Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο

1.1. ΜΕΛΕΤΗ ΣΑΕ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ (ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Bode) Τα διαγράμματα Bode (Bode diagrams 1938) ή λογαριθμικά διαγράμματα αποτελούνται από δύο καμπύλες: Καμπύλη πλάτους G( j ) σε decibel(db) συναρτήσει του ω Καμπύλη φάσης = G( j ) σε decibel(db) συναρτήσει του ω Τα διαγράμματα Bode παρέχουν πληροφορίες για την απόλυτη και τη σχετική ευστάθεια των γραμμικών συστημάτων κλειστού βρόχου. Ένα από τα κύρια πλεονεκτήματα της απόκρισης συχνότητας είναι ότι επιτρέπει τη διερεύνηση της ευστάθειας του κλειστού συστήματος με γνώση των χαρακτηριστικών της απόκρισης συχνότητας του ανοικτού συστήματος. 1.1.1. Διαγράμματα BODE βασικών παραγόντων Ας θεωρήσουμε τη γενική μορφή μιας συνάρτησης μεταφοράς, G(jω) G( j ) = K ( j T + 1)( j T + 1) n ( j ) ( j T + 1)[( j ) + 2 ( j ) + ] 3 2 1 2 2 2 n n (4.79) Τα διαγράμματα Bode σχεδιάζονται σε ημιλογαριθμικό χαρτί και είναι οι καμπύλες του πλάτους και της φάσης της G(jω) όπου για το πλάτος σε db έχουμε: 201og Gω) = 201og K + 201og jωt + l + 401og jωt + 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 3 n n 20nlog jω 201og jωτ + 1 201og jω + 2ζω jω + ω 201og G( jω) 201og K 201og ( ωt ) l 401og ( ωt ) 1 2 2 = + 1 + + 2 + 2 2 ( n ) 2 2 2 3) + nω) 20nlogω 201og ( ωτ + 1 201og ω ( 2ζω (4.80) Για την φάση σε μοίρες(deg) έχουμε: = G( jω) = + ( jωt + l) + 2 ( jωt + 1) 1 2 ( ) ( ) 2 2 3 n n n jω ( jωτ + 1) [ jω + 2ζω jω + ω ] = = G( jω) = 0 + tan T + 2 tan T n 90 tan T tan 2 1 1 o 1 1 n 1 2 3 2 2 n (4.81) MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 1

