ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Φυσική των Laser ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Coons. Για εκπαιδευτικό υλικό όπως εικόνες που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ 3.. Εισαγωγή Το φως μπορεί να περιγραφεί ως ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα του οποίου η συμπεριφορά διέπεται από τους γενικούς νόμους του Maell οι οποίοι περιγράφουν όλες τις μορφές ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας π.χ. ραδιοκύματα ακτίνες X κτλ. Αυτή η θεώρηση του φωτός ονομάζεται ηλεκτρομαγνητική οπτική electroagnetic optics. Η διάδοση της ΗΜ ακτινοβολίας επιτυγχάνεται μέσω των συζευγμένων διανυσματικών πεδίων του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου. Ωστόσο δύναται να περιγράψουμε πλήθος οπτικών φαινόμενων χρησιμοποιώντας μια απλοποιημένη θεωρία βαθμωτών πεδίων στην οποία το φως περιγράφεται από μια βαθμωτή κυματοσυνάρτηση. Αυτή η προσεγγιστική περιγραφή του φωτός ονομάζεται κυματική οπτική ave optics. Όταν το φως διαδίδεται μέσα και γύρω από αντικείμενα των οποίων οι διαστάσεις είναι πολύ μεγαλύτερες από το μήκος κύματός του η κυματική του φύση δεν διακρίνεται και η συμπεριφορά του φωτός μπορεί να περιγραφεί επαρκώς μέσα από γεωμετρικούς κανόνες. Αυτό το προσεγγιστικό μοντέλο περιγραφής του φωτός ονομάζεται οπτική ακτίνων ra optics ή και γεωμετρική οπτική geoetrical optics. Από μια καθαρά μαθηματική σκοπιά μπορούμε να πούμε πως η οπτική ακτίνων είναι το όριο της κυματικής οπτικής όταν το μήκος κύματος του φωτός είναι απειροστό. Αν και η ηλεκτρομαγνητική οπτική παρέχει την πιο ολοκληρωμένη περιγραφή του φωτός στο πλαίσιο της Κλασσικής Μηχανικής εντούτοις υπάρχουν οπτικά φαινόμενα που υπόκεινται στο πεδίο της Κβαντομηχανικής π.χ. φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Τέτοια φαινόμενα εμπίπτουν στο πεδίο της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής και ο αντίστοιχος κλάδος ονομάζεται κβαντική οπτική uantu optics. Σχ. 3.. Σχηματική παράσταση των επικαλύψεων των διαφόρων μοντέλων περιγραφής του φωτός. 3
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 3.. Γεωμετρική Οπτική: Οπτική πινάκων Τα οπτικά στοιχεία συνήθως είναι κεντραρισμένα γύρω από κάποιον οπτικό άξονα γύρω από τον οποίο διέρχονται οι ακτίνες με κάποια μικρή κλίση. Τέτοιου είδους ακτίνες ονομάζονται παραξονικές ακτίνες. Η δε παραπάνω προσέγγιση ονομάζεται παραξονική οπτική. Σημειώνεται πως η παραξονική οπτική μπορεί να συνδυαστεί τόσο με τη γεωμετρική όσο και με την κυματική οπτική. Η οπτική πινάκων είναι μια τεχνική για την εύκολη και βολική περιγραφή της παραξονικής οπτικής. Σ αυτή η ακτίνα περιγράφεται από τη θέση της και τη γωνία της σε σχέση με τον οπτικό άξονα. Η θέση και η γωνία στα επίπεδα εισόδου κι εξόδου ενός οπτικού συστήματος σχετίζονται μέσω δυο γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Συνεπώς το οπτικό σύστημα μπορεί να περιγραφεί από έναν πίνακα που ονομάζεται πίνακας μεταφοράς. Πιο