ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής

Περίληψη Κεφαλαίου 2 Ενότητα 1: Αριθµητικά Συστήµατα Εισαγωγή στα Αριθµητικά Συστήµατα Παράσταση Αριθµών σε Αριθµητικά Συστήµατα Αριθµητικά Συστήµατα σχετικά µε την Πληροφορική Μετατροπές Αριθµών Μεταξύ ιαφορετικών Συστηµάτων υαδικό Σύστηµα και Πράξεις Ενότητα 2: υαδικό Σύστηµα και Η/Υ Αποθήκευση Φυσικών Αριθµών Αποθήκευση Προσηµασµένων Ακεραίων Αριθµών Αποθήκευση Πραγµατικών Αριθµών Αποθήκευση Χαρακτήρων, Εικόνων και Ήχων 2

Το Σηµερινό Μάθηµα (ενότητα 1) Αριθµητικά Συστήµατα Εισαγωγή στα Αριθµητικά Συστήµατα Παράσταση Αριθµών σε Αριθµητικά Συστήµατα Αριθµητικά Συστήµατα σχετικά µε την Πληροφορική Μετατροπές Αριθµών Μεταξύ ιαφορετικών Συστηµάτων υαδικό Σύστηµα και Πράξεις 3

Εισαγωγή στα Αριθµητικά Συστήµατα Τι είναι ένα αριθµητικό σύστηµα; Μέθοδος αναπαράστασης όλων των δυνατών αριθµών σε κωδικοποίηση β ψηφίων (β=10 για το δεκαδικό, β=2 για το δυαδικό κ.ο.κ.) Με κατάλληλους συνδυασµούς των ψηφίων αναπαριστούµε οποιαδήποτε αριθµητική ποσότητα Γιατί χρειαζόµαστε αριθµητικά συστήµατα στον υπολογιστή; Ο υπολογιστής είναι ψηφιακή µηχανή Οι πληροφορίες αποθηκεύονται στη µνήµη του σε µορφή δίτιµων καταστάσεων (π.χ. υψηλή/χαµηλή τάση) Αυτές οι καταστάσεις αναπαριστούνται µέσω δυαδικών ψηφίων, δηλαδή αριθµητικών αναπαραστάσεων που χρησιµοποιούν συνδυασµούς των ψηφίων 0 και 1, δηλαδή του δυαδικού συστήµατος 4

Θεσιακά Αριθµητικά Συστήµατα Χαρακτηριστικά θεσιακών αριθµητικών συστηµάτων Βάση: ορίζει τον αριθµό των ψηφίων από τα οποία αποτελείται το σύστηµα αρίθµησης π.χ. το δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης έχει 10 διαφορετικά ψηφία (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Άρα η βάση = 10. Θέση: ορίζει την αξία του ψηφίου στην αριθµητική αναπαράσταση Όσο πιο αριστερά, τόσο περισσότερο σηµαντικό είναι το ψηφίο, π.χ. στον αριθµό 234,7 του δεκαδικού συστήµατος το 2 συµβολίζει εκατοντάδες, το 3 συµβολίζει δεκάδες κ.ο.κ. Υπάρχουν µη θεσιακά αριθµητικά συστήµατα; Ναι, π.χ. το αρχαίο ελληνικό (α, β, γ,...) και το ρωµαϊκό σύστηµα (I, II, III,...) αρίθµησης εν υπήρχε σύµβολο που να συµβολίζει την ανυπαρξία αριθµητικής ποσότητας, δηλαδή το σηµερινό µηδέν ύσχρηστα, για δοκιµάστε να επαληθεύσετε ότι µβ + οζ = ριθ! 5

Θεσιακά Αριθµητικά Συστήµατα Πόσα θεσιακά συστήµατα αρίθµησης υπάρχουν; Θεωρητικά άπειρα, ανάλογα µε τον αριθµό των ψηφίων που έχουµε στη διάθεση µας (βάση) υαδικό σύστηµα αρίθµησης: 0,1 Οκταδικό σύστηµα αρίθµησης: 0,1,2,3,4,5,6,7 Πενταδικό σύστηµα αρίθµησης: 0,1,2,3,4 εκαδικό σύστηµα αρίθµησης: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 εκαεξαδικό σύστηµα αρίθµησης: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,Α,B,C,D,E,F Την πατήσαµε. Χρειάζονται όλα αυτά στην Πληροφορική; Όχι, στους υπολογιστές χρησιµοποιείται το δυαδικό ενώ µερικές φορές χρησιµοποιούνται επίσης το οκταδικό και το δεκαεξαδικό (για την επικοινωνία µεταξύ ανθρώπων, καθώς είναι εύκολες οι µετατροπές από και προς το δυαδικό) 6

Παράσταση Αριθµού Ένας αριθµός Ν αναπαρίσταται σε οποιοδήποτε αριθµητικό σύστηµα µε µια ακολουθία ψηφίων. Η θέση κάθε ψηφίου στον αριθµό προσδιορίζει την αξία του. Το πρώτο ψηφίο αριστερά της υποδιαστολής εκφράζει µονάδες (βάση 0 ) Όσο µετακινούµαστε προς τα αριστερά, τα ψηφία εκφράζουν αυξανόµενες δυνάµεις της βάσης του συστήµατος (βάση 1, βάση 2, κτλ) Αντίθετα, προς τα δεξιά της υποδιαστολής τα ψηφία εκφράζουν µειούµενες δυνάµεις της βάσης του συστήµατος (βάση -1, βάση -2, κτλ) Έτσι, για παράδειγµα: Ο αριθµός 234.7 του δεκαδικού συστήµατος συµβολίζει µια αριθµητική ποσότητα µε 2 εκατοντάδες (10 2 ), 3 δεκάδες (10 1 ), 4 µονάδες (10 0 ) και 7 δέκατα της µονάδας (10-1 ) Ο αριθµός 101.1 του δυαδικού συστήµατος συµβολίζει αριθµητική ποσότητα µε 1 τετράδα (2 2 ), καµία δυάδα (2 1 ), 1 µονάδα (2 0 ) και 1 δεύτερο της µονάδας (2-1 ). ηλαδή, είναι το 5.5 του δεκαδικού συστήµατος. 7

