Πιθανότητες Στατιστική: Λύσεις θεμάτων. Φεβρουάριος 9. Σειρά Α Ζήτημα ο : Μία ομάδα φοιτητών μετρά 64 φορές μία απόσταση s που δεν γνωρίζουν. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων εμφανίζονται στον διπλανό πίνακα και ζητούνται: Η μέση τιμή ( x ) και η τυπική απόκλιση (s) του δείγματος. Ένα διάστημα εμπιστοσύνης 99% για τον μέσο όρο των μετρήσεων της ομάδας αυτής. Εάν η ακριβής τιμή είναι ίση με 5 m, πόσο πιθανό θεωρείτε να είναι τυχαίο το ότι ο μέσος όρος των μετρήσεων είναι μικρότερος της πραγματικής απόστασης; Πως το εξηγείτε;. Με την βοήθεια του διπλανού πίνακα υπολογίζουμε τις ποσότητες που χρειάζονται για τον υπολογισμό του μέσου όρου και της τυπικής απόκλισης: 5 5 39 x f X f 49.8656 64 s j j j j j 5 f j X j j n s 594,9 64 x 49.8656.845 n n 63 63.85.87 Xi (m) fi 49,4 49,6 6 49,8 8 5 7 5, [Β. ++] Xi (m) fi fixi fixi 49,7 8 397,6 976,7 49,8 4 95, 595,96 49,9 8 898, 448,8 5 5 5 5, 4,4 4,4 64 39,4 594,9. Για να βρούμε το διάστημα εμπιστοσύνης που ζητείται θα πρέπει από τον πίνακα της Τυπικής Κανονικής Κατανομής να υπολογίσουμε το διάστημα (, z ) που αντιστοιχεί σε πιθανότητα,5,/ =,495: P( z z ).5.5.495 z.58 Στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση των δειγματικών μέσων όρων των αντίστοιχων δειγμάτων, των 64 στοιχείων, Για να το επιτύχουμε χρειαζόμαστε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, την οποία όμως δεν γνωρίζουμε και γι αυτό χρησιμοποιούμε στη θέση της την τυπική απόκλιση του δείγματος: s.87.87 x.3587 n n 64 8 Επομένως το διάστημα εμπιστοσύνης με πιθανότητα,97 είναι το: x z x, x z x 49.86563.58*.3587, 49.86563.58*.3587 49.86563.3555, 49.86563.355549.836, 49.97
3. Είναι φανερό πως η ακριβής τιμή δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα εμπιστοσύνης. Εάν η τιμή s=5 ανήκε στο διάστημα εμπιστοσύνης, τότε θα συμπεραίναμε πως τα σφάλματα των μετρήσεων διασπείρονται γύρω από την ακριβή τιμή. πράγμα φυσιολογικό. Στην περίπτωση αυτή, όμως, φαίνεται πως υπάρχει ένα συστηματικό σφάλμα στις μετρήσεις που δίνει τιμές μικρότερες της ακριβούς, το οποίο οφείλεται είτε σε σφάλμα του μηχανήματος, είτε σε σφάλμα του συνεργείου μέτρησης. Προφανώς, η Στατιστική ανέδειξε ένα πρόβλημα και ο διδάσκων οφείλει να το λύσει! Ζήτημα ο : kx Δίνεται η συνάρτηση: x x f x και ζητούνται: Οι ιδιότητες που πρέπει να έχει μία συνάρτηση f(x) για να είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (με την αντίστοιχη αιτιολόγηση). Βεβαιωθείτε πως η δεδομένη f(x) έχει τις ιδιότητες αυτές (με τη βοήθεια πρόχειρης μελέτης της συνάρτησης και της γραφικής της παράστασης). Αποδείξτε πως για την παράμετρο k ισχύει: k = 5/. Να υπολογίσετε την Μαθηματική Ελπίδα και την Var(X) της f(x) (α) Γεωμετρικά (με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης), (β) Αλγεβρικά. [Β. +,5+,5+,5]. Μία συνάρτηση f(x), για να είναι είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, θα πρέπει: f x, για κάθε x, διότι αλλιώς θα υπάρχουν διαστήματα με αρνητική (α) πιθανότητα, κάτι που δεν είναι επιτρεπτό και (β) το ολοκλήρωμα: f x με την μονάδα., διότι η συνολική πιθανότητα πρέπει να είναι ίση. Η συνάρτηση f(x), στο διάστημα (-, ) είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση 4 ου βαθμού. Οι ρίζες της (επιλέγοντας k=): r f ( x) x x r Η παράγωγος και οι ρίζες της: df ( x) d x x x x x x dx 3 dx x x x x 4x x x r, r, r Δημιουργούμε τον πίνακα του πρόσημου της ης παραγώγου:
x f (x) f(x) + - Πίνακας τιμών Γραφική παράσταση x f(x),5,946,5,565,75,87896,5,87896,5,565,75,946 3. Υπολογισμός της τιμής του k f x dx 5 3 k x x 4 3 x 4 4x dx k x 4x 4x dx k x 5 3 3 3 96 4 k 5 3 k k 5 5 5 k 4. Παρατηρώντας την συμμετρική γραφική παράσταση, κάνουμε την πρόβλεψη: Ε(Χ) = διότι ο άξονας των x = διαχωρίζει το συνολικό (μοναδιαίο) εμβαδό σε δύο ίσα μέρη. σ <,5 διότι έτσι το διάστημα (μ-σ, μ+σ) καλύπτει το σύνολο, σχεδόν, του εμβαδού. Παρατήρηση: Οι περισσότεροι φοιτητές δεν κάνουν (δεν ξέρουν ή αδιαφορούν) την γραφική παράσταση, με αποτέλεσμα να μην μπορούν να κάνουν σωστή πρόβλεψη για τα Ε(Χ) και Var(X). Έτσι, βρίσκουν απόλυτα εσφαλμένες τιμές και δεν τους κάνει εντύπωση. Όμως, το γεγονός πως η συνάρτηση κατανομής ορίζεται από το έως το μαρτυρά πως Ε(Χ) θα είναι κοντά στο και το σ θα είναι κοντά στο,5. Δυστυχώς ήταν πολύ συχνές οι τιμές της τάξης Ε(Χ)> ή Ε(Χ)<!
5 5 4 3 E x xf x xx x dx x x 4x 4x dx 6 5 5 5 4 3 5 x 4x 4 53 8 4 4 x x x dx x 6 5 3 5 5 384 4 5 5 5 5 Varx x f xdx Ex x x x dx 4 3 6 5 4 5 5 x x 4x 4x dx x 4x 4x dx 7 6 5 5 x x 4x 5 8 56 8.486 7 3 5 7 6 5 Var x.486.378 Ζήτημα 3 ο : Σε ένα φιλανθρωπικό χορό, για να μαζευτούν χρήματα δημιουργούμε το επόμενο παιχνίδι: Έχουμε δύο κληρωτίδες. Στην πρώτη τοποθετούμε τους αριθμούς από το έως το και στη δεύτερη τους αριθμούς από το έως το 5. Κατά την κλήρωση θα τραβήξουμε 4 κλήρους από την πρώτη κληρωτίδα, χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά, και από την δεύτερη δύο, δημιουργώντας όμως έναν διψήφιο αριθμό (αν βγει πρώτο το και δεύτερο το 4, τότε βγήκε ο αριθμός 4). Ο κάθε συμμετέχων στην κλήρωση επιλέγει μία ή περισσότερες τετράδες και μία ή περισσότερες δυάδες. Για την κάθε στήλη πληρώνουμε ένα ευρώ. Επιλέγουμε όλες τις τετράδες που γίνονται από τους αριθμούς έως 6 και όλες τις δυάδες που δημιουργούνται με τα ψηφία, και 3. Πόσες διαφορετικές στήλες έχει το παιχνίδι μας; (αιτιολογημένα) Πόσα χρήματα θα πληρώσουμε; τι πιθανότητα έχουμε να κερδίσουμε; [Β. ++,5]. Υπολογισμός του πλήθους των διάφορων στηλών, Αρχικά υπολογίζουμε το πλήθος των τετράδων που δημιουργούνται από αριθμούς. Επειδή δεν μας ενδιαφέρει η σειρά, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο των Συνδυασμών:! 