ΒΟΛΗ ΣΕ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΑΠΟ ΥΨΟΣ. Οι καμπλόγραμμες βολές θεωρούνται σύνθετες κινήσεις. Έτσι κάθε ανσματικό μέγεθος όπως ταχύτητα, επιτάχνση κλ.π θα αναλύεται σε δύο άξονες έναν οριζόντιο και ένα κατακόρφο. Στον κατακόρφο άξονα ενεργεί πάντα το βάρος και επομένως η κίνηση θα είναι εθύγραμμη ομαλά επιταχνομένη ή επιβραδνόμενη, με ή χωρίς αρχική ταχύτητα. Στον οριζόντιο άξονα η κίνηση θα είναι εθύγραμμη και ομαλή επειδή δεν ενεργούν δνάμεις κατά τη διεύθνση ατή. Οι βολές ατού το είδος χωρίζονται σε τέσσερις κατηγορίες. Σώμα βάλλεται από ύψος με αρχική ταχύτητα u 0, η οποία έχει οριζόντια διεύθνση. Κατά την οριζόντια κίνηση και κατά την κατακόρφο η κίνηση ισχύον οι σχέσεις F X =0 α X =0 α = κίνηση ομαλή F =B=m u X =u 0 u =t (14) Άξονας κίνηση ελεύθερη πτώση X = u 0.t (1) = 1 t (13) Η τελική ταχύτητα πο θα έχει το σώμα μόλις φτάνει στο έδαφος προκύπτει από την σύνθεση των u 0 και u 0 η δε διεύθνσή της δίνεται από την σχέση (15) u εϕφ = εϕφ = u o Πολλές φορές στην άσκηση ζητείται η εξίσωση της τροχιάς το σώματος η οποία παριστάνει με παραβολή. Ατή δίνεται από τις σχέσεις (1) και (13) με απαλοιφή το χρόνο t ολ δηλαδή: u o t.. = =. u o (16) η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΑΠΟ ΥΨΟΣ. Στις ασκήσεις ατής της κατηγορίας εργάζομαι ως εξής: O 0 Α 0 A 0 Η ταχύτητα στο σημείο Α όπως και σε κάθε άλλο σημείο της τροχιάς προκύπτει από τη σύνθεση της οριζόντιας σνιστώσας 0 και της κατακόρ φης σνιστώσας A. Pic b Cri Simopoulo
Ι. Κατασκεάζω σχήμα στο οποίο θα φαίνονται διαδοχικά τα διάφορα στάδια το φαινομένο. ΙΙ. Γράφω τις εξισώσεις για κάθε βολή πο εμφανίζεται στο πρόβλημα. ΙΙΙ. Προσέχω τις ειδικές σνθήκες IV. Εξετάζω ενεργειακά το πρόβλημα. V. Εξετάζω αν στο πρόβλημα εμφανίζονται και άλλα φαινόμενα όπως ατά της έκρηξης, κρούσης, διάσπασης, σνάντησης κ.λ.. και εφαρμόζω τος αντίστοιχος νόμος ή εξισώσεις. VI. Λύνω το σύστημα των εξισώσεων πο προκύπτει. ΒΟΛΗ ΥΠΟ ΓΩΝΙΑ ΠΡΟΣ ΤΑ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΥΨΟΣ. Σώμα βάλλεται από ύψος με αρχική ταχύτητα u 0 η οποία σχηματίζει με την κατακόρφο γωνία φ. Στην οριζόντια και στην κατακόρφη διεύθνση ισχύον οι σχέσεις: F X =0 α X =0 α = F =B=m Άξονας κίνηση ομαλή κίνηση ομ. επιταχ. με u 0 u X =u 0.ημφ u =u 0 σνφ+ t (0) X = u 0 ημφ.t (18) =u 0 σνφ t+ 1 t (19) Η τελική ταχύτητα πο έχει αποκτήσει το σώμα μόλις φτάνει στο έδαφος προκύπτει από την σύνθεση των ταχτήτων u X και u δηλ. προκύπτει: ημ ϕ + ( u σνϕ + t) (0) o o η διεύθνσή της δε, δίνεται από τη σχέση: u u σνϕ + t εϕϕ = = o (1) u u ημϕ o Η εξίσωση της τροχιάς δίνεται από τη σχέσεις (18) και (19) δια απαλοιφής το χρόνο t. Έτσι ΠΛΑΓΙΑ ΒΟΛΗ ΥΠΟ ΓΩΝΙΑ.. = εϕϕ. + u σν () ϕ o Σώμα βάλλεται από το έδαφος με αρχική ταχύτητα u 0, η οποία σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ. Iσχύον οι σχέσεις: 0 0 0 0 Η ταχύτητα σε κάθε σημείο της τροχιάς προκύπτει από τη σύνθεση της οριζόντιας σνιστώ σας 0 και της κατακόρφης 0. σνιστώσας Pic b Cri Simopoulo