8 Παράσταση Αριθµού Ένας αριθµός Ν µε αναπαράσταση ψηφίων ακακ-1ακ-2...α1α0, α-1α-2...α-ν όπου α: ψηφία του αριθµού (0 αi β-1), κ+1: το πλήθος των ψηφίων πριν την υποδιαστολή ν: το πλήθος των ψηφίων µετά την υποδιαστολή εκφράζεται σε ένα αριθµητικό σύστηµα βάσης β ως: ν ν κ κ κ κ κ ν β α β α β α β α β α β α β α β α = + + + + + + + + = =...... ) ( 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 i i i N

Παραδείγµατα (101.1) 2 =1x2 2 +0x2 1 +1x2 0 +1x2-1 =4+0+1+0.5=(5.5) 10 (12.4) 8 =1x8 1 +2x8 0 +4x8-1 =8+2+0.5=(10.5) 10 (3A.4) 16 =3x16 1 +10x16 0 +4x16-1 =48+10+0.25=(58.25) 10 (1111.11) 2 =? (240) 3 =? (125) 7 =? (77.2) 8 =? 9

Παραδείγµατα Aν µας δοθεί ο (14)10 και µας ζητηθεί να τον εκφράσουµε σε ένα άλλο σύστηµα αρίθµησης; Μετατροπή στο εννιαδικό: Το (14)10 αποτελείται από µια εννιάδα και πέντε µονάδες. Έτσι, (14)10=(15)9. Μετατροπή στο πενταδικό: Το (14)10 αποτελείται από δυο πεντάδες και τέσσερις µονάδες. Έτσι, (14)10=(24)5. Μετατροπή στο τριαδικό: Το (14)10 αποτελείται από µια εννιάδα (32), µια τριάδα και δυο µονάδες. Έτσι, (14)10=(112)3. Μετατροπή στο δυαδικό: Το (14)10 αποτελείται από µια οκτάδα (23), µια τετράδα (22), µια δυάδα και καµία µονάδα. Έτσι, (14)10=(1110)2 Κάντε το ίδιο για τον αριθµό (34)10. 10

Αριθµητικά Συστήµατα σχετικά µε την Πληροφορική Όπως προαναφέραµε τα συνηθέστερα αριθµητικά συστήµατα στην Επιστήµη των Υπολογιστών είναι: υαδικό Σύστηµα: Έχει ως βάση το δύο και αποτελείται από τα ψηφία 0 και 1, τα οποία ονοµάζονται και δυφία (bit, binary digit). Οκταδικό Σύστηµα: Έχει ως βάση το οκτώ και αποτελείται από τα οκτώ πρώτα ψηφία του δεκαδικού συστήµατος: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. εκαεξαδικό Σύστηµα: Έχει ως βάση το δεκαέξι και αποτελείται από τα δέκα ψηφία του δεκαδικού συστήµατος συν τα έξι πρώτα κεφαλαία γράµµατα του λατινικού αλφαβήτου που αντιστοιχούν στους δεκαδικούς αριθµούς 10 µέχρι και 15: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 11

Μετατροπή στο εκαδικό Σύστηµα Η µετατροπή ενός αριθµού από ένα οποιοδήποτε αριθµητικό σύστηµα µε βάση β στο δεκαδικό είναι πολύ απλή. Απλά, υπολογίζουµε την τιµή της παράστασης: N α 1 κ = i= ν β 1 α i + α ( β 2 i β ) = α 2 κ β κ +... + α + α ν β κ 1 ν β κ 1 +... + α 1 β 1 + α 0 β 0 + Μετατροπή του δυαδικού 101101 σε δεκαδικό (101101) 2 = 1 x 2 5 + 0 x 2 4 + 1 x 2 3 + 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = (45) 10 Μετατροπή του οκταδικού 13537 σε δεκαδικό (13537) 8 = 1 x 8 4 + 3 x 8 3 + 5 x 8 2 + 3 x 8 1 + 7 x 8 0 = 4096 + 1536 + 320 + 24 + 7 = (5983) 10 12

Μετατροπή από το εκαδικό Σύστηµα Η µετατροπή ενός αριθµού από το δεκαδικό σε ένα οποιοδήποτε αριθµητικό σύστηµα µε βάση β γίνεται χωριστά για το ακέραιο και χωριστά για το κλασµατικό µέρος. Για το ακέραιο µέρος του αριθµού ακολουθούµε την εξής διαδικασία: Βήµα 1ο: ιαιρούµε τον ακέραιο δεκαδικό αριθµό µε τη βάση β του συστήµατος στο οποίο θέλουµε να κάνουµε µετατροπή και καταγράφουµε το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης. Βήµα 2ο: Όσο έχουµε πηλίκο διαφορετικό του µηδενός συνεχίζουµε να το διαιρούµε το πηλίκο µε το β και να καταγράφουµε τα νέα υπόλοιπα. Βήµα 3ο: Όταν το πηλίκο της διαίρεσης γίνει µηδέν, έχουµε τελειώσει µε την µετατροπή του ακεραίου µέρους και ο αριθµός που ζητάµε προκύπτει αν καταγράψουµε τα υπόλοιπα από το τελευταίο προς το πρώτο (δηλαδή µε την αντίστροφη σειρά που έχουν βρεθεί). 13