7*8*9* 4 4! 4! *3*4 Στη συνέχεια υπολογίζουμε το πλήθος των διαφορετικών δυάδων (αριθμών) που δημιουργούνται από 5 ψηφία. Επειδή μας ενδιαφέρει η σειρά εκλογής στη δυάδα, αλλά δεν υπάρχει επανάθεση του ψηφίου που εκλέγεται στην κληρωτίδα, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο των απλών Διατάξεων:
5 5! 4*5 5! Επειδή για κάθε μία διαφορετική τετράδα δημιουργούνται διαφορετικές στήλες με την συμπλήρωση της κάθε διαφορετικής δυάδας, το πλήθος των συνολικών στηλών προκύπτει από το γινόμενο: Πλήθος στηλών παιχνιδιού = * = 4. Υπολογισμός των στηλών που παίζουμε. Ακριβώς με το ίδιο προηγούμενο σκεπτικό έχουμε: Πλήθος στηλών που παίζουμε = πληρώνοντας 9 Ευρώ. 6 3 6! 3! 5*6 9 4 4! 6 4! 3! 3. Ορίζουμε το γεγονός: Α = <Κερδίζουμε την νικήτρια στήλη> Η πιθανότητα του γεγονότος Α ισούται με το κλάσμα με αριθμητή το πλήθος των στηλών που παίξαμε και παρονομαστή το σύνολο των στηλών του παιχνιδιού: 9 P A.43 (.43%) 4
Πιθανότητες Στατιστική: Λύσεις θεμάτων. Φεβρουάριος 9. Σειρά Β Ζήτημα ο : Μία ομάδα φοιτητών μετρά 49 φορές μία απόσταση s που δεν γνωρίζουν. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων εμφανίζονται στον διπλανό πίνακα και ζητούνται: Η μέση τιμή ( x ) και η τυπική απόκλιση (s) του δείγματος. Ένα διάστημα εμπιστοσύνης 97% για τον μέσο όρο των μετρήσεων της ομάδας αυτής. Εάν η ακριβής τιμή είναι ίση με 5 m, πόσο πιθανό θεωρείτε να είναι τυχαίο το ότι ο μέσος όρος των μετρήσεων είναι μεγαλύτερος της πραγματικής απόστασης; Πως το εξηγείτε;. Με την βοήθεια του διπλανού πίνακα υπολογίζουμε τις ποσότητες που χρειάζονται για τον υπολογισμό του μέσου όρου και της τυπικής απόκλισης: 5 5 46 x f X f 5.449 49 s j j j j j 5 f j X j j n s 374. 49 x 5.449.544 n n 48 48.544.5956 Xi (m) fi 49,8 5 6 5, 5 5,4 5 5,6 [Β. ++] Xi (m) fi fixi fixi 49,8 49,8 48,4 5 6 3 5 5, 5 55 63 5,4 5 756 38,4 5,6, 5,7 49 46 374,. Για να βρούμε το διάστημα εμπιστοσύνης που ζητείται θα πρέπει από τον πίνακα της Τυπικής Κανονικής Κατανομής να υπολογίσουμε το διάστημα (, z ) που αντιστοιχεί σε πιθανότητα,5,3/ =,485: P( z z ).5.5.485 z.7 Στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση των δειγματικών μέσων όρων των αντίστοιχων δειγμάτων, των 49 στοιχείων, Για να το επιτύχουμε χρειαζόμαστε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, την οποία όμως δεν γνωρίζουμε και γι αυτό χρησιμοποιούμε στη θέση της την τυπική απόκλιση του δείγματος: s.5956.5956 x.787 n n 49 7 Επομένως το διάστημα εμπιστοσύνης με πιθανότητα,97 είναι το: x z x, x z x 5.3449.7*.787,5.3449.7*.787 5.3449.49447,5.3449.494475.9545,5.9434
