ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ HMITONIKH ΔΙΕΓΕΡΣH (HMITONIKH ANAΛYΣΗ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 1/5
Τι περιλαμβάνει Εκθετική διέγερση Φάσορας Επίλυση κυκλώματος μετασχηματισμός των στοιχείων Εμπέδηση Ισχύς ενεργός τιμή μεταφορά μεγίστης ισχύος Μιγαδική συχνότητα /5
πλάτοςvolts Ελεύθερη και εξηναγκασμένη απόκριση 4 υ i υ o 3 1 0 1-1 - 3-3 -4 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 1.8 t s -3 x 10 υ(t)=.89e -000t -3.033συν(π1000t-16.34 o ) 3/5
Η ημιτονική απόκριση = εξηναγκασμένη απόκριση (t) = Vm ( t) (t) = Vm ( t + ) V m 0 Τ t 4/5
Εκθετική διέγερση - Φάσορας τύπος του Euler: j(ωt+φ) e = συν(ωt + φ) + jημ(ωt + φ) Vm συν(ωt V m συν(ωt + φ) +φ) jv ημ( ωt φ) m V m e j(ωt+φ) V m e jφ V m φ 5/5
Φάσορας Τι κερδίζουμε με τον μετασχηματισμό αυτό? Τελικά: Vm συν(ωt + φ) V m e jφ μιγαδικά αντί τριγωνομετρικών μεγεθών 6/5
φανταστικός άξονας παράσταση του μιγαδικού z = x + jy = r. φ πραγματικός αξονας πχ. V 4 3j 4 3 tan -1 (3/4) 5e j36.8 536. 8 7/5
Πολλαπλασιασμός- διαίρεση μιγαδικών V Z 4 3 3j 4j 5e 5e j36. 87 j53. 13 1e e j[ 36. 87( 53. 13)] j90 j V Z ( 4 3j)( 3 4j) 116j 9j1j 1 7j1 4 7j 5-16.6 V Z ( 4 3j)( 3 4j) 5( 36. 87 53. 13) 5-16.6 4 7 536. 87 tan 1 ( 7 / 4) 5 53. 13 8/5
Φάσορας - γραφικά υ υ=00συν(t+60) 00 j t 60 o -00 60 ο re V 0060 o 9/5
παράδειγμα 1 υ(t) = 100ημ(1000t + 30) (t) = 100συν(1000t- 60) Προσοχή Συνημίτονο! V 100e -j60 100 60 αντίστροφα: V 3075 υ(t) 30συν(ωt 75) 10/5
παράδειγμα Να βρεθεί το άθροισμα των τάσεων υ 1 (t)=3.606 συν(ωt+56.3) και υ (t)=6συν(ωt-60) Οι φάσορες είναι: V V 1 = 3.606e = 6e j60 j56.3 = 3.606( 56.3+ j56.3)= + 3j 6[ (-60)+ j(-60)] = 3 - j3 3 το άθροισμα των δύο φασόρων είναι: V o 1 = (+ 3j)+(3 j3 3 5.19j = 5.458 3. 65 + V Αντιστρέφοντας έχουμε: 1 5.458( t 3.65) 11/5
φασορας -σύνοψη Μετατροπή σε συνημιτονικά σήματα Μετασχηματισμός φάσορα (μιγαδικός) Εκτέλεση των πράξεων (με μιγαδικά μεγέθη) Αντίστροφος μετασχηματισμός του φάσορα πεδίο χρόνου V 1 V V 3 ω 1/5
πρώτη προσέγγιση επίλυση κυκλώματος Εξηναγκασμένη Απόκριση : i(t)=ie jωt RIe I και Ε είναι οι φάσορες Διέγερση: e(t)=ee jωt Δικαιολογείται di 1 η jt ΔΕ: Ri + L + i dt = Ee dt C απαλοιφή του εκθετικού από τον μετασχηματισμό jt jt 1 jt jlie Ie jc φάσορα?? E I= R+j L+ 1 jc Ee jt 13/5
14/5
Μετασχηματισμός των στοιχείων R L C Αντίσταση R υ(t)=ri(t) V e = R I e j t jt V = I R V = I R 15/50
Χωρητικότητα C d i(t) = C dt jt jt d(ve ) Ie = C dt I = jc V d i(t) = C dt I = jc V 16/5
Επαγωγή L di = L dt jt jt d(ie ) V e = L dt V = jl I di = L dt V = jl I 17/5
Τελικά Ι Ι Ι V R V jω L V 1/jωC V και I συνδέονται με γραμμικές σχέσεις όπως ακριβώς το ρεύμα και τάση στην αντίσταση (νόμος του Οhm) V I έ impedance 18/5
