ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6. Σώμα μάζας gr έχει προσδεθεί στην άκρη ενός ελατηρίου και ταλαντώνεται επάνω σε οριζόντιο δάπεδο χωρίς τριβή. Εάν η σταθερά του ελατηρίου είναι 5N / και το πλάτος της κίνησης 5c να βρεθούν α η ολική ενέργεια του συστήματος, β η κινητική και η δυναμική ενέργεια όταν το σώμα απέχει από την θέση ισορροπίας. γ Να υπολογιστεί η μέγιστη ταχύτητα και μέγιστη επιτάχυνση a a 4c επάνω του μικρό σώμα μάζας ταλάντωσης. a. δ Όταν το σώμα περνάει από τη θέση ισορροπίας προσκολλάται F gr. Να υπολογιστεί το νέο πλάτος της αρμονικής α Η μοναδική δύναμη που ασκείται πάνω στο σώμα είναι η δύναμη από το ελατήριο, η οποία είναι μία δύναμη επαναφοράς. Με βάση την εξίσωση του Νεύτωνα: F a ή a οπότε Διαιρώντας και τα δύο μέλη με τη μάζα του σώματος προκύπτει: Εισάγουμε την αντικατάσταση: οπότε η διαφορική εξίσωση γίνεται: Η αντικατάσταση δεν είναι μόνο ένας νέος βολικός συμβολισμός για το πηλίκο που εμφανίζεται στη διαφορική εξίσωση αλλά έχει φυσικό νόημα: το παριστάνει την κυκλική συχνότητα. Πώς αιτιολογείται ένας τέτοιος ισχυρισμός; Η απάντηση δίνεται με την βοήθεια της διαστατικής ανάλυσης. Η δύναμη σχετίζεται με
την απομάκρυνση μέσω της εξίσωσης: F [ F] του ελατηρίου είναι: [ ] [ ] F [ F] [ ] [ ] L [ F] M [ a] M. Οι διαστάσεις της σταθεράς Κατά συνέπεια οι διαστάσεις του πηλίκου L M είναι: M L Από την άλλη πλευρά οι διαστάσεις της κυκλικής συχνότητας είναι: [ ] γιατί η γωνία είναι αδιάστατο μέγεθος. Προκύπτει λοιπόν ότι το και το έχουν τις ίδιες διαστάσεις και αυτό δικαιολογεί τον ισχυρισμό ότι το περιγράφει την κυκλική συχνότητα της αρμονικής ταλάντωσης. Η διαφορική εξίσωση που προέκυψε είναι μία ομογενής γραμμική διαφορική εξίσωση γιατί το δεύτερο μέλος είναι ίσο με το μηδέν. Για τις ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις η συνάρτηση-λύση είναι της μορφής: συνάρτηση είναι ανάλογη του ~. Δηλαδή η. Αυτό θα μπορούσαμε να το γράψουμε σαν c. Για να μην εισάγουμε άλλη μια σταθερά, η οποία στο τέλος θα απαλειφθεί, προτιμάμε να το γράψουμε σαν ότι: ~. Παραγωγίζοντας προκύπτει ' ~ και ' ' ~ Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στη διαφορική εξίσωση αυτή γίνεται: ή Η εξίσωση ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση της γραμμικής διαφορικής και οι ρίζες της είναι: i δηλαδή: i Κατά συνέπεια προκύπτουν δύο ανεξάρτητες λύσεις για τη διαφορική εξίσωση οι i i οποίες είναι: και Όταν μία διαφορική εξίσωση έχει δύο ανεξάρτητες λύσεις τότε η συνολική λύση της θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των ανεξάρτητων λύσεων. Κατά συνέπεια η συνάρτηση-λύση της διαφορικής εξίσωσης θα είναι:
i i με: i. Στην έκφραση αυτή αντικαθιστούμε τα φανταστικά εκθετικά i cos isin και cos isin και προκύπτει: cos i sin cos i sin i i ή i i cos i sin C δηλαδή: cos C sin Ένα άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων, όπως αυτό της ισότητας cos C sin, γράφεται με πιο συμπαγή μορφή σαν: cos, όπου είναι η φάση. Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο προκύπτει η εξίσωση της ταχύτητας. d sin d Η κινητική ενέργεια είναι: K sin K cos K K cos Υπολογισμός της Δυναμικής ενέργειας: F dv d dv F d dv d V dv d, όπου έχουμε δεχθεί ότι η δυναμική ενέργεια είναι όταν η θέση του σώματος είναι. V. Η ολική ενέργεια είναι: E K V ή E K V
β Υπολογισμός της κινητικής ενέργειας όταν K, 5c 4c : 5,9,5,4, Joul 5 K 5 γ Από την εξίσωση είναι: προκύπτει ότι η μέγιστη ταχύτητα sin 5 a,5,5 / sc. Η συνάρτηση της επιτάχυνσης προσδιορίζεται παραγωγίζοντας την ταχύτητα ως προς το χρόνο. d cos οπότε d a a δ a 5,5,5 / sc Η διαφορική εξίσωση της κίνησης μετά την ενσωμάτωση της μικρής μάζας είναι: και η νέα κυκλική συχνότητα είναι: Η κίνηση γίνεται επάνω σε ένα άξονα και η αρχή διατήρησης της ορμής, τη στιγμή που το σώμα περνάει από τη θέση ισορροπίας, δίνει: ', λύνοντας ως προς το νέο πλάτος της Α.Τ.: ' και ' ΑΣΚΗΣΗ 6. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η θέση του δίνεται από τη σχέση: cos. Να αποδειχτεί ότι η ισότητα αυτή μπορεί να γραφτεί με τη 4