1.1.2. Σχεδιασμός διαγραμμάτων Bode Η χάραξη του Διαγράμματος Bode περιλαμβάνει δύο καμπύλες, την καμπύλη μέτρου (magnitude plot) και την καμπύλη φάσης (phase plot), και οι δύο με οριζόντιο άξονα τη συχνότητα. Οι καμπύλες τοποθετούνται πάντα η πρώτη πάνω από τη δεύτερη, με ευθυγραμμισμένους τους οριζόντιους και τους κατακόρυφους άξονές τους, και ερμηνεύονται πάντα μαζί. Για ένα γραμμικό ανοιχτό σύστημα, με συνάρτηση μεταφοράς έστω G(s), θεωρούμε το σύστημα στη Μόνιμή του Κατάσταση (Steady State) οπότε η μεταβλητή s του Laplace αντικαθίσταται από το φανταστικό της μέρος, s -> jω, και η συνάρτηση μεταφοράς, G(jω), ως μιγαδική ποσότητα, δεν μπορεί να παρασταθεί με ένα γράφημα στις δύο διαστάσεις, δηλαδή στο χαρτί ή στην οθόνη. Για το λόγο αυτό, υπολογίζεται και σχεδιάζεται χωριστά i. το μέτρο της, έστω G(jω), ως συνάρτηση της συχνότητας ω, και ii. η φάση της, έστω G( j ), ως συνάρτηση της συχνότητας ω. Στην καμπύλη μέτρου, ο κατακόρυφος άξονας λογάριθμίζεται και για την ακρίβεια αναπαριστά όχι την ποσότητα G(jω) αλλά την ποσότητα 20log10G(jω)(dB). Έτσι επιτυγχάνεται η αναπαράσταση στο ίδιο γράφημα τόσο των πολύ μικρών όσο και των πολύ μεγάλων τιμών του μέτρου, χωρίς να χαθούν οι λεπτομέρειες. Στην καμπύλη φάσης ο κατακόρυφος άξονας δεν λογάριθμίζεται διότι οι τιμές της φάσης είναι πάντα φραγμένες, δηλαδή περιορισμένες σε ένα πλήρη κύκλο, είτε από 0 έως 360, είτε από - 180 έως + 180. Τέλος, και στις δύο καμπύλες, ο οριζόντιος άξονας της συχνότητας ω συνήθως λογαριθμίζεται (log10ω), (α) διότι έτσι μπορεί να παρασταθεί μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων μέσα σε μικρό φυσικό μήκος, αλλά και (β) διότι αποδεικνύεται ότι οι καμπύλες συστημάτων 1ου βαθμού σε λογαριθμισμένους άξονες προσεγγίζονται ικανοποιητικά από ευθείες με σταθερή κλίση. Σημειώνεται ότι αρκετά συστήματα που είναι στην πραγματικότητα ανώτερου βαθμού, μπορούν να προσεγγιστούν ικανοποιητικά ως 1 ου βαθμού, με τυπικό παράδειγμα όλους τους ηλεκτρονικούς ενισχυτές ευρείας ζώνης (broadband amplifiers). 1.1.2.1. Διαγράμματα Bode βάση τον τύπο συστήματος Σ.Μ.Α.Β * Ο τύπος συστήματος(s p )χαρακτηρίζεται από τους πόλους(p) στο μηδέν όπου έχουμε την οριακή ευστάθεια του συστήματος. Ο όρος της Σ.Μ. στην σχέση 4.79 Κ/(jω) n, χαρακτηρίζει την 1 η κλίση του διαγράμματος. Στον Γ.Τ.Ριζών όπως γνωρίζουμε όταν προσθέτουμε πόλους στο μηδέν τότε ο Γ.Τ.Ριζών κινείται προς το δεξιό ημιεπίπεδο-s και το αντίστροφο. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 2

Συνεπώς στα διαγράμματα Bode έχουμε για την 1 η κλίση τα εξής: 1. Σταθερός όρος Συστήματα τύπου 0 ή s 0 =(jω) 0 =1,(σφάλμα θέσης Ep): K K G( s) = = G( j ) = 0 0 S ( j ) = 1 20log G(jω) =20log(K) Η 1 η κλίση του διαγράμματος -20db/ δεκ.. Η τιμή του Κ υπολογίζεται από τον τύπο 20logK=Kdb * 20 1 => K = 10 = 10 = 10 Διάγραμμα φάσης ** φ= G( j ) = = K = 0 o. 0 s 20 Σχήμα 123: Διάγραμμα Bode τύπου 0 2. ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ (jωn) ±n Συστήματα τύπου 1 ή s 1 =(jω) 1,(σφάλμα ταχύτητας Ev): K K G( s) = = G( j ) = S ( j ) 1 1 20log G(jω) =20log( Κ jω ) 20logK-20db jω. Η 1 η κλίση του διαγράμματος -20db/ δεκ. Η τιμή του Κ υπολογίζεται όπως φαίνεται στο σχήμα 124 από την συχνότητα(ωc) που προκύπτει αν φέρουμε οριζόντια γραμμή από 0db να τέμνει το διάγραμμα μας, και καθετί στον οριζόντιο άξονα των ω(rad/sec), όπου Κ = ω. Διάγραμμα φάσης Σχήμα 124: Διάγραμμα Bode τύπου 1 o φ= G( j ) = = K j = 0 90 = ( ) = 90. 1 ( j ) Σ.Μ.Α.Β=Συνάρτηση Μεταφοράς Ανοιχτού Βρόχου MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 3

