ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
|
|
- Κανδάκη Μαλαξός
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού ή και το Α, αν αυτό δεν αποτελείται από ένωση διαστημάτων, με. και Στη συνέχεια με διαδοχικές συνεπαγωγές προσπαθούμε να σχηματίσουμε τα. Αν, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, ενώ αν, η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι παρακάτω συναρτήσεις: α) () β) () 5 γ) () (Απ: α) στο,,β) στο γ) στο, ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις α) () 5 β) () γ) () 5 δ) () ε) () 6 8 (Απ: α) στο,,β) στο, γ) στο δ) στο, και στο, ε) στο, και στο, ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις α) () β) () γ) () δ) () ε) (), στ) (), (Απ: α) στο, και στο,,β) στο, και στο, γ) στο δ) στο,0 και στο0, ε) στο, στ) στο, ) 4. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες στο., 0 4, α) () β) (), 0 6 9, (Απ:α) στο,β) στο ) 5. Δίνονται δύο συναρτήσεις,g γνησίως μονότονες στο. Να αποδείξετε ότι: α) Αν οι, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε και η g έχει το ίδιο είδος μονοτονίας β) Αν οι, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε η og (αν ορίζεται) είναι γνησίως
2 αύξουσα. γ) Αν οι, g δεν έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε η og είναι φθίνουσα. δ) Αν η είναι γνησίως αύξουσα και η g γνησίως φθίνουσα, τότε η g είναι γνησίως φθίνουσα. 6. Δίνεται συνάρτηση περιττή και γνησίως αύξουσα στο. Να αποδείξετε ότι 0 για κάθε 0 0 για κάθε 0. και 7. Δίνεται συνάρτηση άρτια στο και γνησίως αύξουσα στο,. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. 8. Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι: () () για κάθε, με. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο. 9. Έστω συνάρτηση γνησίως μονότονη στο με Να αποδείξετε ότι,. 0. Έστω συνάρτηση γνησίως μονότονη στο με για κάθε. για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) η είναι γνησίως φθίνουσα β) η είναι περιττή 0 για κάθε 0 0 για κάθε 0 γ) και. Δίνεται συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο για την οποία ισχύει ότι για κάθε 5. Να αποδείξετε ότι,.. Δίνεται συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο για την οποία ισχύει ότι g για κάθε. Να αποδείξετε ότι g g για κάθε.. Έστω συνάρτηση : είναι γνησίως αύξουσα. 5 με για κάθε. Να αποδείξετε ότι η 4
3 0η Κατηγορία: ΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ ή α, κάνουμε τα εξής: χ για την οποία 0 α μετατρέπετε στην 0 ή 0. Για να λύσουμε μία ανίσωση της μορφής - Βρίσκουμε μία προφανή τιμή του 0 - Βρίσκουμε τη μονοτονία της. - Aν η είναι γνησίως αύξουσα, τότε για να είναι για να είναι 0, ισχύει ότι 0 Aν η είναι γνησίως φθίνουσα, τότε για να είναι 0 να είναι 0 ισχύει ότι Δίνεται η συνάρτηση () 4. α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία, 4. β) Να λυθεί η ανίσωση: 5. Δίνεται η συνάρτηση () 5,. I. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία. () 7. II. Να λύσετε την ανίσωση 6. Δίνεται η συνάρτηση 7 () 5. α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία, β) Να λύσετε την ανίσωση: ( ) 4 6. και η ανίσωση 0, ισχύει ότι, ενώ 0 ισχύει ότι, ενώ για 0 (Απ: Ι. (Απ: α) 7. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι 5 για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Να λύσετε την ανίσωση 8. Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β) Να αποδείξετε ότι 0. και γ) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i. ii. 0 iii. (Απ: α) στο β) 0 ) στο ΙΙ. (0,+) ) στο β) (0,+) ) (Απ:,0, ) για κάθε. iv. 4 0 (Απ: γ)i.,, ii., iii., iv., ) 5