μορφή: cos C sin και να υπολογιστούν οι σταθερές συναρτήσει των και. Να αποδειχθεί το αντίστροφο. και C cos cos cos sin sin Κάνοντας χρήση της ταυτότητας αντικαθίσταται η ποσότητα cos στην εξίσωση της θέσης του σώματος: cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos C sin C όπου cos και C sin Αντίστροφα: Δίνεται ότι cos C sin και θα αποδειχθεί ότι: cos C cos sin θέτοντας cos an sin C an cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin ή cos, όπου ε cos Αυτό που μένει είναι να υπολογιστεί το πλάτος συναρτήσει των και C. cos cos C an an cos C C sin ή C sin ε Υψώνουμε τις εξισώσεις ε και ε στο τετράγωνο και προσθέτουμε κατά μέλη: C sin C cos sin C cos sin cos οπότε C C και an. Τελικά C cos 5
ΑΣΚΗΣΗ 6. Ένα σώμα μάζας έχει προσαρτηθεί στην άκρη ενός ελατηρίου σταθεράς. Να γράψετε τη διαφορική εξίσωση που διέπει την κίνηση του σώματος. Να αποδειχθεί ότι η θέση του σώματος δίνεται από μια εξίσωση της μορφής: cos i sin, όπου είναι η κυκλική συχνότητα και σταθερές. Τι πληροφορίες δίνει η λύση της διαφορικής εξίσωσης;, Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι η εξίσωση της κίνησης μπορεί να γραφτεί με τη cos. Δίνονται οι ακόλουθες αρχικές συνθήκες: Την χρονική μορφή: στιγμή η απομάκρυνση είναι και η ταχύτητα αρχικές συνθήκες στις εξισώσεις cos cos i sin. Εφαρμόστε τις και. Αποδείξτε ότι και στις δύο περιπτώσεις προκύπτει η ίδια εξίσωση κίνησης. Αριθμητική εφαρμογή: gr,,65n / c, 5 / sc Η μοναδική δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι η δύναμη από το ελατήριο. Η εξίσωση γίνεται: F a, διαιρώντας και τα δύο μέλη με την μάζα προκύπτει: Το πηλίκο έχει διαστάσεις γιατί [ F] [ ] [ ] L [ F] M [ a] M M L οπότε L M Κατά συνέπεια το έχει διαστάσεις ίδιες με αυτές της γωνιακής συχνότητας. [ ]. Με βάση τα παραπάνω θέτουμε εξίσωση γίνεται:. Η διαφορική Οι γραμμικές ομογενείς διαφορικές εξισώσεις έχουν λύσεις της μορφής: Με παραγώγιση προκύπτει: ' ~ και ~ '' ~ και αντικαθιστώντας στην διαφορική εξίσωση οπότε ή i ή i 6
Εισάγοντας τις τιμές του στην συνάρτηση ~ προκύπτουν δύο συναρτήσεις- i i λύσεις της διαφορικής εξίσωσης: ~ και ~. Οι συναρτήσεις αυτές είναι ανεξάρτητες η μία από την άλλη οπότε η συνάρτηση-λύση της διαφορικής εξίσωσης θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός τους i i Αξιοποιώντας την εξίσωση του Eulr i cos isin οι όροι i, i γίνονται: i cos isin και cos isin i i cos i sin i i i cos i sin Η συνάρτηση-λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι: cos i sin η οποία μπορεί να γραφεί με την μορφή cos, όπου cos i sin Η λύση της διαφορικής εξίσωσης πληροφορεί ότι η κίνηση είναι αρμονική. Από την διαφορική εξίσωση προσδιορίστηκε η κυκλική συχνότητα της αρμονικής ταλάντωσης. Όμως από την διαφορική εξίσωση δεν μπορεί να προσδιοριστεί το πλάτος της ταλάντωσης ούτε η φάση. Αυτά βρίσκονται εφαρμόζοντας τις αρχικές συνθήκες στις λύσεις και. Οι αρχικές συνθήκες λένε ότι την χρονική στιγμή που αρχίσαμε να παρατηρούμε το σώμα αυτό βρισκόταν στη θέση ισορροπίας και είχε ταχύτητα. Εισάγοντας την συνθήκη στην εξίσωση προκύπτει: cos i sin ή α cos i sin i sin Οπότε η γίνεται: i sin Παραγωγίζοντας την προκύπτει η συνάρτηση της ταχύτητας ' sin i cos, οπότε a a ' i cos, αλλά δίνεται ότι οπότε ' icos i και λύνοντας ως προς 7
i, εισάγοντας την τιμή που προσδιορίστηκε στην εξίσωση i προκύπτει ότι η εξίσωση της θέσης του σώματος είναι: i sin sin i Η sin είναι η μορφή που πήρε η εξίσωση, δηλαδή η λύση της διαφορικής εξίσωσης, αφού εισήγαμε τις αρχικές συνθήκες. Τώρα θα εισάγουμε τις αρχικές συνθήκες και cos cos cos αλλά cos, Ποια είναι η σωστή φάση, η ή ;, οπότε στην Για της θέσης του σώματος γίνεται: η εξίσωση cos d cos οπότε sin η οποία για d γίνεται: sin που δεν είναι σωστό γιατί από το πρόβλημα Για της θέσης του σώματος γίνεται: η εξίσωση cos d cos οπότε sin η οποία για d γίνεται: sin η οποί συμφωνεί με την σχέση Κατά συνέπεια η θα πάρει τη μορφή sin cos Παραγωγίζοντας την προκύπτει η εξίσωση της ταχύτητας: 8
