ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών Συντονισμός έκδοσης: Χρίστος Παρπούνας, Συντονιστής Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων Έκδοση 2011 ISN 978-9963-0-4576-1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΣΥΝΟΛΑ Ω Γ

Σύνολα Διερεύνηση Ένας τρόπος να παρουσιάσουμε κάποιες συλλογές ατόμων ή αντικειμένων και τις σχέσεις μεταξύ τους είναι τα διαγράμματα. Σε ένα μουσικό σχολείο οι μαθητές ρωτήθηκαν για το είδος της μουσικής που τους αρέσει. Οι απαντήσεις τους παρουσιάζονται στο διπλανό διάγραμμα. Έντεκα άτομα δήλωσαν ότι τους αρέσει η κλασική μουσική, ενώ δεκαοκτώ μαθητές δήλωσαν ότι τους αρέσει η Ρόκ μουσική. Σε πόσους μαθητές αρέσει η Πόπ μουσική; Ρόκ Σε πόσους από τους μαθητές αρέσει η Κλασική και η Ρόκ μουσική; Πόσοι είναι συνολικά οι μαθητές που τους αρέσει η Ρόκ ή η Πόπ μουσική; Σε πόσους μαθητές αρέσουν και τα τρία είδη μουσικής; Πόσοι είναι συνολικά οι μαθητές που πήραν μέρος στην έρευνα; 3 4 2 2 5 6 8 Κλασική Πόπ Τι πρέπει να ξέρετε Σύνολο είναι μια καλώς ορισμένη συλλογή αντικειμένων. Το σύνολο πρέπει να είναι καλώς ορισμένο. Δηλαδή ένα αντικείμενο α (στοιχείο α) πρέπει να είναι ξεκάθαρο αν ανήκει ή όχι στο σύνολο. Τα αντικείμενα που αποτελούν ένα σύνολο λέγονται στοιχεία του συνόλου. Ένα σύνολο συμβολίζεται συνήθως με ένα κεφάλαιο γράμμα, π.χ. Α ή Β. Αν το στοιχείο ανήκει στο σύνολο γράφουμε. Αν ένα στοιχείο δεν ανήκει στο σύνολο Α τότε γράφουμε. Υπάρχει ένα σύνολο χωρίς καθόλου στοιχεία. Πρόκειται για το κενό σύνολο και συμβολίζεται με. Τα σύνολα των αριθμών συμβολίζονται ως εξής: : το σύνολο των φυσικών αριθμών, 1 Ενότητα 1 : Σύνολα.

: το σύνολο των ακεραίων αριθμών, : το σύνολο των ρητών αριθμών, : το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Παράσταση συνόλου Για να παραστήσουμε ένα σύνολο, χρησιμοποιούμε έναν από τους παρακάτω τρόπους: Με αναγραφή των στοιχείων του. Τα σύνολα τα παριστάνουμε παραθέτοντας όλα τα στοιχεία τους μέσα σε άγκιστρα. π.χ.,, Με περιγραφή των στοιχείων του. Μέσα σε άγκιστρα βάζουμε μια μεταβλητή και περιγράφουμε τη χαρακτηριστική ιδιότητα της μεταβλητής ή χωρίς άγκιστρα περιγράφουμε την χαρακτηριστική ιδιότητα που έχουν τα στοιχεία του συνόλου. π.χ. το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών: ή Με διάγραμμα Venn. Η εποπτική παρουσίαση ενός συνόλου Α γίνεται με το διάγραμμα Venn, όπου το σύνολο παριστάνεται με το εσωτερικό μιας καμπύλης. 3 1. 4 5. 2. 11 18.6.... Πληθικός αριθμός συνόλου Α είναι το πλήθος των στοιχείων του και συμβολίζεται με. π.χ. αν Α = {3, 5, 6, 8} τότε ν (Α) = 4 ή αν. Ίσα σύνολα λέγονται δύο σύνολα Α και Β τα οποία έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία και γράφουμε για αυτά ή. π.χ. τα σύνολα Α = Τα φωνήεντα της λέξης οξύ και Β = Τα φωνήεντα της λέξης υδρογόνο είναι ίσα γιατί με αναγραφή των στοιχείων τους είναι: και, τα οποία έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. τότε 2 Ενότητα 1 : Σύνολα.