4 9. Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. β) Να αποδείξετε ότι. 0 0 και γ) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: 0 ii. i. iii. για κάθε. 0 iv. 4 0 (Απ: γ)i. 0, ii., iii., iv., 40. Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση : o o. Να λύσετε την ανίσωση 4. Αν η συνάρτηση : είναι γνησίως αύξουσα, να λύσετε την ανίσωση o o ) (Απ:, ) (Απ:, ) 4. Να λύσετε την ανίσωση:, 0, (Απ. 0, ) 4. Να αποδείξετε ότι για κάθε, 0, με ισχύει ότι:. η Κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Αν η έχει σύνολο τιμών [m,μ], τότε έχει ολικό ελάχιστο το m και ολικό μέγιστο το Μ. Αν θέλουμε να βρούμε μόνο το ελάχιστο ή μόνο το μέγιστο της τότε με διαδοχικές ισοδυναμίες προσπαθούμε να κατασκευάσουμε τις ανισώσεις () m ή () M αντίστοιχα. Πρέπει να βρίσκουμε και για ποιες τιμές του η παρουσιάζει το ακρότατο λύνοντας την εξίσωση ()=m ή ()=Μ αντίστοιχα. 44. Να βρείτε το ακρότατο των παρακάτω συναρτήσεων: 6 α) () β) () 4 5 γ) () 4 (Απ :α) min για,β) ma για=,γ) min για ) 45. Να βρείτε τα ακρότατα καθώς και τις θέσεις ακροτάτων της συνάρτησης (Απ : min για ) 6
5 46. Να βρείτε τα ακρότατα καθώς και τις θέσεις ακροτάτων της συνάρτησης. (Απ : min για 0,και ma για=ή-) 47. Να βρείτε τα ακρότατα καθώς και τις θέσεις ακροτάτων της συνάρτησης. (Απ. min 0 για και ma 4 για ) 48. Να βρείτε τα ακρότατα καθώς και τις θέσεις ακροτάτων της συνάρτησης. (Απ: η έχει μέγιστο το για 0 και ελάχιστο το για ) 49. Να προσδιοριστεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η συνάρτηση () έχει ελάχιστο το. 50. Δίνεται η συνάρτηση () ελάχιστο το.,, (Απ:, ). Να βρείτε το λ, ώστε η να έχει 5. Να βρεθεί σημείο της ευθείας : y του οποίου το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεών του από τους άξονες είναι ελάχιστο. 5. Να βρείτε σημείο της ευθείας : y 4 του οποίου το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεών του από τους άξονες είναι ελάχιστο. (Απ: 4 ) (Απ: (-,) ) (Απ: (, ) ) 5. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ,λ για τους οποίους η συνάρτηση κ λ () να έχει μέγιστη τιμή το και ελάχιστη το. (Απ: 4, ) 4 λ 54. Δίνεται η συνάρτηση: (). Να βρείτε το, αν είναι γνωστό ότι η έχει ελάχιστο το min, μέγιστο το ma, για τα οποία ισχύει min ma. (Απ: ) 7
6 η Κατηγορία: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της. Στη συνέχεια Θέτουμε () y και λύνουμε την εξίσωση ως προς βάζοντας περιορισμούς για το y. Απαιτούμε να ισχύουν για το αποτέλεσμα οι αρχικοί περιορισμοί του. Τέλος συναληθεύουμε τους περιορισμούς που έχουν προκύψει για το y και βρίσκουμε το σύνολο τιμών της. Αν κάνοντας τη προηγούμενη διαδικασία βρούμε τριώνυμο ως προς χ, τότε επειδή το τριώνυμο θα έχει τουλάχιστον μία λύση στο, απαιτούμε 0 και από αυτή τη σχέση βγάζουμε τους περιορισμούς για το y. 55. Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α) () β) () γ) () (Απ: α) A,β) (A) [0,),γ) (A) 5, ) 56. Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α) () β) () γ) () 9 δ) () 5 (Aπ: α) -{}, ) [0,+), γ) 0,, δ) [,7] ) 57. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: α) 6 7, β) (). (Απ:α) [-,+), β) [-, ] ) 58. Δίνεται η συνάρτηση: (). Να βρείτε το, β, αν είναι γνωστό ότι η έχει σύνολο τιμών το διάστημα 0,. (Απ: α=, β= ) 59. Δίνεται η συνάρτηση (). Να βρεθούν τα α,β, αν είναι γνωστό 4 ότι η έχει σύνολο τιμών το διάστημα,. (Απ:, 4 ) 8
