ΑΝΣΩΝΗ ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ ΧΡΗΙΜΕ ΕΠΙΗΜΑΝΕΙ ΣΙ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ

ΑΝΣΩΝΗ ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ ΧΡΗΙΜΕ ΕΠΙΗΜΑΝΕΙ ΣΙ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΜΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΤΠΟΔΕΙΞΕΙ ΑΠΟ ΣΟΝ ΚΩΣΑ ΕΡΙΦΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 009 w w w m a t h e m a t i c a g r

ΑΝΣΩΝΗ K ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ ΧΡΗΙΜΕ ΕΠΙΗΜΑΝΕΙ ΣΙ ΒΑΙΚΕ ΕNΝΟΙΕ ΜΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΤΠΟΔΕΙΞΕΙ ΣΩΝ ΑΚΗΕΩΝ ΑΠΟ ΣΟΝ ΚΩΣΑ ΕΡΙΦΗ wwwmathematicagr ΝΟΕΜΒΡΙΟ 009

ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ηην επγαζία αςηή παπαθέηυ σπήζιμερ επιζημάνζειρ ζηιρ βαζικέρ έννοιερ ηυν ππαγμαηικών ζςναπηήζευν και δίνυ παπαδείγμαηα εθαπμογήρ ηο ηέλορ παπαθέηυ μια ζειπά αζκήζευν, πολλέρ από ηιρ οποίερ έσυ θηιάξει ο ίδιορ Έσυ ηη γνώμη όηι η πλήπηρ καηανόηζη ηυν βαζικών εννοιών ζηιρ ζςναπηήζειρ, είναι απαπαίηηηη πποϋπόθεζη για ηην πεπαιηέπυ αππόζκοπηη μελέηη ηοςρ ηο ηέλορ ηηρ επγαζίαρ παπαηίθενηαι ςποδείξειρ και απανηήζειρ ηυν αζκήζευν, ηιρ οποίερ έγπατε ο θίλορ μος ο Κώζηαρ ο επίθηρ, ηυν οποίυν και εςσαπιζηώ πολύ Παπαθέηυ παπακάηυ ένα ζημείυμα ηος Κώζηα για ηην επγαζία ηος αςηή Ανηώνηρ Κ Κςπιακόποςλορ a_kiriak@otenetgr Έγπατα ηιρ απανηήζειρ ςποδείξειρ ζηιρ αζκήζειρ πος πεπιέσει η επγαζία αςηή ηος Ανηώνη για δύο λόγοςρ Ο ππώηορ είναι όηι μ απέζει να λύνυ καλέρ αζκήζειρ και καηά ηη γνώμη μος οι πεπιζζόηεπερ από ηιρ αζκήζειρ αςηέρ είναι εξαιπεηικέρ Ο δεύηεπορ, για μια μικπή βοήθεια ζηο δύζκολο έπγο ηυν ζςναδέλθυν Κάποιοι από αςηούρ δεν θα έσοςν ηην πολςηέλεια ηος σπόνος να ηιρ ανηιμεηυπίζοςν όλερ Κώζηαρ επίθηρ k-ser@otenetgr

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο Πόηε κηα ζπλάξηεζε είλαη νξηζκέλε Μηα (πξαγκαηηθή) ζπλάξηεζε : είλαη νξηζκέλε αλ, θαη κόλν αλ: α) Γλσξίδνπκε ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο Α θαη β) Γλσξίδνπκε ή κπνξνύκε λα βξνύκε ηελ ηηκή ηεο (), γηα θάζε Πόηε έλαο αξηζκόο είλαη ηηκή κηαο ζπλάξηεζεο Έλαο αξηζκόο y είλαη ηηκή κηαο ζπλάξηεζεο : αλ, θαη κόλν αλ: Ιζνδύλακα αλ, θαη κόλν αλ: Υπάξρεη κε ()=y Η εμίζσζε ()=y έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ιύζε Σπκβνιηθά: Έζησ κία ζπλάξηεζε : ηηκή ηεο Α, y y Παξάδεηγκα Να εμεηάζεηε αλ ν αξηζκόο 5 είλαη ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο: 8εκζπλ -, αλ < () = - + 3, αλ Λύζε Τν ζύλνιν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη ην Λύλνπκε ηελ εμίζσζε: ()=5 κε Με έρνπκε: ( ) 5 8 5 4 6, αδύλαηε ( γηαηί 3 Με έρνπκε: ( ) 5 3 5 0 ( ή = ) Γεθηή είλαη κόλν ε = ( γηαηί ) Σπκπεξαίλνπκε όηη ην 5 είλαη ηηκή ηε ζπλάξηεζεο ( γηα =) 3 - ) Άζθεζε Να εμεηάζεηε αλ ν αξηζκόο είλαη ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο: Απάληεζε Όρη 3, αλ 0 ( ), αλ ρ>0 []

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο 3 ύλνιν νξηζκνύ ζπλάξηεζεο πνπ νξίδεηαη από έλαλ ηύπν Σπκθσλνύκε όηη έλαο δνζκέλνο ηύπνο () νξίδεη κηα ζπλάξηεζε κε ζύλνιν νξηζκνύ ην ζύλνιν: ( ), κε ηελ πξνϋπόζεζε όηη Παξάδεηγκα Να βξείηε ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο: Λύζε Με έρνπκε: () = 3εκ - - - 4 0 40 4 0 4 ( ) 4 Άξα, ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη: Α=, + εκείωζε Γνζέληνο ελώ ηύπνπ () ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο: ( ) είλαη πιήξσο νξηζκέλν Έηζη ζα έιεγε θάπνηνο όηη ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο πξνεγνύκελεο ζπλάξηεζεο είλαη: 4 0 θαη 4 0 Σσζηά Αιιά όηαλ ιέκε όηη ζα βξνύκε ην ζύλνιν νξηζκνύ κηαο ζπλάξηεζεο πνπ νξίδεηαη από έλα δνζκέλν ηύπν (), ζηωπεξά ελλννύκε όηη ην ζύλνιν Α = R () R ζα ην ζέζνπκε ππό κνξθή δηαζηήκαηνο ή ελώζεωλ δηαζηεκάηωλ ηνπ Απηό όκσο ζε πνιιέο πεξηπηώζεηο δελ κπνξεί λα γίλεη Γηα παξάδεηγκα, ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο: g ( ) είλαη: 7 3 0 3 3 7 Τν ζύλνιν απηό είλαη πιήξσο νξηζκέλν, αιιά δελ κπνξεί λα ηεζεί ππό κνξθή δηαζηήκαηνο ή ελώζεσλ δηαζηεκάησλ ηνπ, γηαηί δελ ιύλεηαη ε εμίζσζε: 7 3 0 Άζθεζε Να βξείηε ην ζύλνιν νξηζκνύ Α ηεο ζπλάξηεζεο: 3 ( ) Απάληεζε α) ι> : Α= β) ι=: Α= γ) ι<: Α=, -, όπνπ (δνζκέλνο) []