Ισοδύναμα λέγονται δύο σύνολα Α και Β τα οποία μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τα στοιχεία τους ένα με ένα. Τα ισοδύναμα σύνολα έχουν ίσο πλήθος στοιχείων δηλαδή έχουν ίσους πληθικούς αριθμούς και συμβολίζεται με ή. π.χ. Τα σύνολα Ειδικά σύνολα και είναι ισοδύναμα, δηλαδή. Μονομελές είναι το σύνολο που έχει μόνο ένα στοιχείο, π.χ. Κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν έχει στοιχεία. Το κενό σύνολο συμβολίζεται με ή. π.χ. Απειροσύνολο είναι το σύνολο που έχει άπειρα στοιχεία, π.χ. Πεπερασμένο είναι το σύνολο το οποίο δεν είναι απειροσύνολο. π.χ. Παραδείγματα Δραστηριότητες Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο. Λύση Το Α είναι σύνολο των διατεταγμένων ζευγαριών, όπου οι αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί και επιπλέον όταν τους προσθέσουμε έχουν άθροισμα 3. Τα ζευγάρια αυτά είναι τα. Άρα, 1. Να γράψετε με αναγραφή στοιχείων τα πιο κάτω σύνολα και να βρείτε τον πληθικό τους αριθμό. Α= Τα γράμματα της λέξης «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ». = Τα ψηφία του αριθμού 234005. Γ= Οι πόλεις της Κύπρου. 2. Να εξετάσετε κατά πόσο οι φράσεις ορίζουν κάποιο σύνολο: (α) Τα ψηλά βουνά τη Κύπρου. (β) Οι ψηλοί συμμαθητές μου. (γ) Οι μεγάλοι αριθμοί. (δ) Οι ημέρες της εβδομάδας. (ε) Οι μήνες του χρόνου που αρχίζουν από το γράμμα «Κ». 3 Ενότητα 1 : Σύνολα.

(στ) Οι μήνες του χρόνου που αρχίζουν από το γράμμα «Ι». 3. Να γράψετε μια λέξη που τα γράμματά της να είναι τα στοιχεία του συνόλου. 4. Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους το σύνολο (α) Των φωνηέντων. (β) Των συμφώνων. (γ) Των μηνών του Καλοκαιριού. 5. Θεωρούμε τα σύνολα,, Να χαρακτηρίσετε ορθή ή λανθασμένη καθεμία από τις πιο κάτω προτάσεις (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) (ζ) 6. Να εξετάσετε κατά πόσο τα σύνολα είναι ισοδύναμα: Α = Oι ημέρες της εβδομάδας. Β = Tα φωνήεντα του Ελληνικού αλφαβήτου. 7. Μπορείτε να γράψετε τρία σύνολα που να είναι ισοδύναμα με το σύνολο. και να μην είναι ίσα μεταξύ τους; 8. Να γράψετε με περιγραφή των στοιχείων του τα σύνολα Γ = { Ιούνιος, Ιούλιος, Αύγουστος } και Δ = { α, η, ι }. 9. Θεωρούμε τα σύνολα 4 Ενότητα 1 : Σύνολα.

Να χαρακτηρίσετε τα πιο πάνω σύνολα ως πεπερασμένα σύνολα ή απειροσύνολα. 10. Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω σύνολα είναι ίσα και ποια είναι ισοδύναμα 11. Να συμπληρώσετε τα κενά έτσι ώστε τα σύνολα να είναι ίσα: (α) (β) (γ) } Σχέσεις συνόλων Διερεύνηση Ο Ανδρέας μαζί με 6 φίλους του, τον Κυριάκο, τον Κωνσταντίνο, το Γιάννη, το Σάββα, το Γρηγόρη και το Μάριο, θα συμμετάσχουν σε ένα τουρνουά καλαθόσφαιρας. Η κάθε ομάδα καλαθόσφαιρας αποτελείται από 5 παίκτες. Να γράψετε 3 διαφορετικές συνθέσεις της ομάδας που μπορούν να ξεκινήσουν ένα αγώνα. Πόσοι ακέραιοι από το 1 έως το 100 δεν είναι πολλαπλάσια του 10, του 4 και του 15; Τι πρέπει να ξέρετε Ένα σύνολο Β λέγεται υποσύνολο του συνόλου Α, αν όλα τα στοιχεία του Β είναι στοιχεία και του Α, δηλαδή για κάθε το και συμβολίζεται Ένα σύνολο Β θα λέμε ότι είναι γνήσιο υποσύνολο ενός άλλου συνόλου Α και γράφεται, αν το Α περιέχει όλα τα στοιχεία του Β και ένα τουλάχιστον παραπάνω. π.χ. για τα σύνολα και έχουμε ότι. Κάθε σύνολο έχει δύο τετριμμένα υποσύνολα, τον εαυτό του και το κενό. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου Α, δηλαδή. Κάθε σύνολο Α είναι υποσύνολο του εαυτού του, δηλαδή.. 3. 4. 7. 2. 5. 6 5 Ενότητα 1 : Σύνολα.