3. Είναι φανερό πως η ακριβής τιμή δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα εμπιστοσύνης. Εάν η τιμή s=5 ανήκε στο διάστημα εμπιστοσύνης, τότε θα συμπεραίναμε πως τα σφάλματα των μετρήσεων διασπείρονται γύρω από την ακριβή τιμή. πράγμα φυσιολογικό. Στην περίπτωση αυτή, όμως, φαίνεται πως υπάρχει ένα συστηματικό σφάλμα στις μετρήσεις που δίνει τιμές μεγαλύτερες της ακριβούς, το οποίο οφείλεται είτε σε σφάλμα του μηχανήματος, είτε σε σφάλμα του συνεργείου μέτρησης. Προφανώς, η Στατιστική ανέδειξε ένα πρόβλημα και ο διδάσκων οφείλει να το λύσει! Ζήτημα ο : k x x x Δίνεται η συνάρτηση: f x και ζητούνται: Οι ιδιότητες που πρέπει να έχει μία συνάρτηση f(x) για να είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (με την αντίστοιχη αιτιολόγηση). Βεβαιωθείτε πως η δεδομένη f(x) έχει τις ιδιότητες αυτές (με τη βοήθεια πρόχειρης μελέτης της συνάρτησης και της γραφικής της παράστασης). Αποδείξτε πως για την παράμετρο k ισχύει: k = 5/. Να υπολογίσετε την Μαθηματική Ελπίδα και την Var(X) της f(x) (α) Γεωμετρικά (με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης), (β) Αλγεβρικά. [Β. +,5+,5+,5]. Μία συνάρτηση f(x), για να είναι είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, θα πρέπει: f x, για κάθε x, διότι αλλιώς θα υπάρχουν διαστήματα με αρνητική (α) πιθανότητα, κάτι που δεν είναι επιτρεπτό και (β) το ολοκλήρωμα: f x με την μονάδα., διότι η συνολική πιθανότητα πρέπει να είναι ίση. Η συνάρτηση f(x), στο διάστημα (-, ) είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση 4 ου βαθμού. Οι ρίζες της (επιλέγοντας k=): r f ( x) x x r Η παράγωγος και οι ρίζες της: df ( x) d x x x x x x dx dx 4 3 x x x x x x x r, r, r Δημιουργούμε τον πίνακα του πρόσημου της ης παραγώγου:
x f (x) f(x) - + - Πίνακας τιμών x f(x) - -,75,946 -,5,565 -,5,87896,5,87896,5,565,75,946 Γραφική παράσταση 3. Υπολογισμός της τιμής του k f x dx k x x 4 dx k x x x x dx k x x dx k 5 5 3 x x k x 5 3 4 k k 5 3 5 3 k 5 3 5 4. Παρατηρώντας την συμμετρική γραφική παράσταση, κάνουμε την πρόβλεψη: Ε(Χ) = διότι ο άξονας των x (x=) διαχωρίζει το συνολικό (μοναδιαίο) εμβαδό σε δύο ίσα μέρη. σ <,5 διότι έτσι το διάστημα (μ-σ, μ+σ) καλύπτει το σύνολο, σχεδόν, του εμβαδού. Παρατήρηση: Οι περισσότεροι φοιτητές δεν κάνουν (δεν ξέρουν ή αδιαφορούν) την γραφική παράσταση, με αποτέλεσμα να μην μπορούν να κάνουν σωστή πρόβλεψη για τα Ε(Χ) και Var(X). Έτσι, βρίσκουν απόλυτα εσφαλμένες τιμές και δεν τους κάνει εντύπωση. Όμως, το γεγονός πως η συνάρτησηη κατανομής ορίζεται από το - έως το μαρτυρά πως Ε(Χ) θα είναι κοντά στο και το σ θα είναι κοντά στο,5. Δυστυχώς ήταν πολύ συχνές οι τιμές της τάξης Ε(Χ)> ή Ε(Χ)<-!
