HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Transcript

1 HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς

2 Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά στη μηχανική χρησιμοποιούμε τεχνικές οι οποίες αναλύουν ένα πρόβλημα σε απλούστερα επιμέρους προβλήματα Στη θεωρία Σημάτων και Συστημάτων αυτό μπορεί να γίνει εκφράζοντας ένα σήμα ως συνδυασμό βασικών σημάτων, δηλ. εκφράζοντας πιο περίπλοκα σήματα ως γραμμικό συνδυασμό πιο απλών (βασικών) σημάτων Ειδικά στην περίπτωση ΓΧΑ συστημάτων, η προσέγγιση αυτή δίνει ισχυρά αποτελέσματα λόγω των ιδιοτήτων αυτών των συστημάτων (αρχή της υπέρθεσης) Παράδειγμα: Εκφράζοντας ένα σήμα ως γραμμικό συνδυασμό μοναδιαίων κρουστικών σημάτων μετατοπισμένων στο χρόνο καταλήξαμε στο συνελικτικό ολοκλήρωμα (ή άθροισμα σε διακριτό χρόνο) χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ΓΧΑ συστημάτων

3 Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα x(t) ΓΧΑ σύστημα y(t) h Δ () t x(t) ΓΧΑ σύστημα y(t) Στο όριο + x() t = x( τ ) δ( t τ) dτ x(t) y(t) () = ( ) ( ) ΓΧΑ σύστημα y t x τ h t τ dτ = xt ()* ht ()

4 Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Γενικά, ταβασικάσήματαπρέπειναείναιτέτοιαώστε: σήματα είναι τέτοια να μπορούμε να εκφράσουμε μια ευρεία και χρήσιμη γκάμα πιο περίπλοκων σημάτων με βάση αυτά τα σήματα η απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος σε κάθε ένα από αυτά να είναι αρκετά απλή ώστε να μας οδηγεί σε βολικές αναπαραστάσεις της απόκρισης του συστήματος σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των βασικών σημάτων (αρχή υπέρθεσης) Π.χ. μπορούμε να ψάξουμε για βασικά σήματα για τα οποία η απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος να είναι απλά το ίδιο το βασικό σήμα πολλαπλασιασμένο με μια σταθερά, δηλ. ΓΧΑ σύστημα Σε αυτή την περίπτωση, τα βασικά σήματα φ k (t) () ονομάζονται ιδιοσυναρτήσεις (eigenfunctions) και οι σταθερές λ k ιδιοτιμές του συστήματος

5 Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Θα δούμε ότι και οι δύο ιδιότητες πληρούνται όταν τα βασικά σήματα είναι μιγαδικά εκθετικά σήματα, δηλ. σήματα της μορφής e st σε συνεχή χρόνου ή z n σε διακριτό χρόνο Τα σήματα αυτά είναι τέτοια που: Σχεδόν όλα τα σήματα που συναντάμε στην πράξη μπορούν να εκφραστούν με βάση τα παραπάνω σήματα Σε συνεχή χρόνο: Περιοδικά σήματα Σειρές Fourier, Απεριοδικά σήματα Μετασχηματισμός μ Fourier Η απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε ένα μιγαδικό εκθετικό σήμα είναι επίσης μιγαδικό εκθετικό σήμα της ίδιας μορφής, άρα τα μιγαδικά εκθετικά σήματα αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις ΓΧΑ συστημάτων

6 Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα st xt () = e s Σε συνεχή χρόνο ( ) yt () h( ) e st τ τ d = τ = sτ st = h( τ) e dτ e = H( s) x( t) s όπου H () s = h () τ e τ d τ συνάρτηση μεταφοράς (transfer function) Λόγω της αρχής της υπέρθεσης, η απόκριση σε ένα γραμμικό συνδυασμό μιγαδικών εκθετικών σημάτων θα είναι:

7 Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα n xn [ ] = z z Σε διακριτό χρόνο όπου H ( z) = h[ m] z m= m Όπως και σε συνεχή χρόνο: [ ] [ ] n yn = hmz m = m= = hmz [ ] z = H( z) z m= = m n n συνάρτηση μεταφοράς (transfer function)