Δύο σύνολα που δεν έχουν κοινά στοιχεία λέγονται ξένα μεταξύ τους, π.χ. τα σύνολα και είναι ξένα μεταξύ τους.. η. θ. ι. α. β. γ. δ Δραστηριότητες Παραδείγματα Αν, να γράψετε όλα τα υποσύνολα του συνόλου Α που έχουν πληθικό αριθμό 4. Λύση 1. Να εξετάσετε σε ποιες από πιο κάτω περιπτώσεις το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β. (α),. (β),. (γ) (δ) 2. (α) Να βρείτε τα γνήσια υποσύνολα του συνόλου. (β) Να γράψετε τρία ζεύγη των υποσυνόλων του Α που να είναι ξένα μεταξύ τους. 3. Να βρείτε δύο υποσύνολα του συνόλου. 4. Να παραστήσετε τα σύνολα στο ίδιο Βέννειο διάγραμμα και να τα διατάξετε, χρησιμοποιώντας την έννοια του υποσυνόλου. 6 Ενότητα 1 : Σύνολα.

Πράξεις με σύνολα Διερεύνηση Τα παρακάτω σχήματα να χωριστούν σε δύο σύνολα Χ και Ψ. Το σύνολο Χ αποτελείται από τα σχήματα που έχουν ορθή γωνιά. Το σύνολο Ψ αποτελείται από τα σχήματα που έχουν τέσσερις πλευρές. Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι (α) Να τοποθετήσετε τα σχήματα στο παρακάτω διάγραμμα Venn. X Ψ (β) Ποια σχήματα ανήκουν και στα δύο σχήματα; (γ) Ποια σχήματα ανήκουν στο σύνολο Χ, αλλά δεν ανήκουν στο σύνολο Ψ. (δ) Ποια από τα σχήματα δεν ανήκουν ούτε στο Χ ούτε στο Ψ. Τι πρέπει να ξέρετε Ένωση δύο συνόλων Α και Β, που συμβολίζεται με,είναι ένα σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία και των δύο συνόλων, π.χ. αν, και τότε Ισχύει ότι. Το (κενό σύνολο) είναι ουδέτερο στοιχείο της ένωσης συνόλων 7 Ενότητα 1 : Σύνολα.

Η ένωση δύο συνόλων αποτελείται από όλα τα στοιχεία τα οποία ανήκουν είτε στο σύνολο Α είτε στο Β. Τομή δύο συνόλων Α και Β είναι ένα νέο σύνολο που περιέχει μόνο τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων, π.χ. αν και, τότε Η τομή δύο συνόλων αποτελείται από οποιαδήποτε στοιχεία τα οποία ανήκουν και στα δύο σύνολα Α και Β. Συμπλήρωμα ή συμπληρωματικό του Α ως προς ένα άλλο σύνολο Ω ( ) είναι ένα σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α. π.χ. και τότε Ω Α. 3. 1. 2. 4. 5 Ιδιότητες των υποσυνόλων για κάθε σύνολο Α. για κάθε σύνολο Α. και, τότε για κάθε Α, Β, Γ (μεταβατική ιδιότητα). Αν και, τότε για κάθε Α, Β. Δραστηριότητες Παραδείγματα Τα σύνολα Α και Β αποτελούνται από στοιχεία που παίρνονται από τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ώστε και. Να παρουσιάσετε αυτά τα σύνολα σε διαγραμματική μορφή (Διαγράμματα Venn). 8 Ενότητα 1 : Σύνολα.