Συστήματα τύπου 2 ή s 2 =(jω) 2,(σφάλμα επιτάχυνσης Eα): K K G( s) = = G( j ) = S ( j ) 2 2 20log G( j ) = 20log 2 = ( j ) = 20logK 2 20log j = 20logK 40log j Η 1 η κλίση του διαγράμματος -40dB / δεκάδα. Η τιμή του Κ υπολογίζεται όπως φαίνεται στο σχήμα 125 από την συχνότητα(ωc) που προκύπτει αν φέρουμε οριζόντια γραμμή από 0db να τέμνει το διάγραμμα μας, και καθετί στον οριζόντιο άξονα των ω(rad/sec), όπου Κ = ω 2.(Κ=1 2 ) Σχήμα 124: Διάγραμμα Bode τύπου 1 Διάγραμμα φάσης o φ= G( j ) = = K 2 j = 0 2 90 = ( ) = 180. 1 ( j ) Σύμφωνα με την σχέση 4.79 για τους υπόλοιπους όρους της Σ.Μ.Α.Β. εκτός του όρου Κ/(jω) n που χαρακτηρίζει την 1 η κλίση ισχύει ο παρακάτω πίνακας υπολογισμού κλίσεων ή το αντίστροφο πόλων ή μηδενικών. ΠΙΝΑΚΑΣ 8: Υπολογισμός κλίσεων πόλων μηδενικών ΚΛΙΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΚΛΙΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΠΟΛΩΝ ΠΟΛΩΝ ΜΗΔΕΝΙΚΩΝ ΜΗΔΕΝΙΚΩΝ -20db Απλός πόλος 1/(1+jωΤp) 1 +20db Απλό μηδενικό (1+jωΤp) 1-40db Διπλός πόλος 1/(1+jωΤp) 2 +40db Διπλός μηδενικό (1+jωΤp) 2-60db Τριπλός πόλος 1/(1+jωΤp) 3 +60db Τριπλό μηδενικό (1+jωΤp)3-80db Τετραπλός πόλος 1/(1+jωΤp) 4 +80db Τετραπλό μηδενικό (1+jωΤp) 4.... ** Το πρόσημο(±)κλίσεων, χαρακτηρίζει αν έχουμε μηδενικό(+) ή πόλο(-) και αντίστροφα. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 4

1.1.2.2. Κριτήριο Ευστάθειας Bode Ένα σύστημα είναι ασταθές αν η ενίσχυσή του είναι μεγαλύτερη από μονάδα (ή 0db) σε συχνότητα για την οποία η φάση είναι 180 o. Από το διάγραμμα BODE προκύπτουν δύο μεγέθη τα οποία δείχνουν τη σχετική σταθερότητα του συστήματος. Τα μεγέθη αυτά είναι το περιθώριο ενίσχυσης Kg και το περιθώριο φάσης φc και αναλύονται παρακάτω: Περιθώριο ενίσχυσης ή απολαβής (Kg) Σαν περιθώριο ενίσχυσης ορίζεται η ποσότητα που προκύπτει από τη σχέση Κg(db) = -20 log G(jωc)H(jωc) (4.82) όπου ωc = η συχνότητα για την οποία φ(ωc) = -180 o Ένα κλειστό σύστημα είναι ευσταθές αν Kg >0 Περιθώριο φάσης (φ ) Σαν περιθώριο φάσης ορίζεται η ποσότητα που προκύπτει από τη σχέση φc = 180 o + φ(ω) (4.83) όπου φ(ω) = η γωνία της G(jω1)H(jω1) η συχνότητα για την οποία G(jω1)H(jω1) =1 Ένα κλειστό σύστημα είναι ευσταθές αν φc >0 Η χάραξη προσεγγιστικών καμπύλών του λογαριθμικού μέτρου διευκολύνεται από μία μέθοδο βασιζόμενη σε ασυμπτωτικές προσεγγίσεις. Η ακριβής (πραγματική) καμπύλη μπορεί να χαραχθεί εύκολα με κατάλληλες διορθώσεις των συμπωτικών ευθειών. Στα παρακάτω παραδείγματα θα δείξουμε τον τρόπο σχεδιασμού του συμπωτικού διαγράμματος πλάτους από την Σ.Μ.Α.Β. και αντίστροφα από το διάγραμμα πλάτους πως προσεγγίζουμε την Σ.Μ.Α.Β. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 5

