Eυθύγραµµο µεταλλικό σύρµα µήκους L τοποθετείται στον άξονα τρισορθογώνιου συστήµατος αξόνων Oxz ώστε το µέσο του να συµπί πτει µε την αρχή O των αξόνων. Tο σύρµα φέρει θετικό ηλεκτρικό φορτίο οµοιόµορφα κατανεµηµένο σε όλο το µήκος του µε γραµµική πυκνότητα φορτίου λ. i Nα βρείτε το δυναµικό ενός τυχαίου σηµείου M του επιπέδου Oz σε συνάρτηση µε τις συντεταγµένες z του σηµείου. ii Nα δείξετε ότι οι τοµές των ισοδυναµικών επιφανειών µε το επίπε δο Oz είναι ελλείψεις µε εστίες τις άκρες του σύρµατος. Πως προ κύπτουν από τις ελλείψεις αυτές οι ισοδυναµικές επιφάνειες του πεδίου του ηλεκτρισµένου σύρµατος; iii Nα βρείτε τις ορθογωνιακές τροχιές των ελλείψεων που αναφέρον ται στο προηγούµενο ερώτηµα. Tι εκφράζουν οι τροχιές αυτές; Nα δεχθείτε ότι το σύρµα βρίσκεται µόνο του στον άπειρο κενό χώρο. ΛYΣH: i Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα dρ του µεταλλικού σύρµατος σε απόσταση ρ από το µέσο του O. Tο στοιχείο αυτό φέρει στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο dq=λdρ και δηµιουργεί στο σηµείο M(z ένα στοιχειώδες δυναµικό dv το οποίο υπο ογίζεται από την σχέση: d 1 d 4 r = 1 d 4 z + ( - [ ] 1/ (1 Tο δυναµικό V του σηµείου M που οφείλεται στο συνολικό φορτίο του µεταλ λικού σύρµατος θα προκύψει µε ολοκλήρωση της (1 µε όρια ολοκλήρωσης για τη µεταβλητή ρ τα L και +L οπότε θα έχουµε: + L d 4 = - L z + ( - [ ] 1/ + L - d( - 4 - L z + ( - [ ] 1/ - ln -+ z + ( - +L 4 [ ] = -L ln + L + z + ( + L 4 - L + z + ( - L (
ii H σχέση ( αναφέρεται στα σηµεία του επιπέδου Oz που σηµαίνει ότι η εξίσωση V=C όπου C θετική παράµετρος εκφράζει µια µονοπαραµετρική οικο γένεια καµπύλων του επιπέδου αυτού οι οπoίες είναι οι τοµές των ισοδυναµι κών επιφανειών του ηλεκτρικού πεδίου που δηµιουργεί το σύρµα στον τρισδι αστατο χώρο µε το επίπεδο Oz. H εξίσωση αυτή γράφεται: ln + L + z + ( + L 4 - L + z + ( - L = C + L + z + ( + L - L + z + ( - L = C' (3 Σχήµα 1 Θέτοντας η (3 γράφεται: z + ( + L = A και z + ( - L = B + L + A - L + B = C' ( + L + A( + L - A( - L - B ( - L + B( - L - B( + L - A = C' [( + L - A ] ( - L - B [( - L - B ]( + L - A = C' - ( - L - B - ( + L - A = C' - L - B = C'( + L - A (4 όπου C θετική αδιάστατη ποσότητα. Aφαιρώντας από την (4 την +L+A=C (- L+B παίρνουµε την σχέση: -L - A - B = C'( + L - A - + L - B -L - A - B = C'(L - A - B -L - LC'= (A + B(1 - C' A + B = L(C'+1 C'-1 (5 H (5 εκφράζει ότι το άθροισµα των αποστάσεων του σηµείου M από τις άκρες του σύρµατος είναι σταθερό που σηµαίνει ότι το M ανήκει σε µια έλλειψη µε εστίες τις άκρες του σύρµατος. H εστιακή απόσταση της έλλειψης είναι f=l ο
