8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίυ, 013 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: 1) Τ δκίμι απτελείται από πέντε (5) σελίδες και πέντε (5) θέματα. ) Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα τυ δκιμίυ. 3) Επιτρέπεται η χρήση μόν μη πργραμματιζόμενης υπλγιστικής μηχανής. 4) Δεν επιτρέπεται η χρήση διρθωτικύ υγρύ. 5) Επιτρέπεται η χρήση ΜΟΝΟ μπλε μελανιύ. (Οι γραφικές παραστάσεις μπρύν να γίνυν και με μλύβι). 6) Τα σχήματα των θεμάτων δεν είναι υπό κλίμακα. 7) Δίνεται: g = 9,81 m/s. ΘΕΜΑ 1 : (Μνάδες 15) Η πόρτα μάζας Μ = 3m και πλάτυς μπρεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές με τη βήθεια συστήματς περιστρφής. Μια μπάλα τυ bowling μάζας m βρίσκεται ακίνητη στ λεί πάτωμα και σε απόσταση s από τ σημεί περιστρφής όπως φαίνεται στ διπλανό σχήμα (κάτψη). Η πόρτα καθώς περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω συγκρύεται ελαστικά με την μπάλα με απτέλεσμα η μπάλα να κινείται χωρίς να περιστρέφεται ενώ η πόρτα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 1. τίχς S μπάλα σύστημα περιστρφής πόρτα ω τίχς Η ρπή αδράνειας της πόρτας είναι Ι π = ⅓ Μ αμελητές. α. Να αναφέρετε πιες αρχές της φυσικής ισχύυν. και χρόνς της κρύσης β. Να υπλγίσετε: i. την ταχύτητα της μπάλας μετά την κρύση σε σχέση μόν των s, και ω. (μν. 8) Σελίδα 1 από 5
ii. την απόσταση s, συναρτήσει μόν τυ, ώστε η μπάλα να κινείται με μέγιστη ταχύτητα. (μν. 5) ΘΕΜΑ : (Μνάδες 5) Ένα αμάξι μάζας Μ= 1,800 kg διαθέτει μηχανισμό συσπειρωμένυ αβαρύς ελατηρίυ σταθεράς k, πίς έχει τη δυνατότητα να εκτινάξει (σε ελάχιστ χρνικό διάστημα) κατακόρυφα πρς τα πάνω ένα μικρό σώμα μάζας m= 0,00 kg τ πί βρίσκεται ήδη πάνω στ αμάξι. Τ αμάξι είναι διαρκώς συνδεδεμέν με τ ένα άκρ ριζόντιυ ελατηρίυ σταθεράς k= 00 N/m και τ άλλ άκρ τυ ελατηρίυ είναι ακλόνητα συνδεδεμέν σε ένα τίχ. Θεωρείστε ότι ανάμεσα στ αμάξι και τ ριζόντι επίπεδ δεν υπάρχυν τριβές και η αντίσταση τυ αέρα είναι αμελητέα. Συμπιέζυμε τ ριζόντι ελατήρι κατά 0, m πρς τ αριστερά, στη θέση 1 (σχήμα 1) και τη στιγμή t 0 = 0s αφήνυμε τ σύστημα των δύ μαζών ελεύθερ να κινηθεί. (+) Θέση 1 Σχήμα 1 Θέση Σχήμα Να υπλγίσετε: Α) Την περίδ της ταλάντωσης, Β) Τ πλάτς της ταλάντωσης, Γ) Την αρχική φάση της ταλάντωσης, Δ) Την ενέργεια της ταλάντωσης, Ε) Την ταχύτητα τυ συστήματς όταν αυτό περνά από τη θέση ισρρπίας, Σελίδα από 5