7 η Κατηγορία: - Για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι - σε ένα διάστημα Δ, χρησιμοποιούμε κάποιον από τους παρακάτω τρόπους: - Έστω, Δ με ()(). Στην τελευταία σχέση κάνουμε όλες τις πράξεις και καταλήγουμε στο. - Έστω, Δ με. Με διαδοχικές συνεπαγωγές επιδιώκουμε να καταλήξουμε στη σχέση () (). - Αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ, οπότε είναι και -. Μη αντιστρέψιμη Για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση δεν είναι αντιστρέψιμη, αρκεί να δείξουμε ότι δεν είναι - με κάποιον από τους παρακάτω τρόπους: Μέσω παρατήρησης βρίσκουμε, D με τέτοια ώστε () (). Υποθέτουμε ότι () () και με διαδοχικές συνεπαγωγές κατασκευάζουμε το γινόμενο Π, 0. Τότε ή Π, 0 (). Αν στην () θέσουμε α, και προκύψει β α, τότε () () και η δεν είναι αντιστρέψιμη. Αν δίνεται η C, τότε αποδεικνύουμε ότι υπάρχει οριζόντια ευθεία που τέμνει τη σε περισσότερα από ένα σημεία. 60. Να αποδειχθεί ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι -. α) () β) () γ) (). 6. Να εξετάσετε αν είναι - οι παρακάτω συναρτήσεις : α) () β) () γ) () δ) () ε) 4 () στ) () 5 ζ) 6. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο Να αποδείξετε ότι η είναι -., 0., 0 (Απ: είναι β,γ,δ,ε) C 6. Να εξετάσετε αν είναι - οι παρακάτω συναρτήσεις:,, 0 α) () β) (),, 0 (Απ: είναι η α) 9
8 64. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν είναι αντιστρέψιμες: 4 α) () β) () 65. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: () () κάθε.να αποδείξετε ότι: α) η αντιστρέφεται, β) η C διέρχεται από το σημείο A,. 66. Δίνεται συνάρτηση : με (o)() (), να δείξετε ότι : α) η αντιστρέφεται β) η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 67. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( )() () για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) η αντιστρέφεται β) η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων. για 68. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει:. α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. β) Η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων. () () για κάθε 69. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: () 4() για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) η αντιστρέφεται, β) η C διέρχεται από το σημείο A,. 70. Δίνονται οι συναρτήσεις,g : κάθε. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. 5 για τις οποίες ισχύει go 4 για 7 7. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: () 9 6() για κάθε. Να αποδείξετε ότι η δεν είναι αντιστρέψιμη 7. Αν : με () 4() 5 για κάθε, να δείξετε ότι η δεν είναι αντιστρέψιμη. 7. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( )() 4 για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) (). 4 β) η συνάρτηση g()( ) () 5 4, δεν είναι αντιστρέψιμη. 0
9 74. Δίνεται συνάρτηση : με (oo)() 4 6, να αποδείξετε ότι : α) β) η συνάρτηση g() () 5, δεν είναι αντιστρέψιμη. 75. Αν : με (oo)(), να αποδείξετε ότι : α) 4 β) η συνάρτηση g() 4 (), δεν είναι αντιστρέψιμη. 76. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( ) ( ) () για κάθε. Να αποδείξετε ότι η δεν είναι αντιστρέψιμη. 77. Δίνεται συνάρτηση : είναι αντιστρέψιμη. με. Να αποδείξετε ότι η δεν 78. Έστω συνάρτηση για την οποία ισχύει : και 4 για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η είναι β) Να βρείτε την συνάρτηση. (Απ:β) () 5, ) 79. Έστω οι συναρτήσεις,g : για τις οποίες ορίζεται η συνάρτηση go. Να αποδείξετε ότι: α) Αν η go είναι αντιστρέψιμη, τότε η είναι αντιστρέψιμη. β) Αν οι,g είναι αντιστρέψιμες, τότε και η go είναι αντιστρέψιμη. 80. Έστω,g δύο συναρτήσεις γνησίως μονότονες στο με το ίδιο είδος μονοτονίας. Αν o g και gog, να αποδείξετε ότι g. 8. Έστω οι συναρτήσεις,g :, για τις οποίες ισχύει ότι: για κάθε. Να αποδείξετε ότι g και g. og go 8. Δίνονται οι αντιστρέψιμες συναρτήσεις,g : για τις οποίες ισχύει: ( g)()(g )() για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) (g )()( g)() β) (g )()( g)() γ) (g )()( g)().