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο 4 ύλνιν ηηκώλ ζπλάξηεζεο Τν ζύλνιν ηηκώλ κηαο ζπλάξηεζεο : είλαη ην ζύλνιν: ( ) y y ηηκή ηεο ( ) y, ()=y ( ) y ε εμίζσζε ()=y έρεη κία ηνπιάρηζην ιύζε Α Με άιια ιόγηα, ην ζύλνιν ηηκώλ κηαο ζπλάξηεζεο :ΑR είλαη ην ζύλνιν ηωλ αξηζκώλ yr, γηα ηνπο νπνίνπο ε εμίζωζε ()=y ( κε άγλωζην ην ) έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην Α Παξάδεηγκα Nα βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο: () = - 3 + - 3 Λύζε Τν ζύλνιν νξηζκνύ ηεο είλαη: 3 Θα βξνύκε ηνπο αξηζκνύο y, γηα ηνπο νπνίνπο ε εμίζσζε ()=y ( κε άγλσζην ην ) έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην Α Με θαη y έρνπκε: 3 3 () y y ( y 3) (3y ) 0 () Η εμίζσζε () έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην Α αλ, θαη κόλν αλ: ( )( y 3) 4(3y) 0 y 6y 5 0 ( y ή y 5) 3 ( y 3) 3 (3y ) 0 0 Άξα, ην δεηνύκελν ζύλνιν ηηκώλ είλαη: ( ), 5, Άζθεζε Nα βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο: ()=3εκ-4ζπλ Απάληεζε ( ) 5,5 5 Ιζόηεηα ζπλαξηήζεωλ Θεσξνύκε δύν ζπλαξηήζεηο : θαη g : Έρνπκε: g Α, ()=g() Έηζη έρνπκε: g αλ, θαη κόλν αλ: ή (Α=Β θαη ππάξρεη κε () g()) Παξάδεηγκα Να εμεηάζεηε ζε πνηεο από ηηο παξαθάηω δύν πεξηπηώζεηο ηζρύεη =g: i) ()= 3 3 θαη g()= ii) 3 () = θαη g()= 3 [3]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο Λύζε i) Τν ζύλνιν νξηζκνύ ηεο είλαη Α= 0, θαη ηεο g είλαη Β= Άξα θαη ζπλεπώο g ii) Τν ζύλνιν νξηζκνύ ηεο είλαη Α= 0, θαη ηεο g είλαη Β= 0, θαη άξα Α=Β Γηα θάζε 0, έρνπκε: ( ) 3 3 ( ) g Άξα =g Άζθεζε Nα εμεηάζεηε αλ είλαη ίζεο νη ζπλαξηήζεηο: Απάληεζε Δίλαη ίζεο ()= 5 8 θαη g()= 8 5 6 Άξηηεο θαη πεξηηηέο ζπλαξηήζεηο Οξηζκόο Θεωξνύκε κία ζπλάληεζε :ΑR Οξίδνπκε: ( άξηηα) Α, (-) Α θαη -ρ = () Η γξαθηθή παξάζηαζε κηαο άξηηαο ζπλάξηεζεο έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ άμνλα y y ( πεξηηηή) Α, (-) Α θαη -ρ = -() Η γξαθηθή παξάζηαζε κηαο πεξηηηήο ζπλάξηεζεο έρεη θέληξν ζπκκεηξίαο ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ Παξάδεηγκα Nα εμεηάζεηε αλ είλαη άξηηα ή πεξηηηή ε ζπλάξηεζε: -3-4, αλ - () = -3 + 4, αλ Λύζε Τν ζύλνιν νξηζκνύ ηεο είλαη,, Δίλαη θαλεξό όηη γηα θάζε ηζρύεη ( ) Έζησ ηώξα έλαο αξηζκόο i) Έζησ όηη Τόηε ()= 3 4 Δπίζεο, ηόηε: θαη ζπλεπώο: ( )= 3( )+4=3+4= () ii) Έζησ όηη Τόηε ()= 3+4 Δπίζεο, ηόηε: θαη ζπλεπώο: ( )= 3( ) 4=3 4= () Σπκπεξαίλνπκε όηη, γηα θάζε ηζρύεη: ( )= () Άξα ε ζπλάξηεζε είλαη πεξηηηή Άζθεζε H γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο : δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α(,3) θαη Β(,) Η ζπλάξηεζε απηή είλαη: Α Άξηηα Β Πεξηηηή Γ Ούηε άξηηα, νύηε πεξηηηή Απάληεζε Γ ( δηθαηνινγήζηε ηελ απάληεζε) [4]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο 7 Μνλόηνλεο ζπλαξηήζεηο Οξηζκόο Θεωξνύκε κηα ζπλάξηεζε Μία ζπλάξηεζε :ΑR Οξίδνπκε: (γλεζίωο αύμνπζα) Α, Α, < ( ) < ( ) ( αύμνπζα ) Α, Α, < ( ) ( ) (γλεζίωο θζίλνπζα)α, Α, < ( ) > ( ) (θζίλνπζα)α, Α, < ( ) ( ) :ΑR ιέκε όηη είλαη: Γλεζίωο κνλόηνλε, αλ θαη κόλν αλ, είλαη γλεζίωο αύμνπζα ή γλεζίωο θζίλνπζα Μνλόηνλε αλ, θαη κόλν αλ, είλαη αύμνπζα ή θζίλνπζα Παξάδεηγκα Να κειεηήζεηε ωο πξνο ηελ κνλνηνλία ηε ζπλάξηεζε: () = 3-5, αλ < - 6 + 7, αλ > Λύζε Τν ζύλνιν νξηζκνύ ηεο είλαη,, Θεσξνύκε δύν αξηζκνύο, κε α<β (γηα επθνιία ζηε γξαθή δελ ρξεζηκνπνηνύκε ην κε δείθηεο) ) Έζησ όηη α<β< Τόηε: (β) (α)=(3β 5) (3α 5)=3(β α)>0 θαη άξα (α)<(β) ) Έζησ όηη <α<β Τόηε: ( ) ( ) ( 6 7) ( 6 7) ( )( 3) 0 (γηαηί;) θαη άξα (α)<(β) 3) Έζησ όηη α<<β Τόηε: (α)=3α 5<3 5= θαη άξα (α)< () 3 5 5 (β)= 6 7 θαη άξα (β)> 5 4 () Από ηηο () θαη () έπεηαη όηη (α)<(β) αύμνπζα Ώζηε, ζε θάζε πεξίπησζε ηζρύεη: (α)<(β) Σπλεπώο ε δνζκέλε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο εκείωζε Θεσξνύκε κηα γλεζίσο αύμνπζα ζπλάξηεζε : Ιζρύεη:, Α, < ( ) < ( ), Πξάγκαηη Θεσξνύκε δύν αξηζκνύο, [5]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο i) Έζησ όηη Τόηε, επεηδή, έρνπκε: ( ) ( ) ii) Αληηζηξόθωο Έζησ όηη ( ) ( ) Αλ, ηόηε ( ) ( ), άηνπν Αλ, ηόηε, επεηδή, ζα είρακε ( ) ( ), άηνπν Άξα Όκνηα, γηα κηα γλεζίσο θζίλνπζα ζπλάξηεζε : Ιζρύεη:, Α, < ( ) > ( ) εκείωζε Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη νξηζκέλε θαη κνλόηνλε (ή γλεζίσο κνλόηνλε) ζε δύν κε θελά ζύλνια Α θαη Β, δελ έπεηαη αλαγθαίσο όηη ε είλαη κνλόηνλε (ή γλεζίσο κνλόηνλε) ζηελ έλσζε Γηα παξάδεηγκα, ε ζπλάξηεζε ( ) είλαη νξηζκέλε θαη γλεζίσο θζίλνπζα ζε θαζέλα από ηα δηαζηήκαηα:,0 θαη 0,, αιιά ε δελ είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζηελ έλσζε:,0 0, Άζθεζε Μηα ζπλάξηεζε : είλαη γλεζίσο αύμνπζα Μα ιπζεί εμίζσζε: Απάληεζε = () (3 )=(4 ) ( ) 8 Μέγηζην θαη ειάρηζην ζπλάξηεζεο Οξηζκόο Θεωξνύκε κηα ζπλάξηεζε :ΑR Οξίδνπκε: ( έρεη κέγηζηε ηηκή) ηελ πεξίπηωζε πνπ ππάξρεη ηέηνην Α, Α,() ( ) 0 0 Λέκε, επίζεο, όηη ε παξνπζηάδεη κέγηζην ζην κέγηζην ηεο ( έρεη ειάρηζηε ηηκή) ηελ πεξίπηωζε πνπ ππάξρεη ηέηνην 0 Α ιέκε όηη ε έρεη κέγηζηε ηηκή ηε ( 0 ) Α, Α,() ( ) 0 0 Λέκε, επίζεο, όηη ε παξνπζηάδεη ειάρηζην ζην ειάρηζην ηεο εκείωζε Έζησ κηα ζπλάξηεζε : α) Αλ γηα έλαλ αξηζκό k ηζρύεη: ( ) 0 Α Η δε ηηκή ( 0 ) ιέγεηαη 0 Α ιέκε όηη ε έρεη ειάρηζηε ηηκή ηελ ( 0 ) 0 Α Η δε ηηκή ( 0 ) ιέγεηαη k, γηα θάζε, ηόηε ην k δελ είλαη αλαγθαίωο κέγηζηε ηηκή ηεο Απηό ζπκβαίλεη κόλν όηαλ ην k είλαη ηηκή ηεο Α,() = k (k κέγηζηε ηηκή ηεο ) Α, () k [6]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο Γηα παξάδεηγκα, έζησ ε ζπλάξηεζε ()=εκ, Γηα θάζε ηζρύεη: ()=εκ 5 Αιιά ην 5 δελ είλαη ε κέγηζηε ηηκή ηεο Τν 5 δελ είλαη ηηκή ηεο Η κέγηζηε ηηκή ηεο είλαη ην β) Αλ γηα έλαλ αξηζκό k ηζρύεη: ( ) ειάρηζηε ηηκή ηεο Απηό ζπκβαίλεη κόλν όηαλ ην k είλαη ηηκή ηεο (k ειάρηζηε ηηκή ηεο ) k, γηα θάζε, ηόηε ην k δελ είλαη αλαγθαίωο Α,() = k Α, () k Παξάδεηγκα Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο ιr, γηα ηνπο νπνίνπο ε - + ι ζπλάξηεζε: () = έρεη κέγηζηε ηηκή ην + + Λύζε Τν ηξηώλπκν: έρεη δηαθξίλνπζα αξλεηηθή θαη άξα: 0,γηα θάζε Έηζη, ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο είλαη ην Γηα λα είλαη ην κέγηζηε ηηκή ηεο πξέπεη θαη αξθεί:,, ( ), 3 ( ) 0, ( ), 3 ( ) 0, 9 4( ) 0 9 4( ) 0 9 4( ) 0 4 Άξα, ε δεηνύκελε ηηκή ηνπ ι είλαη ι= 4 Άζθεζε Να εμεηάζεηε σο πξνο ην κέγηζην θαη ην ειάρηζην ηε ζπλάξηεζε: ( ) (ρσξίο παξαγώγνπο) Απάληεζε Έρεη ειάρηζην ην, γηα = θαη κέγηζην ην γηα = 9 ύλζεζε ζπλαξηήζεωλ Οξηζκόο Θεωξνύκε δύν ζπλαξηήζεηο :ΑR θαη g:βr Θεωξνύκε ηώξα ην ζύλνιν: Α = Α () Β θαη ππνζέηνπκε όηη Η ζπλάξηεζε, ηελ όπνηα ζπκβνιίδνπκε κε g θαη ηελ νπνία νξίδνπκε ωο εμήο: go : Α R κε (go)() = g, νλνκάδεηαη ζύλζεζε ηωλ θαη g, θαη απηή ηελ ηάμε [7]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο Παξάδεηγκα Να βξείηε ηε ζπλάξηεζε go, αλ: () = 4 - θαη g() = - Λύζε Τν ζύλνιν νξηζκνύ ηεο είλαη Α=, θαη ηεο g είλαη Β=, Βξίζθνκαη ην ζύλνιν: ( ) Με έρνπκε: 3 3 ( ) 4 4 3 3 Άξα 3, 3 Σπλεπώο: g : 3, 3 κε (g )()=g ( ) 4 εκείωζε Γηα δύν ζπλαξηήζεηο θαη g δελ ηζρύεη πάληνηε: g g Γηα ηξεηο ζπλαξηήζεηο, g θαη h ηζρύεη πάληνηε: νξίδεηαη όιεο νη αλαθεξόκελεο ζπλζέζεηο g h g h, κε ηελ πξνϋπόζεζε όηη Άζθεζε Θεσξνύκε δύν ζπλαξηήζεηο : θαη g : Υπνζέηνπκε όηη g g θαη όηη ε εμίζσζε ()= έρεη κηα κνλαδηθή ιύζε Να απνδείμεηε όηη ην ξ είλαη θαη ιύζε ηηο εμίζσζεο g()= 0 πλαξηήζεηο - Οξηζκόο Mηα ζπλάξηεζε κόλν αλ: :ΑR ιέκε όηη είλαη - (έλα πξνο έλα) αλ, θαη, Α, ( ) ( ) Ιζνδύλακα, αλ θαη κόλν αλ:,, ( ) = ( ) = εκείωζε Δίλαη θαλεξό όηη, αλ κία ζπλάξηεζε : είλαη -, ηόηε:,, ( ) = ( ) = (γηαηί;) Παξάδεηγκα Να απνδείμεηε όηη είλαη - ε ζπλάξηεζε: : -,+ R κε () = +8-7 Λύζε Θεσξνύκε δύν αξηζκνύο,,, νπόηε θαη Έρνπκε: ( ) ( ) 8 7 8 7 4 4 4 4 4 4 ( ) ( ) [8]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο Άξα, ε ζπλάληεζε είλαη - Άζθεζε Να απνδείμεηε όηη είλαη - ε ζπλάξηεζε: ( ) Σξεηο ρξήζηκεο πξνηάζεηο Πξόηαζε Αλ κηα ζπλάξηεζε :ΑR είλαη -, ηόηε ε εμίζωζε ()=k, γηα θάζε kr, έρεη ην πνιύ κία ιύζε ζην Α Απόδεημε Έζησ όηη κία ζπλάξηεζε : είλαη - Θεσξνύκε έλα αξηζκό Έζησ ηώξα όηη ε εμίζσζε ( ) k έρεη δύν ιύζεηο θαη ζην Α κε Έρνπκε: ( ) k ( ) ( ) ( ) k Άξα, ε εμίζσζε ( ) Πξόηαζε Αλ κηα ζπλάξηεζε ηόηε είλαη -,άηνπν k έρεη ην πνιύ κία ιύζε ζην Α :ΑR είλαη γλεζίωο κνλόηνλε, Απόδεημε Έζησ όηη (όκνηα εξγαδόκαζηε αλ )Θεσξνύκε δύν αξηζκνύο, Έρνπκε: Άξα, ε είλαη - ή ( ) ( ) ή ( ) ( ) ( ) ( ) εκείωζε Τν αληίζηξνθν δελ ηζρύεη Γηα παξάδεηγκα, ε ζπλάξηεζε δελ είλαη γλεζίσο κνλόηνλε Πξόηαζε 3 Αλ κηα ζπλάξηεζε ( ) :ΑR είλαη γλεζίωο κνλόηνλε, ηόηε ε εμίζωζε ()=k, γηα θάζε kr, έρεη ην πνιύ κία ιύζε ζην Α είλαη -,αιιά Απόδεημε Σύκθσλα κε ηελ πξόηαζε, ε ζπλάξηεζε είλαη - θαη άξα, ζύκθσλα κε ηελ πξόηαζε, ε εμίζσζε ( ) k έρεη ην πνιύ κία ιύζε ζην Α Αληίζηξνθεο ζπλαξηήζεηο Έζησ όηη κηα ζπλάξηεζε : είλαη - Τόηε, γηα θάζε y ( ), ππάξρεη έλαο αθξηβώο αξηζκόο κε ( ) y ( γηαηί;) Έηζη, ηόηε, νξίδεηαη κηα λέα ζπλάξηεζε, ηελ νπνία ζπκβνιίδνπκε - κε, ωο εμήο: [9]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο - - : (Α) R κε (y) = () = y, γηα θάζε θαη γηα θάζε y (Α) - Η ζπλάξηεζε απηή νλνκάδεηαη αληίζηξνθε ηεο Έηζη, αλ κηα ζπλάληεζε είλαη -, ηόηε νξίδεηαη ε αληηζηξνθή ηεο ζπλάξηεζε Σηελ πεξίπησζε απηή ιέκε όηη ε ζπλάξηεζε αληηζηξέθεηαη Ιζρύνπλ: - () =, γηα θάζε - Α (y) = y, γηα θάζε y (Α) Γηα λα κειεηήζνπκε σο πξνο ην «αληηζηξέςηκν» κία δνζκέλε ζπλάξηεζε :,ζα πξέπεη πξώηα λα εμεηάζνπκε αλ είλαη - Αλ είλαη -, ηόηε γηα λα βξνύκε ηελ αληίζηξνθε ζπλάξηεζε, ζα πξέπεη λα βξνύκε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο (Α) θαη κεηά λα ιύζνπκε ηελ εμίζσζε ()=y,σο πξνο Όια απηά κπνξνύκε λα ηα απινπνηήζνπκε ιίγν κε ηνλ ηξόπν πνπ αλαθέξνπκε ζηελ επόκελε παξάγξαθν 3 Μειέηε γηα ηελ αληίζηξνθε ζπλάξηεζε Έζησ κηα ζπλάξηεζε : Αλ ιύζνπκε (θαη δηεξεπλήζνπκε )ηελ εμίζσζε: ( ) y, κε άγλσζην ην θαη παξάκεηξν ην y, ηόηε: ) Δίλαη εύθνιν λα βξνύκε ην ζύλνιν ηηκώλ ( ) ηεο ζπλάξηεζεο Σν (Α) είλαη ην ζύλνιν ηωλ αξηζκώλ y = y έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ιύζε Α, γηα ηνπο νπνίνπο ε εμίζωζε ) Eίλαη εύθνιν λα βξνύκε αλ ε ζπλάξηεζε αληηζηξέθεηαη ή όρη α) Αλ γηα έλα ηνπιάρηζηνλ y0 ( ) ε εμίζωζε: 0 y έρεη δύν ή πεξηζζόηεξεο ιύζεηο ζην Α, ηόηε ε ζπλάξηεζε δελ είλαη - θαη άξα δελ αληηζηξέθεηαη Πξάγκαηη, έζησ όηη θαη, κε, είλαη δύν από ηηο ιύζεηο απηέο Τόηε ζα έρνπκε: ( ) y0 θαη ( ) y0, νπόηε ( ) ( ) Καη επεηδή, έπεηαη όηη ε ζπλάξηεζε δελ είλαη - θαη άξα δελ αληηζηξέθεηαη β) Αλ γηα θάζε y ( ) ε εμίζωζε: ( ) y έρεη κηα κνλαδηθή ιύζε ζην Α, ηόηε ε ζπλάξηεζε είλαη - θαη άξα αληηζηξέθεηαη Πξάγκαηη, ζεσξνύκε δύν αξηζκνύο, θαη ππνζέηνπκε όηη: ( ) ( ) y0 Έηζη, νη αξηζκνί θαη είλαη ιύζεηο ηηο εμίζσζεο: ( ) y0 [0]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο Καη επεηδή ε εμίζσζε απηή έρεη κηα κνλαδηθή ιύζε, έπεηαη όηη Σπλεπώο, ε ζπλάξηεζε είλαη - θαη άξα αληηζηξέθεηαη 3) Σηελ πεξίπησζε πνπ αληηζηξέθεηαη, ζα έρνπκε έηνηκν θαη ηνλ ηύπν ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο : ( ), αθνύ ζα έρνπκε βξεη ην ζπλαξηήζεη ηνπ y ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ Να εμεηάζεηε αλ ε ζπλάξηεζε ( ) αληηζηξέθεηαη θαη αλ λαη λα βξείηε ηελ αληηζηξνθή ηεο Λύζε Τν ζύλνιν νξηζκνύ ηεο είλαη ηo Λύλνπκε ηελ εμίζσζε: ( ) θαη παξάκεηξν ην y ) Λύζεηο ζην,0 Με <0 έρνπκε: y ( ) y () Αλ y 0, ηόηε ε εμίζσζε () είλαη αδύλαηε Έζησ όηη y<0 Τόηε: () ( ) 3 3 y y y (δεθηή) ) Λύζεηο ζην 0, Με 0 έρνπκε: y ( ) y () Αλ y<0, ηόηε ε εμίζσζε () είλαη αδύλαηε Έζησ όηη y 0 Τόηε: () y y y 3 3 (δεθηή) Ώζηε, γηα θάζε y, ε εμίζσζε y=() κε, έρεη κηα κνλαδηθή ιύζε, ηελ: y, κε άγλσζην ην 3 y 3 y, αλ y<0, αλ y 0 Σπκπεξάλνπκε όηη: ( ) Δπίζεο, όηη ε ζπλάξηεζε είλαη - ( απόδεημε όπσο ζηελ πεξίπησζε β) Σπλεπώο, ε ζπλάξηεζε αληηζηξέθεηαη θαη ε αληηζηξνθή ηεο είλαη: : κε ( y) 3 3 y y,αλ y<0, αλ y 0 Μπνξνύκε ζηε ζέζε ηνπ y λα βάινπκε ην ή νπνηνδήπνηε άιιν γξάκκα) ΑΚΗΗ Έζηω ε ζπλάξηεζε: ()= -3 + Να απνδείμεηε όηη: ) Η αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ αληηζηξνθή ηεο ) Τπάξρνπλ ηξεηο πξαγκαηηθνί αξηζκνί α, β θαη γ, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: ( ) 6 []