Εμπέδηση impedance (σύνθετη αντίσταση) Η εμπέδηση είναι μιγαδικό μέγεθος Z=R+jX Ωμική αντίσταση (resistance) Άεργη αντίσταση (reactance) χωρητική (για πυκνωτή) Z C = V I = 1 j C επαγωγική (για πηνίο) Z L = V I = j L 19/5
εμπέδηση -παράδειγμα Z V I 1 R j L j C 0/5
δύο απλά κυκλώματα τι διαφέρουν??? V V o i R jrωc 1 Vo jωc 1 R 1 1 jωrc V jωrc jωc i R 1 1 jωc 1/5
Μετασχηματισμός του κυκλώματος το πρώτο βήμα στην ανάλυση /5
Πόσο είναι το ρεύμα στην αντίσταση??? ένα πολύ απλό κύκλωμα υ 1 =3.5sin(ωt+45), υ =sin(ωt) υ 1 =3.5cos(ωt-45), υ =cos(ωt-90) V 1 3.5 45 V 90 j45 V1 3. 5e 3. 5(cos45 jsin45) 3. 5( j ).4749(1 j) V j V V.4749.4749 j j.4749 0.4749 j.5-10.9 1 (t).5cos( t-10.9).5sin( t 79.1) i(t) 0.5sin( t 79.1) ma Λύνεται χωρίς χρήση φασόρων?? 3/5
Λύση χωρίς χρήση φασόρων υ 1 =3.5sin(ωt+45), υ =sin(ωt) πλάτος φάση= Αρα: i(t)=0.5sin(ωt+79.1) ma 4/5
5/5
Ανάλυση βρόχων e 1 (t)=10συν(t-30) και e (t)=5συν(t+45) 0.5F H i 1 Ω e 1 e i 1 i 1H μετασχηματίζουμε: 1 = 10-30 E = 545 E Z C Z L ZC = = 1 jωc jωl Z 1 L1 = 1 j 0.5 = -jω = j1= jω R E 1 I 1 I E Z L1 = jωl Z L = j = 4jΩ 6/5
συνεχίζουμε την ανάλυση. -j 4j 1 E 1 I 1 I E j I I 1 I1(-j+1+ j) - I(1+ j) = E1 =10-30 = 8.66- j5 - I1(1+ j) + I(4j+ j+1) = -E = -545 = -3.535- j3.535 I I 3.558- j10.= 10.8-70.8 i(t) = 10.8συν(t- 70.8) 7/5
Διαιρέτης ρεύματος I 10 Ω Ι 1 Ι Ζ εισ 10 j Ω - 0 j Ω Πόσο είναι το ρεύμα Ι?? Ε s =100 V 0 Ω 10Ω Z I1 = (0 + j10)(10 - j0) 30 - j10 = 10 + = 10 +15 - j5 = 5 - j5 100 I = = 3.911.3 A 5 - j5 10 - j0 (1- j)(3 + j) I = I =.308 - j1.538 30 - j10 10 =.774-33.7 I = 0 +10j I =.77456.3 30-10j 8/5
Μετασχηματισμός πηγών 9/5
Θεώρημα Thevenin 30/5
Θεώρημα Thevenin -παράδειγμα Να βρεθεί το ρεύμα Ι j - 5j I α 0.8+1.6j α - 5j I 0 0 4 Ω 15 30 Thevenin 16-8j 13+7.5j β β V Z Th Th = 0 4 4 + j = 16-8j 4 j = = 0.8 +1.6j 4 + j V = 1530 = 13+ 7.5j I = (13+7.5j)-(16-8j) =4.5 177.7 (-5j)+(0.8+1.6j) 31/5
Θεώρημα Νorton 3/5
Πηγές με διαφορετικές συχνότητες Πώς θα εφαρμοσθεί η μέθοδος των φασόρων εδώ για να βρεθεί η τάση υ ο? υπέρθεση 33/5
34/5
Ισχύς ημιτονικών σημάτων - ενεργός τιμή (RMS) στιγμιαία ισχύς και μέση ισχύς p, P 35/5
ενεργός τιμή ημιτονικού ρεύματος συν α 1 συν α i(t)=i m συν(ωt+φ) m I RMS= I T T 1 1 1 RMS = dt m ( t + dt = m = ) I i I I T T 0 0 υ(t)=v m συν(ωt+φ) m V RMS = V 36/5
μέση ισχύς σε δίπολο συνα συνβ 1 συν(α β) συν(α β) υ(t)= V m συν(ωt+φ) i(t)= I m συν(ωt+ψ) i(t) υ (t) κύκλωμα Στιγμιαία ισχύς: p(t)= V m συν(ωt+φ) I m συν(ωt+ψ) Μέση ισχύς: P = Τελικά: 1 π P = π 0 I m 1 T V T p(t)dt 0 m = 1 T T I 0 m συν(ωt + φ)v συν(ωt + φ)συν(ωt + ψ)dθ m συν(ωt + ψ)dt P = 1 Im Vm ( - ) I V ( - ) RMS RMS συν(φ-ψ) = συντελεστής ισχύος 37/5
Ισχύς σε αντίσταση i Επειδή συν φ 1 υ P R=IRMS VRMS p P 0 t RMS I RMS = V R P = I R RMS RMS R = V R Η μέση τιμή της ισχύος είναι 0 38/5
Ισχύς σε στοιχεία C και L i σε πυκνωτή υ p P=0 t Η μέση τιμή της ισχύος είναι = 0 C, L = στοιχεία αποθήκευσης 39/5