10 4η Κατηγορία: ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Για να λύσουμε μία εξίσωση, στην οποία δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάποια από τις μεθόδους που μάθαμε στις προηγούμενες τάξεις, κάνουμε τα εξής: Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος και η εξίσωση γίνεται της μορφής ()=0. Μέσω παρατήρησης, βρίσκουμε μία προφανή ρίζα 0 της. Αποδεικνύουμε ότι η είναι -, οπότε το 0 είναι η μοναδική ρίζα της. Αν τα δύο μέλη της εξίσωσης είναι συνθέσεις της ίδιας συνάρτησης, τότε ορίζουμε ως τη συνάρτηση αυτή και αποδεικνύουμε ότι η είναι -. Τότε η εξίσωση γίνεται : g() h() g() h() Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: (Απ.: ) 84. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 5 α) β) e e (Απ.: α) β) ) Δίνονται οι συναρτήσεις,g :, όπου η είναι - και για τις οποίες ισχύει: g g g για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. g g 6. β) Να λύσετε την εξίσωση 86. Δίνεται η συνάρτηση : α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. β) Να αποδείξετε ότι η γ) Να λύσετε την εξίσωση (). 87. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: C διέρχεται από το σημείο A, (Απ.: ή ) () για κάθε.. για την οποία ισχύει: α) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη, 4,. β) Να λύσετε την εξίσωση (Απ.: γ) ) () (),. (Απ.: β) ) 88. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( y) () (y),y. Να αποδείξετε ότι: α) Αν η εξίσωση () 0 έχει μοναδική ρίζα τότε η είναι. β) Αν η C τέμνει την y το πολύ σε ένα σημείο τότε η συνάρτηση g() () είναι αντιστρέψιμη. για κάθε
11 89. Δίνεται συνάρτηση :,y.να αποδείξετε ότι: α) 0 0 για την οποία ισχύει: y y β) η είναι περιττή., για κάθε γ) Αν η έχει μοναδική ρίζα το 0, τότε η είναι αντιστρέψιμη και ισχύει: y y,,y. 5η Κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ Για να βρούμε την αντίστροφη μίας συνάρτησης, ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Αποδεικνύουμε ότι η είναι -. Λύνουμε την εξίσωση () y ως προς. Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της. Θέτουμε () y και αλλάζουμε μεταβλητές (όπου y το και αντίστροφα). 90. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων: α) () β) () γ) () δ) () (Απ.: α) (),,β) ( ), γ), (), 9. Να βρείτε τις αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων: α) () 6 0, β) () 4, 9. Δίνεται η συνάρτηση την. (Απ.: α) (), δ) (),, β), ),, ). Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε, (Απ.:, ) 9. Δίνεται συνάρτηση : με () 5() 0, να αποδείξετε ότι : α) η αντιστρέφεται β) να βρείτε την 5, ) (Απ.:
12 94. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. β) Να βρείτε την. () () για κάθε. (Απ.: β) ) ( ) ( ), 95. Να βρείτε, αν υπάρχει, η αντίστροφη των παρακάτω συναρτήσεων : 6 5,, 0 α) β), >, 0 4, 4 (Απ.: α), 4 ) 96. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: () () 0 για κάθε. α) Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται. β) Να βρείτε την. (Απ.: (), ) 97. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: 4 5 και ( )() 8 5 για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. β) Να βρείτε τον τύπο της. (Απ.: β) 5, ) 98. Δίνεται η συνάρτηση : () 64 6 για κάθε. για την οποία ισχύει: () 4 α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται β) Να βρείτε το τύπο της. (Απ.: β) ( ) 6 5, ) 99. Δίνεται αντιστρέψιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει () 6. Να βρείτε το (6) και να λύσετε την εξίσωση: (). 00. Έστω οι συναρτήσεις,g : για τις οποίες ισχύει: και (Απ.: g 5 για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι αν η είναι γνησίως αύξουσα, τότε η g είναι γνησίως φθίνουσα στο. γ) Αν οι,g είναι ίσες, να εκφράσετε την συνάρτηση της. (Απ.: γ) 5 6 ), ) 4
13 0. Έστω () 4 4. α) Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το 9 β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C και C. (Απ.:α),,β),0 ) 0. Δίνεται συνάρτηση : γνησίως μονότονη που η γραφική της παράσταση,4 6,. διέρχεται από τα σημεία και α) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 4 β) Να λύσετε την ανίσωση ( 5). 0. Δίνεται η συνάρτηση 5 (),. α) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη. 4 4 γ) Να λύσετε την ανίσωση β) Να λύσετε την εξίσωση 04. Δίνεται η συνάρτηση. 5 0 α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. 64. β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να λύσετε την εξίσωση 05. Δίνεται συνάρτηση :. για την οποία ισχύει ότι. α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται β) Να αποδείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το γ) Να λύσετε την εξίσωση 06. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι. Α) Να αποδείξετε ότι: α) η έχει σύνολο τιμών το. β) η αντιστρέφεται k k Β) Να βρείτε k τέτοιο, ώστε 07. Να δείξετε ότι για κάθε > οι συναρτήσεις () (Απ.:α), ή,β) 9 ) (Απ.:β)., γ). ) γ). 64 ) (Απ: β). 0 για κάθε (Απ :γ). ) 0 04 για κάθε και (Απ:Β). 007 ) 006 g, η μια είναι αντίστροφη της άλλης και να λύσετε την εξίσωση. (Απ.: 0ή ) 5
14 08. 5 Δίνεται η συνάρτηση () 4 8,. α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. β) Να βρείτε τα ( 8), (). γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C,C. 09. Δίνεται η συνάρτηση 4,. α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β) Να βρείτε την. γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C,C. (Απ :β). (Απ. β). 0, γ) (,) ), 4 γ).,,, ), 4 0. Δίνεται η συνάρτηση 4 5,. α) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C,C.. Δίνεται συνάρτηση : (Απ: α),β) ) για την οποία ισχύει: () () για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. γ) Να λύσετε την εξίσωση () ().. Δίνεται συνάρτηση :. για την οποία ισχύει ότι: κάθε. α) Να βρείτε τα σημεία τομής της C με τον άξονα. β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο. o για κάθε. γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να βρείτε την. (Απ. β) να χρησιμοποιήσετε άτοπο γ). ) 0. () για, (Απ.: α),0 δ) ),. Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση : της οποίας η γραφική παράσταση B,4. διέρχεται από τα σημεία A,6 και α) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση. () 6. β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 5. (Απ.: β) 4,γ) 7 ) 6
