Μεθοδολογίες και λυμένες ασκήσεις Εύρεση μονοτονίας σε απλές συναρτήσεις α) Ξεκινώντας από ένα τυχαίο ζεύγος τιμών x, x τιμών της μεταβλητής από το πεδίο ορισμού με σχέση π.χ. «κτίζουμε» τον τύπο της συνάρτησης, λαμβάνοντας υπόψη τα παρακάτω: α < β i. Ισχύει α + γ < β + δ γ < δ α < β ii. Αν α, β, γ, δ > 0 ισχύει: αγ < βδ γ < δ iii. Αν α, β R και α < β α ν+ < β ν+ iv. Αν α, β > 0 και α < β α ν < β ν v. ΔΕΝ μπορούμε να αφαιρέσουμε κατά μέλη ανισότητες vi. ΔΕΝ μπορούμε να διαιρέσουμε κατά μέλη ανισότητες vii. ΔΕΝ μπορούμε να υψώσουμε σε άρτια δύναμη και τα δύο μέλη μιας ανισότητας αν δεν γνωρίζουμε το πρόσημό τους ή είναι το ένα μέλος αρνητικό και το άλλο θετικό. β) Η μονοτονία μιας συνάρτησης καθορίζεται γενικότερα από το πρόσημο της παραγώγου της (θα το μάθουμε παρακάτω). Μπορούμε εδώ να μελετήσουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης κάνοντας χρήση του λόγου μεταβολής λ f(x ) f (x ) i. Αν λ > 0 τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ii. Αν λ < 0 τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. γ) Με απαγωγή σε άτοπο. Παράδειγμα 1. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f(x) 2x + e x Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι A R. 2x Για κάθε x, x A με ισχύει < 2x οπότε προσθέτοντας κατά μέλη e x < e x προκύπτει 2x + ex < 2x + ex δηλαδή f(x ) < f(x ). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. 1 Επιμέλεια:
Παράδειγμα 2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) x + 2 ως προς τη μονοτονία. x + 1 Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο A [0, + ). Για κάθε x A, η f(x) x + 2 x + 1 x + 1 + 1 x + 1 x + 1 x + 1 + 1 x + 1 1 + 1 x + 1. Έστω x, x A με 0. Τότε έχουμε: 0 x < x x + 1 < x + 1 1 x + 1 > 1 x + 1 1 1 + x + 1 > 1 + 1 x + 1 f(x ) > f(x ) Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, + ). Παράδειγμα 3. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση : f(x) x 1 + x Εύρεση πεδίου ορισμού: x 1 0 x 1 x 1, άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο x 0 x 0 A [1, + ). Για κάθε x, x [1, + ) με x x είναι: λ f(x ) f(x ) x 1 + x x 1 x x 1 x 1 + x x x 1 x 1 x 1 + x 1 + x x x + x ( ) x 1 + x 1 ( ) x + x ( ) x 1 + x 1 + ( ) x + x 1 x 1 + x 1 + 1 x > 0. + x Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [1, + ) Παράδειγμα 4. Αν για την συνάρτηση f R R ισχύει: f (x) + 3f(x) x, για κάθε x R (1) να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Έστω τυχαία x, x R με. Επιμέλεια: 2
Θα αποδείξουμε ότι f(x ) < f(x ) (2). Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει η (2), οπότε f(x ) f(x ). Τότε έχουμε: f (x ) f (x ) 3f(x ) 3f(x Προσθέτουμε κατά μέλη, οπότε προκύπτει: f (x ) + 3f(x ) f (x ) + 3f(x x x, που είναι άτοπο διότι υποθέσαμε ότι. Επομένως ισχύει η (2), δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα. Εύρεση της μονοτονίας συνάρτησης πολλαπλού τύπου i. Αν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει απόλυτα τη μετασχηματίζουμε σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εξαλείφοντας τα απόλυτα με το γνωστό τρόπο (περιπτώσεις θετικό-αρνητικό) ii. Βρίσκουμε τη μονοτονία κάθε κλάδου και Αν έχουμε διαφορετικό είδος μονοτονίας δεν είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Αν έχουμε το ίδιο είδος μονοτονίας και η συνάρτηση ορίζεται στα, για παράδειγμα, (, α) και [α, + ) τότε βρίσκουμε τα σύνολα τιμών των δύο κλάδων. Αν έχουν κοινά στοιχεία τότε η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της (είναι μονότονη σε καθένα διάστημα χωριστά), αν τα σύνολα τιμών είναι ξένα μεταξύ τους, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. ( ) 3 Επιμέλεια:
Παράδειγμα 5. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση x + 2, x < 1 f(x) x, x 1 Επειδή η f είναι πολλαπλού τύπου εξετάζουμε τη μονοτονία αρχικά σε καθένα από τα διαστήματα (, 1) και [ 1, + ) Για x (, 1) η f είναι της μορφής f(x) αx + β με α > 0, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα. Για x [ 1, + ) η f είναι παραβολή που όπως γνωρίζουμε για x < 0 είναι γνησίως φθίνουσα και για x > 0 είναι γνησίως αύξουσα. Άρα έχουμε: Η f είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε x [ 1, 0] και γνησίως αύξουσα για κάθε x [0, + ). Επομένως η f δεν είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της (γιατί παρουσιάζει και τα δύο είδη μονοτονίας). Παράδειγμα 6. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση 2x + 1, x < 1 f(x) x, x 1 Παρόλο που η μορφή της συνάρτησης είναι όπως η παραπάνω υπάρχει μια σημαντική διαφορά. Για x < 1 η f έχει τη μορφή f(x) αx + β με α > 0 άρα είναι γνησίως αύξουσα. Για x 1 η f(x) x είναι επίσης γνησίως αύξουσα διότι x < x. Δεν μπορούμε όμως να πούμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Πρέπει να εξετάσουμε επιπλέον την μονοτονία για κάποιο x < 1 και x > 1. Για το λόγο αυτό εξετάζουμε τις τιμές που παίρνει η f σε κάθε περίπτωση. Έχουμε λοιπόν: Για x < 1 2x < 2 2x + 1 < 3, οπότε για x < 1 είναι f(x) < 3 (1). Για x 1 x 1, οπότε f(x) 1 (2). Παρατηρούμε ότι υπάρχουν τιμές της συνάρτησης κοινές και τους δύο κλάδους. Τούτο σημαίνει ότι υπάρχει που δίνει f(x ) > f(x ), για παράδειγμα, f 1 2 2 και f(1) 1, δηλαδή 1 2 < 1 f 1 2 > f(1). Άρα η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως μονότονη. Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να είναι μονότονη μια συνάρτηση Επιμέλεια: 4
Αν η συνάρτηση είναι βασικής μορφής (ευθεία, παραβολή, εκθετική, λογαριθμική) γράφουμε τις αντίστοιχες συνθήκες ώστε να είναι αύξουσα ή φθίνουσα. Αν δεν ανήκει στις γνωστές συναρτήσεις, τότε εργαζόμαστε με τον λόγο μεταβολής, εκτελούμε τις πράξεις και στο τέλος ορίζουμε τη συνθήκη ώστε να είναι αύξουσα ή φθίνουσα. Παράδειγμα 7. Να προσδιοριστεί η τιμή της παραμέτρου α R, ώστε η συνάρτηση f με τύπο να είναι γνησίως αύξουσα. f(x) α 3 1 α x, α R {1, 3} Η συνάρτηση είναι εκθετικής μορφής, οπότε για να είναι γνησίως αύξουσα πρέπει η βάση της να είναι μεγαλύτερη του 1. Αρχικά «τακτοποιούμε» τον τύπο της f. Έχουμε: f(x) α 3 x 1 α a 3 x 1 a 1 α x α 3, οπότε πρέπει 1 α α 3 > 1 1 α α 1 > 0 22 α 3 α 3 > 0 (2 α) (α 3) > 0 α 3 και α 1 Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για κάθε α (2, 3). α (2, 3). Παράδειγμα 8.. Να προσδιοριστούν οι τιμές της παραμέτρου α ώστε η συνάρτηση f με τύπο f(x) x + 6x + 3α x + 1 Θα εργαστούμε με το λόγο μεταβολής. Για τυχαία x, x R με x x έχουμε: λ f(x ) f(x ) x + 6x + 3α x + 1 x 6x 3a x 1 ( ) x + x x + x + 6 ( ) (x + x ) + 3a ( ) x + 4x x + x + 6 (x + x ) + 3α x + (x + 6) x + x + 6x + 3α Μετασχηματίσαμε το λόγο μεταβολής σε ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού ως προς x. Για να είναι η f γνησίως αύξουσα πρέπει λ > 0, δηλαδή το πρόσημο του τριωνύμου να είναι θετικό για κάθε x R. Επομένως απαιτούμε να είναι Δ < 0. Δηλαδή, (x + 6) 4 x + 6x + 3α < 0 x + 4x + 4α 12 > 0 για κάθε x R, άρα πρέπει 5 Επιμέλεια:
Δ < 0 ή 16 4 4α 12 < 0 4 α < 0 2 < α < 2, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε α ( 2, 2) Πράξεις συναρτήσεων και μονοτονία-αποδείξεις ιδιοτήτων Εργαζόμαστε με τον ορισμό, προσέχοντας να τηρούμε τις αλγεβρικές ιδιότητες των πράξεων μεταξύ ανισοτήτων, όπως τις αναφέραμε στην εισαγωγή της μονοτονίας. Παράδειγμα 9. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, με πεδίο ορισμού το Δ. Να αποδείξετε ότι: α) Αν f Δ και g Δ τότε f + g Δ β) Αν f Δ και g Δ τότε f + g Δ γ) Αν f Δ και g Δ τότε η συνάρτηση f g, εφόσον ορίζεται, θα είναι γνησίως αύξουσα. δ) Αν f Δ και g Δ τότε η συνάρτηση f g, εφόσον ορίζεται, θα είναι γνησίως αύξουσα. ε) Αν f Δ και g Δ τότε η συνάρτηση f g, εφόσον ορίζεται, θα είναι γνησίως φθίνουσα. α) Οι f και g ορίζονται στο Α R. Για κάθε x, x A με έχουμε: f f(x ) < f(x ) (1) g g(x ) < g(x ) (2) Επομένως, προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει ότι: f(x ) + g(x ) < f(x ) + g(x ) (f + g)(x ) < (f + g)(x ), άρα f + g β) Για κάθε x, x A με έχουμε: f f(x ) > f(x ) (1) g g(x ) > g(x ) (2) Επομένως, προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει ότι: f(x ) + g(x ) > f(x ) + g(x ) (f + g)(x ) > (f + g)(x ), άρα f + g Επιμέλεια: 6
γ) Για να ορίζεται η σύνθεση f g πρέπει g(δ ) Δ. Τότε για κάθε x, x D f g με g g(x ) < g(x ) f f g(x ) < f g(x ) (f g)(x ) < (f g)(x ), επομένως η f g είναι γνησίως αύξουσα. δ) Για να ορίζεται η σύνθεση f g πρέπει g(δ ) Δ. Τότε για κάθε x, x D f g με g g(x ) > g(x ) f f g(x ) < f g(x ) (f g)(x ) < (f g)(x ), επομένως η f g είναι γνησίως αύξουσα. ε) Για να ορίζεται η σύνθεση f g πρέπει g(δ ) Δ. Τότε για κάθε x, x D f g με g g(x ) > g(x ) f f g(x ) > f g(x ) (f g)(x ) > (f g)(x ), επομένως η f g είναι γνησίως αύξουσα. Παράδειγμα 10. Αν η συνάρτηση f A R είναι γνησίως αύξουσα στο Α και f(x) > 0, για κάθε x A, να δειχθεί ότι η 1 f Με βάση τον ορισμό έχουμε: Για κάθε x, x A f με f f(x ) < f (x ) f(x ), f(x ) Άρα η είναι 1 f ομοσημοι γνησίως φθίνουσα είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. 1 f(x ) > 1 f(x ) 1 f (x ) > 1 f (x ) Θεωρητικές ασκήσεις στη μονοτονία συναρτήσεων Εργαζόμαστε με τον ορισμό ή με εις άτοπο απαγωγή. Παράδειγμα 11. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R και ισχύει να δειχθεί ότι f(x) x 4x + 3f(x) f x, 7 Κάνουμε χρήση της απαγωγής σε άτοπο. για κάθε x R Έστω ότι υπάρχει x o R τέτοιο, ώστε να είναι f (x o ) < x o. Τότε έχουμε f (x o ) < x o 3f (x ) < 3x o 4x o + 3f (x o ) < 7x o 4x o + 3f (x o ) < x 7 o (1). 7 Επιμέλεια:
Η f είναι γνησίως αύξουσα οπότε η (1) γίνεται f 4x o + 3f (x o ) < f (x 7 o ) και λόγω 4x + 3f(x) της υπόθεσης ότι f x θα είναι x 7 o < f (x o ) που είναι άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι f (x o ) < x o. Αντίστοιχα καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι f (x o ) > x o. Άρα τελικά ισχύει ότι f(x) x για κάθε x R. Σημείωση 1. ΑΡΝΗΣΗ ΤΟΥ «για κάθε» σημαίνει «υπάρχει», δηλαδή αν θέλουμε να εργαστούμε με εις άτοπο απαγωγή σε μια σχέση που ισχύει για κάθε x A, υποθέτουμε ότι υπάρχει x o A και καταλήγουμε σε άτοπο. Επιμέλεια: 8