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο y 3, αλ y 6 Απάληεζε ) : κε ( y) 3 y 3, αλ y<6 ) α= 3, β= 3 θαη γ=-, νπόηε: 3 3 ( ) 6 4 Σξεηο αθόκα ρξήζηκεο πξνηάζεηο Πξόηαζε Αλ κία ζπλάξηεζε :ΑRείλαη γλεζίωο κνλόηνλε, ηόηε αληηζηξέθεηαη θαη ε αληηζηξνθή ηεο ζπλάξηεζε: γλεζίωο κνλόηνλε θαη κάιηζηα κε ην ίδην είδνο κνλνηνλίαο - : (Α) R είλαη επίζεο Απόδεημε Έζησ όηη (όκνηα εξγαδόκαζηε αλ ) Σύκθσλα κε ηελ πξόηαζε ηεο 3, ε είλαη - θαη άξα αληηζηξέθεηαη Θα απνδείμνπκε ηώξα όηη: ( ) Γειαδή ζα απνδείμνπκε όηη: y, y ( ), y y ( y ) ( y ) () Έζησ όηη ε πξόηαζε () δελ ηζρύεη Τόηε, ζα ηζρύεη ε άξλεζή ηεο, πνπ είλαη: y, y ( ), y y θαη ( y ) ( y ) Έηζη, θαη επεηδή, από ηελ ( y ) ( y ) y y,άηνπν, έπεηαη όηη : ( y ) ( y) Άξα, ε πξόηαζε () ηζρύεη θαη ζπλεπώο Πξόηαζε Αλ κία ζπλάξηεζε παξαζηάζεηο ( ) :ΑRαληηζηξέθεηαη, ηόηε νη γξαθηθέο, δειαδή : C ηεο θαη C ηεο είλαη ζπκκεηξηθέο ωο πξνο ηελ επζεία: y= (δηρνηόκν ηεο εο θαη ηεο 3 εο γωλίαο ηωλ αμόλωλ) Απόδεημε Έζησ όηη κηα ζπλάξηεζε : αληηζηξέθεηαη Έρνπκε: - (, ) C ( ) ( ) (, ) C Καη επεηδή ηα ζεκεία M(, ) θαη M (, ) είλαη ζπκκεηξηθά πξνο ηελ επζεία y -, έπεηαη όηη νη γξακκέο C θαη C είλαη ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηελ επζεία απηή y Πξόηαζε 3 Έζηω όηη κηα ζπλάξηεζε : είλαη γλεζίωο αύμνπζα (νπόηε αληηζηξέθεηαη) Σόηε, ηα θνηλά ζεκεία ηωλ C θαη C (αλ ππάξρνπλ) αλήθνπλ ζηελ επζεία y Απόδεημε Έζησ όηη ( 0, y0) είλαη έλα θνηλό ζεκείν ησλ γξακκώλ C θαη C Τόηε: 0 ( ( )) θαη ( 0) ( 0) () []