Παραδείγµατα (Ακέραιο Μέρος) Μετατροπή του δεκαδικού 41 σε δυαδικό. (41) 10 = (101001) 2 41 (2) 20 1 10 0 5 0 Μετατροπή του δεκαδικού 153 σε οκταδικό. (153) 10 = (231) 8 153 (8) 19 1 2 3 0 2 2 1 1 0 0 1 Μετατροπή του δεκαδικού 129 σε εξαδικό; Μετατροπή του δεκαδικού 230 σε δεκαεξαδικό; 14

Μετατροπή από το εκαδικό Σύστηµα Για το κλασµατικό µέρος του αριθµού ακολουθούµε την εξής διαδικασία: Βήµα 1ο: Πολλαπλασιάζουµε το κλασµατικό µέρος του δεκαδικού αριθµού µε τη βάση β του συστήµατος στο οποίο θέλουµε να κάνουµε µετατροπή και καταγράφουµε το γινόµενο αυτής της διαίρεσης. Βήµα 2ο: Όσο το κλασµατικό µέρος του γινόµενου είναι διαφορετικό του µηδέν ή δεν έχουµε επιτύχει τον επιθυµητό βαθµό ακρίβειας στο αριθµητικό σύστηµα προορισµού συνεχίζουµε να πολλαπλασιάζουµε το κλασµατικό µέρος του γινόµενου µε το β και να καταγράφουµε τα νέα γινόµενα. Βήµα 3ο: Όταν το κλασµατικό µέρος του γινόµενου γίνει µηδέν, ή έχουµε επιτύχει τον επιθυµητό βαθµό ακρίβειας στο αριθµητικό σύστηµα προορισµού, έχουµε τελειώσει µε την µετατροπή του κλασµατικού µέρους και ο κλασµατικός αριθµός που ζητάµε προκύπτει αν καταγράψουµε τα ακέραια µέρη των γινοµένων των διαδοχικών πολλαπλασιασµών από το πρώτο προς το τελευταίο (δηλαδή µε τη σειρά που έχουν βρεθεί). 15

Παραδείγµατα (Κλασµατικό Μέρος) Μετατροπή του δεκαδικού 0,6875 σε δυαδικό. (0,6875) 10 = (0,1011) 2 Μετατροπή του δεκαδικού 0,513 σε οκταδικό σε οκταδικό (ακρίβειας 6 ψηφίων). (0,513) 10 = (0,406517...) 8 0,6875 X 2 = 1,375 0,375 Χ 2 = 0,75 0,75 Χ 2 = 1,5 0,5 Χ 2 = 1,0 0,513 X 8 = 4,104 0,104 Χ 8 = 0,832 0,832 Χ 8 = 6,656 0,656 Χ 8 = 5,248 0,248 Χ 8 = 1,984 0,984 Χ 8 = 7,878 Μετατροπή του δεκαδικού 0,129 σε εξαδικό; Μετατροπή του δεκαδικού 0,230 σε δεκαεξαδικό; 16

Επανάληψη Μετατροπής από το εκαδικό Η µετατροπή αριθµών του δεκαδικού συστήµατος µε ακέραιο και κλασµατικό µέρος γίνεται όταν µετατρέψουµε χωριστά το ακέραιο και χωριστά το κλασµατικό µέρος και συνδυάσουµε µετά τα δύο αποτελέσµατα. Για παράδειγµα, η µετατροπή του (41,6875) 10 στο δυαδικό γίνεται ως εξής: Ακέραιο: (41) 10 = (101001) 2 Κλασµατικό: (0,6875) 10 = (0,1011) 2 Άρα συνολικά (41,6875) 10 = (101001,1011) 2 17

Μετατροπές µεταξύ άλλων Αριθµητικών Συστηµάτων Στη γενική περίπτωση, η µετατροπή αριθµού από ένα οποιοδήποτε αριθµητικό σύστηµα σε ένα οποιοδήποτε άλλο γίνεται µέσω ενδιάµεσης µετατροπής στο δεκαδικό σύστηµα Μετατροπή του πενταδικού 32,24 στο επταδικό 1 ο βήµα: µετατρέπουµε τον πενταδικό αριθµό σε δεκαδικό: (32,24) 5 = 3 x 5 1 + 2 x 5 0 + 2 x 5-1 + 4 x 5-2 = 15 + 2 + 0,4 + 0,16 = (17,56) 10 2 ο βήµα: µετατρέπουµε τον δεκαδικό αριθµό στο επταδικό 17 (7) 2 3 0 2 0,56 X 7 = 3,92 0,92 Χ 7 = 6,44 0,44 Χ 7 = 3,08 0,08 Χ 7 = 0,56 Άρα (32,24) 5 = (23,3630...) 7 18

Μετατροπές µεταξύ υαδικού και Οκταδικού Η µετατροπή από το δυαδικό στο οκταδικό πραγµατοποιείται µε το να χωρίσουµε το δυαδικό αριθµό σε τριάδες ψηφίων ξεκινώντας από την υποδιαστολή και προχωρώντας προς τα αριστερά και προς τα δεξιά. Κάθε τριάδα είναι αντίστοιχη µε ένα ισοδύναµο οκταδικό ψηφίο Μετατροπή του δυαδικού 1101000110111,011 στο οκταδικό (1101000110111,011) 2 = (15067,3) 8 (00)1 101 000 110 111, 011 1 5 0 6 7 3 Μετατροπή του οκταδικού 3704 στο δυαδικό (3074) 8 = (011111000100) 2 3 7 0 4 011 111 000 100 19

