ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που συναντάμε στα προβλήματα με τα οποία ασχολούμαστε είναι συναρτήσεις του χώρου, είτε βαθμωτές είτε διανυσματικές. Αν ο χώρος μεταβολής της συνάρτησης περιορίζεται στη μια διάσταση τότε γίνεται χρήση επικαμπύλιου ολοκληρώματος, στις δύο διαστάσεις γίνεται χρήση επιφανειακού ολοκληρώματος και στις τρεις ολοκληρώματος όγκου. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα χρησιμοποιούνται ευρέως στη φυσική και στις επιστήμες του μηχανικού. Ένα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μπορεί να μας απαντήσει σε βασικές ερωτήσεις π.χ. ποια είναι η μάζα ενός σύρματος του οποίου η πυκνότητα μεταβάλλεται κατά το μήκος του, ή ποιο είναι το έργο που καταναλώνεται για να μεταφερθεί ένα θετικό δοκιμαστικό φορτίο από ένα σημείο ενός ηλεκτρικού πεδίου σε κάποιο άλλο σημείο του πεδίου. Θα περιγράψουμε τα επικαμπύλια ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας τα δύο αυτά παραδείγματα που είναι χαρακτηριστικά για βαθμωτές και διανυσματικές συναρτήσεις αντίστοιχα. Γ.1.1 Βαθμωτή Συνάρτηση Θεωρούμε ένα σύρμα μήκους L. Αρχικά να πούμε ότι αν η γραμμική πυκνότητα μάζας λ, ήταν σταθερή σε το μήκος του, όπως φαίνεται στο Σχήμα Γ.1, τότε η μάζα του θα υπολογίζονταν με απλό γινόμενο της πυκνότητας με το μήκος
Ασύρματες Επικοινωνίες, Α.Κανάτας, Γ.Πάντος L dl dl 2 dl 1 2 1 Σχήμα Γ.1: Γραμμική πυκνότητα για επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. = λ L (Γ.1) Αν όμως η πυκνότητα είναι μεταβαλλόμενη κατά το μήκος του, δηλαδή είναι συνάρτηση τη θέσης πάνω στο σύρμα, τότε προκειμένου να υπολογίσουμε τη μάζα θα έπρεπε να διαιρέσουμε το σύρμα σε μια σειρά από μικρά τμήματα, τόσο μικρά ώστε να ισχύει η υπόθεση ότι η πυκνότητα είναι σταθερή κατά μήκος του τμήματος. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη μάζα κάθε τμήματος με το γινόμενο της πυκνότητας που αντιστοιχεί στο τμήμα και του μήκους του τμήματος και τέλος αθροίζουμε ώστε να υπολογίσουμε την ολική μάζα, δηλαδή dl (Γ.2) = 1 = λ Παρατηρήστε ότι η πυκνότητα για το στοιχειώδες μήκος dl είναι λ και ότι έχουμε θεωρήσει το πλήθος τμήματα. Αν υποθέσουμε ότι το μήκος του στοιχειώδους τμήματος τείνει στο μηδέν, τότε το άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα L 0 ( ) = λ l dl (Γ.3) Αυτό είναι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της βαθμωτής συνάρτησης λ ( l). Γ.1.2 Διανυσματική Συνάρτηση Θεωρούμε ότι υπάρχει ένα ηλεκτρικό πεδίο μέσα στο οποίο θέλουμε να μετακινήσουμε ένα θετικό δοκιμαστικό φορτίο. Η μετακίνηση αυτή συνεπάγεται την κατανάλωση κάποιου έργου από τη δύναμη που θα το μετακινήσει. Η δύναμη F, καθώς και η μετατόπιση dl, είναι διανύσματα. Αν τα δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά τότε το έργο είναι: 552
Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα: Παράρτημα Γ W = F dl (Γ.4) Αν όμως η μετατόπιση δεν είναι στην κατεύθυνση της δύναμης τότε πρέπει να υπολογίσουμε τη συνιστώσα της δύναμης στην κατεύθυνση της μετατόπισης και αυτή να λάβουμε υπόψη στον υπολογισμό του έργου W = F dl= F dl cosθ (Γ.5) όπου θ η γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων. Αν η δύναμη είναι ομοιόμορφη κατά μήκος όλου του μονοπατιού μετατόπισης τότε το μέτρο και η κατεύθυνση της παραμένουν σταθερά. Η γωνία όμως μεταξύ της δύναμης και της μετατόπισης μπορεί να μην είναι σταθερή. Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να χωρίσουμε τη μετατόπιση σε στοιχειώδεις μετατοπίσεις, να υπολογίσουμε το στοιχειώδες έργο για κάθε μια από αυτές και να αθροίσουμε ώστε να υπολογίσουμε το συνολικό έργο, όπως χαρακτηριστικά φαίνεται στο Σχήμα Γ.2. Η προβολή της δύναμης σε κάθε στοιχειώδη μετατόπιση είναι διαφορετική και το στοιχειώδες έργο είναι dw = F dl (Γ.6) Ενώ το συνολικό έργο F l (Γ.7) = 1 = 1 W = dw = d F Τέλος Αρχή Μονοπάτι μετατόπισης dl 1 1 F Σχήμα Γ.2: Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα σε διανυσματικό πεδίο. dl F 553
Ασύρματες Επικοινωνίες, Α.Κανάτας, Γ.Πάντος Υποθέτοντας ότι η στοιχειώδης μετατόπιση τείνει στο μηδέν, το συνολικό έργο κατά μήκος του μονοπατιού P, δηλαδή από την αρχή στο τέλος B είναι P B W = F dl= F dl (Γ.8) Να σημειωθεί ότι η κίνηση σε αντίθετη κατεύθυνση συνεπάγεται αλλαγή των άκρων ολοκλήρωσης και ισχύει B F dl= F dl (Γ.9) B Αν η δύναμη δεν είναι ομοιόμορφη τότε θα πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι το μέτρο και η κατεύθυνσή της μεταβάλλονται κατά μήκος του μονοπατιού. Αυτό είναι ένα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα και μπορεί να οριστεί για οποιοδήποτε διανυσματικό πεδίο και οποιοδήποτε μονοπάτι. Αν επιπλέον το μονοπάτι είναι κλειστό, δηλαδή επιστρέφουμε στο σημείο εκκίνησης, τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα καλείται κυκλοφορία (crculaton) και συμβολίζεται ως εξής Γ.2 Επιφανειακό Ολοκλήρωμα Κυκλοφορία = d l (Γ.10) Όπως στα επικαμπύλια ολοκληρώματα εξετάσαμε την περίπτωση της βαθμωτής συνάρτησης και της διανυσματικής συνάρτησης έτσι και στα επιφανειακά ολοκληρώματα θα μελετήσουμε τις αντίστοιχες περιπτώσεις με τη χρήση δύο παραδειγμάτων. Γ.2.1 Βαθμωτή Συνάρτηση Θεωρούμε την επιφάνεια με εμβαδόν που φαίνεται στο Σχήμα Γ.3. Αν η επιφανειακή πυκνότητα μάζας σ, δεν μεταβάλλεται με τη θέση στην επιφάνεια, δηλαδή με τις συντεταγμένες xy,, τότε η μάζα της επιφάνειας είναι P = σ (Γ.11) 554
Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα: Παράρτημα Γ Σταθερή Πυκνότητα Μεταβαλλόμενη Πυκνότητα ( xy, ) d x y 1 2 Σχήμα Γ.3: Επιφανειακή πυκνότητα. Αν όμως η επιφανειακή πυκνότητα μεταβάλλεται με τη θέση πάνω στην επιφάνεια, σ xy,, τότε για να υπολογίσουμε τη μάζα της δηλαδή έχουμε την συνάρτηση ( ) επιφάνειας θα πρέπει αρχικά να τη χωρίσουμε σε μικρά τμήματα δύο διαστάσεων, d, σε καθένα από τα οποία η συνάρτηση της επιφανειακής πυκνότητας, σ, είναι προσεγγιστικά σταθερή. Η μάζα της επιφάνειας υπολογίζεται τότε ως d (Γ.12) = 1 = σ Βέβαια προκειμένου η προσέγγιση να είναι ακριβής θα πρέπει το πλήθος των στοιχειωδών τμημάτων να είναι μεγάλο ώστε πράγματι η πυκνότητα να είναι σταθερή σε όλη τη στοιχειώδη επιφάνεια. Αν υποθέσουμε ότι αυτή τείνει στο μηδέν, τότε και το άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα (, ) = σ x y d (Γ.13) Αυτό είναι ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα της βαθμωτής συνάρτησης ( xy, ) επιφάνεια. σ στην Γ.2.2 Διανυσματική Συνάρτηση Για την περιγραφή του επιφανειακού ολοκληρώματος στην περίπτωση της διανυσματικής συνάρτησης πολλές φορές χρησιμοποιείται η έννοια της ροής ενός διανυσματικού πεδίου μέσα από μια επιφάνεια. Για παράδειγμα σε πολλά βιβλία γίνεται χρήση του παραδείγματος της ροής υγρών μέσα από πλαίσια, με ταχύτητα 555
Ασύρματες Επικοινωνίες, Α.Κανάτας, Γ.Πάντος n θ θ ˆn n Σχήμα Γ.4: Ροή ομοιόμορφου διανυσματικού πεδίου μέσα από επιφάνεια. που είναι χωρικά μεταβαλλόμενη, ενώ σε άλλα δίνεται απευθείας η ροή του ηλεκτρικού πεδίου. Η ροή ενός διανυσματικού πεδίου μέσα από μια επιφάνεια είναι ουσιαστικά η ποσότητα του πεδίου που ρέει μέσα από την επιφάνεια, όπως χαρακτηριστικά φαίνεται στο Σχήμα Γ.4. Παρατηρήστε ότι η επιφάνεια είναι διάνυσμα με μέτρο ίσο με το εμβαδόν της επιφάνειας και κατεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια, όπως ορίζεται από το μοναδιαίο διάνυσμα ˆn. Αν το πεδίο υπό εξέταση,, είναι ομοιόμορφο σε όλη την επιφάνεια η οποία επιπλέον είναι και κάθετη στην κατεύθυνση του πεδίου, τότε η ροή ορίζεται ως το γινόμενο του πλάτους του πεδίου με το εμβαδόν της επιφάνειας Φ= (Γ.14) Αν το πεδίο είναι μεν ομοιόμορφο αλλά η επιφάνεια δεν είναι κάθετη στο πεδίο, τότε η ροή υπολογίζεται με την συνιστώσα του πεδίου που είναι κάθετη στην επιφάνεια, δηλαδή συγγραμμική με το μοναδιαίο ˆn ως εξής Φ= = cosθ= nˆ = n = n (Γ.15) όπου ˆ n = n= cosθ, η συνιστώσα του πεδίου κάθετη στην επιφάνεια και n = = cosθ, η συνιστώσα της επιφάνειας κάθετη στο πεδίο. Στην πράξη όμως τα πεδία δεν είναι χωρικά ομοιόμορφα ενώ οι επιφάνειες δεν είναι υποχρεωτικά επίπεδες. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να χωρίσουμε την επιφάνεια σε στοιχειώδεις επιφάνειες όπως φαίνεται στο Σχήμα Γ.5. Κάθε στοιχειώδης επιφάνεια d, έχει διαφορετικό μοναδιαίο n ˆ, επειδή η κατεύθυνσή του αλλάζει με την καμπυλότητα της επιφάνειας. Θεωρούμε όμως ότι το εμβαδόν κάθε στοιχειώδους επιφάνειας είναι πολύ μικρό ώστε τόσο το μοναδιαίο n ˆ όσο 556
Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα: Παράρτημα Γ n ˆn θ Σχήμα Γ.5: Ροή χωρικά ανομοιόμορφου διανυσματικού πεδίου μέσα από καμπύλη επιφάνεια. και το πεδίο, που αντιστοιχεί στο εμβαδόν αυτό να είναι σταθερά σε όλο το εύρος της στοιχειώδους επιφάνειας. Για να υπολογίσουμε τη ροή του πεδίου μέσα από τη στοιχειώδη επιφάνεια αρκεί να προβάλουμε το πεδίο στο μοναδιαίο διάνυσμα n ˆ, προκειμένου να υπολογίσουμε τη συνιστώσα του πεδίου που είναι συγγραμμική με αυτό. Η συνολική ροή μέσα από όλη την επιφάνεια είναι Φ = d = n ˆ d (Γ.16) = 1 = 1 Αν οι διαστάσεις της στοιχειώδους επιφάνειας τείνουν στο μηδέν, τότε το άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα και η συνολική ροή μέσα από την επιφάνεια είναι Φ = d= n ˆ d (Γ.17) Αν η επιφάνεια είναι μια κλειστή επιφάνεια τότε γράφουμε Φ = d= nˆ d (Γ.18) Γ.3 Κυκλοφορία και Ροή Διανυσματικού Πεδίου Η κυκλοφορία και η ροή ενός διανυσματικού πεδίου είναι εξαιρετικά σημαντικά εργαλεία στην ανάλυση των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων και χρησιμοποιούνται πρωταρχικά από τις εξισώσεις του Maxwell. Θεωρούμε μια επιφάνεια και ένα διάνυσμα, σε ένα οποιοδήποτε σημείο της επιφάνειας, όπως φαίνεται στο Σχήμα Γ.6. Το διάνυσμα αυτό μπορεί να αναλυθεί 557
Ασύρματες Επικοινωνίες, Α.Κανάτας, Γ.Πάντος n d t1 t2 Σχήμα Γ.6: Συνιστώσες Διανύσματος επί επιφάνειας. σε τρεις συνιστώσες, μία κάθετη και δύο εφαπτομενικές συνιστώσες οι οποίες συμβολίζονται αντίστοιχα με τους δείκτες nt, 1, t 2, ως n, t, 1 t. 2 Το αποτέλεσμα της δράσης της κάθετης συνιστώσας είναι η εξερχόμενη ροή από την επιφάνεια, ενώ των εφαπτομενικών συνιστωσών είναι η κυκλοφορία γύρω από κλειστές γραμμές. Μαθηματικά η ροή και η κυκλοφορία ορίζονται ως εξής: Ροή μέσω ανοικτής επιφάνειας: Ροή μέσω κλειστής επιφάνειας: Κυκλοφορία σε κλειστή γραμμή : d n d (Γ.19) n d d (Γ.20) t dl d l l l (Γ.21) Για να χαρακτηρισθεί πλήρως το διάνυσμα πρέπει να υπολογιστούν και οι τρεις συνιστώσες του. Αν υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε το αποτέλεσμα της ροής και της κυκλοφορίας μπορούμε να υπολογίσουμε τις τρεις ζητούμενες συνιστώσες. Άρα εφαρμόζοντας μια φορά την εξίσωση της ροής προκύπτει η κάθετη συνιστώσα και δύο φορές τις εξισώσεις κυκλοφορίας, οι εφαπτομενικές συνιστώσες. Αξίζει να σημειώσουμε ότι η θετική φορά της ροής προκύπτει από τη φορά της κυκλοφορίας με εφαρμογή του κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία, όπως φαίνεται στο Σχήμα Γ.7. Ροή Ροή Κυκλοφορία Κυκλοφορία Σχήμα Γ.7: Θετική φορά για ροή και κυκλοφορία. 558