Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ); y = ax + β y = a x + β Ax + By + Γ = 0 A x + B y + Γ = 0 i. Έχει µία λύση : a A B a A B ii. Αδύατο σύστηµα: A B a = a, β β A = Γ B Γ iii. Αόριστο σύστηµα: A B a = a, β = β A = Γ B = Γ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΞΙΣΏΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΓΝΩΣΤΩΝ: i. Γραφικά : σχηµατίζουµε τις ευθείες και το κοιό τους σηµείο είαι η γραφική λύση του συστήµατος. ii. Μέθοδος τω ατίθετω συτελεστώ. iii. Μέθοδος της ατικατάστασης. ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ: i. Μέθοδος της ατικατάστασης. ii. Τεχάσµατα ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ: Έα σύστηµα το οποίο αποτελείται από περισσότερες εξισώσεις από τους άγωστους όρους λέµε ότι είαι συµβιβαστό α η λύση τους συστήµατος που προκύπτει από κάποιες εξισώσεις ικαοποιεί και τις υπόλοιπες.
Β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: Είαι η διαδικασία κατά τη οποία κάθε τιµή του χ ατστοιχείται σε µία και µόο τιµή του y. Η εξίσωση y=f(x) οοµάζεται και τύπος της συάρτησης χ: αεξάρτητη µεταβλητή y: εξαρτηµέη µεταβλητή ΤΡΟΠΟΙ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: i. Βελοειδές διάγραµµα ii. Γραφική παράσταση iii. Εξίσωση iv. Γράφηµα ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ (Π.Ο): Είαι οι πραγµατικές τιµές που παίρει το χ έτσι ώστε και το y α βγαίει πραγµατικός αριθµός. i. Α y = f ( x ), όπου f ( x ) πολυώυµο τότε Π.Ο. : x ii. f ( x ) Α y =, τότε g( x ) 0 g( x ) iii. Α y = f ( x ) ( ζυγή ρίζα), τότε f ( x ) 0 ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ (Π.Τ): Είαι οι πραγµατικές τιµές που παίρει το y έτσι ώστε και το χ α βγαίει πραγµατικός αριθµός. Για α βρούµε το Π.Τ. λύουµε το τύπο ως προς χ δηλ. χ= g( y ) και στη συέχεια εργαζόµαστε όπως και στο Π.Ο. ΕΥΘΕΙΑ: ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ: i. y = ax + β (είαι πλάγια ευθεία µε κλίση λ=α) x y
ii. y = a (είαι οριζότια ευθεία µε κλίση λ=0 ) iii. x = a (είαι κατακόρυφη ευθεία µε κλίση λ= ) ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ : i. y = ax + β, α έχει κλίση λ=α και περά από έα σηµείο ( x, y ) ii. y y = λ( x x) α έχει κλίση λ και περά από το σηµείο ( x, y ) ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ: i. λ = α α έχει εξίσωση y = ax + β ii. Α λ = Β α έχει εξίσωση Ax + By + Γ = 0 iii. y y λ = x x α περά από δύο σηµεία ( x, y) και ( x, y ) ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΩΝ: i. Ευθείες που τέµοται : λύω σύστηµα για α βρώ το κοιό σηµείο ii. Παράλληλες ευθείες : λ = λ iii. Κάθετες ευθείες : λ. λ =
ΠΑΡΑΒΟΛΗ: i. y = ax α>0 α<0 ii. y = ax ± β µετατοπισµέη στο ΥΥ άξοα β µοάδες y = ax + β y = ax β iii. = ( ± ) µετατοπισµέη στο ΧΧ άξοα β µοάδες y a x β y = a( x + β) y = a( x β) iv. y ax βx = + + γ µετατοπισµέη και στους άξοες Βήµατα σχηµατισµού:. Ελέγχω το πρόσηµο του α : α α >0 έχω MIN, α <0 έχω MAX β. Βρίσκω το άξοα συµµετρίας: x = α και τη κορυφή ( MIN/ MAX) µε ατικατάσταση στη εξίσωση. 3. Βρίσκω τα σηµεία τοµής µε τους άξοες (α υπάρχου) σ.τ. µε χχ άξοα θέτω y=0 σ.τ. µε yy άξοα θέτω χ=0 (το γ είαι το σηµείο τοµής µε το yy )