Μελέτη ευστάθειας σύμφωνα με το κριτήριο ευστάθειας Bode καθώς και σχεδιασμό με το MATLAB(ή με το Octave Online). Εξαγωγή από την Συνάρτηση Μεταφορά το Διάγραμμα Πλάτους Παράδειγμα 1 ο Έστω το σύστημα ελέγχου με Σ.Μ. ανοιχτού βρόχου ( s + 2) G( s) H( s) s 2 ( s + 10) ( s + 20) Να σχεδιαστεί το συμπωτικό διάγραμμα μέτρου. Τι συμπεράσματα για την απόλυτη ευστάθεια του συστήματος. Λύση Βήμα 1 ο : Αντικαθιστούμε όπου s=jω και γράφουμε την συνάρτηση σε μορφή συνάρτησης Bode(σχέση 4.79) ( s+ 2) ( j + 2) G( s) H( s) = G( j ) H( j ) = = 2 2 s ( s + 10) ( s + 20) jω ( j + 10) ( j + 20) ( j / 2 + 1) 2 ( /100) ( j / 2 + 1) = = 2 2 jω ( j /10 + 1) 10 ( j / 20 + 1) 20 jω ( j /10 + 1) ( j / 20 + 1) Βήμα 2 ο : Για Κ=10 3 υπολογίζουμε την λογαριθμική συνάρτηση Bode. 10 ( j / 2 + 1) = = 20log G( j ) H ( j ) 20log jω ( /10 1) 2 j + ( j / 20 + 1) = 20log10 20log j + 20log ( j / 2 + 1) 2 20log ( j /10 + 1) 20log ( j / 20 + 1) Βήμα 3 ο : Υπολογίζουμε τις κλίσεις του διαγράμματος και τις συχνότητες θλάσης. 20log G( j ) H ( j ) = (1 κλίση) (2 κλίση) (3 κλίση) η η η η -20db/dec (-20+20)=0db/dec (0-40)=-40db/dec 0 1 2 3 4 (4 κλίση) = 20log10 20log j + 20log ( j / 2 + 1) 40log ( j /10 + 1) 20log ( j / 20 + 1) Α ω =10 rad/s db ω =2rad/s Συχνότητες θλάσης ω =10rad/s (-40-20)=-60db/ dec ω =20rad/s Η διαδικασία σχεδιασμού της σχέσης 4.84 περιγράφεται στον παρακάτω πίνακα 9: *ιδιότητα λογάριθμου 1logb a=x=>a=b x/1 o ** a = 0, με α (4.84) *όπως παρατηρούμε από η λογαριθμική συνάρτηση είναι σε σειρά συχνοτήτων θλάσης, ώστε να μας διευκολύνει στην σωστή τοποθέτηση των πόλων - μηδενικών στο ημιλογαριθμικό χαρτί με τις σωστές κλίσεις. Βήμα 4 ο : Υπολογισμός Αdb=αρχικό σημείο εκκίνησης διαγράμματος στον άξονα των db. Υπολογίζουμε το Αdb από την σχέση Αdb= 20log ± (αντίστροφη τιμή της 1 ης κλίσης) (4.85) Συνεπώς έχουμε db = 20log10 + 20db = 40db MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 6