ΣΤ) Την εξίσωση της ταχύτητας για τ χρνικό διάστημα 0 t T/. Τη στιγμή t 1 = 0,1π s, όπυ τ σύστημα βρίσκεται στη θέση (σχήμα ), τ σώμα μάζας m εκτξεύεται πρς τα πάνω (μέσω τυ μηχανισμύ συσπειρωμένυ αβαρύς ελατηρίυ σταθεράς k ). Η) Να δικαιλγήσετε γιατί τ σώμα μάζας m θα κάνει κατακόρυφη βλή πρς τα πάνω. Θ) Πια χρνική στιγμή t τ αμάξι μάζας Μ θα επιστρέψει στη θέση ; Ι) Με πόση ταχύτητα περνά από τη θέση ισρρπίας τ αμάξι μάζας Μ καθώς κινείται μεταξύ των στιγμών t 1 και t ; Κ) Να γίνει σε βαθμνμημένυς άξνες, η γραφική παράσταση της ταχύτητας τυ αμαξιύ ως πρς τ χρόν για τ χρνικό διάστημα 0 t t. (μν. 4) Λ) Να γίνει σε βαθμνμημένυς άξνες, η γραφική παράσταση της συνισταμένης δύναμης πυ ασκείται στ αμάξι ως πρς τ χρόν για τ χρνικό διάστημα 0 t 0,1475π s. (μν. 4) Μ) Να υπλγίσετε τ εμβαδόν της πρηγύμενης γραφικής παράστασης για τ χρνικό διάστημα 0,05π t 0,1475π s. (μν. 5) ΘΕΜΑ 3 : (Μνάδες 0) Α. 1. Πια ταλάντωση νμάζεται απλή αρμνική ταλάντωση;. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμνική ταλάντωση, η πία περιγράφεται από την εξίσωση: x=0,01ημ(0,785t), (x σε μέτρα και t σε δευτερόλεπτα, π=3,14). Να σχεδιάσετε σε βαθμλγημένυς άξνες τις γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με τ χρόν της απμάκρυνσης τυ σώματς από τη θέση ισρρπίας, x=x(t), της ταχύτητας τυ σώματς, u=u(t), και της επιτάχυνσης τυ σώματς,α=α(t). (μν. 6) K m m Β. Από την ρφή ενός ανελκυστήρα έχυν αναρτηθεί δύ ταλαντωτές: ένα ελατήρι στ πί έχει αναρτηθεί μια μάζα m και ένα απλό εκκρεμές. Η σταθερά τυ ελατηρίυ είναι K=10 N/m και τ μήκς τυ νήματς είναι =0,60 m. Τα σώματα στ ελατήρι και στ απλό εκκρεμές έχυν την ίδια μάζα, m=0,4 Σελίδα 3 από 5
Kg. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,81 m/s. Να εξηγήσετε με πι τρόπ θα πρέπει να κινείται ανελκυστήρας, έτσι ώστε ι δύ ταλαντωτές να έχυν την ίδια περίδ ταλάντωσης. (μν. 5) Γ. Στ άκρ νήματς μήκυς κρέμεται ένα κυλινδρικό δχεί ύψυς H. Τ δχεί είναι γεμάτ με νερό. Οι δύ βάσεις τυ κυλίνδρυ έχυν από μια μικρή τρύπα. Οι τρύπες είναι κλειστές με πώματα. Εκτρέπυμε λίγ τ σώμα από τη θέση ισρρπίας και αφαιρώντας τα πώματα αφήνυμε τ σώμα να εκτελέσει ταλάντωση. Θεωρύμε ότι τ σύστημα συμπεριφέρεται ως απλό εκκρεμές. Η αντίσταση τυ αέρα είναι αμελητέα. 