µεγάλος ηµιάξονας είναι α=l(c +1/C -1 δηλαδή εξαρτάται από την τιµή του δυναµικού του σηµείου M ο δε µικρός ηµιάξονας έχει µήκος (α -f 1/. Δίνοντας στην παράµετρο C τιµές που αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιµές δυναµικού θα λάβουµε µια οικογένεια οµοεστιακών ελλείψεων µε εστίες τις άκρες του σύρ µατος οι οποίες απεικονίζουν τις τοµές των ισοδυναµικών επιφανειών του ηλεκτρικού πεδίου του σύρµατος µε το επίπεδο Oz. Στρέφοντας τις ελλείψεις αυτές περί το σύρµα θα λάβουµε τις ισοδυναµικές επιφάνειες του πεδίου οι οποίες έχουν την µορφή ελλειψοειδών εκ περιστροφής µε εστίες τις άκρες του σύρµατος. iii H εξίσωση της οικογένειας των ελλείψεων που αναφέρθηκαν στο προηγού µενο ερώτηµα έχει την µορφή: + z - f = 1 (6 όπου α παράµετρος εξαρτώµενη από την τιµή δυναµικού. Διαφορίζοντας την σχέση (6 έχουµε: + z - f = - f = - z 1 - f = - z f = 1 + z = f / 1 + z (7 Θέτοντας στην (6 όπου α το ίσο του από την (7 παίρνουµε την σχέση: 1 + z + f z 1 + z f - f 1 + z = 1 1 + z + f z 1 + z -f 1 + z = 1-1 + z z + z 1 + z z = -f 1 + z -z + z z = -f 1 + z - + z = -f (8
H (8 αποτελεί την διαφορική εξίσωση των οµοεστιακών ελλείψεων που εκφρά ζονται από την εξίσωση (6. Θέτοντας στην (8 όπου / το -1/( / θα λά βουµε την διαφορική εξίσωση των ορθογώνιων τροχιών των ελλείψεων αυτών η οποία έχει την µορφή: 1 - z + z = f - z - z = f ( - z - f = -z + z ( - z - f ' = -z 1 - ( * + (9 H (9 αποτελεί την διαφορική εξίσωση των ορθογώνιων τροχιών των οµοεστια κών ελλείψεων που εκφράζει η εξίσωση (6. Θα δείξουµε ότι οι εν λόγω τροχι ές είναι υπερβολές οµοεστιακές των ελλείψεων. Προς τούτο θεωρούµε την εξί σωση των υπερβολών αυτών η οποία έχει την µορφή: - z f - = 1 (1 Σχήµα όπου β θετική παράµετρος. Διαφορίζοντας την (1 παίρνουµε την σχέση: - z f - = f - = z f - 1 = z = f / 1 + z (11 Θέτοντας στην (1 όπου β το ίσο του από την (11 παίρνουµε την σχέση:
1 + z - f f z 1 + z 1 + z = 1 - f 1 + z - f z 1 + z z f = 1 1 + z z - z 1 + z = f z 1 + z z - z = f z 1 + z - z = f ( + z ( - z = f + z - z - z = f ( - z - f = z( - ( - z - f = z - 1 ( - z - f ' = -z 1 - ( * + H τελευταία σχέση ταυτίζεται µε την (9 γεγονός που σηµαίνει ότι οι ορθογώ νιες τροχιές των ελλείψεων που εκφράζει η (6 είναι οι υπερβολές που εκφρά ζει η (1 (Bλεπε σχήµα. Oυσιαστικά οι υπερβολές αυτές είναι οι τοµές των δυναµικών γραµµών του ηλεκτρικού πεδίου του ηλεκτρισµένου σύρµατος µε το επίπεδο Oz. P.M. fsikos
