3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Ορισμός Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος ώστε για κάθε Α να ισχύει: ( T)A και ( T)Α και f( T) f( T) f() Για όλες τις αρακάτω τριγωνομετρικές συναρτήσεις η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι σε rad Η συνάρτηση f() ημ Είναι εριοδική με ερίοδο Τ, οότε την μελετούμε στο διάστημα [0, ]. Πεδίο ορισμού: Το. Σύνολο τιμών : Το διάστημα [ 1, 1] Ακρότατα: Έχει ελάχιστη τιμή το 1 για κ και μέγιστη τιμή το 1 για κ, κζ. Μονοτονία: 0 3 ημ 1 0 0 0 1 Γραφική αράσταση: y Σελ. 1
Παρατηρήσεις: Η συνάρτηση f() ημ είναι εριττή αφού ημ( ) ημ, γι αυτό η γραφική της αράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() ρημ(ω) με ρ,ω>0 είναι εριοδική με ερίοδο, έχει ελάχιστη τιμή ρ και μέγιστη τιμή ρ. ω Γενικά αν ρ, ω τότε η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() ρημ(ω) είναι εριοδική με ερίοδο, έχει ελάχιστη τιμή ρ και μέγιστη τιμή ρ. ω Σελ.
Η συνάρτηση f() συν Είναι εριοδική με ερίοδο Τ, οότε την μελετούμε στο διάστημα [0, ] Πεδίο ορισμού: Είναι το. Σύνολο τιμών : Είναι το διάστημα [ 1, 1] Ακρότατα: Έχει ελάχιστο το 1 για κ και μέγιστο το 1 για κ, κζ. Μονοτονία: 0 3 συν 1 0 1 0 1 Γραφική αράσταση: y Παρατηρήσεις: Η συνάρτηση f() συν είναι άρτια αφού συν( ) συν, γι αυτό η γραφική της αράσταση έχει άξονα συμμετρίας την άξονα yy. Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() ρημ(ω) με ρ,ω>0 είναι εριοδική με ερίοδο, έχει ελάχιστη τιμή ρ και μέγιστη τιμή ρ. ω Γενικά αν ρ, ω τότε η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() ρημ(ω) είναι εριοδική με ερίοδο, έχει ελάχιστη τιμή ρ και μέγιστη τιμή ρ. ω Σελ. 3
Η συνάρτηση f() εφ Είναι εριοδική με ερίοδο Τ, οότε την μελετούμε στο διάστημα Πεδίο ορισμού: Είναι το { κ }, κζ., Σύνολο τιμών : Είναι το Ακρότατα: Δεν έχει ακρότατα. Μονοτονία: 0 εφ Ασύμτωτες: Όλες οι ευθείες της μορφής γραφικής αράστασης της συνάρτησης. 0 κ με κζ είναι ασύμτωτες της Γραφική αράσταση y : Σελ. 4
Παρατηρήσεις: Η συνάρτηση f() εφ είναι εριττή αφού εφ( ) εφ, γι αυτό η γραφική της αράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() εφ(ω) με ω>0 είναι εριοδική με ερίοδο ω. Γενικά αν ρ, ω τότε η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() εφ(ω) είναι εριοδική με ερίοδο ω. Σελ. 5
Η συνάρτηση f() σφ Είναι εριοδική με ερίοδο Τ, οότε την μελετούμε στο διάστημα (0, ) Πεδίο ορισμού: Είναι το { κ }, κζ. Σύνολο τιμών : Είναι το Ακρότατα: Δεν έχει ακρότατα. Μονοτονία: 0 εφ Ασύμτωτες: Όλες οι ευθείες της μορφής γραφικής αράστασης της συνάρτησης. 0 κ με κζ είναι ασύμτωτες της Γραφική αράσταση: y Σελ. 6
Παρατηρήσεις: Η συνάρτηση f() σφ είναι εριττή αφού σφ( ) σφ, γι αυτό η γραφική της αράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() σφ(ω) με ω>0 είναι εριοδική με ερίοδο ω. Γενικά αν ω τότε η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() σφ(ω) είναι εριοδική με ερίοδο ω. Γενικές αρατηρήσεις άνω στις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: Όταν είναι γνωστή η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f τότε: Η γραφική αράσταση της f είναι συμμετρική της f ως ρος τον άξονα. Η γραφική αράσταση της f αοτελείται αό τα τμήματα της C f ου βρίσκονται άνω αό τον άξονα και αό τα συμμετρικά ως ρος τον άξονα των τμημάτων της C f ου βρίσκονται κάτω αό τον άξονα. Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f()κ, κ>0 ροκύτει με μετατόιση των σημείων της Cf αράλληλα με τον άξονα yy κατά κ μονάδες ρος τα άνω. Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f()κ, κ>0 ροκύτει με μετατόιση των σημείων της Cf αράλληλα με τον άξονα yy κατά κ μονάδες ρος τα κάτω. Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f(κ), κ>0 ροκύτει με μετατόιση των σημείων της Cf αράλληλα με τον άξονα κατά κ μονάδες ρος τα αριστερά. Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f(κ), κ>0 ροκύτει με μετατόιση των σημείων της Cf αράλληλα με τον άξονα κατά κ μονάδες ρος τα δεξιά. Για να βρούμε αν και ου τέμνει η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f τον άξονα λύνουμε την εξίσωση f() 0. Για να βρούμε αν και ου τέμνει η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f τον άξονα yy βρίσκουμε την τιμή y f(0) (αν βέβαια το 0 ανήκει στο εδίο ορισμού της f). Για να βρούμε αν και ου τέμνονται οι γραφικές αραστάσεις δυο συναρτήσεων y Σελ. 7
f() και y g(), βρίσκουμε το σύνολο Af Ag και λύνουμε σ αυτό την εξίσωση f() g(). Για να βρούμε τα διαστήματα στα οοία η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται άνω αό τη γραφική αράσταση μιας συνάρτησης g βρίσκουμε το σύνολο A f A και λύνουμε σ αυτό την ανίσωση f() > g(). g Για να βρούμε τα διαστήματα στα οοία η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται κάτω αό τη γραφική αράσταση μιας συνάρτησης g βρίσκουμε το σύνολο A f A και λύνουμε σ αυτό την ανίσωση f() < g(). g Για να βρούμε τα διαστήματα στα οοία η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται άνω αό τον άξονα λύνουμε την ανίσωση f() > 0. Για να βρούμε τα διαστήματα στα οοία η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται κάτω αό τον άξονα λύνουμε την ανίσωση f() < 0. Για την κατασκευή του ίνακα τιμών και κατόιν της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f() ρημ(ω) με ρ,ω>0: Βρίσκουμε την ερίοδο Τ της συνάρτησης. Διαιρούμε το διάστημα [0, Τ] σε τέσσερα ίσα διαστήματα, δηλαδή αίρνουμε τα διαστήματα: [0, T 4 ], [ T, T T 3T ], [, 4 4 ], [ 3T,T], 4 Βρίσκουμε τις τιμές f(0), f( T 4 ), f( T ), f( 3T 4 ) και f(τ) Τοοθετούμε στο σύστημα συντεταγμένων τα σημεία: (0, f(0)), ( T 4,f( T 4 )), ( T,f( T )), ( 3T 4,f( 3T 4 )), (Τ, f(τ)) και τα ενώνουμε οότε έχουμε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης. Σελ. 8
Ασκήσεις λήρους ανάτυξης 1 Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f() ημ 1 Αν η συνάρτηση f() ασυν β α, β>0 έχει ερίοδο 4 και μέγιστη τιμή, να βρείτε τα α, β. y 3 Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f() 3συν 4 Αν η συνάρτηση g() εφ 3β, β έχει ερίοδο να βρείτε το β. 4 5 Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f() ημ 3 4 3συν 3 3 4. 6 Να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() κ λσυν (λ<0) αν είναι γνωστό 3 ότι έχει μέγιστο το 5 και η γραφική της αράσταση διέρχεται αό το σημείο Μ, 7 7 Το διάγραμμα της συνάρτησης f() αημ β ερνάει αό τα σημεία Α, και Β 3,0 α) Να βρεθούν οι αριθμοί α και β β) Να γραφεί ο ίνακας μονοτονίας και να βρεθούν τα ακρότατα της f γ) Να γίνει η γραφική της αράσταση σε διάστημα λάτους μιας εριόδου της. 8 Να βρείτε τις εξισώσεις των αρακάτω καμύλων: α. β. Σελ. 9
γ. δ. 9 Δίνεται η εξίσωση ημ 5 5 3 α) Να διαιστώσετε γραφικά ότι η αραάνω εξίσωση δεν έχει λύση στο β) Να ειβεβαιώσετε και αλγεβρικά το ροηγούμενο συμέρασμα. Σελ. 10