5 5 4 E x xf x x x x dx x x x dx 6 4 5 5 3 5 x x x x x x dx 6 4 5 Varx x f xdx Ex x x x dx 7 5 3 5 4 5 6 4 5 x x x x x x dx x x x dx 7 5 3 5 4.486 7 5 3 Var x.486.378 Ζήτημα 3 ο : Σε ένα φιλανθρωπικό χορό, για να μαζευτούν χρήματα δημιουργούμε το επόμενο παιχνίδι: Έχουμε δύο κληρωτίδες. Στην πρώτη τοποθετούμε τους αριθμούς από το έως το και στη δεύτερη τους αριθμούς από το έως το 5. Κατά την κλήρωση θα τραβήξουμε 3 κλήρους από την πρώτη κληρωτίδα, χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά, και από την δεύτερη δύο, δημιουργώντας όμως έναν διψήφιο αριθμό (αν βγει πρώτο το και δεύτερο το 4, τότε βγήκε ο αριθμός 4). Ο κάθε συμμετέχων στην κλήρωση επιλέγει μία ή περισσότερες πεντάδες και μία ή περισσότερες δυάδες. Για την κάθε στήλη πληρώνουμε ένα ευρώ. Επιλέγουμε όλες τις τριάδες που γίνονται από τους αριθμούς έως 6 και όλες τις δυάδες που δημιουργούνται με τα ψηφία, και 3. Πόσες διαφορετικές στήλες έχει το παιχνίδι μας; (αιτιολογημένα) Πόσα χρήματα θα πληρώσουμε; τι πιθανότητα έχουμε να κερδίσουμε; [Β. ++,5]. Υπολογισμός του πλήθους των διάφορων στηλών, Αρχικά υπολογίζουμε το πλήθος των τριάδων που δημιουργούνται από αριθμούς. Επειδή δεν μας ενδιαφέρει η σειρά, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο των Συνδυασμών:! 9** 5 3 3! 3! *3 Στη συνέχεια υπολογίζουμε το πλήθος των διαφορετικών δυάδων (αριθμών) που δημιουργούνται από 6 ψηφία. Επειδή μας ενδιαφέρει η σειρά εκλογής στη δυάδα, αλλά δεν υπάρχει επανάθεση του ψηφίου που εκλέγεται στην κληρωτίδα, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο των απλών Διατάξεων: 6 6! 5*6 3 6!
Επειδή για κάθε μία διαφορετική τριάδα δημιουργούνται 3 διαφορετικές στήλες με την συμπλήρωση της κάθε μιας διαφορετικής δυάδας, το πλήθος των συνολικών στηλών προκύπτει από το γινόμενο: Πλήθος στηλών παιχνιδιού = 5*3 = 495. Υπολογισμός των στηλών που παίζουμε. Ακριβώς με το ίδιο προηγούμενο σκεπτικό έχουμε: Πλήθος στηλών που παίζουμε = πληρώνοντας Ευρώ. 6 3 6! 3! *6 3 3! 6 3! 3! 3. Ορίζουμε το γεγονός: Α = <Κερδίζουμε την νικήτρια στήλη> Η πιθανότητα του γεγονότος Α ισούται με το κλάσμα με αριθμητή το πλήθος των στηλών που παίξαμε και παρονομαστή το σύνολο των στηλών του παιχνιδιού: P A.44 (.44%) 495