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο Θα απνδείμνπκε όηη: ( 0) 0 Πξάγκαηη, έζησ όηη: ( 0) 0 Τόηε, από ηελ () θαη επεηδή, έρνπκε: ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 πνπ είλαη άηνπν Όκνηα θηάλνπκε ζε άηνπν αλ ππνζέζνπκε όηη ( 0) 0 Άξα ( 0) 0 θαη ζπλεπώο ην ζεκείν ( 0, y0) αλήθεη ζηελ επζεία y εκείωζε Όπσο ζα δνύκε παξαθάησ, ε παξαπάλσ πξόηαζε δελ ηζρύεη αλ ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα 5 Κνηλά ζεκεία ηωλ γξαθηθώλ παξαζηάζεωλ δύν αληηζηξόθωλ ζπλαξηήζεωλ Οη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνηλώλ ζεκείσλ ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ C θαη C δύν αληηζηξόθσλ ζπλαξηήζεσλ : θαη : ( ), είλαη νη πξαγκαηηθέο ιύζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο: y ( ) κε ( ( )) y ( ) Όζεο πξαγκαηηθέο ιύζεηο έρεη ην ζύζηεκα απηό, ηόζα είλαη θαη ηα θνηλά ζεκεία ησλ δύν απηώλ γξακκώλ Αλ ην ζύζηεκα απηό είλαη αδύλαην, ηόηε νη γξακκέο απηέο δελ έρνπλ θνηλό ζεκείν Σπλεπώο: Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο δύν αληηζηξόθωλ ζπλαληήζεωλ κπνξεί λα κελ έρνπλ θνηλά ζεκεία Μπνξεί όκωο λα έρνπλ έλα ή πεξηζζόηεξα ηελ πεξίπηωζε πνπ έρνπλ θνηλά ζεκεία, απηά δελ αλήθνπλ αλαγθαίωο ζηε δηρνηόκν y (πξόηαζε 3, 5) Σεκεηώλνπκε όηη: Αλ κηα ζπλάξηεζε : αληηζηξέθεηαη θαη νη γξαθηθέο ηνπο, εθηόο αλ ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα παξαζηάζεηοc θαη C έρνπλ έλα κνλαδηθό θνηλό ζεκείν, απηό αλήθεη ζηε δηρνηόκν: y= Πξάγκαηη Έζησ όηη νη C θαη C έρνπλ έλα κνλαδηθό θνηλό ζεκείν, ην (α, β) Τόηε: (, ) C ( ) ( ) (, ) C (, ) C ( ) ( ) (, ) C [3]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο Άξα, ην ζεκείν (β, α) είλαη επίζεο θνηλό ησλ C θαη C Έηζη, από ηελ ππόζεζε Έρνπκε: (α, β)=(β, α) θαη ζπλεπώο α = β Άξα, ην θνηλό ζεκείν αλήθεη ζηε δηρνηόκν: y= Αλαθέξνπκε ηα παξαθάησ παξαδείγκαηα: 3 ) Όπσο βξίζθνπκε, ε ζπλάξηεζε: ( ),, έρεη αληίζηξνθε ηε ζπλάξηεζε: 3 ( ) 3, αλ 0, αλ 0 Όπσο κπνξνύκε λα βξνύκε εύθνια, νη γξαθηθέο ηνπο παξαζηάζεηο έρνπλ ηξία θνηλά ζεκεία, ηα εμήο: (,), (, ) θαη (0,0) Από απηά κόλν ην (0,0) αλήθεη ζηελ επζεία y Γελ εθαξκόδεηαη ε πξόηαζε 3 ηεο 5, γηαηί ε δελ είλαη γλεζίωο αύμνπζα Δίλαη γλεζίωο θζίλνπζα Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ δύν απηώλ ζπλαξηήζεσλ δίλνληαη ζην παξαθάησ ζρήκα ) Η ζπλάξηεζε : (0, ) κε ( ) ln έρεη αληίζηξνθε ηε ζπλάξηεζε : κε ( ) e Οη γξαθηθέο ηνπο παξαζηάζεηο (βιέπε παξαθάησ ζρήκα) δελ έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν [4]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο 3 3) Η ζπλάξηεζε ( ) 3, έρεη αληίζηξνθε ηε ζπλάξηεζε ( ), Οη γξαθηθέο ηνπο παξαζηάζεηο έρνπλ έλα κνλαδηθό θνηλό ζεκείν, ην (3,3) Τν ζεκείν απηό αλήθεη ζηελ επζεία y 4) Η ζπλάξηεζε ( ) 4, έρεη αληίζηξνθε ηε ζπλάξηεζε ( ) 4, Οη γξαθηθέο ηνπο παξαζηάζεηο έρνπλ όια ηα ζεκεία ηνπο θνηλά (ηαπηίδνληαη, άπεηξα θνηλά ζεκεία) Από απηά κόλν έλα αλήθεη ζηελ επζεία y, ην (,) [5]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Φξήζηκεο επηζεκάλζεηο [6]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σύνολο οπιζμού- ζύνολο ηιμών ζςνάπηηζηρ Ιζόηηηα ζςναπηήζεων Να εμεηάζεηε αλ ν αξηζκόο 4 είλαη ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο: ( ) 3 Να βξείηε ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο: 3 Έζησ ε ζπλάξηεζε: ( ) ( ) 0 6 Nα βξείηε ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο Μεηά, λα γξάςεηε ηνλ ηύπν ηεο κε έλα κόλν ξηδηθό θαη ρσξίο ην ζύκβνιν ηεο απόιπηεο ηηκήο 4 Έζησ ε ζπλάξηεζε: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Nα βξείηε ηνπο αξηζκνύο ην, γηα ηνπο νπνίνπο ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο είλαη 5 Έζησ ε ζπλάξηεζε: ( ) Ο αξηζκόο Να βξείηε ην ζύλνιν νξηζκoύ ηεο 6 Έζησ ε ζπλάξηεζε: ( ) ( 3 ) αλήθεη ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο ; Ο αξηζκόο 3 αλήθεη ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο ; Nα βξείηε ην ζύλνιν νξηζκό ηεο 7 Έζησ ε ζπλάξηεζε: ( ) (ln ) Ο αξηζκόο αλήθεη ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο ; Nα βξείηε ην ζύλνιν νξηζκό ηεο []

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο 8 Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο: ( ) 9 Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο: ( ) 0 Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο: ( ) 56 3 Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο: Έζησ ε ζπλάξηεζε: Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο δηάζηεκα, ( ) 4 ( ) 3 Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο: ( ) ln 4 Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο:, γηα ηνπο νπνίνπο ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο είλαη ην ( ) ln 5 4 5 Θεσξνύκε δύν αξηζκνύο, θαη ηε ζπλάξηεζε: ()= α + β Να απνδείμεηε όηη: ( ) [0, + ) αλ, θαη κόλν αλ, α=β 6 Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο, γηα ηνπο νπνίνπο είλαη ίζεο νη ζπλαξηήζεηο: ( ) 3 θαη g ( ) 3 ( ) 7 Θεσξνύκε έλα κε θελό ππνζύλνιν Α ηνπ, ην νπνίν πεξηέρεη ηνπιάρηζηνλ ηξία δηαθνξεηηθά ζηνηρεία θαη δύν ζπλαξηήζεηο :Α θαη g: Α Υπνζέηνπκε όηη, γηα θάζε y, κε y, ηζρύεη: Να απνδείμεηε όηη =g ()+(y)=g()+g(y) []

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο 8 Θεσξνύκε έλα κε θελό ππνζύλνιν Α ηνπ, ην νπνίν πεξηέρεη ηνπιάρηζηνλ ηξία δηαθνξεηηθά ζηνηρεία θαη δύν ζπλαξηήζεηο :Α θαη g: Α κε ()>0 θαη g()>0 γηα θάζε Υπνζέηνπκε όηη, γηα θάζε y, κε y, ηζρύεη: Να απνδείμεηε όηη =g ()(y)=g()g(y) 9 Να απνδείμεηε όηη είλαη ζηαζεξή ε ζπλάξηεζε: 3 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 0 Γηα κηα ζπλάξηεζε :, ηζρύεη: ( 3y)=(+y), γηα θάζε y, Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε απηή είλαη ζηαζεξή Γύν ζπλαξηήζεηο θαη g είλαη νξηζκέλεο ζην θαη γηα θάζε y, ηζρύεη: y g g y ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Να απνδείμεηε όηη κηα ηνπιάρηζηνλ από ηηο ζπλαξηήζεηο θαη g είλαη ζηαζεξή ζην Γηα κηα ζπλάξηεζε :Α ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο (Α) είλαη δηάζηεκα θαη ηζρύεη ( ) 0, γηα θάζε Nα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε έρεη ζηαζεξό πξόζεκν ζην Α Άπηιερ και πεπιηηέρ ζςναπηήζειρ 3 Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε: είλαη άξηηα, αλ > ( ), αλ -, < - 4 Έζησ ε ζπλάξηεζε: ( ) α) Να βξείηε ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο β) λα εμεηάζεηε αλ ε είλαη άξηηα ή πεξηηηή [3]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο 5 Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο ι, γηα ηνπο νπνίνπο ε ζπλάξηεζε: 3 ( ) 4 είλαη πεξηηηή 6 Nα εμεηάζεηε αλ είλαη άξηηα ή πεξηηηή ε ζπλάξηεζε: 3 ( ) ln 3 Μονόηονερ ζςναπηήζειρ 7 Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε: ( ) είλαη γλεζίσο αύμεζα Μεηά, λα ζπκπεξάλεηε όηη, γηα θάζε,, ηζρύεη: 8 ζεσξνύκε έλα αξηζκό k>0 θαη ηε ζπλάξηεζε: ( ) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο αύμεζα ζην δηάζηεκα ( k, ) Μεηά, λα ζπκπεξάλεηε όηη, γηα θάζε,, ηζρύεη: k k k 9 Θεσξνύκε κηα ζπλάξηεζε : (0, ) θαη ππνζέηνπκε όηη ε ζπλάξηεζε g : (0, ) κε g ( ) ( ) θάζε y, (0, ), ηζρύνπλ: είλαη θζίλνπζα Να απνδείμεηε όηη, γηα α) ( y) ( ) ( y) β) ( 3 y) ( ) 3 ( y) 30 Θεσξνύκε κηα ζπλάξηεζε : (0, ) θαη ππνζέηνπκε όηη ε ζπλάξηεζε g : (0, ) κε g ( ) ( ) είλαη αύμνπζα Να απνδείμεηε όηη, γηα θάζε, [, ) θαη γηα θάζε y, (0, ), ηζρύεη: ( y) ( ) ( y) 3 Μία ζπλάξηεζε :, κε [(, )] (0, ) είλαη κνλόηνλε Να απνδείμεηε όηη, γηα θάζε y, [, ] ηζρύνπλ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) min, ma, ( ) ( ) ( y) ( ) ( ) [4] k