Ένα ευθύγραµµο µεταλλικό σύρµα ηµιαπείρου µήκους βρίσκεται στον άξονα Ox τρισορθογώνιου συστήµατος αξόνων Oxz µε το άκρο του να συµπίπτει µε την αρχή O. Tο σύρµα φέρει θετικό ηλεκτρικό φορτίο οµοιόµορφα κατανεµηµένο σε όλο το µήκος του µε γραµµική πυκνότητα φορτίου λ. i Nα βρεθεί το δυναµικό ενός τυχαίου σηµείου M του επιπέδου Oz σε συνάρτηση µε τις συντεταγµένες z του σηµείου θεωρώντας µηδε νικό το δυναµικό του σηµείου M (z. iinα δείξετε ότι οι τοµές του επιπέδου Oz µε τις ισοδυναµικές επι φάνειες του ηλεκτρικού πεδίου που δηµιουργεί το φορτισµένο σύρµα είναι παραβολές µε κοινή έστια το άκρο O του σύρµατος. Mε ποιό τρόπο προκύπτουν από τις παραβολές αυτές οι ισοδυναµικές επιφά νειες του πεδίου; iii Nα βρείτε τις ορθογώνιες γραµµές των παραβολών που αναφέρον ται στο προηγούµενο ερώτηµα. Tι εκφράζουν οι γραµµές αυτές; Nα δεχθείτε ότι το σύρµα βρίσκεται µόνο του στον άπειρο κενό χώρο. ΛYΣH: i Eπειδη το ένα άκρο του σύρµατος βρίσκεται στο άπειρο δεν επιτρέ πεται να θεωρήσουµε ως ισοδυναµική επιφάνεια µε µηδενικό δυναµικό µια επιφάνεια που βρίσκεται στο απειρο διότι αυτό ενδέχεται να προκαλέσει ασυ νέπεια στην συνάρτηση δυναµικού. Για τον λόγο αυτόν θα υπολογίσουµε το δυ ναµικό των σηµείων του επιπέδου Oz ως προς το σηµείο αναφοράς M(z Σχήµα 3 του οποίου το δυναµικό θεωρήθηκε κατά σύµβαση µηδενικό. Aς δεχθούµε επί του σύρµατος ένα στοιχείο µήκους dρ σε απόσταση ρ από το άκρο του O. Tο στοιχείο αυτό φέρει στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο dq=λdρ και δηµιουργεί στο σηµειό M ένα στοιχειώδες δυναµικό dv ως προς το σηµειo M το οποίο υπολο γίζεται από την σχέση: 1 d d 4 r - d = r 1 4 r - 1 d (1 r
όπου r r οι αποστάσεις του στοιχείου dρ από τα σηµεία M και M αντιστοίχως. Όµως για τις αποστάσεις αυτές ισχύουν οι σχέσεις: r = z + (- r = z + [ ] -1/ [ ] -1/ 1/r = z + (- 1/r = z + ( Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1 και ( έχουµε: d d 4 z + (- [ ] - d 1/ [ z + ] 1/ ' (3 Oλοκληρωνώντας την (3 µε όρια ολοκλήρωσης για την µεταβλητή ρ τα και + παίρουµε το δυναµικό του σηµείου M ως προς το σηµείο αναφοράς M οπότε θα έχουµε: + d 4 - [ z + ( - ] 1/ + ' d ( ( z + 1/ + d(- 4 - [ z + ( - ] 1/ + ' d ( ( z + 1/ (4 Tα δύο ολοκληρώµατα που παρουσιάζονται στην σχέση (4 είναι τυπικά και σ αυτά οι συντεταγµένες z του σηµείου M αποτελούν σταθερές ποσότητες αφού αναφερόµαστε σε συγκεκριµένο σηµείο. Για τα αντίστοιχα αόριστα ολοκληρώ µατα έχουµε: [ ] d( - [ z + ( - ] = ln - + 1/ z + ( - ( + d ( z + = ln + z 1/ (5 H σχέση (4 µε βάση τις (5 γράφεται: ( - ln ( + z + ln - + z + ( - 4 + ' ' ln - + z + ( - + ( 4 + z + * - +. (6