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>
Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε
1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R
ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()
Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση
4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε
Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,
f(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Εισαγωγή στην ανάλυση
Εισαγωγή στην ανάλυση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Έστω Α ένα υποσύνολο του και Α. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α,
g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε
Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 3. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () x 75 3
ΦΥΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν τα Πεδία Ορισμων συναρτήσεων: i) f () 4 f () i f () 4 f () 6 5 v) f () 9 vi) f () v f () log() vi f () 4, i) f () 8, Να βρεθούν επίσης οι τιμές : n f ( 4),( f ),( f0),(),(0),(
Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.
3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με
ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις
ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει
α) ( ) β) ( ) γ) ( ) δ) ( ) ( ) β) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ( )
Συναρτήςεισ Όριο Συνέχεια Πεδίο οριςμού ςυνάρτηςησ 1) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων α) β) γ) δ) 2) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων α) β) γ) δ) 3) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
qwφιrtyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψrβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwrtyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ qπςπζαwωτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnαmqwrtyuiopasdfghjklz
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (o Γ Λυκείου).Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε: Α) τα σημεία (, ),(, ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης α +β. Β)τα σημεία ( 0, ),( e, ) να ανήκουν στην γραφική παράσταση
II. Συναρτήσεις. math-gr
II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική
ΣΥΝΘΕΤΗ & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣH
ΣΥΝΘΕΤΗ & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣH Οδηγίες Τι να προσέχουμε 1. Προσέχουμε πάντα τα χ για τα οποία ορίζεται μία συνάρτηση ή μία συναρτησιακή σχέση. Αν δεν μας δίνονται πρέπει να τα βρίσκουμε. Είναι το Πεδίο
Συναρτήσεις. Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση. Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία
Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία Maθηματικά Γ Λυκείου Συναρτήσεις Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση.. Α.Αλβέρτος, Δ.Βαμπούλης, Χ.Βραχνός, Φ.Γκάγκαρη,
2 (1) 1 0 ln( (2)) 3 (2) 3 0. e f και f f. f( g( x)) 3x 4, για κάθε x. συνx 5. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R, για τις οποίες ισχύει η σχέση: f( g( )) 4, για κάθε. a. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη. β. Να δείξετε
αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο
2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις
ο Διαγώνισμα 08-9 Ύλη: Συναρτήσεις Θέμα Α Α. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν μια συνάρτηση : είναι - τότε είναι και γνησίως μονότονη.» α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας
π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν
- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) 1 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g γα τις οποίες ισχύει: f()+1=g()+e (Η C f κάτω
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις
ΘΕΜΑ Α Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας ωρών στις Συναρτήσεις 0 9-05 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).. Αν η συνάρτηση f είναι -, είναι και γνησίως
Ημερομηνία: Κυριακή 29 Οκτωβρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: Κυριακή 9 Οκτωβρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Να δώσετε τους ορισμούς των: α) Ολικό μέγιστο συνάρτησης β) Γνησίως
Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)
Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αρκεί να βρούμε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι πράξεις που αναγράφονται στο τύπο
Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και
Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας
. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(
Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε
3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε
Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ
Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. 5η κατηγορια: ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
5η κατηγορια: Για να βρούμε τη σύνθεση gof των συναρτήσεων f,g ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Αρχικά βρίσκουμε τα πεδία ορισμού A f,a g των συναρτήσεων f,g. Στη συνέχεια βρίσκουμε το σύνολο A A f / f(
x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)
Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.