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο 3 Θεσξνύκε δύν αξηζκνύο ι,α κε ι>0 θαη κία θζίλνπζα ζπλάξηεζε : Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε: (+α)=(α)+ι, κε άγλσζην ην, έρεη κνλαδηθή ιύζε ην 0 33 Γίλεηαη έλαο αξηζκόο α θαη κηα αύμνπζα ζπλάξηεζε : Να ιπζεί ε εμίζσζε: ( ( )) 34 Μηα ζπλάξηεζε είλαη νξηζκέλε θαη κνλόηνλε ζε έλα δηάζηεκα Γ θαη δελ ππάξρεη ππoδηάζηεκα ηνπ Γ, ζην νπνίν ε λα είλαη ζηαζεξή Να απνδείμεηε όηη ε είλαη γλεζίσο κνλόηνλε ζην Γ 35 Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε: 3 5 έρεη κνλαδηθή ξίδα ην 36 Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε: 5 έρεη κνλαδηθή ξίδα ην 37 Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε: 0 έρεη κνλαδηθή ζεηηθή ξίδα ην 38 Να απνδείμεηε όηη νη εμίζσζε: ln e έρεη κνλαδηθή ξίδα ην e Μέγιζηο και ελάσιζηο ζςνάπηηζηρ 39 Γηα κηα ζπλάξηεζε : ηζρύνπλ: ( ) 3 θαη ( ) 4, γηα θάζε α) Μπνξεί λα ζπκπεξάλεηε όηη ε έρεη κέγηζηε ηηκή ην3; Δπίζεο όηη έρεη ειάρηζηε ηηκή ην -4; Γηαηί; β) Έζησ όηη επηπιένλ ηζρύνπλ: ( ) () θαη ( ) () 7 Tώξα, κπνξείηε λα ζπκπεξάλεηε όηη ε έρεη κέγηζηε ηηκή ην3 θαη ειάρηζηε ηηκή ην 4; Γηθαηνινγήζηε ηελ απάληεζε 40 Να απνδείμεηε όηη ε παξαθάησ ζπλάξηεζε έρεη ειάρηζηε ηηκή ην 3: ( ) 4 4 7 4 4 Να απνδείμεηε όηη ε παξαθάησ ζπλάξηεζε έρεη κέγηζηε ηηκή ην : ( ) 3 [5]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο 4 Να απνδείμεηε όηη ε παξαθάησ ζπλάξηεζε έρεη ειάρηζηε ηηκή ην : ( ) 43 Να απνδείμεηε όηη ε παξαθάησ ζπλάξηεζε έρεη κέγηζηε ηηκή ην 3 : ( ) 44 Να βξείηε ηελ ειάρηζηε θαη ηε κέγηζηε ηηκή ( αλ έρεη), θαζώο θαη ηηο αληίζηνηρεο 6 ηηκέο ηνπ, ηεο ζπλάξηεζεο: ( ) 4 3 45 Έζησ ε ζπλάξηεζε: ( ) ειάρηζηε ηηκή, ηελ νπνία λα βξείηε Nα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε απηή έρεη 46 Nα βξείηε ηνπο αξηζκνύο ι, γηα ηνπο νπνίνπο ε παξαθάησ ζπλάξηεζε έρεη ειάρηζηε ηηκή ην 3 : 47 Έζησ ε ζπλάξηεζε: Να απνδείμεηε όηη: ( ) ( ) 3 3 α) Η είλαη άξηηα β) Η έρεη ειάρηζηε ηηκή ην 48 Να βξείηε ηελ ειάρηζηε θαη ηε κέγηζηε ηηκή ( αλ έρεη), θαζώο θαη ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ηνπ, ηεο ζπλάξηεζεο: ( ) e e 49 Να βξείηε ηελ ειάρηζηε θαη ηε κέγηζηε ηηκή ( αλ έρεη), θαζώο θαη ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ηνπ, ηεο ζπλάξηεζεο: ( ) ln e e [6]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο Σύνθεζη ζςναπηήζεων 50 Να βξείηε ηε ζπλάξηεζε g, όπνπ: ( ) e e θαη g ( ) ln 5 Θεσξνύκε ηηο ζπλαξηήζεηο: ( ) θαη g( ) Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο α, β,γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: g g 5 Γηα κία ζπλάξηεζε :,ηζρύεη: ( ) 3 4,γηα θάζε Να ιπζεί ε εμίζσζε: ()= 53 Μία ζπλάξηεζε είλαη νξηζκέλε θαη γλεζίσο αύμνπζα ζην Να απνδείμεηε όηη, γηα θάζε, ηζρύεη: ( ) ( ) 54 Γηα κία ζπλάξηεζε :,ηζρύεη: ( ),γηα θάζε, όπνπ α θαη β είλαη δύν δνζκέλνη πξαγκαηηθνί αξηζκνί κε α+β= θαη β 0 Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ()= έρεη κία κνλαδηθή ξίδα ζην 55 Θεσξνύκε κηα ζπλάξηεζε : θαη ηε ζπλάξηεζε g( ), όπνπ,, κε 0 θαη ( ) 4 α) Να ιπζεί ε εμίζσζε: g()= β) Να απνδείμεηε όηη, αλ g g, ηόηε ππάξρεη κε (μ)=μ Σςναπηήζειρ - Ανηίζηποθερ ζςναπηήζειρ 56 Να απνδείμεηε όηη είλαη - ε ζπλάξηεζε: ( ) 57 Γηα κία ζπλάξηεζε : ηζρύεη: ( ) ( ) (0 ), γηα θάζε Να απνδείμεηε όηη ε δελ είλαη - [7]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο 58 Γηα κία ζπλάξηεζε : ηζρύεη: 0 5 ( ) Να απνδείμεηε όηη ε δελ είλαη -, γηα θάζε 59 Γηα κία ζπλάξηεζε : ππνζέηνπκε όηη ηζρύεη: ( ),γηα θάζε θαη όηη ε ζπλάξηεζε g( ) ( ) είλαη -Να απνδείμεηε όηη ()= γηα θάζε 60 Θεσξνύκε δύν ζπλαξηήζεηο : θαη g : κε ( ) 0θαη g ( ) 0,γηα θάζε Αθόκα, ε είλαη αύμνπζα θαη ε g είλαη γλεζίσο αύμνπζα Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε: ()+g()=()g() έρεη ην πνιύ κία ξίδα ζην 6 Γηα κία ζπλάξηεζε :,ηζρύεη: Να απνδείμεηε όηη: ( -) ( ) 6 Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε: : (, ) κε ( ) αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ αληίζηξνθή ηεο 63 Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε: ( ) 4 3 αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ αληίζηξνθή ηεο 64 Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε: ( ) αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ αληίζηξνθή ηεο 65 Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε: ( ) αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ αληίζηξνθή ηεο 3 66 Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε: ( ) 3 αληίζηξνθή ηεο 67 Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε: ( ) ηελ αληίζηξνθή ηεο αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ e e αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε [8]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο 68 Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε: ( ) αληίζηξνθή ηεο 69 Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε: ηεο e e ln ( ) ln e e αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ αληίζηξνθή 70 Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε: ( ) 3 e αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ αληίζηξνθή ηεο 7 Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε: ( ) ln e e αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ αληίζηξνθή ηεο 7 Έζησ όηη κία ζπλάξηεζε : είλαη γλεζίσο αύμνπζα (νπόηε αληηζηξέθεηαη) Να απνδείμεηε όηη: () ( ) ( ) ( ), ( ) Λύζη i) Έζησ α κία ξίδα ηεο εμίζσζεο: ( ) ( ) Τόηε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Έζησ όηη (α)>α Τόηε: ((α))>(α), νπόηε, ιόγσ ηεο (), έρνπκε: α>(α), άηνπν Έζησ όηη (α)<α Όκνηα θζάλνπκε ζε άηνπν Άξα: (α)=α θαη ζπλεπώο ην α είλαη ξίδα ηεο εμίζσζεο: ()= ii) Ανηιζηπόθωρ Έζησ α κία ξίδα ηεο εμίζσζεο: ()= Τόηε: (α)=α θαη ζπλεπώο ( ) Άξα: ( ) ( ) θαη ζπλεπώο ην α είλαη ξίδα ηεο εμίζσζεο: ( ) ( ) Άξα, ε ηζνδπλακία () ηζρύεη Σημείωζη Γελ ηζρύεη ην ίδην αλ ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα Πξάγκαηη,ε ζπλάξηεζε ()= είλαη γλεζίσο θζίλνπζα θαη έρεη αληίζηξνθε ηελ ( ) Έρνπκε: (αόξηζηε) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 0 Άξα, νη εμηζώζεηο: ( ) ( ) θαη ()= δελ είλαη ηζνδύλακεο 73 Γίλεηαη κία ζπλάξηεζε :, γηα ηελ νπνία ηζρύεη: ( ),γηα θάζε Να απνδείμεηε όηη ε αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ αληίζηξνθή ηεο [9]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο 74 Μία ζπλάξηεζε : κε ( ) είλαη γλεζίσο κνλόηνλε θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α(3,5) θαη Β(,) α) Να βξείηε ην είδνο ηεο κνλνηνλία ηεο β) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε: 5 75 Μία ζπλάξηεζε : κε ( ) είλαη γλεζίσο κνλόηνλε θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α(,3) θαη Β(4,5) α) Να βξείηε ην είδνο ηεο κνλνηνλία ηεο β) Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε: 4 76 Μία ζπλάξηεζε : κε ( ) είλαη γλεζίσο κνλόηνλε θαη ηζρύεη: 5 3 ( ) 6,γηα θάζε Να απνδείμεηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ζπλαξηήζεσλ θαη έρνπλ έλα κνλαδηθό θνηλό ζεκείν 77 Γηα κία ζπλάξηεζε :, ηζρύεη: Να απνδείμεηε ( ), γηα θάζε α) Η ζπλάξηεζε αληηζηξέθεηαη β) (0)=0 γ) Γηα θάζε y ( ),ηζρύεη: ( y) y ( y) 78 Μία ζπλάξηεζε : είλαη πεξηηηή θαη αληηζηξέθεηαη Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάληεζε είλαη επίζεο πεξηηηή 79 Έζησ ε ζπλάξηεζε ( ) 0 5 :[, ) κε α) Να απνδείμεηε όηη ε αληηζηξέθεηαη β) Να ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο: ( ) 0 θαη ( ) 3 80 Έζησ ε ζπλάξηεζε ( ) 7 α) Να απνδείμεηε όηη ε αληηζηξέθεηαη β) Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία ησλ C θαηc γ) Να ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο: ( ) θαη [0] ( )

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο Αζκήζειρ διάθοπερ 8 Γηα κηα κε ζηαζεξή ζπλάξηεζε :, ηζρύεη: ( y) ( y) ( ) ( y),γηα θάζε y, α) Nα βξείηε ην (0) β) Να απνδείμεηε όηη ( ),γηα θάζε γ) Να απνδείμεηε όηη ε είλαη άξηηα 8 Γηα κηα ζπλάξηεζε :, ηζρύεη: 3 απνδείμεηε όηη: α) (0)=0 β) H είλαη - 83 Γηα κηα ζπλάξηεζε :, ηζρύεη: (+)()+(+)+=(), γηα θάζε Nα απνδείμεηε όηη, γηα θάζε, ηζρύνπλ: α) () - β) () 0 γ) (+4) = () 84 Γηα κηα ζπλάξηεζε :, ηζρύεη: 3 α) Να βξείηε ην () ( ) 3, γηα θάζε ( ) 0, γηα θάζε Να 3 β) Να εμεηάζεηε αλ είλαη - ε ζπλάξηεζε: g( ) ( ) ( ) 3 85 Γηα κηα ζπλάξηεζε : κε (0) 0, ηζρύεη: Να απνδείμεηε όηη: (+y)=()(-y)+(-)(y), γηα θάζε y, α) (0)= β) Η είλαη άξηηα γ) Η είλαη ζηαζεξή 86 Γηα κηα ζπλάξηεζε :, ηζρύεη: Να απνδείμεηε όηη: ( y) ( ) ( y), γηα θάζε y, α) (+y)=()+(y) (0), γηα θάζε y, β) Αλ επηπιένλ ε είλαη άξηηα, ηόηε είλαη ζηαζεξή []

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο 87 Θεσξνύκε έλα αξηζκό α θαη κία ζπλάξηεζε : κε (0) θαη Να απνδείμεηε όηη: α) (+y)=()(α y)+(y)(α ), γηα θάζε y, ( ) β) ()=(α ), γηα θάζε γ) Η είλαη άξηηα δ)η είλαη ζηαζεξή 88 Μία ζπλάξηεζε : είλαη - θαη ππάξρνπλ α, β κε: Να απνδείμεηε όηη: 89 Γηα κία ζπλάξηεζε : Να απνδείμεηε όηη: ()( )=(α+β), γηα θάζε α) α=0 β) ( β)= γ) ( ) ηζρύεη: α) ( ) ( ), γηα θάζε β) Η εμίζσζε: ()= έρεη κνλαδηθή ξίδα to ( ), γηα θάζε 90 Μηα ζπλάξηεζε : έρεη κηα κνλαδηθή ξίδα θαη ηζρύεη: ( ) ( y) y α) Να απνδείμεηε όηη ε αληηζηξέθεηαη β) Να ιπζεί ε εμίζσζε:, γηα θάζε y, ( ) ( ) 3 9 Γηα κία ζπλάξηεζε : ηζρύεη: ( ) ( ) e, γηα θάζε Να ιπζεί ε εμίζσζε: 3 5 4 9 Θέηνπκε: (0, ) Θεσξνύκε δύν θπζηθνύο ζεηηθνύο αξηζκνύο κ θαη λ θαη ππνζέηνπκε όηη ππάξρεη ζπλάξηεζε : κε ( ), γηα ηελ νπνία ηζρύεη: Να απνδείμεηε όηη: ( y) y, γηα θάζε y, (0, ) []

