1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x + 1.(x )(x 1) (x )(x 1) ή 1 Δ ( 3).. ( ) 9 + 16 5 > 0 ( 3) 5 Ρίζες: x 3 5 3 5 ή 3 5. Άρα x 3x (x )x 1 (x )(x + 1) ή 1
.i Να απλοποιήσετε την παράσταση: Περιορισμός x 3x 0 Για το τριώνυμο Α x 3x + Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 x 3x x 3x 3 1 ή 31 x 3x + 1.(x )(x 1) (x )(x 1) ή 1 Για το τριώνυμο Π x 3x Δ ( 3).. ( ) 9 + 16 5 > 0 ( 3) 5 Ρίζες: x 3 5 3 5 ή 3 5 ή 1. Άρα x 3x (x )x 1 (x )(x + 1) Ο περιορισμός γίνεται (x ) x 1 0 x 0 και x + 1 0 x και x 1 Τελικά x 3x x 3x (x 1)(x ) (x )(x 1) x1 x 1.ii Να απλοποιήσετε την παράσταση: Όπως στη (, θα είναι x 8x x 9 x 8x x 9 (x 7)(x 3) (x 3) (x 7)(x 7) x 7 με περιορισμό x 7 και x 7
3.iii Να απλοποιήσετε την παράσταση: Περιορισμός x 5x + 3 0 x 1x 9 x 5x 3 Για το τριώνυμο Α x 1x + 9 Δ ( 1).. 9 1 1 0 Διπλή ρίζα Άρα x 1 3. x 1x + 9 x 3 Για το τριώνυμο Π x 5x + 3 Δ ( 5).. 3 5 1 > 0 Ρίζες: x ( 5) 1. Άρα x 5x + 3 Ο περιορισμός γίνεται 3 5 1 6 3 ) x (x 3 ή 3 ή 1 x 3 (x 1) (x 3)(x 1) x (x 1) 0 x 1 0 και x 3 0 Τελικά x 1x 9 x 5x 3 (x 3) (x 3)(x 1) x 3 x1 x 1 και x 3
3. Για τις διάφορες τιμές του x, να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων x x 15 x x + 1 Δ ( ). 1. ( 15) + 60 6 > 0 Ρίζες: x ( ) 6. 1 8 5 ή 3 x 3 5 + x x 15 + 0 0 + x x + 13 Δ ( ).. 1 16 16 0 Διπλή ρίζα x 1. x 1/ + x x + 1 + 0 + i Δ ( ). 1. 13 16 5 36 < 0 x + x x + 13 +
5. Για τις διάφορες τιμές του x, να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων x + x 3 9 x + 6x 1 i x + x Δ ( 1). ( 3) 16 1 > 0 Ρίζες: x ( 1) 3 ή 1 x 1 3 + x + x 3 0 + 0 Δ 6 ( 9). ( 1) 36 36 0 Διπλή ρίζα x 6 1 ( 9) 3 x 1/3 + 9 x + 6x 1 0 i Δ. ( 1)( ) 8 < 0 x + x + x
6 5. Να λύσετε τις ανισώσεις : 5 x 0x 5 x 0x Ρίζες του τριωνύμου x x 0 x +3x x x x(x ) είναι 0 ή x 0 + x x + 0 0 + x x 0 0 x x[0, ] x + 3x x + 3x 0 Δ 3. 1( ) 9 + 16 5 > 0 3 5 Ρίζες του τριωνύμου x +3x : x 35 ή 1. 1 x 1 + x + 3x + 0 0 + x + 3x 0 x 1 x[, 1]
7 6. Να λύσετε τις ανισώσεις : x x > 0 x 3x 5 < 0 Δ 1 + 8 9 > 0, ρίζες του τριωνύμου x x : x 1 3 x 1 + x x + 0 0 + ή 1 x x > 0 x < 1 ή x > x(, 1) (, + ) Δ 9 + 0 9 > 0, ρίζες του τριωνύμου x 3x 5 : x 3 7 x 1 5/ + x 3x 5 + 0 0 + x 3x 5 < 0 1 < x < 5 x 1, 5 5 ή 1 7. Να λύσετε τις ανισώσεις : x + > x x + > x x + x > 0 x + 9 6x (x ) > 0 x με x x + 9 6x x + 9 6x 0 (x 3 ) 0 x 3 0 x 3