8 Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Επομένως η απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα είναι επίσης μιγαδικά εκθετικά σήματα του ίδιου τύπου μετασχηματισμένα μ κατά πλάτος το οποίο καθορίζεται από τα χαρακτηριστικά του συστήματος (συνάρτηση μεταφοράς H(s)/H(z) η οποία με καθορίζεται από την κρουστική απόκριση h(t) / h[n]) ΓΧΑ σύστημα Τα μιγαδικά εκθετικά σήματα st k n μγ x() t = e και x [ n ] = z k αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις ΓΧΑ Συστημάτων και οι (μιγαδικές) σταθερές Η(s k ) και H(z k ) αποτελούν ιδιοτιμές τους Παράδειγμα: xt () ae ae ae st 1 s2t s3t = + + st s t yt () = ah( s) e + ah( s) e + ah( s) e s t

9 yt () = xt ( 3) ht () = δ ( t 3) sτ H () s = δτ ( 3) e d τ= e x() t = e j2t Εάν τότε yt H j e e e Εάν Παράδειγμα 3s () ( 2) j t = = j j t Ιδιοτιμή Ιδιοσυνάρτηση ρη η 1 j4t j4t 1 j7t j7t xt ( ) cos(4 t) cos(7 t) [ e e = + = + ] + [ e + e ] j 4 t j 4 t 1 j 7 t j 7 t y() t = [ H( j4) e + H( j4) e ] + [ H( j7) e + H( j7) e ] = j4 j4t 3 j4 j4t 1 3 j7 j7t 3 j7 j7t = [ e e + e e ] + [ e e + e e ] = 2 2 e j6 = cos(4( t 3)) + cos(7( t 3))

10 Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Μπορούμε να καταλήξουμε σε παρόμοια συμπεράσματα εάν χρησιμοποιήσουμε την αναπαράσταση ενός ΓΧΑ συστήματος με ΔΕ n k m k d y () t d x () t ak = k b b k k k= 0 dt k= 0 dt st Έστω ότι η είσοδος είναι το μιγαδικό εκθετικό σήμα: xt () = Xe όπου Χ γνωστή μιγαδική σταθερά ά( ( X ) Είδαμε (μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών) ότι η απόκριση είναι επίσης της μορφής : st y() t = Ye, Y Αντικαθιστώντας: n m k st k st ayse k bxse k k= 0 k= 0 = m k bs k m m 1 k= 0 bs m + bm 1 s bs 1 + b0 n n n 1 k n + n as k k = 0 Y H() s = = X as a s as a Συνάρτηση μεταφοράς (transfer function)

11 Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά k m k σήματα n d y () t d x () t ήμ ak = k bk k k= 0 dt k= 0 dt Συνάρτηση μεταφοράς: H() s m bs m + b s bs+ b = n as + a s + + as+ a n m 1 m n 1 n Ρίζες αριθμητή: Μηδενικά (zeros) του συστήματος Ρίζες παρονομαστή: Πόλοι (poles) του συστήματος Η ευστάθεια ενός ΓΧΑ συστήματος εξαρτάται από τη θέση των πόλων του στο μιγαδικό επίπεδο Η συνάρτηση μεταφοράς αποτελεί πλήρη περιγραφή του συστήματος x(t) H(s) y(t)

12 Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε συνημιτονοειδή σήματα Έστω ότι η είσοδος είναι έχει φανταστικό εκθέτη, δηλ. s=jω: xt () = j t Xe ω Γράφοντας το X σε πολική μορφή, δηλ. xt () Xe e Xe jφ jωt j( ωt+ φ) = = = = X cos( ω t + φ ) + j X sin( ω t + φ ) X = j X e φ Η συνάρτηση μεταφοράς για s=jω γράφεται σε πολική μορφή: j H H ( j ω ) = H ( j ω ) e θ, θ = H( j ω) Από τον ορισμό της συνάρτησης μεταφοράς: H yt () XH () se X H ( j ) e ω φ θ st j( t+ + ) = = ω = H = X H( jω) [cos( ωt+ φ+ θ ) + jsin( ωt+ φ+ θ )] H H

13 Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε συνημιτονοειδή σήματα Λόγω γραμμικότητας x() t = x1() t + jx2() t y1() t + jy2() t Ισοδύναμα: Re{x(t)} Re{y(t)} Ιm{x(t)} Im{y(t)} Άρα η απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος σε ένα συνημιτονοειδές σήμα είναι επίσης συνημιτονοειδής, δηλ: X cos( ω t + φ ) X H ( j ω ) [cos( ω t + φ + θ )] όπου θ H = H( jω) H

14 2 d y dy () t + 3 () t + 2 y() t = 10 x() t 2 dt dt 10 H () s = 2 s + 3s+ 2 Έστω XH j Παράδειγμα 0 xt ( ) = 5cos(2t+ 40 ) 0 ( 2) ( 2) = = = j + j + + j = = = arctan( 6 ) y () t = 7.905cos(2 t 68.4 ) 0