αναλυτικά: Έστω οπτικό σύστημα που τοποθετείται μεταξύ δύο επιπέδων και που θεωρούνται ως τα επίπεδα εισόδου κι εξόδου αντίστοιχα των ακτίνων σχήμα 3.. Τόσο οι ακτίνες όσο και ο οπτικός άξονας εμπεριέχονται στο επίπεδο. Το ζητούμενο είναι να «ιχνηλατήσουμε» την ακτίνα καθώς αυτή διαδίδεται στο οπτικό σύστημα. Μια ακτίνα που διασχίζει το επίπεδο στο χαρακτηρίζεται εξολοκλήρου από τη συντεταγμένη στο σημείο εισόδου και τη γωνία θ. Κατά την έξοδο της ακτίνας από το οπτικό σύστημα στο επίπεδο οι νέες συντεταγμένες της είναι και θ. Το οπτικό σύστημα όσο περίπλοκο και να είναι χαρακτηρίζεται πλήρως από το αποτέλεσμα που είχε πάνω στην ακτίνα. Σχ. 3.. Μια ακτίνα εισέρχεται σε ένα οπτικό σύστημα στο επίπεδο στη θέση θ και βγαίνει στο επίπεδο η θέση θ. Στην παραξονική προσέγγιση όταν όλες οι γωνίες είναι αρκετά μικρές έτσι ώστε sinθ tanθ θ η σχέση μεταξύ θ και θ είναι γραμμική και γενικά μπορεί να γραφεί ως C D 3. όπου C και D είναι πραγματικοί αριθμοί. Οι εξισώσεις 3. μπορούν βολικά να γραφούν σε μορφή πίνακα ως 3
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 33 D C 3. Ο πίνακας Μ του οποίου τα στοιχεία είναι τα C και D χαρακτηρίζει το οπτικό σύστημα αφού επιτρέπει να υπολογιστεί η θέση θ από την θέση εισόδου θ. Ονομάζεται πίνακας μεταφοράς ra-transer atri. Η βολικότητα των πινάκων μεταφοράς έγκειται στο γεγονός ότι ένα πολύπλοκο οπτικό σύστημα μπορεί να «σπάσει» στα συστατικά του τα οποία περιγράφονται από πίνακες μεταφοράς. Έτσι το πρόβλημα της μεταφοράς της ακτίνας μέσα από οποιοδήποτε οπτικό σύστημα ανάγεται σε πρόβλημα πολλαπλασιασμού διδιάστατων πινάκων. Στον πίνακα 3. δίνονται οι πίνακες μεταφοράς μερικών χαρακτηριστικών περιπτώσεων. Παράδειγμα: Ελεύθερη διάδοση tan d d d M Είναι ενδιαφέρον να υπολογίσουμε τον γενικό πίνακα μεταφοράς για την αντίστροφη διάδοση δηλ. με βάση το σχήμα 3. η ακτίνα να μπει το επίπεδο στη θέση θ και να βγει από το επίπεδο στη θέση θ. Μια απλή αλγεβρική αντιστροφή του πίνακα Μ δεν είναι αρκετή καθώς δεν λαμβάνει υπόψη την αλλαγή των κατά σύμβαση προσήμων των οπτικών μεγεθών. Κατά σύμβαση αντιστροφή του διανύσματος της ακτίνας συνεπάγεται αντιστροφή της συντεταγμένης θ. Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε ' ' ' ' D C 3.3 ή ' ' ' ' C D 3.4 Συγκρίνοντας την σχέση 3.4 με την 3. προκύπτει εύκολα ότι ο πίνακας μεταφοράς για την αντίστροφη διάδοση Μ - είναι: D C M C D M
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 34 Πίνακας 3.. Τυπικές περιπτώσεις πινάκων μεταφοράς. Παρατηρείστε ότι η ορίζουσα των πινάκων είναι μοναδιαία δηλ. D-C = όταν τα επίπεδα εισόδου κι εξόδου βρίσκονται σε μέσα με τον ίδιο δείκτη διάθλασης. 3.3. Κυματική οπτική στα πλαίσια της παραξονικής προσέγγισης Από τις εξισώσεις του Maell προκύπτει η κυματική εξίσωση t c 3.5 Χωρίζοντας τις χωρικές από τις χρονικές μεταβλητές της λύσης θέτοντας t u t 3.6 προκύπτει ότι t ck dt t d u k 3.7.a 3.7.b όπου k σταθερά. Η λύση της 3.7.b είναι της γενικής μορφής: ep t i t με ω=ck.