Γ. ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Νιοστή ρίζα ( x ) εός πραγµατικού αριθµού χ ορίζεται ο πραγµατικός αριθµός α για το οποίο ισχύει a = x Ιδιότητες :. x = α x= ± α α ζυγός αριθµός. = 3. x = x 4. χ χ = χ α µοός αριθµός = χ α ζυγός αριθµός 5. χ = χ α µοός αριθµός χ = δε ύπάρχει α ζυγός αριθµός 6. x. ψ = x. ψ 7. x ψ = x ψ 8. χ µ = χ µ Μετατροπή άρρητου παροοµαστή σε ρητό:. Α ο παροοµαστής είαι της µορφής a x πολλαπλασιάζω µε τη ρίζα του παροοµαστή και το αριθµητή και το παροοµαστή του κλάσµατος και κάω πράξεις. 3 π.χ 5. Α ο παροοµαστής είαι της µορφής x ± ψ πολλαπλασιάζω µε το συζυγή του παροοµαστή και το αριθµητή και το παροοµαστή του κλάσµατος και κάω πράξεις. 3 π.χ 5 +
Δ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. Επίλυση εξίσωσης β βαθµού ax + βx + γ = 0, a 0 i. Με παραγοτοποίηση ii. Με χρήση του τύπου x, β β 4αγ ± = α. Είδος τω ριζώ της εξίσωσης β βαθµού: Χρησιµοποιώ τη διακρίουσα Δ= β 4αγ i. Α Δ>0 η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άισες ii. iii. Α Δ=0 η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και ίσες (διπλή ρίζα) Α Δ<0 η εξίσωση έχει δύο ρίζες µη πραγµατικές 3. Άθροισµα τω ριζώ ( Sum): S = χ + χ = β α Γιόµεο τω ριζώ ( Product): P = χ. χ = γ α Και χ χ S + = P Ατίθετες ρίζες : S =0 και Ατίστροφες ρίζες : P = 4. Δηµιουργία εξίσωσης β βαθµου: χ -Sχ+P=0 5. Πρόσηµα τω ριζώ εξίσωσης β βαθµού: Ρίζες ετερόσηµες µε απόλυτα µεγαλύτερη τη θετική: P<0, S>0 Ρίζες ετερόσηµες µε απόλυτα µεγαλύτερη τη αρητική: P<0, S<0 Ρίζες οµόσηµες θετικές : Δ>0, P>0, S>0 Ρίζες οµόσηµες αρητικές : Δ>0, P>0, S<0 6. Συστήµατα β βθµού: Χρησιµοποιώ τη µέθοδο της ατικατάστασης χ ψ = 5 π.χ ψ + χψ =
7. Αάλυση τριωύµου ax + βx + γ Λύω τη εξίσωση και βρίσκω τις ρίζες x, και τις ατικαθιστώ στο τύπο ax + βx + γ = a( x x)( x x) 8. Πρόσηµο τριωύµουax + βx + γ Λύω τη εξίσωση και βρίσκω τις ρίζες x, και τις ατικαθιστώ στο πίακα προσήµω i. Α Δ=0 x χ πρόσηµο f(x) 0 πρόσηµο του α 0του α ii. Α Δ>0 x χ πρόσηµο f(x) 0 ατίθετο του α πρόσηµο του α χ πρόσηµο του α iii. Α Δ<0 x f(x) πατού το πρόσηµο του α 9. Αισώσεις β και αωτέρου βαθµού και κλασµατικές : Βρίσκω τις ρίζες και τοποθετώ σε πίακα προσήµω. Στις αισώσεις αωτέρου βαθµού ξεκιώ µε το πρόσηµο στο τελευταίο από δεξιά διάστηµα και προχωρώ εαλλάξ, εκτός α υπάρχει διπλή ρίζα όπου το πρόσηµο µέει το ίδιο δεξιά και αριστερά της. Στις κλασµατικές για τη ρίζα του παροοµαστή η f(χ) απειρίζεται. ( βάζω // ατί 0 κάτω από τη ρίζα)