' cos αλλά, οπότε cos Εισάγοντας την στην προκύπτει ότι: sin Συμπέρασμα: Εισάγοντας τις αρχικές συνθήκες cos i cos. η sin Αριθμητική εφαρμογή: sin Μετατροπή στο σύστημα μονάδων S.I., gr, και στις προκύπτει η ίδια εξίσωση κίνησης που είναι gr,,65n / c, 5 / sc N,65N,65 6, 5 c, N Η κυκλική συχνότητα είναι: 6,5, rad 65 5 sc 5 5 και sin5 ή, sin5 ΑΣΚΗΣΗ 6.4 Εισάγετε τις αρχικές συνθήκες και η ταχύτητα στις εξισώσεις cos i, και cos sin κυκλική συχνότητα, η φάση και περιπτώσεις προκύπτει η ίδια εξίσωση κίνησης. όπου είναι η, σταθερές. Αποδείξτε ότι και στις δύο Οι αρχικές συνθήκες λένε ότι την χρονική στιγμή που αρχίσαμε να παρατηρούμε το σώμα αυτό βρισκόταν στη θέση μέγιστης απομάκρυνσης και όπως αναμένεται, είχε ταχύτητα. Εισάγοντας την συνθήκη στην εξίσωση cos i sin 9
προκύπτει: cos i sin α Οπότε η γίνεται: cos i sin Παραγωγίζοντας την προκύπτει η συνάρτηση της ταχύτητας ' sin i cos, αλλά δίνεται ότι οπότε sin i cos i, αλλά οπότε: i. Αντικαθιστώντας στη προκύπτει ότι: cos Η cos είναι η μορφή που πήρε η εξίσωση, δηλαδή η λύση της διαφορικής εξίσωσης, αφού εισήγαμε τις αρχικές συνθήκες. Τώρα θα εισάγουμε τις αρχικές συνθήκες cos και στην cos cos αλλά, οπότε cos cos εισάγοντας την τιμή cos cos στην προκύπτει: cos Παραγωγίζοντας την ως προς τον χρόνο προκύπτει η εξίσωση της ταχύτητας: ' cos sin αλλά, οπότε sin cos an ή ή sin cos κατά συνέπεια: cos Τότε η θα γίνει cos cos Συμπέρασμα: Εισάγοντας τις αρχικές συνθήκες και στις cos i cos η cos. sin προκύπτει η ίδια εξίσωση κίνησης που είναι ΑΣΚΗΣΗ 6.5 Ένα σώμα μάζας εκτελεί αρμονική ταλάντωση πλάτους χωρίς απόσβεση. Αν την χρονική στιγμή είναι, 4 / sc και E 4Joul να
υπολογιστούν: α Η φάση της αρμονικής ταλάντωσης, β Η συχνότητα, γ Η σταθερά της αρμονικής ταλάντωσης και δ Η μάζα του σώματος.. α Η εξίσωση της κίνησης είναι cos Η ταχύτητα προκύπτει με παραγώγιση sin cos cos Εάν, τότε cos και sin οπότε για η εξίσωση της ταχύτητας θα είναι: sin δηλαδή: sin ενώ δίνεται ότι 4 / sc. Κατά συνέπεια οπότε cos β Υπολογισμός της κυκλικής συχνότητας: 4 rad 4/sc sin 4 4 sc γ E E 4Joul 8 4 N 6 δ,75g 6 ΑΣΚΗΣΗ 6.6 Ένα σώμα μάζας κινείται χωρίς τριβές με ταχύτητα επάνω σε ένα οριζόντιο τραπέζι και συγκρούεται με ένα αβαρές ελατήριο σταθεράς. Το ελατήριο συμπιέζεται και στη συνέχεια το σώμα εκτινάσσεται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Για πόσο χρόνο το ελατήριο θα βρίσκεται σε επαφή με το σώμα; Ποια είναι η μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου; Δεν υπάρχουν τριβές.
Το σώμα χτυπάει επάνω στο αβαρές ελατήριο στη θέση, το ελατήριο συσπειρώνεται και στη συνέχεια εκτινάσσεται μαζί με το σώμα. Επειδή το ελατήριο δεν έχει μάζα θα εκταθεί μέχρι τη θέση. Κατά συνέπεια το σώμα θα βρίσκεται σε επαφή με το ελατήριο για χρόνο ίσο με το μισό της περιόδου της ταλάντωσης που θα έκανε η μάζα εάν ήταν προσαρτημένη στο ελατήριο. Εάν η μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου είναι τότε από την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα είναι: οπότε ΑΣΚΗΣΗ 6.7 Το σώμα απομακρύνεται από την θέση ισορροπίας και αφήνεται ελεύθερο να ταλαντωθεί χωρίς τριβές. Να υπολογιστεί η τιμή της ισοδύναμης σταθεράς των δύο ελατηρίων. Καθένα από τα ελατήρια επιμηκύνεται με δύναμη μέτρου F, η οποία προκαλεί στα δύο ελατήρια επιμηκύνσεις και. Από τον ο νόμο F. Το ισοδύναμο ελατήριο δέχεται δύναμη F και επιμηκύνεται κατά και ισχύει F. Εισάγοντας τις σχέσεις F και F στην προκύπτει: F F F ΑΣΚΗΣΗ 6.8 Το σώμα απομακρύνεται από την θέση ισορροπίας και αφήνεται ελεύθερο να ταλαντωθεί χωρίς τριβές. Να υπολογιστεί η τιμή της ισοδύναμης σταθεράς των δύο ελατηρίων.