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα Επομένως στο πλαίσιο της κυματικής οπτικής όπου η περιγραφή των πεδίων γίνεται από βαθμωτές συναρτήσεις θεωρούμε μονοχρωματικό κύμα το οποίο μπορεί να περιγραφεί από την εξής βαθμωτή συνάρτηση: ~ t ep i t Το πλάτος Ẽ πρέπει να ικανοποιεί την κυματική εξίσωση Helhol euation ~ 3.8 k 3.9 όπου k=ω/c. Η λύση στην παραπάνω εξίσωση μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα Frenel-Kircho. Για μια δεδομένη κατανομή του πεδίου Ẽ στο επίπεδο = η κατανομή του πεδίου Ẽ σε οποιοδήποτε επίπεδο στην κατεύθυνση της διάδοσης περιγράφεται από τη σχέση ~ ~ ep[ kr ] cos d d 3. S r Η γεωμετρική επεξήγηση παρουσιάζεται στο σχήμα 3.3 όπου r είναι η απόσταση ανάμεσα στα σημεία P του επιπέδου και P του επιπέδου. θ είναι η γωνία μεταξύ της γραμμής P P και της καθέτου στο επίπεδο. Σχ. 3.3.Υπολογισμός του πεδίου Ẽ στο σημείο P όταν είναι γνωστή η τιμή του στο σημείο P. Έστω τώρα ότι αναζητούμε τη μορφή της παραπάνω λύσης στο πλαίσιο της παραξονικής προσέγγισης όπου το κύμα διαδίδεται κατά τη διεύθυνση σε μικρές γωνίες θ. Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να γράψουμε ~ u ep k 3. Όπου η u είναι μια αργά μεταβαλλόμενη συνάρτηση δηλ. μεταβάλλεται ελάχιστα σε απόσταση τάξης μεγέθους του μήκους κύματος. Με βάση την σχέση 3. η σχέση 3.9 δίνει u u k 3. όπου / /. Η σχέση 3. είναι η παραξονική κυματική εξίσωση paraial Helholt euation. Για να βρούμε μια λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης αντίστοιχης της 3. κάνουμε τις εξής προσεγγίσεις στην 3.: α cosθ β r = - για τον παρονομαστή του κλάσματος και για το r στο εκθετικό γράφουμε 35
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 36 / / r 3.3 εφόσον. Η διαφορετική προσέγγιση της ποσότητας r οφείλεται στο ότι στο μεν εκθετικό προσεγγίζεται σε σχέση με το μήκος κύματος k=π/λ ενώ στο δε παρονομαστή προσεγγίζεται σε σχέση με τις χωρικές συντεταγμένες και. Με βάση τα παραπάνω η σχέση 3. γράφεται: ep ~ ep ~ d d k k S 3.4 Αυτό ονομάζεται ολοκλήρωμα Hugens-Fresnel-Kirchho στην προσέγγιση Fresnel το οποίο λαμβάνοντας υπόψη και την σχέση 3. που είναι η έκφραση της παραξονικής δέσμης γράφεται: ep d d L k u L u S 3.5 όπου θέσαμε L =. Η μέχρι τώρα ανάλυση αναφέρεται σε διάδοση στον ελεύθερο χώρο. Θέλοντας να επεκτείνουμε την προσέγγισή μας και σε ένα γενικό οπτικό σύστημα CD αποδεικνύεται ότι η σχέση 3.4 παίρνει τη μορφή: ep d d D k u u S 3.5.b Παρατηρείστε ότι για =D= και =L προκύπτει η περίπτωση της διάδοσης στον ελεύθερο χώρο. 3.4. Γκαουσιανές δέσμες Στο κεφάλαιο αυτό θα ψάξουμε να βρούμε ιδιολύσεις της 3.5 δηλ. λύσεις που διατηρούν την συναρτησιακή τους μορφή καθώς διαδίδονται ιδιοκαταστάσεις. Οι Γκαουσιανές δέσμες αποτελούν μια πολύ σημαντική κατηγορία τέτοιων λύσεων της παραξονικής κυματικής εξίσωσης με τεράστιες εφαρμογές στην οπτική των δεσμών laser. Στην προσέγγισή μας η Γκαουσιανή λύση καθώς και οι ιδιότητές της θα προκύψουν από τις σχέσεις 3.4 και 3.5. 3.4.. Χαμηλότερης τάξης λύση τρόπος Θεωρούμε τη γενικότερη σχέση 3.5. Χωρίς απώλεια της γενικότητας και με μόνη υπόθεση να μην υπάρχουν περιοριστικές οπές apertures κατά την διάδοση του κύματος έτσι ώστε το ολοκλήρωμα 3.5 να μπορεί να πάει στα όρια ± η λύση μπορεί να γραφεί ως δοκιμαστική συνάρτηση:
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 37 ]} / [ ep{ k u 3.6 όπου = είναι μια μιγαδική παράμετρος γνωστή ως παράμετρος της Γκαουσιανής δέσμης. Μάλιστα αν γράψουμε ]} / [ ep{ k u 3.7 τότε η γενική λύση γράφεται ως k u ep / 3.8 με D C 3.9 Η φυσική ερμηνεία αυτών των λύσεων μπορεί να προκύψει εύκολα με τον παρακάτω συλλογισμό. Καταρχήν γράφουμε τη Γκαουσιανή λύση του πεδίου Ẽ με βάση τις 3. και 3.8. k ep / ~ 3. Στη συνέχεια θεωρούμε σφαιρικό κύμα με το κέντρο του = = =. Το πεδίο του σε κάποιο σημείο P μπορεί να γραφεί ως k ep ~ 3. όπου η ακτίνα του κύματος. Ακολουθώντας την παραξονική προσέγγιση μπορούμε να γράψουμε / sin 3. οπότε το πεδίο γράφεται k ep ~ 3.3 Το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως προσέγγιση Fresnel ενός σφαιρικού κύματος και ονομάζεται παραβολοειδές κύμα. Η ακτίνα καμπυλότητας του κύματος είναι η. Για πολύ μεγάλα το παραβολοειδές κύμα καταλήγει σε ένα επίπεδο κύμα Ẽ~ep-ik γεγονός που παραστατικά φαίνεται στο σχήμα 3.4. Σχ. 3.4. Γραφική εξήγηση των προσεγγίσεων παραβολοειδούς και επίπεδου κύματος.
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 38 Συγκρίνοντας τις σχέσεις 3. και 3.3 προκύπτει πως η Γκαουσιανή δέσμη μπορεί να ιδωθεί ως ένα σφαιρικό κύμα με μιγαδική ακτίνα καμπυλότητας. Για να κατανοηθεί το νόημα της μιγαδικής καμπυλότητας χωρίζουμε την μεταβλητή στο πραγματικό και φανταστικό της μέρος. 3.4 Τότε η 3. γράφεται k ep ep ~ 3.5 Η συνάρτηση 3.5 διέπεται από τον παράγοντα πλάτους / ep r όπου r που περιγράφει την ακτινική εξάρτηση του πλάτους του πεδίου. Η μεταβλητή είναι η παράμετρος που περιγράφει το ακτινικό μέγεθος της δέσμης spot sie. Θα μελετήσουμε την 3.5 διεξοδικά για την περίπτωση της διάδοσης στον ελεύθερο χώρο. Συγκρίνοντας τον παράγοντα φάσης της 3.5 με αυτόν της 3.3 για το σφαιρικό κύμα παρατηρούμε ότι είναι ταυτόσημοι. Αυτό μας οδηγεί στο να αναγνωρίσουμε την ποσότητα ως την ακτίνα καμπυλότητας του σφαιρικού μετώπου κύματος της Γκαουσιανής δέσμης. 3.4.. Διάδοση στο ελεύθερο χώρο Υποθέτουμε την διάδοση της Γκαουσιανής δέσμης κατά τη θετική φορά του άξονα σε ελεύθερο χώρο. Τότε είναι = D = C = και =. Άρα από την 3.9 προκύπτει ότι 3.6 Επίσης κάνοντας την υπόθεση = για = προκύπτει από την απαίτηση η φάση του κύματος της 3.5 να είναι μηδέν στο = για όλα τα μπορούμε να γράψουμε 3.7 όπου είναι το ελάχιστο ακτινικό μέγεθος της δέσμης η τιμή του αντιστοιχεί στο επίπεδο =. Συνδυάζοντας τις 3.7 3.6 και 3.4 προκύπτει μετά από λίγη άλγεβρα 3.8.a 3.8.b Η λύση του πεδίου με βάση την 3.8 3. και τα αποτελέσματα 3.8 μπορεί να γραφεί τελικά στην βολική μορφή:
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα όπου ~ r ep ep k r k 3.9 tan 3.3 Αυτή είναι και η τελική λύση του προβλήματος αφού με μόνη παράμετρο το ελάχιστο ακτινικό μέγεθος της δέσμης για δεδομένο λ μπορεί να προσδιοριστεί η κατανομή του πεδίου σε οποιοδήποτε. Δεν απομένει παρά να δούμε το φυσικό νόημα των δυο όρων της λύσης δηλ. του παράγοντα πλάτους /ep[-r / ] και του παράγοντα φάσης ep[- ik+r /-φ]. Παράγοντας πλάτους /ep[- r / ] Κατά τη διάδοσή της η δέσμη διατηρεί την Γκαουσιανή της μορφή επομένως είναι ιδιολύση της 3.4 όπως αρχικά απαιτήσαμε. Ωστόσο αυτό που αλλάζει είναι το μέγεθος της δέσμης σύμφωνα με τη σχέση 3.8. Το ελάχιστο μέγεθος της δέσμης προκύπτει όταν = bea aist. H ένταση του πεδίου είναι ~ I r I επομένως μπορεί να γραφεί ep I 3.3 Αναζητώντας το αξονικό r = σημείο στο οποίο η ένταση μειώνεται στο μισό προκύπτει ότι αυτό συμβαίνει όταν πρέπει να ισχύει / ή. Από την 3.8 προκύπτει ότι σε αυτή την περίπτωση 3.3 Η απόσταση είναι γνωστή ως μήκος aleigh aleigh range και ορίζεται ως η απόσταση από το ελάχιστο μέγεθος της δέσμης μέχρι το μέγεθος να έχει μεγαλώσει κατά παράγοντα. Σχ. 3.5. Κανονικοποιημένη ένταση Ι/Ι ως συνάρτηση της αξονικής r = απόστασης. Για = η τιμή της έντασης πέφτει στο μισό. 39
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα Η ακτινική εξάρτηση της έντασης φαίνεται σχηματικά στο σχήμα 3.6. για διαφορετικά. Παρατηρείστε ότι στην τιμή r / η ένταση μειώνεται στην τιμή I I / e r η ένταση μειώνεται στην τιμή I I / e a a ενώ για Σχ. 3.6. Κανονικοποιημένη ένταση Ι/Ι ως συνάρτηση της ακτινικής απόστασης r για διάφορες αξονικές αποστάσεις : a = b = c =. Για μεγάλες αποστάσεις >> μπορούμε να γράψουμε προσεγγιστικά / δηλ. το εξαρτάται γραμμικά από τα. Άρα μπορούμε να ορίσουμε τη γωνία απόκλισης βλ. σχήμα 3.7 ως 3.3 Σχ. 3.7. Το πλάτος της δέσμης και η γωνιακή απόκλιση θ ως συνάρτηση της απόστασης. Τέλος ορίζουμε το αξονικό μήκος κατά το οποίο το μέγεθος της δέσμης δεν μεγαλώνει παραπάνω από τον παράγοντα. Σε αυτό το μήκος η αξονική ένταση της δέσμης δεν μειώνεται κάτω από το μισό της μέγιστης τιμής της. Το μήκος αυτό που ισούται με δυο φορές το μήκος aleigh ονομάζεται βάθος εστίασης depth o ocus conocal paraeter. 4
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα Σχ. 3.8. Το βάθος πεδίου Γκαουσιανής δέσμης. Μετά την εισαγωγή του μήκους aleigh οι σχέσεις 3.8 3.3 γράφονται πιο απλά ως εξής: tan 3.33.a 3.33.b 3.33.c Παράγοντας φάσης ep[-ik+r /-φ] Κατά τον άξονα διάδοσης της δέσμης r = η φάση της δέσμης είναι k-φ. k είναι η φάση του επιπέδου κύματος. H φ αντιστοιχεί σε ένα προβάδισμα φάσης που δίνεται από τη σχέση 3.33c και παίρνει τιμές από π/ για = - έως π/ για = +. Αντιστοιχεί δε στο προβάδισμα φάσης του μετώπου κύματος σε σχέση με ένα επίπεδο ή σφαιρικό κύμα. Η