1. Πια είναι η περίδς ταλάντωσης τυ σώματς μόλις τ ελευθερώσαμε;. Πια θα είναι η περίδς ταλάντωσης τυ σώματς όταν όλ τ νερό θα έχει χυθεί από τν κύλινδρ; 3. Να περιγράψετε τις μεταβλές (αν υπάρχυν) στην περίδ ταλάντωσης τυ σώματς από την έναρξη της ταλάντωσης μέχρι τη στιγμή πυ κύλινδρς θα αδειάσει από τ νερό. (μν. 3) Η ΘΕΜΑ 4 : (Μνάδες 0) Σανίδα μεγάλυ μήκυς Σ έχει μάζα Μ = 9 kg και με τη βήθεια τρχών, όπως στ σχήμα, μπρεί να κινείται ριζόντια χωρίς τριβές. Vo Σ 1 Σ Τ σώμα Σ 1 μάζας m = 0,9 kg είναι ακίνητ πάνω στη σανίδα και εμφανίζει με αυτή συντελεστή τριβής λίσθησης μ = 0,4. Τ βλήμα μάζας m βλ. = 0,1 kg κινείται με ταχύτητα v = 00 m/s, κατευθυνόμεν στ Σ 1. Αν η κρύση τυ βλήματς με τ Σ 1 είναι πλαστική και η διάρκεια της κρύσης είναι αμελητέα χρνικά να βρεθύν: α. Η κινή ταχύτητα βλήματς και Σ 1. (μν. 3) β. Η συνλική απώλεια μηχανικής ενέργειας. (μν. 4) γ. Τ χρνικό διάστημα από την κρύση μέχρι την απόκτηση κινής ταχύτητας. (μν. 6) Σελίδα 4 από 5
δ. Τ διάστημα πυ διατρέχει τ Σ 1 πάνω στ Σ ως πρς τ έδαφς μέχρι τ Σ 1 και Σ να απκτήσυν κινή ταχύτητα. (μν. 7) ΘΕΜΑ 5 : (Μνάδες 0) Η μγενής ράβδς ΑΒ έχει μάζα m και μήκς. Η ράβδς μπρεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφ επίπεδ γύρω από ριζόντι άξνα πυ διέρχεται από τ άκρ Α όπως φαίνεται στ διπλανό σχήμα. Η ράβδς B αρχικά είναι ακίνητη στην πάνω κατακόρυφη θέση (1). Στ άκρ 1 Β της ράβδυ βρίσκεται κλλημένη μικρή σφαίρας μάζας m. A α. Να υπλγίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδυ όταν φτάνει στην κάτω κατακόρυφη θέση (). (μν. 6) β. Να υπλγίσετε τη στρφρμή τυ συστήματς ράβδυ σφαίρας όταν φτάνει στην θέση. Όταν η ράβδς διέρχεται από τη θέση η σφαίρα απκλλάται από τη ράβδ. γ. Να διερευνήσετε αν η σφαίρα θα πέσει μέσα την πισίνα. πισίνα X = 5 4 έδαφς (μν. 6) δ. Όταν η σφαίρα απκλλήθηκε από ράβδς αυτή συνεχίζει να περιστρέφεται. Να υπλγίσετε τη γωνία πυ σχηματίζει η ράβδς με την πάνω κατακόρυφη θέση (1) όταν αυτή σταματά στιγμιαία. (μν. 6) Δίνεται η ρπή αδράνειας της ράβδυ Ι π = ⅓ m. Σελίδα 5 από 5
8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίυ, 013 Ώρα: 10:00-13:00 ΘΕΜΑ 1 : (Μνάδες 15) Πρτεινόμενες Λύσεις Η πόρτα μάζας Μ = 3m και πλάτυς μπρεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές με τη βήθεια συστήματς περιστρφής. Μια μπάλα τυ bowling μάζας m βρίσκεται ακίνητη στ λεί πάτωμα και σε απόσταση s από τ σημεί περιστρφής όπως φαίνεται στ διπλανό σχήμα (κάτψη). Η πόρτα καθώς περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω συγκρύεται ελαστικά με την μπάλα με απτέλεσμα η μπάλα να κινείται χωρίς να περιστρέφεται ενώ η