F X =0 α X =0 α = κίνηση ομαλή F =B=m Άξονας κίνηση ομαλά επιβραδνόμ. u X =u 0.σνφ u =u 0 ημφ- t (3) X = u 0 σνφ.t (4) =u 0 ημφ t- 1 t (5) Ο ολικός χρόνος ανόδο, όπως είδαμε και στην περίπτωση της βολής σώματος κατακόρφα προς τα πάνω, δίνεται αν θέσομε =0 στην σχέση (5) δηλ την σχέση: u t =. 0.ημϕ (6) και ο χρόνος ανόδο από την (3) εάν θέσομε u =0 u tαν = 0.ημϕ (7) Επίσης το μέγιστο ύψος το οποίο θα φτάσει το σώμα δίνεται από u ma = 0 Φτάνοντας το σώμα στο έδαφος κτπά σ' ατό με ταχύτητα u και με γωνία ω ως προς τον ορίζοντα. Το μέτρο και η διεύθνση της ταχύτητας δίνονται από τις σχέσεις: σν ϕ + ( u ημϕ t) (9) o o u u ημϕ t εϕω = = o (30) u u σνϕ o Στην περίπτωση ατή θα πρέπει να εξακριβώσομε αν για δεδομένο ή ζητούμενο χρόνο το σώμα ανέρχεται ή κατέρχεται διότι όσο κάθε τιμή το ύψος, πάρχον δύο χρόνοι. Ο χρόνος ανόδο και ο χρόνος καθόδο. Ατό επιτγχάνεται με σύγκριση της χρονικής στιγμής με τον χρόνο ανόδο. Aν t<t αν το σώμα ανέρχεται, αν t>t αν το σώμα κατέρχεται. Η εξίσωση επίσης της τροχιάς το σώματος δίνεται από την σχέση:. = εϕϕ. + (31) u σν ϕ o 0 0 Ma 0 0 Προσέξτε ιδιαίτερα το μέγιστο ύψος όπο το σώμα έχει ταχύτητα την 0 και επομένως και κινητική ενέργεια. Η κατακόρφη σνιστώσα της ταχύτητας στο ύψος ατό είναι μηδέν. Pic b Cri Simopoulo
Στην περίπτωση ατή θα πρέπει να γνωρίζομε μερικές προτάσεις οι οποίες είναι πολύ χρήσιμες και χρησιμοποιούνται αρκετά σχνά στις ασκήσεις. Ατές είναι; 1. To βεληνεκές της βολής δίνεται από την σχέση (4) εάν αντικαταστήσομε σε ατή τον ολικό χρόνο κίνησης το σώματος (4)=> X = u 0 σνφ.. u0. ημϕ => =u 0 (. u0. ημϕ. σνϕ )=> => = u 0.ημϕ. Η οριζόντια απόσταση πο διανύει το σώμα μέχρι να φτάσει στο μέγιστο ύψος της τροχιάς το δίνεται από την σχέση (4) εάν αντικαταστήσομε σε ατή τον χρόνο ανόδο κίνησης το σώματος (4)=> X = u 0 σνφ. u 0.ημϕ =>. u0. ημϕ. σνϕ =u 0 => => = u.ημ ϕ 0 δηλαδή ισχύει = ' 3. Το βεληνεκές γίνεται μέγιστο όταν το ημφ παίρνει την μέγιστη τιμή το δηλ. ημφ=ma=1 => ημφ=ημ π => φ= π => φ= π 4 επομένως το μέγιστο βεληνεκές επιτγχάνεται για βολή πό γωνία 45 4. Για γωνίες σμπληρωματικές (π.χ. 0 και 70 ) επιτγχάνομε το ίδιο βεληνεκές αφού τα ημίτονα των σμπληρωματικών γωνιών είναι ίσα. 5. Η τελική ταχύτητα το σώματος την στιγμή πο κτπά στο έδαφος είναι ίση με την αρχική και η γωνία πτώσης ίση με την αρχική γωνία βολής αφού ισχύει u ημϕ σν ϕ + ( u ημϕ o ) o o σν ϕ + ( u ημϕ u ημϕ ) = u o o o o u u ημϕ t εϕω = = o u u σνϕ o εϕω = u ημϕ u ημϕ o o u σνϕ o u u ημϕ u ημϕ u ημϕ u εϕω = = o o εϕω = o = u u σνϕ u σνϕ u o o u εϕω = = εϕω ϕ = ω u 0 0 Ma 0 Σε όλες τις περιπτώσεις των ασκήσεων μπορούμε να πολογίσομε την ταχύτητα σε κάποια θέση με το ΘΜΚΕ και το χρόνο κίνησης με το ΘΩΟ. Pic b Cri Simopoulo 0