ΠΙΝΑΚΑΣ 9: Περιγραφή σχεδιασμού διαγράμματος Bode ΚΛΙΣΕΙΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΘΛΑΣΗΣ 1 η ΚΛΙΣΗ Bode (-20db/dec) ω1=1 x10(dec) 2 η ΚΛΙΣΗ Bode (0db/dec) ω2=2 3 η ΚΛΙΣΗ Bode (-40db/dec) ω3=10 4 η ΚΛΙΣΗ Bode(-60db/dec) ω4=20 x10(dec) x10(dec) x10(dec) ΑΛΛΑΓΗ ΚΛΙΣΗΣ 10 ω2=2 20 ω3=10 100 ω4=20 200 Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα 9, σχεδιάζουμε(σχήμα 125) κάθε κλίση ανά δεκάδα και προσέχουμε στα σημεία θλάσης στα οποία γίνεται η αλλαγή κλίσης. Σχήμα 125: Διάγραμμα πλάτους της Σ.Μ.Α.Β GH(s=jω) Εξαγωγή της Συνάρτησης Μεταφοράς από το Διάγραμμα Πλάτους Παράδειγμα 2 ο Από το διάγραμμα πλάτους που προκύπτει από τη σχεδίαση του διαγράμματος Bode μπορεί εύκολα να υπολογιστεί η Σ.Μ του συστήματος από το οποίο προέκυψε. Στο παρακάτω σχήμα 126 απεικονίζεται η γραφική παράσταση της προσεγγιστικής καμπύλης πλάτους μίας συνάρτησης μεταφοράς G(s) που έχει προκύψει πειραματικά. Η G(s) είναι ελάχιστης φάσης με κέρδος Κ(Κ>0). MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 7

0-(-20db)= +20db Απλός πόλος 0db-(+20db)= -20db Απλός πόλος -20-0=-20db Απλός πόλος -40-(-20db)= -20db Απλός πόλος Σχήμα 125: Διάγραμμα Μέτρου της Σ.Μ.Α.Β G(s=jω) (Βελώνη, 2018) MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 8

1.1.3. Διάγραμμα Bode με Matlab Τo διάγραμμα Bode αποτελείται από δύο γραφικές παραστάσεις σχεδιασμένες σε ημιλογαριθμικό χαρτί με γραμμικές κατακόρυφες και λογαριθμικές οριζόντιες κλίμακες. Η πρώτη γραφική είναι ένα διάγραμμα του μέτρου μίας συνάρτησης απόκρισης συχνότητας G(jω) σε ντεσιμπέλ με τον λογάριθμο του ω, η συχνότητα. Η δεύτερη γραφική του διαγράμματος Bode δείχνει την γωνία συνάρτησης φ(ω) με τον λογάριθμο του ω. Η λογαριθμική αναπαράσταση είναι χρήσιμη γιατί δείχνει μαζί τα χαρακτηριστικά χαμηλών και υψηλών συχνοτήτων της συνάρτησης μεταφοράς σε ένα διάγραμμα. Επιπλέον, η απόκριση συχνότητας ενός συστήματος μπορεί να προσεγγιστεί από μία σειρά ευθύγραμμων τμημάτων. Δοθείσας μίας συνάρτησης μεταφοράς ενός συστήματος, η συνάρτηση του Control System Toolbox bode(num,den) παράγει το διάγραμμα απόκρισης συχνότητας με το διάνυσμα συχνότητας να έχει καθοριστεί αυτόματα. Εάν το σύστημα έχει οριστεί στον χώρο κατάστασης, χρησιμοποιούμε την συνάρτηση bode(a,b,c,d). Η συνάρτηση bode(num,den,ω) ή bode(a,b,c,d,iu,ω) χρησιμοποιεί το παρεχόμενο από τον χρήστη διάνυσμα συχνότητας ω. Εάν οι παραπάνω εντολές καλούνται με ορίσματα [mag,phase,ω], η απόκριση συχνότητας του συστήματος στα mag, phase, ω επιστρέφεται, και πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις συναρτήσεις plot ή semilogx για να πάρουμε το διάγραμμα. Παράδειγμα 1 Λαμβάνουμε το διάγραμμα Bode για την μοναδιαία ανατροφοδότηση του συστήματος ελέγχου K K με συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου: Gs () = = 3 2 s( s + 2)( s + 50) s + 52s + 100s Για K=1300. oπότε ο κώδικας είναι: clear all Καθάρισε τη μνήμη num=[1300 ]; den=[1 52 100 0]; Όρισε αριθμητή και παρονομαστή συστήματος G=tf(num,den) Όρισε συνάρτηση μεταφοράς bode(num,den) χάραξε τα διαγράμματα bode μέτρου - φάσης της G To διάγραμμα φαίνεται στο σχήμα 126 MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 9