πόρτα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 1. τίχς S μπάλα σύστημα περιστρφής πόρτα ω τίχς Η ρπή αδράνειας της πόρτας είναι Ι π = ⅓ Μ αμελητές. α. Να αναφέρετε πιες αρχές της φυσικής ισχύυν. και χρόνς της κρύσης β. Να υπλγίσετε: i. την ταχύτητα της μπάλας μετά την κρύση σε σχέση μόν των s, και ω. (μν. 8) ii. την απόσταση s, συναρτήσει μόν τυ, ώστε η μπάλα να κινείται με μέγιστη ταχύτητα. (μν. 5) Σελίδα 1 από 16
Λύση α. Η κρύση είναι ελαστική άρα εφαρμόζεται η Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας και η Αρχή Διατήρησης της Στρφρμής Από την Αρχή Διατήρηση της Κινητικής Ενέργειας Ε αρχ = Ε τελ Ε κιν.περ = Ε κιν + Ε κιν.περ ½.I. ω = ½ mu + ½.I. ω ½.⅓M. ω = ½ mu + ½. ⅓M. ω 1 1 ½.⅓.3m.. ω = ½ mu + ½. ⅓.3m. ω. ω = u +. ω. ω -. ω = u.( ω - 1 ω 1 )= u 1 1.( ω - ω 1 ).( ω + ω 1 )= u εξ.1 Από την Αρχή διατήρηση της στρφρμής αρχ = τελ πόρτα = πόρτα + μπάλας I. ω = I. ω 1 + m.u.s ⅓M. ω = ⅓M. ω 1 + m.u.s ⅓.3m.. ω = ⅓.3m.. ω 1 + m.u.s. ω =. ω 1 + u.s ( ω - ω 1 ) = u.s εξ..( ω - ω 1 ).( ω + ω 1 )= u ( ω - ω 1 ) = u.s u ( ω + ω 1 )= s u ω 1 = - s Διαιρώ την εξ.1 εξ. εξ.1 / εξ. ω εξ.3 Αντικατάσταση της εξίσωσης 3 στην εξίσωση ( ω - ω 1 ) = u.s u ω 1 = - s u ( ω - + s ω u ( ω - ) = u.s s ω ) = u.s Σελίδα από 16
.. ω - u s = u.s.. ω = u.s + u s.. ω = u.(s + ) s. s. ω = u.( ) s s ω0 u s ii. Για να κινείται η πόρτα με μέγιστη ταχύτητα η κινητική Ενέργεια περιστρφής της πόρτας μετά την κρύση μηδενίζεται. Ε αρχ = Ε τελ Ε κιν.περ = Ε κιν ½.I. ω = ½ m. u ½.⅓M. ω = ½ m. u m ax m ax ½.⅓.3m.. ω = ½ m. u m ax. ω = u εξ.1 m ax Αρχή Διατήρησης της Στρφρμής αρχ = τελ πόρτα = μπάλας I. ω = m. u m ax.s ⅓M. ω = m. u m ax.s ⅓.3m.. ω = m. u m ax.s. ω = u m ax.s εξ. Διαιρώ τις εξισώσεις εξ.1/εξ.. ω = u m ax. ω = u m ax.s ω = u max εξ.3 s Αντικαταστώ την εξίσωσή 3 στην εξίσωση. ω = u.s m ax ω = u max s Σελίδα 3 από 16
. u max = s u m ax.s = s = s ΘΕΜΑ : (Μνάδες 5) Ένα αμάξι μάζας Μ= 1,800 kg διαθέτει μηχανισμό συσπειρωμένυ αβαρύς ελατηρίυ σταθεράς k, πίς έχει τη δυνατότητα να εκτινάξει (σε ελάχιστ χρνικό διάστημα) κατακόρυφα πρς τα πάνω ένα μικρό σώμα μάζας m= 0,00 kg τ πί βρίσκεται ήδη πάνω στ αμάξι. Τ αμάξι είναι διαρκώς συνδεδεμέν με τ ένα άκρ ριζόντιυ ελατηρίυ σταθεράς k= 00 N/m και τ άλλ άκρ τυ ελατηρίυ είναι ακλόνητα συνδεδεμέν σε ένα τίχ. Θεωρείστε ότι ανάμεσα στ αμάξι και τ ριζόντι επίπεδ δεν υπάρχυν τριβές και η αντίσταση τυ αέρα είναι αμελητέα. Συμπιέζυμε τ ριζόντι ελατήρι κατά 0, m πρς τ αριστερά, στη θέση 1 (σχήμα 1) και τη στιγμή t 0 = 0s αφήνυμε τ σύστημα των δύ μαζών ελεύθερ να κινηθεί. (+) Θέση 1 Σχήμα 1 Θέση Σχήμα Να υπλγίσετε: Α) Την περίδ της ταλάντωσης, Β) Τ πλάτς της ταλάντωσης, Γ) Την αρχική φάση της ταλάντωσης, Δ) Την ενέργεια της ταλάντωσης, Σελίδα 4 από 16