Λύση Το διάγραμμα (Venn) φαίνεται δίπλα, με τα σύνολα Α και Β να σημειώνονται με κύκλους. Οι αριθμοί 4 και 6 ανήκουν και στα δύο σύνολα, έτσι πρέπει να τοποθετηθούν στο κοινό μέρος των δύο συνόλων.. 4. 6 Για να συμπληρώσουμε το σύνολο Α, πρέπει να τοποθετήσουμε τους αριθμούς 7 και 9 στο μέρος που δεν τέμνεται με το Β.. 7. 9. 4. 6 Όμοια για το Β, τοποθετούμε τους αριθμούς 1, 2, 3, 5στο μέρος που δεν τέμνεται με το Α.. 7. 9. 4. 6. 1. 2. 3. 5 Τελικά, επειδή οι αριθμοί 0 και 8 δεν έχουν χρησιμοποιηθεί στα σύνολα Α και Β, τα τοποθετούμε έξω από αυτά. Ω. 7. 9. 0. 8. 4. 6. 1. 2. 3. 5 Δίνονται τα σύνολα, και,. (i) Να βρείτε τα σύνολα, (α) (β) (γ) (δ) (ii) Να εξετάσετε κατά πόσο ισχύει η σχέση. Λύση (i) Αρχικά τοποθετούμε τα στοιχεία των συνόλων σε ένα διάγραμμα Venn. 9 Ενότητα 1 : Σύνολα.

Ω 1 2 3 4 5 6 7 8 (α) (γ) (β) (δ) (ii) Το σύνολο Β δεν είναι υποσύνολο του συνόλου Α, γιατί ο αριθμός 6 ανήκει στο Β και δεν ανήκει στο Α. Να κάνετε τα διάγραμμα των συνόλων, και. Λύση Γ. 6. 8. 7. 1. 2. 3. 5 Η εξέταση σε ένα διαγωνισμό των Μαθηματικών περιλάμβανε δύο θέματα τα οποία έπρεπε να απαντήσουν οι εξεταζόμενοι. Για να βαθμολογηθούν με άριστα έπρεπε να απαντήσουν και στα δύο θέματα, ενώ για να περάσουν την εξέταση έπρεπε να απαντήσουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέματα. Στο διαγωνισμό εξετάσθηκαν 100 μαθητές. Στο πρώτο θέμα απάντησαν σωστά 60 μαθητές. Στο δεύτερο θέμα απάντησαν σωστά 50 μαθητές, ενώ και στα δύο θέματα απάντησαν σωστά 30 μαθητές. Πόσοι μαθητές πέρασαν την εξέταση; Λύση Έστω το σύνολο των μαθητών που απάντησαν σωστά στο πρώτο θέμα και Β το σύνολο των μαθητών που απάντησαν σωστά στο δεύτερο θέμα. Τότε, είναι το σύνολο των μαθητών που απάντησαν σωστά στο πρώτο ή στο δεύτερο θέμα, δηλαδή οι μαθητές που πέρασαν την εξέταση. 10 Ενότητα 1 : Σύνολα.

Ω (100 μαθητές) 30 30 20 Η τομή είναι οι μαθητές που έλυσαν και τα δύο θέματα που είναι 30. Άρα από τους 60 μαθητές που έλυσαν μόνο το Α, αλλά όχι το Β είναι. Από τους 50 μαθητές που έλυσαν το πρόβλημα Β, μόνο έλυσαν μόνο το Β, αλλά όχι το Α. Από τους 100 διαγωνιζόμενους μαθητές πέρασαν τη εξέταση μαθητές. 40 1. Οι ακέραιοι αριθμοί από το 1 μέχρι το 12 είναι τοποθετημένοι σε ένα διάγραμμα Venn. 11. 9. 2. 6. 10. 4. 8. 12. (α) Να γράψετε το σύνολο Α με αναγραφή των στοιχείων του. (β) Να γράψετε το σύνολο Β με αναγραφή των στοιχείων του. (γ) Να περιγράψετε τα δύο σύνολα με λέξεις. (δ) Ποιο είναι το συμπληρωματικό σύνολο του Α; 1. 7. 3. 5. 2. Από τους φυσικούς αριθμοί από το 1 μέχρι το 10 σχηματίζουμε δύο σύνολα Α και Β. Το σύνολο Α περιλαμβάνει όλους τους περιττούς αριθμούς. Το σύνολο περιλαμβάνει όλους τους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από το 4. (α) Να συμπληρώσετε το παρακάτω διάγραμμα. 11 Ενότητα 1 : Σύνολα.