Σχήμα 126: Διαγράμματα Μέτρου -Φάσης της G(s) Το Κ περιθωρίου(gain Margin)=12db και το Φ περιθωρίου(phase Margin)=16.6, όπως προκύπτουν από το σχήμα 126. Βέβαια όπως βλέπουμε στο σχήμα έχουμε σχεδιάσει και τις οριζόντιες ευθείες από το 0db και τις -180 0. Στην τομή του διαγράμματος μέτρου φέρνουμε κάθετη ευθεία στο διάγραμμα φάσης και προκύπτει τομή στις -163.4 ο. Συνεπώς από την σχέση 4.83 έχουμε: Φc ή ΦΠΕΡ =180 ο +φ(ωg)=180 o -163.4 o = +16.6 o >0. Επίσης ο υπολογισμός του Κπεριθωρίου=Κg προκύπτει από την σχέση 4.82 όπου ισχύει: Κπεριθωρίου=Κg =0- Adb =0-(-12db)=+12db > 0 Άρα το σύστημα είναι ΕΥΣΤΑΘΕΣ για Κπερ, Φπερ >0 Η συχνότητα προσδιορισμού περιθωρίου φάσης είναι ωg=4.89 5rad/s και η Συχνότητα προσδιορισμού κέρδους είναι ωc=10 rad/s. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 10

1.1.4. Γενική Περιγραφή Σεναρίου Γνωστικό αντικείμενο: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου (ΣΑΕ)- Μελέτη συστημάτων ελέγχου ανοιχτού βρόχου στο πεδίο συχνότητας, με διαγράμματα Bode Θεματική ταξινομία: Εξάμηνο: 8 Περιόδου: Εαρινού Εξαμήνου -Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στην Βιοϊατρική Εκπαιδευτικό πρόβλημα: Το παρόν σενάριο αποτελεί μια επαφή των φοιτητών στα συστήματα ελέγχου ανοιχτού βρόχου στο πεδίο συχνότητας με διαγράμματα Bode, σχεδιάζοντας τόσο θεωρητικά όσο και με ψηφιακό προγραμματισμό(με χρήση MATLAB). Οι ασκήσεις έχουν δημιουργηθεί με τέτοιο τρόπο ώστε να παροτρύνουν τους φοιτητές, να πειραματιστούν και μέσω της διερεύνησης, να ανακαλύψουν έννοιες και σχέσεις που δεν γνώριζαν μέχρι τη στιγμή αυτή ή έννοιες που έχουν αναφερθεί σε θεωρητικό επίπεδο στα ΣΑΕ. Δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην ανακάλυψη της γνώσης και όχι στην αβασάνιστη προσφορά της από τον εκπαιδευτικό. Οι μαθητές εμπλέκονται στην κατασκευή κυκλωμάτων, στην λήψη μετρήσεων και στη διεξαγωγή συμπερασμάτων. Γενική περιγραφή περιεχομένου: Το σενάριο είναι δομημένο για δυο ώρες εργαστηρίου. Θα γίνει αναφορά στους τρόπους σχεδιασμού των διαγραμμάτων bode και στην μελέτη ευστάθειας στο πεδίο συχνότητας, με διαγράμματα bode. Σχεδιασμός του πολικού διαγράμματος γίνεται με δυο τρόπους, σε πολικό χαρτί και σχεδιασμός με την βοήθεια του προγράμματος MATLAB(ή με το Octave Online). Διδακτικοί Στόχοι: Να Σχεδιάζουν το διάγραμμα bode από τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος και με τους δυο τρόπους. Να εκτιμούν την ευστάθεια ενός συστήματος κλειστού βρόχου με το κριτήριο ευστάθειας των περιθωρίων κέρδους και φάσης. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 11