Ε) Την ταχύτητα τυ συστήματς όταν αυτό περνά από τη θέση ισρρπίας, ΣΤ) Την εξίσωση της ταχύτητας για τ χρνικό διάστημα 0 t T/. Τη στιγμή t 1 = 0,1π s, όπυ τ σύστημα βρίσκεται στη θέση (σχήμα ), τ σώμα μάζας m εκτξεύεται πρς τα πάνω (μέσω τυ μηχανισμύ συσπειρωμένυ αβαρύς ελατηρίυ σταθεράς k ). Η) Να δικαιλγήσετε γιατί τ σώμα μάζας m θα κάνει κατακόρυφη βλή πρς τα πάνω. Θ) Πια χρνική στιγμή t τ αμάξι μάζας Μ θα επιστρέψει στη θέση ; Ι) Με πόση ταχύτητα περνά από τη θέση ισρρπίας τ αμάξι μάζας Μ καθώς κινείται μεταξύ των στιγμών t 1 και t ; Κ) Να γίνει σε βαθμνμημένυς άξνες, η γραφική παράσταση της ταχύτητας τυ αμαξιύ ως πρς τ χρόν για τ χρνικό διάστημα 0 t t. (μν. 4) Λ) Να γίνει σε βαθμνμημένυς άξνες, η γραφική παράσταση της συνισταμένης δύναμης πυ ασκείται στ αμάξι ως πρς τ χρόν για τ χρνικό διάστημα 0 t 0,1475π s. (μν. 4) Μ) Να υπλγίσετε τ εμβαδόν της πρηγύμενης γραφικής παράστασης για τ χρνικό διάστημα 0,05π t 0,1475π s. (μν. 5) Λύση Α)., = =0,π s. (μν. 0,5) Β). Γ). rad (όταν η εξίσωση της ταλάντωσης είναι x=x 0 ημ(ωt+φ 0 ) Ή (όταν η εξίσωση της ταλάντωσης είναι x=x 0 συν(ωt) Δ). E). Σελίδα 5 από 16
ΣΤ).. Η)., = 0,19π s. (μν. 0,5) υ(m/s),10 -,00 -,10 0 0,1π 0,9π 0,π 0,3π t(s) Σελίδα 6 από 16
(σχέδι μν.,5) ΣF(N) 40-40 0 0,05π 0,10π 0,1475π t(s) ΘΕΜΑ 3 : (Μνάδες 0) Α. 1. Πια ταλάντωση νμάζεται απλή αρμνική ταλάντωση;. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμνική ταλάντωση, η πία περιγράφεται από την εξίσωση: x=0,01ημ(0,785t), (x σε μέτρα και t σε δευτερόλεπτα, π=3,14). Να σχεδιάσετε σε βαθμλγημένυς άξνες τις γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με τ χρόν της απμάκρυνσης τυ σώματς από τη θέση ισρρπίας, x=x(t), της ταχύτητας τυ σώματς, u=u(t), και της επιτάχυνσης τυ σώματς,α=α(t). (μν. 6) K m m Σελίδα 7 από 16