1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R
Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = 4 6 6 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.
( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος
Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική
Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο 2 78 ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /
Συναρτήσεις Κώστας Γλυκός Άλγεβρα Κεφάλαιο 78 ασκήσεις και τεχνικές σε 9 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 0 / 7 / 0 1 8 εκδόσεις Καλό πήξιμο
ΟΡΙΣΜΟΣ 2 (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις)
ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ) ΟΡΙΣΜΟΣ (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις) Μια συνάρτηση : A είναι συνάρτηση -,
Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια
Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )
MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο 2 78 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Συναρτήσεις Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / 9 / 0 1 6 Άλγεβρα Κεφάλαιο 78 ασκήσεις και τεχνικές σε 9 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 10-610.178
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμοί Α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα υποσύνολο Β του Πεδίου Ορισμού της όταν : για κάθε, B με < f( ) < f( ). Β) Μια
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)
1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πεδίο ορισμού Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i) ( ) e ii) ( ) iii) iv) v) () vii) () e ln viii) () ) συν () ημ i) 4 4 ( ) ( ) ( ) 5 vi) () i) () 7 4 Να
1 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις μέχρι και τα ακρότατα
Θέμα Α Α1. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: 1 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις μέχρι και τα ακρότατα 018-19 «Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων,g :, 0 ή g 0» ισχύει ότι g 0 αν και μόνο αν α) Να χαρακτηρίσετε
4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου
4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες
2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί
ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,
ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.
Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),
( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x.
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις I Πεδίο ορισµού συνάρτησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = +, (ii) f( ) = Να βρεθούν τα f( 0 ), f( ), f( ), f( α ), f( α+ β), f( α 5) ( ) ( ) f + h f, h Να
ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ)
ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ) A. Εύρεση Πεδίου Ορισμού Συναρτήσεων-Άρτια και περιττή Συνάρτηση Η ανάλυση των πεδίων ορισμού για τις διαφορετικές πραγματικές
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»
4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Στο δι λανό Έστω η συνάρτηση f(x) = l n Αν f( x) = x+ x + 1. Να α οδείξετε ότι
Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4. Έστω η συνάρτηση () l n A) Βρείτε το εδίο ορισµού της B) Λύστε την εξίσωση + Γ) Λύστε την ανίσωση < ) Να δείξετε ότι + ( ) συν
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως
ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την
Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων
στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-09 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το
( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f
f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»
2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.
Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ
33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α
ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ
Ε_.ΜλΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α A. Έστω η συνάρτηση
Μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού
5-6 Μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού Σημειώσεις μαθηματικών που απευθύνονται σε μαθητές της Γ Λυκείου. Χωρισμένες σε ενότητες για την καλύτερη κατανόηση της ύλης Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α
ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η
ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2012
ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΘΕΜΑ Α. Λ Λ Λ Σ - Σ - Λ ΜΟΝΑΔΕΣ Β. α) Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει ( ) g( ). ΜΟΝΑΔΕΣ β) Μια συνάρτηση
5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. x, τότε ισχύει f(4) f(2). x τότε ισχύει. αν 1.
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά
f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει
Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,
Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...