8 8. Να λύσετε τις ανισώσεις : x + 3x + 5 0 x 3x + 0 > 0 Δ 9 0 11 < 0 το τριώνυμο είναι ομόσημο του α 1, δηλαδή θετικό για κάθε x, άρα η ανίσωση είναι αδύνατη. Δ 9 160 151 < 0 το τριώνυμο είναι ομόσημο του α, δηλαδή θετικό για κάθε x, άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε x. 9. Να λύσετε την ανίσωση 1 ( x x + 3) > 0 1 ( x x + 3) > 0 Δ 16 1 > 0, x x + 3 < 0 ρίζες του τριωνύμου x x + 3 : x x 1 3 + x x + 3 + 0 0 + 3 ή 1 x x + 3 < 0 1 < x < 3 x(1, 3)
9 10. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει x 1 < x 1 < x < 1 x 1 < x και x < 1 x < 1 x 1 < x x x 3 > 0 Δ + 1 16 > 0, ρίζες του τριωνύμου x x 1 3 + x x 3 + 0 0 + 3 ή 1 x x 3 > 0 x < 1 ή x > 3 (1) x < 1 x < 16 x < < x < () Συναλήθευση των (1), () < x < 1 ή 3 < x < x - -1 3 x
10 11. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις x 6x + 5 < 0 και x 5x + 6 > 0. Για την ανίσωση x 6x + 5 < 0 Δ 36 0 16 > 0, ρίζες του τριωνύμου x 6 x 1 5 + x 6x + 5 + 0 0 + x 6x + 5 < 0 1 < x < 5 (1) 5 ή 1 Για την ανίσωση x 5x + 6 > 0 Δ 5 1, ρίζες του τριωνύμου x 5 1 x 3 + x 5x + 6 + 0 0 + 3 ή x 5x + 6 > 0 x < ή x > 3 () Συναλήθευση των (1), () 1 < x < ή 3 < x < 5 x 1 3 5 x
11 Β Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τις παραστάσεις: + και 6 Να απλοποιήσετε την παράσταση Για την παράσταση + Είναι τριώνυμο ως προς α (αντί x) Δ. 1. ( ) 6 + 8 9 0 9 3 Ρίζες του τριωνύμου ή Άρα + 1(α β)(α + β) (1) Για την παράσταση 6 Είναι τριώνυμο ως προς α (αντί x) Δ. 1. ( 6 ) + 5 0 5 5 Ρίζες του τριωνύμου 3 ή Άρα 6 1(α 3β)(α + β) () Περιορισμός 6 6 0 α 3β και α β (1), ( ) ( )( ) ( 3 )( ) 3
1. Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο x + (β α)x αβ Δ (β α ) + 8αβ αβ + + 8αβ + αβ + (β + α ) 0, ( ) ( ) ( ) x ή ή ή β Άρα x + (β α)x αβ x (x + β) (x α) (x + β) 3. Να απλοποιήσετε την παράσταση Για τον αριθμητή που γράφεται Δ (α β ) + αβ αβ + + αβ x x x x 3x x (α β)x αβ + αβ + (α + β ) 0 ( ) ( ) ( ) x ή ή α ή β Άρα x (α β)x αβ (x α)(x + β) (1) Για τον παρανομαστή Δ 9 8 0 x 3 α ή α Άρα x 3αx + (x α)(x α) () Περιορισμός x 3αx + 0 x α και x α (1), ( ) x x x x x 3x x