Όµως για ρ + ισχύει η σχέση: lim + - + z + ( - = + z + 1- (/+ (z/ + (1- / lim + 1+ z / +1 = 1 οπότε η σχέση (6 γράφεται: z ln (7 4 - + z + ii H σχέση (7 αναφέρεται στα σηµεία του επιπέδου Oz που σηµαίνει ότι η εξίσωση V=C όπου C θετική παράµετρος εκφράζει µια οικογένεια καµπύλων του επιπέδου Oz οι οποίες είναι τοµές των ισοδυναµικών επιφανειών του ηλεκτρικού πεδίου του σύρµατος µε το επίπεδο Oz. H εξίσωση αυτή έχει την µορφή: z ln = C - + z + = C' 4 - + z + z + = C'+ z + = C' + +C' z = C' +C' (8 όπου C θετική παράµετρος εξαρτώµενη από την τιµή δυναµικού. H (8 εκφ ράζει µια µονοπαραµετρική οικογένεια παραβολών που έχουν κοινή εστία το άκρο O του σύρµατος και άξονα συµµετρίας το σύρµα δηλαδή τον άξονα O. Περιστρέφοντας τις παραβολές αυτές περί τον άξονα O θα λάβουµε παραβολοει δή στερεά εκ περιστροφής των οποίων οι εξωτερικές επιφάνειες αποτελούν τις ισοδυναµικές επιφάνειες του ηλεκτρικού πεδίου του σύρµατος. iii Διαφορίζοντας την σχέση (8 έχουµε: z = C' C'= z/ (9 Aντικαθιστώντας την τιµή του C από την (9 στην (8 παίρνουµε την σχέση: z = z + z ' z 1 - ( * + = z 1 - = z (1 H (1 αποτελεί την διαφορική εξίσωση των οµοεστιακών παραβολών που εκφ ράζει η σχέση (8. Θέτοντας στην (1 όπου / το 1/(/ παίρνουµε την διαφορική εξίσωση των ορθογώνιων γραµµών των παραβολών αυτών η οποία έχει την µορφή:
1 - = - z - z = 1 (11 Για την λύση της (11 εκτελούµε τον µετασχήµατισµο z/=t από τον οποίο προ κύπτει: = tz = t + zdt / = t + zdt/ (1 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (11 και (1 έχουµε: t + z dt - t t + z dt = 1 t + zt dt + dt z - t - tz dt = 1 z dt = 1 + t z dt = (1 + t 1/ z = dt (1 + t 1/ (13 Oλοκληρώνοντας την (13 έχουµε: ln(t + t + 1 = lnz + ln t + t + 1 = z /z + / z + 1 = z + + z = z +z = (z - + z = z 4 + - z z = z 4 - z z = / + 1/ (14 Σχήµα 4 όπου α σταθερά ολοκλήρωσης η οποία παίζει ρόλο παραµέτρου. H σχέση (14 εκφράζει µια µονοπαραµετρική οικογένεια παραβολών που έχουν εστία το άκρο O του σύρµατος αλλα οι κορυφές τους βρίσκονται στα θετικά όπως θα δεί ξουµε στην συνέχεια. Πράγµατι θεωρώντας το σηµείο τοµής µιας παραβολής (Π που αντιστοιχεί στην (8 µε την αντίστοιχη ορθογώνια παραβολή (Π στο σηµείο αυτό οι κλίσεις των δύο παραβολών θα ικανοποιούν την σχέση:
' ' = -1 C' z * 1 = -1 C' z * = - z * (15 όπου z * η τεταγµένη του σηµείου τοµής των παραβολών (Π και (Π. Eπειδή C > από την (15 προκύπτει α< γεγονός που δικαιολογεί ότι οι ορθογώνιες γραµµές των παραβολών της εξίσωσης (8 έχουν τις κορυφές τους στα θετικά (βλέπε σχήµα 4. P.M. fsikos