Β. Από την ρφή ενός ανελκυστήρα έχυν αναρτηθεί δύ ταλαντωτές: ένα ελατήρι στ πί έχει αναρτηθεί μια μάζα m και ένα απλό εκκρεμές. Η σταθερά τυ ελατηρίυ είναι K=10 N/m και τ μήκς τυ νήματς είναι =0,60 m. Τα σώματα στ ελατήρι και στ απλό εκκρεμές έχυν την ίδια μάζα, m=0,4 Kg. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,81 m/s. Να εξηγήσετε με πι τρόπ θα πρέπει να κινείται ανελκυστήρας, έτσι ώστε ι δύ ταλαντωτές να έχυν την ίδια περίδ ταλάντωσης. (μν. 5) Γ. Στ άκρ νήματς μήκυς κρέμεται ένα κυλινδρικό δχεί ύψυς H. Τ δχεί είναι γεμάτ με νερό. Οι δύ βάσεις τυ κυλίνδρυ έχυν από μια μικρή τρύπα. Οι τρύπες είναι κλειστές με πώματα. Εκτρέπυμε λίγ τ σώμα από τη θέση ισρρπίας και αφαιρώντας τα πώματα αφήνυμε τ σώμα να εκτελέσει ταλάντωση. Θεωρύμε ότι τ σύστημα συμπεριφέρεται ως απλό εκκρεμές. Η αντίσταση τυ αέρα είναι αμελητέα. 1. Πια είναι η περίδς ταλάντωσης τυ σώματς μόλις τ ελευθερώσαμε;. Πια θα είναι η περίδς ταλάντωσης τυ σώματς όταν όλ τ νερό θα έχει χυθεί από τν κύλινδρ; 3. Να περιγράψετε τις μεταβλές (αν υπάρχυν) στην περίδ ταλάντωσης τυ σώματς από την έναρξη της ταλάντωσης μέχρι τη στιγμή πυ κύλινδρς θα αδειάσει από τ νερό. (μν. 3) Η Λύση Α. 1. Απλή αρμνική ταλάντωση νμάζεται η ταλάντωση, για την πία η απμάκρυνση τυ κινητύ από τη θέση ισρρπίας είναι ημιτνειδής ή συνημιτνειδής συνάρτηση τυ χρόνυ.. Από την εξίσωση της απλής αρμνικής ταλάντωσης πρκύπτει ότι η συγκεκριμένη ταλάντωση έχει πλάτς και περίδ. Η εξίσωση της ταχύτητας θα είναι Άρα. Η εξίσωση της επιτάχυνσης είναι. Άρα. (μν. 3) Οι γραφικές παραστάσεις, και φαίννται πι κάτω: Σελίδα 8 από 16
(μν. 3) Σελίδα 9 από 16
Β. Η περίδς ταλάντωσης κάθε ταλαντωτή, όταν ανελκυστήρας είναι ακίνητς, είναι ίση με: (μν.1) Η περίδς ταλάντωσης τυ σώματς στ ελατήρι δε θα αλλάξει από την κίνηση πυ θα κάνει ανελκυστήρας, αφύ σε αυτή την περίπτωση η δύναμη επαναφράς εξαρτάται από την επιπλέν επιμήκυνση τυ ελατηρίυ από τη θέση ισρρπίας. (μν.1) Αντίθετα, για τ απλό εκκρεμές η δύναμη επαναφράς είναι ίση με την ριζόντια συνιστώσα της τάσης τυ νήματς. Η τάση τυ νήματς είναι ίση σε μέτρ με τ βάρς τυ σώματς,, όταν ανελκυστήρας είναι ακίνητς ή κινείται με σταθερή ταχύτητα. Όταν ανελκυστήρας έχει επιτάχυνση με φρά πρς τα πάνω (δηλαδή, ανελκυστήρας επιταχύνεται κινύμενς πρς τα πάνω ή επιβραδύνεται κινύμενς πρς τα κάτω) η τάση τυ νήματς θα έχει μέτρ, ενώ όταν ανελκυστήρας έχει επιτάχυνση με φρά πρς τα κάτω (δηλαδή, ανελκυστήρας επιταχύνεται κινύμενς πρς τα κάτω ή επιβραδύνεται κινύμενς πρς τα πάνω) η τάση θα είναι. Όπως εύκλα απδεικνύεται, η περίδς ταλάντωσης τυ εκκρεμύς σε αυτές τις περιπτώσεις θα είναι και, αντίστιχα. Αφύ στν ακίνητ ανελκυστήρα η περίδς τυ απλύ εκκρεμύς ήταν