Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΤΙΜΗ Ή ΜΕΤΡΟ; Στον απλό αρμονικό ταλαντωτή «ατήριο- σώμα» η δύναμη που ασκεί το ατήριο στο σώμα έχει μέτρο ανάλογο της παραμόρφωσης του ατηρίου = Δ και κατεύθυνση τέτοια ώστε να τείνει να επαναφέρει το ατήριο στη θέση του φυσικού του μήκους. Πολλές φορές όμως θέλουμε τη σχέση της δύναμης του ατηρίου με την απομάκρυνση x του ταλαντωτή = f(x). Επειδή όμως η απομάκρυνση αποτυπώνεται πάντοτε με την αλγεβρική της τιμή (-A x +A) πρέπει στη σχέση αυτή και η να δίνει την αλγεβρική τιμή της δύναμης του ατηρίου. Ο ΑΠΛΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ένα σώμα Σ μάζας m= g εκτεί απλή αρμονική ταλάντωση δεμένο στο N άκρο ενός οριζόντιου ατηρίου σταθεράς =, το άλλο άκρο του m οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Έστω ότι ταλαντωτής έχει πλάτος ταλάντωσης A=,5mκαι την t = είναι στην ακραία θετική θέση. Αρχικά ας κάνουμε το σχήμα στο οποίο να σημειώσουμε την θέση που το ατήριο έχει το φυσικό του μήκος και την θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Στη περίπτωση του παραδείγματος οι δύο αυτές θέσεις συμπίπτουν. Ας σημειώσουμε δύο άξονες: Φ.Μ Θ.Ι Σ παραμορφώσεων Σ x (m) απομακρύνσεων -,5 x +,5 x(m) τον άξονα των απομακρύνσεων του ταλαντωτή xx με αρχή O(x=) την θέση ισορροπίας του ταλαντωτή (αυτό δεν είναι επιλογή αλλά υποχρέωση ) και θετική φορά της επιλογής μας έστω προς τα δεξιά τον άξονα των παραμορφώσεων του ατηρίου με αρχή Δ = την θέση του φυσικού μήκους και θετική φορά ίδια με αυτή που πήραμε για τον άξονα των απομακρύνσεων.
Η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης είναι x = Aημ ωt + π x =,5ημ t + π ( SI. )... ή x=,5συν(t) Όταν ο ταλαντωτής είναι σε μια τυχαία θέση η αλγεβρική τιμή της απομάκρυνσης x ταυτίζεται με την αλγεβρική τιμή της παραμόρφωσης. D Για τη θέση αυτή γράφουμε Σ = -Dx = -x = -x x ή ή με (-,5m x +,5m) και η χρονική εξίσωση είναι = -x ή = - συν(t). xm ( ) +,5 (Ν) π t(. s) -,5 +,5 xm ( ) -,5 (Ν) - π t(. s) - Από την σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ο ταλαντωτής είναι σε θετική απομάκρυνση η δύναμη του ατηρίου έχει αρνητική αλγεβρική τιμή δηλαδή φορά αρνητική. Αν τώρα θέλαμε να γράψουμε την αλγεβρική τιμή της δύναμης του ατηρίου με την παραμόρφωση του ατηρίου αυτή πρέπει να γραφεί = -Δ με Δ όμως αλγεβρική τιμή και όχι μέτρο. Γενικά αν θέλουμε η = f(δ )να δίνει την αλγεβρική τιμή της δύναμης του ατηρίου, όποιο προσανατολισμό και να πάρουμε για την και Δ, η σχέση έχει πάντοτε την μορφή = -Δ. Το ατήριο εκτός από την δύναμη που ασκεί στο σώμα ασκεί και δύναμη στον τοίχο η οποία είναι αντίθετη αυτής που ασκείται στο σώμα και για τον ίδιο προσανατολισμό έχει αλγεβρική τιμή = - =+ΚΔ!