Ε. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ Α. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ: το τετράπλευρο που έχει τις απέατι πλευρές του παράλληλες. Ιδιότητες:. Κάθε διαγώιος χωρίζει το παραλληλόγραµµο σε ίσα τρίγωα.. Οι απέατι πλευρές του είαι ίσες. 3. Οι απέατι γωιές του είαι ίσες. 4. Οι διαγώιοι του διχοτοµούται. Κριτήρια:. Οι απέατι πλευρές του α είαι παράλληλες.. Οι απέατι πλευρές του α είαι ίσες. 3. Οι απέατι γωιές του α είαι ίσες. 4. Οι διαγώιοι του α διχοτοµούται. 5. ύο απέατι πλευρές του α είαι ίσες και παράλληλες. Β. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ: το τετράπλευρο που έχει τις γωιές του ορθές. Ιδιότητες :. Όλες οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου.. Όλες οι γωιές του ορθές. 3. Οι διαγώιοι του είαι ίσοι. Κριτήρια:. Να έχει 3 ορθές γωιές.. Να είαι παραλληλόγραµµο και α έχει µία ορθή γωιά. 3. Να είαι παραλληλόγραµµο και οι διαγώιοι του α είαι ίσοι. Γ. ΡΟΜΒΟΣ: το τετράπλευρο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Ιδιότητες:. Όλες οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου.. Όλες οι πλευρές του είαι ίσες. 3. Οι διαγώιοι του τέµοται κάθετα. 4. Οι διαγώιοι του διχοτοµού τις γωιές του. Κριτήρια:. Να έχει 4 πλευρές ίσες.. Να είαι παραλληλόγραµµο και α έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. 3. Να είαι παραλληλόγραµµο και οι διαγώιοι του α τέµοται κάθετα. 4. Να είαι παραλληλόγραµµο και οι διαγώιοι του α διχοτοµού µια γωιά του.. ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ: το τετράπλευρο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωιές του ορθές. Ιδιότητες :. Όλες οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου.. Όλες οι ιδιότητες του ορθογωίου. 3. Όλες οι ιδιότητες του ρόµβου. Κριτήρια:. Να είαι παραλληλόγραµµο, ορθογώιο και ρόµβος ταυτόχροα.
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ:. Α ε ε ε 3 ε 4 ΑΒ=ΒΓ=Γ ΕΖ=ΖΗ=ΗΘ Α Β Ε Ζ ε ε Γ Η ε3 Θ ε4. Α µέσο της ΑΒ και Ε ΒΓ Ε µέσο της ΑΓ Α Ε Β Γ 3. Α µέσο της ΑΒ και Ε µέσο της ΑΓ Ε=// ΒΓ Α Ε Β Γ 4. Α ΑΒΓ ορθογώιο τρίγωο(α=90 ) και ΑΜ διάµεσος ΒΓ ΑΜ = Β Μ Α Γ 5. Α ΑΒΓ ορθογώιο τρίγωο(α=90 ) και Β= 30 Β 30 ΒΓ ΑΓ = Α Γ
Ζ. ΚΥΚΛΟΣ T E O A Z B Ο: κέτρο ΕΟA : Επίκετρη γωιά είαι κάθε γωιά µε κορυφή στο κέτρο του κύκλου. ΟΕ: ακτία ΖΕ: διάµετρος ΑΒ: χορδή ΑΒ: τόξο ΤΖΕ : Εγγεγραµµέη γωιά είαι κάθε γωιά µε κορυφή στη περιφέρεια του κύκλου και άκρα σηµεία της περιφέρειας του. ΟΗ: Απόστηµα είαι το ευθύγραµµο τµήµα κάθετο προς τη χορδή. ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ: a. Εφαπτοµέη κύκλου β. Τέµουσα κύκλου γ. Ξέα µεταξύ τους ΟΑ= R ΟΑ< R ΟΑ>R ΘΕΣΗ ΚΥΚΛΟΥ - ΚΥΚΛΟ: a. Εφαπτόµεοι εξωτερικά β. Τεµόµεοι κύκλοι γ. Ξέοι κύκλοι ΟΚ=R +R a.εφαπτόµεοι εσωτερικά ΟΚ=R -R
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΥΚΛΟΥ. Κάθε τόξο είαι ίσο µε τη ατίστοιχη επίκετρη γωιά του.. Κάθε επίκετρη γωιά είαι διπλάσια της ατίστοιχης εγγεγραµµέης. 3. Σε ίσα τόξα ή στο ίδιο τόξο ατιστοιχού ίσες εγγεγραµµέες γωιές. 4. Σε ίσα τόξα ατιστοιχού ίσες χορδές και ατίστροφα. 5. Η εγγεγραµµέη γωιά που ατιστοιχεί σε ηµικύκλιο (ή σε διάµετρο) είαι ορθή.