Μετατροπές µεταξύ υαδικού και εκαεξαδικού Η µετατροπή από το δυαδικό στο δεκαεξαδικό πραγµατοποιείται µε το να χωρίσουµε το δυαδικό αριθµό σε τετράδες ψηφίων ξεκινώντας από την υποδιαστολή και προχωρώντας προς τα αριστερά και προς τα δεξιά. Κάθε τετράδα είναι αντίστοιχη µε ένα ισοδύναµο δεκαεξαδικό ψηφίο Μετατροπή του δυαδικού 10101101,1 σε δεκαεξαδικό (10101101,1) 2 = (AD,8) 16 1010 1101 1(000), 10(Α) 13(D) 8 Μετατροπή του δεκαεξαδικού 27F41,8 στο δυαδικό (27F41,8) 16 = (100111111101000001,1) 16 2 7 F 4 1 8, (00)10 0111 1111 0100 0001 1000 20

Περίληψη Ποιες µετατροπές µάθαµε: Η µετατροπή ενός αριθµού από ένα αριθµητικό σύστηµα µε βάση β προς το δεκαδικό σύστηµα Η µετατροπή ενός αριθµού από το δεκαδικό σύστηµα προς ένα αριθµητικό σύστηµα µε βάση β. Οι µετατροπές αριθµών µεταξύ άλλων αριθµητικών συστηµάτων µε ενδιάµεση µετατροπή στο δεκαδικό. Ειδικές µετατροπές µεταξύ δυαδικού-δεκαεξαδικούοκταδικού 21

Το υαδικό Σύστηµα Οι αριθµοί στο δυαδικό σύστηµα δηµιουργούνται µε συνδυασµούς των βασικών του ψηφίων του, 0 και 1 2 4 =1 6 2 3 = 8 2 2 = 4 2 1 = 2 2 0 = 1 εκαδικός 0 0 1 1 1 0 2 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7 1 0 0 0 8 1 0 0 1 9 1 0 1 0 10 1 0 1 1 11 1 1 0 0 12 1 1 0 1 13 1 1 1 0 14 1 1 1 1 15 1 0 0 0 0 16 22

Πράξεις στο υαδικό Σύστηµα Οι πράξεις γίνονται όπως και στο δεκαδικό. Προσοχή στις µεταφορές ψηφίων και τα κρατούµενα! Προσθέσεις: 0+0 = 0 1+0 = 0+1 = 1 1+1 = 0 (και 1 κρατούµενο) 1+1+1 = 1 (και 1 κρατούµενο) π.χ. η πρόσθεση των δυαδικών αριθµών 1010,1 και 11,11 κρατούµενα (0) (1) (1) (1) (0) 1 0 1 0, 1 0 + 0 0 1 1, 1 1 1 1 1 0, 0 1 Άρα (1010,1) 2 + (11,11) 2 = (1110,01) 2 23

Πράξεις στο υαδικό Σύστηµα Αφαιρέσεις: 0-0 = 1-1 = 0 1-0 = 1 0-1 = 10-1 = 1 (και 1 κρατούµενο) 0-1(1) = 10-10 = 0 (και 1 κρατούµενο) 1-1(1) = 11-10 = 1 (και 1 κρατούµενο) κρατούµενα (1) (1) (1) (1) 1 0 1, 1 0-0 1 1, 1 1 0 0 1, 1 1 Άρα (101,1) 2 + (011,11) 2 = (001,11) 2 24

Το Σηµερινό Μάθηµα (ενότητα 2) υαδικό Σύστηµα και Η/Υ Αποθήκευση Φυσικών Αποθήκευση Αριθµών Αποθήκευση Προσηµασµένων Ακεραίων Αριθµών Αποθήκευση Πραγµατικών Αριθµών Αποθήκευση Χαρακτήρων, Εικόνων και Ήχων 25

Παράσταση Πληροφοριών στον Η/Υ Η παράσταση οποιασδήποτε πληροφορίας σε µια υπολογιστική µηχανή γίνεται σε δυαδική µορφή Στην πραγµατικότητα γίνεται µε ηλεκτρικά ή µαγνητικά σήµατα που µπορούν να πάρουν µόνο δυο τιµές ανοικτό-κλειστό κύκλωµα, υψηλή-χαµηλή τάση, αριστερόστροφη-δεξιόστροφη φορά µαγνήτισης, κτλ. Αναπαριστούµε τις τιµές αυτές µε 0 ή 1. Η µικρότερη µονάδα πληροφορίας που µπορεί να παρασταθεί είναι ένα bit (binary digit) Μπορεί να έχει τιµή 0 ή 1 Μια οκτάδα bits αποτελούν ένα byte 26

Μορφές Πληροφορίας Αριθµοί Αποθηκεύονται µε τη δυαδική τους µορφή Γίνονται ειδικές κωδικοποιήσεις για την αναπαράσταση προσήµων και υποδιαστολών Ακέραιοι αριθµοί αποθηκεύονται συνήθως σε 2 bytes ενώ πραγµατικοί αριθµοί σε 4 bytes Υπάρχει πάντα όριο στο εύρος αλλά και τη διακριτότητα των αριθµών που µπορούν να αποθηκευτούν Χαρακτήρες και άλλες πληροφορίες Αποθηκεύονται επίσης σε δυαδική µορφή βάσει προσυµφωνηµένης κωδικοποίησης (π.χ. ASCII) 27

