=10 και Χ=99, σ day = 2% (τυπική απόκλιση της μετοχής) Επειδή η θέση μας στην μετοχή είναι $10 (εκατομμύρια) άρα η τυπική απόκλιση της καθημερινής μεταβολής της αξίας της επένδυσής μας στην μετοχή είναι σ day = 2% ή $200,000 (0.02 x 10,000,000)

Διακύμανση συνδιακύμανση (Variance- Covariance ή Delta Normal) Επίσης, είναι ρεαλιστικό να υποθέσουμε ότι η κατανομή των μεταβολών της αξίας ή των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου ακολουθεί μία κανονική κατανομή με χρονικό ορίζοντα μιας ημέρας Η ετήσια αναμενόμενη μεταβολή στην απόδοση της μετοχής είναι 20% άρα το παραπάνω μέγεθος σε όρους ημέρας είναι 0,20 ή 0,08% 252 περίπου(περίπου μηδέν), ενώ σ day = 2% ή $200,000 (0.02 x 200,000) Συνεπώς Ν(-2.33)=0.01

Διακύμανση συνδιακύμανση (Variance- Covariance ή Delta Normal) Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει 1% πιθανότητα, μια μεταβλητή που ακολουθεί κανονική κατανομή να μειωθεί η αξία της περισσότερο από 2.33 τυπικές αποκλίσεις. Με άλλα λόγια, είμαστε 99% βέβαιοι ότι η αξία δεν θα μειωθεί περισσότερο από 2.33 τυπικές αποκλίσεις η αξία μιας μεταβλητή που ακολουθεί κανονική κατανομή Συνεπώς, 1 day 99% VaR του χαρτοφυλακίου μας είναι: 2.33 x 200,000=$466,000 Γενικά, το Ν-day VaR είναι Ν επί το 1-day VaR Αρά, το 10- day 99% VaR του χαρτοφυλακίου μας είναι: 466,000 x 10=$1,473,621

Διακύμανση συνδιακύμανση (Variance- Covariance ή Delta Normal) Υποθέστε ότι έχουμε επενδύσει $5(εκατομμύρια) σε μετοχές της εταιρείας ΑΤ&Τ Συνεπώς μια παρόμοια ανάλυση όπως για το VaR στην περίπτωση της Microsoft και με σ day = 1% σ day = 5,000,000 x 0.01 =50,000 (τυπική απόκλιση μετοχής σε όρους αξίας) Υποθέτουμε ότι η κατανομή των μεταβολών της αξίας ή των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου ακολουθεί μία κανονική κατανομή με χρονικό ορίζοντα μιας ημέρας

Διακύμανση συνδιακύμανση (Variance- Covariance ή Delta Normal) Συνεπώς, 1 day 99% VaR του χαρτοφυλακίου μας είναι: 50,000 x 2.33=$116,500 Και το 10- day 99% VaR του χαρτοφυλακίου μας είναι: 116,500 x 10=$368,405

Διακύμανση συνδιακύμανση (Variance- Covariance ή Delta Normal) Υποθέστε τώρα ότι το χαρτοφυλάκιο μας περιλαμβάνει τις παραπάνω δύο μετοχές ($10 Microsoft και $5 ΑΤ&Τ). Υποθέτουμε επίσης ότι οι δύο μετοχές ακολουθούν αμοιβαία κανονική κατανομή(bivariate Normal Distribution) με μία γραμμική συσχέτιση 0.3 Θυμηθείτε, η τυπική απόκλιση δύο μεταβλητών Χ και Υ με συσχέτιση ρ, και τυπικές αποκλίσεις σ Χ και σ Y αντίστοιχα σ X+Y = σ Χ 2 + σ Y 2 + 2ρσ X σ Y

Διακύμανση συνδιακύμανση (Variance- Covariance ή Delta Normal) H τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου μας σε όρους αξίας και χρονικό ορίζοντα μιας ημέρας 200,000 2 + 50,000 2 + 2 x 0.3 x 200,000 x 50,000 = 220,227 Επίσης, είναι ρεαλιστικό να υποθέσουμε ότι η κατανομή των μεταβολών της αξίας ή των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου ακολουθεί μία κανονική κατανομή με χρονικό ορίζοντα μιας ημέρας

Διακύμανση συνδιακύμανση (Variance- Covariance ή Delta Normal) Συνεπώς, 1 day 99% VaR του χαρτοφυλακίου μας είναι: 220,227 x 2.33=$513,129 Και το 10- day 99% VaR του χαρτοφυλακίου μας είναι: 513,129 x 10=$1,622,657