ίδια κατεύθυνση. Οπότε Εάν το σώμα μετατοπιστεί κατά το ένα ελατήριο θα συμπιεστεί κατά και το άλλο θα επιμηκυνθεί κατά. Το σώμα θα δεχθεί δυνάμεις F F F F, άρα και F προς την ΑΣΚΗΣΗ 6.9 Ένα σώμα μάζας έχει προσδεθεί σε δύο λάστιχα όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα λάστιχα βρίσκονται υπό τάση. Το σώμα απομακρύνεται από την θέση ισορροπίας κατά μία μικρή απόσταση, που είναι κάθετη στην διεύθυνση που έχουν τα y δύο λάστιχα. α Υποθέστε ότι η τάση στα λάστιχα δεν μεταβάλλεται και υπολογίστε την δύναμη επαναφοράς. β Αποδείξτε ότι το σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση και υπολογίστε τη κυκλική συχνότητα. Η δύναμη επαναφοράς που δέχεται το σώμα είναι ίση με την προβολή των τάσεων επάνω στην κατεύθυνση y. F cos όπου η γωνία που σχηματίζει κάθε λάστιχο με τον φορέα του y. Η σχέση αυτή μπορεί να γραφτεί και σαν F sin, όπου η γωνία που σχηματίζει κάθε λάστιχο με τον φορέα των. Για μικρές γωνίες ισχύει: y y sin an, οπότε F. Από την τελευταία εξίσωση προκύπτει ότι η L L συνολική δύναμη που δέχεται το σώμα είναι δύναμη επαναφοράς με σταθερά. Κατά L συνέπεια: ΑΣΚΗΣΗ 6. L Σώμα μάζας έχει προσδεθεί σε ελατήριο σταθεράς και φυσικού μήκους και εκτελεί αρμονική ταλάντωση χωρίς τριβές. Υποθέστε ότι όλα τα τμήματα του ελατηρίου ταλαντώνονται σε φάση και ότι η ταχύτητα κάθε τμήματος είναι ανάλογη της απόστασής της από το σημείο πρόσδεση του ελατηρίου στον τοίχο, : η l ταχύτητα του σώματος. α Υπολογίστε τη κινητική ενέργεια του συστήματος ελατηρίουσώματος και β την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης. Η ολική κινητική ενέργεια ισούται με την κινητική ενέργεια του σώματος και του ελατηρίου L l
dk K d l l l d l l l l d l l K l l 6 K K K 6 M M Αφού η ισοδύναμη μάζα του ελατηρίου είναι η συχνότητα ταλάντωσης θα είναι: M ΑΣΚΗΣΗ 6. Ένας κύλινδρος ύψους H, ακτίνας πυκνότητας βυθισμένος κατά το μια μικρή επιπλέον απόσταση z R και πυκνότητας επιπλέει μέσα σε υγρό του ύψους του. Βυθίζουμε τον κύλινδρο κατά και εν συνεχεία τον αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Γράψτε τη διαφορική εξίσωση κίνησης του κυλίνδρου, υποθέτοντας ότι οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο είναι το βάρος του και η άνωση. Δείξτε ότι το σώμα εκτελεί ταλάντωση της μορφής z z cos όπου η κυκλική συχνότητα. Ο κύλινδρος ισορροπεί στο υγρό οπότε: F Vg R H g και F gv gr οπότε H g R H H gr Ο κύλινδρος βυθίζεται περεταίρω κατά z. Σε μια τυχαία χρονική στιγμή, όταν η επιπλέον βύθιση του κυλίνδρου είναι z, η δύναμη της άνωσης θα έχει μεταβληθεί και θα είναι: F H gr z. Τότε η συνισταμένη των δυνάμεων θα είναι: 4
H F F gr H gr z παίρνοντας υπόψη την γίνεται: H F gr H z gr z Εφαρμόζοντας τον Νόμο του Νεύτωνα F a gr d z z d d z d g R z R H R H gr z d z g z. Αντικαθιστώντας d H d z d g H, όπου d z συχνότητα, η διαφορική εξίσωση γίνεται: z. d Η λύση της εξίσωσης είναι της μορφής z z cos. g H η κυκλική ΑΣΚΗΣΗ 6.: μ Ένα σώμα μάζας 9g έχει προσδεθεί επάνω σε ένα ελατήριο σταθεράς N / το οποίο στηρίζεται ακλόνητα στον τοίχο. Το σύστημα σώματοςελατηρίου βρίσκεται σε ισορροπία επάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Ένα δεύτερο σώμα μάζας 7g σπρώχνεται επάνω στο σώμα και αναγκάζει το ελατήριο να συμπιεστεί κατά,. Στη συνέχεια το σύστημα αφήνεται ελεύθερο και τα δύο σώματα αρχίζουν να κινούνται προς τα δεξιά επάνω στο λείο δάπεδο. Την στιγμή που η μάζα φτάνει το σημείο ισορροπίας χάνει την επαφή με το σώμα μάζας το οποίο συνεχίζει την κίνηση προς τα δεξιά με ταχύτητα. α Να βρεθεί η 5
6 ταχύτητα. β Πόσο θα απέχουν τα δύο σώματα όταν το ελατήριο θα έχει το μέγιστο μήκος για πρώτη φορά απόσταση D ; Joul E,4 Joul E 8 6 sc,5 E E
ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6. Ένα σώμα μάζας έχει προσαρτηθεί στην άκρη ενός ελατηρίου σταθεράς. Να γράψετε τη διαφορική εξίσωση που διέπει την κίνηση του σώματος εάν η τριβή που ασκείται στο σώμα κατά την κίνησή του είναι ανάλογη της ταχύτητας, F b. F F b Το σώμα δέχεται τις δυνάμεις F a ή F, και F b από το δέπεδο. F F a ή b a ή b' ' ' b' b ' στην διαφορική εξίσωση εισάγουμε τις αντικαταστάσεις: b και. Οι διαστάσεις του είναι ταλαντούμενου συστήματος είναι b. οπότε δικαιολογημένα η ιδιοσυχνότητα του. Προσδιορισμός των διαστάσεων του F b b F [ F] [ b] [ ] b [ F]/[ ] M L [ F] M [ a] M b [ F] M L M L [ ] M L L M M b [] αλλά b οπότε b [ ] [ ] Εισάγοντας τις αντικαταστάσεις στην διαφορική εξίσωση αυτή γίνεται: 7