παράδειγμα 1 180.7 Ω j 0 Ω Ι RMS =65Α V RMS =1300 V Z L =jx L Δίνεται η ενεργός τιμή της τάσεως και του ρεύματος Ζητείται η εμπέδηση του πηνίου Ζ L και ο συντελεστής ισχύος στη πηγή τάσεως Z = V I RMS RMS 1300 = 65 = 03.1Ω Z = 180.7 + (0 + X L )j Z =180. 7 +(0+ XL) = 03.1 Για τον συντελεστή ισχύος υπολογίζουμε XL 7.7 ( ) ί I= 1300 0 180.7+j9.7 =65-7. A συν7.=0.89 40/5
παράδειγμα Να βρεθεί η ισχύς που καταναλώνεται : α) Στην αντίσταση και β) Σε όλο το κύκλωμα. e=e m συν(ωt) i=i m συν(ωt+φ). φ tan 1 ωl ωc R I m m 1 1 R E (ωl ) ωc υπολογίζω Η ισχύς στην αντίσταση P R 1 = I m R = 1 R E m R + (ωl - 1 ωc ) Η ισχύς συνολικά από την πηγή P o 1 = I m E m συνφ = 1 R E m + (ωl - 1 ωc ) συνφ 41/5
Γιατί P r και P o ταυτίζονται??? Από το κύκλωμα: Ζ jωl - j 1 ωc R Im 1 L 1 R +( L C ) C φ Z συνφ = R R + (ωl - 1 ωc ) R Re 4/5
Μεταφορά μεγίστης ισχύος φορτίο R s jx s α Κύκλωμα Ν με γραμμικά στοιχεία και ΙΑΠ α β E s β R L jx L I = R s + R L Es + j( X s + X L ) Es RL PL = IRMSRL = (Rs + RL) + (Xs + XL) για το μέγιστο της ισχύος P L: R L = R s PL R =0 L X L = - X s PL X =0 L Η μέγιστη ισχύς : P Lmax = s E 4R s 43/5
Μεταφορά μεγίστης ισχύος σε Ωμικά κυκλώματα R s υ R L Για R L =R s έχουμε μέγιστη τιμή της ισχύος P 44/5
Παράδειγμα -3j 5Ω α Z Th α 5Ω 4j V Th E s =1030 β Ποία είναι η τιμή της Ζ για μέγιστη μεταφορά ισχύος? Ε s =1030=8.66+5j V Z Th Th β 4j = Es = 4Es 4j- 3j 4j(-3j) = = -1j 4j- 3j Ζ=5+1j P max 16100 = 4 5 = 80W 45/5
Πραγματική και Άεργος ισχύς i R jx + υ - p(t)= ι(t)υ(t)=v m συν(ωt) I m συν(ωt-θ) p(t)=½ V m I m συν(θ) +½ V m I m συν(ωt-θ) p(t)= ½ V m I m [συν(θ) +συνθ συν(ωt)+ημθημ(ωt)] επειδή Ζ = V m /I m = V RMS /I RMS p(t)= I RMS Z [συν(θ) +συνθ συν(ωt)+ημθημ(ωt)] και επειδή Z=R+jX, R= Z συνθ, Χ= Ζ ημθ Im jx θ R Z Re p(t)= I RMS R + I RMS R συν(ωt) + I RMS X ημ(ωt) μέση ισχύς κυμάτωση ισχύος άεργος ισχύς 46/5
Πραγματική και Άεργος ισχύς ½ V m I m ½ V m I m συν(θ) p(t)= ½ V m I m [συν(θ) +συνθ συν(ωt)+ημθημ(ωt)] p(t)= I RMS R + I RMS R συν(ωt) + I RMS X ημ(ωt) 47/5
Μιγαδική Ισχύς Ορισμός S= V I* Φάσορες RMS S= V I*=Ζ I I*=Ζ I RMS επειδή Ζ=R+jX Ενεργός τιμή S= I RMS R+ ji RMS X 48/5
S= P+jQ Δηλαδή S=μέση ισχύς + j άεργος ισχύς Μιγαδική ισχύς φαινόμενη ισχύς (apparent power) θ P S Q Μονάδες ισχύος p(t)watts (w) Μέση ισχύς Watts (w) Μιγαδική ισχύς Volt-Amps (VA) Άεργη ισχύς Volt-Amps Reactive (VAR) 49/5
παράδειγμα Z=R+j0 Υπολογίζω: Ι=Α Μέση πραγματική ισχύς P I R 40W Q I X 0 VAR Άεργη ισχύς S I Z 40 VA Μιγαδική φαινόμενη ισχύς 50/5
Z=0+jΧ Υπολογίζω: 10 10 I 1.989 160m60 60.319 P I R 0 W Μέση πραγματική ισχύς Q I X 38.73 VAR Άεργη ισχύς S I Z 38.73 VA Μιγαδική φαινόμενη ισχύς 51/50
Z=R+jΧ 10 Υπολογίζω: I 1.41 60 60.319 P I R 119.365 W Μέση πραγματική ισχύς Q I X 119.998 VAR Άεργη ισχύς S I Z 169.56 VA Μιγαδική φαινόμενη ισχύς 5/5