μεγαλύτερη από την περίδ τυ σώματς στ ελατήρι, θα πρέπει να επιλέξυμε την κίνηση πυ θα ελαττώσει την περίδ τυ εκκρεμύς. Αυτή είναι η κίνηση, στην πία η επιτάχυνση έχει φρά πρς τα πάνω. Τ μέτρ αυτής της επιτάχυνσης μπρεί να υπλγιστεί εύκλα, όπως φαίνεται πι κάτω: Γ. 1. Αρχικά τ κέντρ βάρυς τυ κυλίνδρυ με τ νερό βρίσκεται στ μέσ τυ κυλίνδρυ. Άρα τ σώμα θα εκτελεί απλή αρμνική ταλάντωση με περίδ Σελίδα 10 από 16
. Όταν όλ τ νερό χυθεί, τ κέντρ βάρυς θα είναι και πάλι στ μέσ τυ κυλίνδρυ. Άρα η περίδς θα είναι και πάλι ίση με 3. Όταν τ νερό αρχίσει να χύνεται τ κέντρ βάρυς της στήλης τυ νερύ θα κατεβαίνει μετακινύμεν συνεχώς πρς τν πυθμένα τυ δχείυ. Τ κέντρ βάρυς τυ συστήματς αρχικά θα κατεβαίνει και αυτό κάτω από την αρχική τυ θέση. Στη συνέχεια, όσ ελαττώνεται η μάζα τυ νερύ στ δχεί τ κέντρ βάρυς τυ συστήματς θα ανυψώνεται μέχρι να φθάσει ξανά (όταν χυθεί όλ τ νερό) στ κέντρ τυ κυλίνδρυ. Άρα, η περίδς τυ εκκρεμύς αρχικά θα αυξάνεται και, αφύ φθάσει σε μια μέγιστη τιμή, στη συνέχεια θα ελαττώνεται μέχρι να πάρει την τιμή. ΘΕΜΑ 4 : (Μνάδες 0) Σανίδα μεγάλυ μήκυς Σ έχει μάζα Μ = 9 kg και με τη βήθεια τρχών, όπως στ σχήμα, μπρεί να κινείται ριζόντια χωρίς τριβές. Vo Σ 1 Σ Τ σώμα Σ 1 μάζας m = 0,9 kg είναι ακίνητ πάνω στη σανίδα και εμφανίζει με αυτή συντελεστή τριβής λίσθησης μ = 0,4. Τ βλήμα μάζας m βλ. = 0,1 kg κινείται με ταχύτητα v = 00 m/s, κατευθυνόμεν στ Σ 1. Αν η κρύση τυ βλήματς με τ Σ 1 είναι πλαστική και η διάρκεια της κρύσης είναι αμελητέα χρνικά να βρεθύν: α. Η κινή ταχύτητα βλήματς και Σ 1. (μν. 3) β. Η συνλική απώλεια μηχανικής ενέργειας. (μν. 4) γ. Τ χρνικό διάστημα από την κρύση μέχρι την απόκτηση κινής ταχύτητας. (μν. 6) δ. Τ διάστημα πυ διατρέχει τ Σ 1 πάνω στ Σ ως πρς τ έδαφς μέχρι τ Σ 1 και Σ να απκτήσυν κινή ταχύτητα. (μν. 7) Σελίδα 11 από 16
Λύση (α) Εφαρμόζυμε τη διατήρηση της ρμής, εφόσν η διάρκεια της κρύσης είναι αμελητέα. m0u0 ( m0 m) u1 u1 0 m s (μν. 3) (β) Τ Σ 1 μαζί με τ βλήμα και τ Σ απκτύν κινή ταχύτητα. Από τη διατήρηση της ρμής έχυμε: m0u0 ( m0 m M ) u u m. (μν.,5) s Η αρχική κινητική ενέργεια τυ συστήματς είναι: 1 E. m0u0 000 J. (μν. 0,5) Η τελική κινητική ενέργεια είναι: 1. ( 0 ) 0 E m m M u J. (μν. 0,5) Άρα η απώλεια κινητικής ενέργειας είναι: Ek E. E. 1980 J. (μν. 0,5) (γ) Υπλγίζυμε πρώτα τ μέτρ της τριβής μεταξύ των δύ σωμάτων Σ 1 και Σ : T ( m0 m) g 4 N Από τ δεύτερ νόμ τυ Νεύτωνα για τ σώμα Σ, έχυμε: 4 9 T Ma a m / s. Έχυμε για τ Σ : u a( t) t 4,5 s. 4 / 9 Σημείωση: Ο χρόνς μπρεί να υπλγιστεί και από την επιτάχυνση τυ βλήματς και τυ Σ 1 : T m m a a m s. Είναι ( 0 ) 1 1 4 / u u a ( t) t 4,5 s. 1 1 Σελίδα 1 από 16