' Οι γραμμικές ομογενείς διαφορικές εξισώσεις έχουν λύσεις της μορφής: Με παραγώγιση προκύπτει: διαφορική εξίσωση γίνεται: ' ~ και ' ' ~ ~, αντικαθιστώντας η ή. Η διακρίνουσα της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι: 4 4 4 α Αν δηλ. οι ρίζες είναι, i i και η συνάρτηση-λύση της διαφορικής εξίσωσης γίνεται: cos C sin όπου cos C sin ή cos β Εάν δηλ. τότε οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι, p και η συνάρτηση-λύση της διαφορικής εξίσωσης p c c p όπου p γ Εάν δηλ. τότε οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι και η συνάρτηση-λύση της διαφορικής εξίσωσης, ΑΣΚΗΣΗ 6.4 Η κίνηση ενός σώματος που εκτελεί αρμονική ταλάντωση περιγράφεται από την εξίσωση: 6' 9. Τι είδους κίνηση κάνει το σώμα όταν και Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι κατά συνέπεια πρόκειται για, μια περίπτωση περιοδικής κίνησης κρίσιμης απόσβεσης, όπου η συνάρτηση-λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι a b 8
b d d a a b a b Λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων προκύπτει ότι: a, b οπότε: ΑΣΚΗΣΗ 6.5 Η κίνηση ενός σώματος που εκτελεί αρμονική ταλάντωση περιγράφεται από την εξίσωση: 5' 6. Τι είδους κίνηση κάνει το σώμα όταν και Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι κατά συνέπεια πρόκειται για μια περίπτωση περιοδικής κίνησης με υπεραπόσβεση, όπου η συνάρτηση-λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι a b d d a b a b a b Λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων προκύπτει ότι: a, b οπότε: Το εκθετικό ελέγχει τον ρυθμό με τον οποίο η γιατί είναι το εκθετικό που πηγαίνει πιο αργά στο σε σύγκριση με το προσεγγίζει το και αυτό. ΑΣΚΗΣΗ 6.6 Σώμα μάζας gr κινείται στον άξονα και δέχεται ελκτική δύναμη F 8 N προς την αρχή των αξόνων. Να βρεθούν: α Η διαφορική εξίσωση της κίνησης, η συνάρτηση της θέσης, η συνάρτηση της ταχύτητας, το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης. β Εάν το σώμα δεχθεί δύναμη F 4 N όπου ταχύτητα, να υπολογίσετε τα και. Δίνεται ότι και. η 9
α a a, αντικαθιστώντας ' ' 4 8, rad / sc. Χαρακτηριστική εξίσωση: Ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης:, i cos, sin συνθηκών: sin γίνεται: '' ή 4 d Εφαρμογή των αρχικών d cos, επειδή το πλάτος είναι θετικό από τις τιμές κρατάμε μόνο αυτές που δίνουν αποτέλεσμα +, δηλ. Όμως η φάση θα πρέπει να έχει μία μοναδική τιμή οπότε επιλέγουμε cos 4sin ά οπότε.. b b β a b a Αντικαθιστώντας rad / sc, rad / sc οπότε a Η διαφορική εξίσωση της κίνησης είναι: '' ' ή '' ' 4 Χαρακτηριστική εξίσωση: 4 Ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: C cos d C d cos Εφαρμογή των αρχικών συνθηκών:, i C sin C cos C sin an 6 4 C cos C οπότε: 6 cos / 6 5 5 4 5 6-5 Χρόνος sc
4 cos 6 4 cos sin 6 6 ΑΣΚΗΣΗ 6.7 Ένα σώμα είναι προσαρτημένο σε ένα ελατήριο σταθεράς N /. Η γραφική παράσταση δείχνει την μεταβολή της θέσης του κινητού συναρτήσει του χρόνου. α, Ποια είναι η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης;,5 β Υπολογίστε τον, συντελεστή γ Σε πόσο Θέση Κινητού παράγοντα ; ε Υπολογίστε την ιδιοσυχνότητα σώματος.,5, -,5 4 5 6 -, -,5 -, χρόνο η αρχική απόσταση του σώματος από το σημείο ισορροπίας μειώνεται για πρώτη φορά κατά ένα παράγοντα ; δ Σε πόσο χρόνο το αρχικό πλάτος μειώνεται κατά ένα του συστήματος και την μάζα του α Από την γραφική παράσταση φαίνεται ότι σε sc χωράνε περίπου περίοδοι. Ας πούμε, περίοδοι.,,5sc, Χρόνος sc 6,8 rad,5 sc β Η εξίσωση που περιγράφει την μεταβολή της θέσης του σώματος περιλαμβάνει δύο παράγοντες: cos ό ά Ο πρώτος περιγράφει την μείωση που υφίσταται το πλάτος και ο δεύτερος είναι το ταλαντωτικό μέρος. Για την απάντηση της ερώτησης χρειάζεται μόνο ο πρώτος παράγοντας. Από την γραφική παράσταση προκύπτει ότι το αρχικό πλάτος μειώνεται στην μισό της τιμής του σε χρόνο,5sc περίπου.