Να εφαρμόζουν το κριτήριο ευστάθειας για την εκτίμηση του εύρους των παραμέτρων ενός ελεγκτή ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να είναι ευσταθές. Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου: Ευστάθεια Περιθώριο κέρδους Περιθώριο φάσης Συνάρτηση Μεταφοράς συχνότητα διασταύρωσής κέρδους συχνότητα διασταύρωσής φάσης Υλικοτεχνική υποδομή Ψηφιακό υλικό: Αίθουσα Εργαστηρίου Η/Υ ή ΣΑΕ εφόσον διαθέτει Η/Υ με σύνδεση στο διαδίκτυο για όλες τις ομάδες μαθητών Βιντεοπροβολέας και Η/Υ με σύνδεση στο διαδίκτυο για τον διδάσκοντα Όργανα σχεδίασης Πρόγραμμα MATLAB Octave Online Εκτιμώμενη Διάρκεια Ο εκτιμώμενος χρόνος που απαιτείται από τον φοιτητή σπουδαστή για την ολοκλήρωση της παρούσας εργαστηριακής άσκησης είναι 2 διδακτικές ώρες. Πνευματικά δικαιώματα ή άλλοι αντίστοιχοι περιορισμοί: 1. (Μαλατέστας, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ, 2017) 2. MATLAB & Octave Online Εκτιμώμενο Επίπεδο Δυσκολίας: Υψηλή δυσκολία Τύπος διαδραστικότητας : Συνδυασμός παθητικής και ενεργητικής μάθησης Επίπεδο διαδραστικότητας : Υψηλό Προτεινόμενη ηλικιακή ομάδα του τελικού χρήστη: Άνω τον 18 Εκπαιδευτική βαθμίδα που απευθύνεται το σενάριο: Τριτοβάθμια Εκπαίδευση - Σχολές Θετικών Επιστημών & Τεχνολογίας Παράδοση Φύλλο έργου Το φύλλο έργου πρέπει να το ανεβάσετε στο free open e-class ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ, σύμφωνα με την ημερομηνία παράδοσης! MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 12

1.1.5. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Το θεωρητικό μέρος της εργαστηριακής άσκησης έχει καλυφθεί στην ενότητα 4.9 και στο παράρτημα Β (εισαγωγή στo MATLAB). 1.1.6. ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 10 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΕΤΟΣ: ΒΑΘΜΟΣ ΑΡ. ΜΗΤΡΩΟΥ: ΟΜΑ Α: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1.1.6.1. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΟΥ 10 A. Μελέτη συστημάτων ελέγχου ανοιχτού βρόχου στο πεδίο συχνότητας, με διαγράμματα Bode Απαιτούμενα Όργανα και Υλικά: 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής (εφαρμογή MATLAB ή Octave Online) 2. Χάρακας 3. Διαβήτης 4. Ημιλογαριθμικό χαρτί 5. Calculator fx-570 Πορεία Εργασίας Έστω το σύστημα ελέγχου με Σ.Μ. ανοιχτού βρόχου 640 Gs () = s( s + 4)( s + 40) Να σχεδιαστεί το ακριβές πολικό διάγραμμα, και να μελετηθεί η απόλυτη ευστάθεια του. Λύση 1. Αρχικά θέτουμε στην Σ.Μ. του συστήματος ανοιχτού βρόχου, όπου s=..και γράφουμε την Σ.Μ. σε μορφή Bode: MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 13