6. Επειδή η κίνηση το σώματος είναι σμμετρική και σε μικρή περιοχή μπορεί να θεωρηθεί ότι η τροχιά αποτελεί τμήμα κύκλο. Έτσι κατά την κίνηση το σώματος εμφανίζονται δύο επιταχύνσεις α) η επιτρόχιος επιτάχνση η οποία είναι εφαπτόμενη στην τροχιά και δίνεται από την σνιστώσα της επιτάχνσης βαρύτητας β) η κεντρομόλος επιτάχνση η οποία έχει την διεύθνση της ακτίνας και πολογίζεται όμοια από την δεύτερη σνιστώσα της επιτάχνσης βαρύτητας. Την στιγμή όμως πο το σώμα βρίσκεται στο μέγιστο ύψος της τροχιάς το δεν πάρχει σνιστώσα της επιτάχνσης βαρύτητας και επομένως και επιτρόχιος επιτάχνση. Στη θέση ατή η κεντρομόλος επιτάχνση είναι ίση με την επιτάχνση βαρύτητας και μπορούμε να πολογίσομε την ακτίνα καμπλότητας της τροχιάς από την σχέση R = u u R = ( 0. σνϕ ) γ k ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται όταν το σώμα βάλλεται από ύψος πάνω από το έδαφος μη αρχική ταχύτητα u 0 η οποία σχηματίζει με την οριζόντια γωνία φ. Η περίπτωση ατή αντιμετωπίζεται είτε με χωρισμό της κίνησης σε δύο νέες (αντίστοιχα περίπτωση 3 και ), είτε με τον εξής απλό τρόπο. Στην οριζόντια διεύθνση είναι εθύγραμμη και ομαλή ενώ στην κατακόρφη μπορεί να θεωρηθεί σαν επιταχνομένη της οποίας όμως η αρχική ταχύτητα έχει αντίθετη φορά από ατή πο κινείται το σώμα. Δηλ. F X =0 γ X =0 γ = F =B=m Άξονας κίνηση ομαλή κίνηση ομαλά επιταχ. με -u 0 u X =u 0.σνφ u =-u 0 ημφ+ t X = u 0 σνφ.t (3) =-u 0 ημφ t+ 1 t (33) 0 0 Προσέξτε ότι στο ανώτατο σημείο της βολής δεν πάρχει επιτρόχιος επιτάχνση. Η επιτάχνση δηλώνει την κεντρομόλο επιτάχνση στο σημείο ατό. Pic b Cri Simopoulo 0
Η λύση με τον τρόπο ατό είναι απλή ενώ με τον πρώτο τρόπο έχει πολλές πράξεις. Στην σνέχεια θα εξετάσομε μερικά παραδείγματα. 3η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΒΟΛΗ ΥΠΟ ΓΩΝΙΑ. Στις ασκήσεις ατής της κατηγορίας εργάζομαι ως εξής: Ι. Κατασκεάζω σχήμα στο οποίο θα φαίνονται διαδοχικά τα διάφορα στάδια το φαινομένο. ΙΙ. Γράφω τις εξισώσεις για κάθε βολή πο εμφανίζεται στο πρόβλημα. ΙΙΙ. Προσέχω τις ειδικές σνθήκες IV. Εξετάζω ενεργειακά το πρόβλημα. V. Εξετάζω αν στο πρόβλημα εμφανίζονται και άλλα φαινόμενα όπως ατά της έκρηξης, κρούσης, διάσπασης, σνάντησης κ.λ.π. και εφαρμόζω τος αντίστοιχος νόμος ή εξισώσεις. VI. Λύνω το σύστημα των εξισώσεων πο προκύπτει. Pic b Cri Simopoulo