,5,5 ln,5 ln ln,5, sc γ Αγνοούμε την μείωση που υφίσταται το πλάτος στην διάρκεια της πρώτης περιόδου. Για η απομάκρυνση είναι μέγιστη κατά συνέπεια η φάση στον cos θα είναι ίση με μηδέν. Η συνάρτηση της θέσης ταλαντωτικό παράγοντα του κινητού θα είναι: cos. Όταν η απόσταση του σώματος από την θέση ισορροπίας γίνει θα ισχύει: cos cos Όταν το σώμα απέχει από το σημείο ισορροπίας απόσταση, οπότε ή sc 6 για πρώτη φορά είναι δ,6sc, ε Από την λύση της διαφορικής εξίσωσης ' προκύπτει ότι η συχνότητα ταλάντωσης για την περίπτωση της υπο-απόσβεσης είναι ίση με: Η ιδιοσυχνότητα υπολογίζεται από την σχέση 5g. 4,9, 4,9,rad / sc, οπότε η μάζα θα είναι ΑΣΚΗΣΗ 6.8 Το πλάτος ενός αρμονικού ταλαντωτή μειώνεται στο από n περιόδους. Να δειχθεί ότι, όταν και n 4 με απόσβεση και χωρίς απόσβεση αντίστοιχα. της αρχικής τιμής του μετά είναι οι περίοδοι Η κυκλική συχνότητα συνδέεται με την ιδιοσυχνότητα του ταλαντούμενου συστήματος μέσω της σχέσης οπότε,
cos είναι η συνάρτηση της θέσης σε μία αρμονική ταλάντωση με απόσβεση. Το πλάτος μειώνεται από σε σε χρόνο n. Επιπλέον, επειδή το ερώτημα αφορά στο πλάτος της αρμονικής ταλάντωσης θα είναι. cos cos cos n n n Εισάγουμε στην εξίσωση τις πληροφορίες του προβλήματος σε χρόνο n το πλάτος μειώνεται από σε. n n n n cos αντικαθιστώντας η γίνεται: 4 4 / n n n Και τελικά 4 n. ΑΣΚΗΣΗ 6.9 Ένα ταλαντούμενο σύστημα περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση 4 ' 4 ' '. Υπολογίστε τις συναρτήσεις της θέσης και της ταχύτητας εάν,. Λύση Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: 4 4 ή οπότε έχει μία διπλή ρίζα.. Το σύστημα χαρακτηρίζεται από κρίσιμη απόσβεση. Στην περίπτωση που η χαρακτηριστική εξίσωση έχει διπλή ρίζα η λύση της διαφορική εξίσωσης είναι:
4 Με παραγώγιση προκύπτει η συνάρτηση της ταχύτητας: d d Αρχικές συνθήκες: και οπότε, τελικά: 4 4 ΑΣΚΗΣΗ 6. Ένα ταλαντούμενο σύστημα περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση ' 4 ' '. Υπολογίστε τις συναρτήσεις της θέσης και της ταχύτητας εάν,. Λύση Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: 4, 4 και. Το σύστημα χαρακτηρίζεται από υπέρ-απόσβεση. Η λύση της διαφορική εξίσωσης είναι: Με παραγώγιση προκύπτει η συνάρτηση της ταχύτητας: d d Αρχικές συνθήκες: και οπότε, τελικά:
ΑΣΚΗΣΗ 6. : Ένα σώμα μάζας N 4, gr έχει προσαρτηθεί στην άκρη ενός ελατηρίου σταθεράς. Κατά την κίνησή του το σώμα δέχεται δύναμη τριβής της μορφής F b όπου η ταχύτητά του. Να γράψετε τη διαφορική εξίσωση που διέπει την κίνηση του σώματος και να υπολογίσετε την θέση του σώματος συναρτήσει του χρόνου εάν, για τις ακόλουθες περιπτώσεις α F,, β F και γ F. 4 ΛΥΣΗ: 4 5 Σε όλες τις περιπτώσεις το σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με απόσβεση. Οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι: F, F b, οπότε η εξίσωση F a θα γίνεται: F F a ή b a ή b' ' ' b' b ' στην διαφορική εξίσωση εισάγουμε τις αντικαταστάσεις: b και οπότε παίρνει τη μορφή: ' που είναι μία ομογενής διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση 4 της διαφορικής είναι:, όπου 4, sc b α F, 4 οπότε,4, sc είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης., Αλλά 44 4 56 οπότε το σώμα κάνει ταλάντωση με μικρή απόσβεση. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι:, i i6 δηλαδή η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης είναι: 6rad /sc. cos 6 d d cos 6 Εφαρμογή των αρχικών συνθηκών: 6sin 5