6. Τα δυο εφαπτόµεα τµήµατα που φέρουµε από σηµείο εκτός του κύκλου προς το κύκλο είαι ίσα. 7. Τα τόξα που περιέχοται µεταξύ δύο παράλληλω χορδώ είαι ίσα. 8. Η εφαπτοµέη εός κύκλου σε σηµείο του και η ακτία που καταλήγει στο σηµείο επαφής, είαι µεταξύ τους κάθετες. 9. Η γωιά που σχηµατίζεται από τη εφαπτοµέη εός κύκλου και µια χορδή του είαι ίση µε τη εγγεγραµµέη γωιά που ατιστοιχεί στη χορδή αυτή.
Η. ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ: Α Α' Β Γ Β' Γ'. Να έχου γωιές ίσες π.χ. Α=Α και Β=Β. Να έχου πλευρές αάλογες και τη περιεχόµεη τους γωιά ίση. ΑΒ ΑΓ π.χ. = και Α=Α Α' Β' Α' Γ ' 3. Να έχου 3 πλευρές αάλογες δηλαδή ΑΒ ΑΓ ΒΓ = = Α' Β' Α ' Γ ' Β' Γ '
Θ. ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ B A Γ ΒΔ, ΔΓ : προβολές. (ΑΒ) +(ΑΓ) =(ΒΓ) (ΑΒ) =(ΒΓ).(ΒΔ) (ΑΓ) =(ΒΓ).(ΓΔ) 3. (ΑΔ) =(ΒΔ).(ΔΓ) 4. (ΒΓ).(ΑΔ)=(ΑΒ)(ΑΓ)
Ι. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Θ Β Α Θ Γ απέατι ηµθ= υποτείουσα απέατι εφθ= προσκε ί µεη προσκε ί µεη συθ= υποτείουσα προσκε ί µεη σφθ= απέατι. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΝΩΣΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ θ ηµθ συθ εφθ σφθ 30 3 3 3 3 45 60 3 3 3 3 3. ΑΚΤΙΝΙΑ-ΜΟΙΡΕΣ π= 80 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ τεµθ = τεµ θ =+ εφ θ ηµ θ = συ θ συθ ηµ θ + συ θ = συ θ = ηµ θ στεµθ = ηµθ στεµ θ =+ σφ θ ηµθ εφθ = συθ συθ σφθ = ηµθ ( τεµθ: τέµουσα θ στεµθ: συτέµουσα θ) εφθ = σφθ σφθ = εφθ. σφθ = εφθ
5. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Η Ε Ο Σ O + : όλοι οι τριγ. αριθµοί θετικοί H + : µόο το ηµίτοο και η συτέµουσα θετικά E + : µόο η εφαπτοµέη και η συεφαπτοµέη θετικά Σ + : µόο το συηµίτοο και η τέµουσa θετικά 6. ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 80, 360 90, 70 Αρητική γωιά ηµ ηµ ηµ συ ηµ(-θ) - ηµθ συ συ εφ σφ εφ(-θ) - εφθ εφ εφ τεµ στεµ σφ(-θ) - σφθ * συ(-θ) συθ Προσοχή! ηµθ, συθ +