...... G( s) = = G( j ) H( j ) = =............ = =...... 2. Να υπολογίσετε την λογαριθμική συνάρτηση Bode.... 20log G( j ) H( j ) = 20log =... =... 3. Να υπολογίσετε τις κλίσεις του διαγράμματος και τις συχνότητες θλάσης. 20log G( j ) H ( j ) = η η η (1 κλίση) (2 κλίση) (3 κλίση)... 1... rad/s ω = 2...... =... Α ω =.... db... r a d/ s ω =... ra d/ s Συχνότητες θλάσης 3 4. Να υπολογίσετε το Αdb=αρχικό σημείο εκκίνησης διαγράμματος στον άξονα των db. =... db 5. Να συμπληρώσετε τον πίνακα «Ι», που περιγραφή την διαδικασία σχεδιασμού του διαγράμματος μέτρου του Bode ΠΙΝΑΚΑΣ Ι: Περιγραφή σχεδιασμού διαγράμματος Bode ΚΛΙΣΕΙΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ 1 η ΚΛΙΣΗ Bode (..) 2 η ΚΛΙΣΗ Bode (.) 3 η ΚΛΙΣΗ Bode (.) ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΘΛΑΣΗΣ x10(dec) ω1=.. x10(dec) ω2=. x10(dec) ω3=. Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα Ι ΑΛΛΑΓΗ ΚΛΙΣΗΣ ω2= ω3= 6. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα μέτρου της Σ.Μ. στο ημιλογαριθμικό χαρτί που δίνεται στο παράρτημα Α. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 14

7. Να υπολογίσετε την Σ.Μ.Α.Β. G(s) που προκύπτει από το συμπωτικό διάγραμμα A(db) μέτρου του σχήματος 127. -40db/dec +20db/dec 0db/dec -40db/dec 10 0 1 4 10 1 50 70 10 2 200 600 Σχήμα 127: Διάγραμμα Μέτρου της Σ.Μ.Α.Β G(s=jω) ω(rad/s) 8. Να επαληθεύσετε την Σ.Μ.Α.Β που υπολογίσατε στο ερώτημα 7 με την βοήθεια του προγράμματος MATLAB(ή με το Octave Online). 8 α ) Να συμπληρώσετε τον κώδικα υπολογισμού Σ.Μ και σχεδιασμού διαγραμμάτων Bode. Κώδικας Matlab Σχόλια.. num=[.]; den=[..]; sys_c=tf(,...) MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 15

9. Να τρέξετε τον κώδικα στο Matlab ή στο Octave Online και αντιγράψτε(copy) την έξοδο στο σχήμα 128. Σχήμα 128: Διαγράμματα Μέτρου - Φάσης με MATLAB 10. Να γράψετε τις παρατηρήσεις σας σε σχέση με την ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Παρατηρήσεις Σχόλια Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 16

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 10: ΜΕΛΕΤΗ ΣΑΕ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ (ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΕΤΟΣ: ΑΡ. ΜΗΤΡΩΟΥ: ΟΜΑ Α: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΒΑΘΜΟΣ 1.1.6.2. ΦΥΛΛΟ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ν ο...) ΟΔΗΓΙΕΣ: Να πραγματοποιήσετε τις παρακάτω ασκήσεις και να τις ανεβάσετε στο Free open e-class: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ /Εργασίες. Για τον σχεδιασμό των Πολικών Διαγραμμάτων(Nyquist) να χρησιμοποιήσετε το MATLAB(ή με το Octave OnLine). Άσκηση 1 η α)να υπολογίσετε την Σ.Μ. του κάτωθι χονδρικού διαγράμματος σε μορφή Bode(Matlab). β)να σχεδιαστεί το διάγραμμα Bode Μέτρου - Φάσης και να εξεταστεί η ευστάθεια του συστήματος. Άσκηση 2 η Δίνεται το παρακάτω διάγραμμα Bode μέτρου: Να υπολογίσετε την Σ.Μ. ανοιχτού βρόχου G(S). MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 17