cos 6sin an arcan 6 4 Γενικά, εδώ 5 6 rad rad 6 5 5 4 cos, 5 5 cos / 5,8 οπότε:,5 cos6 5 b β F 4 οπότε 4, sc είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης., Αλλά οπότε το σώμα κινείται με κρίσιμη απόσβεση. Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα:. Στην περίπτωση που η χαρακτηριστική εξίσωση έχει διπλή ρίζα η λύση της διαφορική εξίσωσης είναι: Με παραγώγιση προκύπτει η συνάρτηση της ταχύτητας: d d Αρχικές συνθήκες: και οπότε 4, τελικά: 4 b γ F 5 οπότε 5, 5 sc είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης., Αλλά 5 65 4 5 οπότε το σώμα κινείται με υπεραπόσβεση. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι: 6
5 5 από όπου προκύπτουν δύο ρίζες αρνητικές και, άνισες 4 Η λύση της διαφορική εξίσωσης είναι: 4 Με παραγώγιση προκύπτει η συνάρτηση της ταχύτητας: d d 4 4 Αρχικές συνθήκες:, 4 4 και οπότε 8, τελικά: 8 4 Θέση κινητού,5,,5,,,,,,4,5 -,5 γ=/sc ''+γ'+ω = γ=5/sc γ=/sc Χρόνος sc ω =rad/sc 7
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6. Ένα σώμα μάζας, gr έχει προσδεθεί στην άκρη ενός ελατηρίου σταθεράς 6N / και ταλαντώνεται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Να βρεθεί η εξίσωση της θέσης του σώματος συναρτήσει του χρόνου όταν: α Δεν υπάρχουν δυνάμεις απόσβεσης και 4c /sc, β Εάν το σύστημα δέχεται δύναμη απόσβεσης F και c 76c /sc 8 δέχεται δύναμη απόσβεσης. γ Εάν το σύστημα F και αρμονική δύναμη διέγερσης F 5cos5 στην μόνιμη κατάσταση. 6 rad α 6 4, sc cos, d d Εφαρμογή των αρχικών συνθηκών. sin cos επειδή οπότε sin4,4 4sin,4,,,5,... οπότε:,sin4 b β F 8 οπότε 8, 4 sc ' και αντικαθιστώντας 4' 4 οπότε η χαρακτηριστική εξίσωση της διαφορικής είναι 4 4 είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης., Αλλά 4 4 οπότε το σώμα κινείται με κρίσιμη απόσβεση. Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα: 4. Στην περίπτωση που η χαρακτηριστική εξίσωση έχει διπλή ρίζα η λύση της 4 4 διαφορικής εξίσωσης είναι: 8
Με παραγώγιση προκύπτει η συνάρτηση της ταχύτητας: d 4 d 4 4 4 Αρχικές συνθήκες:,,,76 / sc 4, 76 και οπότε,4, τελικά:,,4 4 4 γ Όταν εφαρμόζεται δύναμη διέγερσης η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την εξίσωση του συστήματος γίνεται: 4 ' F cos και αντικαθιστώντας 4' 4 5cos5 και το σύστημα ταλαντώνεται με την κυκλική συχνότητα του διεγέρτη δηλαδή 5rad/ sc. Στην περίπτωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης το πλάτος στην μόνιμη κατάσταση δεν καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες αλλά από τα F / 5/, 5, 5 9 5 4 44,, : an 45 5 4 an 4 an 9 sin,5sin5,4 4 an 9,9,4rad ΑΣΚΣΗΣΗ 6. Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει μία εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με απόσβεση είναι: b' F sin, όπου η εξωτερική δύναμη διέγερσης b είναι F F sin. Εισάγοντας τις αντικαταστάσεις: και η F εξίσωση γίνεται: ' sin. Το πλάτος της ταλάντωσης δίνεται F από την εξίσωση: δηλαδή εξαρτάται από την σχέση που έχουν η ιδιοσυχνότητα του ταλαντούμενου συστήματος και η συχνότητα 9
του διεγέρτη. α Υπολογίστε την συχνότητα του διεγέρτη για την οποία το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο. β Υπολογίστε την συχνότητα του διεγέρτη για την οποία το πλάτος της ταχύτητας γίνεται μέγιστο. Για να είναι το πλάτος μέγιστο θα πρέπει ο F παρονομαστής να παίρνει ελάχιστη τιμή. Για αυτό αρκεί: d d d d αλλά d d και d d 8 d d οπότε η εξίσωση γίνεται: 8 Η εξίσωση της κίνησης είναι cos διεγέρτη, ένας παράγοντας φάσης και όπου η κυκλική συχνότητα του. F Η ταχύτητα θα είναι sin ταχύτητας θα είναι d, κατά συνέπεια το πλάτος της d F. Για να είναι μέγιστο το πλάτος της ταχύτητας θα πρέπει να γίνει μέγιστη η ποσότητα, αλλά για να αποφύγουμε την ρίζα στο παρονομαστή μπορούμε να αναζητήσουμε την τιμή του για την οποία γίνεται μέγιστο το τετράγωνο της ίδιας ποσότητας δηλ. το. Για αυτό αρκεί: d d 4 8 ή 8 4 8 ή δηλαδή: οπότε η μόνη μη-μηδενική τιμή της κυκλικής συχνότητας του διεγέρτη για την οποία το πλάτος της ταχύτητας γίνεται μέγιστο είναι