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο 93 Γηα κηα ζπλάξηεζε: :[0,], ηζρύνπλ: [0,] [0,], (0)=0 θαη Να απνδείμεηε όηη ()= ( ) ( y) y, γηα θάζε y, [0,] 94 Θεσξνύκε κηα ζπλάξηεζε :[0,] κε (0)=()=0 θαη ( ) ( y) y, γηα θάζε y, [0,] κε y Να απνδείμεηε όηη: ( ) ( y), γηα θάζε y, [0,] 95 Θεσξνύκε δύν ζπλαξηήζεηο :[0,] θαη g :[0,] Να απνδείμεηε όηη, ππάξρνπλ αξηζκνί y, [0,] κε: 96 Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε ( ) ( ) g( ) y 4 θαη ζέηνπκε: θαη, γηα θάζε Να βξείηε ηε ζπλάξηεζε ( ) 97 Γηα κηα ζπλάξηεζε: :, ηζρύνπλ: y e ( ) ( y) ( y), γηα θάζε, α) Να απνδείμεηε όηη (0) y β) Να απνδείμεηε όηη, γηα θάζε, ηζρύνπλ: ( ) 0 θαη γ) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο 98 Γηα κηα ζπλάξηεζε :[0, ), ηζρύεη: y y Να απνδείμεηε όηη ε είλαη αύμνπζα 99 Γηα κηα ζπλάξηεζε: :, ηζρύνπλ:, γηα θάζε y, ( 3) ( ) 3 θαη ( 5) ( ) 5, γηα θάζε Να απνδείμεηε όηη: ( ) ( ), γηα θάζε 00 Γηα κηα ζπλάξηεζε :, ηζρύεη: ( y) ( y) ( ) ( y), γηα θάζε y, Να απνδείμεηε όηη: ( y) ( y) ( ) ( y), γηα θάζε y, ( ) ( ) [3]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο Δεν ςπάπσει ζςνάπηηζη 0 Nα απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη ζπλάξηεζε :, γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: ( ) θαη (+y)=()(y), γηα θάζε y, 0 Nα απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη ζπλάξηεζε : 0,, γηα ηελ νπνία ηζρύεη: ( ), γηα θάζε 0, 03 Nα απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη ζπλάξηεζε :, γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: ( ) θαη ( ), γηα θάζε 04 Nα απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη ζπλάξηεζε :, γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: ( ) θαη ( y) ( ) y, γηα θάζε y, 05 Nα απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη ζπλάξηεζε :, γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: ( ) θαη ( ), γηα θάζε 06 Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη ζπλάξηεζε :,γηα ηελ νπνία ηζρύεη: ( ), γηα θάζε Σςναπηηζιακέρ εξιζώζειρ 07 Να βξείηε ηηο γλεζίσο κνλόηνλεο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη:, γηα θάζε, ( ) y ( y) (0) y 08 Να βξείηε ηηο γλεζίσο κνλόηνλεο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη:, γηα θάζε, ( ) y ( y) (0) y 09 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: ( ) ( ), γηα θάζε [4]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο 0 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: ( ), γηα θάζε Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο : κε () 0, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: ( ) ( y) ( y y), γηα θάζε y, Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο : κε () 0, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: ( ) ( y) ( y y), γηα θάζε y, 3 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: (+y)+( y)+()+(y)=4+y, γηα θάζε y, 4 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: (y)+y()=(+y)()(y), γηα θάζε y, 5 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: ()(y) (y)=+y, γηα θάζε y, 6 Θέηνπκε: 0, Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο : Α, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: ( ), γηα θάζε 7 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο : θαη ηνπο αξηζκνύο, έηζη ώζηε λα ηζρύνπλ: ()=5 θαη ( y) ( y) y, γηα θάζε, y 8 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: ()(y)=(-y), γηα θάζε y, 9 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: (+y) ( y)=4y, γηα θάζε y, 0 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: (+y)+(-y)=()ζπλy, γηα θάζε y, [5]

Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο Πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Βαζηθέο έλλνηεο Αζθήζεηο Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: ( y) ( ) ( y), γηα θάζε, y Ν βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ: ( ) 3 ( ), γηα θάζε 3 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο, γηα θάζε y,, ηζρύνπλ: ( ) θαη ( y) ( ) ( y) 4 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο : 0,, γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ: ln ( ), γηα θάζε >0 e 5 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ: ( ) ( ) e e e e, γηα θάζε 6 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: ( ) ( y) y, γηα θάζε y, 7 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: ( ) ( y) y, γηα θάζε y, 8 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :, γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ: 3 3 (0)= θαη ( ) ( y) y, γηα θάζε y, 9 Γίλνληαη δύν αξηζκνί α, β κε α<β Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο :[, ], γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ: [, ] [, ] θαη ( ) ( y) y, γηα θάζε,y[α, β] 30 Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο : (0,), γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: ( y) ( ) y ( y), γηα θάζε y, (0,) [6]

Βιβλιογραφία ΑΝΣΩΝΗ Κ ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟΤ Γενικές Ασκήσεις Μαθηματικής Ανάλσσης, 977 ΑΝΣΩΝΗ Κ ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟΤ Ασκήσεις Ανάλσσης, 993 3 ΑΝΣΩΝΗ Κ ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟΤ, ΝΙΚΟΤ ΦΩΣΙΑΓΗ Οι αντίστρουες σσναρτήσεις και τα κοινά τοσς σημεία ΠΔΡΙΟΓΙΚΟ «ΔΤΚΛΔΙΓΗ Β», τεύχος 69, 4 ΑΝΣΩΝΗ Κ ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟΤ Χρήσιμες επισημάνσεις στις βασικές έννοιες των σσναρτήσεων, ΠΔΡΙΟΓΙΚΟ «Σο φ», τεύχος 4, 007 5 ΑΝΣΩΝΗ Κ ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟΤ Μαθηματική Λογική, 977

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΤΠΟΔΕΙΞΕΙ ΣΩΝ ΑΚΗΕΩΝ ύνολο οπιζμού- ζύνολο ηιμών ζςνάπηηζηρ Ιζόηηηα ζςναπηήζεων Ναη, γηα A (,3] 3 i) A [, + ) 4,4 5,, 3, 0, + 6-3, 8 ii) ( ) +3, 8,, +,, +, 7 8, θαη ( ) 9 A 3, 7 0 A, A, 0, 4 3 A, θαη A,0 4 A 3,, 3 θαη ( ), ln5 5 Έζησ όηη 0, Τόηε ην 0 είλαη ηηκή ηεο θαη άξα ππάξρεη 0 ώζηε: 6 ( ) 0 0 ( ) Τν αληίζηξνθν είλαη εύθνιν 0 0 0 0 []

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε 7 Έζησ έλαο αξηζκόο A Υπάξρνπλ δύν αξηζκνί, κε α, θαη α β Σύκθσλα κε ηελ ππόζεζε έρνπκε: ( ) ( ) g( ) g( ) (), ( ) ( ) g( ) g( ) (), ( ) ( ) g( ) g( ) (3) πξνζζέηνληαο θαηά κέιε ηηο (), () θαη (3) θαη κεηά ιακβάλνληαο ππόςε ηελ (3), βξίζθνπκε: ( ) g( ) 8 Αλάινγα κε ηελ 7 9 A [,] θαη ( ) 0 Θεσξνύκε δύν αξηζκνύο, Αξθεί λα δείμνπκε όηη ( ) ( ) Πξνο ηνύην, εμεηάδνπκε αλ ην ζύζηεκα: 3y y Δίλαη ( ) ( y) ή g( ) g( y),, y () έρεη ιύζε Έζησ όηη νη, g δελ είλαη ζηαζεξέο : Θα ππάξρνπλ,, ώζηε: ( ) ( ) () θαη g( ) g( ) (3) Από (),() g( ) g( ) (4) θαη από (),(3) ( ) ( ) (5) Από (5),() ( ) ( ) θαη έηζη από () g( ) g( ) νπόηε από ηελ (4) g( ) g( ) ην νπνίν έξρεηαη ζ αληίζεζε κε ηελ (3) Με άηνπν Να ιάβνπκε ππόςε καο όηη, θάζε αξηζκόο κεηαμύ δύν αξηζκώλ ελόο δηαζηήκαηνο είλαη αξηζκόο απηνύ ηνπ δηαζηήκαηνο Άπηιερ και πεπιηηέρ ζςναπηήζειρ 3 Πεξηπηώζεηο γηα ην Πξνζέρνπκε πνπ βξίζθεηαη ην Σπγθξίλνπκε ηηο ( ), ( ) * 4 A *, ( ) ( ) (Πνιιαπιαζηάδνπκε κε ηηο ζπδπγείο) 5 ( ) ( ), 0 Τν αληίζηξνθν είλαη εύθνιν 6 A, 3 3, Φξεζηκνπνηνύκε ηελ ηδηόηεηα ln ln y y Η είλαη πεξηηηή Μονόηονερ ζςναπηήζειρ 7 Έζησ, κε Αν,,0 ( ) ( ) 0 []

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε Αν, 0, ( ) ( ) 0 Αν 0 θα είναι ( ) 0 ( ) (το δεν ισχφει συγχρόνως) Σε θάζε πεξίπησζε ( ) ( ), άξα ε είλαη γλεζίσο αύμνπζα Δίλαη θαη ιόγσ ηεο κνλνηνλίαο ηεο έρνπκε: ζπλεπώο k k θαη 8 Δίλαη ( ), k, Δύθνια κε ηηο ηδηόηεηεο ηεο δηάηαμεο δείρλνπκε όηη ε είλαη γλεζίσο αύμνπζα Γηα ηελ δεηνύκελε αληζόηεηα ύ 9 α y, 0, είλαη g( y) g( ) g( y) g( y) θαη έηζη ( y) ( y) ( ) y ( y) ( y) ( y) πξνζζέηνληαο θαηά κέιε έρνπκε ην δεηνύκελν β Δθαξκόδνπκε ην α Μπνξνύκε επίζεο λα δείμνπκε, επαγσγηθά, όηη ( ) ( ) γηα * θαη 0 30 Με ηνλ ίδην ηξόπν όπσο ζηελ 9α δείρλνπκε: ( y) ( ) ( y) ( a) a ( ) 3 Αξθεί λα απνδείμνπκε όηη γηα ηνπο ζεηηθνύο, κε ηζρύεη γηα θάζε y δηαθξίλνληαο πεξηπηώζεηο γηα ηελ δηάηαμε ησλ, y,, 3 Τν 0 επαιεζεύεη ηελ εμίζσζε θαη Γηα 0 είλαη 0 θαη ( a) ( a) άξα ( a) ( a) Γηα 0 είλαη 0 θαη ( a) ( a) άξα ( a) ( a) 33 Μνλαδηθή ιύζε είλαη ε a ( a) 34 Αν όσι ηόηε, ζα ππάξρνπλ, κε θαη ( ) ( ) Όκσο,, ζα είλαη ( ) ( ) ( ) ή ( ) ( ) ( ) νπόηε ( ) ή ( ) δειαδή ( ), ην νπνίν είναι άηοπο από ηελ ππόζεζε όηη δελ ππάξρεη ππνδηάζηεκα ηνπ ζην νπνίν ε λα είλαη ζηαζεξή Πόπιζμα Αν μια ζςνάπηηζη είναι οπιζμένη και μονόηονη ζε ένα διάζηημα Δ, ηόηε θα είναι γνηζίωρ μονόηονη ή θα ςπάπσει ςπoδιάζηημα ηος Δ, ζηο οποίο η είναι ζηαθεπή y [3]