Αποθήκευση Φυσικών Αριθµών στον Υπολογιστή Αποθηκεύονται στη δυαδική τους µορφή. Τα όρια των φυσικών αριθµών που µπορούµε να αποθηκεύσουµε εξαρτώνται από το µέγεθος της µνήµης που έχουµε στη διάθεση µας π.χ. Αν έχουµε 2 bytes χώρο µνήµης τότε µπορούµε να αναπαραστήσουµε τους αριθµούς µε 16 bit συνολικά Μικρότερος αριθµός είναι το (0000000000000000) 2 = (0) 10 Μεγαλύτερος αριθµός είναι το (1111111111111111) 2 = (65535) 10 Παραδείγµατα αναπαράστασης (σε H/Y µε λέξη 1 byte): o (20) 10 = (10100) 2. Επειδή ο αριθµός έχει πέντε ψηφία, προσθέτουµε τρία µηδενικά στην αρχή του και αποθηκεύουµε στη µνήµη τον αριθµό 00010100. o (200) 10 = (11001000) 2. Επειδή ο αριθµός έχει οκτώ ψηφία, δε χρειάζεται να προσθέσουµε τίποτα, οπότε απλά τον αποθηκεύουµε στη µνήµη: 11001000. o (400) 10 = (110010000) 2. Επειδή ο αριθµός έχει εννέα ψηφία, έχουµε υπερχείλιση και δεν µπορεί να αποθηκευτεί στη µνήµη µας. 28

Αποθήκευση Προσηµασµένων Ακεραίων Αριθµών Υπάρχουν τρεις βασικοί τρόποι κωδικοποίησης για το πρόσηµο: Περίπτωση 1 η : Χρήση bit προσήµου Το πιο σηµαντικό bit κωδικοποιεί το πρόσηµο (0 για +, 1 για -) και τα υπόλοιπα κωδικοποιούν σε δυαδική µορφή την απόλυτη τιµή του αριθµού Περίπτωση 2 η : Χρήση µορφής συµπληρώµατος ως προς 1 Οι θετικοί αριθµοί αρχίζουν από µηδέν και αναπαρίστανται µε τη δυαδική τους µορφή Οι αρνητικοί αριθµοί αρχίζουν από ένα και αναπαρίστανται µε το συµπλήρωµα τους ως προς 1 Περίπτωση 3 η : Χρήση µορφής συµπληρώµατος ως προς 2 Οι θετικοί αριθµοί αρχίζουν από µηδέν και αναπαρίστανται µε τη δυαδική τους µορφή Οι αρνητικοί αριθµοί αρχίζουν από ένα και αναπαρίστανται µε το συµπλήρωµα τους ως προς 2 (δηλαδή µε το συµπλήρωµα ως προς 1 συν 1) 29

Αποθήκευση Ακεραίων (1 η Περίπτωση: bit προσήµου) Οι θετικοί αριθµοί αναπαρίστανται µε το δυαδικό τους ισοδύναµο Το πιο σηµαντικό bit (bit προσήµου) έχει τιµή 0 Βρίσκουµε το δυαδικό ισοδύναµο του αριθµού Συµπληρώνουµε µε µηδενικά αν χρειάζεται Οι αρνητικοί αριθµοί αναπαρίστανται µε το δυαδικό τους ισοδύναµο Το πιο σηµαντικό bit (bit προσήµου) έχει τιµή 1 Βρίσκουµε το δυαδικό ισοδύναµο του αριθµού Συµπληρώνουµε µε µηδενικά αν χρειάζεται 30

Αποθήκευση Ακεραίων (1η Περίπτωση: bit προσήµου) Παραδείγµατα αναπαράστασης (σε H/Y µε λέξη 1 byte): (-4) 10 = (-100) 2 ενέργεια πρόσηµο τιµή 1: πρόσηµο 1 2: τιµή 1 1 0 0 3: προσθήκη 0 1 0 0 0 0 1 0 0 Εποµένως στη µνήµη αποθηκεύεται το (10000100) 2 ========================================================== (20) 10 = (10100) 2 ενέργεια πρόσηµο Τιµή 1: πρόσηµο 0 2: τιµή 0 1 0 1 0 0 3: προσθήκη 0 1 0 0 1 0 1 0 0 Εποµένως στη µνήµη αποθηκεύεται το (00010100) 2 Εύρος Αποθήκευσης Μικρότερος αριθµός είναι το (11111111) 2 = (-127) 10 Μεγαλύτερος αριθµός είναι το (01111111) 2 = (+127) 10 31

Αποθήκευση Ακεραίων (2η Περίπτωση: συµπλήρωµα ως προς 1) Το συµπλήρωµα ως προς 1 ενός δυαδικού αριθµού είναι ένας άλλος δυαδικός αριθµός του οποίου τα ψηφία είναι ακριβώς αντίστροφα του αρχικού (τα 0 1 και τα 1 0). Παραδείγµατα το συµπλήρωµα ως προς 1 του 1010 είναι το 0101 1 0 1 0 0 1 0 1 το συµπλήρωµα ως προς 1 του 11001100 είναι το 00110011 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 32

Αποθήκευση Ακεραίων (2η Περίπτωση: συµπλήρωµα ως προς 1) Οι θετικοί αριθµοί αναπαρίστανται µε το δυαδικό τους ισοδύναµο (όπως και πριν) Βρίσκουµε το δυαδικό ισοδύναµο του αριθµού Συµπληρώνουµε µε µηδενικά αν χρειάζεται Οι αρνητικοί αριθµοί αναπαρίστανται µε το συµπλήρωµα τους ως προς 1 Βρίσκουµε το δυαδικό ισοδύναµο του αριθµού Συµπληρώνουµε µε µηδενικά µπροστά αν χρειάζεται ώστε το µήκος του αριθµού να είναι ίσο µε το µήκος λέξης του υπολογιστή Βρίσκουµε το συµπλήρωµα ως προς 1 του αριθµού 33