3 Ο ΣΥΝΘΕΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ένα σώμα Σ μάζας m= g ηρεμεί δεμένο στο πάνω άκρο ενός N κατακόρυφου ατηρίου σταθεράς =, το άλλο άκρο του οποίου είναι m δεμένο σε σώμα Σ μάζας M = 5g που είναι πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Απομακρύνουμε το σώμα Σ από τη θέση ισορροπίας κατακόρυφα προς τα κάτω κατά,3m και τη t = το αφήνουμε εύθερο χωρίς αρχική ταχύτητα. α) Να γραφούν οι εξισώσεις που δίνουν σε συνάρτηση με την απομάκρυνση του ταλαντωτή y αλλά και το χρόνο t, τις αλγεβρικές τιμές της δύναμης που ασκεί το ατήριο στα σώματα Σ και Σ αλλά και την δύναμη στήριξης Ν β) Να γίνουν σε κοινό διάγραμμα οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. γ) Ποιο το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης για να μην χάσει το Σ την επαφή του με το δάπεδο. 3 Ας κάνουμε το σχήμα στο οποίο να σημειώσουμε την θέση που το ατήριο έχει το φυσικό του μήκος και την θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Η θέση ισορροπίας είναι πιο χαμηλά από το φυσικό μήκος κατά Δ. Ας σημειώσουμε δύο άξονες: τον άξονα των απομακρύνσεων του ταλαντωτή yy με αρχή O(y=) την θέση ισορροπίας του ταλαντωτή (αυτό δεν είναι επιλογή αλλά υποχρέωση ) και θετική φορά της επιλογής μας έστω προς τα πάνω τον άξονα των παραμορφώσεων του ατηρίου με αρχή Δ = την θέση του φυσικού μήκους και θετική φορά ίδια με αυτή που πήραμε για τον άξονα των απομακρύνσεων. Ας προσδιορίσουμε τη θέση ισορροπίας σε σχέση με τη θέση του φυσικού μήκους του ατηρίου. Στη θέση αυτή το ατήριο έχει στατική παραμόρφωση Δ που προσδιορίζεται από την σχέση Σy= +mg = - mg = Δ =,m (αλγεβρικά και με βάση το σύστημα του άξονα των παραμορφώσεων Δ = -,m ). Θεωρούμε τον ταλαντωτή Σ σε μια τυχαία θέση Γ (προτιμάμε για φορμαλιστική ευκολία να είναι θετική) και βρίσκουμε τη σχέση των αλγεβρικών τιμών για την απομάκρυνση και την παραμόρφωση. Από το σχήμα φαίνεται ότι y y=δl + Δl y =,+ Δ y =,+ Δ () Γράφουμε την εξίσωση απομάκρυνσης του ταλαντωτή Σ y = Aημ ωt + 3π y =,3ημ t + 3π ( SI. )... ή y= -,3συν(t)
4 (m) y(m) ( ) ( ) +,3 Φ.Μ Δ Δ = Θ.Ι O mg y +, y Γ mg -,3 N παραμορφώσεων απομακρύνσεων Mg 4 Όταν ο ταλαντωτής Σ είναι σε μια τυχαία θέση Γ γράφουμε D D Σ y = -Dy + mg = -Dy - = -y αλγεβρικές τιμές ή ή = - y με (-,3m y +,3m). Αυτή είναι η αλγεβρική τιμή της δύναμης (για το δεδομένο σύστημα) που ασκεί το ατήριο στο Σ. και διαφορετικά και επειδή από την () ά y =,+ Δ Δ y,άρα = -(y -,) = -(y -,) = - y Η αλγεβρική τιμή της δύναμης που ασκεί το ατήριο στο Σ είναι = -+y. Η αλγεβρική τιμή της δύναμης που ασκεί δάπεδο στο Σ προσδιορίζεται από την ισορροπία αυτού