Διακύμανση συνδιακύμανση (Variance- Covariance ή Delta Normal) Πιο γενικά για ένα χαρτοφυλάκιο αξίας P που αποτελείται από n περιουσιακά στοιχεία μεγέθους επένδυσης α i στο περιουσιακό στοιχείο i (1 i n). Ορίζουμε ως Δx i την απόδοση του περιουσιακού στοιχείου i σε μία ημέρα. Συνεπώς η μεταβολή της αξίας της επένδυσης σε μια ημέρα στο περιουσιακό στοιχείο i είναι α i Δx i Ενώ η μεταβολή της αξίας της επένδυσης σε μια ημέρα στο χαρτοφυλάκιο είναι: n ΔP=σ i=1 α i Δx i

Διακύμανση συνδιακύμανση (Variance- Covariance ή Delta Normal) Στο παραπάνω παράδειγμα ΔP=10Δx 1 + 5Δx 2 Υποθέτουμε ότι το Δx i μια πολυμεταβλητή κανονική κατανομή, το ΔP ακολουθεί μία κανονική κατανομή. Για να υπολογίσουμε το VaR χρειάζεται μόνο να υπολογίσουμε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του ΔP. Έχοντας υποθέσει ότι η αναμενόμενη αξία του κάθε Δx i είναι μηδέν συνεπώς έχουμε μέση τιμή του ΔP ίση με μηδέν

Διακύμανση συνδιακύμανση (Variance- Covariance ή Delta Normal) Στο παράδειγμα μας για την μετοχή της Microsoft και της AT&T: σ 1 = 0.02, σ 2 = 0.01, και ρ 12 = 0.3, ενώ α 1 = 10, α 2 = 5 σ P 2 = 10 2 +0.02 2 + 5 2 x 0.01 2 + 2 x 10 x 5 x 0.3 x 0.02 x 0.01 = 0.0485 Συνεπώς σ P = 0.220227. Η τυπική απόκλιση της μεταβολής της αξίας του χαρτοφυλακίου σε όρους ημέρας (σε εκατομμύριά δολάρια). Το 10 day 99% VaR είναι 2.33 x 0.220 x 10=$1.623 (εκατομμύριά δολάρια) το οποίο ποσό συμφωνεί με τους προηγούμενους υπολογισμούς μας.

Παράρτημα

Παράρτημα Κανόνες που διέπουν την Συνάρτηση Αθροιστικής Σχετικής Συχνότητας (είτε χρησιμοποιούμε < ή δεν έχει σημασία όταν η Ζ είναι συνεχής μεταβλητή) Pr(Z<z)=Φ(z) Pr(Z>z)= 1-Φ(z) Pr(Z<-z)=Pr(Z>z) Pr(a Z b)=φ(b) Φ(a)

Παράρτημα

Παράρτημα k μ=ε(χ)=σ j=1 x j f x x j =x 1 f 1 x 1 σ 2 = V X = E[ X μ 2 ] + x k f k x k Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) Η συνδιακύμανση παίρνει τιμές μεταξύ - και + ρ= Cov(X,Y) V(X) V(Y) Η συσχέτιση παίρνει τιμές μεταξύ -1 και 1 Και οι δύο εκφράζουν την γραμμική συσχέτιση μεταξύ δύο μεταβλητών

Παράρτημα Εάν Χ είναι ένας σταθερός αριθμός (c), τότε ισχύει Ε(X)=c Εάν Χ είναι μία τυχαία μεταβλητή και a και b κάποιοι σταθεροί αριθμοί έτσι ώστε Ζ= a + bx, τότε ισχύει Ε(Z)=a +be(x) και V(Z)=b 2 V(X) Εάν Χ και Y είναι τυχαίες μεταβλητές και a και b κάποιοι σταθεροί αριθμοί, τότε ισχύει Ε(aΧ + by)=ae(x) +be(y) V(aX + by)= a 2 V(X) + b 2 V Y + 2abcov(X,Y)

Βιβλιογραφία Σπύρος Ι. Σπύρου, Αγορές χρήματος και κεφαλαίου, Γ Έκδοση, Εκδόσεις Γ.Μπένου Αθήνα, 2013 Ιωάννης Ν. Αποστολόπουλος, Ειδικά Θέματα Χρηματοδοτικής Διοικήσεως, Γ Έκδοση, Εκδόσεις Αθ. Σταμούλη Αθήνα, 2012 Γεώργιος Α. Θάνου και ΙωάννηςΓ. Θάνου, Χρηματοδοτική των Επιχειρήσεων, Α Έκδοση, Αθήνα, 2012 Jonathan Berk and Peter DeMarzo, Corporate Finance, Global Edition. John C. Hull, Options, futures and other derivatives 7 th edition, Pearson-Prentice Hall, 2008