ΑΣΚΗΣΗ 6.4 Σε μία αρμονική ταλάντωση να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας για την περίπτωση ταλάντωσης: α με απόσβεση β χωρίς απόσβεση γ με απόσβεση και εξωτερική διέγερση. E V K dv d dk d dv d d d d d d d d d d d a a οπότε: d d d d de dv dk a a d d d α Στην περίπτωση της αρμονικής ταλάντωσης χωρίς απόσβεση η διαφορική εξίσωση de που περιγράφει την κίνηση είναι a οπότε a η οποία d λέει ότι στην περίπτωση αυτή η ενέργεια του συστήματος δεν μεταβάλλεται. β Στην περίπτωση της αρμονικής ταλάντωση με απόσβεση η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση είναι a b a b οπότε de a b η οποία λέει ότι στην περίπτωση αυτή η ενέργεια του d συστήματος μειώνεται και μάλιστα ο ρυθμός μείωσης της ενέργειας ισούται με την ισχύ που απορροφάται από την δύναμη απόσβεσης. γ Στην περίπτωση της αρμονικής ταλάντωσης με απόσβεση και αρμονική διέγερση η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση είναι a b F sin a F sin b οπότε: de d a F sin b η οποία λέει ότι στην περίπτωση αυτή ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα της ισχύος που προσφέρει στο σύστημα η διεγείρουσα δύναμη και της ισχύος που απορροφάται από την δύναμη απόσβεσης. ΑΣΚΗΣΗ 6.5 Σώμα μάζας 5gr εξαρτάται από κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς N /. Το σώμα δέχεται εξωτερική δύναμη F 5cos5 N και τριβή
N όπου η ταχύτητα. Να υπολογιστούν: α Η συχνότητα κα το πλάτος στη μόνιμη κατάσταση και β Η συνάρτηση της απομάκρυνσης Στην μόνιμη κατάσταση, δηλαδή όταν έχουν εκπνεύσει τα μεταβατικά φαινόμενα, η συχνότητα του ταλαντούμενου συστήματος είναι ίδια με την συχνότητα του διεγέρτη. F, F b, F 5cos5 F a F F F a ή b F cos a. ή b' F cos ' ' b b' F cos ή ' ' ' F cos Αντικαθιστώντας b ' ' F cos ή ' ',8' 4 5cos5 ' cos ή,4 5 sc 4 5 sc γίνεται: Το πλάτος της ταλάντωσης είναι: F / 5/ 5 6 6, 8 4 457 an 5,4 5 ΑΣΚΗΣΗ 6.6 an,4 5 an 5 4 an,9 rad 8 Ένα σύστημα ελατηρίου-μάζας εκτελεί κίνηση με κρίσιμη απόσβεση. Αν και, α Να υπολογιστεί η συνάρτηση της θέσης του σώματος συναρτήσει του χρόνου και β Να βρεθεί η χρονική στιγμή που μηδενίζεται η ταχύτητα. Ποια είναι τότε η θέση του κινητού; Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του συστήματος είναι: b' ή
b ' Αντικαθιστώντας: b και παίρνει τη μορφή: ' που είναι μία ομογενής διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση της διαφορικής είναι:. Το σύστημα εκτελεί κίνηση με κρίσιμη απόσβεση όταν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δηλαδή διπλή ρίζα οπότε η λύση της διαφορική εξίσωσης είναι: Με παραγώγιση προκύπτει η συνάρτηση της ταχύτητας: d d Αρχικές συνθήκες: οπότε τελικά: β Μετά τον προσδιορισμό των σταθερών από τις αρχικές συνθήκες, η ταχύτητα είναι: ή. όταν. Σε αυτή η χρονική στιγμή ή ΑΣΚΗΣΗ 6.7. Ένα σύστημα ελατηρίου-μάζας εκτελεί κίνηση με κρίσιμη απόσβεση. Αν και, α Να υπολογιστεί η συνάρτηση της θέσης του σώματος συναρτήσει του χρόνου και β Αν Να βρεθεί ότι το σύστημα διέρχεται από την θέση ισορροπίας μία φορά, να υπολογιστεί η χρονική στιγμή που συμβαίνει αυτό καθώς και η ταχύτητα διέλευσης. α Επειδή το σύστημα εκτελεί κίνηση με κρίσιμη απόσβεση η συνάρτηση της θέσης του σώματος είναι: Με παραγώγιση προκύπτει η συνάρτηση της ταχύτητας: d d Αρχικές συνθήκες:
4 τελικά: β Εισάγουμε την σχέση στην εξίσωση οπότε προκύπτει:. Όταν το σώμα περνάει από το σημείο ισορροπίας ή Υπολογισμός της ταχύτητας διέλευσης d d εισάγουμε τις τιμές των σταθερών, d d αντικαθιστούμε την τιμή του χρόνου και αντικαθιστούμε και προκύπτει.