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε 35 Η εμίζσζε είλαη ηζνδύλακε ηεο 3 5 5 ε νπνία έρεη κνλαδηθή ξίδα ην αθνύ απηό ηελ επαιεζεύεη θαη ε ζπλάξηεζε 3 ( ) 5 5 είλαη γλεζίσο θζίλνπζα 36 Η εμίζσζε είλαη ηζνδύλακε ηεο 5 ε νπνία έρεη κνλαδηθή ξίδα ην αθνύ απηό 5 ηελ επαιεζεύεη θαη ε ζπλάξηεζε ( ) είλαη γλεζίσο αύμνπζα 37 Η εμίζσζε είλαη ηζνδύλακε ηεο log, 0 ε νπνία έρεη κνλαδηθή ξίδα ην αθνύ απηό ηελ επαιεζεύεη θαη ε ζπλάξηεζε ( ) log, 0 είλαη γλεζίσο αύμνπζα 38 Μνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο ( ) ln, 0 Μέγιζηο και ελάσιζηο ζςνάπηηζηρ 39 α Η δελ είλαη απαξαίηεην λα έρεη κέγηζην ην 3 εθόζνλ είλαη δπλαηόλ λα κελ ππάξρεη ώζηε ( ) 3 Οκνίσο δελ είλαη απαξαίηεην λα έρεη ειάρηζηε ηηκή ην -4 β Δίλαη ( ) 3 θαη () 4 θαη έηζη ε έρεη ειάρηζην ην 4 θαη κέγηζην ην 3 40 Απνδεηθλύνπκε ηελ ( ) 3, θαη όηη ππάξρεη κε ( ) 3 4 Απνδεηθλύνπκε ηελ ( ) (), 3, 4 Με ηε βνήζεηα ηεο αληζόηεηαο:,, κε αξλεηηθνί πξαγκαηηθνί 4 4 4 ( ) ( )( ) (0), 43 Δίλαη ( ) 3 3 (0) 44 Βξείηε ην ζύλνιν νξηζκνύ θαη ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο Διάρηζηε ηηκή ην -, κε =0 θαη κέγηζηε ηηκή ην κε = ή - 45 Παξαηεξνύκε όηη νη ηηκέο ηεο ζπλάξηεζεο είλαη άζξνηζκα δύν ζεηηθώλ θαη αληίζηξνθσλ αξηζκώλ, (πνησλ;), θαη ζπλεπώο ( ) (0), 46 Βι παξάδεηγκα 9 Απάληεζε: 7 θαη 47 α) Δύθνιν β)όπσο ζηελ άζθεζε 45 Διάρηζηε ηηκή ην γηα 0 [4]

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε 48 ζύλνιν ( A), 3, 3 49 A e, e e, e Έρεη ειάρηζηε ηηκή ην 3, γηα 0 Μέγηζηε ηηκή δελ έρεη, αθνύ ην δελ έρεη κέγηζην ζηνηρείν (γηαηί;) θαη ( A), Έρεη κέγηζηε ηηκή ην γηα e ή γηα e Γελ έρεη ειάρηζην ( γηαηί;) ύνθεζη ζςναπηήζεων 50 g : κε g ( ) 5 0 θαη 5 ( ) ( ( )) ( ) Αληίζηξνθα: δείρλνπκε όηη () 53 Απιό Με άηνπν 54 Οκνίσο κε ηελ 5 55 α) β) Αλ ε κνλαδηθή ξίδα ηεο εμίζσζεο g( ) ηόηε: og ( ) go ( ) ( ) g( ( )) Όκσο, ην είλαη ε κνλαδηθή ξίδα ηεο g( ) άξα πξέπεη ( ) ςναπηήζειρ - Ανηίζηποθερ ζςναπηήζειρ 56,, Με,έρνπκε:, ( ) ( ) 57 Γηα :0 Τειηθά (0 ) ( ) 58 Βξίζθνπκε ηηο ηηκέο (0) θαη () 59 Τν ζύλνιν νξηζκνύ ηεο g είλαη ην Γηα θάζε, έρνπκε: g ( ) ( ) g( ) g g( ) ( ) 60 Η εμίζσζε είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εμίζσζε Δμεηάδνπκε, ζπλεπώο, ηελ ( ) g( ) κνλνηνλία ηεο h g [5]

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε 6 Δίλαη ( ( ( ))) ( ) ( ( )) Έζησ έλαο αξηζκόο y Από ηελ πξνεγνύκελε ηζόηεηα, κε y,βξίζθνπκε: y y, Άξα, ην y είλαη ηηκή ηεο Άξα ( ) Έζησ y ππάξρεη ώζηε ( ) y Έηζη, ( ( ( ))) ( ) ( ( )) y y Γειαδή ( ( )) Δύθνια, ηώξα, θαη κε ηνλ νξηζκό δείρλνπκε όηη ε είλαη 6 Γηα, είλαη παξάκεηξν ην y Λύλσ ηελ εμίζσζε ( ) y y y y y ( ), Άξα ε εμίζσζε ( ) y y y, Σπλεπώο ( ),, 63 Πεδίν νξηζκνύ [3,9] y κε άγλσζην ην (, ) θαη y έρεη κνλαδηθή ιύζε σο πξνο ζην, ηελ A θαη ( ) 3 4, [0,], 0, αλ <0 ( ) ή : κε ( ), αλ ρ 0 0, 0 64 65 Γείμηε όηη ε είλαη γλεζίσο αύμνπζα άξα θαη «-» ( ),, ln 66 ( ) log 3,, ln 3 67 ( ) ln, 68 Δίλαη e ( ), e θαη ( ) ln,, 69 Πεδίν νξηζκνύ A 0,, e e θαη ( ) e, 70 ( ) 3 ln, e e e 3 ln, 0 e 7 Πεδίν νξηζκνύ A [ e, e ) 73 ( ) ( ), θαη ( ) e e e, [6]

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε 74 α) Γλεζίσο αύμνπζα β), 75 α) Γλεζίσο αύμνπζα β) (,) 5 3 76 ( ) ( ) ( ( )) 5 0 0 77 α) Δύθνιν β) Θέηνπκε 0 γ) Έζησ έλαο αξηζκόο y ( ) Υπάξρεη κε ( ) y, νπόηε: ( y) Θέηνπκε ηελ ηηκή απηή ηνπ ζηελ δνζκέλε ηζόηεηα θηι 78 Έζησ y ( A) Υπάξρεη A ώζηε ( ) y θαη αθνύ ε είλαη πεξηηηή ( ) y ( ) y Άξα θαη y ( A) θαη ηζρύνπλ: ( y) θαη ( y) δειαδή ( y) ( y) Άξα ε είλαη πεξηηηή 79 α Γείμηε όηη ( ) ( ) θαη είλαη νκόζεκνη β Η πξώηε εμίζσζε είλαη αδύλαηε! (γηαηί;) Η δεύηεξε έρεη ιύζε ηελ -7 80 α Με ηε βνήζεηα ηεο κνλνηνλίαο β Αθνύ ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο αύμνπζα αξθεί λα ιύζνπκε ηελ εμίζσζε ( ) (3,3) γ 7 ( ε πξώηε) θαη (ε δεύηεξε) Αζκήζειρ διάθοπερ 8 α y0, 0 Αλ (0) 0 ζπκπεξαίλνπκε όηη ε είλαη ζηαζεξή πξάγκα άηνπν Άξα (0) β Θέηνπκε ζηελ δνζκέλε ηζόηεηα όπνπ θαη y ην γ Θέηνπκε ζηελ δνζκέλε ηζόηεηα 0 θαη ζηελ πξνθύπηνπζα ζέηνπκε y 8 α Γηα 0 β Με ηνλ νξηζκό 83 α Άηνπν β Άηνπν γ ( ), ( ), ( 4) 84 α () β Γείρλνπκε g(0) g() 85 α y0, 0 β y 0 γ 86 α y0, 0 Γηα y 0 ( (0)) (0) ( ( )) ( ) (0) ( ) θαη γηα 0 Πξνζζέηνληαο θαηά κέιε έρνπκε ην δεηνύκελν β ( ) (0) ( ( y)) ( y) (0) [7]

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε 87 α y0, β y 0 γ Από β) ( y) ( ) ( y) θαη γηα y ( ) ( ) ( ) ( ) δ Από ( y) ( ) ( y) γηα y ( ), Γείρλνπκε επηπιένλ όηη ( ) 0 γηα θάζε : ζηελ ( y) ( ) ( y) ζέηνπκε y, : Άξα ( ), 88 α 0, β, γ Γείμηε όηη ( ) 0 (κε άηνπν) 89 α Δύθνιν β Από ην α) είλαη () θαη ε είλαη «-» ( ) ( ) 0 0 * 90 α Αλ, κε ( ) ( ) ηόηε θαη εθόζνλ ην είλαη ε κνλαδηθή ξίδα ηεο εμίζσζεο ( ) 0 ζα πξέπεη: β 9 Γείμηε όηη ε είλαη «-» 9 Γηα y ( ()) Γηα y () () () Άξα () Γηα y ( ) θαη ζπλεπώο ε αξρηθή ηζόηεηα γίλεηαη 93 Γηα y 0 ( ), [0,] Άξα () Γηα y ( ), [0,] Άξα 94 Οη πεξηπηώζεηο:( 0, θαη y 0 ), ( [0,) θαη y ), ( y 0), ( y ),( 0 y ), ( y 0) είλαη εύθνιεο Θεσξνύκε δύν αξηζκνύο y, (0,) Η πεξίπησζε: y Αλ θζάλνπκε ζε άηνπν Άξα: θαη 0<y< ή 0 θαη y 95 Αλ ην δεηνύκελν είλαη αδύλαην ηόηε Γηα y () g() θαη γηα, y 0 4 () g() ( () g()) Άηνπν 4 4 96 Δπαγσγηθά ( ), y είλαη εύθνιε Έζησ όηη: θηι ( ) g( ) y, y [0,] 4 () g() Άξα 4 [8]