ολική φάση αθροιστικά από = - έως = + είναι π και το φαινόμενο ονομάζεται φαινόμενο Gou. Ο παράγοντας φάσης kr / είναι υπεύθυνος για την κύρτωση του μετώπου κύματος και την απόκλιση από το σφαιρικό μέτωπο κύματος. Παριστάνει την απόκλιση της φάσης για τα σημεία δεδομένου επιπέδου κάθετου στο άξονα εκτός του άξονα. Οι ισοφασικές επιφάνειες είναι παραβολοειδείς. Μια γραφική παράσταση αυτών φαίνεται στο σχήμα 3.9 ενώ στο σχήμα 3. φαίνεται μια συγκριτική απεικόνιση επιπέδων Γκαουσιανών και σφαιρικών κυμάτων. Σχ. 3.9. Μέτωπα κυμάτων Γκαουσιανής δέσμης 4
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 4 Σχ. 3.. Μέτωπα α επιπέδου κύματος b σφαιρικού κύματος c Γκαουσιανής δέσμης. Παράδειγμα: Εστίαση Γκαουσιανής δέσμης από λεπτό φακό. Έστω Γκαουσιανή δέσμη με ελάχιστο μέγεθος δέσμης και επίπεδο μέτωπο κύματος που προσπίπτει πάνω σε λεπτό φακό εστιακής απόστασης. Θέλουμε να υπολογίσουμε το ελάχιστο μέγεθος δέσμης καθώς και την απόσταση στην οποία συμβαίνει αυτό. Θεωρώντας τους πίνακες μεταφοράς ελεύθερης διάδοσης και διάδοσης από λεπτό φακό έχουμε για τον τελικό πίνακα διάδοσης Μ D C M / / / Η μιγαδική παράμετρος δέσμης / πριν το φακό είναι καθαρά φανταστική = για επίπεδο κύμα και γράφεται: όπου το μήκος aleigh που αντιστοιχεί στην ελάχιστη απόσταση. Η μιγαδική παράμετρος δέσμης / μετά το φακό γράφεται:
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 43 / / b a b b a a b a D C Η μιγαδική παράμετρος δέσμης / στο σημείο εστίασης της δέσμης είναι φανταστική εφόσον στο σημείο αυτό =. Επομένως το πραγματικό μέρος της προηγούμενης εξίσωσης δίνει: Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως η απόσταση στην οποία συμβαίνει το ελάχιστο μέγεθος της δέσμης είναι μικρότερο από την εστιακή απόσταση του φακού! Παρατηρείστε όμως ότι σε τυπικές συνθήκες είναι >> επομένως. Στη συνέχεια εξισώνοντας τα φανταστικά μέρη και λαμβάνοντας υπόψη ότι έχουμε: 3.34 Για τυπικές συνθήκες είναι >> οπότε προκύπτει το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα 3.35
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 44 Υψηλής τάξης λύσεις τρόποι Αποδεικνύεται υπάρχουν οικογένειες ιδιολύσεων της 3.5 που μπορούν να γραφτούν ως γινόμενα Γκαουσιανών συναρτήσεων και πολυωνύμων Herite. Για παράδειγμα για διάδοση στο ελεύθερο χώρο η ιδιολύση είναι: ep ep ~ l k H H l l 3.36 Για την χαμηλότερη τάξη λύση θέτουμε l = =. Επειδή το πολυώνυμο Herite μηδενικής τάξης είναι μια σταθερά η λύση αυτή δεν είναι άλλη από τη λύση της Γκαουσιανής στο ελεύθερο χώρο που μελετήσαμε. Αυτή η λύση ονομάζεται τρόπος ΤΕΜ Transverse lectric and Magnetic στην παραξονική προσέγγιση το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο της ακτινοβολίας είναι κάθετα στην διάδοση διεύθυνσης. Στο σχήμα 3. φαίνεται η ακτινική κατανομή του προφίλ των εντάσεων τρόπων ΤΕΜ διαφόρων τάξεων. Σχ. 3.. Προφίλ των εντάσεων τρόπων ΤΕΜ διαφόρων τάξεων.
Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα ΑΣΚΗΣΕΙΣ a Δείξτε ότι για την ελεύθερη διάδοση μέσα από υλικό πάχους d και δείκτη διάθλασης n d / n ο πίνακας μεταφοράς είναι M χρησιμοποιείστε το νόμο του Snell. b Ομοίως δείξτε ότι για διάδοση μέσα από λεπτό φακό ο πίνακας μεταφοράς είναι M Χρησιμοποιείστε τη σχέση για την εστίαση από λεπτό φακό /p + / / = /. Αποδείξτε ότι εάν ο πίνακας διάδοσης είναι M C D αντίστροφη διάδοση είναι ο τότε ο πίνακας για την D M. Χρησιμοποιείστε τη σχέση 3.3 και την C περιγραφή αντίστροφου πίνακα από την άλγεβρα δηλ. εάν d det c b. a a b τότε c d 3 Εάν ως λύση της κυματικής εξίσωσης Helhol k θεωρήσουμε την ~ συνάρτηση u ep k όπου η u είναι μια αργά μεταβαλλόμενη συνάρτηση δείξτε ότι η κυματική εξίσωση καταλήγει στην παραξονική u u u κυματική εξίσωση k. ~ 4 Αποδείξτε την σχέση 3.8-3.9 αντικαθιστώντας την δοκιμαστική λύση 3.7 στο ολοκλήρωμα 3.5. 5 Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3.4 3.6 και 3.7 δείξτε τις σχέσεις 3.8. 6 Έστω μια ΤΕΜ Γκαουσιανή δέσμη laser που παρέχεται από παλμικό Ti:Sapphire laser διαμέτρου δέσμης c μήκους κύματος λ = 8 n χρονικής διάρκειας παλμού τ = 5 s κι ενέργειας παλμού = 5 J. Η δέσμη εστιάζεται από λεπτό φακό εστιακής απόστασης =.5. Υπολογίστε τις παρακάτω ποσότητες: a. Το μήκος aleigh της δέσμης πριν εισέλθει στο φακό. b. Το ελάχιστο μέγεθος της δέσμης κατά την εστίαση. c. Το μήκος aleigh και το βάθος εστίασης. d. Την μέγιστη ένταση της δέσμης στην εστία I = r=. Μονάδες: W/c. e. Την μέγιστη ένταση της δέσμης σε απόσταση = από την εστία. Σημείωση: Τα παραπάνω δεδομένα και υπολογισμοί ανταποκρίνονται στις προδιαγραφές και καθημερινή χρήση του Ti:Sapphire laser του Κέντρου Εφαρμογών Laser του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. 45
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση. διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/vie.php? id=4.
Σημείωμα Αναφοράς Copright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής. «Φυσική των Laser. ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ». Έκδοση:.. Ιωάννινα 4. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/vie.php?i d=4.
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Coons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή Διεθνής Έκδοση 4. [] ή μεταγενέστερη. [] https://creativecoons.org/licenses/ b-sa/4./