(δ) Η σανίδα μετακινείται ως πρς τ έδαφς απόσταση ίση με: 1 s a( t) 4,5m. (μν.,5) Τ σώμα Σ 1 μαζί με τ βλήμα μετακινήθηκε ως πρς τ έδαφς: 1 s1 u1( t) a1 ( t) 49,5 m (μν.,5) Άρα τ Σ 1 μετακινήθηκε ως πρς τη σανίδα κατά, s s1 s 45m. Σελίδα 13 από 16
ΘΕΜΑ 5 : (Μνάδες 0) Η μγενής ράβδς ΑΒ έχει μάζα m και μήκς. Η ράβδς μπρεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφ επίπεδ γύρω από ριζόντι άξνα πυ διέρχεται από τ άκρ Α όπως φαίνεται στ διπλανό σχήμα. Η ράβδς B αρχικά είναι ακίνητη στην πάνω κατακόρυφη θέση (1). Στ άκρ 1 Β της ράβδυ βρίσκεται κλλημένη μικρή σφαίρας μάζας m. A α. Να υπλγίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδυ όταν φτάνει στην κάτω κατακόρυφη θέση (). (μν. 6) β. Να υπλγίσετε τη στρφρμή τυ συστήματς ράβδυ σφαίρας όταν φτάνει στην θέση. Όταν η ράβδς διέρχεται από τη θέση η σφαίρα απκλλάται από τη ράβδ. γ. Να διερευνήσετε αν η σφαίρα θα πέσει μέσα την πισίνα. πισίνα X = 5 4 έδαφς (μν. 6) δ. Όταν η σφαίρα απκλλήθηκε από τη ράβδ αυτή συνεχίζει να περιστρέφεται. Να υπλγίσετε τη γωνία πυ σχηματίζει η ράβδς με την πάνω κατακόρυφη θέση (1) όταν αυτή σταματά στιγμιαία. (μν. 6) Δίνεται η ρπή αδράνειας της ράβδυ Ι π = ⅓ m. Λύση α. Ε αρχ = Ε τελ Ε δυν.ραβ + Ε δυν.σφ = Ε δυν.ραβ + Ε κιν.περ.ραβ + Ε κιν.περ.σφ. m.g3/ +m.g. = m.g./ + ½.⅓.m.. ω + ½.m.. ω 3m.g. = ½ (⅓.m. + m. ). ω Σελίδα 14 από 16
4 6m.g. = ( m. ). ω 3 4 6g = ( ). ω 3 18g = ω 4 9g ω = ω = 9g ω = 3 g 3 ω = g β. θ = (Ι ραβ +Ι σφ ).ω θ = (⅓.m. + m. ).ω 4 θ = ( m. 3 ). 3 g θ = (. m.. g. γ. Η σφαίρα θα εκτελέσει ριζόντια βλή Η αρχική ταχύτητα της σφαίρας είναι: u o = ω.r 3 u o = g 3 u o =. g. Ο χρόνς πτήσης της σφαίρας y = ½.g.t y (4) t= t= t= g g Η ριζόντια μετατόπιση της σφαίρας x =u o.t 3 x = x = 3 g...8.g. g 3 x = 16 8 g 8 g x =6 Η σφαίρα θα πέσει μέσα στην πισίνα γιατί x > 5 δ. Ε αρχ = Ε τελ3 Ε κιν.περ + Ε δυν. = Ε δυν3 ½.I. ω + m.g.h = m.g.h 3 Σελίδα 15 από 16
½.⅓.m. ω + m.g./ = m.g.h 3 ½.⅓. ω + g./ = g.h 3 ½.⅓ 9g. + g./ = g.h3 ½.⅓. 9 + / = h3 9 + / = h3 1 5 h 3 = 4 Η ράβδς θα ανέβει πάνω από την ριζόντια θέση κατά H = h 3 5 H = - 4 1 H = 4 Η γωνία πυ σχηματίζει με την πάνω κατακόρυφ είναι: συνθ = συνθ = Η 4 συνθ = 1 θ=60 0 Σελίδα 16 από 16