Αποθήκευση Ακεραίων (2η Περίπτωση: συµπλήρωµα ως προς 1) Παράδειγµα αναπαράστασης (σε H/Y µε λέξη 1 byte): (-4) 10 = (-100) 2 Εποµένως στη µνήµη αποθηκεύεται το (11111011) 2 ενέργεια πρόσηµο τιµή 1: τιµή αριθµού 1 0 0 2: συµπλήρωση µε 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3: συµπλήρωµα ως προς 1 1 1 1 1 1 0 1 1 (20) 10 = (10100) 2 Εποµένως στη µνήµη αποθηκεύεται το (00010100) 2 ενέργεια πρόσηµο τιµή 1: τιµή αριθµού 1 0 1 0 0 2: συµπλήρωση µε 0 0 0 0 1 0 1 0 0 3: συµπλήρωµα ως προς 1 Όχι (θετικός) Εύρος αποθήκευσης Μικρότερος αριθµός είναι το (10000000) 2 = (-127) 10 Μεγαλύτερος αριθµός είναι το (01111111) 2 = (+127) 10 34

Αποθήκευση Ακεραίων (3η Περίπτωση: συµπλήρωµα ως προς 2) Το συµπλήρωµα ως προς 2 ενός δυαδικού αριθµού είναι ο αριθµός που προκύπτει αν προσθέσουµε 1 στο συµπλήρωµα ως προς 1 του αριθµού αυτού Παραδείγµατα το συµπλήρωµα ως προς 2 του 1010 είναι το 0110 1 0 1 0 0 1 0 1 + 1 0 1 1 0 το συµπλήρωµα ως προς 2 του 11001100 είναι το 00110100 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 0 1 1 0 1 0 0 35

Αποθήκευση Ακεραίων (3η Περίπτωση: συµπλήρωµα ως προς 2) Οι θετικοί αριθµοί αναπαρίστανται µε το δυαδικό τους ισοδύναµο (όπως και πριν) Βρίσκουµε το δυαδικό ισοδύναµο του αριθµού Συµπληρώνουµε µε µηδενικά αν χρειάζεται Οι αρνητικοί αριθµοί αναπαρίστανται µε το συµπλήρωµα τους ως προς 2 Βρίσκουµε το δυαδικό ισοδύναµο του αριθµού Συµπληρώνουµε µε µηδενικά µπροστά αν χρειάζεται ώστε το µήκος του αριθµού να είναι ίσο µε το µήκος λέξης του υπολογιστή Βρίσκουµε το συµπλήρωµα ως προς 2 του αριθµού 36

Αποθήκευση Ακεραίων (3η Περίπτωση: συµπλήρωµα ως προς 2) Παράδειγµα αναπαράστασης (σε H/Y µε λέξη 1 byte): (-4) 10 = (-100) 2 Εποµένως στη µνήµη αποθηκεύεται το (11111100) 2 ενέργεια πρόσηµο τιµή 1: τιµή 1 0 0 2: συµπλήρωση µε 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3: συµπλήρωµα ως προς 1 1 1 1 1 1 0 1 1 4: πρόσθεση 1 1 1 1 1 1 1 0 0 ============================================= (20) 10 = (10100) 2 Εποµένως στη µνήµη αποθηκεύεται το (00010100) 2 ενέργεια 3: συµπλήρωµα πρόσηµο Όχι τιµή (θετικός) 1: τιµή 1 0 1 0 0 2: συµπλήρωση µε 0 0 0 0 1 0 1 0 0 Εύρος Αποθήκευσης Μικρότερος αριθµός είναι το (10000000) 2 = (-128) 10 Μεγαλύτερος αριθµός είναι το (01111111) 2 = (+127) 10 37

Αποθήκευση Προσηµασµένων Ακεραίων Αριθµών (σηµειώσεις) Οι θετικοί αριθµοί αναπαρίστανται µε τον ίδιο τρόπο, ανεξάρτητα από τη µέθοδο κωδικοποίησης Οι αρνητικοί αριθµοί αναπαρίστανται όµως διαφορετικά Οι αρνητικοί αριθµοί αρχίζουν πάντα από 1, ανεξάρτητα από τη µέθοδο κωδικοποίησης Οι θετικοί αρχίζουν πάντα από 0 Στην κωδικοποίηση µε bit προσήµου και στην κωδικοποίηση µε συµπλήρωµα ως προς 1, υπάρχουν δυο κωδικοποιήσεις για το µηδέν +0 = (00000000) 2-0 = (10000000) 2 ή (11111111) 2 Αυτό το πρόβληµα δεν υπάρχει στην κωδικοποίηση µε χρήση συµπληρώµατος ως προς 2 Η κωδικοποίηση µε χρήση συµπληρώµατος ως προς 2 είναι αυτή που χρησιµοποιείται στους σύγχρονους υπολογιστές 38

Πράξεις µε Προσηµασµένους Ακεραίους στον Υπολογιστή Η χρήση συµπληρωµάτων επιτρέπει να µην υπάρχουν στον υπολογιστή κυκλώµατα που εκτελούν την πράξη της αφαίρεσης, καθώς οι αφαιρέσεις µπορούν να γίνουν µε πρόσθεση: Α Β ισοδύναµο µε Α + Συµπλήρωµα2 Β Παράδειγµα (H/Y µε λέξη 1 byte, συµπλήρωµα ως προς 2): Αριθµητική αφαίρεση 111-85: 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1-1 0 1 0 1 0 1-8 5 1 0 1 0 0 1 0 2 6 Αφαίρεση 111-85 στον υπολογιστή: Το συµπλήρωµα ως προς 2 του 85 (δηλαδή το -85 στη µνήµη) είναι 10101011 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 + 1 0 1 0 1 0 1 1 + - 8 5 (1) 0 0 0 1 1 0 1 0 2 6 Προσέξτε ότι τώρα οι πράξεις γίνονται µε 8 δυαδικά ψηφία (όσο το µήκος λέξης του Η/Υ) και το τυχόν επιπλέον bit αποκόπτεται (υπερχείλιση) χωρίς να συµβαίνει λάθος 39