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε 97 α) Γηα y 0 β) Γηα y γ) ( ) e, 98 Σθεθηόκαζηε Τη κπνξνύκε λα βάινπκε ζηε ζέζε ησλ y, έηζη ώζηε ε δνζκέλε αληζόηεηα λα γίλεη: ( ) ( ) κε 99 ( 3) ( ) 3 θαη ( 5) ( ) 5 Δίλαη ( ) ( 6) 5 ( 3 3) 5 ( 3) 35 ( ) Άξα ( ) ( ) Άξα από ηελ ηειεπηαία ( ) ( ) ( 3) 3 ( 5) 4 ( ) 5 4 ( ) Άξα ( ) ( ) Τειηθά πξέπεη ( ) ( ) 00 Γηα y 0 είλαη (0) 0 Γηα 0 είλαη Σηε () γηα y ( y) ( y) ( y) 0 () θαη y πξνθύπηνπλ αληίζηνηρα νη ζρέζεηο ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ηηο νπνίεο πξνζζέηνληαο θαηά κέιε πξνθύπηεη: ( ) ( ) (3) Με ηε βνήζεηα ηεο (3) ε () γίλεηαη: ( y) ( y ) ( ) ( y), y ή θαη ελαιιάζζνληαο ηα y, ( y) ( y ) ( y) ( ), y y y y y ( ) ( ) ( ) ( ), (4) Από (), (4) έρνπκε ην δεηνύκελν Δεν ςπάπσει ζςνάπηηζη 0 Έζησ όηη ππάξρεη ηέηνηα ζπλάξηεζε Δίλαη ( ) θαη ( y) ( ) ( y), y Γηα y 0 είλαη (0) 0 ή (0) Αλ (0) 0 ηόηε γηα y 0 ( ) 0 άηοπο αθνύ ( ) Αλ (0) ηόηε γηα y ( ) ( ) 0 άηοπο αθνύ ( ) 0 Έζησ όηη ππάξρεη Θέηνπκε ρ= θαη κεηά ρ=/ θαη θζάλνπκε ζε άηνπν 03 Έζησ όηη ππάξρεη ηέηνηα ζπλάξηεζε Δίλαη ( ( )) θαη ( ( ) ) [9]

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε Δύθνια δείρλνπκε όηη ε είλαη «-» Γηα : ζηε δεύηεξε ηζόηεηα έρνπκε: ( ( ) ) Σπλεπώο ( ( ) ) ( ( )) ( ) ( ) Η ηειεπηαία ηζόηεηα είλαη αδύλαηε, εθόζνλ ζέινπκε λα ηζρύεη γηα θάζε : ( 0, ) 04 Έζησ όηη ππάξρεη ηέηνηα ζπλάξηεζε Δίλαη ( ) θαη ( ( y)) ( ) y,, y Γηα 0 ( ( y)) (0) y, y Με ηε βνήζεηα απηήο ηεο ζρέζεο εύθνια δείρλνπκε όηη ε είλαη «-» Γηα y 0 ( (0)) (0) (0) 0 Άξα ( ( y)) y, y θαη ( ( ( y))) ( y) ( y) ( y), y Αλ ( ) a, a ηόηε ( ( )) ( a) ( a) Απνδεηθλύνπκε επαγσγηθά όηη: ( ka) k, k θαη εθόζνλ a ( aa) a ( a ) ( ) a άηοπο 05 Έζησ (0) a, a Γηα 0 ( (0)) ( a) ( ( a)) () () a Γηα ( ( )) 0 ( ( ( ))) (0) a ( ) a ( ) a Απνδεηθλύνπκε επαγσγηθά όηη: ( k) k a, k Όκσο, a νπόηε ( a) a a ( (0)) a a άηνπν Σπλεπώο δελ ππάξρεη ζπλάξηεζε ε νπνία λα ηθαλνπνηεί ηηο απαηηνύκελεο ζπλζήθεο 06 Θέηνπκε: g( ) Η εμίζσζε: g( ) Η εμίζσζε έρεη κνλαδηθέο ξίδεο ηνπο αξηζκνύο θαη g g έρεη κνλαδηθέο ξίδεο ηνπο αξηζκνύο: 5 5, -, Θέηνπκε: g( ) y Έηζη έρνπκε: g g g( y) g( y) g g y g( ) g g y y Άξα: y ή y ή y ή y Αλ y ηόηε g( ) g( g( )) g( ) άηνπν Οκνίσο δελ κπνξεί y θαη βέβαηα δελ γίλεηαη y γηαηί ζα έπξεπε ή [0]

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε Άξα g( ) θαη ζπλεπώο g( ) Αν ςποθέζοςμε όηι ςπάπσει ζςνάπηηζη ηέηνηα ώζηε λα είλαη ( ( )), ( a) ηόηε: ( ( )) g( ) ( ( ( ))) ( ) ( ) ( ) () θαη νκνίσο ( ) ( ) () Αθαηξώληαο θαηά κέιε ηηο (),() ( θαη ιακβάλνληαο ππόςε καο όηη, ζύκθσλα κε ηελ ( a ), δελ κπνξεί ( ) ( ) γηαηί ηόηε ζα ήηαλ ή, ζα πξνθύςεη: ( ) ( ) ( ) ( ) (3) Αληηθαζηζηώληαο ζηελ () ( ) ( ) 0 ( ) ή ( ) ( ( )) ( ) ή ( ( )) ( ) g( ) ή g( ) ( ) ή ( ) ή άηοπο ςναπηηζιακέρ εξιζώζειρ 07 Γηα y 0 θαη κε δεδνκέλν όηη ε είλαη «-» βξίζθνπκε όηη (0) Γηα 0 ( y) ( y), y IR δειαδή ( ), IR ην νπνίν δελ ζπκθσλεί κε ηελ ππόζεζε ηεο κνλνηνλίαο! Σπλεπώο δελ ππάξρεη γλεζίσο κνλόηνλε ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία λα αιεζήο ε δνζκέλε ζπλαξηεζηαθή εμίζσζε 08 Γηα 0, y (0) είλαη: ( (0)) 0 Γηα y ( ) είλαη ( ( )) 0 ( (0)) θαη εθόζνλ ε είλαη «-» ( ) (0) Άξα νη δεηνύκελεο ζπλαξηήζεηο είλαη: ( ) a, IR 54 09 Γηα : ( ), IR 33 0 Γηα : * ( ), IR 3 3 Γηα y βξίζθνπκε ην () θαη θαηόπηλ γηα y ( ), IR Γηα y βξίζθνπκε ην () θαη θαηόπηλ γηα y ( ), IR Η ζπλάξηεζε απηή δελ πιεξεί ηελ δνζκέλε ηζόηεηα, γηα θάζε y, ζπλάξηεζε δελ ππάξρεη 3 Βξίζθνπκε ην (0) θαη βάδνπκε y 0 ( ), IR Άξα, ηέηνηα []

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε 4 Γηα y Απνδεηθλύνπκε όηη δελ κπνξεί λα ππάξρνπλ, ώζηε ( ), ( ) Οη δεηνύκελεο ζπλαξηήζεηο: 5 ( ), IR ( ), IR * ( ) 0, IR * 6 IR 0, Γηα Γηα ( ) ( ) : ( ) () : θαη αλ ζέζνπκε : Από (),() νπόηε ( a) ( ) θαη γηα ( ) () :, IR 0, ε νπνία επαιεζεύεη ηελ ( a ) 7 4 θαη ( ) 3 8 Γηα y 0 είλαη (0) 0 ή (0) Αλ (0) 0 ηόηε γηα y ( ) 0, IR Αλ (0) ηόηε γηα y ( ), IR ( ) ή ( ), IR Γηα 0 ( y) ( y), y IR () θαη αλ ππάξρνπλ, ώζηε ( ), ( ) ηόηε: Γηα y θαη γηα y ζα έρνπκε ( ) ( ), IR, γηα θαη από ηε ζρέζε () 0 άηνπν αθνύ ( ) ή ( ), IR Δπίζεο δελ κπνξεί λα είλαη ( ), IR γηαηί δελ ηθαλνπνηείηαη ε αξρηθή ζπλζήθε Έηζη, ( ), IR 9 Γηα y ( ) a, IR νη δεηνύκελεο ζπλαξηήζεηο 0 Θέηνπκε: 0, y t, κεηά t, y θαη κεηά, y t, (t ) []

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε () t t t, όπνπ, Η ζπλάξηεζε ( ) 0, IR θαη ε Η αληζόηεηα ηζνδύλακα γξάθεηαη: ( ), IR ( ) ( ) 0 ( ) ( ), IR ( ) 0 ( ), IR Άξα ( ), IR 3 Γηα 0ζηελ πξώηε θαη y 0 ζηελ δεύηεξε πξνθύπηεη (0) 0 Γηα : ζηελ πξώηε θαη y πξνζζέζνπκε θαηά κέιε ζα πάξνπκε: ( ), IR ζηελ δεύηεξε πξνθύπηνπλ δύν αληζόηεηεο ηηο νπνίεο αλ 4 Σηελ πξώηε αληζόηεηα ζέηνπκε ye Έηζη, ( y) ln y ή ( ) ln, 0 Από ηελ δεύηεξε αληζόηεηα ( ) ln, 0 Άξα ( ) ln, 0 5 Βξείηε ην γηα ην νπνίν ηζρύεη e e y ( ) ln, IR 6 Γηα y 0 πξνθύπηεη: ( ) (0), IR Απνδεηθλύνπκε όηη δελ είλαη δπλαηόλ λα ππάξρνπλ, y αξρηθή ζπλζήθε) y y (:δελ ζα κπνξνύζε λα ηζρύεη ε * IR ώζηε ( ) (0), ( ) (0) Έηζη, ( ), IR θαη ( ), IR είλαη νη δεηνύκελεο ζπλαξηήζεηο 7 ( ), IR θαη ( ), IR 8 3 ( ), IR θαη 3 ( ), IR 9 Αθνύ ( ), ( y) [ a, ] ζα είλαη: ( ) ( y), y [ a, ] Άξα ( ) ( ) ( ) ( ) ή ( ) ( ) ( ) ( ) ή ( ) ( ) Όκσο ( ) θαη έηζη πξνθύπηεη όηη ( ) θαη ( ) ή ( ) θαη ( ) Αλ ( ) θαη ( ) ζέηνπκε ζηελ αξρηθή ζρέζε y θαη θαηόπηλ y θαη πξνθύπηεη όηη ( ), [, ] Αλ ( ) θαη ( ) ζέηνπκε ζηελ αξρηθή ζρέζε y θαη θαηόπηλ y θαη πξνθύπηεη όηη ( ), [, ] Οη δύν παξαπάλσ ζπλαξηήζεηο ηθαλνπνηνύλ ηελ αξρηθή ζπλζήθε [3]

Απαληήζεηο Υπνδείμεηο ησλ Αζθήζεσλ από ηνλ Κώζηα Σεξίθε 30 y : ( ) ( ) θαη 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 ( ) ( ) 4 ( ) θαη 4 3 3 3 4 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άξα 3 4 6 4 ( ) ( ) ( ) ( ) (0,) θαη ζπλεπώο: 5 3 4 ( ) 0, (0,) () Έζησ όηη γηα έλαλ αξηζκό (0,) ( ) 0 5 3, ηζρύεη: 4 ( ) 0 θαη όηη 5 3 Έηζη, ην ξ είλαη ξίδα ηεο εμίζσζεο: 4 0 () Έρνπκε: ( ) ( ) 0 Άξα ην ξ είλαη ξίδα ηηο εμίζσζεο () ( γηαηί;) Όκνηα θαη νη 4 8 6 3 αξηζκνί:,,,, είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο (), άηνπν ( γηαηί;) Σπκπεξάλνπκε όηη: ( ) 0, (0,) [4]