5 Σy = N +Mg + = Ν + Mg + = N - 5 - +y= N =7 - y αλγεβρικές τιμές y(m) -,3 -, -, +, +, +,3 (Ν) +8 +6 +4 + - -4 (Ν) -8-6 -4 - + +4 N(Ν) +3 + +9 +7 +5 +3 + Ν = f(y) (N) 4 8 6 4 -,3 -, -, +, +, +,3 y(m) - -4 = f(y) = f(y) -6-8 Οι αντίστοιχες χρονικές εξισώσεις εξάγονται απλά, θέτοντας y= -,3συν(t). = - -,3συν(t) = +6συν(t) Όμοια = - - 6συν(t) και N =7+6συν(t) και οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα. 5 Τώρα για να χαθεί η επαφή του Σ με το δάπεδο πρέπει να η μηδενισθεί η δύναμη στήριξης Ν (ουσιαστικά η να είναι προς τα πάνω θετική στο σύστημά μας και με μέτρο μεγαλύτερο του βάρους Mg του Σ και προφανώς το ατήριο να είναι τεντωμένο πάνω από το φυσικό του μήκος ). Για να μη χαθεί η επαφή πρέπει να υπάρχει η Ν και αυτή έχει πάντοτε εφόσον υπάρχει- φορά προς τα πάνω που για το σύστημά μας έχει θετική
6 αλγεβρική τιμή άρα N N =7 - y y,35m Amax,35m. ( Προσοχή! πήραμε N με την λογική της αλγεβρικής τιμής και όχι του μέτρου δείτε παρακάτω που θα αλλάξουμε φορά στο σύστημα!!!) 4 8 6 4 - -4-6 -8 (N),5,5 = f(t) Ν = f(t) = f(t) π t(. s) 6 ΚΑΙ ΑΝ Η ΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ΗΤΑΝ ΘΕΤΙΚΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΚΑΤΩ; Ας ήταν η ίδια διαδικασία... Θεωρούμε τον ταλαντωτή Σ σε μια τυχαία θέση Γ ( αφήνουμε σκόπιμα την ίδια που τώρα όμως είναι αρνητική ) και βρίσκουμε τη σχέση των αλγεβρικών τιμών για την απομάκρυνση και την παραμόρφωση. Από το σχήμα φαίνεται y ότι y=δl + Δl y =,+ Δ -y =,- Δ y=δ, Γράφουμε την εξίσωση απομάκρυνσης του ταλαντωτή Σ π.. y = Aημ ωt + y =,3ημ t + π ( SI. )... ή y=,3συν(t) Όταν ο ταλαντωτής Σ είναι σε μια τυχαία θέση Γ γράφουμε D D Σ y = -Dy + mg = -Dy + = -y αλγεβρικές τιμές ή ή
7 = - - y με (-,3m y +,3m). Αυτή είναι η αλγεβρική τιμή της δύναμης (για το δεδομένο σύστημα) που ασκεί το ατήριο στο Σ. και διαφορετικά και επειδή από την () ά y=δ, Δ y,άρα = -(y+,) = -(y+,) = - - y Η αλγεβρική τιμή της δύναμης που ασκεί το ατήριο στο Σ είναι = +y. Η αλγεβρική τιμή της δύναμης που ασκεί δάπεδο στο Σ προσδιορίζεται από την ισορροπία αυτού Σy = N +Mg + = Ν + Mg + = αλγεβρικές τιμές N +5++y= N = -7 - y Φ.Μ παραμορφώσεων απομακρύνσεων -,3 Δ Δ = y < O -, Θ.Ι mg y Γ mg +,3 N (m) ( ) y(m) ( ) Mg 7 y(m) -,3 -, -, +, +, +,3 (Ν) +4 + - -4-6 -8 (Ν) -4 - + +4 +6 +8 N(Ν) - -3-5 -7-9 - -3
8 Με μια πρώτη ματιά οι εξισώσεις φαίνονται «διαφορετικές» για τα δύο συστήματα αλλά αν προσέξουμε και συγκρίνουμε τους δύο πίνακες, στην ίδια θέση έχουμε το ίδιο μέτρο για κάθε δύναμη ανεξάρτητα από το σύστημα. Ας προσέξουμε τώρα πώς μετάμε την απώλεια επαφής για το κάτω σώμα Σ. Και πάλι για να χαθεί η επαφή του Σ με το δάπεδο πρέπει να η μηδενισθεί η δύναμη στήριξης Ν (ουσιαστικά η να είναι προς τα πάνω ΑΡΝΗΤΙΚΗ στο σύστημά μας και με μέτρο μεγαλύτερο του βάρους Mg του Σ και προφανώς το ατήριο να είναι τεντωμένο πάνω από το φυσικό του μήκος ). Για να μη χαθεί η επαφή πρέπει να υπάρχει η Ν και αυτή εφόσον υπάρχει έχει πάντοτε φορά προς τα πάνω και για το σύστημά μας έχει ΑΡΝΗΤΙΚΗ αλγεβρική τιμή άρα πρέπει N (!!!) N = -7 - y y,35m Δηλαδή επαφή υπάρχει εφόσον ο ταλαντωτής Σ είναι κάτω από την θέση y,35m συνεπώς το μέγιστο πλάτος για να μην χαθεί η επαφή είναι A,35m. max 8