Παράσταση Πραγµατικών Αριθµών Υπάρχουν δυο τρόποι κωδικοποίησης: Περίπτωση 1 η : Παράσταση Σταθερής Υποδιαστολής Ο αριθµός αποθηκεύεται ως έχει (στην αριθµητική του παράσταση) Υπάρχει σταθερός αριθµός bit για το ακέραιο και για το κλασµατικό µέρος του αριθµού (π.χ. 24 και 8 bit για αποθήκευση σε 4 bytes) Συνήθως χρησιµοποιείται παράσταση συµπληρώµατος ως προς 2 για τους αρνητικούς Περίπτωση 2 η : Παράσταση Κινητής Υποδιαστολής Ο αριθµός αποθηκεύεται στην επιστηµονική του παράσταση, δηλαδή σαν το γινόµενο ενός κλασµατικού αριθµού και µίας δύναµης του 2, δηλαδή στη µορφή κ*2 ε (το κ καλείται συντελεστής ή µαντίσα και το ε εκθέτης) Χρησιµοποιείται η λεγόµενη κανονική µορφή του αριθµού, όπου το ακέραιο µέρος του αριθµού είναι 1. Χρησιµοποιείται bit προσήµου για τον αριθµό και παράσταση πλεονάσµατος* για τον εκθέτη (η µαντίσα είναι µη προσηµασµένη). Στην παράσταση πλεονάσµατος, προστίθεται στον αριθµό το 2 Ν-1-1 (Ν ο αριθµός των bits του αριθµού) Υπάρχει σταθερός αριθµός bit για το πρόσηµο, τη µαντίσα και τον εκθέτη (π.χ. 1, 23 και 8 bit για αποθήκευση σε 4 bytes) 40

Παράσταση Πραγµατικών Αριθµών (Σταθερής Υποδιαστολής) Παραδείγµατα (σε H/Y µε λέξη 4 byte, αναπαράσταση µε συµπλήρωµα ως προς 2, 24 bit για το ακέραιο µέρος, 8 bit για το κλασµατικό): (47,875) 10 : µετατρέπουµε τον αριθµό σε δυαδικό (101111,111) 2 Έπειτα εισάγουµε 18 µηδενικά στην αρχή του ακέραιου µέρους και 5 µηδενικά στο τέλος του κλασµατικού για να συµπληρωθούν τα απαραίτητα ψηφία Άρα στη µνήµη: 1 ο byte 00000000 2 ο byte 00000000 3 ο byte 00101111 4 ο byte 11100000 (-47,875) 10 : Βρίσκουµε το συµπλήρωµα ως προς 2 του παραπάνω. Προσοχή: Το συµπλήρωµα βρίσκεται αντιστρέφοντας τα ψηφία του αριθµού και προσθέτοντας 1 στο τέλος του (αγνοούµε την ύπαρξη υποδιαστολής), δηλαδή: Αριθµός: 00 00 00 00 00 00 00 00 00 10 11 11 11 10 00 00 Αντιστροφή: 11 11 11 11 11 11 11 11 11 01 00 00 00 01 11 11 Πρόσθεση 1: 11 11 11 11 11 11 11 11 11 01 00 00 00 10 00 00 Άρα στη µνήµη: 1 ο byte 11111111 2 ο byte 11111111 3 ο byte 11010000 4 ο byte 00100000 41

Παράσταση Πραγµατικών Αριθµών (Κινητής Υποδιαστολής) Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή, ο αριθµός αποθηκεύεται στη µνήµη του υπολογιστή ως δυο ακέραιοι αριθµοί Κ και Ε Οι αριθµοί αυτοί είναι ο συντελεστής (Κ) και ο εκθέτης (Ε) της λεγόµενης κανονικής επιστηµονικής παράστασης του αριθµού Η κανονική επιστηµονική παράσταση του δυαδικού αριθµού είναι το γινόµενο ενός αριθµού µε ακέραιο µέρος 1 και µιας δύναµης του 2, δηλαδή ένας αριθµός της µορφής 1,Κ 2 Ε Παράδειγµα κανονικής παράστασης (1001,11) 2. Μεταφέρουµε την υποδιαστολή τρεις θέσεις προς τα αριστερά ώστε ο αριθµός να γίνει 1,00111. Πολλαπλασιάζουµε τον αριθµό µε το 2 3 (λόγω των 3 µετακινήσεων). Άρα (1001,11) 2 = (1,00111) 2 2 3 (Κ=00111, Ε=3) 42

Παράσταση Πραγµατικών Αριθµών (Κινητής Υποδιαστολής) Η αποθήκευση του κανονικού αριθµού στη µνήµη του υπολογιστή γίνεται χωριστά για το συντελεστή Κ (µαντίσα) και χωριστά για τον εκθέτη Ε Συνήθως χρησιµοποιούνται 4 byte µνήµης (1 bit για πρόσηµο, 23 bits για τη µαντίσα και 8 bits για τον εκθέτη) Ο εκθέτης αποθηκεύεται σε παράσταση πλεονάσµατος: εκθέτης+ 2 Ν-1-1 (όπου Ν =πλήθος bits για τον εκθέτη) Παράδειγµα παράστασης πλεονάσµατος για εκθέτη=6 που θα αποθηκευτεί σε µνήµη 8 bits: 6 + 2 8-1 -1 = 6+2 7-1 = 133 43