13. Δίνεται η εξίσωση λ x + 3λx + λ + 5 0, λ. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση : έχει ρίζες ίσες έχει ρίζες άνισες i είναι αδύνατη Για λ 0 η εξίσωση γίνεται 5 0 αδύνατη (1) Για λ 0 η εξίσωση είναι ου βαθμού έχει ρίζες ίσες Δ 0 9 λ(λ + 5) 0 9 0λ 0 5 0λ 0 λ 0 έχει ρίζες άνισες Δ > 0 9 λ(λ ) 0 λ 0 αφού λ 0 λ λ(λ + 5) > 0 9 0λ > 0 5 0λ > 0 λ > 0 λ(λ ) > 0 λ < 0 ή λ > λ λ 0 + λ + 0 0 + i είναι αδύνατη Δ < 0 9 λ(λ + 5) < 0 9 0λ < 0 5 0λ < 0 λ < 0 λ(λ ) < 0 0 < λ < () Από τις (1), () η εξίσωση είναι αδύνατη για 0 λ <
1 5. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση αληθεύει για κάθε x. x + 3λx + λ > 0 αληθεύει για κάθε x το τριώνυμο Δ < 0 x + 3λx + λ > 0 x + 3λx + λ είναι ομόσημο του α 1 για κάθε x 9 λ < 0 9 λ λ(9λ ) < 0 0 < λ < 9 λ 0 /9 + 9 - λ + 0 0 + 6. Δίνεται το τριώνυμο (λ + ) x λx + 3λ, λ. Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να λύσετε την ανίσωση Δ < 0 Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση (λ + ) x λx + 3λ < 0, λ αληθεύει για κάθε x. Δ (λ + ). 3λ 1 λ 8 λ Δ < 0 8 λ < 0 + 3λ > 0 λ(λ + 3) > 0 λ < 3 ή λ > 0 + 3λ λ 0 /9 + 9 λ + 0 0 + (λ + ) x λx + 3λ < 0 αληθεύει για κάθε x [το τριώνυμο (λ + ) x λx + 3λ είναι ομόσημο του α λ + για κάθε x και λ + < 0 ] Δ < 0 και λ + < 0 [λ < 3 ή λ > 0 ] και λ < Συναλήθευση λ < 3 x -3-0 x
15 7. Στο διπλανό σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς ΑΒ 3 και το Μ είναι ένα σημείο της διαγωνίου ΑΓ. Να βρείτε τις θέσεις του σημείου Μ πάνω στη διαγώνιο ΑΓ για τις οποίες το άθροισμα των εμβαδών των σκιασμένων τετραγώνων είναι μικρότερο του 5. Δ Η Ζ Μ Γ Θ Έστω ΑΕ x. Τότε ΕΒ 3 x ΜΘ. Α x Ε Β Άθροισμα των εμβαδών : Τ x + (3 x ) x + 9 6x + x x 6x + 9 Θέλουμε x 6x + 9 < 5 x 6x + < 0 (1) Δ 36 3 > 0, ρίζες x 6 Η (1) 1 < x < 6 ή 1 Εύρεση των ζητούμενων θέσεων του Μ. Πάνω στην πλευρά ΑΒ τοποθετούμε τα σημεία 1, έτσι ώστε Α 1 1 και Α. Από τα 1, φέρνουμε κάθετες στην ΑΒ, οι οποίες τέμνουν τη διαγώνιο ΑΓ σε σημεία 1,. Οι ζητούμενες θέσεις του Μ είναι τα εσωτερικά σημεία του τμήματος 1.
16 8. Να αποδείξετε ότι + > 0 για όλα τα, με, 0. Να καθορίσετε το πρόσημο της παράστασης τιμές των, 0. Α + 1 για τις διάφορες Πρόκειται για τριώνυμο ως προς α (αντί x) Δ 3 < 0 το + (άρα θετικό) για κάθε, 0. είναι ομόσημο του α 1, Α + 1 Επειδή ο αριθμητής είναι θετικός, το πρόσημο του κλάσματος θα είναι ίδιο με το πρόσημο του παρανομαστή. Επομένως : αν, ομόσημοι, τότε Α > 0 αν, ετερόσημοι, τότε Α < 0.