(β) Ποιά είναι η ένωση των συνόλων Α και Β; 3. Δίνονται τα σύνολα και (α) Να συμπληρώσετε το διάγραμμα Venn. Να συμπεριλάβετε όλους τους φυσικούς αριθμούς από το 1 μέχρι το 10. (β) Ποια είναι η τομή των συνόλων Α και Β; 4. Ποιο από τα διαγράμματα του Venn μπορούν να περιγράψουν τα παρακάτω. X X Ψ X Ψ Ψ Χ Ψ Β Γ Δ (α) (β) (γ) (δ) Χ είναι το σύνολο των τετραγώνων Ψ είναι το σύνολο των ορθογωνίων Χ είναι το σύνολο των τριγώνων Ψ είναι το σύνολο των τετραγώνων Χ είναι το σύνολο των τετραπλεύρων σχημάτων Ψ είναι το σύνολο των τριγώνων Χ είναι το σύνολο των επιπέδων σχημάτων που έχουν μια τουλάχιστον ορθή γωνία. Ψ είναι το σύνολο των τριγώνων. 5. Δίνονται τα σύνολα, και. Να βρείτε: (α) (β) (γ) (δ) (β) Να εξετάσετε αν ισχύει. 6. Να συμπληρώσετε τα κενά έτσι ώστε να ισχύουν οι ισότητες: (α) (β) (γ) (δ) 7. Να χρησιμοποιήσετε το συμβολισμό των πράξεων των συνόλων, για περιγράψετε τις σκιασμένες περιοχές των παρακάτω διαγραμμάτων. 12 Ενότητα 1 : Σύνολα.

(α) (β) (γ) (δ) 8. Δίνονται τα σύνολα:,,. Να εξετάσετε την ορθότητα των παρακάτω προτάσεων. (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) (ζ) 9. Να βάλετε στα τετραγωνάκια τα κατάλληλα στοιχεία ώστε να ισχύουν οι ισότητες (α) { } { } { } (β) { } { } { } (γ) { } { } { } 10. Να βρείτε τα στοιχεία του συνόλου Δ, αν, και. 11. Δίνονται τα σύνολα, και. (α) Να βρείτε τα σύνολα. (β) Να βρείτε τα σύνολα. (γ) Να βρείτε τα σύνολα. (δ) Να παραστήσετε τα σύνολα Α, Β, Γ σε ένα διάγραμμα Venn. 12. Σε ένα διεθνές συνέδριο Μαθηματικών γνωρίζουμε ότι 150 σύνεδροι μιλούν αγγλικά, 48 γαλλικά και 82 ρώσικα, καθώς και ότι 23 σύνεδροι μιλούν αγγλικά 13 Ενότητα 1 : Σύνολα.

και γαλλικά, 22 αγγλικά και ρώσικα, 25 γαλλικά και ρώσικα, και ότι 225 σύνεδροι μιλούν τουλάχιστον µια από αυτές τις γλώσσες. Πόσοι από τους συνέδρους μιλούν και τις 3 γλώσσες; Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Να χαρακτηρίσετε ψευδείς ή αληθείς τις πιο κάτω προτάσεις,, [ 2. Δίνονται τα σύνολα: Α = Οι μαθητές της Α Γυμνασίου που έχουν βαθμό Άριστα στα Μαθηματικά. Β = Οι μαθητές της Α Γυμνασίου που παίζουν στην ομάδα πετόσφαιρας του σχολείου. Να εξηγήσετε τι καταλαβαίνετε για ένα μαθητή του ανήκει στο σύνολο: (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) (ζ) (η) 3. Να κατασκευάσετε ένα Βέννειο διάγραμμα για καθένα από τα πιο κάτω σύνολα και να σκιάσετε το μέρος που αναπαριστούν:. (Να διερευνήσετε όλες τις πιθανές θέσεις των κύκλων που αναπαριστούν τα σύνολα και ). 4. Σε μια έρευνα που έγινε με δείγμα παιδιά ενός Λυκείου της Λευκωσίας με θέμα τα μέσα που χρησιμοποιούν για τη μετάβαση τους στο σχολείο, είχαμε τα ακόλουθα αποτελέσματα: παιδιά χρησιμοποιούν αστική συγκοινωνία, ταξί, ιδιωτικό αυτοκίνητο και άλλο μεταφορικό μέσο. Δεκαπέντε παιδιά χρησιμοποιούν αστική συγκοινωνία και ταξί, παιδιά ταξί και ιδιωτικό αυτοκίνητο και αστικό λεωφορείο και ιδιωτικό αυτοκίνητο. Να βρείτε πόσα παιδιά χρησιμοποιούν και τα τρία μέσα συγκοινωνίας. 14 Ενότητα 1 : Σύνολα.