Παράσταση Πραγµατικών Αριθµών (Κινητής Υποδιαστολής) Παράδειγµα (σε H/Y µε λέξη 4 byte, 23 bit για τη µαντίσα, 8 bit για τον εκθέτη): Αριθµός: (81,78125) 10 υαδική αναπαράσταση: (1010001,11001) 2 Κανονική µορφή: (1,01000111001) 2 2 6 Βit προσήµου: 0 (θετικός αριθµός) Μαντίσα: 01000111001000000000000 (προσθέτουµε µηδενικά στο τέλος, αφού η µαντίσα είναι κλασµατικό µέρος!) Εκθέτης: Ε=6, άρα σε παράσταση πλεονάσµατος 6 + 2 8-1 -1 = 133, οπότε (10000101) 2 Άρα στη µνήµη: 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 44

Αποθήκευση Χαρακτήρων Πως αποθηκεύονται στη µνήµη του υπολογιστή οι αλφαριθµητικοί χαρακτήρες (γράµµατα, ψηφία και σύµβολα); ASCII (American Standard Code for Information Interchange) Πρότυπο που αντιστοιχεί κάθε χαρακτήρα µε ένα ASCII κωδικό (7 ή 8 bit δυαδικός αριθµός) a = 1100001 (ASCII κωδικός) το σύµβολο 1 = 0110001 (ASCII κωδικός) EBCDIC (Extended Binary Code Decimal Interchange Code). Unicode και USC (Universal Character Set, πρότυπο 10646 της ISO/IEC) 45

Αποθήκευση Εικόνων και Ήχων Εικόνες: τα δυο βασικά συστήµατα κωδικοποίησης είναι το ψηφιογραφικό (bitmap) και το διανυσµατικό (vector) Τα ψηφιογραφικά συστήµατα χωρίζουν την εικόνα σε εικονοστοιχεία ή pixels (picture element). Το χρώµα κάθε κουκίδας κωδικοποιείται σε RGB (24 bits/pixel). Η εικόνα αναπαρίσταται σαν ένας χάρτης από bit (bitmap) που αναπαριστά τα χρώµατα όλων των pixel της εικόνας. Τα διανυσµατικά συστήµατα αναπαριστούν µια εικόνα σαν ένα σύνολο από µαθηµατικά διανύσµατα, τα οποία αντιστοιχούν σε σηµεία, γραµµές, καµπύλες και πολύγωνα από τα οποία αποτελείται η εικόνα αυτή. Οι συνηθέστερα χρησιµοποιούµενες διανυσµατικές κωδικοποιήσεις είναι η CGM και η SVG. Χρησιµοποιούνται στα συστήµατα κωδικοποίησης γραµµατοσειρών οθονών και εκτυπωτών (όπως οι TrueType γραµµατοσειρές) και στα συστήµατα σχεδίασης µέσω υπολογιστή (CAD) Οι ήχοι κωδικοποιούνται στους υπολογιστές µε κατάλληλη δειγµατοληψία του πλάτους των ηχητικών κυµάτων σε συγκεκριµένα χρονικά διαστήµατα Η αναλογική κυµατοµορφή µετατρέπεται σε αριθµητική πληροφορία που µπορεί να αναπαρασταθεί µε τη χρήση συνδυασµών bit. Η ποιότητα αναπαράστασης εξαρτάται από τη συχνότητα δειγµατοληψίας Για παράδειγµα, στα µουσικά CD έχουµε 44.100 δείγµατα ανά δευτερόλεπτο, ενώ σε ένα DVD-Audio έχουµε 192.000 δείγµατα ανά 46 δευτερόλεπτο

Περίληψη Οι φυσικοί αριθµοί αποθηκεύονται στον υπολογιστή µε το δυαδικό τους ισοδύναµο. Οι προσηµασµένοι ακέραιοι αριθµοί αποθηκεύονται στον υπολογιστή µε ένα από τους εξής τρεις τρόπους: Με χρήση bit προσήµου, όπου το πρώτο bit του αριθµού συµβολίζει το πρόσηµο (0 για θετικό, 1 για αρνητικό) και τα υπόλοιπα τον αριθµό. Με χρήση συµπληρώµατος ως προς 1 για την αποθήκευση των αρνητικών. Με χρήση συµπληρώµατος ως προς 2 για την αποθήκευση των αρνητικών. Ο τρόπος αυτός είναι και ο πλέον συχνά χρησιµοποιούµενος στους σύγχρονους υπολογιστές. Οι πραγµατικοί αριθµοί αποθηκεύονται στον υπολογιστή µε ένα από τους εξής δυο τρόπους: Με παράσταση σταθερής υποδιαστολής, όπου δεσµεύεται εξ αρχής συγκεκριµένο πλήθος δυαδικών ψηφίων για το ακέραιο και για το κλασµατικό µέρος του αριθµού. Με παράσταση κινητής υποδιαστολής, όπου ο αριθµός µετατρέπεται στην κανονική του επιστηµονική παράσταση και αποθηκεύεται ως συνδυασµός δυο ακεραίων (µαντίσα και εκθέτης). Ο τρόπος αυτός είναι και ο πλέον συχνά χρησιµοποιούµενος στους σύγχρονους υπολογιστές. Οι χαρακτήρες αποθηκεύονται στον υπολογιστή µε κάποιο σύστηµα κωδικοποίησης. Τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα είναι το ASCII, το Unicode και το UCS. 47